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Lineare Algebra: Schwerpunkt: Basisbegriff, Abbildungen mit MuPAD und GeoGebra Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de CAS-Tagung Ellwangen 2006

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Lineare Algebra: Schwerpunkt: Basisbegriff, Abbildungen

mit MuPAD und GeoGebra

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Es werden drei Bereiche angesprochen:

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Grundlagen, Vektorräume, Begriffszugänge, Gesetze, Lineare Unabhängigkeit

Der Basis-Begriff in Funktions-Vektorräumen Lagrange- und Newton-Interpolationspolynome Bernsteinpolynome und Bezier-Splines DGLn und Störfunktions-Ansatz

Affine Abbildungen im 2D-Anschauungsraum Schulabbildungen in Matrizen-Schreibweise Allgemeine affine Abbildungen Eigenwerte und Eigenvektoren

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AssoziativgesetzMuPAD

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DistributivgesetzMuPAD

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Lineare UnabhängigkeitGeoGebra

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r a sb t c u

:Ziel u o

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Polynombasis nach LagrangeDatenpunkte

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Gegeben sind Datenpunkte

Gesucht ist das Interpolationspolynom

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Polynombasis nach LagrangeDatenpunkte

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1. Basispolynom

Gesucht ist das Interpolationspolynom

1 2 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x

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Polynombasis nach LagrangeDatenpunkte

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1. Basispolynom

Gesucht ist das Interpolationspolynom

1 2 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x 2. Basispolynom

2 1 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x

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Polynombasis nach LagrangeDatenpunkte

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1. 2. und 3. Basispolynom

Gesucht ist das Interpolationspolynom

1 2 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x

3 1 2 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x 2 1 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x

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Polynombasis nach LagrangeDatenpunkte

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1. 2. 3. und 4. Basispolynom

1 2 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x

3 1 2 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x 2 1 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x

4 1 2 3( ) ( )( )( )L x x x x x x x

Die Lagrange-Basispolynome sind linear unabhängig.

Der Vektorraum der Polynome bis zum 3. Grad hat die Dimension 4.

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Polynombasis nach LagrangeDatenpunkte

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1. 2. 3. und 4. Basispolynom

Und daraus entsteht das Interpolationspolynom

1 2 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x

3 1 2 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x 2 1 3 4( ) ( )( )( )L x x x x x x x

4 1 2 3( ) ( )( )( )L x x x x x x x

als Linearkombination

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Polynombasis nach NewtonDatenpunkte

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1. 2. 3. und 4. Basispolynom

Und daraus entsteht das Interpolationspolynom

1( ) 1N x

3 1 2( ) ( )( )N x x x x x 2 1( ) ( )N x x x

4 1 2 3( ) ( )( )( )N x x x x x x x

als Linearkombination

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Bézier-SplinesDatenpunkte und Steuerpunkte

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Notenbogen in Capella Kurvenwerkzeug im Malprogramm Hilfsmittel der Schriftdesigner ..........

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Teilungspunkt an der t-Stelle

Bézier-Splines

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Vektorieller Ansatz

Datenpunkte und Steuerpunkte

Der Ort von P ist die Bézierkurve

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Bézier-Splines

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Beweis

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Bézier-Splines

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.....Beweis

Sortieren nach A, B, C und D.

Die Faktoren sind Polynome in t und zwar:

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Bézier-Splines

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Vier Bernsteinpolynome

Und daraus entsteht das Interpolationspolynomin Parameterdarstellung als Linearkombination

30

21

22

33

( ) (1 )

( ) 3 (1 )

( ) 3 (1 )

( )

B t t

B t t t

B t t t

B t t

mit Bernsteinpolynomen

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-0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Bézier-Splines

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Vier Bernsteinpolynome

Und daraus entsteht das Interpolationspolynomin Parameterdarstellung als Linearkombination

30

21

22

33

( ) (1 )

( ) 3 (1 )

( ) 3 (1 )

( )

B t t

B t t t

B t t t

B t t

mit Bernsteinpolynomen

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DifferenzialgleichungenBasis im Raum der Störfunktion

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'' ' ( )y k y m y g x 2 2

( ) ( )

( ) ( )( ) sin(2 ) ( ) sin(2 ) cos(2 )

g x x G x a b x

g x x G x a b x c xg x x G x a x b x

So ergiebig sind die Begriffe Basis und Dimension

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Affine Abbildungen im R2

Schulabbildungen in Matrizenschreibweise

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Affine Abbildungen im R2

Schulabbildungen in Matrizenschreibweise

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cos( ) sin( )'

sin( ) cos( )p p

arctan( )gw m

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Iterierte Drehungen u.a.Trick mit Urbild Bild und Translation

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3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2

'p Ap t

Ersatz für t

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Eigenwerte und EigenvektorenAnschaulich

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Lineare Algebra: Schwerpunkt: Basisbegriff, Abbildungen

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Vielen Dank für Ihre Aufmerkamkeit

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