Lineare Algebra Isteinhauerm/WiSe2019... · 2019-11-06 · Grundbegri e (30.10.2019) Michael Hinze Komplexe Zahlen geometrisch Komplexe Zahlen z =a +bi können in der Gauÿ'schen

Grundbegri�e (30.10.2019)Michael Hinze

Lineare Algebra I

Michael Hinze

Koblenz, 30. October 2019


Was ist lineare Algebra?


Körper-Axiome der reellen Zahlen

Mit R bezeichnen wir die Menge aller reellen Zahlen, auf denen wir dieVerknüpfungen Addition und Multiplikation wie folgt de�nieren:

+ ∶ R ×R→ R, (x, y)↦ x + y ,

⋅ ∶ R ×R→ R, (x, y)↦ x ⋅ y =∶ xy ,

Axiome der AdditionA1 Assoziativgesetz.

∀x, y , z ∈ R ∶ (x +y)+ z = x + (y + z).

A2 Kommutativ Gesetz.∀x, y ∈ R ∶ x + y = y + x.

A3 Neutrales Element.∃0 ∈ R∀x ∈ R ∶ x + 0 = x.

A4 Negatives Element.∀x ∈ R∃ − x ∈ R ∶ x + (−x) = 0.

Axiome der Multiplikation

M1 Assoziativgesetz.∀x, y , z ∈ R ∶ (xy)z = x(yz).

M2 Kommutativ Gesetz.∀x, y ∈ R ∶ xy = yx.

M3 Neutrales Element.∃1 ∈ R,1 /= 0,∀x ∈ R ∶ x ⋅ 1 = x.

M4 Inverses Element.∀x ∈ R∖{0}∃x−1 ∈ R∖{0} ∶ xx−1 = 1.

Distributiv Gesetz

D ∀x, y , z ∈ R ∶ x(y + z) = xy + xz.


Gruppen

Sei G eine Menge und

∗ ∶ G ×G → G , (a,b)↦ ∗(a,b) ≡ a ∗ b

eine Verknüpfung.

De�nition

(G ,∗) heiÿt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind.

G1 (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) (Assoziativgesetz)

G2 Es gibt ein e ∈ G (Neutrales Element) mit den Eigenschaften

a) e ∗ a = a für alle a ∈ G ,b) zu jedem a ∈ G gibt es ein a′ ∈ G (inverses Element) mit a′ ∗ a = e.

Die Gruppe (G ,∗) heiÿt abelsch oder kommutativ, falls zusätzlich a ∗ b = b ∗ a für allea,b ∈ G gilt.

Neutrales und inverses Element sind eindeutig bestimmt, siehe Kapitel 1.2.3Fischer. Nachweis wie bei den Folgerungen aus den Körperaxiomen von R.


Rechenregeln (aus Fischer, Seiten 44-45)


Beispiele


Körper

De�nition

Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen

+ ∶ K ×K → K , (a,b)↦ a + b und ⋅ ∶ K ×K → K , (a,b)↦ a ⋅ b

heiÿt Körper, wenn gilt

K1 (K ,+) ist abelsche Gruppe (neutrales Element heiÿt 0, inverses Element −a).

K2 (K ∖ {0}, ⋅) ist abelsche Gruppe (neutrales Element heiÿt 1, das zu a inverseElement a−1).

K3 Es gelten die Distributiv Gesetze

∀a,b, c ∶ a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c und (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c.


Rechenregeln (aus Fischer, Seiten 56-57)


Beispiele


Beispiele


Komplexe Zahlen → Motivation

−5 5 x

−10

−5

y

y = x2+4x−5

= (x+5)(x−1)

−5 5 x

10

5

y

y = x2+4x+5

Quadratische Gleichungen mit und ohne Lösungen in R

Erweiterung von R notwendig → Komplexe Zahlen.


Komplexe Zahlen

Wir wollen einen Zahlenkörper de�nieren, in dem jedes Polynom eine Nullstellebesitzt.Betrachte etwa x2 + 4x + 5 = 0. Mit der p − q Formel ergibt sich

x1,2 = −2 ±√

−1.

Was ist√

−1?

1) Unter einer komplexen Zahl z ∈ C versteht man einen Ausdruck der Form

z ∶= a + b i mit a,b ∈ R.

a ∈ R heiÿt Realteil von z ∶ a =∶ Re z, b ∈ R heiÿt Imaginärteil vonz ∶ b =∶ Im z und i imaginäre Einheit.

2) Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sowohl die Realteile als auch dieImaginärteile übereinstimmen. Insbesondere ist

a + bi = 0⇐⇒ a = 0 ∧ b = 0 .

3) Ist z = a + b i , so heiÿt z = a − b i die zu z konjugiert komplexe Zahl.


Komplexe Zahlen - Addition & Multiplikation

Wir statten die komplexen Zahlen mit einer Addition und einer Multiplikationwie folgt aus:Addition:

z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

Multiplikation:

z1 ⋅ z2 = (a1 + b1i) ⋅ (a2 + b2i) = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i

∣z ∣2 ∶= zz ≡ a2 + b2 heiÿt Betrag von z = a + bi .

Division (Voraussetzung z2 = a2 + b2i ≠ 0):

z1

z2=

a1 + b1i

a2 + b2i=

(a1 + b1i)(a2 − b2i)

(a2 + b2i)(a2 − b2i)=

=

a1a2 + b1b2

a22+ b2

2

+

a2b1 − a1b2

a22+ b2

2

i =z1z2

∣z2∣2(1)

Damit folgt dann insbesondere

i2 = −1.


Beispiele und Folgerungen


Beispiele und Folgerungen


Komplexe Zahlen und die Gauÿ'sche Zahlenebene

In einem (x, y)-Koordinatensystem tragen wir auf der x-Achse den Realteil undauf der y-Achse den Imaginärteil einer komplexen Zahl z = a + bi ab. Dannentsprich jede komplexe Zahl einem Punkt in der Gauÿ'schen Zahlenebene.

Im z

Re z0

z=2+i

2

1

Die Gauÿ'sche Zahlenebene ist ein Bild des Körpers C der komplexen Zahlen, diereelle Achse stellt dabei den Teilkörper R der reellen Zahlen dar.


Komplexe Zahlen geometrisch

Komplexe Zahlen z = a + b i können in der Gauÿ'schen Zahlenebene durch

Punkte (später auch Vektoren genannt) 0⃗z mit den Komponenten a,bdargestellt werden. Addition und Subtraktion entsprechen dann der Addition undSubtraktion von Punkten (Vektoren).

Im z

Re z0

z z b

b

a a

z +z

z -z

a -a

b +b

1 2

A

B

C

(-z )

(z )

1 2 1 2 2

2

2

1

1 1

1 2b -b

1 2 2

2

1 2

a +a

Aus dem Dreieck 0AB liest man die Gültigkeit der Dreiecksungleichung fürkomplexe Zahlen ab. Es ist

∣0B ∣ ≤ ∣0A∣ + ∣AB ∣ , also ∣z1 + z2∣ ≤ ∣z1∣ + ∣z2∣ .

Ebenso gilt im Dreieck 0AC

∣0C ∣ ≥ ∣AC ∣ − ∣0A∣ und

∣0C ∣ ≥ ∣0A∣ − ∣AC ∣ , also ∣z1 − z2∣ ≥ ∣∣z1∣ − ∣z2∣∣


Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten

Sei z = a + b i .

Im z

Re z0

z=a+bi

b

a

r

φφ

Mit it r ∶= ∣z ∣ gilt

a = r cosφ , b = r sinφ , r =√

a2 + b2 , tanφ =

b

a(a ≠ 0).

Multiplikation zweier komplexer Zahlen z = ∣z ∣(cos φ + i sin φ) undw = ∣w ∣(cos ψ + i sin ψ) in Polarkoordinatendarstellung ergibt sich

z ⋅w = ∣z ∣∣w ∣(cos(φ +ψ) + i sin(φ +ψ)).

Für die Division zweier komplexer Zahlen z und w (∣w ∣ ≠ 0) ergibt sich

z

w=

∣z ∣

∣w ∣(cos(φ −ψ) + i sin(φ −ψ)),

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