KW Axhausen IVT ETH Zürich · Generalisierte Kosten des Verkehrs Summe der entscheidungsrelevanten und subjektiv gewichteten Ressourcenverbräuche und Bedingungen der Fahrten: •

Entscheidungsmodelle

KW Axhausen

IVT ETH Zürich

Frühlingssemester 2018

Literaturhinweise

Schnabel / Lohse: Kapitel 10.6.4.4

Ortúzar / Willumsen: Kapitel 8.4.1

König, A. (2005) Entscheidungsmodelle in der Verkehrsplanung, Materialien zur Vorlesung Verkehrsplanung, IVT, ETH, Zürich.

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Heute

•  Ansätze für Entscheidungsmodelle

•  Idee der Schätzung

•  Maximum Likelihood

•  Logit - Modell

•  Eigenschaften des Logit-Ansatzes

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Wo befinden wir uns thematisch?

Orientierung im Vier-Stufen-Modell

1)  Verkehrs-Erzeugung (Einwohner, Arbeitsplätze)

2)  Verkehrs-Verteilung (Quell-Ziel Matrix)

3)  Verkehrs-Mittelwahl (Zu Fuss, PW, ÖV etc.)

4)  Routenwahl, Umlegung (-> Belegung von Strassen/ÖV)

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Aufgabe

Verstehen von Verkehrsverhalten unter heutigen Bedingungen

und

Vorhersagen von Verhaltensänderungen unter zukünftigen Bedingungen

das heisst

Analyse der Entscheidungen der Verkehrsteilnehmer

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Was haben wir zur Verfügung?

Tatsächliches Verhalten:

Querschnitt:

•  Beobachtung heutigen Verhaltens (RP) •  Befragung zum heutigen Verhalten (RP)

Längsschnitt:

•  Vergleich von früherem und heutigem Verhalten

Hypothetische Märkte:

•  Befragungen zu möglichem künftigen Verhalten (SR/SP)

Jeweilige Beschreibung der Entscheidungssituation

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Beispiel: IV- und ÖV-Nutzung in einem Korridor

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Beispiel: IV- und ÖV-Nutzung in einem Korridor

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Was brauchen wir?

•  Funktionalen Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit einer Entscheidung (Einzelperson)/ Verteilung der Entscheidungen (Gruppen) und den erfragbaren (vorhersagbaren) Einflussgrössen

Pi(j) = f(Xik)

Pi(j) Wahrscheinlichkeit von Alternative j für Person i Xik Einflussgrössen der Entscheidungssituation k für Person i mit den Alternativen 1 bis n

•  Konsistenz mit unserem Verständnis menschlicher Entscheidungsprozesse

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Entscheidungsprozess

Auswahl der besten unter den verfügbaren Alternativen"

Nein"Entscheidung notwendig"

Ja"

Unmittelbare Entscheidung"notwendig" Nein"

Akzeptable Alternativen" bekannt"

Akzeptable Alternativen" bekannt"

Konstruktion neuer"Alternativen mit dem"vorhandenen Wissen"

Ausreichend lange"Suche nach neuer "Information"Konstruktion neuer"Alternativen mit dem"vorhandenen Wissen"und der "neuen Information"

Nein"Nein"Ja" Ja"

Ja"

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Entscheidungsregel: Lexiographisch

Schritte:

1) Reihung der Kriterien und ihrer Ausprägungen

2) Solange mindestens zwei Alternativen gleich gut sind, verwende das nächstwichtigste Kriterium, um die beste Alternative zu bestimmen.

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Schritt 1)

Beispiel: Kriterien

Alter- A B C D native

1 4 4 2 1 2 4 4 0 6 3 4 2 3 2 4 3 1 5 4

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Schritt 2a)

Beispiel: Kriterien


1 4 4 2 1 2 4 4 0 6 3 4 2 3 2 4 3 1 5 4

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Schritt 2b)

Beispiel: Kriterien


1 4 4 2 1 2 4 4 0 6 3 4 2 3 2 4 3 1 5 4

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Schritt 2c)

Beispiel: Kriterien


1 4 4 2 1 !! 2 4 4 0 6 3 4 2 3 2 4 3 1 5 4

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Entscheidungsregel: Nicht-linear

Beispiel: Kriterien


1 4 4 2 1 2 4 4 0 6 3 4 2 3 2 4 3 1 5 4

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Beispiel: Kriterien βi = 1

Alter- A B C D Ergebnis native

1 4 4 2 1 2 4 4 0 6 3 4 2 3 2 4 3 1 5 4

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1 4 4 2 1 32 2 4 4 0 6 0 3 4 2 3 2 48 4 3 1 5 4 60 !!

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Entscheidungsregel: Linear

Beispiel: Kriterien


1 4 4 2 1 2 4 4 0 6 3 4 2 3 2 4 3 1 5 4

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1 4 4 2 1 2 4 4 0 6 3 4 2 3 2 4 3 1 5 4

21




1 4 4 2 1 11 2 4 4 0 6 14 !! 3 4 2 3 2 11 4 3 1 5 4 13

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Statistische Modellierung: Abstrakt

•  Hilfsmittel zur Erkennung von Strukturen

Struktur ∼ Modellform, Einflussgrössen und deren funktionale Form,

Parameter der Einflussgrössen

•  Ziel ist die Abbildung der Messungen mit kleinstmöglichem Fehler (abhängige Variable y)

•  Ziel ist die Einbeziehung der geringst möglichen Anzahl von Einflussgrössen (unabhängige Variablen x) (Occam‘s razor)

•  Verwendung von theoretisch begründbaren Modellformen, wo immer möglich.

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Statistische Modellierung: Konkret

•  Bestimmung der relevanten Alternativen

•  Identifikation der Einflussgrössen •  Haushalt, Person, Fahrzeug •  Entscheidungssituation (Tag, Reise, Fahrt/Weg) •  Variablen der Alternativen

•  Entscheidungsregel(n) •  Deterministisch •  Stochastisch

•  Bestimmung der Parameter βi der Einflussgrössen

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Generalisierte Kosten des Verkehrs

Summe der entscheidungsrelevanten und subjektiv gewichteten Ressourcenverbräuche und Bedingungen der Fahrten:

•  Elemente der Reisezeit (di,RZ) •  Reisezeit, Wartezeit, Zugangszeit etc. •  Geplante Verfrühungen und Verspätungen (di,früh, di,spät)

•  (Subjektiv entscheidungsrelevante) monetäre Kosten (mimr)

•  Komfort (cimr)

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Beispiel Verbindungswahl: Elemente des Zeitverbrauchs

IV" ÖV"

Zugangszeit zum Fahrzeug" Zugangszeit zur ersten Zugangsstelle"

Rüstzeit" Fahrscheinerwerb"

Wartezeit"

Fahrzeit inclusive Pausen und Fahrzeug weschsel"

Fahrtzeit inclusive Haltezeiten, Umsteigen und Umsteigezeiten"

Abgangszeit zum Ziel"

Geplante Verfrühung/Verspätung"

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Beispiel Verbindungswahl: Verfrühung/ Verspätung

Tatsächliche Ankunftszeit

Geplante Anfangszeit der Aktivität

Generalisierte Kosten

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Beispiel Verbindungswahl: Verfrühung/ Verspätung




= Fahrplanankunft

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Beispiel Verbindungswahl: Verlässlichkeit




= Fahrplanankunft

= Ankunftsverteilung

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Beispiel Verbindungswahl: Verlässlichkeit




= Fahrplanankunft

= Ankunftsverteilung

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Beispiel Verbindungswahl: Elemente der Kosten

Art IV ÖV Feste Alter abhängige Monats- oder

Jahreskarte Abschreibung Halbtaxabo Steuer, Versicherung Abstellplatz/plätze (Beiträge)

Vermeidbare Kraftstoff Einzelfahrschein Mauten, Parkgebühren Reifen, Instandhaltung Reparaturen Gebrauchsabhängige Abschreibung (Miete)

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Beispiel Verbindungswahl: Elemente des Komfort

IV ÖV

Fahrstress Aufenthaltstress

Unfallrisiko

Gefährdung durch Verbrechen

Umgebungsqualität

Komfort des Fahrzeugs

Fahrkomfort

Informationsdichte und –qualität

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Logit-Modell

Grundannahme über den Nutzen Ujq der Alternative j für Person q:

Ujq = U(Xkjq) = η V(Xkjq) + εjq

V(Xkjq) Systematisch beschreibbarer Anteil

εjq Nicht systematischer, d.h. persönlicher oder nicht

beschriebener Anteil

V(Xkjq) = β0j + ∑ βk‘‘j pk‘‘q + ∑ βk‘j sk‘q + ∑ βkj xkjq

β0j Konstante für Alternative j pk‘‘q Eigenschaft k‘‘ = 1...m‘‘ der Person q sk‘q Eigenschaft k‘ = m‘‘+1...m‘ der Situation der Person q xkjq Eigenschaft k = m‘+1...m der Alternative j für Person q η Konstante, die von der Verteilung von εjq abhängt.

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Logit-Modell: Herleitung

Es gilt nun:

Daraus folgt:

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Binärer Fall: Viq - Vjq = 1

εjq + (Vjq - Viq) ≥ εiq εjq - 1 ≥ εiq

εjq

εiq

35



εjq

εiq

36



εjq

εiq

i gewählt

j gewählt

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Aber welche Verteilung ?


εjq

εiq

j gewählt

i gewählt

38


Wahrscheinlichkeit von εjq, εjq εjq "

εiq"

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Logit-Modell: Gumbel-Verteilung

Der Fehler εjq ist die Summe vieler Elemente ⇒ Normalverteilung •  aber keine analytische Lösung

Darum: Gumbel-Verteilung ist eine Näherung der Normalverteilung

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(Kumulative) Gumbel-Verteilung

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Logit-Modell: Gumbel-Verteilung

Zur Verteilung

ejq = µ (εjq - η)

Mittelwert = η + 0.577/η Varianz = π2/ 6η2

Modalwert = µ Skalierungsparameter : η

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Unter der Annahme, dass die Fehler unabhängig voneinander sind und alle den gleichen Mittelwert (Null) und Streuung σ haben:

Können wir das folgende Integral lösen:

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Da Vjq - Vjq = 0

Wir setzen die Gumbel-Verteilung ein, für den Wert s

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Wir integrieren über den Wertebereich von s

Zusammengefasst:

45


Zusammengefasst:

Mit e-s = t wird -e-s ds = dt und ds = -(dt/t) ; Für s → ∞: t → 0 und s → -∞: t → ∞ :

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Die Lösung des Integrals ist:

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Logit-Modell: Form

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Logit-Modell: Anmerkungen zur Grundversion

•  Symmetrische Form

•  Nur Nutzendifferenz entscheidend

•  Independence of irrelevant alternatives (IIA)

•  β0j d.h. konstant über alle Personen

•  βkj d.h. konstant über alle Personen

•  Lineare Nutzenfunktion

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Logit-Modell: Nur Nutzendifferenz entscheidend

Beispiel: Binärer Fall und Vi = β0j + βi xi

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Logit-Modell: Nur Nutzendifferenz entscheidend

Nebenbemerkung:

Da (β01 - β02) als Differenz mit beliebigen Werten der β0j bestimmbar sind, wird β01 zu null gesetzt. Wobei die Wahl der Alternative und des Wertes null willkürlich ist.

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Logit-Modell: IIA

IIA: Das Verhältnis der Auswahlwahrscheinlichkeiten zweier Alternativen hängt nur von ihrem Nutzen ab; andere Alternativen spielen keine Rolle (independence of irrelevant alternatives)

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Logit-Modell: Problem der IIA-Eigenschaft

Route 1

Route 2

Alle Routen sind gleich teuer !

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Route 1

Route 2

Erw. Logit

R1 50%

R2 50%


54


Route 1

Route 2

Erw. Logit

R1 50% 50%

R2 50% 50%


55


Route 1a

Route 2

Erw. Logit

R1a 33% 33% R1b 33% 33% R2 33% 33%

Route 1b


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Route 1a

Route 2

Erw. Logit

R1a 28% R1b 28% R2 44%

Route 1b


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Route 1a

Route 2

Erw. Logit

R1a 28% 33% R1b 28% 33% R2 44% 33%

Route 1b


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Independence of Irrelevant Alternatives: P(i)/P(j) = exp(V(i))/exp(V(j)) = konstant!

P(1)/P(2) = 1 -> P(1) = P(2)= 50%

Nach Einführung der neuen Route

P(1a)/P(1b) = 1 -> P(1a) = P(1b) = P(2) = 33%

Das einfache Modell erkennt die Ähnlichkeit der Alternativen untereinander nicht!

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Schätzung: Ausgangslage

Was wissen wir ?

Eigenschaften Wahl Person A1 A2 B1 B2 W WA WB

1 15 8 8 17 B 0 1 2 12 14 13 5 B 0 1 3 10 8 12 6 A 1 0 4 8 12 4 18 A 1 0 5 7 5 5 1 B 0 1 6 7 11 14 12 A 1 0 7 3 2 1 5 A 1 0

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Schätzung: Ausgangslage

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Ansatz: Maximum Likelihood

Ansatz der „Grössten Wahrscheinlichkeit“

L(α,β) = Pj1 Pj2 Pk3 Pm4 Pj5 Pm6 ...

Allgemein:

Oder vereinfacht:

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Beispiel Maximum Likelihood: Ausgangssituation

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Maximum Likelihood: Wahrscheinlichkeit erklären

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Maximum Likelihood: Parameter schätzen

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Formulierung der Nutzenfunktionen Vjp

Konstanten: •  n-1 Konstanten schätzbar

Variablen: •  Soziodemographische Variablen in der Regel in n-1

Alternativen •  Transformationen möglich: Polynome, ln etc. •  Kategorische Variablen in „dummy“-Variablen auflösen

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Logit-Modell: Modellgüte

Gesamtgüte: Analogon zum R² der linearen Regression: •  L(0): Log-Likelihood mit allen Parametern = null; •  L(C): Log-Likelihood mit optimalen Konstanten; •  L(β): Log-Likelihood mit optimalen Parametern;

Die Masse sind dann:

ρ²(0) = 1 - L(β)/L(0) ρ²(C) = 1 - L(β)/L(C) (konservativer)

Adj. ρ²(0) = 1 - (L(β) - Anzahl Parameter K)/L(0)

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Logit-Modell: Gemeinsamer Test der Parameter

Analog zum F-Test der Regression:

Alle Parameter = null: -2 [L(0) - L(β)] χ²-verteilt mit K Freiheitsgraden

Alle Parameter ausser den Konstanten = null: -2 [L(C) - L(β)] χ²-verteilt mit K - Anzahl

konstanten Freiheitsgraden

Unterschied zweier Modelle -2 [L1(β) - L2(β)] χ²-verteilt mit K1 - K2

Freiheitsgraden

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Logit-Modell: Test einzelner Parameter

Analog zur Regression:

t-Test: β/sβ > Kritischer Wert für das gewählte Konfidenzniveau

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Anwendung: Stichprobenauszählung (sample enumeration)

p"

dV"

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Anwendung: Aggregierte Anwendung

p"

dV"

pʻ"

dVʻ" dVʻ+Δ"

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Anwendung: Stichprobenauszählung

p"

dV"

pʻ"

dVʻ" dVʻ+Δ"

72

Aggregation oder Stichprobenauswertung ?

Σ = ?

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Beispiel

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-30 -20 -10 0 10 20 30 Reisezeitdifferenz ÖV-IV

Aus

wah

rsch

einl

ichk

eit I

V [%

]

Beobachtet Geschätzt

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Beispiel: Differenz der „Mittelwerte“

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-30 -20 -10 0 10 20 30 Reisezeitdifferenz ÖV-IV

Aus

wah

rsch

einl

ichk

eit I

V [%

]

Beobachtet Geschätzt Mittelwert der Einzelbeobachtungen Schätzung für den Mittelwert

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Logit-Modell: Pivot-Point Ansatz

Ausgangpunkt: Anteile zweier Alternativen vor und nach einer Massnahme:

Das Verhältnis der Anteile vor und nach ist dann:

A. D

aly

et a

l. (2

005)

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Logit-Modell: Pivot-Point Ansatz

Auflösung:

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Wirkung des Pivot-Point-Ansatzes

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Logit-Modell: Zeitkostensatz

(de Serpa und andere Autoren)

Mit einer linearen Nutzenfunktion:

Wir können Reisezeit und Kosten mit dem Zeitkostensatz verrechnen (value of travel time savings, VTTS):

De

Serp

a (1

971)

VTTS in Europa, in €/h für das Jahr 2012"

79

Axha

usen

, Ehr

eke

et a

l. (2

015)

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Zusammenfassung

•  Konzeptionelles Modell der Entscheidungsfindung

•  Spezifisches Modell zur Modellierung von Entscheidungen •  Logit-Modell •  Nutzenmaximierung •  Herleitung •  Eigenschaften

Literaturhinweise Vorlesung 5-6 (nächste Vorlesung)"

Schnabel / Lohse: Kapitel 10.7 und 10.8

Ortúzar/Willumsen: Kaptiel 4 und 5

Vrtic, M. (2005) Anwendung von Vier-Stufen-Modellen, Materialien zur Vorlesung Verkehrsplanung, IVT, ETH, Zürich

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Quellen

•  Axhausen, K.W., I. Ehreke, A. Glemser, S. Hess, C. Joedden, K. Nagel, A. Sauer und C. Weis (2015) Ermittlung von Bewertungsansätzen für Reisezeiten und Zuverlässigkeit auf Basis der Schätzung eines Modells für modale Verlagerungen im nicht-gewerblichen und gewerblichen Personenverkehr für die Bundesverkehrswegeplanung: FE-Projekt 96.996/2011 Zeitkosten im Personenverkehr, Schlussbericht an das Bundesministerium für Verkehr und digitale Infrastruktur (BMVI), Berlin.

•  Daly, A., J. Fox und J. G. Tuinenga (2005) Pivot-Point Procedures in Practical Travel Demand Forecasting, ERSA conference papers ersa05p784, European Regional Science Association.

•  McFadden, D. (1974) Conditional Logit Analysis of Qualitative Choice Behavior, in P. Zarembka, Frontiers of Econometrics, Academic Press, New York.

•  De Serpa, A. C. (1971) A theory of the economics of time, The Economic Journal, 81 (321) 828-846.

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