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Inhaltsangebote
• Lernbereich Deterministisches Chaos• Einführender Überblicksvortag • Wir bauen …• EXPERIMENTIERPHASE 1• Modellierung und Moebius• Populationsdynamik • Theoretische Hintergründe für Beispiele aus Mechanik
und Elektrik• EXPERIMENTIERPHASE 2• Wege ins Chaos• Herzrhythmus und Physik
Fadenpendel mit beliebiger Auslenkung (Stabpendel)
Fadenpendel mit geringer Auslenkung
Kugelschale mit MuldenParabelförmige Kugelmulde
Magnetpendel, Doppelpendel, …
Elektrischer Schwingkreis mit nichtlinearem Blindelement
Elektrischer Schwingkreis
Drehpendel mit UnwuchtDrehpendel
Ebenes FederpendelLinearer Federschwinger
0=⋅+⋅••
xkxm 0),(),(
0),(),(
=⋅+⋅
=⋅+⋅
••
••
yxFyxl
yym
yxFyxl
xxm
Feder
Feder
02 =⋅⋅⋅+⋅⋅••
ϕϕ lgmlm 0sin2 =⋅⋅⋅+⋅⋅••
ϕϕ lgmlm
1. Lineare und nichtlineare Systeme
2. Nichtlineare SystemeDissipative Systeme
(Energiedurchströmung)
Lorenzmodell
Getriebenes Drehpendel mit Unwucht und Wirbelstromdämpfung
Getriebener nichtlinearer elektrischer Schwingkreis mit ohmschem Widerstand
Getriebenes Einfachpendel mit Reibung
Begriffe: Bifurkation
Intermittenz
Seltsamer Attraktor
Konservative Systeme
(Energieerhaltung)
Einfach- und Doppelpendel
Magnetpendel (ohne Dämpfung)
Planetensystem (Dreikörperproblem)
3. Nichtlineare Rückkopplung
3.1. Logistische Abbildung
3.2. Pohlsches Drehpendel
3.3. Elektrischer Schwingkreis
21 )1( nnnnn xrxrxxrx ⋅−⋅=−⋅⋅=+
PopulationsmodellNa aktuelle Tierzahl
Nn= c*Na nächste Generation
c : Reproduktionsfaktorc > 1 => Überbevölkerungc < 1 => Aussterben
Dämpfungsfaktor (Nmax – Na)/Nmax=(1- Na/Nmax)
Nmax – maximal „ernährbare“ Tierzahl
mit Na/Nmax = xa 0<xa<1Nn/Nmax = xn 0<xn<1c = r*(1-xa)
folgt die Gleichung für die logistische Abbildung
3.1. Logistische Abbildung
xn = r*xa*(1-xa) oder xn+1 = r*xn*(1-xn)
Iteration und Nichtlinearität
21 )1( nnnnn xrxrxxrx ⋅−⋅=−⋅⋅=+
nichtlineare Rückkopplung
0,30 ≤< r 0,40,3 ≤< r
„gewöhnliches Verhalten“ „überraschendes Verhalten“
3.2. Pohlsches Drehpendel
Drehschwingermit Zusatzmasse
Feder
Antrieb Wirbelstrom-dämpfung
Energiezufuhr Energieabgabe
Nichtlinearität
Energie strömt durch ein nichtlineares System(nichtlineares dissipatives System)
3.2.1. Drehpendel ohne Zusatzmasse�
030
6090
120
150
30
6090
120
150
lineareSpiralfeder
Exzenter
Wirbelstrombremse
Energiezufuhr Energieabgabe
harmonische Anregung
harmonische Reaktion
tMDJ 000 sin ωϕδϕϕ ⋅+⋅−⋅−=⋅•••
Energiezufuhr durch Exzenter
Energieabgabedurch Wirbelstrombremse
Linearität durch Spiralfeder
Diagramme des linearen Drehpendels
t
�
�
�
�
harmonische Anregung
harmonische Reaktion
Zeitdiagramm
Phasendiagramm
3.2.2. Drehpendel mit Zusatzmasse
tMrgmDJ Z 00 sinsin ωϕδϕϕϕ ⋅+⋅−⋅⋅⋅+⋅−=⋅•••
Energiezufuhr durch Exzenter
Energieabgabedurch Wirbelstrombremse
Nichtlinearität durch Zusatzmasse
�
030
6090
120
150
30
6090
120
150
lineareSpiralfeder
Exzenter
Wirbelstrombremse
Nichtlinearitätdurch Zusatzmasse ( )m
Energiezufuhr Energieabgabe
harmonische Anregung
nichtharmonische Reaktion
Diagramme des nichtlinearen Drehpendels
harmonische Anregung
nichtharmonische Reaktion
t
�
�
�
�
Phasendiagramm
Zeitdiagramm
Zweite Bifurkation
3.3. Elektrischer Schwingkreis
Energie strömt durch ein nichtlineares System(nichtlineares dissipatives System)
Generator
Diode als nichtlineare Kapazität
Ohmscher Widerstand mit Joulescher Abwärme
Energiezufuhr
EnergieabgabeNichtlinearität
3.3.1. Linearer elektrischer Schwingkreis
harmonische Anregung
harmonische Reaktion
G
Energiezufuhr Energieabgabe
lineare Kapazität
R L C30kHz
UA
UC
ACRL uuuu =++
)sin(1 tUQC
QRQL ⋅⋅=⋅+⋅+⋅∧•••
ω
Energiezufuhr durch Generator
Energieabgabe durch Joulesche Wärme
Linearität durch konstante Kapazität (und konstante Induktivität)
t
UA
UC
UC
UA
Diagramme des linearen elektrischen Schwingkreises
harmonische Anregung
harmonische Reaktion
Phasendiagramm
Zeitdiagramm
3.3.2. Nichtlinearer elektrischer Schwingkreis
G
Energiezufuhr Energieabgabe nichlineare Kapazität
R L CD( )U30kHz
UA
UD
ADRL uuuu =++
harmonische Anregung
nichtharmonische Reaktion
)sin()1)(exp(0 tUUC
QUQRQLoo
⋅⋅=−⋅
⋅+⋅+⋅∧•••
ω
Energiezufuhr durch Generator
Energieabgabe durch Joulesche Wärme
Nichtlinearität durch spannungsabhängige Kapazität
t
UA
UD
UD
UA
Diagramme des nichtlinearen elektrischen Schwingkreises
Phasendiagramm
Zeitdiagramm
harmonische Anregung
nichtharmonische Reaktion