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Langfristiger Kompetenzaufbau im mathematischen Argumentieren in den Sekundarstufen – ganz konkret Prof. Dr. Regina Bruder FB Mathematik, TU Darmstadt 14. 11. 2011 Fulda

Langfristiger Kompetenzaufbau im mathematischen Argumentieren … · 2013. 2. 15. · Langfristiger Kompetenzaufbau im mathematischen Argumentieren in den Sekundarstufen – ganz

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Langfristiger Kompetenzaufbau im mathematischen Argumentieren in den Sekundarstufen – ganz konkret

Prof. Dr. Regina Bruder

FB Mathematik, TU Darmstadt

14. 11. 2011 Fulda

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Gliederung

1. Problemsicht: Beweisen im Alltag und in der Mathematik – und in heterogenen Lerngruppen im MU

2. Was heisst es „mathematisch Argumentieren“ zu erlernen? erlernen? - Grundtypen für Begründungsaufgaben- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung

3. Argumentationsanlässe im MU

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Argumentieren im Alltag erfolgt oft anders als in der Mathematik

„Ich hoffe, er ist pünktlich.“„Bisher war er immer pünktlich!“

„Dann bin ich beruhigt.“

„Euler hat mit dieser Formel Primzahlen berechnet: n² + n + 17“„Ich hoffe, die Formel stimmt!“„Ich hoffe, die Formel stimmt!“

„Bisher hat es bei allen n, die ich ausprobiert habe, immer geklappt!“„...?“

Funktionen des Beweisens in der Mathematik:

Beweise sind Mittel zur Darstellung, Ordnung und Sicherung mathematischen Wissens (demonstrative Funktion)

Beweise sind Mittel zum Erkennen und Erforschen von Zusammenhängen(explorative Funktion)

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Ergebnisse einer PISA-Vorstudie:

x x+3 4x

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„EIS-Modell“ auch beim Beweisen???

Enaktiv: Abwiegen der Kathetenquadrate im Vergleich zum Hypotenusenquadrat (Experiment im Mathemuseum Gießen)

Ikonisch:

Symbolisch:

Anwendung von Ähnlichkeitssätzen

Scherungsbeweise, Puzzle...

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Für das rechtwinklige Dreieck ABC gilt:

Dreieck AHC ist ähnlich zu Dreieck CHB und weiter:

a² + b² = cp + cq = c (p+q) = cc = c²=> a² + b² = c²

Aufsummieren liefert:

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Problemsichten und Entwicklungspotenzial

Beweisen in der Lebenswelt: Überzeugen, Sicherheit gewinnen, Rechtsprechung-im Vergleich zur Rolle von Beweisen in der Mathematik

Elschenbroich (2002): Ein Beweis auf Schulniveau ist eine nicht durch rationale Argumentation zu erschütternde Antwort auf die Frage nach dem Warum.

Sprachliche Schwierigkeiten - dann auch fachsprachliche und sprachlogische Defizite Kaum Wissen über Argumentationsbasen und zulässige Schlussweisen

Wenig Einsicht der SuS in Beweisnotwendigkeiten...

Beim Argumentieren Kommunikationselemente mit aufnehmen und damit Aktivitäten auf verschiedenen Erkenntnisebenen zulassen (EIS-Modell, figurative Beweise...)

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Bericht einer Lehrkraft:Jaschke, T.(2009): Bewusstes Argumentieren. In: ml 155, Friedrich Verlag, S.50

„Zeichne ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck in dein Heft. Konstruiere dann über jeder Dreiecksseite ein Quadrat und bestimme deren Flächeninhalte. Was fällt auf?“Die Ungenauigkeiten erklären die SuS plausibel mit Mess-, Zeichen- und Ablesefehlern. Ich notiere an der Tafel: „Wir vermuten, im rechtwinkligen Dreieck gilt:… “.

Mithilfe zweier großer Quadrate aus Tonpapier erarbeite ich anschließend gemeinsam mit der Klasse den klassischen „Anschauungsbeweis“ für die Richtigkeit des Satzes von Pythagoras.

Als wir fertig sind, meldet sich ein Schüler und sagt: „So viel Aufwand Herr Jaschke, das hätten wir ihnen doch auch so geglaubt...“

(a+b)² = 4· (½ · a·b) + c²

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²

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Kognitive Stile

Es ist eine offensichtliche Tatsache, dass� … Schüler individuelle Präferenzen beim Lernen aufweisen� … jede Unterrichtssituation auf jeden Schüler – jeweils anders –von

motivierend bis hemmend wirkt

� …auch Lehrer individuelle Präferenzen aufweisen – und sich daher fast � …auch Lehrer individuelle Präferenzen aufweisen – und sich daher fast automatisch gewisse Einseitigkeiten des Lehrens und Lernens einstellen

� Korrelationen bestehen zwischen dem Stil der Lehrer und ihren Schülern (Sternberg 1994)

� Diejenigen Schüler weisen bessere Noten auf, deren Stil demjenigen der Lehrer entspricht (Sternberg 1994)

Neu: Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen als Ergebnis einer Metaanalyse(Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005)

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Lernstil der Beach BallsSelf-Expressive Learners (Intuitive/Feeling)

Gestalte eine Veranschaulichung für einen Schlüsselbegriff der Unterrichtseinheit

Experimentier- & Entdeckungsfreude

Spontanität & KreativitätSpontanität & Kreativität

Gleichschrittanweisungen zu folgen,

immer die gleichen Schreibarbeiten zu machen

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Lernstil der PuppiesInterpersonal Learners (Sensing/Feeling)

•Intuitiv, affektiv•Benötigen Begründung für das Lernen•Haben Bedürfnis nach Zusammenarbeit

�Detailorientiert und gründlich zu sein �Korrigiert zu werden oder ein negatives

Feedback zu erhalten

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Lernstil der MicroscopesUnderstanding (Intuitive/Thinking)

Denken analytisch, kritisch Lernen gründlichArbeiten alleine

Beurteile folgende Aussagen, ob sie jeweils stets, manchmal oder niemals wahr sind. Begründe deine Beurteilung schriftlich.

1. Ein Trapez ist ein Rechteck.

Begründung___________________________

Arbeiten alleine

Neue Dinge ausprobierenoffene Probleme lösen

Perfektionisten

2. Ein Viereck ist ein reguläres Polygon.3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck.4. Ein Trapez hat parallele Schenkel.5. Diagonale eines Parallelogramms halbieren einander. 6. Ein Rechteck ist ein Quadrat.7. Ein Quadrat ist ein Rechteck.8. Eine Raute ist ein Rechteck.9. Ein Parallelogramm hat exakt drei rechte Winkel.10. Vier Seiten einer Raute und eines Parallelogramms

sind gleich lang und vier Ecken einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich groß.

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Lernstil der ClipboardsMastery (Sensing/Thinking)

Routinen, vorhersagbare Situationen

Sinn für Details & Genauigkeit Sinn für Details & Genauigkeit

Ohne Anweisungen arbeiten,das „große Bild“sehen

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Beispiele unterrichtlicher Umsetzung - nach Lernstil en differenzierender Unterrichtsansatz nach Silver et al.

� Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005)

� Keine Diagnostik und Zuordnung der Lernenden nach Lernstilen

� Dennoch: Zuordnung Lernstil =>Unterrichtsmethode (math tools)

� Idee: Durch Variation in den Aufgaben und Darstellungen finden alle Lernstile stärkere Berücksichtigung im Unterricht

� Annahme: Die Unterschiedlichkeit des Zuganges zum Unterrichtsgegenstand nutzt allen Lernenden mehr, als wenn sie nur ihrem eigenen Lernstil entsprechend unterrichtet würden.

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Mögliche Schlussfolgerungen

Hausauf-gaben

Innermathematische vs.anwendungsbezogene AufgabenGelöste Beispiele einbauen (für Clipbords)Abstrakte Aufgaben einbauen (für Microskopes)Selbstregulationselemente verstärken (für Beach Balls)Partnerbearbeitung einer LHA zulassen (für Puppies)

Wahlauf-gaben

Komplexe geschlossene vs. offene Aufgaben (für Clipboards)Innermathematische vs. anwendungsbezogene AufgabenHilfen z.B. in Form von Tippkärtchen abrufbar (v.a.Puppies, Clipboards)Arbeitsform frei wählbar (einzeln, in Gruppen)

Einstiege Offene vs. geschlossene Aufgaben (für Clipboards)Innermathematische vs. anwendungsbezogene SituationenTheoretische Darstellung zum Thema alternativ anbieten (für Microscopes)Arbeitsform frei wählbar (einzeln, in Gruppen)

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Gliederung

1. Problemsicht: Beweisen im Alltag und in der Mathematik – und in heterogenen Lerngruppen im MU

2. Was heisst es „mathematisch Argumentieren“ zu erlernen? erlernen? - Grundtypen für Begründungsaufgaben- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung

3. Argumentationsanlässe im MU

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Worum geht es beim Erlernen mathematischen Argumentierens?

Alltag:„Ich konnte meine HA nicht machen weil...“„Ich brauche mehr Taschengeld, weil...“

Welche Argumente wirken besonders überzeugend?überzeugend?

Ziel des MU als Beitrag zur Allgemeinbildung (Heymann, 1996):

Systematische Auseinandersetzung mit der Zulässigkeit von Argumenten und Schlussweisen

Argumentieren im MU ist der Oberbegriff für verschiedene Tätigkeiten des (mathematischen) Begründens und Beweisens.

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Beispiel: Innenwinkelsummensatz für ebene Dreiecke

� Motivation: Herausarbeiten, dass die Summe der Innenwinkel konstant bleibt – aber wie groß ist sie?

� Vermutung durch Messen – das ist aber kein zulässiges mathematisches Werkzeug

� Enaktiv: Winkel durch Körperdrehung ablaufen� Enaktiv: Winkel durch Körperdrehung ablaufenEcken abreißen und aneinander legen

Ikonisch: Winkel messenSkizze mit parallel verschobener Dreiecksgrundseite durch gegenüberliegenden Eckpunkt Symbolisch: Beschriftung von Seiten und Winkeln und

Aufstellen von Gleichungen mit Winkelgrößen

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Nachhaltig Mathematik lernen bedeutet:

� Beim Wissenserwerb anknüpfen an bisheriges Wissen und Können

� Beim Wissenserwerb verschiedene Erkenntnisebenen durchlaufen (EIS)

� Methoden und Argumentationen liefern, die mathematischer Natur sind

� Erweitern und Vernetzen: Innenwinkelsumme im Viereck?

� Kritisch weiter denken: Stimmt das immer? Auch auf der Kugel?

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Argumentieren im MU meint...

...jegliche Aktivitäten des Suchens, Auswählens, Verwendens und des Beurteilens von Argumenten und deren Verknüpfung in vielfältigen inner-und außermathematischen Zusammenhängen. (ml 168, 2011)

Unterscheidung:

Mathematisches Argumentieren setzt stets eine definierte Argumentationsbasis voraus und ist an bestimmte Schlussweisen gebunden.Ziel ist das Erzeugen und Sichern von Wissen – weniger ein adressatengerechter Informationsaustausch.

Kommunizieren ist eine Ereignisabfolge wechselseitiger Äußerungen und Interpretationen (Euler, 1994).

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Welche Argumente und Schlussweisen sind zulässig?

Argumentationsbasen in der Mathematik:

Begriffe (Definitionen): Primzahl, Prisma, Bestimmtes Integral...

Zusammenhänge (geprüft!): Satzgruppe des Pythagoras, Teilbarkeitssätze

Verfahren (unter den erforderlichen Anwendungsbedingungen): Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen oder zur Flächeninhaltsberechnung von Trapezen...

Annahmen beim Mathematisieren (Voraussetzungen annehmen, um math. Verfahren oder Sätze anwenden zu können)

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Welche Argumente und Schlussweisen sind zulässig?

Logische Schlussregeln:Abtrennungsregel oder Schluss aus einer Universalaussage:

Beispiele: gleichseitige Dreiecke haben drei gleiche WinkelABC ist gleichseitigABC hat drei gleiche Winkel

Jede durch 8 teilbare Zahl ist auch durch 4 teilbar:24 ist durch 8 teilbar.24 ist auch durch 4 teilbar.

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Kettenregel (Drittengleichheit)

es gilt: wenn A, dann B

und wenn B, dann Cfolgt: wenn A, dann C

Beispiel: Wenn ich Logik studiere, (A)→ so lerne ich präziser denken (B)→ so lerne ich präziser denken (B)∧ und wenn ich präziser denken lerne (B),→ so kann ich besser Probleme lösen (C)

folgt: A → CWenn ich Logik studiere, so kann ich besser Probleme lösen.

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Grundtypen von Begründungen im MU

1. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines Begriffes

2. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines Verfahrens

3. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines 3. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines Satzes

(verwenden i.d.R. Schluss aus Universalaussage oder ggf. auch Drittengleichheit)

4. Begründen über den Schluss der Kontraposition5. Widerlegen einer Aussage durch Angabe eines

Gegenbeispiels

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1. Begründung durch Identifizieren eines Objektes oder einer Relation

Aussage: Der Zug ist eine Regionalbahn!Begründung: Er hält an jedem Bahnhof, den er

passiert.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Objekt:

Begründung: Das ist ein Parallelogramm, weil jeweils

zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleichlang sind.

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2. Begründung durch Realisieren eines Verfahrens

Aussage: Der Sportler ist gedopt.

Begründung: Die korrekte Anwendung eines geprüften Nachweisverfahrens für Doping hatte ein pos. Ergebnis.

---------------------------------------------------------Aussage: Das lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung:

5x+3y = 225x+3y = 228x-4y = 10

Begründung: Die Anwendung des Additionsverfahrens ist gerechtfertigt und führt zu einer Lösung.

Alternative: Die Interpretation der beiden Gleichungen als lineare Funktionen zeigt, dass die beiden Geraden weder identisch noch parallel sind.

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3. Begründung durch Identifizieren oder Realisieren eines Zusammenhangs

Bekannt: α = 30°, β = 70°Aussage: γ = 80°

Begründung: Innenwinkelsummensatz für (ebene) Dreiecke

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4. Anwenden der Kontraposition eines Satzes

Trifft A ein, folgt B sei wahr. A => BIst B nicht eingetroffen, so ist folglich auch A ni cht eingetroffen.kein B => kein A

Voraussetzung: Wenn es regnet (A), ist der Boden nass (B).Aussage: Es hat nicht geregnet.Begründung: Der Boden ist nicht nass, deshalb kann es nicht geregnet

haben.haben.------------------------------------------------------------------------------------

Begriff: Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem mindestens zwei Seiten parallel verlaufen.

Satz: Wenn ein Viereck ein Trapez ist, dann gilt...

Aussage: Das ist kein Trapez. Begründung:

Es sind nicht mindestens zwei Seiten parallel.

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5. Widerlegung einer Universalaussage durchein Gegenbeispiel

Aussage: Alle Rosen sind rot.Widerlegung: Zeigen einer andersfarbigen Rose.

------------------------------------------------------------------------------Aussage: Alle Vierecke sind Quadrate.

Widerlegung: Das ist ein Viereck, aber kein Quadrat.

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Satz: Es gibt nur interessante natürliche Zahlen.Beweis:

Gäbe es auch eine uninteressante natürliche Zahl, gäbe es auch eine kleinste. Als solche ist sie natürlich höchst interessant. Das ist ein Widerspruch.Das ist ein Widerspruch.

Die Argumentationsbasis beim Begründen und Beweisen besteht aus einer Menge von Aussagen, die als richtig angesehen werden zusammen mit den Schlussweisen, die als zulässig anerkannt werden.

Begründen gilt als Vorform oder Elementarform des Beweisens.

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Mathematisch Begründen und Beweisen lernen bedeutet dann aber auch:

- Feststellen, wann eine Aussage begründet bzw. bewiesen werden muss

- Logische Fähigkeiten und Fragehaltung entwickeln- Logische Fähigkeiten und Fragehaltung entwickeln

Ist das richtig?Gibt es noch andere Lösungen?Gilt auch die Umkehrung?Wie kommt das eigentlich?

(Herleiten versus Beweisen)

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Stufenmodell zum Kompetenzaufbau

Intuitive PhaseSchrittweises Gewöhnen an sprachlich-logisch und fach-inhaltlich korrekteArgumentationen (Lehrervorbild)

Bewusste PhaseI Begründungen nach den fünf Grundtypen ausführen

(Bezug auf eine Definition, Bezug auf einen Satz, Anwenden eines Verfahrens, Widerspruchsbeweis, Angeben eines Gegenbeispiels)

II Mathematische Argumentationsketten verstehen, nachvollziehen und wiedergeben

III Mehrschrittige Argumentationen prüfen und vervollständigenIV Eigenständig mehrschrittige Argumentationen aufbauen

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Aktueller Literaturhintergrund:

Wege zum Beweisen. mathematik lehren, Heft155, Friedrich Verlag 2009

Beweisen lernen. MatheWelt in ml 155

Neu:Argumentieren. mathematik lehren, Heft 168, Friedrich Verlag 2011Argumentieren. mathematik lehren, Heft 168, Friedrich Verlag 2011Wie wirst du ein Pythagoreer? MatheWelt in ml 168

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Gliederung

1. Problemsicht: Beweisen im Alltag und in der Mathematik – und in heterogenen Lerngruppen im MU

2. Was heisst es „mathematisch Argumentieren“ zu erlernen? erlernen? - Grundtypen für Begründungsaufgaben- Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung

3. Argumentationsanlässe im MU

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3. Argumentationsanlässe im MU in allen Unterrichtssituationen

- Mathematische Zusammenhänge entdecken, Gewinnen einer Vermutung- Sonderfälle finden - Annahmen machen beim Modellieren- Den Mehrwert mathematischer Untersuchungen begründen- Vorgehensweisen vergleichen

(Explorative Funktion des Argumentierens)

- Eine gewonnene Vermutung bestätigen (beweisen)- Eine Argumentationskette nachvollziehen (Zweispaltenbeweis) für eine

Kommunikation- Fehler finden, Widersprüche aufdecken

(Demonstrative Funktion des Argumentierens)

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Beispiele für enaktive Erkundungen:

Falten eines Papierstreifens:Man nimmt einen Papierstreifen („Kassenrolle“), der am Ende in einem beliebigen Winkel abgeschnitten ist und faltet zunächst die „schräge“ Kante nach oben, dann die neu entstandene schräge Kante nach unten usw.neu entstandene schräge Kante nach unten usw.

Wie entwickeln sich die Faltkantenwinkel?

Behauptung:Die Dreiecke, die beim definierten Falten entstehen, nähern sich immer mehr einem gleichseitigen Dreieck.Oder: Die Folge der gefalteten Winkel konvergiert gegen 60°.

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Beispiel:

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Beispiel für eine explorative Funktion: Genetischer Zugang zu Mittelwerten

1. Für einen 800m-Lauf wird eine bestimmte Zeit anvisiert. Daraus wird die durchschnittliche Rundenzeit t ermittelt. Um sich vom Feld abzusetzen, soll die erste Runde jedoch 10sec schneller sein als bei gleichmäßigem Tempo notwendig wäre. notwendig wäre.

Wie viel Zeit steht dann für die 2.Runde zur Verfügung?

800m-Zeit insgesamt: 2 t 1.Runde: t – 10 sec

2.Runde: t + 10 sec

Mathematische Beschreibung: Arithmetisches Mittel a b+2

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2. Ein Geldverleiher möchte einen durchschnittlichen Zinssatz von 8% pro Jahr erreichen. Er bietet einem Kunden an, im ersten Jahr nur 2% Zinsen zu zahlen, dafür im 2.Jahr dann 14%. Die Zinsen sollen zusammen mit der Rückzahlung des Kapitals am Ende des 2.Jahres fällig werden.

Problem:

Mathematische Beschreibung: Geometrisches Mittel

und √1,1664=1,08

a b⋅

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Beobachtung: Das arithmetische Mittel ist etwas größer als das geometrische Mittel.

Fragen: Ist das immer so? Warum denn?

Beschreibungsebene der Mathematik:

Vermutung: a b+2 > a ,b pos. reella b⋅

Begründung durch eine geometrische Interpretation:

a b⋅

2 > a ,b pos. reell

a b+2

a b⋅

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Beweis symbolisch:

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Mathematik treiben: Forschungsaufträge

� „Neue“ Teilbarkeitsregeln erfinden (für die 12, 15, 20, 50...)� Wie viele Diagonalen hat ein n-Eck?� Warum gibt es nur 5 Platonische Körper?

� Ist das eine Mogelpackung?

� Welche Größe hat der Schuh?

Umsetzung in heterogenen Lerngruppen:Schrittweises Hinführen an Verallgemeinerungen durch „Blütenaufgaben“ (Lernstile beachten!)

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„Blütenaufgabe“: Rechenzauber (ab Kl.5) - als Lern- und Testaufgabe geeignet

Torsten hat sich einen Zaubertrick ausgedacht. Er sagt: „Denke dir eine Zahl.Verdopple deine Zahl und addiere 9. Multipliziere das Ganze nun mit 4 und ziehe36 ab.“

Torsten behauptet, dass er anhand des Ergebnisses sofort die gedachte Zahlbenennen kann.

a) Jan denkt sich die Zahl 5. Welches Ergebnis nennt er Torsten?a) Jan denkt sich die Zahl 5. Welches Ergebnis nennt er Torsten?

b) Beim nächsten Versuch hat Jan das Ergebnis 64.

Welche Zahl hatte er sich gedacht?

c) Wie kann Torsten schnell und einfach die gedachte

Zahl berechnen?

Erkläre, warum dieser Trick immer funktioniert.

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DGS als Hilfsmittel zum Gewinnen von Vermutungen

A

P

The semicircular disc glides

along two legs of a right angle.

Which line describes point P on

the perimeter of the half circle?

Fernsehshow früher (Ungarn 1979):

B0the perimeter of the half circle?

1) Übersetzt die Aufgabe aus der englischen Sprache in die deutsche Sprache.2) Baut eine Vorrichtung aus Bierdeckeln, Stecknadeln oder ähnlichen Materialien, um die Aufgabenstellung anschaulich demonstrieren zu können....6) Zeichnet dann selbst mehrere Lagen des Halbkreises beim Heruntergleiten.7) Beschreibt die Kurve, auf der der Punkt P sich dabei bewegt, so präzise wie möglich.

8) Findet eine Begründung für die Kurvenform. Quelle:Distler Bensheim

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Aufgabe zum Erarbeiten des Mittelwertsatzes

Situation: Zorro muss einen 700m langen Zug erreichen. In dem Moment, als der Zug den Bahnhof verlässt, ist Zorro jedoch noch 1,5km vom letzten Waggon des Zuges entfernt. Er reitet auf seinem Pferd mit einer Geschwindigkeit von konstanten 60km/h dem Zug hinterher. Dieser beschleunigt allerdings konstant mit 0,25 km/min².

a) Stelle den Verlauf der Situation in einem s-t-Diagramm mit geeigneter Skalierung dar.b) Welche Situation liegt in den Punkten vor, wenn sich die beiden Graphen schneiden?c) Damit Zorro auf den Zug überspringen kann, muss der Zug genauso schnell sein wie sein

Pferd. An welchem Punkt ist das der Fall?

d) Zeige: Schneidet eine Gerade g eine stetige Funktion f zweimal, so gibt es immer eine Stelle xs zwischen den beiden Schnittpunkten, an der f dieselbe Steigung wie die Gerade g hat.

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Blütenaufgaben: Geeignet als Aufgaben zum Lernen und zum Leisten!

- drei bis fünf Teilaufgaben

- steigender Schwierigkeitsgrad

-gemeinsamer Kontext -gemeinsamer Kontext

- evtl. zunehmende Öffnung

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Zielniveaus einer Blütenaufgabe

(x--) schwierige Bestimmungs-aufgabe oder

((-)-(-)) offene Problemstellung oder selbst eine Aufgabe erfinden (-x-)

Regelstandard

Geht über den aktuellen Stoff hinaus und greift nicht dem nächsten Thema vor

(xx-) Grundaufgabe

(-xx) Umkehraufgabe

aufgabe oder Begründung (x-x)

erfinden (-x-)

Mindeststandard

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Ergebnisauswertung zu einer Blütenaufgabe

(x--) schwierige Bestimmungs-aufgabe oder

((-)-(-)) offene Problemstellung oder selbst eine Aufgabe erfinden (-x-)

Besprechung im Plenum-Lernzuwachs für viele Schüler

(xx-) Grundaufgabe

(-xx) Umkehraufgabe

aufgabe oder Begründung (x-x)

erfinden (-x-)

Selbstkontrolle

ermöglichen

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Beweisen bzw. im Sinne der Bildungsstandards Argumentieren lernen mit geeigneten Aufgabenformaten:

Ist das richtig? Gilt das immer? (p-q-Formel, Gauß-Algorithmus, Höhensatz...)

Gilt auch die Umkehrung? (Wenn ein Viereck ein Drachenviereck ist, dann stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht.) Diagonalen aufeinander senkrecht.)

Wie kommt das eigentlich? Warum ist das so? (Der konvergierende Faltwinkel)

... und unter Einbeziehung der Satzfindung:Kann man das herausfinden? (Diagonalenzahl im konvexen n-Eck, Mittelwertsatz...)

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Etwas über das mathematische Beweisen lernen:

� Bewusstmachen von Argumentationsbasen

� Arbeiten mit vorgegebenen Argumentationsbasen

� Bewusster Übergang von einer Argumentationsbasis zu eineranderen

aa’=bb’

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Beispiele: Problemlösen in Verbindung mit mathematischem Argumentieren

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Höhen auf den beiden gleichen Schenkeln immer gleich lang.

Welche Beweismittel (Argumentationsbasis) kommen in Frage?

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Moderate Forderungen bzgl. Beweisdarstellungen

Beweisschema als Strukturierungshilfe – oder Beweisbäume/Lösungsgraphen

Feststellung Begründung

Einsicht in die Beweisnotwendigkeit fördern durch Diskussion zugelassener Beweismittel (analog im Alltag!)

Beispiel: 6 ist stets ein Teiler von n³+11n für natürliche n.

Einstieg: Vergewisserung an Beispielen: Die Aussage gilt für n=1.

Beweisvarianten: vollst. Induktion oder Teilbarkeitseigenschaften

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Beispiel: Zu zeigen ist, dass 6 ein Teiler ist von n³+11n für natürliche Zahlen n.

Feststellung Begründung

n³+11n = n³+ (12n – n) sinnvolle Zerlegung, um „Symmetrien“ zu erzeugen;nur noch zu zeigen, dass n³-n durch 6 teilbar, da 12n durch 6 teilbar ist

n³-n = n (n²-1)

= n (n+1) (n-1) Zerlegung mit 3.binomischer Formel

6 teilt n(n+1)(n-1) weil das Produkt dreier aufeinander folgender natürlicherZahlen immer durch 2 und durch 3 teilbar ist

qed

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Argumentationsanlass: Wie ist das entstanden?Aufklären – warum ist das so? Kann das sein?

� Die Einparkformel nachvollziehen (Abstand 0 zum Nachbarauto realistisch?)

� Rekonstruktion der Formen der Kirchenfenster?

� Zahlentricks aufklären: „Multipliziere die Zahl

Deiner vollen Lebensjahre mit 2. Addiere 5 ! Deiner vollen Lebensjahre mit 2. Addiere 5 ! Multipliziere die Summe mit 5! Nenne mir das Ergebn is!“

Wenn man von diesem Ergebnis die letzte Ziffer weg streicht und von der so erhaltenen Zahl 2 subtrahiert, erhält man das Alter der Person.

� Fehler aufklären: a = b

a2 = aba2 + a2 - 2ab = ab + a2 - 2ab

2(a2 - ab) = a2 – ab 2 = 1

� Einen Leserbrief schreiben

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Reflexionen zum mathematischen Argumentieren (analog gültig für Modellierenund Problemlösen)

Was hat uns geholfen die Aufgabe zu lösen? (den/einen Beweis zu finden)

� Welche mathematischen Zusammenhänge haben wir nutzen können?(Form der zweispaltigen Beweisdarstellung als Unterstützung)

� Welche Strategien waren hilfreich, um eine lückenlose Argumentation aufzubauen?

� Kombiniertes Vorwärts- Rückwärtsarbeiten mit umstrukturierten Wissensspeichern

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Vorstellungen zur Nullstelle

Auf einem Holzplatz lagern 114m³ Birkenholz und 135m³ Fichtenholz.Täglich werden 6,5m³ Birkenholz und 7,5m³ Fichtenholz abgefahren.Der Platzwart fragt sich, wann von beiden Sorten einmal gleich viel auf dem Platz liegt!viel auf dem Platz liegt!

„Treffpunkt“ ist nach 21 Tagen, jedoch ist nach 18 Tagen vom Fichtenholz schon nichts mehr da!

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Mach den Otto zur Null!(Pinkernell, Projekt CALiMERO)

Der CAS-Rechner versteht ein Wort anders als du.Zum Beispiel verändert Zum Beispiel verändert er es, wenn man zwischen die Buchstaben Rechenzeichen einsetzt.

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Mach den Otto zur Null!(Pinkernell, Projekt CALiMERO)

a) Variiere die Eingabe des Namens Otto mit verschiedenen Rechenzeichen. Finde einen Eingabeterm, bei dem sich besonders viel verändert.

b) Erkläre für zwei deiner Variationen, welche Rechengesetze welche Rechengesetze angewendet wurden.

a) Paul hat beim Variieren den rechts abgebildeten Ausgabeterm erhalten. Er fragt sich, warum das „tt“ nicht noch weiter vereinfacht wird. Erkläre!

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"Kopfübungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument„

1 Berechne: 29 × 72 Ordne der Größe nach: 1/7, 1/3, 1/23 Notiere 4,3 cm in der nächst größeren und der nächst kleineren Einheit4 5,4 – 10,65 Wie viele Flächen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groß?6 Berechne: - 3 × (- 11) × 37 Es ist genau 8.00 Uhr. Welchen Winkel schließen Minuten- und Stundenzeiger ein?8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schüler; 2/3 kommen mit dem Bus zur Schule. Wie

viele sind das?9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft. Für wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche?10 Berechne. 20% von 45 €.

1 Woche später:

1 59 × 92 Ordne der Größe nach: 3/7, 3/4, 3/103 Gib als dm an: 1,82 m4 - 5,4 + 10, 65 Aus welchen Flächen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen?6 Schreibe drei Multiplikationen auf, deren Ergebnis –6 ist.7 Richtig oder falsch: In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groß.8 Gib 2/5 als Dezimalzahl an.9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an, die auf der y-Achse liegen.10 Von 32 Schülern kommen 24 mit dem Bus. Wie viel Prozent sind das?

1 Woche später:

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Unterrichtskonzept von MABIKOM

Unterrichtseinstieg

KÜ Lernprotokoll

Wahlaufgaben, Aufgabenset

KÜ Checkliste

Test

LHA

Blütenaufgaben

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Binnendifferenzierung durch Wahlaufgaben mit unterschiedlichen Anforderungen

Große Unterschiede im Arbeitstempo, Festigungsbedarf und im kognitivenLeistungsvermögen => Wahlmöglichkeiten

Organisatorisch:I. eine bestimmte Anzahl von Aufgaben ansteigender Schwierigkeit soll I. eine bestimmte Anzahl von Aufgaben ansteigender Schwierigkeit soll

in einer verabredeten Zeit bearbeitet werden (z.B. mindestens 5 von 10 Aufgaben)

II. Wahlmöglichkeit bei ausgewiesener Schwierigkeit *, **, *** – gefordert sind z.B. 10 Sternchen – stelle selbst zusammen…

Alle üben alles? - Abkehr !

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Zur Anlage eines Tests

�Punktevergabe an Tätigkeiten orientieren -Erwartungshorizont

�Anteile der Anforderungsbereiche I, II, III etwa 1 : 2 : 1�Einstieg und Ausstieg mit leichteren Aufgaben

entsprechend der Konzentrationskurveentsprechend der Konzentrationskurve�Wiederholungselemente einbeziehen – ankündigen!�Testtypen: Vergleichsarbeiten als Themenarbeit oder

jahresübergreifende Arbeit�Abschlussprüfungen beziehen länger zurückliegende

Lerninhalte mit ein�Punktabzug für Formfehler (global)

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Kontakt: [email protected]

www.math-learning.com (Vorträge zum download)

www.proLehre.de

Online - Fortbildungskurse

www.madaba.de