6. und 7. Klasse Losungen zu den Aufgaben vom September 2006 (Nr. 5)

Liebe Schulerinnen und Schuler!

Hier sind nun Losungsvorschlage zu den Aufgaben der Nr.5, September 2006. Bitte lest

euch diese Losungsvorschlage wie immer gut durch und versucht diese zu verstehen. Das kann euchbeim Losen von anderen Aufgaben helfen.Und noch einmal die dringende Bitte: Schreibt auf jedes eurer Blatter, die ihr abgebt, eu-ren Namen und eure Klasse. Das erleichtert uns die Arbeit sehr, da wir dann wissen, welcheLosungsblatter zusammengehoren.

Losung zu Aufgabe 1:Bei dieser Aufgabe ging es darum, die Addition von Romischen Zahlen mit Hilfe eines Rechenschemasnachzuvollziehen.Ihr solltet die Romischen Zahlen entsprechend der Aufgabenstellung in die entsprechenden Feldereintragen und dann ’Steinchen’ in die zugehorigen Stellenwertfelder legen. Dabei musstet ihr aufpassen,denn z.B. die Zahl IV kann im Schema nur so veranschaulicht werden, indem vier Steinchen in dasStellenwertfeld I gelegt werden.Nun werden die Steinchen von oben nach unten in das graue Feld geschoben. Dort steht die Summeder beiden Zahlen. Diese Summe muss noch ein wenig bearbeitet werden, damit sie den RomischenZahlen entspricht. Ein dunkler Stein, der auf der unteren Linie des grauen Feldes liegt ist dabei einUbertrag aus der rechts daneben stehenden Spalte.Dann solltet ihr die Romischen Zahlen zur Kontrolle in unser Zahlensystem ubertragen und uberprufen,ob die Rechnung mit den Romischen Zahlen richtig ist.

Unten sind die drei Rechnungen abgebildet, die euch zeigen, wie die Romer mit diesem Schema ge-rechnet haben.

Oktober 2006

Losung zu Aufgabe 2:Diese Aufgabe war wieder dazu gedacht, dass ihr Moglichkeiten seht, wie ihr euch große Zahlen besserveranschaulichen konnt, um von deren Große ein ungefahres Gefuhl zu bekommen.

Also legen wir Reiskorner auf die Felder eines Schachbrettes. DasBild rechts stammt aus dem Buch 100 Eier des Kolumbus von G.Nieseaus dem Kinderbuchverlag.Fur die weitere Arbeit ist naturlich eine Tabelle sinnvoll.

1. Feld: 1 Reiskorn2. Feld: 2 · 1 Reiskorn = 2 Reiskorner3. Feld: 2 · 2 Reiskorner = 4 Reiskorner4. Feld: 2 · 4 Reiskorner = 8 Reiskorner5. Feld: 2 · 8 Reiskorner = 16 ReiskornerDieses Verfahren konnten wir naturlich bis zum 64. Feld so fortset-zen. Das ist aber sehr muhevoll. Auf Grund der standigen Verdopp-lung der Anzahl der Reiskorner bemerken wir namlich, dass z.B. dieAnzahl der Reiskorner auf dem 5. Feld auch als 16 = 2 · 2 · 2 · 2geschrieben werden kann. Das kann man aber auch als 24 notieren,wie ihr wisst. Die Anzahl der Reiskorner auf einem Feld entsprichteiner Potenz mit der Basis 2 und einem Exponenten, der um 1 kleiner ist als die Feldnummer.Mit dieser Uberlegung ergibt sich sofort die Anzahl der Reiskorner auf dem64. Feld: 263 Reiskorner. – Ist das viel?

Benutzt ihr euren Taschenrechner (entweder benutzt ihr die Taste yx oder ihr fuhrt die Multiplikation

mit 2 tatsachlich am Rechner 62 mal aus), so stoßt euer Rechner sehr schnell an Grenzen. Als Ergebnishaben wir mit unserem Taschenrechner die Ausgabe 9, 223372037 · 1018 erhalten. Also kein genauesErgebnis, sondern nur ein gerundetes. Aber wir wissen, dass wir eine 19 stellige Zahl erhalten, die mit922337... anfangt. Die genaue Zahl der Reiskorner auf dem 64. Feld ist 9 223 372 036 854 775 808 – aufdas Korn genau. Dieses Ergebnis erhalt man dann doch mit ‘Handrechnung’. Also:

a) Auf dem 64. Feld des Schachbrettes mussen 9 223 372 036 854 775 808 Reiskorner liegen.

b) Um die Anzahl aller Korner auf dem Schachbrett zu bestimmen, muss man nun doch die Anzahlfur jedes einzelne Feld ausrechnen und dann alle Zahlen addieren. Dies ist wieder der muhevolle Weg,der aber naturlich zum Ziel fuhrt. Aber auch hier gibt es eine mathematische Uberlegung die uns dieArbeit vereinfacht. Dazu bezeichnen wir mit S die Summe aller Reiskorner auf dem Schachbrett.Es ist folglich S = 1 + 21 + 22 + 23 + 24 + ...+ 263.Von dieser Summe bestimmen wir das Doppelte:

2S = 2 · (1 + 21 + 22 + 23 + 24 + ...+ 263), also= 2 · 1 + 2 · 21 + 2 · 22 + 2 · 23 + 2 · 24 + ...+ 2 · 263 oder= 21 + 22 + 23 + 24 + ...+ 264.

Und nun das Uberraschende: Zieht man vom Doppelten der Summe S die Summe S wieder ab, soerhalt man wieder die Summe S. Mit unseren Summen ergibt sich:

– 2 –

Oktober 2006

S = 2S − S= (21 + 22 + 23 + 24 + ...+ 264) − (1 + 21 + 22 + 23 + 24 + ...+ 263)= 21 + 22 + 23 + 24 + ...+ 264 − 1 − 21 − 22 − 23 − 24 − ...− 263

= 264 − 1.

Damit haben wir die Moglichkeit, die Summe der Reiskorner auf dem gesamten Schachbrett sehr schnellauszurechen. Wir mussen nur die Zahl aus a), das ist ja 263, verdoppeln und erhalten 264. Davon mussenwir nur noch 1 Reiskorn abziehen – um auf das Reiskorn genau zu bleiben. Wir erhalten damit, dassder Konig dem weisen Brahmanen 18 446 744 073 709 551 615 Reiskorner hatte zur Verfugung stellenmussen. Das sind 18 Trillionen 446 Billiarden 744 Billionen 73 Milliarden 709 Millionen 551 Tausend615 Reiskorner, falls es jemanden interessiert, wie man diese Zahl ausspricht.

c) Wir betrachten nun einen Wurfel mit der Kantenlange von 1 m. Das Volumen dieses Wurfels betragt1 m3 = 1 000 000 cm3.Weil 1 000 000 : 25 = 40 000 ist, passen in einen solchen Wurfel 40 000 · 1 000 = 40 000 000 Reiskorner.Die Masse eines solchen Wurfels betragt dann 40 000 · 20 g = 800 000 g = 800 kg.

d) Die Anzahl der Wurfel, in die man die Reiskorner vom 64. Feld verpacken musste,betragt 9 223 372 036 854 775 808 : 40 000 000 ≈ 230 584 300 922.

Fur alle Reiskorner auf dem Schachbrett wurde man ca. 461 168 601 843 Wurfel benotigen.

e) Wurde man alle Wurfel, die man fur die Reiskorner des 64. Feldes benotigt, ubereinander stapeln,so ware dieser Turm 230 584 300 921 m ≈ 230 584 301 km hoch. Das ist ca. 600 mal die mittlereEntfernung von der Erde zum Mond.

f) Die Masse der Reiskorner auf dem 64. Feld wurde 230 584 300 921·800 kg = 184 467 440 736 800 kg ≈184 467 440 737 t betragen. Das ist fast das 300fache der Weltjahresproduktion an Reis aus dem Jahr2005.

Losung zu Aufgabe 3:Nun zu den Dreieckskonstruktionen: Die fertigen Konstruktionen werden euch weiter unten gezeigt.Das allein reicht aber im Allgemeinen zur Losung nicht aus. Denn es gehoren eine Konstruktionsbe-schreibung und Uberlegungen zur Moglichkeit bzw. Eindeutigkeit der Konstruktion dazu.Bevor ihr allerdings mit der Konstruktion beginnt, solltet ihr euch eine Skizze eines Dreiecks ABCmachen, in dem ihr die Bezeichnungen von benotigten Eckpunkten, Seiten und Winkeln eintragt. Au-ßerdem sollten dort auch die gegebenen Stucke deutlich hervorgehoben werden. Das ist hier in denbeiden Bildern gezeigt.

An dieser Stelle wird es auch Zeit, dass ihr euch uber die Reihenfolge der KonstruktionsschritteGedanken machen solltet. Fur beide Konstruktionen ist sicher das Zeichnen der Strecke AB als Anfangmoglich. Auch der gegebene Winkel α lasst sich problemlos an die Strecke AB im Punkt A antragen.Dann haben wir also die Strecke AB und den Winkel α konstruiert. Von α haben wir noch einen‘freien’ Schenkel, auf dem noch ein Punkt C so bestimmt werden muss, dass ABC den Vorgaben dergesuchten Dreiecke entspricht. Dies ist nun fur beide Teilaufgaben unterschiedlich:

– 3 –

Oktober 2006

Bei a) muss C so auf dem freien Schenkel vonα gewahlt werden, dass sein Abstand zu B dergeforderten Lange a = 3 cm entspricht. Solltestdu nun versuchen wollen, dein Lineal solange hinund her zu verschieben, bis du eine Stelle gefun-den hast, die der geforderten Bedingung genugt,so ist das keine Losung im Sinne einer Konstruk-tion. Besser geht es mit einem Zirkel, an demdu die Zirkelspanne 3 cm einstellst und um Beinen Kreis zeichnest. Weil jeder Punkt auf demKreis von B genau 3 cm entfernt ist, sind es ins-besondere die Schnittpunkte dieses Kreises mitdem freien Schenkel des Winkels α. Dort findestdu dann auch die gesuchten Punkte, falls dieserKreis diesen freien Schenkel schneidet.Hier entscheidet es sich, ob die Konstruktionuberhaupt moglich ist. Wenn namlich die Seite amit einer zu kleinen Lange vorgegeben war, dannist die Aufgabe nicht losbar.

Bei b) muss C so auf dem freien Schenkel vonα gewahlt werden, dass sein Abstand zur SeiteAB der geforderten Lange hc = 2 cm entspricht.Auch hier ist das Hin- und Herschieben des Geo-dreiecks nicht im Sinne einer Konstruktion. Wiruberlegen uns, dass wegen hc = 2 cm der PunktC von der Geraden durch die Punkte A und Bden Abstand 2 cm haben muss. Alle Punkte, diediese Bedingung erfullen, liegen auf einer Paral-lelen zu dieser Geraden im gegebenen Abstand.Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem frei-en Schenkel von α liefert dann den gesuchtenPunkt C.Im Unterschied zu a) gibt es diesen Punkt immer,egal wie die Großen des Winkels und der Hohevorgegeben sind. Es gibt auch hier immer nureinen einzigen Schnittpunkt. Damit gibt es beidieser Aufgabe immer eine eindeutig bestimmteLosung.

a) Konstruktionsbeschreibung:Zuerst zeichnen wir die Strecke AB mit der Langec = 5 cm. Dann tragen wir im Punkt A den Win-kel α mit der Große von 30◦ an. Nun wird umB ein Kreis mit dem Radius a = 3 cm gezeich-net. Dieser Kreis schneidet den freien Schenkeldes Winkels α in den beiden Punkten C1 undC2.ABC1 und ABC2 sind zwei verschiedene Drei-ecke, die die Vorgaben erfullen.

b) Konstruktionsbeschreibung:Zuerst zeichnen wir die Strecke AB mit der Langec = 5 cm. Dann tragen wir im Punkt A denWinkel α mit der Große von 30◦ an. Nun zeich-nen wir die Parallele p zu AB, die den Abstandhc = 2 cm von dieser Strecke hat. Diese Paralleleschneidet den freien Schenkel des Winkels α indem Punkt C.ABC ist das gesuchte Dreieck, das die Vorgabenerfullt. Dieses Dreieck ist eindeutig bestimmt.

Vorhergehende Ausgaben der gibt es zusammen mit den Losungen im Internet unter

www.minet.uni-jena.de/∼schmitzm/gedankenblitze.

Die GedankenBlitze sind per E-mail unterMichael.Schmitz@mathematik.uni-jena.de zu erreichen.

– 4 –