Lateinquadrate

Lateinquadrate• Nur eine Standardanordnung für k=3 A B C

B C A

C A B

A C B B C A C A B C B AB A C

A B C

C A B

B C A

A C B B C A C A B C B AB A C

(Anzahl der Quadrate mit Standardanordnung) x k! x (k-1)! = 12

Lateinquadrate

• Standardanordnung, k=4

A B C DB A D CC D B AD C A B

A B C DB C D AC D A BD A B C

A B C DB D A CC A D BD C B A

A B C DB A D CC D A BD C B A

Jedes dieser Quadrate führt bei Festhalten der ersten Zeile auf 6 mögliche Permutationen der Zeilen 2 - 4.Zusammen mit den 24 Permutationen der ersten Zeile ergibt dies 144 mögliche Quadrate. Insgesamt : 4x24x6 = 576 Quadrate

Orthogonale Lateinquadrate

k=3A B C

B C A

C A B

A B C

C A B

B C A

Legt man die Quadrate übereinander, so taucht jede Kombination von Behandlungen gleich oft auf, z.B. hier AA, AB, BA, AC, CA … je einmal.

Wenn k eine Primzahl oder eine Potenz einer Primzahl ist lassen sich orthogonale Lateinquadrate konstruieren.

Konstruktion orthogonaler Lateinquadratek=5

A B C D EB C D E A

C D E A B

D E A B C

E A B C D

A B C D E

C D E A B

E A B C D

B C D E A

D E A B C

Konstruktion, k=5

A B C D ED E A B C

B C D E A

E A B C D

C D E A B

A B C D E

E A B C D

D E A B C

C D E A B

B C D E A

Bei Übereinanderlegen von zwei Quadraten kommt in den k2

Feldern jeweils ein Paar AA, BB, CC, DD, EE, sowie jeweils eines der k(k-1) Paare AB, BA, AC, CA, … vor.Die Konstruktion funktioniert für jede mögliche erste Zeile.

Williams-Quadrate

A B C DC A D BD C B AB D A C

k=4

In den Zeilen folgt jede Behandlung unmittelbar auf jede andere genau einmal, AB, BA, AC, CA, … .

Ausgewogenheit bezüglich einfacher Nachwirkungseffekte

Williams-Quadrate, k gerade

• Erste Zeile i1(1), …, ik(1) Permutation von 0, …, k-1

Z.B.: 0, 1, k-1, 2, k-2, 3, k-3, …, k/2 k=6: 0, 1, 5, 2, 4, 3 1 4 3 2 5

Bedingung: (ij(1)-ij-1(1))|mod k, j=2,…,k: Permutation von 1, …, k-1

Algorithmus zur Konstruktion: ij

(r+1)=ij(r)+1|mod k

Williams-Quadrate (Einschub)

• Erste Zeile nicht eindeutig ij(1) → „Prime to k“ x ij(1)|mod k

z.B. k=6: Multiplizieren mit 2

0, 1, 5, 2, 4, 3 0, 2, 4, 4, 2, 0 auch nicht mit 3!

mit 5 0 , 5, 1, 4, 2, 3

• Andere Anfangszeile 0, 2, 1, 4, 5, 3

Konstruktion eines Williams-Quadrats k=6

0A

1B

5F

2C

4E

3D

1 2 0 3 5 4

2 3 1 4 0 5

3 4 2 5 1 0

4 5 3 0 2 1

5 0 4 1 3 2

+1|mod 6

1 4 3 2 5

Williams-Quadrate, k ungerade• Zwei Quadrate zu Block zusammenfassen• Z.B.: k=3

0 1 2

1 2 0

2 0 1

2 1 0

0 2 1

1 0 2

1 1 2 2

Allgemein: Quadrat 1, 1.Z.: 0,1,k-1,2,k-2,…,(k-1)/2,(k+1)/2Quadrat 2, 1.Z.: (k+1)/2,(k-1)/2,…,k-2,2,k-1,1,0

Algorithmus: ij(r+1)=ij

(r)+1|mod k

Modell für ein LQ

Yijk= μ + ρi+ πj + τk + εijk

“Row”: Proband

“Column”: Periode

Behandlung

Zufallsfehler

Ausgewogene unvollständige Blöcke

• t Behandlungen• b Blöcke (z.B. Patienten)• k (<t) Behandlungen pro Block• Jede Behandlung einmal pro Block• r Wiederholungen jeder Behandlung insgesamt• λ mal jedes Behandlungspaar in den Blöcken

N=rt=bk λ(t-1)=r(k-1) b≥t

Ausgewogene unvollständige Blöcke

A B

B A

A C

C A

B C

C B

Blöcke(Patienten)

t=3b=6k=2r=4λ=2

N=12

Modell

Yij= μ + τi + βj + εij

Messung, wenn im Block jdie Behandlung i angewandt wurde

Behandlung

Block (Proband)

Zufallsfehler

Blöcke mit Behandlungswiederholungen(individuelle Bioäquivalenz)

R T R TT R T RT R T RR T R T

Abschätzung der Variabilität innerhalb der Blöcke zwischen verschiedenen Anwendungen der gleichen Behandlung oder bei Wechsel der Behandlungen.

BehandlungenR :Referenz

T: Test

Blöcke z.B. Probanden

Modell

Enthält

• Variabilität innerhalb der Probanden getrennt nach Behandlung

• Varianzkomponente für die Wechselwirkung Proband x Behandlung (Variabilität durch Wechseln der Behandlungen, “Switchability”)

Die Analyse von Fall-Kontroll-Studien

)|(?)|(

KXPXKP

• s “Fälle” mit der Erkrankung K

• r x s (r≥1) gematchte Kontrollen ohne Erkrankung

• X: Einflussvariablen, einschließlich der Exposition

Fall-Kontroll-Studie (Forts.)

• Z: Indikatorvariable ob Person in Fall-Kontroll-Studie• π1 = P(Z=1|K=1,X)• π0 = P(Z=1|K=0,X)

)|0()|1()|1(

)|0(),0|1(),1(),1|1()|1(),1|1(

),1|1(

01

1XKPXKP

XKPXKPXKZPXKPXKZP

XKPXKZPXZKP

Fall-Kontroll-Studie (Forts.)

1))|0(/)|)1()(/())|0(/)|1()(/(

)|0()|1()|1(

01

01

01

1

XKPXKPXKPXKP

XKPXKPXKP

1)...exp()/()...exp()/(1))|0(/)|)1()(/(

))|0(/)|1()(/(),1|1(

1101

1101

01

01

mm

mmxxxx

XKPXKPXKPXKP

XZKP

exp [α*]

Fall-Kontroll-Studie (Forts.)

1)...*exp()...*exp(

),1|1(

11

11

mm

mmxxxx

XZKP

Fall-Kontroll-Studie Bedingte logistische Regression

k-tes “Stratum” mit Fällen und Kontrollen, k=1,…,skn kn

s

k

nnn

n

setauss

m

lsll

n

j

m

lkjll

cond

kkk

k

k

x

x

L1

1

1 1

]exp[

]exp[

Wahrscheinlichkeit, dass gerade die nk beobachtenen Fälle im Stratum auftreten, bedingt dass irgend welche nk aus dem Stratum Fälle sind

Bedingte logistische Regression1 kk nn

s

Expositionerdiskordant

mitPaareKoIFallI

FallI

s

kKoI

KoI

FallIKoIFallI

FallI

KoIFallI

FallI

s

k

ee

e

e

e

eee

eee

e

k

k

kkk

k

kk

k

.)exp(.)exp(

.)exp(

1.)exp(

.)exp(

.)exp(.)exp(.)exp(

.)exp(

.)exp(.)exp(

.)exp(

1

11

1

1

1

1

1

1

1

Nur Exposition (ja/nein), keine weiteren Kovariablen

Lcond =