Metrologie Wissenschaft und Technik des Messens

ETH Zürich, Schweiz Institut für Dynamische Systeme und Regelungstechnik

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Modul Kreuzkorrelationsfunktion bei Leistungssignalen Karl H. Ruhm

Inhalt Einleitung 1 1 Aufgaben 1 2 Annahmen 2 3 Vorgehen 2 4 Definitionen 2 5 Eigenschaften bei typischen Verschiebungswerten 2 6 Zusammenhang Kreuzkorrelationsfunktion / Kreuzkovarianzfunktion 3 7 Bezogene Kreuzkorrelationsfunktion / Kreuzkovarianzfunktion 3 8 Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion / Kreuzkovarianzfunktion 3 9 Anwendungen 4

Schlüsselwörter Leistungssignal, Energiesignal, Kreuzkorrelationsfunktion, Kreuzkovarianzfunktion, Übertragungsverhalten

Kurzbeschreibung Normalerweise interessiert man sich für die Beziehungen mehrerer Signale, insbesondere auch für die zeitli-chen und örtlichen Beziehungen. Dafür sind die Kreuzkorrelationsfunktionen geeignet. Sie werden hier für den Zeitbereich in Anlehnung an die Ableitung der Autokorrelation entwickelt. Die Kreuzkorrelationsfunktio-nen sind insbesondere für die Charakterisierung von Prozessen beziehungsweise Systemen interessant.

Einleitung Gemeinsame Eigenschaften einzelner Signale (Elemente eines Signalvektors) werden durch einzelne Kenn-werte und Kennfunktionen (Verbund- und Kreuzkennwerte, Verbund- und Kreuzkennfunktionen) durch die Signaltheorie beschrieben (Zusatz → Modul "Kennwerte und Kennfunktionen als Signale").

Kreuzkorrelationsfunktionen beschreiben das zeitliche oder örtliche Verhalten zweier oder mehrerer Variab-len. Diese Beschreibungsmöglichkeit gilt sowohl für deterministische Signale, für die wir die Korrelationsfunk-tionen sogar analytisch bestimmen können, als auch für Zufallsvariable, wobei aus erhobenen oder gemes-senen Daten Schätzungen der Kreuzkorrelationsfunktionen bestimmt werden. Die einem Zufallsprozess zu-geordneten Erwartungen erhalten wir allerdings auf diesem Wege wegen des unendlichen Aufwandes nie.

In den folgenden Abschnitten betrachten wir die zeitlichen Abhängigkeiten. Die örtlichen Abhängigkeiten können wir durch Umschreiben der erhaltenen Resultate erzeugen.

1 Aufgaben Im nächsten Schritt wollen wir die zeitlichen Beziehungen zweier Signale x1(t) und x2(t) durch Korrelation un-tersuchen.

R (τ)1,2

x (t)

x (t)1

2

= x(t)

B02

81 R (τ)y,u

u(t) y(t)

Prozess P

Korrelator C

Prozess P

Korrelator C

oder ideale Messung

2

Vergleicht man zwei zeitlich variierende Signale (Eingangs- und Ausgangssignal eines dynamischen Sys-tems), so spricht man von der Kreuzkorrelationsfunktion (KKF; cross correlation function, CCF). Vergleicht man zwei gleichartige zeitlich variierende Signale (zum Beispiel zwei Ausgangssignale eines dynamischen Systems), so spricht man von der Verbundkorrelationsfunktion (VKF; joint correlation function, JCF).

2 Annahmen Es sind kontinuierliche und diskrete Zeitverläufe (Zusatz → Modul "Kontinuierliche und diskrete Signale") sowie deterministische und nichtdeterministische Zeitverläufe (Zusatz → Modul "Deterministische und nicht-deterministische Signale") zugelassen. Da wir hier Mustermittelungen betrachten (Zusatz → Modul "En-semble und Muster von Signalen"), sind stationäre Signale vorausgesetzt (Zusatz → Modul "Stationäre, Nichtstationäre Signale"). Zudem behandeln wir hier die Kreuzkorrelationsfunktionen von Leistungssignalen (Zusatz → Modul "Leistungssignale und Energiesignale", Zusatz → Modul "Kreuzkorrelationsfunktion bei Energiesignalen").

3 Vorgehen Die Kreuzkorrelations- beziehungsweise Kreuzkovarianzfunktion diskreter oder kontinuierlicher, stationärer Signale x1(t) und x2(t) lassen sich entsprechend dem Vorgehen bei der Autokorrelationsfunktion bezie-hungsweise Autokovarianzfunktion ableiten (Zusatz → Modul "Autokorrelationsfunktion bei Leistungssigna-len"). Der Unterschied liegt nur darin, dass jetzt zwei verschiedene Signale gegeneinander verschoben und anschließend (verbund-)gemittelt werden (Zusatz → Modul "Verbundmittelung an zwei und mehr Variablen").

Die Ergebnisse bei der Autokorrelations- beziehungsweise Autokovarianzfunktion sahen für den kontinuierli-chen Fall folgendermaßen aus:

Definition: Kontinuierliche Autokorrelationsfunktion Rxx(τ)

B

BB

tM 2

xx t B t t

1R ( ) x(t)x(t ) lim x(t)x(t )dt [x ]t

+

→∞=−

τ = + τ = + τΔ ∫M

beziehungsweise

Definition: Kontinuierliche Autokovarianzfunktion Cxx(τ)

B

BB

tM 2

xx x x x xt B t t

1C ( ) (x(t) )(x(t ) ) lim (x(t) )(x(t ) )dt [x ]t

+

→∞=−

τ = −μ + τ −μ = −μ + τ −μΔ ∫M

4 Definitionen Hieraus können wir sofort auch die Definitionen der Kreuzkorrelationsfunktionen anschreiben:

Definition: Kreuzkorrelationsfunktion R1,2(τ)

B

BB

tM

1,2 1 2 1 2 1 2t B t t

1R ( ) x (t)x (t ) lim x (t)x (t )dt [x x ]t

+

→∞=−

τ = + τ = + τΔ ∫M

Definition: Kreuzkovarianzfunktion C1,2(τ)

B

BB

tM

1,2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2t B t t

1C ( ) (x (t) )(x (t ) ) lim (x (t) )(x (t ) )dt [x x ]t

+

→∞=−

τ = −μ + τ −μ = −μ + τ −μΔ ∫M

5 Eigenschaften bei typischen Verschiebungswerten a. τ = 0:

R1,2(0) = Mx1(t) x2(t) = R1,2 [x1x2]: Korrelationswert (mittlere Gesamtverbundleistung)

C1,2(0) = M(x1(t) – μ1)(x2(t) – μ2) = C1,2 [x1x2]: Kovarianzwert (mittlere Verbundleistung der Wechsel-anteile)

Die Werte bei τ = 0 sind normalerweise keine Maximalwerte der Funktion im Gegensatz zur Autokorrela-tionsfunktion und Autokovarianzfunktion.

b. τ → ∞:

Auch Kreuzkorrelationsfunktionen klingen mit Ausnahme bei Gleichanteilen und bei periodischen Antei-len auf das Produkt der Mittelungswerte beziehungsweise auf Null ab.

3

c. τ beliebig:

0 ≤ |R1,2(τ)| ≤ μ1μ2 beziehungsweise 0 ≤ |C1,2(τ)| ≤ μ1μ2

Grenzfälle: Bereits wenn eine der Variablen mittelwertfrei ist, sind Kreuzkovarianzfunktion und Kreuzkor-relationsfunktion gleich:

R1,2(τ) = C1,2(τ) [x1x2], falls μ1 = 0 und / oder μ2 = 0

Zwei Signalverläufe x1(t) und x2(t) sind zeitlich unkorreliert, wenn ihre Kreuzkovarianzfunktion C1,2(τ) für alle Werte der Verschiebungszeit τ gleich Null ist. Bei der Kreuzkorrelationsfunktion bleibt für diesen Fall das Produkt der Einzelmittelungswerte übrig, sie ist also eine Konstante über den ganzen Wertebereich der Ver-schiebungszeit τ.

Definition: Zeitliche Unkorreliertheit R1,2(τ) = μ1 μ2 oder Mx1(t) x2(t + τ) = Mx1(t) Mx2(t), falls C1,2(τ) = 0

6 Zusammenhang Kreuzkorrelationsfunktion / Kreuzkovarianzfunktion Der Zusammenhang zwischen der Kreuzkorrelationsfunktion und der Kreuzkovarianzfunktion besteht über das Produkt der beiden arithmetischen Mittelungswerte (Verbundsignalleistung der Gleichanteile).

Definition: Kreuzkorrelationsfunktion / Kreuzkovarianzfunktion

R1,2(τ) = μ1μ2 + C1,2(τ) [x1x2]

7 Bezogene Kreuzkorrelationsfunktion / Kreuzkovarianzfunktion Bei den Kreuzfunktionen wird auf das Produkt der jeweiligen Einzelkennwerte bezogen (Zusatz → Modul "Bezogene Autokorrelationsfunktion bei Leistungssignalen"). Es entstehen die bezogene Kreuzkorrelations-funktion und die bezogene Kreuzkovarianzfunktion.

Definition: Bezogene Kreuzkorrelationsfunktion r1,2(τ)

1,2 1,21,2 1,2

1 21,1 2,2

R ( ) R ( )r ( ) [ ] mit 1 r ( ) 1

R (0)R (0)τ τ

τ = = − − ≤ τ ≤ +ψ ψ

Definition: Bezogene Kreuzkovarianzfunktion c1,2(τ)

1,2 1,21,2 1,2

1 21,1 2,2

C ( ) C ( )c ( ) [ ] mit 1 c ( ) 1

C (0)C (0)τ τ

τ = = − − ≤ τ ≤ +σ σ

Definition: Zusammenhang

bezogene Kreuzkorrelationsfunktion / bezogene Kreuzkovarianzfunktion ψ1ψ2 r1,2(τ) = μ1μ2 + σ1σ2 c1,2(τ) [x1x2]

8 Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion / Kreuzkovarianzfunktion 1. Kreuzkorrelationsfunktion R1,2(τ) und Kreuzkovarianzfunktion C1,2(τ) beschreiben die mittlere Erhaltungs-

tendenz des zeitlichen Verlaufs zweier zeitlich korrelierter Signale x1(t) und x2(t).

2. Die Kreuzkovarianzfunktion zweier zeitlich unkorrelierter Signale ist Null.

3. Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzkovarianzfunktion von Leistungssignalen besitzen die Einheit der Signalverbundleistung: [x1x2].

4. Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzkovarianzfunktion sind weder gerade noch ungerade Funktionen, sie sind schiefsymmetrisch bezüglich vertauschter Indizes (Zusatz → Übungsaufgabe "Kreuzkorrelati-onsfunktion, Kreuzkovarianzfunktion"):

R2,1(τ) = R1,2(–τ) beziehungsweise C2,1(τ) = C1,2(–τ) (Zusatz → Übungsaufgabe "Kreuzkorrelationsfunkti-on").

Deshalb ist es wichtig, in welche Richtung die Verschiebungszeit gewählt wird. Normalerweise gilt: R1,2(τ) ≠ R2,1(τ) beziehungsweise C1,2(τ) ≠ C2,1(τ).

4

9 Anwendungen Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, die Kreuzkorrelationsfunktion in der Praxis anzuwenden. Drei Hauptberei-che treten besonders hervor:

• Bestimmung der Laufzeit oder Geschwindigkeit in Transportsystemen jeglicher Art (Zusatz → Beispiel "Leckstellenortung durch Kreuzkorrelationsfunktionen").

• Bestimmung der spektralen Übertragungsfunktion g(f) dynamischer Systeme im Frequenzbereich über die Fourier-Transformation der Kreuzkorrelationsfunktion (Zusatz → Modul "Frequenzanalyse von Signa-len – Qualitative Beschreibung"; Zusatz → Modul "Faltung und Korrelation und die Fourier-Transformation").

• Bestimmung der zeitlichen Übertragungsfunktion g(t) dynamischer Systeme (Einheitsimpulsantwortfunk-tion) (Zusatz → Modul "Beschreibung gestörter Totzeitsysteme durch Kreuzkorrelationsfunktionen").

Ein weiterer, wichtiger Bereich der Anwendung von Kreuzkorrelationsfunktionen im Ortbereich bei der Mus-tererkennung (pattern recognition), bei der vorgegebene Muster mit variierten (geänderten, gestörten, ge-schädigten) Mustern verglichen (korreliert) werden.

(Zusatz → Stichwortliste "Korrelation")

(Zusatz → Symbolliste "Signal- und Systemtheorie")

Zitieren Beziehen Sie sich auf dieses Dokument durch folgenden Zitiermodus: Ruhm, K. H.; Kreuzkorrelationsfunktion bei Leistungssignalen Internet-Portal "Wissenschaft und Technik des Messens"; Dokument: http://www.mmm.ethz.ch/dok01/d0000179.pdf Andere Versionen Es existiert eine englische Version dieses Dokuments: d0000XXX Änderungen Rev. Datum Änderung 00 27.11.2003 Erstausgabe 01 21.02.2007 Kleinere Anpassungen