C. Meohatrik 289 2. angew. Math. %oh. Bd. 86 Nr. 7/8 Juli/Aug. 1966

c) Entsprechend heifit go Anjayspunkt des Systems, wenn zwei Losungen den Punkt a0 zum gemeinsamen Anfangspunkt haben, fur t < 0 also undefinie~ sind.

Von besonderer Wichtigkeit fur die Anwendungen ist die Frage nach der Existenz von Endpunkten und deren Lage im Schaltraum. Es gilt der Satz: Das System (3) besitzt genau dann Endpunkte, wenn S r < 0 istz). Ist dies der Fall, so ergibt sich als Menge @ der Endpunkte der Parallelstreifen 5 1: < S Dg < - 3 1: des Schaltraumes Q z).

In dem System (3) erfolgt die ,,SchaZtung", d. h. der Sprung des letzten Gliedes der Glei- chung gleichzeitig mit dem Durchgang durch den Schaltraum B. In der Praxis findet dagegen meistens ein sog. Schaltverzug statt, d. h. die Schaltung erfolgt erst nach dem Durchtritt durch G, z. B. mit einer konstanten zeitlichen Verzogerung z. Dies hat zur Folge, daB die Losung nach Erreichen eines Endpunktes*) eine Kurve beschreibt, die beiderseits von Q hin- und herschwingt. Fur kleine Werte von t erhalt man eine einfach zu bestimmende Ngherung fur diese Kurve da- durch, daJ3 man z gegen 0 gehen la&. Bei diesem infinitesimalen Schaltverzug beschreibt die Losung nach Erreichen eines Endpunktes eine innerhalb Q verlaufende Grenzkurve. Diese geniigt folgendem 8 ystem von Di f ferentialgleichungen ;

3. Verschiedene Spezialfalle des Systems (3) (darunter insbesondere die Systeme (1) und (2) fur einen Freiheitsgrad) wurden ausfiihrlich von F 1 ii g g e - L o t z4) untersucht. Dabei wurden die GroBen t: und 5 so gewahlt, daD fur alle in Betracht kommenden Anfangswerte der erste Schnittpunkt der Losungskurve mit dem Schaltraum bereits ein Endpunkt ist, an den sich (bei Annahme eines infinitesimalen Schaltverzuges) eine Grenzkurve anschIie13t. Es sei a(t, ao) die- jenige Grenzkurve, fur welche a(0, ao) = a. (€ @) ist und a&, d die Losung des zugehorigen un- geregelten Systems ebenfalls mit aw(Oy ao) = Dann gilt fur das System (3) (mit den durCh den infinitesimalen Schaltverzug bedingten Modifikationen) das folgende Kriterium : Die notwendigen und hinreichenden Bedingwagen dafiir, dap in jedem Punkt a. aus @ die Grenzkurve a(t, ao) schneller abklingt als die entsprechende ungeregezte Bewegung a&, ao), d. h. dab

f i ir alle a. € (3 gilt, lauten: 1. Die Vektoren r', 5, 5 D sind linear abhangig6), 2. Es gilt die Ungleichung5)

B t 3Dr - 7 - B 1 : ) > o . SDB' ( 13 a) Diese Aussagen gelten bis auf Mengen, die in Beeug auf B vom Mas 0 sind. *) Hierbei und im folgenden ist der Ausdruck ,,Endpunkt" immer beziiglich des Systems (3) zu ver-

4) Discontinuous automatic control, Princeton 1963. 6 ) t', 9' bedeuten die Transponierten der Vektoren t und 5.

stehen.

Lange Zylinderschale mit nicht achsensymmetrischer Randbelastung durch Krafte in Zylinder-Langsrichtung*)

Von G.Sonntag in Miinchen

Die Spannungen einer ebenen Scheibe, deren gerade Begrenzung ortlich durch Normalkrafte belastet ist, breiten sich vom Rand fortschreitend seitlich aus und nehmen dabei nach bekannten Gesetzen abl). Wird dagegen diese Scheibe zylindrisch gekrummt, so da13 die vormals gerade Begrenzung der Scheibe einen Kreisbogen beschreibt, dann wird im Schrifttum2) darauf hinge- wiesen, daB sich die Spannungen in Richtung der Erzeugenden des Zylinders unter Umstanden im wesentlichen geradlinig ohne seitliches Verbreiten fortsetzen. Um diese Aussage naher zu untersuchen, wurden einige Falle der Kreiszylinderschale mit einer periodisch verteilten Be- lastung des Randes durch Krafte in Zylinderlangsrichtung zunachst nach der strengen Theorie

,

*) Ein ausfiihrlicher Aufsatz erscheint in der 2. Forschung Ing. Wes. 1) Vgl. z. B. FO p p 1, L.: Drang und Zwang, 3. Bd., 1. Aufl. Miinchen 1947; insbes. S. 28/87. 8 ) Vgl. z, B. T h o m a D.: Beitrilge eur technischen Mechanik und technischen Physik, Berlin 1924;

insbes. S. 42/61, oder Qirkmann, K.: Flikohentragwerte, 3. Aufl. Wien 1964; insbes. S. 378. 19

2. angew. Math. Mech. Bd. 36 Nr. 718 Juli/Aug. 1866 C. Mechanaik

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biegungssteifer Schalen berechnets). Der Rechenaufwand unter Ermittlung der vier Freiwerte aus den vier Randbedingungen ist erheblich. Dabei zeigte sich, daB bei Beschrankung der Frage- stellung nach dem Abklingen der Langsspannungen in Zylinderlangsrichtung us folgende Glei- chung eine befriedigende Naherung gibt:

Darin bedeuten us die Langsspannung in Zylinder-Langsrichtung, p die Belastungsintensitat,

h die Wanddicke und a den Radius des Zylinders, die

Winkelkoordinate und n die Anzahl der Perioden uber den Zylinderumfang. Die Zahlenwerte v3, v4, ,us, p4 konnen der Arbeit von K. M i e s e 13) entnommen werden.

5 = - die bezogene Langskoordinate,

a

0,50

0,ZS

n = 2 - I z 3 6 5 6

1 2 0 - X / Q

n = 6 - Bild 1

Verlauf der dimensionslosen Liingsspannung ha& fur den langen ZYIinder in Zylinder-Liingsrichtung. I Zylinder mlt Halbmesser a, Ab- stand 2 vom Lastrand und Winkelkoordinnte p, I1 abgewickeltes Belaetungsschema rnit h a16 Wanddicke des Zylinders und I 81s halber Periodenliinge der Belastung von der Amplitude p / h mit p als Belastungsintensltl. Ausgezogene Kurven fur den Lastfall mit fl = 7 = 2 ; gestrichelte Emven fur fl = 6. Die durch klelne Krelse angedeutete Kmve gibt das IAbklingen der Liingaspannung i D der entspre- chend belasteten, unendlich ausgedehnten Scheibe als ffrenzfall fllr n = m an. Der AbsaissenmaDstab wurde auf die halbe Perloden- 1bgc 1 bemgen, man beachte daher den veriinderlieheh Maflstab, wenn dleser aufden Halbmesser 4 des Zylinders beaogen wird: ;; = 7 * ;.

a n

z Z A

Bild 1 zeigt die Gegeniiberstellung der strengen Losung (Kreuze) mit der Naherung (Punkte). Bei zwei gleichartigen Zeichen beziehen diese sich auf die Kehrwerte der Foissonschen Zahl v = 0 und 0,3. Die Darstellung lal3t erkennen, da13 es fur technische Bediirfnisse geniigen wird, ohne Berucksichtigung der Querdehnung die einfache G1. (1) zu verwenden.

Nach dieser Erkenntnis konnten unter geringem Rechenaufwand mehrere Abmessungsver- haltnisse und Belastungsfalle untersucht werden. Die Belastung ist in Fourierschen Reihen zu entwickeln und es zeigt sich, da13 die periodischen Belastungsanteile, deren Periode sich uber mehr als 60" des Zylinderumfanges erstrecken, bei dunnen Schalen wesentlich langsamer ab- klingen als bei der entsprechend belasteten Scheibe. Fur ortliche Lastkonzentrationen ist jedoch der Anteil dieser langperiodischen Glieder gering und die Spannungen der periodischen Belastungs- anteile, deren Periode klein ist gegenuber dem Kriimmungsradius des Zylinders, werden durch die Krummung kaum mehr beeinflul3t. Aus diesem Grunde werden ortlich konzentrierte Bean- spruchungen in Zylinderlangsrichtung verhaltnismafiig schnell abklingen und sich in ihrem Verhalten besonders bei nicht sehr dunnen Zylindern von der Scheibe kaum unterscheiden.

9) Mi e s e 1 , K. : Festigkeit von Kreiszylinderlilschen mit nicht echsensymmetrischer Belilstung. 1ng.-Archiv, 1 (1929) S. 22/71, oder z. B. Biezeno, C. B. u. R. Grammel: Techniache Dynamik, Berlin 1939; insbes. 8.446/89.

Z. angew. Math. Mech. C.. Meofianik 291 Bd. 36 Nr. 7/8 Juli/Aug. 1956

Es sei darauf hingewiesen, da13 G1. (1) als Naherungsformel nur zur Beantwortung der hier gestellten besonderen Frage iiber das Abklingen der Ltingsspannungen gilt. Es ist nicht zu er- warten, daB die ubrigen Randbedingungen auch nur annahernd erfiillt. werden. Weil trotzdem die Naherung die gezeigte gute Obereinstimmung mit der strengen Losung liefert, darf man folgern, daB andere Randlasten wie z. B. Querkraft und Biegung das Abklingen der eingeleiteten Langsspannungen nur wenig beeinf lussen.

Einflua der Schubverzerrung auf die Eigenschwingungen von Platten

Von W. Wallisch in Jena I Bekanntlich gelingt es durch eine Verfeinerung der klassischen, auf K i r c h h o f f zuriick-

gehenden Theorie der Plattenbiegung d r e i anstelle von nur z w e i Randbedingungen zu befrie- digen und eine Reihe von Effekten zu erklaren, welche durch die klassische Thorie nicht erfant werden. (Wir verweisen insbesondere auf die im Anhang genannten Arbeiten von H e n c k y [l], R e i B n e r [ 2 ] , S c h a f e r [3] und K r o m m [4]).

Diese Erweiterung beruht im wesentlichen darauf, da13 dem durch die klassische Theorie gegebenen Spannungszustand ein zur Plattenmittelflache antimetrischer Spannungszustand iiberlagert wird, wobei - im homogenen, statischen Falle - die Querkrtifte Q, durch eine Quer- kraftfunktion Y ausgedriickt werden konnen in der Form

(E&! ist der bekannte schiefsymmetrische ,+Tensor, 0, bezeichnet die kovariante Flachenab- leitung nach den Koordinaten der Plattenmittelflache; griechische Indizes sollen hier und im folgenden stets die Werte 1 und 2 durchlaufen).

Q a = E VB Y .

Y genugt einer Differentialgleichung von der Gestalt ha AY = const. Y ,

( A = VP Vp, h halbe Plattendicke), und zwar hat die Konstante der rechten Seite dieser Gleichung bei H e n c k y den Wert 3, in der R e i 13 n e r- S c h a f e r schen Theorie den Wert 512, wahrend

ihr exakter Wert - wie z. B. K r o m m a. a. 0. nachweist - - * bzw. (g, p = 3, 5 , 7 , . . , Die oben genannten Arbeiten beschiiftigen sich mit dem statischen Fall; abgesehen von

H e n c k y, der vom Kinematischem ausgeht, wird hierbei mit Spannungsfunktionen gearbeitet, wahrend in der vorliegenden Arbeit die Verschiebungs-Grundgleichungen der Elastizitatstheorie den Ausgangspunkt einer mathematisch exakten Nsherungstheorie des Problems der transversal schwingenden Platte bilden.

Nach einem von E. We i ne I zunachst auf den statischen Fall angewandten Integrations- verfahren werden die Komponenten ul, eta, w des Verschiebungsvektors als Funktionen der Orts- koordinaten xl, x2, z und der Zeit t angesetzt in der Form:

betragt. 4

wobei P,(z) das zum Interval1 - h a - 9 + h der Plattendicke gehorige B e r n o u 1 1 i sche Poly- nom m-ten Grades bedeutet. Auf Grund der charakteristischen Eigenschaften dieser Polynome

ergeben sich die Koeffizienten U , und W als Integralmittelwerte uber die Plattendicke von der Form :

(n) n)

L h

Die hierbei auftretenden Ableitungen von u, und w nach z lassen sich durch entsprechend oftmalige Differentiation der Verschiebungs-Grundgleichungen aus diesen berechnen, wodurch es gelingt, die Koeffizientenfunktionen des Ansatzes allein durch die Integralmittelwerte E, der

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