Lineare Algebra

Peter Knabner · Wolf Barth

Lineare Algebra Grundlagen und Anwendungen

2., überarbeitete und erweiterte Aufl age

Peter KnabnerLehrstuhl Angewandte Mathematik 1Universität Erlangen-Nürnberg Department MathematikErlangen, Deutschland

Wolf Barth†Erlangen, Deutschland

ISBN 978-3-662-55599-6 ISBN 978-3-662-55600-9 (eBook) https://doi.org/ 10.1007/978-3-662-55600-9

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Verantwortlich im Verlag: Annika Denkert

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Vorwort zur zweiten Auflage

Trotz seines Umfangs hat dieses umfassende Lehr-, Lern- und Referenzbuch der Linea-ren Algebra eine sehr freundliche Aufnahme und vielfältige Benutzung auch über denuniversitären Bereich hinaus erfahren. Anscheinend wird gerade da eine Darstellung derLinearen Algebra geschätzt, die sich nicht im Glasperlenspiel erschöpft, sondern eine ri-gorose Darstellung der Grundlagen mit belastbaren Anwendungen verknüpft. Damit isteine zweite Auflage überfällig. Dies umso mehr, da uns leider mittlerweile eine Reihe vonSchreib- und Druckfehlern bekannt geworden sind. Diese sind zwar mit minimalen Aus-nahmen orthographischer und selbstkorrigierender Natur, dennoch gerade für die lesendenAnfänger hinderlich. Sie sind hier sämtlich korrigiert. Im Bestreben, die erste Auflage wei-terhin vollwertig nutzbar zu halten, sind diese Korrekturen in entsprechenden Listen (1 bis3) dokumentiert. Diese finden sich auf der Website

http://www.math.fau.de/knabner/LA.

Dort finden sich auch, nach Eingabe des entsprechenden Passworts, die ergänzenden Auf-gaben und Lösungen zum zugehörigen Aufgabenband

Lineare Algebra - Aufgaben und Lösungen, Springer Verlag, 2017.

Trotz des schon bestehenden Umfangs konnte ich1 der Versuchung nicht widerstehen, denText zu ergänzen. Dabei handelt es sich um (hoffentlich) verbesserte Darstellungen oderauch um neue Begrifflichkeiten und alternative Herleitungen dargestellter Sachverhalte imBestreben auch nicht verfolgte Darstellungslinien zu Wort kommen zu lassen. Für Benut-zer der ersten Auflage finden sich diese Ergänzungen und weitere nicht übernommene alsListe 4 am genannten Ort.

Um eine weitere parallele Nutzung der ersten Auflage zu ermöglichen wurde in die beste-hende Nummerierungsstruktur nicht eingegriffen: Ergänzungen setzen i. Allg. bestehendeBemerkungen fort. Nur in Ausnahmefällen wurden Inhalte ausgetauscht und neue Num-mern (mit Zusatz a) eingefügt. Um auch nach diesen Ergänzungen die magische Grenzevon 1000 Seiten nicht zu überschreiten, wurden die Anhänge auf die genannte Websiteausgelagert und sind dort abrufbar (der für Ansicht und Download benötigte Benutzerna-me lautet LA-Auf2 und das dazugehörige Passwort LA2+online).

Ich danke allen, die diese neue Version unterstützt haben: Neben den schon im Vorwort zurersten Auflage genannten Mitarbeitern sind besonders Dr. Philipp Wacker und BalthasarReuter, M.Sc. hervorzuheben, bei den studentischen Hilfskräften ist Robert Ternes hinzu-gekommen. Ohne den Überblick und die Detailgenauigkeit von Frau Cornelia Weber wärediese zweite Auflage nicht Zustande gekommen. In der Endphase wurde ihre Arbeit mitgleicher Präzision und Einsatz von Herrn Sebastian Czop übernommen. Frau Dr. AnnikaDenkert und Herrn Clemens Heine danke ich für ihre fortwährende Unterstützung.

Erlangen, im Juli 2018

Peter Knabner

1 Leider muss dieses Vorwort vom erstgenannten Autor allein verfasst werden: Wolf Barth ist 2016 ver-storben.

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Vorwort zur ersten Auflage

Jedes neue Lehrbuch der Linearen Algebra muss sich angesichts einer Vielzahl hervorra-gender, auch aktueller Lehrbücher über dieses Gebiet, insbesondere im deutschen Sprach-raum, nach seiner Existenzberechtigung fragen lassen. Warum wir der Meinung sind, dassdies für das hier vorgelegte Werk durchaus der Fall ist, trotz seines Umfangs und trotzseines an einigen Stellen nicht geringen Anspruchs, ergibt sich aus unserem Verständnisdes Gebiets und der heutigen Lehrsituation an den deutschen Universitäten, insbesondereim Rahmen einer durch Bachelor und Master strukturierten Ausbildung: Für uns ist dasZiel der Linearen Algebra die Einübung in die Theorie linearer Strukturen. Dabei liegtder Schwerpunkt auf endlichdimensionalen R-Vektorräumen, aber auch K-Vektorräumeüber allgemeinen Körper K sollen dabei weitgehend behandelt werden. Auch unendlich-dimensionale Vektorräume in Theorie und Anwendung sollen soweit wie möglich eineRolle spielen. Angesichts der heutigen Bedeutung der Linearen Algebra als grundlegen-des Werkzeug und Sprache für im Wesentlichen alle Teile der Mathematik, insbesondereauch die der Angewandten Mathematik und die darauf fußenden Ausstrahlungen in Na-turwissenschaften, Ingenieurwissenschaften und Wirtschaftswissenschaften, sehen wir inder Linearen Algebra nicht primär eine Ausbildung in Algebra und auch nicht ausschließ-lich in Geometrie, wobei Letztere ein sehr wesentliches Anwendungs- und Beispielfelddarstellt.

Die Klientel in einer Linearen-Algebra-Vorlesung an einer deutschen Universität istheute typischerweise sehr differenziert, mit zum Teil auch sehr unterschiedlichen Ansprü-chen an Inhalt und Rigorosität ihrer Mathematikausbildung. Trotz dieser immer größerwerdenden Spannbreite sind wir nicht den Weg des kleinsten gemeinsamen Nenners ge-gangen und haben ein möglichst elementares und möglichst kompaktes Lehrbuch vor-gelegt, sondern haben darauf bestanden ein, wie wir finden, vernünftiges Abstraktions-niveau zu bewahren. Das Abstraktionsniveau des Buches besteht durchgängig aus end-lichdimensionalen K-Vektorräumen, K ∈ {R,C}, bis hin zu unendlichdimensionalen K-Vektorräumen und auch soweit wie möglich K-Vektorräumen. Die Beispielebenen des Bu-ches sind der Tupelraum Rn, der Matrizenraum und lineare Gleichungssysteme. Um den-noch die Zugänglichkeit zu erleichtern, sind wir von einem strikten deduktiven Aufbauder Theorie abgewichen und haben induktive Elemente in die Darstellung eingebaut. Diemaßvolle Mischung aus induktivem und deduktivem Vorgehen wird in dem Anfangskapi-tel auch durch die Randmarkierungen RLGS (Rückführung auf lineare Gleichungssyste-me), bei Entwicklung der Theorie durch Rückgriffe auf Parametrisierung und Fragen vonLösungsmengen linearer Gleichungssysteme, bzw. beim deduktiven Schritt durch ALGS(Anwendung auf lineare Gleichungssysteme) bei der Spezialisierung allgemeiner Theorieauf diesen Fall angedeutet. Insgesamt wird eine (sehr gemäßigte) Redundanz in Kauf ge-nommen, insofern zum Teil Sachverhalte alternativ mit verschiedenen Beweismethodenbeleuchtet werden.

Ausgangspunkt des ersten Kapitels ist der Rn, woraus aber schnell der allgemeine Be-griff des R-Vektorraums entwickelt wird und auch noch weitere, insbesondere endlich-dimensionale, Beispiele behandelt werden. Um dieses minimale Maß an Konkretheit zubewahren, werden in Kapitel 1 und 2 nur R-Vektorräume bzw. ihre Konkretisierungen be-handelt. Die Erweiterung der Theorie auf allgemeine K-Vektorräume, d. h. insbesondere

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auch die Bereitstellung der Theorie für C-Vektorräume, erfolgt dann erst in einem zweitenSchritt in Kapitel 3. Ab Kapitel 4 werden dann entweder allgemeine K-Vektorräume oder(bei unitärer Struktur) K-Vektorräume einheitlich zugrunde gelegt.

Um darüber hinaus für die Studierenden aus verschiedenen Fachrichtungen ansprechen-de Anwendungsbezüge aufweisen zu können, sind Inhalte aufgenommen worden, die zumTeil über den Standardkanon Lineare Algebra hinausgehen (und durchaus als Vorschlagzu dessen Reform gesehen werden sollen):

Für Lehramtsstudierende Mathematik (aber nicht nur für diese) werden ausführlich ver-schiedene Aspekte der Analytischen Geometrie betrachtet, entweder in Form von immerwieder eingestreuten „Beispielen (Geometrie)“, oder aber in durchgängigen Abschnittenoder ganzen Kapiteln. Dazu gehört eine Behandlung der Affinen Geometrie (Abschnit-te 1.7, 2.8), eine ausführliche Behandlung der Quadriken (Abschnitt 5.3) und insbesondereder Polyedertheorie mit Zielrichtung Lineare Optimierung (Kapitel 6).

Für Mathematikstudierende mit einer möglichen Vertiefung Analysis oder auch Physik-studierende wird Wert gelegt auf unendlichdimensionale Vektorräume und auf Spektral-analyse, wobei die Schur- und ebenso die Jordan-Normalform auch in ihren reellenVarianten einen breiten Teil einnehmen. Auch wird den Querverbindungen zur Analysisgroße Bedeutung beigemessen, um den Übergang in eine (auch nicht-lineare) Funktional-analysis möglichst einfach zu gestalten (Abschnitte 4.4, 4.5, 4.7.3, Kapitel 7). Dazu gehörtauch eine durchgängige Behandlung von Systemen linearer Differentialgleichungen mitkonstanten Koeffizienten mit vollständigen Lösungsdarstellungen.

Für Mathematikstudierende mit einer möglichen Vertiefung Algebra werden neben derallgemeinen K-Vektorraum-Theorie auch algebraische Strukturen allgemein und als An-wendung die Kodierungstheorie angesprochen. Dieser Anwendungsaspekt wird insofernnicht vertieft, als hier ein hervorragendes aktuelles Lehrbuch (Huppert und Willems

2006) vorliegt, das speziell diese Anwendungen pflegt.Für Studierende der Wirtschaftsmathematik wurden Inhalte aufgenommen, wie die An-

fangsgründe der linearen und quadratischen Optimierung (Abschnitte 4.7.2, 6.4–6.7) oderauch eine durchgehende Behandlung linearer Differenzengleichungen.

Für Studierende der Mathematik mit möglicher Vertiefung Numerische Mathematikoder Optimierung und insbesondere Studierende der Technomathematik wurden Inhaltewie LR-Zerlegung, Pseudoinverse, Singulärwertzerlegung und auch quadratische und li-neare Optimierung einbezogen (Abschnitt 2.4.2–2.4.3, 2.5.2, 4.6, 4.7.2, 6.6, 6.7, aber auchKapitel 7).

Der Text baut (auch) auf algorithmische Zugänge auf und behandelt algorithmischeFragen ohne ein Lehrbuch der Numerischen Linearen Algebra zu sein. Immerhin wer-den aber einige Verfahren bis hin zum MATLAB Code entwickelt, darunter 4 der 10 alswichtigste Algorithmen des 20ten Jahrhunderts ausgewählten Verfahren (Dongarra undSullivan 2000).

Durchgängig wurde großer Wert darauf gelegt, die erarbeitete Theorie und Algorith-mik nicht nur mit möglichen innermathematischen Weiterentwicklungen zu verknüpfen,sondern insbesondere auch den in keiner Weise einfachen oder gar selbstverständlichenSchritt der Anwendung auf Fragen der Realwissenschaften einzuüben. Dazu dient frühder Abschnitt 1.6, durchgängig nummerierte Abschnitte zur Mathematischen Modellie-rung und drei durchgehende, immer weiter entwickelte Beispiele aus der Mechanik, der

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Elektrizitätslehre und der Ökonomie (zusätzlich gibt es ein durchgängiges Beispiel, dashistorische Fragestellungen behandelt).

Die gerade angesprochene „Zergliederung“ soll andeuten, dass trotz des hohen Um-fangs des Textes eine Ausgliederung einer in zwei Semestern lehrbaren Teilmenge leichtmöglich sein sollte, widerspricht aber doch in gewisser Weise der Intention der Autoren.Wir verstehen einen (mathematischen) Text im lateinischen Wortsinn als ein dicht zusam-mengefügtes Gewebe, das erst durch seine „Verwebung“ seine Tragweite eröffnet. Ande-rerseits ist uns die Notwendigkeit einer Auswahl bewusst, auch die Gefahr, dass sich gera-de ein Studienanfänger in einem solch umfangreichen Text „verlieren“ kann. Daher habenwir versucht durch eine Reihe von Satzhilfsmitteln Hilfestellung zu leisten (s. Hinweisezum Gebrauch des Buchs). Eine mehrfach erprobte, weitgehend vollständige Behandlungdes Textes in einem ersten Studienjahr ist etwa dadurch möglich, dass in den Vorlesungendie „Anwendungsteile“ ausgeklammert werden, diese dann allerdings den Gegenstand ei-nes begleitenden Proseminars bilden. Andererseits können auch diese Teile Inhalt einerauf eine Grundvorlesung aufbauende „Angewandten Linearen Algebra“ sein.

Wir sehen es nicht als die Aufgabe eines Lehrbuchs an, die existierende Lehrbuchli-teratur zu referieren oder gar zu bewerten. Gewiss haben wir in viele der existierendenLehrbücher geschaut und sind in vielen Aspekten beeinflusst worden. Der erstgenannteAutor möchte seine Wertschätzung speziell für Strang 2003, Huppert und Willems

2006, und Lax 2007 nicht verleugnen. Dort, wo wir uns eng an eine Vorlage gehaltenhaben, ist dies vermerkt. Sollte es einmal versäumt worden sein, da die Lektüre über dieJahre „vergessen“ wurde, bitten wir dies zu entschuldigen. Selbstverständlich stehen wirauf den Schultern unserer Vorgänger, auch der vielen nicht zitierten Lehrbücher.

Das Buch ist hervorgegangen aus einer Vielzahl von Vorlesungen, die insbesondereder zweitgenannte Autor an der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg seit1990 sehr regelmäßig durchgeführt hat. Hinzu kamen wiederkehrend entsprechende Lehr-veranstaltungen für Studierende in der nicht-vertieften Lehramtsausbildung. So entstandauch ein Großteil der Aufgabensammlung. Auf diesen „Urtext“ aufbauend, der an sichschon das Ergebnis eines jahrelangen Weiterentwicklungsprozesses war, hat dann der erst-genannte Autor in einer ganzen Reihe von Erweiterungs- und Umarbeitungsschritten, dieaber den Kerntext inhaltlich unberührt gelassen haben, den vorliegenden Text entwickelt.

Allein dieser Prozess hat sich mit Unterbrechung über die letzten fünf Jahre hinge-zogen und wäre ohne die umfangreiche Unterstützung durch eine Vielzahl von Personennicht möglich gewesen, denen an dieser Stelle herzlich gedankt sei. Der vielschichtigeUmarbeitungsprozess des TeX-Textes wurde von den Sekretärinnen des Lehrstuhls An-gewandte Mathematik über die Jahre durchgeführt, wobei hier neben Frau Astrid Bigottund Frau Silke Berghof insbesondere Frau Cornelia Kloß hervorgehoben sei. Ohne ih-re immerwährende Genauigkeit, Schnelligkeit und die Ruhe bewahrende Übersicht wäredie Erstellung dieses Textes nicht möglich gewesen. Bei fortschreitend komplexer wer-dendem Umarbeitungsprozess war es auch notwendig weitere Hilfspersonen einzubinden.Deren Anleitung und Koordinierung wurden von Herrn Dipl.-Math. Florian Frank durch-geführt, einer weiteren tragenden Säule des Unternehmens unterstützt durch Herrn Dipl.-Math. Fabian Klingbeil. Als studentische Hilfskräfte waren u. a. beteiligt: Ludwig Dietel,Jasmin Gressmann, Fabian Langer, Benjamin Steber und Alexander Vibe. Wesentlicheinhaltliche Hilfestellung kam durch die Assistenten der jeweiligen Lehrveranstaltungen:

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Dipl.-Technomath. Fabian Brunner, Dr. Volker Grimm, Dr. Joachim Hoffmann, Dr. Tychovan Noorden und Dr. Alexander Prechtel. Schließlich wurden wichtige Korrekturarbeitendurchgeführt in großem Umfang von Dipl.-Math. Matthias Herz, aber auch von Dr. Va-dym Aizinger, Dr. Serge Kräutle, Dipl.-Biomath. Torsten Müller, Dr. Maria Neuss-Radu,Dipl.-Math. Nadja Ray, Dr. Raphael Schulz und Dr. Nicolae Suciu.

Zwischenstadien des Textes wurden von den Professoren Günter Leugering, AlexanderMartin und Karl-Hermann Neeb benutzt und hilfreich kommentiert.

Erlangen, im Juli 2012

Peter Knabner, Wolf P. Barth

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Hinweise zur Benutzung des Buchs

Gerade ein so umfangreicher Text kann einem Studienanfänger Schwierigkeiten bereiten,wenn er sich aus zeitlichen Gründen nicht in der Lage sieht, den Text vollständig sei-nem Aufbau gemäß durchzuarbeiten, was die optimale Situation wäre. Daher sind einigesatztechnische Strukturierungshilfsmittel eingebaut worden, die es zum einen erleichternsollen den Kerntext zu erkennen und zum anderen die Teile zu identifizieren, die für diespezifische Studienrichtung von hervorgehobener Bedeutung sind.

Der Kerntext Lineare Algebra ist, wie bei jedem Mathematiklehrbuch, der durch „De-finition“ und „Satz/Beweis“ formalisierte Teil des Textes. Auch hier gibt es eine, auchdurch unterschiedliche Umrahmungen ersichtliche Strukturierung, durch (in aufsteigenderWichtigkeit) „Lemma“ oder „Korollar“, „Satz“, „Theorem“ und schließlich „Hauptsatz“.Diese höchste Stufe wird auch in den umfangreichen Index aufgenommen.

Jeder Abschnitt (bis auf die Abschnitte aus Kapitel 8) wird von einer Zusammenfas-sung abgeschlossen, die noch einmal auf die wesentlichen Begriffe, Zusammenhänge undBeispiele hinweist.

Viele über den Kerntext hinausgehende Überlegungen finden sich in den „Bemerkun-gen“. Dabei handelt es sich entweder um Erläuterungen oder aber um Erweiterungen undAusblicke. Für deren Beweis, oder auch in den laufenden Text eingeschobene Beweisüber-legungen, wird Kleindruck verwendet. Dies heißt nicht, dass der Kerntext nicht auf dieBemerkungen zurückgreift, bedeutet aber, dass ihre Erarbeitung auch auf den „Bedarfs-fall“ eingeschränkt werden kann. Auch auf der Ebene der Bemerkungen oder im Fließtextwerden manche Begriffe (ohne die Definitionsumgebung) definiert. Dies ist dann durchKursivdruck des Begriffs zu erkennen. Auch auf Aussagen die dort entwickelt werden,kann (immer wieder) zurückgegriffen werden. Solche Situationen werden durch kleineUmrahmungen leichter auffindbar gemacht.

Textteile, die eher isoliert stehen und daher ohne Nachteil für das weitere Verständnisübergangen werden können, sind mit * gekennzeichnet. Aussagen, die aufgrund des in-duktiven Aufbaus direkte Weiterentwicklungen (von R nach C oder von C nach R) sind,tragen die gleiche Nummer mit einer hochgestellten I. Eine Sonderstellung hat Haupt-satz 1.85, der ständig erweitert wird (zusätzliche Versionen I bis IV).

Die verschiedenen Textteile sind durch unterschiedliche Schlusszeichen gekennzeich-net: Beweise durch �, Bemerkungen durch △, Beispiele durch ◦.

Der Text enthält drei durchgängige Beispiele („Beispiel 2(1)“ etc.), die sich an ver-schiedene Anwendungsinteressen richten und darüber hinaus eine Vielzahl von Geome-trieanwendungen („Beispiel (Geometrie)“) bzw. Abschnitte, die sich schwerpunktmäßigauf geometrische Inhalte konzentrieren. Je nach Interessenlage können diese Beispielebetont oder übergangen werden, das theoretische Verständnis wird daduch nicht berührt.Einige der „Stories“, die das Buch erzählen möchte, erschließen sich aber gerade überdiese Beispiele.

Die Anhänge stellen verschiedene Hilfsmittel bereit, die zum Teil zur mathematischenPropädeutik gehören, wie Anhang A über Logisches Schließen und Mengenlehre oderAnhang B.1 über das Zahlensystem, oder die den Umgang mit den Notationen erleichternsollen (Anhang B.2). Hilfsmittel über Polynome (Anhang B.3) oder eine Zusammenfas-

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sung der Analysis (Anhang C), wie sie zum Ende eines ersten Studiensemesters bekanntsein sollte, werden ebenfalls angeboten.

Die Aufgaben sind in die (offensichtlichen) Kategorien (K(alkül)), (T(heorie)) und(G(eometrie)) unterteilt.

Weitere aktuelle Informationen finden sich auf http://www.math.fau.de/knabner/LA .Voraussichtlich zu Beginn 2013 erscheint ein Aufgabenband, der für die meisten hier

abgedruckten Aufgaben Musterlösungen enthält und darüberhinaus eine Vielzahl weitererAufgaben. Insbesondere liefert er einen Leitfaden durch den hiesigen Text anhand vonAufgaben.

Seitenliste der Beispiele 1, 2, 3 und 4

Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 Beispiel 4

(1) Seite 1 (1) Seite 1 (1) Seite 2 (1) Seite 8(2) Seite 60 (2) Seite 134 (2) Seite 22 (2) Seite 69(3) Seite 83 (3) Seite 241 (3) Seite 132 (3) Seite 225(4) Seite 456 (4) Seite 243 (4) Seite 224 (4) Seite 920(5) Seite 466 (5) Seite 365 (5) Seite 249

(6) Seite 804 (6) Seite 426(7) Seite 434(8) Seite 435(9) Seite 801(10) Seite 868(11) Seite 920(12) Seite 959(13) Seite 962

Inhaltsverzeichnis

1 Der Zahlenraum Rn und der Begriff des reellen Vektorraums . . . . . . . . . . 11.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Beispiele und Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Die Eliminationsverfahren von Gauss und Gauss-Jordan . . . 15

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2 Vektorrechnung im Rn und der Begriff des R-Vektorraums . . . . . . . . . . . . 30

1.2.1 Vektoren im Rn, Hyperebenen und Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 301.2.2 Tupel-Vektorräume und der allgemeine R-Vektorraum . . . . . . . . . 44

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.3 Lineare Unterräume und das Matrix-Vektor-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.3.1 Erzeugendensystem und lineare Hülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.3.2 Das Matrix-Vektor-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.4 Lineare (Un-)Abhängigkeit und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.4.1 Lineare (Un-)Abhängigkeit und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.4.2 Lineare Gleichungssysteme und ihre Unterräume I:

Dimensionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.5 Das euklidische Skalarprodukt im Rn und Vektorräume mit Skalarprodukt 1031.5.1 Skalarprodukt, Norm und Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.5.2 Orthogonalität und orthogonale Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311.6 Mathematische Modellierung: Diskrete lineare Probleme und ihre

Herkunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

1.7 Affine Räume I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2 Matrizen und lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1532.1 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.1.1 Allgemeine lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

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xiv Inhaltsverzeichnis

2.1.2 Bewegungen und orthogonale Transformationen . . . . . . . . . . . . . . 162Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2.2 Lineare Abbildungen und ihre Matrizendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732.2.1 Darstellungsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1732.2.2 Dimension und Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892.3 Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

2.3.1 Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912.3.2 Tensorprodukt von Vektoren und Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . 1992.3.3 Invertierbare Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112.3.4 Das Gauss-Verfahren vom Matrizenstandpunkt . . . . . . . . . . . . . . 2182.3.5 Transponierte, orthogonale und symmetrische Matrix . . . . . . . . . . 223

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2452.4 Lösbare und nichtlösbare lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

2.4.1 Lineare Gleichungssysteme und ihre Unterräume II . . . . . . . . . . . 2472.4.2 Ausgleichsrechnung und Pseudoinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2512.4.3 Gauss-Verfahren und LR-Zerlegung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2752.5 Permutationsmatrizen und die LR-Zerlegung einer Matrix . . . . . . . . . . . . 277

2.5.1 Permutationen und Permutationsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2772.5.2 Gauss-Verfahren und LR-Zerlegung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2932.6 Die Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

2.6.1 Motivation und Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2942.6.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3002.6.3 Orientierung und Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.7 Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312.8 Affine Räume II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

3 Vom R-Vektorraum zum K-Vektorraum: Algebraische Strukturen . . . . . . 3433.1 Gruppen und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3593.2 Vektorräume über allgemeinen Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3693.3 Euklidische und unitäre Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3833.4 Der Quotientenvektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3973.5 Der Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

Inhaltsverzeichnis xv

4 Eigenwerte und Normalformen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114.1 Basiswechsel und Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4244.2 Eigenwerttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

4.2.1 Definitionen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4264.2.2 Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4704.3 Unitäre Diagonalisierbarkeit: Die Hauptachsentransformation . . . . . . . . . 473

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4874.4 Blockdiagonalisierung aus der Schur-Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

4.4.1 Der Satz von Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4884.4.2 Blockdiagonalisierung mit dem Satz von Cayley-Hamilton . 5014.4.3 Algorithmische Blockdiagonalisierung – Die Sylvester-

Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

4.5 Die Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5214.5.1 Kettenbasen und die Jordansche Normalform im Komplexen . . 5214.5.2 Die reelle Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5424.5.3 Beispiele und Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5624.6 Die Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

4.6.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5644.6.2 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5804.7 Positiv definite Matrizen und quadratische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . 581

4.7.1 Positiv definite Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5814.7.2 Quadratische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5934.7.3 Extremalcharakterisierung von Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6074.8 Ausblick: Das Ausgleichsproblem und die QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . 609

5 Bilinearformen und Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6135.1 α-Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

5.1.1 Der Vektorraum der α-Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6135.1.2 Orthogonales Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6325.2 Symmetrische Bilinearformen und hermitesche Formen . . . . . . . . . . . . . . 634

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6455.3 Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

5.3.1 Die affine Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6505.3.2 Die euklidische Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6625.4 Alternierende Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

xvi Inhaltsverzeichnis

6 Polyeder und lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6736.1 Elementare konvexe Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6836.2 Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7026.3 Beschränkte Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7116.4 Das Optimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7196.5 Ecken und Basislösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7276.6 Das Simplex-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7366.7 Optimalitätsbedingungen und Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749

7 Lineare Algebra und Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7517.1 Normierte Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

7.1.1 Analysis auf normierten Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7517.1.2 Normen und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7707.2 Normierte Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771

7.2.1 Erzeugte und verträgliche Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7717.2.2 Matrixpotenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8067.3 Hilbert-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

7.3.1 Der Rieszsche Darstellungssatz und der adjungierte Operator . . 8087.3.2 Schauder-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8317.4 Ausblick: Lineare Modelle, nichtlineare Modelle, Linearisierung . . . . . . . 832

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835

8 Einige Anwendungen der Linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8378.1 Lineare Gleichungssysteme, Ausgleichsprobleme und Eigenwerte unter

Datenstörungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8378.1.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8378.1.2 Ausgleichsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8468.1.3 Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8548.2 Klassische Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme und

Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8568.2.1 Das Page-Rank-Verfahren von Google . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8568.2.2 Linear-stationäre Iterationsverfahren für lineare

Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8618.2.3 Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8708.2.4 Die Potenzmethode zur Eigenwertberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 878

Inhaltsverzeichnis xvii

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8828.3 Datenanalyse, -synthese und -kompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884

8.3.1 Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8868.3.2 Diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9018.4 Lineare Algebra und Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9088.5 (Invers-)Monotone Matrizen und Input-Output-Analyse . . . . . . . . . . . . . . 909

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9238.6 Kontinuierliche und diskrete dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924

8.6.1 Die Lösungsraumstruktur bei linearen Problemen . . . . . . . . . . . . . 9248.6.2 Stabilität: Asymptotisches Verhalten für große Zeiten . . . . . . . . . . 9438.6.3 Approximation kontinuierlicher durch diskrete dynamische

Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9598.6.4 Ausblick: Vom räumlich diskreten zum räumlich verteilten

kontinuierlichen Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9698.6.5 Stochastische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985

Online-Appendix: Logisches Schließen und Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-1A.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-1A.2 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-6A.3 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-10A.4 Produkte von Mengen, Relationen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . A-12A.5 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-19

Online-Appendix: Zahlenmengen und algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . B-1B.1 Von den Peano-Axiomen zu den reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-1B.2 Schreibweisen und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-8B.3 (Formale) Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-11

Online-Appendix: Analysis in normierten Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-1