40
Lehrplan Mathematik Jgst. 8 http://isb.contentserv.net/g8/ http://www.isb.bayern.de

Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Lehrplan Mathematik Jgst. 8

http://isb.contentserv.net/g8/

http://www.isb.bayern.de

Page 2: Lehrplan Mathematik Jgst. 8
Page 3: Lehrplan Mathematik Jgst. 8
Page 4: Lehrplan Mathematik Jgst. 8
Page 5: Lehrplan Mathematik Jgst. 8
Page 6: Lehrplan Mathematik Jgst. 8
Page 7: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Kürzungen

Bruchungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen

Vierecke, „Beweistechniken“

Vektorbegriff

Tangentenkonstruktionen; Sehnenviereck; Tangentenviereck; Umfangswinkel

Flächenmessung bei Dreiecken und Vierecken

Einführung in die Raumgeometrie, Schrägbild

Page 8: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Inhalte

8.1 Funktionale Zusammenhänge (ca. 41 Std.) Proportionalität (ca. 9 Std.) Funktion und Term (ca. 9 Std.) Lineare Funktion (ca. 13 Std.) Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)

8.2 Stochastik: Laplace-Experimente (ca. 12 Std.)

8.3 Funktionale Zusammenhänge: elementare gebrochen-rationale Funktionen (ca. 16 Std.)

8.4 Strahlensatz und Ähnlichkeit (ca. 15 Std.)

Page 9: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

M 8.1.1 Proportionalität (ca. 9 Std.)

charakteristische Eigenschaften direkt und indirekt proportionaler Größen in Fachsprache beschreiben

Anwendung der neuen Kenntnisse bei Schlussrechnung sowie bei naturwissenschaftlichen Fragestellungen

experimentell Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Durchmesser ermitteln

direkte Proportionalität, dabei Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Radius

indirekte Proportionalität

Page 10: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

M 8.1.2 Funktion und Term (ca. 9 Std.)

unterschiedlichste funktionale Abhängigkeiten (z. B. Fieberkurven, Klimadiagramme, Handy-Tarife)

Unterschiedlichste Darstellungsformen, z. B. Tabellen, Diagramme, Terme

Beispiele verschiedenartiger Funktionen

spezielles Bsp. für nichtlinearen Zusammenhang: Kreisinhalt (anschauliche Herleitung)

Zusammenhang zwischen Term und Graph (Funktionsplotter)

Vertiefen von Rechenfertigkeiten (Werte von Bruchtermen, Wertetabellen)

Page 11: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

M 8.1.3 Lineare Funktion (ca. 13 Std.)

Anknüpfungen an direkte Proportionalität und Alltag

Vertrautwerden mit diesem grundlegenden Funktionstyp

Bestimmung von Nullstellen führt auf das Lösen von Gleichungen

Definition der linearen Funktion, Interpretation der Parameter

Arbeiten mit linearen Funktionen und ihren Graphen Lösen linearer Ungleichungen (rechnerische Lösung und

graphische Veranschaulichung)

Page 12: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

M 8.1.4 Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)

Schüler erkennen: Kenntnisse über lineare Funktionen bei der Lösung hilfreich

Bearbeitung inner- und außermathematischer Fragestellungen

graphische und rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten

Anwendung in Sachzusammenhängen- mind. 1 rechnerisches Lösungsverfahren

- kein Schwerpunkt auf „technischer Rechenfertigkeit“

Page 13: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

M 8.1.4 Lineare Gleichungssysteme (ca. 10 Std.)

Schüler erkennen: Kenntnisse über lineare Funktionen bei der Lösung hilfreich

Bearbeitung inner- und außermathematischer Fragestellungen

graphische und rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten

Anwendung in Sachzusammenhängen1. Gleichungen mit zwei Variablen

2. Ungleichungen mit zwei Variablen*

3. Gleichungssysteme mit 2 Variablen

4. Einsetzungsverfahren

5. Gleichsetzungsverfahren

6. Additionsverfahren

7. Sachaufgaben

8. Gleichungssysteme mit 3 Variablen*

Page 14: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

M 8.2 Stochastik: Laplace-Experimente (ca. 12 Std.)

Anknüpfen an Unterstufe: Zufallsexperimente, absolute und relative Häufigkeit

intuitiver, statistischer „Wahrscheinlichkeitsbegriff“ Fachsprache Baumdiagramme und geschicktes Abzählen Einsicht, dass eine umfassendere Formulierung des

Wahrscheinlichkeitsbegriffs nötig ist

Ergebnis, Ergebnisraum, Ereignis Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Zählprinzip Abgrenzung des Begriffs Laplace-Experiment durch Beispiele

Page 15: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

M 8.3 Funktionale Zusammenhänge: elementare gebrochen-rationale Funktionen (ca. 16 Std.)

Anknüpfen an indirekte Proportionalität

Schnittpunktbestimmungen führen auf Bruchgleichungen (flexibel lösen)

Rechnen mit Bruchtermen

Rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Beispiele gebrochen-rationaler Funktionen einfache Bruchgleichungen und Bruchterme, Auflösen von

Formeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Page 16: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

M 8.4 Strahlensatz und Ähnlichkeit (ca. 15 Std.)

Verbindung von Geometrie und Algebra

Lösen von Bruchgleichungen

Ähnlichkeitsbegriff im Zusammenhang mit dem maßstäblichen Vergrößern und Verkleinern von Figuren; funktionale Zusammenhänge

Strahlensätze Ähnlichkeit von Dreiecken

Page 17: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

M 8.1.1 Proportionalität - Palma

Aufgabe: Für eine Klassenfahrt wird ein Reisebus zu einem Festpreis gebucht. Wenn alle 30 Schüler mitfahren, muss jeder 20 EUR bezahlen. Wie viel muss jeder bezahlen, wenn nur 25 Schüler mitfahren?(mathematik lehren, Heft 118)

Page 18: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

M 8.1.1 Proportionalität - NICHT

200 Arbeiter arbeiten an 225 Tagen jeweils 8 h, nach 90 Tagen wird 1/5 der Arbeiter abgezo-gen, der Rest arbeitet dafür eine Stunde mehr. a)Wann wird der Tunnel fertig?b)Wie viele Arbeiter hätte man nach 90 Tagen abziehen können, damit der Tunnel nach 290 Tagen fertig wird, wenn die verbleibenden Arbeiter täglich 6 h arbeiten?

Page 19: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Der Kreisumfang in Jahrgangsstufe 8

const. d

U

Page 20: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

aus http://modellversuch-mathematik.he.schule.de/

Funktionale Zusammenhänge in Jahrgangsstufe 8

SchuhgrößeLehrer

Page 21: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Funktionale Zusammenhänge in Jahrgangsstufe 8

.1x

2 x:g und 10,5x x:f

Funktionen die sind Gegeben

a) Gib den Funktionsterm von f und Gleichung von g an.

b) Liegt A(-9 / -5,5) auf Gf?

c) Zeichne Gf und Gg in ein KOS.

d) Für welche x-Werte sind die Funktionswerte von f kleiner als Null? Was bedeutet dies für den Graphen Gf?

Page 22: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Vertiefen der Rechenfertigkeit in M 8.1.2

Zieltext „M 8.1.2 Funktion und Term

„... vertiefen sie ihre Rechenfertigkeit auch anhand einfacher Bruchterme …“

An nicht zu komplexe Beispiele folgender Art ist bei der Berechnung von Termwerten gedacht:

xxx

1xx1

2xx4

2

22

;;

Page 23: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Der Kreisinhalt in Jahrgangsstufe 8

2rrArA )(:

Page 24: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Der Kreisinhalt in Jahrgangsstufe 8

Page 25: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Zusammenfassung: Kreis in Jgst. 8 (ca. 4 Std.)

experimentell Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Durchmesser ermitteln:

Flächeninhalt als Beispiel für eine nicht-lineare Funktion

keine exakte Herleitung von π

keine Formeln für Bogenmaß und Kreisteile, nur intuitiv erkennbare Bruchteile: z. B. ¼, 1/6, 1/8

Wiederaufgreifen in Jgst. 9 und 10 explizit im LP verankert

const. d

U

2rrArA )(:

Page 26: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Lineare Funktion in Jahrgangsstufe 8

t

02x2

1

02x2

1

2x2

1y

Page 27: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Ergebnisse BMT 2002

25,9 %, 28,9 %

Page 28: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Stochastik in Jahrgangsstufe 8

Page 29: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Stochastik in Jahrgangsstufe 8

Page 30: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Stochastik in Jahrgangsstufe 8

Das Glücksrad wird einmal gedreht. Klaus, Peter und Irmi geben folgende Ergebnisräume an:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},{rot, grün, blau},{gerade Ziffer, ungerade Ziffer}.

Beurteile, ob man mit diesen Ergebnisräumen Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel von Laplace berechnen kann.

1

8

6 5

3

7

2

4

1

Page 31: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

a1

3)a(T

a) Berechne T(4), T(-5) und T( 1/2).

b) Welchen Wert der Variablen a darfst du nicht in diesen Term einsetzen?

c) Wo liegen die Zahlen auf dem Zahlenstrahl, die beim Einsetzen möglichst große Termwerte ergeben?

Beispielaufgabe: Bruchterm in Jgst. 7

Page 32: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Vereinfache die beiden Terme, falls dies möglich ist.

a) b)

Begründe, dass die Termwerte von b) nicht größer als 1 werden können, egal welche Zahl man für x einsetzt.

x6x3

x92 2x5

5

Beispielaufgabe: Bruchterme in Jgst. 8

Page 33: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Ergebnisse BMT 2001

56,0 %, 13,6 %, 24,6 %

Page 34: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Beispiele gebrochen-rationaler Funktionen

einfache Funktionen als gebr.-rat. erkennen und zeichnen können (Wertetabelle)

Termbeispiele:

maximal eine Polstelle, keine schiefen Asymptoten

keine Systematik mit Zähler- und Nennergrad

Funktionsplotter zur Visualisierung verwenden, Kurvenverlauf/Eigenschaften des Graphen in einfachen Fällen aus Term begründen

kein Thematisieren des Grenzwertbegriffs, nur aus dem Term und Graph Annäherungen erkennen

22

2

2 x

12,

1x

x2,

x

5,1

2x

4,

2x

4,

3x

x,

x2

1

Page 35: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Gebrochen-rationale Funktionen und Bruchgleichungen

Funktion aus verschiedenen Graphen erkennen

Näherungslösung der Gleichung graphisch bestimmen

x2

1x

x2

11x

Page 36: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Bruchgleichungen

1. Bruchgleichungen, z. B. Schnittpunkt der Graphen von Funktionen mit Term

und

2. Auflösen von Formeln, z. B. Flächenformel Trapez, Linsengleichung

12x

3)x(f

1x

1x)x(g

Page 37: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Bruchgleichungen in Jahrgangsstufe 8 - NICHT

Page 38: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Ergebnisse BMT 2003 - 31,3 %

31,3 %

Page 39: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten in Jahrgangsstufe 8

2

355

43n3263241

xyx

yx,xx,x9)x3(,a:a,)2(,5,0

Finde alle zueinander äquivalenten Terme:

x10 , x-6 , (x-2)4 , x5 + x5 , (-x)6 , x-8 , x15:x5 , x-22x16 , -x6

Page 40: Lehrplan Mathematik Jgst. 8

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

Christian Scheungrab

Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung, Abt. Gym.

Schellingstr. 155

80797 München

089 – 2170 – 2138

[email protected]