Archly far Eiektrokechnik 64 (1982) 245--24(.) A r c h i v ft ir E l e k t r o t e c h n i k

�9 Springer-Vedag 1982

Kraft auf einen exzentrisch gelagerten Zylinder im Felde einer mehrpoligen Wechselstromwicklung

L. H a n n a k a m und E. Nolle, Berlin

1Jbersicht: Em leitender Zylinder ist exzentrisch in einer Sta torbohrung gelagert, die eine 2p-polige Wechselstromwick- lung mi t q Nuten pro Pol tr/igt. Die Materialeigenschaften des Zylinders und die Frequenz des erregenden Stromes sind so beschaffen, dab das resultierende magnet ische Feld tan- gential zur Zy)inderoberfl/iche verl/iuft. Aufgestellt w'erden ali- gemeine Beziehnngen fi~r die Kraf t auf den leitenden Zylin- der, die dann aus den Abmessungen der Anordnung berechnet werden kann. Die zentrierende Kraf t wird for p = 2 und q = 1 berechnet, wobei fiir den praktisch interessJerenden Fall kleb~er Luftspal te eine einfache und sehr genaue Naberungs- bezJehung angegeben wird.

Force on Cyl inder Placed Eccentrical ly in Field of a M u l t i - P o l e d A.C.-Coi l

Contents: A conducting cylinder is eccentrically placed in a stator-boring having A.C.-coil with 2p-pols and q slots per pol. The properties of the cylinder-material and the frequency of the exciting current are so selected tha t the resul tant magnet ic field is tangent ial to the cylinder-surface. General expressions for the force exerted by the conducting cylinder are developed which could be evaluated from the dimensions of the confi- guration. The centering force is calculated for p = 2 and q = 1, whereby for the case of practically interest ing small air-gap a very good and simple approximation for the force is also given.

1 Problemstel lung

Ein in axialer Richtung geschichtetes Blechpaket bildet den hoehpermeablen nicht Ieitenden Ring- k6rper des I3ildes t , dessen Innenbewandung in den Zylinderkoordinaten (9, cy, z) die Fl~iche 9 = a dar- stellt. Auf dieser ist eine 2p-polige Wicklung mit q Nuten pro Pol angeordnet, deren Leiter einen Wech- selstrom i(t) = I cos cot ftihren. Die str ichpunktierten Linien des for/5 =- 2 gezeichneten Brides I verlaufen jeweils durch die erste Nut eines Poles, wobei diese fur den ersten P o l k = 0 durch die Lage % festgelegt ist. In der Bohrung ist mit einer ExzentrizitXt e ein

t7"

leitender Zylinder des Durchmessers 2/) angeordnet, dessen Permeabilit/it mit der des Luf t raumes tiber- einstimmt. Seine Leitfiihigkeit und die Kreisfrequenz (~ des erregenden Stromes sind so geartet , dab das Eindringen des magnetisehen Feldes in das Zylinder- innere verhindert wird. Aufzustellen ist eine allge- meine Beziehung, mit der die auf den leitenden Zy- linder ausgeiibte Kraf t aus den Abmessungen der vorliegenden ebenen Anordnung bes t immt werden kann.

k=l \

~v=0

r k=2-" "~

\k=? B i l d 1, Festlegung der Bezeichnm~gen fflr eineu ]eitcndcn Zylinder, tier exzentrisch in der I3ohrung gelagert ist; die Erregung erfolgt dutch eine vierpolige Wechselstromwick- lung, die mit einer Nut pro Pol eingezeichnet ist

2 Das magnetische Feld

Fiir die analytische Betrachtung wird die vorliegende Anordnung in das bipolare Koordinatensystem (u, v, z) verlegt, die mit den kartesischen Koordinaten

0003-9039/82/0064/245/8 t.oo

246 Y.rchiv fiir Elekt ro technik 64 (~ 982)

(x, y, z) tiber die Beziehungen

x c sinh v Iu[ < z~ mit (~)

y ~o~h v -- cos ,~ sin u jvl ~ oo

verkni ipt t sin& Die Flgchen v = eonst stellen dann appollonische Zylinder dar, deren Brennlinien an den Stellen I x l - - c der x-Achse angeordnet sind. Die Zyl inder der Radien a und b werden dureh die Koord ina ten v = % und v = % erfaBt, die mittels der Beziehungen

c 2

sinh 2 v ~ - - (1 - -d ) s s inh 2v b = ~ =

1 - - 6 z - - - :d2 - d) ~ - : o ~] (2 )

4e z

aus den vorgegebenen Wer ten des bezogenen Luf t - spaltes ~ = (a - - b)/a und der bezogenen Exzentr iz i - t/it s = e/(a - - b) berechnet werden. Fiir die Rech- hung wird weiterhin die Koordinatendif ferenz v o -- = % -- % ben6tigt , die man aufgrund der Beziehung (2) wit folgt dutch die genann ten bezogenen Wer te ausdrticken kann"

sinh2 v~ -- 4 \1 - dJ [(2 -- (5) 2 -- e~c52j . (3)

Die s t romdurehf tossenen 2fig Nuten werden dureh Linienst r6me ( - - l ) I~ [ cos a# ersetzt, die auf dem Zyl inder ~ = a a n den Stellen

/en 2n k = 0 , ~, 2, . . . (215 - - ~1) = - - mit

~,a ~o + -~- + ;q ). o, ~, 2, ... (q - ~)

(4a)

angeordnet sind und somit in den eingefiihrten bi- polaren Koord ina ten auf dem Zylinder v = % die Lagen u~a mit

I + cosh v~ cos ~k2 COS ~tk2 - - coshv a + costpk~

und (4b) sinh v~ sin q)M

sin u~x cos]~ v~ --t---co~-~.:~z

einnehmen. Dami t wird des magnet ische Feld im Bereich v~ < v < v v zwischen den beiden genann ten Zylindern dureh das z-gerichtete Vektorpotent ia l

oo sinh ~z(% v)

/,,(u) = c~ cos (~) + S,, sin (~u)

beschrieben, wobei die Kons t an t en C,, und S~ aus den bezogenen Abmessungen (d, e) der Anordnung (2, 3) und den Leiterlagen (4) wit folgt berechnet werden :

Cn q--1 2p--1 COS - - V ! ; ( - - i ) : ' (~U~:.) ( 5 ) - - ~ s i n " ~n ).==0 k=0

3 B e s t i m m u n g d e r K r a f t w i r k u n g

Zur Berechnung dec Kraf t , die pro axiale L~tngen- einheit auf den Ieitenden Zylinder ausge/ibt wird, werden die an der Zylinderoberfl~tche v = G angrei- fenden Maxwellschen Spannungen herangezogen. Zu deren Bes t immung ist die Kenntn is der magnet i - schen Feldst~trke

[ oo c05t3, v b - - cos u H ( . . , t) = - - ..,~,E l = ~o~h (-~o) L , ( ~ ) c o ~ (,~t

an der Oberfl/iche des lei tenden Zylinders erforder- lich, die die in das Lei ter innere gerichtete Maxwell-

# H 2 ( u , t) ergibt. Mithin erhfilt man sche Spammng fiir den zeitliehen Mittelwert F~ der x -Komponen te und ];'y der y - K o m p o n e n t e der gesuehten Kraf t die Beziehungen

1' , :~,i~ (1 -- cosh G cos u) /.(u) du . Icy 4~2c ( - - s i n h Vb$in U) uzat cosh (nv0)

Nach Ausft ihrung der In tegra t ion kann man die bei- den Komponen ten der Kraf t wie folgt durch (tie in (5) angegebenen Kons t an t en C,~ und S,,. sowie du tch die Koord ina tenwer te (v o, %) nach (2, 3) ausdriieken und somit in ver langter Fo rm als Funk t ionen der Abmessungen der Anordnung darstel len:

(G) ~.~ C n S n ~ 1 - - S n C u + I

#[2 sinh G2..=1 coshi~Tv~cosh (n+ 1) v o F t ' - - -- 4 ~

Die Vielzahl der Sys temparameter , nfi.mlich

der Radien a und b sowie der Exzentr izi t / i t e, der Polpaarzahl p, der Anzahl q der Nuten pro Pol und der Winkellage F0

ersehwert die Wiedergabe der nach den Beziehungen (6) berechneten Kra f tkomponen ten . Aus diesem Grunde werden diese nur fiir den Fall p = 2 und q -- I angegeben, dem die in Bild t dargestel l ten vier erregenden Leiter entspreehen. Mithin geniigt es aus Symmetr iegri inden, die Kra f twi rkung fib" den Win- kelbereieh 0 ~ % ~ n/2~5 = a /4 anzugeben. Die be- rechnete Kra f t wird auI den Wer t F 0 -- #I2/4:rtt be- zogen, der der Kraf t zwisehen zwei im Abs tand 2a angeordneten Linienst r6men ] entspricht . Bild 2 zeigt in einfaeh-logari thmischer Dars te l lung die Ab- h~ingigkeit der beiden bezogenen Kra f tkomponen ten F J F o und b~/F o v o n d e r Winkellage % mit der be- zogenen Exzentrizit~it ea i s Parameter . Ftir den Luf t - spalt wurde der kleine bezogene Wer t d = 0,01 ge- w~ihlt, auf den im n~tehsten Abschni t t noch n~iher eingegangen wird. Beide Kra f t komponen t en weisen

L. H a n n a k a m und E. Nolle: Is auf einen exzentrisch gelagerten Zylinder im Felde einer VVechselstromwicklung

~b

10 ~" ~ , ,

I ~ l e--I],gg

10 - - 0 , i ,

I

!

/ 10-

0,1

2 O ~ 15 o 3 0 ~ 4 5 ~ 0 ~ 15 o 3 0 " 4 5 ~

Bi ld 2 a u n d b. Abhfmgigkeit der auf den leitenden Zylinder des Brides I ausgeflbten bezogenen Kra f tkomponen ten F x / F o

und F y / F o yon der ~Vinkellage ~0 mit der bezogenen Exzen- trizit~t ~" als Pa ramete r bei einem bezogenen Luf t spa l t d 0,01

10 ~

10 ~

I I0

10 0 0,5 ]

m

Bild 3. Abh/ingigkeit der auf dell ]eitenden Zylinder des Bil- des I bei einer Winkellage (Po -- 0 ausgeflbten bezogenen x- gerJchteten Kraf t F x / F o v o n d e r bezogenen Exzentr]zi t~t e m i t dem bezogenen Luf t spa l t 6 als Pa ramete r

247

positive Werte auf, so dab auf den leitenden Zylinder eine zentrierende Kraft ausgeiibt wird. U m welter- bin aueh noch den Einflufi des Luftspaltes auf die zentrierende Kraft aufzuzeigen, wurde diese in Bild 3 in Abh~ingigkeit von der bezogenen Exzentriziti it mit dem bezogenen Luftspalt c~ als Parameter ftir die Winkellage ~0 -- 0 dargestellt, bei der wegen Fy = 0 nur eine x-gerichtete Kraft F = F~ tibrig bleibt.

4 Der Fall k le iner Luftspal te

Ftir die praktisch interessierenden kleinen bezogenen Luftspalte ~ t liegen aufgrund der Beziehung (3) kleine Koordinatenwerte v 0 ~ t vor, so dab die Summen in den Kraftausdriicken (6) wegen der schlechten Konvergenz mit einer sehr hohen Glieder- zahl n ausgewertet werden mtissen. Mithin ist das Verlangen nach einer N~therungsbeziehung verst~tnd- ]ich, die fiir diesen praktisch interessierenden Luft- spaltbereich die Kraftberechnung ohne Auswertung der genannten Summen erm6glieht.

)'I ~ \ \ \ \ \ / \ \ \\ J~

/ \ \ l r ~;~.5

\" "'i \\\4/~ \ \ \ \

Bild 4. Ersetzen der Zylinder v = v a und v = v b inl Fal] kleiner Luftspal te dutch die Ebenen ~ - - 0 und ~e __ h des kartesischen Koordina tensys tems (~, ~, z) mi t dem Ursp rung I3 anf dem Zylinder v = %, wobei die g b e n e r/ O senkrecht

auf dem Radius M b B des Zylinders v v b s teht

Den Ausgangspunkt ftir die Auffir~dung einer NS~herungsl6sung bildet die Tatsache, dab der auf dem hochpermeablen Zylinder v = v~ aufliegende Linienstrom Ii~ des Brides 4 bei kleinen Luftspalten die ZylinderflSoche v = %, durch die voraussetzungs- gemfil3 kein magnetiseher FluB hindurchdringen darf, in sehr kleinen Entfernungen vorfindet. Daher wird das resultierende Luftspaltfeld immer nur in der un- mittelbaren Umgebung der erregenden StrSme I k einen wesentlichen Beitrag aufweisen. Dies bedeutet,

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d a b ein L i n i e n s t r o m I~ auf den l e i t enden Zy l inde r v = % eine K r a f t aus i iben wird, die al lein durch das von ihm erzeugte magne t i s che F e l d he rvorge ru fen wird. Da somi t e inersei ts der L u f t s p a l t klein is t und die F e l d a u s b i l d u n g andere r se i t s nur in u n m i t t e l b a r e r U m g e b u n g des e r regenden S t romes I~ s t a t t f i n d e t , kann m a n nach E in f i ih rung des ka r t e s i schen Koord i - n a t e n s y s t e m s (~, r], z) mi t dem U r s p r u n g B den l e i t e n d e n Zy l inde r v = % durch die E b e n e ~ = 0 ersetzen, so dab die hochpe rmeab l e B e w a n d u n g v - - G zur E b e n e ~ = h wird, auf der s ich an der Stel le r] = 0 der e r regende L i n i e n s t r o m I~, bef indet . Durch die Ebene ~ = 0 daf t dann vorausse t zungs - gemgl3 kein m a g n e t i s c h e r FluB h indurchdr ingen , w~ihrend an der h o c h p e r m e a b l e n Ebene ~ - - h keine T a n g e n t i a l k 0 m p o n e n t e der magne t i s chen Feldst~irke au f t r e t en darf .

L 21 1 --G | 5h -3h 3h 5h

l Bi ld f . Anordnung der alternierenden gquidistanten Folge von Linienstr6men, die auf der Ebene $ -- 0 keine Normal- komponente und auf der Ebene $ - h keine TangentiaI- komponente der magnetischen Feldst/irke verursachen

Die in Bi ld 5 da rges te l l t e a l t e rn ie rende Folge von L in iens t r6men _ 2 I , die in den g q u i d i s t a n t e n Ab . s t / inden 2h angeo rdne t sind, erft i l len die eben er- w~ihnten F o r d e r u n g e n : S t r6me en tgegengese tz t en Vorzeichens s ind zur E b e n e ~e = 0 s y m m e t r i s c h an- geordne t und rufen in dieser keine N o r m a l k o m p o - nen te der Fe ld s t~ rke hervor , so dab durch die Ebene

= 0 kein magne t i s che r F l u g h i n d u r c h t r i t t . Gleich- s innig ge r ich te te S t r6me s ind zur E b e n e ~e = h sym- me t r i s ch angeordne t , so dab in dieser keine Tan- 9~o Fz/F~ g e n t i a l k o m p o n e n t e der Feldst~irke au f t r e t en kann. nach (6) Mithin rufen die E r s a t z s t r 6 m e des Bi ldes 5 in der Ebene ~ 0 eine magne t i s che Feldst~trke o ~ 9947,678

5 ~ 7165,o7o 2f oo (_I)i+ I (2i -- I) h 2 I0 ~ 3g62,614

Hn(0, r],t) =~7~ cOs~ ~-a r127(2~7_;)~hz = t5 ~ 2t53, I96 i = l

2O ~ t 3 t 0 , 5 3 7

(I/2h) cos cot 25 ~ 865,388 = - -~o,~--/-(~-;~)2a) 3 0 ~ (,~ 6 , 4 2 s

35 ~ 475,76t hervor . D a h e r wi rd sich auf der E b e n e ein ~-gerich- 4o ~ 403,t39 t e t e r Maxwel l scher S p a n n u n g s v e k t o r e instel len, des- 45~ 380,603

sen ze i t l icher Mi t t e lwer t durch die Bez iehung 2~

H~(O, r], t) d(eot) =- p I 2 4h cosn 2~} T ('f}) --- 4 . " r

0

gegeben ist. W i r d dieser yon ~ -=- - -oo bis r] = oo in tegr ie r t , so erh~tlt man ftir die auf die Ebene ~ = 0 in pos i t ive r ~:-Richtung ausget ib te K r a f t pro axia le L{tnge der K o o r d i n a t e z die Bez iehung

oo

F~ = 2 I T ( r ] ) d~ - - - ~ 4 ~ h '

'0

Die K r a f t F , e r fghr t somit , in R i c h t u n g wachsende r K o o r d i n a t e n w e r t e ~, der le i tende Zy l inde r v = v b in- folge eines L in iens t romes Ik, der sich an der Stel le

= ~G des Zy l inde r s v = z,~ bef indet . Mithin w i rk t auf den l e i t enden Zy l inde r eine K r a f t F~ cos,pk in x - R i c h t u n g und eine K r a f t F~ sin ~0 k in y - R i c h t u n g , wobei der Geomet r i e des Bi ldes 4 die Z u s a m m e n - hf.nge

( h + b) c o s ~ G = e + a c o s q G und ( h + b ) siny&==

- - a sin ~,

(b + h) ~ = a ~ + e ~ + 2ae cos g~k

e n t n o m m e n werden k fnne n . Z u s a m m e n f a s s e n d kann m a n also aussagen, dab der l e i tende ZyI inder des Bi ldes I mi t p 2 und q = t bei k le inen bezogenen L u f t s p a l t e n ~ t die fo lgenden bezogenen K r a f t - k o m p o n e n t e n e r fghr t :

a @ sin cp~ + k F ~ / F o = _ ~ o

f f y / F o k=0 ml~(m ~ + d -- t) (.7)

m,~.2 = I 7: (eb)2 + 2(e6) c o s ( ~ o + k 2 )

3[ag das ve rw e nde t e N~therungsverfahren auch an- fangs e twas w a g e m u t i g erscheinen, so g a r a n t i e r t doch der Erfo lg die A n w e n d b a r t k e i t der wesent l ich e infacheren K r a f t b e z i e h u n g (7), den m a n durch Gegen i ibe r s t e l lung der nach (6) und (7) be rechne ten K r a f t k o m p o n e n t e n bei e inem bezogenen L u f t s p a l t 6 = 0,0t fiir die ungi ins t ige hohe Exzentr izi t f i , t

e = 0,99 fes t s t e l l t :

F flFo

nach (7) nach (6) nach (7)

9947,778 -- 7165,089 615,963 615,963 3862,633 652,549 652,549 2153,2t4 526,940 526,940 t310,555 401,762 401,762 865,406 297,455 297,455 6t6,443 210,277 210,277 475,779 1 3 4 , 5 6 0 t34,560 403,157 65,688 65,688 380,662 --

L. H a n n a k a m u n d E. Nolle: K r a f t auf e inen exzen t r i sch ge lager ten Zyl inder im Felde einer W e c h s e l s t r o m w i c k l u n g 249

5 Zusammenfassung

Die bet rachte te ebene Anordnung wird in die bi- polaren Koordinaten (u, v, z) verlegt, in denen der exzentrisch gelagerte leitende Zylinder und die Innenseite der Statorbohrung durch verschiedene Fl~ichen v = const erfal3t werden. Das sich somit er- gebende magnetische Randwer tproblem wird gel6st, so dab das sich resultierend einstellende Luftspal t - feld bekannt ist. Die auf den leitenden Zylinder wir- kende Kraf t wird durch Integra t ion der Maxwell- schen Spannungen iiber die Zylinderoberfl/iche ge- funden. Dadurch erllgtt man atlgemeine Beziehun- gen, mit denen die auf den leitenden Zylinder wir- kenden beiden Kraf tkomponenten aus den Ab- messungen und Wickeldaten der Anordnung berech- net werden k6nnen. Die Auswertung wird fiir eine

vierpolige Anordnung vorgenommen, wobei die Ab- h~ingigkeit der zentrierenden Kraf t yon den System- parametern graphisch dargestellt wird. Fiir den praktisch besonders interessierenden Fall kleiner Luftspal te wird eine einfache und sehr genaue N~ihe- rungsbeziehung angegeben, die die Berechnung der Kraf t mit Hilfe eines kleinen elektronischen Ta- schenrechners erm6glicht.

Efngegauge~z am 30. Jauuar .~98I

Prof . Dr . - Ing . habii . L. H a n n a k a m Dr . - Ing . ]E. Nolle I n s t i t u t ftir Theore t i s che E | e k t r o t e e h n i k der T e c h n i s c h e n Unive r s iE i t Berl in E ins t e inu fe r 25 D-1000 Berl in 10