30
08.11.2015 1 Stochastik Vorlesung in vier Teilen im Rahmen von Mathematik für alle, Leuphanasemester Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematiksehenundverstehen.de Folie 1 LaplaceWürfel ? Laplacian dices? Bei welchen Zufallsgeräten sind alle ElementarEreignisse gleichwahrscheinlich? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematiksehenundverstehen.de Folie 2 In what cases are elementary results equiprobable?

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08.11.2015

1

Stochastik

Vorlesung in vier Teilen im Rahmen von Mathematik für alle, Leuphanasemester

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015  http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de

Folie 1

Laplace‐Würfel ?Laplacian dices?

Bei welchen Zufallsgeräten sind alleElementar‐Ereignisse gleichwahrscheinlich? 

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015  http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de

Folie 2In what cases are elementary results equiprobable?

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08.11.2015

2

Laplace‐WürfelLaplacian dices

Die Elementar‐Ereignisse sindgleichwahrscheinlich. 

For Laplacian dices elementary resuts are equiprobable.

Ereignis = eine Menge von Elementar Ereignissen

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Folie 3

Ereignis = eine Menge von Elementar-Ereignissen

A={5,6} B=„ich würfele ein Primzahl“

An event is a set of elementary results.

I roll a prime number

Laplace‐GesetzLaplcian law

Sind alle Elementar‐Ereignisse gleich‐wahrscheinlich,dann  ist die Wahrscheinlichkeit  eines  zusammengesetzten Ereignisses E :

( )for E good cases

possiblecasesZahl der für E günstigen Fälle

P EZahl der möglichen Fälle

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Folie 4

P=Wahrscheinlichkeit, probabitity

2 1( ) ({1,2}) 0.33... 33%

6 3P A P beim Kubus-Würfel:

with a cube dice

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3

Geometrische Wahrscheinlichkeit als Zurückführung auf das Laplace‐Gesetz

Wenn jede Zeigerstellung die gleiche

Geometric probability as affiliation of the Laplacian law

90 1( ) 0.25... 25%

360 4P rot

j g g gWahrscheinlichkeit hat, dann gilt:

120 1( ) 0.33... 33%P grün

each needle positionhas the same probability

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Folie 5

( )360 3

g

360 90 120 150 5( ) 0.4166... 42%

360 360 12P blau

p y

Und hier  ??????Suhle,Seite, Haxe,Schnauze

Astragali, römische Würfeldices of the romans

What can we do here?

What shall bethe concept of probability?

Wahrscheinlichkeitsbegriff ???

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Folie 7

Die relative Häufigkeit bei einer langen Wurfserieist wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit!?!?!?!?!?!?

p p y

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08.11.2015

4

Und hier  ??????

ZirkuläreWhat can we do here?

Wahrscheinlichkeitsbegriff ???

Begriffsbildung

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Folie 8

Die relative Häufigkeit bei einer langen Wurfserieist wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit!?!?!?!?!?!?

Circular concepts does‘nt work!

The relative frequency probably goes to the probability?

Zufallswege, random walks

Wir sehen uns an, wie sich die relative Häufigkeit bei langen Wurfserien verhält.

1

( )

numberof caseamong n rolls

Zahl der Einsenh n

unter n Würfen

random walks

theoretischer Wert 16 16,6...%

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Folie 9

n

grün=+/- 0.5%-Streifen rot=1-sigma-Streifen stripes

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5

Zufallswege, random walksEmpirisches Gesetz der großen Zahl:Die relative Häufigkeit stabilisiert sich.

relative frequency become stable

Weitere Fälle interaktiv oder auf dieser pdf-Seite

Empirisches Gesetz der großen Zahl

law of large numbers

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Folie 10

Abb. 10.6Abb. 20(-)

Es wird für immer größere n immer unwahrscheinlicher, das ein vorgegebener Streifen wieder verlassen wird.

For growing up n it become less probable that the observedrelative frequency leave a given stripe.

Plan Stochastik  Kapitel 10Stochastik 1• Zufallswege,• Fundierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes,• Zufallsgröße deren

Stochastik 2• Hypothesentest bei Bernoulliversuchen auf

der Grundlage der Binomialverteilung,• Signifikanz, • n-sigma-Grenzen und ihre Bedeutung• Schätzen, Konfidenzintervalle.

• Zufallsgröße, deren • Verteilung und Erwartungswert,• Binomialverteilung und ihre Kenngrößen.

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,

Stochastik 3• Normalverteilung,• Standardabweichung, Messwerte,• Wurzel(n)-Gesetz• Hypothesentest bei Messwerten,• Irrtumswahrscheinlichkeit, P-Wert. Folie 11

Stochastik 4• Überblick über Vorgehensweisen der Stochastik:• Elemente der beschreibenden Statistik,• Regression, Korrelation• Weitere Verteilungen, • Empirisches Forschen

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6

Axiomezur Grundlegung einer Theorie 

Forderungen an ein Axiomensystem:foundation

Forderungen an ein Axiomensystem:1. effizient2. widerspruchsfrei consistant3. valide

so wenige Axiome wie möglich

passend zu dem Gebiet, für das es entworfen wird

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für das es entworfen wird

Euklid: Axiome der Geometrie  vor 2300 Jahren

Newtonsche Axiome der Mechanik, um 1680 

Axiome der Algebra, 19. Jh.Folie 12

WahrscheinlichkeitstheorieAxiome von Kolmogorow   1933

1 ( ) 0 2 ( ) 1P A P 3 A B

theory of probability

1. ( ) 0 2. ( ) 1P A P 3.

( ) ( ) ( )

A B

P A B P A P B

Ereignisraum

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Folie 13

Ereignisraumsample space

Elementarereignisseelementary events

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7

3 rote und 2 grüne Socken in der Schubladezweimal hineingreifen ohne zurückzulegen

urn model, pullingwithout putting back

Mehrstufige Zufallsversuchemulti-level random experiments

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Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbigeSocken an?      P(different colors)?

Folie 14

Mehrstufige Zufallsversuche

3 rote und 5 grüne Socken in der Schublade

zweimal hineingreifen ohne zurückzulegenBaumdiagramm

als Sparbaum eco-tree

multi-level random experiments

als Sparbaumkurze Strecken=Äste

vom Start bis unten=Pfade

branches

pathes

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Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbigeSocken an?      P(different colors)? Folie 15

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8

Die Äste werden mit Wahrscheinlichkeiten beschriftet.

Von einen Knoten abgehende Äste habenimmer zusammen Wahrscheinlichkeit 1

Mehrstufige Zufallsversuchemulti-level random experiments

Pfadregeln:Die W. eines Pfades ist das Produkt der Ast‐Wahrscheinlichkeiten.

immer zusammen Wahrscheinlichkeit 1.

path-laws

Oft braucht man nur Teile des Baumes,man nimmt einen Sparbaum (eco-tree)

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Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbige  Socken an?

Tragen mehrere Pfade zu einem Ereignis bei, 

sind die Pfad‐Wahrscheinlichkeiten zu  addieren.

Folie 16

Wahrscheinlichkeits‐Verteilung  probabitity distribution

Es wird angegeben,wie die Gesamtwahrscheinlichkeit 1bei dem Zufallsexperiment

Abb.10.9

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bei dem Zufallsexperiment auf die Ausgänge  

verteilt ist.

Folie 17

outcomes

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9

Gleichverteilung  rectangular (equal) distribution

150n 1

6p

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Erwartungswert   Folie 18

1150 25

6n p

expectation value

Baumdiagramm und  Verteilung

tree diagramm and distibutionand distibution

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Folie 19

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10

Baumdiagramm und  Verteilung

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Folie 20

Zufallsgröße, Erwartungswert  und  Verteilungrandom variable, expectation value and distibution

Eine Zufallsgröße ist eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängt.

„Größe“ im Sinne der Physik: reelle Zahl, ggf. mit einer „Einheit“

Jedem Ereignis wirdein Wert der Zufalls‐größe  zugeordnet.

Die für das Ereignis

like „dimension“  in physics: real number,  if need so with an unit

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Die für das Ereignis gültige Wahrscheinlichkeitwird als W. für diesen Wert

genommen.

Folie 21

The event E is a set of elementary outcomes. k is the value which is related to E.The the probability of k ist defined as the probability of the event E.

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Krüge für den HandwerkermarktVerteilung  | X mal P

crocks for the craftsmen market

Entstehung von Formfehlern und Glasurfehlern als zweistufiger Zufallsversuch.

Merkmale: 1. und  2.Wahl, Ausschuss

Zufallsgröße:  X= Einnahme in €

failours in form and glazeas a 2-level random

experiment1. and 2. selection

and waste

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g

( )iP X XListeErwartungswert   E(X)= 1

( )n

i iiX P X X

Folie 22

Multipliziere die Liste der Werte von X mit der Liste der Wahrscheinlichkeitenund bilde die Summe der neuen Spalte.

Multiply the X-values with the probabilities in a new column and add all.

Jakob I. Bernoulli, etwa 1700

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Folie 23

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12

Bernoulli‐Versuch, Bernoulli‐KetteJakob I. Bernoulli, 1655-1705 Basel

Bernoulliversuch:  1. klare Ja/Nein Entscheidung2. Wahrscheinlichkeit für Ja ist p

processtrial, experiment

yes/no

2. Wahrscheinlichkeit für  Ja ist p

Bernoulli‐Kette:   n Bernoulliversuche mit konstantem pZufallsgröße :       X = Zahl der „ja“ in der Kette random variable

counts the number ofsuccesses under n

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Folie 24

Bernoulli‐Kette führt zur Binomialverteilung

Galton Brettbritischer Naturforscher Sir Francis Galton (1822-1911)

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Folie 25

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13

Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist  

binomialverteilt, binomially distributed

Binomial‐Verteilung, Binomial distibution

( ) (1 )k n knP X k

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( ) (1 )k n kP X k p pk

Taschenrechner    Binom Pdf  

Pdf(binomial distribution (10,0.3),2)(n , p),k) 

Folie 26

Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist 

binomialverteilt

Binomial‐Verteilung

( ) (1 )k n knP X k p p

k

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Folie 27

The binomial distribution is used to model the number of successes in a sample of size n drawn with replacement from a population of size N. It must be n<<N

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08.11.2015

14

Binomial‐Koeffizienten

2 2 2( ) 2a b a ab b

binomial coefficient

( ) 2a b a ab b

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

4 4 3 2 2 3 4( ) 4 6 4a b a a b a b ab b

Höh Bi i h F l

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015  http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de

Höhere Binomische Formeln

Folie 30

( 1)...( 1)

1 2 3 ( 1)

n n n n k

k k k

Schreibe unten das Produkt bis k und oben genauso viele Faktoren

Binomial‐Koeffizientenbinomial coefficient

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Taschenrechner nCr(n,k) 

binomial coefficient Folie 31

www.wolframalpha.com

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15

Binomial‐Koeffizientenbinomial coefficient

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Taschenrechner nCr(n,k) 

binomial coefficient Folie 32

www.wolframalpha.com

Binomial‐Verteilung( ) (1 )k n kn

P X k p pk

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Taschenrechner    Binom Pdf  

Pdf(binomial distribution (10,0.3),2)(n , p),k) 

Folie 33

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16

Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist 

binomialverteilt

Binomial‐Verteilung

( ) (1 )k n knP X k p p

k

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015  http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de

Taschenrechner    Binom Pdf  

Pdf(binomial distribution (10,0.3),2)(n , p),k) 

Folie 34

Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist 

binomialverteilt

Parameter der Binomial‐Verteilung

( ) (1 )k n knP X k p p

k

The random variable X is binomial distibuted.

Parameter  n  und  p

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Folie 35

The binomial distribution is used to model the number X of successes in a sample of size n drawn with replacement from a population of size N.The probabiltiy of one single success is p. The parameters are n and p.

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17

Kenngrößen measures der Binomial‐Verteilung

( ) (1 )k n knP X k p p

k

Fläche für den Balken k.Area of the bar with number k.

Erwartungswertt ti l

n p dort steht der höchste Balken

expectation value

it is the position of the highest bar

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Folie 36

2 n p q

n p q

Varianz

Standardabweichung

variancestandard deviation

sigma

Binomial‐ und NormalverteilungW.-Rechner

1-sigma-Abstandliegt bei den Wendepunkten

Ergebnisse außerhalb sehr ungewöhnlich

dennoch

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gdes 2-sigma-Bereichs heißen „ungewöhnlich“,sie treten mit 5% W. auf.

dennoch mit 0.3% W

Beim Testen: signifikant auf dem 5% Niveau // hochsignifikantFolie 37

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18

Fixe Überlegungen quick thinking

Folie 39

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Fixe Überlegungen quick thinking

Folie 41

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08.11.2015

19

Kenngrößen der Binomialverteilung

Erwartungswert der Zufallsgröße X = Anz. der „ja“

in der Kette n, p

Oh je!

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( )E X n p Klein Fritzchen‐Wert

Folie 42

Kenngrößen der BinomialverteilungVarianz = Erwartungswert die Abweichungsquadrate

vom Mittelwert 2k 2( ) ( )Var P X k k noch 

schlimmer!

2

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Standard‐abweichung

2( ) (1 )

(1 )

Var X np p

n p p

Folie 43

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20

Seminarplan Stochastik 1

W.-RechnerDas war Stochastik 1 W. RechnerDas war Stochastik 1• Zufallswege,• Fundierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes,• Zufallsgröße, deren • Verteilung und Erwartungswert,

ß

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www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.deFolie 44

• Binomialverteilung und ihre Kenngrößen.

Beurteilende Statistik inferential statistics

Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit

schließende Statistikinferentielle Statistik

Die Aufgabe ist:The issue is:

t ti ti l i f f th l t th l ti

Testen:Hypothesentest

Schätzen:Konfidenzintervall

zwei Handlungs-Typen there are two types to handle it

statistical inference from the sample to the population

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hypothesis testing estimationconfidence interval

Folie 45

Wir wollen die Hypothese H1 durch eine Stichprobe statistisch stützenBisher galt (unsere Geger meinen) H0

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08.11.2015

21

Beurteilende Statistik inferential statistics

Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit

schließende Statistikinferentielle Statistik

Die Aufgabe ist:The issue is:

t ti ti l i f f th l t th l ti

Testen:Hypothesentest

Schätzen:Konfidenzintervall

zwei Handlungs-Typen there are two types to handle it

statistical inference from the sample to the population

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hypothesis testing estimationconfidence interval

Folie 46

Ziel: Forschungshypothese H1durch Stichprobe stützen.Intention: the sample shall support H1

Wir haben noch kein Wissen.Die Stichprobe soll Auskunft geben.We are nescient, the sample shall inform us

Forderungen an die Stichprobedemands on the sample

Generelle Voraussetzung: General conditionDie Stichprobe muss „repräsentativ“ sein. Am besten man verwirklicht : Jedes Element der Grundgesamtheit muss dieselbe Chancehaben, in die Stichprobe zu kommen, wie jedes andere.

The sample has to be representativ. The best way to do this is:Any element of the population must have the same chance to

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Any element of the population must have the same chance to come into the sample.

Folie 47

Es gibt verschiedene Wege, zu repräsentativen Stichproben zu kommen und die werden in speziellen Büchern oder dickem Statistik-Büchern vorgestellt.Andreas Quatember ISBN 978-3-642-39605-2 ISBN 978-3-642-39606-9 (eBook) (verständlich)

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Hypothesentest hypothesis testing

1 : 0 3H p

Experiment: Biolix put a lot of cardboard pices on the ground :30% round and 70% triangels

The scientists observed that newly hatched chicks soon start picking only round grains ra-ther than angular ones. They assume this behavior is hereditary, research hypothesis H1.

deutsch in meinem Buch 10.7.1

Man hat eine Vermutung, die wird zur „Forschungshypothese“ H1.

Das logische Gegenteil

1 : 0.3H p

0 : 0.3H p

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g gwird zur „Nullhypothese“H0.

Folie 48

Die Nullhypothese kann man niemals beweisen oder unterstützen oder (nach dem Test) für wahr halten. Sie bildet die stets die Rechengrundlage.

The null hypothesis H0 must be the logical contrary of H1. Ist is never possible to proof or support H0. All computation will based on H0.

Hypothesentest hypothesis testing

0 : 0.3H p Bernoulli trial rund/ eckig round or trianglemehr Attrappen als im Bild, more dummies then the picture shows

konstant0.3p Biolix watched one just sliped chick. It picked 5 times, among that 3 round forms.

He prepared the demonstration

Nein, keine Aussage möglich!!!No conclusion ist possible!!!

He prepared the demonstration for the scientists.

not significant

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Signifikanztest: Das Versuchsergebnis legt das „kritische Gebiet“ fest.

Dieser Versuch zeigt kein signifikantes Egebnis. 5% ?

Folie 49

citical region

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23

Hypothesentest als Signifikanztest

W.-Rechner

6 3

10 5

k

n

12 3

20 5

k

n Biolix zuerst

3

5

significant high significant

Die Aussagekraft steigt –bei gleichen Verhältnissen-mit dem Stichprobenumfang n.

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Hier ist es ein einseitiger Test, weil man vorher wusste, dass eher mehr runde Körner gepickt werden.

Folie 50

the same ratio but more power

The knowlege at the begin give the permission

for the one-sided test.

Sprechweisen beim HypothesentestHow to speak in hypothesis testing

W.-Rechner

1. Bei n=10 haben die Küken signifikant ( ) mehr runde Körner gepickt als zu erwarten war.

2. Bei n=20 haben die Küken hochsignifikant( ) mehr runde Körner gepickt als zu erwarten war

5%

1%

W. Rechner

1. By n=10 the chicks picked significantly more round grains than we expected.

runde Körner gepickt als zu erwarten war.

3. Wir nehmen daher unsere Forschungshypothese an: „Küken haben eine angeborene Vorliebe für runde Körner“ (Signifikanzniveau unter 5%)

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Folie 51

2. By n=20 the chicks picked high significantly (alpha < 1%) more ….

3. We accept our research hypothesis: „Chicks have a hereditary preferenz forround grains.“ (level of significance less than 5%)

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24

Hypothesentest

5%

W.-Rechner

Weitere Redeweisen:4. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von weniger als behaupten wir, dass Küken eine genetische Prägung auf runde Körner haben.

5. Wir konnten die Hypothese, Küken lernten erst allmählich, dass nur runde Körner essbar sind, auf einem Signifikanzniveau von unter 5% ablehnen.

5%

More modes of speaking:4. With an error probability of less than 5% we suggest thatChicks have a genetic imprinting for round grains

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Hypothesen gelten ganz oder gar nicht, sie haben keinerlei Wahrscheinlichkeit.

Folie 52

Chicks have a genetic imprinting for round grains.5. We could disclaim the hypothesis that chicks are learning day by day that onlyround grains are eatable with a 5%-level of significance.

english sentencefollows next

HypothesentestW.-Rechner

Falsche Redeweisen:6. Die Hypothese, dass das Picken auf runde Körner angeboren ist, gilt mit 95%Wahrscheinlichkeit.7. Nur 5% der Küken müssen das Picken auf runde Körner erst lernen.8. 95% des Pickverhaltens kann man mit der Genetik erklären.

6. The hypothesis that picking round grains is hereditary is valid with aprobability of 95%

Wrong modes of speaking:

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Folie 53

probability of 95%.7. Only 5% of the chicks have to lern to pink better round grains.8. 95% of the picking-behavior can be explained with genetics.

Correct is: No hypothesis has any probability. A hypothesis is total correct or total incorrect.

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Hypothesentest durchführen ‐1‐• Entscheide, welche Verteilung zu deinem Experiment passt.• Entscheide, ob es ein einseitiger oder zweiseitiger Test sein soll. Für „einseitig“ muss man vor der Durchführung Gründe für eine Richtung nennen • Nimm als Forschungshypothese Hypothese H1 die Behauptung, die

du mit dem Versuch absichern möchtest.• Die Nullhypothese H0 ist das logische Gegenteil.• Alle Rechnungen erfolgen mit den Parametern von H0. Diese sind die

Basis für deine potentiellen Gegner.• Nun gibt es zwei Wege weiterzumachen:

Erstens: Das Signifikanzniveau  ergibt sich aus dem Test. Du kennst das Gesetz alpha<=5%

Zweitens: : Das Signifikanzniveau  wird vorgegeben. Du nimmst den 

Verlust wichtiger Information in Kauf

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Folie 54

Du kennst das Gesetz alpha<=5%. Verlust wichtiger Information  in Kauf.

Der erste Weg reagiert darauf, dass es heute einfach ist, die Werte von zu berechnen. Z.B. ist beim links-einseitigen Test:

( )P X k

Der zweite Weg ist der ältere. Man wähltdas Niveau aus einer Liste aus.Z.B. gehört zu den 2-sigma-Grenzen das Niveau zweiseitig.

( )P X k 5%

Hypothesentest durchführen ‐2‐Erstens: „Signifikanztest“:• Führe die Schritte der vorigen Seite durch..• Führe den statistischen Versuch durch, das Ergebnis sei k.• k (inklusive) bildet die Grenze des kritischen Gebietes. Das ist der Teil der

x-Achse mit den Ergebnissen, die für die Hypothese H1 noch besser sind als k.

• Berechne auf der Basis von H0 • Für ist nichts entschieden. Das Ergebnis k ist verträglich mit H0,

du weißt nicht, ob H0 gilt oder nicht, du weißt nicht, ob H1 gilt oder nicht, .• Für kannst du H1 annehmen und H0 verwerfen. Das Ergebnis

k ist signifikant auf dem Niveau . Darüberhinaus ist die Wahrschein-lichkeit für den Fehler 1 Art also H1 anzunehmen obwohl H0 gilt

( )P X kritischem Gebiet 5%

5%

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Die Befürworter des zweiten Weges befürchten, man könnte das berechnete nehmen, auch wenn es größer als 5% ist. Aber das tut man nicht!!

Folie 55

lichkeit für den Fehler 1. Art, also H1 anzunehmen, obwohl H0 gilt.

Zweitens: Das kritische Gebiet folgt bei diesem Weg aus der Vorgabe von

Aber in einem zweiten Schritt wird bei diesem Weg der (genauere) Wert aus demersten Weg berechnet und man nennt ihn den P-Wert oder p-Wert.(Aus didaktischem Grund ist dieses ungeschickt, da p oft eine ganz andere Bedeutung hat.)

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How to do Hypothesis testing ‐1‐• Decide which type of distribution suits your experiment.• Decide, whether you take a one or a two sided test? For choosing „one

sided“ you would need reasons before you do the test.• Take as reseach hypothesis H1 the assumption you wish to proove.• The null hypothesis H0 is the logical contrary.• Any computation works on the values of H0. That is the basis for your

potential opponents.• There are two ways to proceed now:

First: level of significanceis result of testing. You accept the law alpha< 5%

Second: level of significancealpha is predefined. You accept

that important information is lost

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Folie 56

You accept the law alpha<=5% that important information is lost.

The first way is a modern approach, where the values of

are easy to compute.I.e. for a left sided test is( )P X k

The second way is the former type.You choose the level out of a list.I.e. with the 2-sigma-bounds youhave level two sided.( )P X k 5%

How to do Hypothesis testing ‐2‐First way: „significance testing“:

• Do the steps on the previous page.• Do the experiment. The result shall be k.• k (incusive) is the bound of the critical region. This is the part of the

x-axis, where the results are which are better than k for thehypothesis H1.

• Compute with the values of H0 • If nothing is decided. The result k is compatible with H0,

you don‘t know if H0 is valid or not, you don‘t know if H1 is valid ar not.• If you can accept H1 and reject H0. The result k is

significant on level . Furthermore is the probability for the error ofthe 1 kind that is the error to accept H1 while H0 is correct

( )P X critical region 5%

5%

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The promotors of the second way are afraid, that one could take the computedwithout respecting the less 5%-law. But this fear for good scientists is unrealistic.

Folie 57

the 1. kind, that is the error to accept H1 while H0 is correct.

Second way: The citical region comes here from the chosen . But in a second step the value from the first way will be computed und is called P-valueor p-value. (For didactical reasons it is no so good, because has an other meaning).

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Konfidenzintervalle intervals of confidence

KonfidenzKonfidenz

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Folie 58

n=40 k=12

Konfidenzintervalle intervals of confidence

Die Grenzen des Konfidenzintervalles sind die Erwartungswerte der Verteilungen, mit denen

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g ,die Zählung gerade noch verträglich auf dem Niveau ist.1

Folie 60

english follows

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The bounds of the confidence interval are the expectation values of the distibutions which are just compatible with the data on the level .1

Konfidenzintervalle intervals of confidence

1

approx minimumexact miniumdata….

2 1 Wi h 2 fü

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Folie 61

Wir nehmen z=2 fürNiveau 95%.Genauer wäre z=1.96.Der Unterschied ist unerheblich.

Fixe Überlegungen quick thinkingBeobachtung:observation:

k=23 von 184 Feldern mit Kohl haben den Schädlingk=23 of 184 fields with cabbage have the pest

23 1hPunktschätzungpoint estimation

23 1184 8 0.125 12.5%h

relative Häufigkeit, relative frequency

Es passt die Binomialverteilung n=184, p=hThe binomial distibution suits. yes/no pest/not pest

Konfindezintervall näherungsweise auf dem 95%-Niveau= Verträglichkeitsbereich für die Punktschätzung

Folie 62

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Confidence interaval approximative at the 95%-level = compatibility region of the point estimation

Wir erwarten zwischen 7,6% und 17,4% Felder mit Schädlingen. We expect …… fields with pest.

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Fixe Überlegungen quick thinkingEine Startwochengruppe kann man Zufallsauswahl der Erstis betrachten.

25 von 30 Erstis fahren Weihnachten zu den Eltern.Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall an, für den Anteil der Erstis insgeamt,die Weihnachten zu den Eltern fahrendie Weihnachten zu den Eltern fahren.

Folie 63

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One group of the starting week can be considered as random selction.

25 of 30 Erstis travel at christmas to the parents.Give the 95%-confidence interval an, for the ratio of all Erstis which travel at christmas to the parents.

Fixe Überlegungen quick thinkingEine Startwochengruppe kann man Zufallsauswahl der Erstis betrachten.

25 von 30 Erstis fahren Weihnachten zu den Eltern.Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall an, für den Anteil der Erstis insgeamt,die Weihnachten zu den Eltern fahrendie Weihnachten zu den Eltern fahren.

Unsere kleine Umfrage hat ergeben, dass zwischen 73% und 97% unsere Erstis Weihnachten zu den Eltern fahren.Die Wahrscheinlich für die Richtigkeit dieserAussage ist etwa 95%.

Folie 64

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One group of the starting week can be considered as random selction.

25 of 30 Erstis travel at christmas to the parents.Give the 95%-confidence interval for the ratio of all Erstis which travel at christmas to the parents.

Our result says: between 73% and 97% travel at christmas to the Parents.

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Seminarplan Stochastik 2Das war Stochastik 2• n-sigma-Grenzen und ihre Bedeutung

H th t t b i B lli h f• Hypothesentest bei Bernoulliversuchen aufder Grundlage derBinomialverteilung,

• Signifikanz, • Schätzen, Konfidenzintervalle.

Folien sind kein Lesebuch!

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Folie 65

Folien sind kein Lesebuch!Sides don‘t be a book for reading it!

Ohne Lesen kein Studium!No studies without reading!