Konrad Sattler

Lehrbuch der Statik Theorie und ihre Anwendung

Zweiter Band

Höhere Berechnungsverfahren

Teil A: Spannungen und Schnittbelastungen

SpringerVerlag Berlin Heidelberg NewYork 1974

DrAng. Dr. techno h. C. Konrad Sattler

o. Professor an der Technischen Hochschule in Graz M. 1. Struct. E., Chartered Structural Engineer, London

Mit 376 Abbildungen

ISBN 978-3-642-52180-5 ISBN 978-3-642-52179-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-52179-9

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weiser Verwertung, vorbehalten.

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© by Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1974.

Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1974 Library of Congress Catalog Card Number 69-14537

Meiner Frau Friede!

gewidmet

Vorwort

Während im Band I die klassischen, grundlegenden Methoden der Statik ebener Stab- und Fachwerke enthalten sind, werden im Band Ir eine Reihe von besonderen Gebieten der Statik behandelt, deren Beherrschung für einen verantwortlich arbei­tenden Ingenieur von Vorteil ist. Es handelt sich dabei sowohl um Verfahren zur Ermittlung von Schnittbelastungen (Bd. II A) als auch um solche zur Bestimmung von Eigenwerten (Bd. Ir B), wie sie bei Stabilitätsproblemen und bei Fragen der Eigenschwingungen zur Anwendung kommen.

Ein wesentlicher Teil dieses Werkes betrifft räumliche Stab- und Fachwerke. Letztere werden vorteilhaft unter Verwendung der Vektoren-, Dyaden- und Matrizen­rechnung erfaßt. Ein kurzer Auszug der wesentlichen, aber vielfältig anwendbaren Operationen mit Vektoren, Dyaden und ~1atrizen bildet daher den Beginn des Werkes.

Aus den Schnittbelastungen erhält der Ingenieur über die Spannungsermittlung einen Einblick über die Beanspruchungen und die Sicherheit der Konstruktionen, wobei sowohl ebene als auch räumliche Spannungszustände Berücksichtigung finden müssen. Die Aussagen über Anstrengungshypothesen weisen jedoch einen wesentlich größeren Streu bereich auf, als die Ermittlung der Schnittbelastungen, die genauer er­faßt werden können. Ein eigenes zusammenfassendes Kapitel gibt sowohl Einblick in die Berechnung ebener und räumlicher Spannungszustände aus den Schnittbelastun­gen, als auch eine Gegenüberstellung der verschiedenen Anstrengungshypothesen, damit der Ingenieur sich selbst ein Urteil über die vielen damit verbundenen schwie­rigen Probleme bilden kann.

Die Torsion und die sich daraus ergebenden Spannungen werden - wegen ihrer besonderen Bedeutung - in einem eigenen Kapitel behandelt.

Die Kapitel über Trägerroste und Rautenfachwerke zeigen, wie mit geringem Aufwand vielfach statisch unbestimmte Systeme mit einfachen Näherungsberech­nungen erfaßt werden können, wobei deren Ergebnisse nur wenige Prozente von den genauen Werten abweichen.

In den Kapiteln über die Stabilität und die Schwingungen wird gezeigt, wie nicht nur Einzelstäbe, sondern beliebige ebene und räumliche Systeme im elastischen und plastischen Bereich erfaßt werden können, wobei gen auen Methoden wieder einfache Näherungsberechnungen gegenübergestellt werden.

Obwohl in diesem Werk nur Teilgebiete der Statik aufgenommen werden konnten, wird darin eine Vielfalt der verschiedensten Methoden geboten, die auch bei immer wieder neu auftretenden Problemen sinngemäß zur Anwendung kommen können. Sie werden daher dem Ingenieur bei der Schaffung neuer Konstruktionen eine Hilfe sein können, um die volle Verantwortung für deren Sicherheit zu tragen.

Zahlenbeispiele zeigen zu allen Kapiteln die Anwendung der Theorien. Mit den vier Bänden I A und B, II A und B ist ein Werk abgeschlossen, das

einen großen Bereich der Statik ebener und räumlicher Tragwerke erfaßt. Dieses soll eine zusammenfassende Grundlage zu den anderweitigen, modernen Werken über Flächentragwerke und Finite Elemente bilden. Ein Ingenieur, der Stab- und Fach-

VI Vorwort

werke voll beherrscht und sich auch über Anstrengungsprobleme Rechenschaft geben kann, wird sich auch in anderen Bereichen zurecht finden.

Von den angegebenen Entwicklungen sind manche während meiner langen Tätig­keit als Hochschullehrer an der Technischen Universität Berlin und der Technischen Hochschule in Graz - die nun zu Ende geht - entwickelt worden. Während dieser ganzen Zeit war ich im ständigen Gedankenaustausch mit meinen jeweiligen Assi­stenten, die auch die umfangreichen Zahlenrechnungen durchgeführt haben. Sie sind somit wesentlich am Zustandekommen dieses Werkes beteiligt. So danke ich als erstes meinen ehemaligen und jetzigen Mitarbeitern, den Herren:

Civ. Eng. Dr.-Ing. Hk. BandeI, New York; Baurat Dr. techno W. Gobiet, Graz; Dr. techno G. Gsell, Linz; Prüf. Ing. Dr.-Ing. S. Krug, Aachen; Prok. Dr.-Ing. K. Kunert, Mainz; Dr. techno K. Matz, Graz; Prof. Dr. techno W. Mudrak, Wien; Ziv. Ing. Dr. techno H. Passer, Innsbruck; Prok. Dr.-Ing. E. Schaber, Saarlouis; Dir. Dr.-Ing. H. J. Schrader, Hannover; Dr. techno H. Spener, München; Prof. Dr.-Ing. P. Stein, Wien; Prof. Dr.-Ing. W. Steinbach, Hannover; Dr. techno H. Steiner, Linz; Dr. techno T. Szyszkowitz, Graz; Dr. techno L. Wagner, Frankfurt; Dr. techno W. Walluschek-Wallfeld, Graz.

Von diesen Herren wurden interessante Dissertationen am Institut angefertigt, deren Ergebnisse zu großen Teilen in diesem Werk aufgenommen wurden.

Dies betrifft auch die Dissertationen der Herren Dr. techno W. Jeltsch und Dr. techno F. Tschemmernegg. Ich danke auch Herrn Dipl.-Ing. R. Kersten für seine Zustimmung, daß ein kurzer Auszug des Reduktionsverfahrens aus seinem Buch auf­genommen werden konnte. Meinem Assistenten Dipl.-Ing. H. Adelsberger gebührt mein Dank für die Mitarbeit bei der Fertigstellung dieses Buches.

Dieses Buch habe ich in großer Dankbarkeit meiner Frau gewidmet, denn sie hat durch eine lange Lebenszeit hindurch, unter Inkaufnahme manchen Verzichtes, mir die günstigen Voraussetzungen zu einer gedeihlichen wissenschaftlichen Arbeit ge­schaffen.

Besonderer Dank gebührt dem Springer-Verlag für die Drucklegung und schöne Ausstattung dieses Buches.

Graz, im Sommer 1974 Konrad Sattler

Wesentliche Bezeichnungen.

Einleitung . . . . . . . .

Inhaltsverzeichnis

I. Grundlagen der Vektor-, Dyaden- und Matrizenrechnung

A. Allgemeine Vektorbeziehungen . . . .

1. Der Vektor. Summe von Vektoren 2. Produkte von Vektoren

B. Grundlagen der Dyadenrechnung

1. Affine Abbildung 2. Lineare Vektorfunktion. Dyade 3. Xeunerform der Dyade .... 4. ZerIegung von Dyaden. Invarianten 5. Skalares Produkt zweier Dyaden 6. Quotient zweier Dyaden. Reziproke Dyade ,. Tensorflächen zweiter Ordnung ..... 8. Invarianten eines Vektorfeldes. Divergenz und Rotation 9. Algebra des 'V-Operators . . . . . . . . . . . . . .

c. Grundlagen der Matrizenrechnung

1. .-\bstrakter Vektor. . . . . 2. Linear-Transformation. Matrizen 3. Skalares und dyadisches Produkt zweier Vektoren 4. Superposition von Matrizen 5. Produkte von Matrizen. 6. Kehrmatrix . . .

Literatur zu Abschnitt I

11. Spannungen, Verzerrungen, Formänderungsarbeit, Anstrengungshypothesen

XIV

XIX

2

2

2

7

7 7 8 9

11 11 12

13 14

15

15 16 19 20 20 22 23

A. Spannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1. Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. Spannungen für ein beliebig gewähltes Flächenelement 26 3. Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen 26 4. l\Iohrsche Kreise .............. . 29 5. Schubspannung T o in der Oktaederfläche eines Würfels, der durch die Hauptspannun-

gen GI' G2 und G3 beansprucht ist 31 6. Spannungstensorflächen 32

B. Verzerrungen . . . . . . 34

1. Verzerrungstensor . . 34 2. VerschiebungselJipsoid 37

VIII Inhaltsverzeichnis

c. GrundJagen der linearen Elastizititstheorie . . . . . . 38

38 41

1. Hookesches Gesetz. Beziehungen zwischen Spannungen und Verformungen 2. Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D. Anstrengungshypothesen für ruhende Belastungen 43

1. Hypothese der größten und kleinsten Hauptspannung 43 2. Hypothese der größten Dehnung 44 3· Hypothese der resultierenden Dehnung. . 46 4. Hypothese der maximalen Schubspannung 47 5. Hypothese der inneren Reibung 49 6. Hypothese nach Mohr . . . . . . . . . 51 7· Hypothese von Leon. . . . . . . . . . 53 8. Hypothese von Beltrami oder Theorie der elastischen Formänderungsarbeit . 58 9. Hypothese der Gestaltsänderungsarbeit von Huber. . . . . . . . 58

10. Hypothese der Invarianten des Spannungszustandes nach v. Mises . 60 11. Hypothese nach Ros-Eichinger 61 12. Hypothese von Hencky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 13. Hypothese von Stassi d'Alia . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 14. Gegenüberstellung der verschiedenen Hypothesen für verschiedene Spannungszu-

stände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 15. Leon-Hüllparabel und Werkstoffverhalten der Stähle

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . 75 16. Die Theorie der Dauerfestigkeit. . . . . . . . . . 79 17. Die Ermittlung der Spannungs-Dehnungslinie im elastischen und plastischen Bereich

metallischer Stoffe. . 80 Beispiele . . . . . . . 82 a) Isotropes Material 82 b) Anisotropes Material 86

Zusammenfassung . . . . 86 Literatur zu den Abschnitten Ir Abis II D 86

E. Spannungen infoJge Normalkraft, Biegemoment und Querkraft . 88

1. Allgemeines. . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2. Normalspannungen infolge Normalkraft 89 3. Normalspannungen infolge Biegung gerader Stäbe 90 4. Normalspannungen infolge Biegung bei gekrümmten Stäben 92 5. Schubspannung infolge Querkraft . . . . . . . . . 94

a) Vollwandige Querschnitte (Näherungsberechnung) . 94 b) Dünnwandige offene Querschnitte . . . 96 c) Dünnwandige geschlossene Querschnitte . . . . . 97

Beispiel 1I. 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 d) Vollwandige Querschnitte und dickwandige Hohlquerschnitte. (Genaue Berech-

nun~ . . . . . . 101 Zusammenfassung . . . . 114 Zahlenbeispiele II.2-1I.5 . 115 Literatur zu Abschnitt II E 134

IH. Torsion

A. Grundlagen der reinen Torsion (Saint-Venant-Torsion) 136

1. Die Verwölbung w von Vollquerschnitten wird als Funktion von y und z gewählt 138 2. Methode der Spannungsfunktion bei Vollquerschnitten . . . . . . . . . .. 139

a) Die Summe der zweiten Ableitungen der Gleichungf(y, z) des Querschnittsumfanges ergibt eine Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

b) Näherungslösung für den Rechteckquerschnitt mit Hilfe des ;\finimums der Form­änderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Inhaltsverzeichnis IX

c) Näherungslösung mit Hilfe der Differenzenrechnung für beliebige Vollquerschnitte und dünnwandige offene Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . .. 142

d) Seifenhautgleichnis von Prandtl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143 3. Dünnwandige geschlossene Hohlquerschnitte mit geradlinigen Teilquerschnitten . 143 Beispiel II I. 1 . . . . . . . . 144

B. Grundlagen der ZwängungsdriUung 145

1. Wölbfreie Querschnitte . . . 145 2. Nichtwölbfreie dünnwandige Querschnitte 146

a) Verwölbungen, Schubmittelpunkt . . . 146 b) Sekundäre Schubspannungen. . . . . 147 c) Allgemeine Gleichung der Wölbkrafttorsion bei konstantem Querschnitt . 148

3· Nichtwölbfreie Sonderquerschnitte . . . . . . . . . 150 a) Querschnitt mit Fachwerkelementen .. . . . . . . . . . . . . . . 150 b) Querschnitt aus Wandelementen mit Bindeblechen . . . . . . . . . . 150

4. Allgemeine Gleichungen der Wölbkrafttorsion des veränderlichen offenen Querschnit-tes ............... 152 a) Unsymmetrische Querschnitte 153 b) Einfach symmetrische Querschnitte 153

C. Ebene Systeme mit Reiner Torsion (St.-Venant-Torsion) 153

1. Statisch bestimmte Stabwerke 153 2. Statisch unbestimmte Systeme 1 54

D. Ebene Systeme nur mit Wölbkrafttorsion • 159

E. Ebene Systeme mit St.-Venant- und Wölbkrafttorsion (Gemischte Torsion) bei konstantem Querschnitt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1. Drehfest aber wölbunbehindert gelagerter Stab, belastet durch ein Torsionsmoment . 165 2. An den Enden starr eingespannter Stab, belastet durch ein Torsionsmoment 168 3. Stäbe mit verschiedenen Randbedingungen und Belastungen 170 4. Näherungsberechnungen . 172 Zahlenbeispiele III.2-III.7 . 172 Literatur zu Abschnitt III . 192

IV. Pfahlrost mit starrer Fundamentplatte (Dyaden-Methode)

1. Allgemeine Entwicklung 2. Zahlenbeispiel IV.1 Literatur zu Abschnitt IV.

V. Ebene Stabwerke (Matrizen-Methode)

193 196 202

A. Schnittbelastungsmethode . . . • . . • . • . . . 203

Allgemeine Entwicklungen für Rahmentragwerke 203 Zahlenbeispiel V.1 206

B. Reduktionsverfahren 210

1. Allgemeines. . 210 2. Grundprinzip . 210 3. Vorzeichenfestlegung . 211 4. Einfeld- und Durchlaufträger für feldweise konstante Biegesteifigkeit EJ. Allgemeine

Entwicklungen . 212 a) Feldmatrix 212 b) Punktmatrix . . . 215 c) Randbedingungen 217

x Inhaltsverzeichnis

d) Durchführung der Berechnung • . • • . . • . • • . • • • • • • 218 e) Einfeldträger • • . . . . . . . . . . . . . . . . • . . • . • . 220 f) Durcblaufträger mit elastischen Lagerungen an den Zwischenstlltzen 220 g) Durcblaufträger auf festen Zwischenstiitzen bzw. mit besonderen Zwischenbedin-

gungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 h) Allgemeine Betrachtungen für ebene Systeme 222

Beispiel V.2: Einfeldträger . 223 Beispiel V.3: Durchlauf träger 225

Literatur zu Abschnitt V. . . . 229

VI. Rautenfachwerke

Einleitung . • . . . . . . . 230

A. Einftußlinien beliebiger Rautenfachwerke . 230

1. Der "gleichgerichtete" Belastungszustand ohne Beriicksichtigung der Nebenspan-nungen .................................. 232

2. Die "entgegengesetzt gerichteten" Belastungszustände . . . . . . . . . . . . . 232 3. Die Berechnung der Nebeneinfliisse aus den Verformungen des Grundzustandes Ca] 236 4. Zusammenfassung. 237 Zablenbeispiele 238

Literatur zu Abschnitt VI. 246

VII. Räumliche Stabwerke (Matrizen-Methode)

A. Festlegung der Hauptachsen . . . . . . . . .

Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . Zahlenbeispiel VII.1 : Räumlicher Kragträger

B. Schnittbelastungsmethode für Systeme mit Belastung in den Knotenpunkten.

1. Statisch bestimmtes unverzweigtes System a) Belastung ......... . b) Absolutwerte der Stützbelastung . . . c) Schnittbelastung . . . . . . . . . . d) Verformungen eines einseitig eingespannten Feldes e) Verformung des Gesamtsystems ....... .

2. Statisch unbestimmtes unverzweigtes System . . . . a) Verformungsgrößen an den Wirkungsstellen der statisch unbestimmten Größen X" b) Statisch unbestimmte Größen X" c) Endgültige Schnittbelastung

3. Verzweigte Systeme 4. Zusammenfassung . . . . . . Zahlenbeispiele VII.2. . . . . .

a) Statisch bestimmtes System b) Statisch unbestimmtes System

C. Deformationsmethode

1. Einleitung . . . 2. Allgemeine Voraussetzungen

a) Koordinatensystem und Vorzeichenfestlegungen b) Annahmen ................ . c) Steifigkeiten im q-System . . . . . . . . . .

3. Belastungszustände für einen Stab (i - k) im q-System . a) Äußere Belastungen. . . . . . . . . . . . . . b) bis e) Zustände aus bekannten Verformungsgrößen .

247

247 250

255

256. 256 257 259 260 261 262 262 263 263 263 264 264 264 271

274

274 275 275 276 277 278 278 282

Inhaltsverzeichnis XI

4. Belastungszustände für den Stab (i - k) im p-System 289 a) Äußere Belastung. . . . . . . . . . . . . . . 289 b) bis e) Zustände aus unbekannten Verformungsgrößen . 290

5. Gleichungssystem der Deformationsmethode 292 6. Endgültige Schnittbelastungen ...... 295 7. Symmetrische Systeme. . . . . . . . . . 295

a) Der Stab (i - k) schneidet die SE. rechtwinklig im Punkt m 296 b) Ein Knoten liegt in der Symmetrieebene. . . . . . . . . 298 c) Erforderliche Anzahl der Festhaltestäbe und deren Anordnung in bezug auf sym­

metrische und antimetrische Belastungsfälle für Grundsysteme und Deformations-bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

d) Anwendung der Grundsysteme mit einer Symmetrieebene 302 e) Symmetrische Systeme mit zwei oder mehreren Symmetrieebenen. 304

8. Momentenausgleichsverfahren für unverschiebliche Systeme. 305 a) Allgemeine Entwicklungen. . . . . . . 306 b) Iteration ...... . . . . . . . . 307

9. Momentenausgleichs-Festhaltestab-Verfahren 308 a) Allgemeine Entwicklungen. . . . . . . 308

Beispiel VIL3: Räumlicher Rahmen mit zwei Knotenpunkten 313 Beispiel VIL4: Räumlicher Rahmen mit vier Knotenpunkten 322

Literatur zu Abschnitt VII . . . . . . . . . . . . . . . 334

VIII. Räumliche Fachwerke

1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . 2. Grundgleichungen der Deformationsmethode 3. Allgemeine Deformationsmethode 4. Stabkraftausgleichsverfahren

a) Allgemeine Entwicklungen b) Iteration

5. EiIiflußflächen 6. Lagerbedingungen Beispiel VIIL1: Statisch bestimmtes räumliches Fachwerk Beispiel VIIL2: Statisch unbestimmtes räumliches Fachwerk Literatur zu Abschnitt VIII. .. ..... .

IX. Trägerroste

Einleitung . . . . . . .

A. Verfahren Guyon-Massonet

335 336 337 337 337 338 340 341 342 349 353

354

355

1. Einfeld-Trägerrost mit gleichen Hauptträgern bei konstantem Querschnitt 355 2. Trägerroste über mehrere Öffnungen und beliebige andere statisch unbestimmte

Hauptträgersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 3. Trägerroste mit Steifigkeitsunterschieden zwischen Rand- und Innenträgern 368

a) Torsionsfreie Trägerroste 368 b) Torsionssteife Trägerroste 372

4. Lastverteilende Querträger 375 5. Allgemeine Betrachtungen 376

B. Verfahren Engesser ..... . 379

Zahlenbeispiele für torsionsfreie und torsionssteife Trägerroste mit 3 bis 6 Hauptträgern . 382 Literatur zu Abschnitt IX. 411

Tafeln A-E

Sachverzeichnis

413

437

XII Inhaltsverzeichnis

Inhaltsübersicht von Band nB (in Vorbereitung)

1. Stabilität ebener Systeme

11. Stabilität räumlicher Systeme

111. Stabilität von Scheiben

IV. A. Schwingungen ebener Systeme B. Schwingungen räumlicher Systeme

Tafeln F bis H

Druckfeblerberichtigung zu Band I: Grundlagen und fundamentale Berechnungsverfahren

Abkürzungen: Z = Zeile; Z. v. u. = Zeile von unten; () = Gleichung; Abb. = Abbildung.

Seite 103

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Seite 128

Seite 134

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Seite 163

Seite 201

Seite 227

Seite 232, 233

Seite 236

Seite 288

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Teil A: Theorie

(11 C.1)

4. Z nach Tab. 11 C.1

Tab. 11 C.2, Spalte 5

(11 C.12)

3. Z

(11 C.32)

Abb. I C.69

(11 D.11)

Abb. 11 DA5 d

3. Z. v. u.

.\bb. II E.17h

1.Z

(III B.35)

(III B.46, 48)

13. Z

11. Z. v. u.

.\bb. VII :\.17

- ~ Gn,.(xm - xn) I

°Qi_k = -L G

Ao,. - Go" = QO-1; QO-1 - C1,z = Ql-Z

- ~ Gn,,,(Zn - Zm)

- ~Gn,xzn -AI,.

z-Werte haben Bezugslinie O-y

-Mi + ". negatives Vorzeichen

_L T" h "

"OSt-Linie ist zu verlängern bis zum linken Gelenk und fällt bis zum rechten Gelenk auf Xull ab.

Sn-rn = (~ + ..!..) _i_ hn hz cos CXn-l'

... + ~i'l)(B,b' vcp~,a = EIe vA i

1CPJr,c + F

a2 ,1 = ~SZ "Si S ;

im Punkt 2 az,z statt aZ ,3 und Ilz,z - IlZ-lat,2

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Seite 368, 369

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Seite 207

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Seite 261

Seite 275

Seite 303

Seite 308

Seite 312

Druckfehlerberichtigung zu Band I XIII

(VII A.25b)

(VII A.26b)

(VII A·30, 33, 35)

10. Z, (VII A.46, 49)

3. Z. v. u.

(VII BA)

(VIII C.7)

Abb. VIII D.1 b

6.Z

(IX B.13)

g." = - ... " . -----12 - 4

ai'-k = --li-k; Ci-k = --li-k

kb. = 2xi - k; 'b i _ k = 6"._k; ib~_k = 3"i-k;

+ "''ljJ3-6

+ 1X'ljJ3_6

MLlT;i,k = -MLlT;k,i =

Teil B: Zablenbeispiele

22. Z

Tab.11.2

Tab. 17.4; 4. Z

Abb.21.5

4.Z

8.Z

20.Z

Abb.50.5

3. Z. vor Tab. 52.3

13. Z. v. u. 12. Z. v. u.

Abb.58.15

15. Z. v. u.

statt Dyname wird i)J1u ,o = (8,077; 14,134; 24,230 tm) verwendet;

I y = 9500 + 111332 = 120832 cm4 ;

I p = 203923 cm4 •

Sp.8 +1,199; Sp.10 -2,991

Einflußlinien sind abzuschrägen von Pkt. 1 bis F (0,0)

aB 1 = + 7,7095 + 20,31 = 28,02; zu~ätzlich Anteil der Stäbe 0-4, damit Ande­rung der Ergebnisse.

v~ = 1,/3

f-t7-14 = ° M"II2;

f{J1 = -13,703IEIc -VB ,1 = ( ) • (-0,25) + 1 • 0,5 = +0,25 t -V1•1 = lX(0.125 • 4) • (-0,25) = -0,125lX

Im Stiel 1,5 statt 0,75

+(-15,7446 - 17,2473) • ( ) ...

Geringfügige Druckfehler, die sofort als solche zu erkennen sind, wurden nicht in dieses Verzeichnis aufgenommen.

Wesentliche Bezeichnungen

F

I w Se

S. = Se + Cg i

ld lO

Cm = 1",,,, = J lO2 dF S", = J lO dF

5", = s'" + C", I ",x = J lOX dF; 1",)/ = f lOy dF; k

E;G e;y;a;r

m

e am

Si-k

t:,Si-k

A = Si~k t

k __ 1i,k i,k

f fli,k

"i,k

fli-k

CXT

Y

Querschnittswerte Fläche; Trägheitsmomente (z.B. 11' Ix, Ix)/ usw.); Widerstandsmoment ; Statisches Moment einer Teilfläche ;

(Cg = Integrationskonstante) ; Trägheitsradius ; Drillungswiderstand; Einheitsverwölbungen (auf den Schubmittelpunkt bezogen) ; Wölbwiderstand ; sektorielles statisches Moment;

(C", = Integrationskonstante) ;

Schubkonstante.

Allgemeine Größen Elastizitätsmodul, Schubmodul; Dehnungen, Schiebungen, Zug-Druckspannungen, Schubspan­nungen; Schubspannungen für dünnwandige Querschnitte (0 offener Querschnitt, S Hohlquerschnitt, - sekundäre Span­nungen) ; Schubkraft;

1 Poisson-Konstante, " = - ;

m Räumliche Dehnung; Mittlere räumliche Spannung (hydraulischer Druck); Länge des Stabes i - k; Längenänderung des Stabes i - k;

Schlankhei t ;

Formänderungsarbeit ; Außere Arbeit; virtuelle Arbeit;

Steifigkeiten eines Stabes i - k (beiderseits eingespannte Knoten, einseitig Gelenkknoten, Symmetrie, Antimetrie); Federkonstante; Verteilungszahl für Momentenausglcich aus Knotendrehung ; Verteilungszahl für Momentenausgleich aus Stockwerksver­schiebung; Fortleitungszahl bei Momentenausgleich ; Wärmeausdehnungszahl für 1 oe; spezifisches Gewicht.

r; u; b; \13; 9Jl

y; v*; d*; P; M e o'b oxb (0 x b) . C = lob cl {ob} x; s usw. x T ; sT usw. A; B; tP usw. AT A- 1

A A'x xT'A F=A'B'C

g;p;q m;mt

Wesentliche Bezeichnungen

Vektoren und Matrizen

Vektoren (Strecken, Verschiebungen, Drehungen, Kräfte, Momente); Absolutwerte von Vektoren; Einheitsvektor ; Skalares Produkt; Vektorprodukt; Gemischtes Produkt; dyadisches Produkt; Spaltenvektoren ; Zeilen vektoren; Matrizen, Dyaden; Transformierte Matrix; Kehrmatrix ;

Diagonalmatrix ; Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor ; Produkt einer Matrix mit einem Zeilenvektor ; ::Vlatrizenprodukt.

Belastungen

Belastungen je Längeneinheit; Momentenbelastung je Längeneinheit (Biege-Torsions­momente); Absolutwerte der Belastung; Vektoren der Belastung.

xv

Scbnittbelastungen, Verformungen, Arbeiten ebener Systeme

M; N;Q; Si-k

u; w; q;; f} usw.

x y

W WM; WN; WQ; WSi _ k vM; vN; vQ; vSi _ k ai,i; ai.k; aB,i usw.

Moment, Längskraft, Querkraft, Stabkraft für Stab i - k für statisch bestimmte Systeme; Torsionsmomente (s = Saint Venant Torsion, '" = Wölb­krafttorsion) ; Verschiebungen, Drehungen, Verdrehung für statisch be­stimmte Systeme; Drehung des Knotens i, des Knotens kund Sehnendrehung des Stabes i - k; Statisch unbestimmte Größen der Schnittbelastungsmethode ; Statisch unbestimmte Lastgruppengrößen der Schnittbela­stungsmethode ; Elastische Gewichte; Schnittbelastungen aus W-Gewichtsbelastungen; Schnittbelastungen aus virtueller Belastung; Virtuelle Arbeiten der Schnittbelastungsmethode (aus Ein­heitszuständen und Belastungszuständen) ; Virtuelle Arbeiten der Deformationsmethode (aus Einheitszu­ständen und Belastungszuständen) ; Momente infolge Knotendrehungen (Momentenausgleich) ; Momente infolge Sehnendrehungen (Momentenausgleich) ; Stabkräfte in Festhaltestäben (Verfahren Ostenfeld).

Belastungen, Scbnittbelastungen, Verformungen, Matrizen usw. für räumliche Systeme

Index q

IndexP '\13; Pjß; q,ä9Jl; p,ä9Jl 6;-10

bezieht sich auf das q-System mit den Richtungen 1. 2 und 3 der Stabachse und der Hauptträgheitsachsen senkrecht zur Stabachse; bezieht sich auf das p-System mit den Richtungen x, y, z; Äußere Lasten, Momente; Stabkraft im Stab i - k (Vektor);

XVI

PEi.; gEi. g~i; p~.

gm; g9l; go.; pm; P9l; Po. gOi; glP.; POi; PIPi USW.

Ri,k; Rlk

gKi,i; gKk,i; q)i,i; gEi,.; 'lLi,k; gEk,i; ~Kii; PDi. usw. PKi; PDi; P~; PLt

Wesentliche Bezeichnungen

Stützbelastung im Knoten i aus Wirkung eines Stabes i - k; Stützbelastung im Knoten i senkrecht zur Stabachse i - k; aus Wirkung eines Stabes i - k; Schnittbelastungen (Moment, Längskraft, Querkraft) ; Knotenverschiebungen, Knotendrehungen (Vektoren); Rotationsmatrizen zur Transformation von Belastungen, Schnittbelastungen und Verformungen vom q- ins p-System und umgekehrt; Steifigkeitsmatrizen der Deformationsmethode für Stäbe i - k;

Summen von Steifigkeitsmatrizen für Knoten i.

Statisch bestimmte Systeme, statisch unbestimmte Systeme, statisch unbestimmte Grundsysteme

Die Schnittbelastungen und Verformungen werden für alle Verfahren einheitlich bezeichnet. M; N; Si-k; w; qJ; Eii-k; ID1; Statisch bestimmte Systeme (ohne besondere Kennzeichnung); Wusw.

M; N; ~-k; w; illL ur usw. M* usw.

M; Q; Si-k; v; wi; w usw. °Si_k; °Mi

!X;cx* {};{}* K i a'O; Ki a'x us"r. kiJ~;~; ki,a;a' usw.

k.;"a;o; ki,a;.x usw.

~'; ~"; ~'; ~"

k'

M

Statisch unbestimmte Grundsysteme (mit -);

Statisch unbestimmte Grundsysteme nach Momentenaus­gleich (mit -*) ;

Statisch unbestimmte Systeme (mit -); Stabkraft, Moment am Ersatzsystem (Schnittbelastungsver­tauschung) .

Trägerroste

Torsionssteifigkei tsfaktor ; Roststeifigkeitsfaktor ; Lastverteilungsfaktoren ohne, mit Torsionssteifigkeit; Querverteilungseinflußlinie ohne, mit Torsionssteifigkeit;

Querverteilungseinflußlinie, wenn die Randträger ein anderes Trägheitsmoment als die Mittelträger aufweisen;

Zerlegung von k bzw. k in symmetrische und antimetrische Anteile; Querverteilungseinflußlinie für Sekundäreinfluß bei großen Ab­ständen der lastverteilenden Querträger ;

Sekundär· Momente des an den Querträgern starr gestützten Systems.

Allgemeines (Bezeichnungen und Indizierung)

[ ] Zustände, (z.B. [MH=d, Zustandslinie der Momente infolge H = 1); Einflußlinien (z. B. ,,53 - 4", "M2 " , Einflußlinie der Stabkraft des Stabes 3 -4, bzw. des Momentes im Punkt 2);

Spalten- und Zeilenvektor ;

Matrix;

Wert einer Determinante;

\Vesentliche Bezeichnungen XVII

Vektor u und Einheitsvektor in Richtung der Hauptträgheits­achse 2;

{

UkxC2X ukJß2y UkXC2Z!

Bk = {Uk e2} = ukyc2;r UkyC2y Ukye2Z Dyade.

ukze 2x Ukze2y Ukze 2z

Bei mehrfacher Indizierung wird zuerst die Ursache der Entstehung des betreffenden Wertes und dann die Art seines Auftretens angegeben bzw. die Größe eines Wertes und seine Kompo­nente.

MB;i"

~B.3 MB.i;i.k

1'1'4-5

MB;b; WB;,.

k l •2 ;O

Komponente der Kraft P2 in Richtung x; Einheitsvektor der Resultierenden R. Komponente in Rich­tung z; Moment der Resultierenden R um den Punkt m in Richtung x; Trägheitsmoment um die Achse 1; Stabkraft infolge A 0 = 1 im Stab 2 - 3; Stabkraft infolge TI = 1 im Ersatzstab E 2 am Ersatzsystem; Stabkraft infolge IV-Gewichtsbelastung für Punkt 3. im Stab 4-5; Moment aus Belastungszustand [B] im Punkt i, rechts; Unbekannte X 3 aus der Belastung B;

Moment im Knoten i des beiderseits eingespannten Stabes i - kinfolge Belastung B; Sehnendrehung des Stabes 4- 5 infolge Einheitsverschiebung Ll I = 1;

Starreinspannmoment des Stabes 1-2 in Richtung J im Punkt 1 infolge P;

Endgültiges ~foment des Stabes 1-2 im Punkt 1 in Richtung 2 infolge Belastung B;

[.1116~5 0 0] 120000 0

o 46875

Steifigkeitsmatrix für Stab 1 - 2 im Knoten 1 bei Drehung des I\:notens 1 im q-System;

( ~~::~) +3.30

Endgültige Belastung des Knotens 1 infolge Belastung B durch Stab 1-2;

erster Index gibt die Wirkung, zweiter Index den Ort an; Querverteilungseinflußlinienordinate für den Träger 2 bei Last­stellung am Träger 1 für torsionsfreien Trägerrost;

Einflußlinie für das Moment im Punkt 5 des Trägers a, bei Laststellung auf Träger beines Trägerrostes.

Maßeinheiten, Dimensionen

In Bd. I A, S. 19, ist auf die Beziehungen zwischen den bisher üblichen technischen Maßsyste­men und den physikalischen Maßsystemen hingewiesen worden und es sind die Größen Kilopond [kp], dyn und Newton [KJ erläutert.

Mit Rücksicht auf die Einheitlichkeit der Bände 1 und II des Lehrbuches mit den vielen Zahlenbeispielen und mit H.ücksicht darauf, daß die Größen [kg] (Kilogramm) und [tl (Tonnen) aus der Praxis des Bauingenieurwesens noch nicht wegzudenken sind und die vorhandene Litera­tur des Bauingenieurwesens noch darauf basiert, ist es erforderlich, dieses Maßsystem auch beim 11. Band beizubehalten.

Nachfolgend werden jedoch tabellarisch die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Mall­systemen angegeben, so daß die Umrechnung bzw. Umbezeichnung vom einen System in das andere ohne Schwierigkeiten erfolgen kann.

XVIII We~ent1iche Bezeichnungen

Umrechnung von derzeit ilblichen technischen Maßsystemen in das SI-System

Belastungen, Schnitt­belastungen

Kraft

Moment

Spannungen, Festigkeiten, Moduli

Steifigkeiten

Bezeichnungen: k ~I

0,1 kg = 0,1 kp = 1 N 1 kg = 1 kp = 10 N

100 kg = 100 kp = 1 kN 1 t = 1 Mp = 10 kN

100t = 100Mp = 1 MN

0,1 kgm = 0,1 kpm = 1 Nm 1 kgm = 1 kpm = 10 Nm

100 kgm = 100 kpm = 1 kNm 1 tm = 1 Mpm = 10 kNm

100 tm = 100Mpm = 1 MNm

1 kg/cm2 = 10 t/m2 = 1 kp/cm2 = 0,1 N /mm2

10 kg/cm2 = 10 kp/cm2 = 1 N/mm2 = 1 MN/m2 = 1 MPa. 1 t/cm2 = 1 kp/cm2 = 100 N/mm2 = 100 MN/m2

1 t/m2 = 0,1 kg/cm2 =; 0,1 kp/cm2 = 10 kN/m2

1 kg cm2 = 1 kp cm2 = 0,1 N mm2

10 kg cm2 = 10 kp cm2 = 1 N mm2 = 1 MN m2

Kilo = 103 kg Kilogramm )Iega = 106 kp Kilopond

1 Pa = 1 X!m2 t Tonne

=" Newton Pa Pascal

Die obigen Angaben gelten in sehr guter Xäherung, da nach Bd. I A, S.19 die Beziehung gilt: 1 kp = 9,80665 N.

Einleitung

.-\us dem Kapitel I über Vektoren, Dyaden und Matrizen ist zu erkennen, daß es nur verhältnismäßig weniger Operationen bedarf, um große Bereiche der Statik ein­fachen schematischen Berechnungen zugänglich zu machen. Dies wird im Rahmen dieses Werkes mehrfach gezeigt. Die Beherrschung dieser )'laterie ist heute für einen Ingenieur eine Notwendigkeit.

Im Kapitel II wird zuerst eine zusammenfassende Darstellung der Zusammen­hänge zwischen Spannungen und Verformungen bei ebenen und räumlichen Span­nungszuständen und den zugehörigen Formänderungsarbeiten gegeben. Dies ist zum Verständnis des folgenden Abschnittes über die maßgeblichen Anstrengungshy­pothesen erforderlich. Letztere weichen in den Ergebnissen oft weit voneinander ab. Die eine oder andere kann für ein bestimmtes Material nur in gewissen Grenzen Gültigkeit haben oder überhaupt unbrauchbar sein. Verschiedentlich können in der Praxis kaum genau abschätzbare Einflüsse, wie Temperatur, Eigenspannungen, Dauerbeanspruchung, Belastungsgeschwindigkeit u. a. m. nur näherungsweise in ihren Auswirkungen auf die Materialanstrengung erfaßt werden. Gerade diese Fragen sind aber für den Ingenieur wesentlich, wenn er sich bei einer bestimmten Konstruktion und einem gegebenen Material über die erforderliche Sicherheit Rechenschaft geben will. Dieses Kapitel wird ihm einen Überblick über die auftretenden Probleme geben. Er wird daraus aber auch erkennen, daß die Genauigkeit über die Festlegung von zulässigen Spannungen bzw. Sicherheiten nicht allzu eng gehalten werden kann und daß die Einhaltung der Genauigkeit von wenigen Prozenten bei der Schnittbelastungs­berechnung demgegenüber wesentlich höher ist und damit nicht übertrieben werden soll. Abschließend folgt eine zusammenfassende Darstellung der Berechnung der Spannungen aus Normalkraft, Moment und Querkraft für gerade und gekrümmte Stäbe sowie für Voll- und Hohlquerschnitte.

Im KapitelIII werden zusammenfassend die Probleme der Torsion, und zwar sowohl für Reine Torsion als auch für Wölbkrafttorsion behandelt. Dies betrifft so­wohl die Berechnung der Schnittbelastungen als auch die der Schub- und Normal­spannungen. Von besonderer Bedeutung für eine einfache Berechnungsweise sind dabei die Näherungsberechnungen für Systeme mit Reiner Torsion und solche nur mit Wölbkrafttorsion. Die Kenntnis dieser Grundlagen sind Voraussetzung, um sicher in die oft schwierigen Probleme der Torsion eindringen zu können.

Das kurze Kapitel IV über Pfahlroste soll zeigen, wie einfach ein räumlicher Pfahlrost mit vielen Pfählen mit Hilfe der Dyadenrechnung erfaßt werden kann, und daß dieses Verfahren anderen älteren Methoden weit überlegen ist.

Kapitel V zeigt die Anwendung der Matrizenschreibweise auf ebene Systeme unter Zugrundelegung einerseits der Schnittbelastungsmethode und andererseits des Reduk­tionsverfahrens. Diese Verfahren weiten sicher den Blick des Ingenieurs, obwohl für ebene Systeme vielfach die Methoden des Bandes I bevorzugt werden dürften.

Für Rautensysteme nach Kapitel VI kann die normale Theorie der Gelenkfach­werke nicht Anwendung finden. Es handelt sich dabei um hochgradig statisch un­bestimmte Systeme, bei denen die Biegesteifigkeit der Gurte Berücksichtigung

xx Einleitung

finden muß. Solche Rautenfachwerke sind aber bei großen Stützweiten besonders wirtschaftlich. Die Entwicklungen zeigen, wie durch eine einfache Belastungsauf­teilung solche Systeme mit verhältnismäßig geringem Rechenaufwand erfaßt werden können.

Für eine sinnvolle Berechnung räumlicher Stabwerke, die in Kapitel VII behan­delt werden, ist die Anwendung der Matrizenrechnung - gleichgültig ob es sich um unverschiebliche oder verschiebliche Systeme handelt - eine notwendige Voraus­setzung. Zum Vergleich werden die Entwicklungen für die Schnittbelastungsmethode und die Deformationsmethode gebracht.

Während die erstere für die Berechnung von Raumträgern - unter der Annahme der Belastung in angenommenen Knotenpunkten - zweckmäßig ist, kann die Deformationsmethode für alle beliebigen Raumstabwerke mit Vorteil Anwendung finden. Letztere ist so weit aufbereitet, daß für ein gegebenes System schematisch das Gleichungssystem für die unbekannten Verfolmungsgrößenvektoren aufgeschrie­ben werden kann, mit Matrizen als Koeffizienten. Zur Bestimmung der Koeffizienten der einzelnen Matrizen bei Stäben mit verschiedenen möglichen Lagerungen der Stab­enden kann mit Vorteil auch Tabelle II A.2 von Bd. 11 B Verwendung finden. Auch die Koeffizientenmaüizen sind formelmäßig festgelegt, so daß eine elektronische schematische Rechnung durchgeführt werden kann.

Das Kapitel VIII über räumliche Fachwerke ist nur ein Sonderfall der Stabwerke. Unter Verwendung von Steifigkeitsmatrizen kann jedes beliebige Fachwerk, gleich­gültig welches Aufbauschema es besitzt, einfach schematisch berechnet werden.

Vielfach ist die Anwendung hochgradig statisch unbestimmter Trägerroste. Das zugehörige umfangreiche Schrifttum betrifft im wesentlichen Verfahren mit großem Rechenaufwand. In Kapitel IX werden überaus einfache Näherungsmethoden für torsionsfreie und torsionssteife Trägerroste behandelt, die nur einen minimalen Rechenaufwand erfordern. Auf jeden Fall können sie mit besonderem Vorteil für Vorberechnungen Anwendung finden. Mit Rücksicht auf die großen Reserven von Trägerrosten gegenüber Fließ- und Bruchuntersuchungen ist eine Genauigkeit von wenigen Prozenten bei den Näherungsmethoden in der Regel aber ausreichend, da alle anderen Berechnungsannahmen in weit größeren Bereichen schwanken.

Abschließend sind - auch in Ergänzung zu Band I - als Hilfe für die Durch­führung der Berechnungen, Tafeln für Kreuzlinienabschnitte, Auflagerdrücke und Einspannmomente von ebenen und räumlich beliebig belasteten Einzelträgern unter verschiedenen Lagerbedingungen, solche für Arbeitsintegrale und für Quervertei­lungseinflußlinien für Trägerroste vorgesehen.