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Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV x y

Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

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Lineare Gleichungssysteme (LGS)rechnerisch lösen - Teil IV

x

y

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6Löse das lineare

Gleichungssystem!

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

| - 3y| + 3y

I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y

| ∙ 3| ∙ 4

I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘

45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y

y = 1

| + 9y| - 24| : 21

y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12

x = 3

| : 4

L = {(3 | 1)}

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

| - 3y| + 3y

I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y

| ∙ 3| ∙ 4

I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘

45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y

y = 1

| + 9y| - 24| : 21

y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12

x = 3

| : 4

L = {(3 | 1)}

Das geht bei diesem linearen

Gleichungssystem schneller!

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

| - 3y| + 3y

I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y

| ∙ 3| ∙ 4

I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘

45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y

y = 1

| + 9y| - 24| : 21

y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12

x = 3

| : 4

L = {(3 | 1)}

Es gibt nämlich neben dem Gleichsetzungsverfahren

noch ein weiteres Verfahren zum Lösen eines

LGS.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

| - 3y| + 3y

I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y

| ∙ 3| ∙ 4

I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘

45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y

y = 1

| + 9y| - 24| : 21

y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12

x = 3

| : 4

L = {(3 | 1)}

Wie dieses funktioniert, wollen wir uns heute gemeinsam

anschauen!

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Beginnen wir, wie schon beim Gleichsetzungsverfahren, mit

zwei Waagen, die sich im Gleichgewicht befinden.

6 kg

6 kg 4 kg4 kg

4 kg

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Baue mit allen Gewichten aus diesen beiden Waagen eine dritte Waage, die sich ebenfalls im Gleichgewicht

befindet.

6 kg

6 kg 4 kg4 kg

4 kg

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Baue mit allen Gewichten aus diesen beiden Waagen eine dritte Waage, die sich ebenfalls im Gleichgewicht

befindet.

6 kg

6 kg 4 kg4 kg

4 kg6 kg

4 kg

4 kg 6 kg

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Überprüfen wir die Waagen, indem wir

annehmen, dass Kugeln und Klötzchen folgendes

Gewicht besitzen:

6 kg

6 kg 4 kg4 kg

4 kg6 kg

4 kg

4 kg 6 kg

4 kg=

= 2 kg

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Die Seiten der Waagschalen der beiden Ausgangswaagen hätten

folgende Gewichte zu tragen:

6 kg

6 kg 4 kg4 kg

4 kg6 kg

4 kg

4 kg 6 kg

4 kg=

= 2 kg

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Die Seiten der Waagschalen der beiden Ausgangswaagen hätten

folgende Gewichte zu tragen:

6 kg

6 kg 4 kg4 kg

4 kg6 kg

4 kg

4 kg 6 kg

4 kg=

= 2 kg

8 kg 8 kg

10 kg 10 kg

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Bei unserer neuen Waage würde es wie

folgt aussehen:

6 kg

6 kg 4 kg4 kg

4 kg6 kg

4 kg

4 kg 6 kg

4 kg=

= 2 kg

8 kg 8 kg

10 kg 10 kg

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Bei unserer neuen Waage würde es wie

folgt aussehen:

6 kg

6 kg 4 kg4 kg

4 kg6 kg

4 kg

4 kg 6 kg

4 kg=

= 2 kg

8 kg 8 kg

10 kg 10 kg

18 kg 18 kg

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4 kg6 kg4 kg 6 kg

18 kg 18 kg

Addiert man die Gewichte zweier Waagen, die sich im Gleichgewicht befinden, auf

jeder Seite, so entstehtwiederum eine Waage, die sich

im Gleichgewicht befindet!

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Was bringt uns das nun bei unserer

Einstiegsaufgabe?

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y + (– 3y) = 15 + 6

Addieren wir einfach beide Seiten der Gleichung und

schauen, was passiert.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y + (– 3y) = 15 + 6

Vereinfachen wir die Rechen- und Vorzeichen.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 6

Vereinfachen wir die Rechen- und Vorzeichen.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21

Und siehe da, wir haben wieder eine Gleichung

mit nur einen Unbekannten (x).

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21

Lösen wir diese durch Äquivalenz-

umformungen.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

Lösen wir diese durch Äquivalenz-

umformungen

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

Und da ist unsere erste Variable!

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

Den Rest kennen wir schon vom

Gleichsetzungsverfahren.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

Setzen wir die x-Koordinate in die

erste ODER zweite Gleichung ein.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 15

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 15 | - 12

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

| - 12

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

| - 12 | : 3

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Da ist die y –Koordinate

unseres Schnittpunkts.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Wie immer dürfen wir die Angabe der

Lösungsmenge nicht vergessen.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Wie immer dürfen wir die Angabe der

Lösungsmenge nicht vergessen.

L = {( 3 | 1 )}

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Da wir beide Gleichungen zu Beginn addiert haben, spricht

man vom

Additionsverfahren!

L = {( 3 | 1 )}

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Die Frage ist nun, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit wir das Additionsverfahren

anwenden können.

L = {( 3 | 1 )}

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Betrachten wir nochmals unseren Lösungsweg,

dann wird es bestimmt klar.

L = {( 3 | 1 )}

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Voraussetzung Nr. 1 ist, dass gleiche Terme (x, y,

Zahl) und das Gleichheitszeichen

untereinander stehen.

L = {( 3 | 1 )}

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Ziel der Addition ist nun (wie beim

Gleichsetzungsverfahren auch), dass eine Variable

oder ihr Vielfaches herausfällt.

L = {( 3 | 1 )}

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Damit dies geschehen kann, muss eine Variable oder ihr

Vielfaches in einer Gleichung ein positives und in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen

besitzen.

L = {( 3 | 1 )}

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Fassen wir nochmals zusammen:

L = {( 3 | 1 )}

Page 41: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

L = {( 3 | 1 )}

1. Gleiche Terme müssen untereinander

stehen.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

L = {( 3 | 1 )}

1. Gleiche Terme müssen untereinander

stehen.

2. Eine Variable oder ihr Vielfaches muss in einer

Gleichung ein positives und in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen

besitzen.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

L = {( 3 | 1 )}

3. Terme der linken und rechten Seite

addieren.

1. Gleiche Terme müssen untereinander

stehen.

2. Eine Variable oder ihr Vielfaches muss in einer

Gleichung ein positives und in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen

besitzen.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

L = {( 3 | 1 )}

3. Terme der linken und rechten Seite

addieren.

1. Gleiche Terme müssen untereinander

stehen.

2. Eine Variable oder ihr Vielfaches muss in einer

Gleichung ein positives und in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen

besitzen.

4. Gleichung lösen und erste Variable

bestimmen.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

L = {( 3 | 1 )}

4. Gleichung lösen und erste Variable

bestimmen.

3. Terme der linken und rechten Seite

addieren.

1. Gleiche Terme müssen untereinander

stehen.

2. Eine Variable oder ihr Vielfaches muss in einer

Gleichung ein positives und in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen

besitzen.

5. Erste Variable in Gleichung I oder II

ersetzen und zweite Variable berechnen.

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

L = {( 3 | 1 )}

3. Terme der linken und rechten Seite

addieren.

1. Gleiche Terme müssen untereinander

stehen.

2. Eine Variable oder ihr Vielfaches muss in einer

Gleichung ein positives und in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen

besitzen.

5. Erste Variable in Gleichung I oder II

ersetzen und zweite Variable berechnen.

6. Lösungsmenge angeben.

4. Gleichung lösen und erste Variable

bestimmen.

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6 kg

6 kg

Jetzt bist du an der Reihe! Löse die Aufgabe

genauso wie die Musteraufgabe mit dem

Additionsverfahren in deinem Heft!

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33

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6 kg

6 kg

Die gleichen Variablen, die Zahlen und die Gleichheitszeichen

stehen schon einmal untereinander.

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33

Page 49: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

6 kg

6 kg

Jetzt brauchen wir nur noch das gleiche Vielfache einer Variablen mit

unterschiedlichem Vorzeichen.

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33

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6 kg

6 kg

Ich entscheide mich für die Variable y, da hier die Vorzeichen schon unterschiedlich sind. Auch x wäre natürlich

möglich.

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33

Page 51: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

6 kg

6 kg

Ich entscheide mich für die Variable y, da hier die Vorzeichen schon unterschiedlich sind. Auch x wäre natürlich

möglich.

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3

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6 kg

6 kg

Und schon können wir addieren, denn y wird sich dabei auflösen.

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99

Page 53: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

6 kg

6 kg

Und schon können wir addieren, denn y wird sich dabei auflösen.

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99

Page 54: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

6 kg

6 kg

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99

23x = 115

Berechnen wir also den x – Wert unseres

Schnittpunkts.

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6 kg

6 kg

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99

23x = 115 |:23

Page 56: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

6 kg

6 kg

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99

23x = 115 |:23x = 5

Setzen wir den x-Wert in Gleichung I oder II ein. Ich nehme Gleichung II.

Page 57: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

6 kg

6 kg

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99

23x = 115 |:23x = 5

x in II 6 ∙ 5 + y = 33

Setzen wir den x-Wert in Gleichung I oder II ein. Ich nehme Gleichung II.

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6 kg

6 kg

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99

23x = 115 |:23x = 5

x in II 6 ∙ 5 + y = 33

Berechnen wir die y-Koordinate.

Page 59: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

6 kg

6 kg

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99

23x = 115 |:23x = 5

x in II 6 ∙ 5 + y = 3330 + y = 33

Page 60: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

6 kg

6 kg

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99

23x = 115 |:23x = 5

x in II 6 ∙ 5 + y = 3330 + y = 33 |-30

Page 61: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

6 kg

6 kg

Musteraufgabe

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

L = {( 3 | 1 )}

I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99

23x = 115 |:23x = 5

x in II 6 ∙ 5 + y = 3330 + y = 33 |-30

y = 3

Noch die Lösungsmenge und das war‘s.

L = {( 5| 3 )}

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Vergleichen wir nochmals das Additions-

mit dem Gleichsetzungsverfahren.

L = {( 3 | 1 )}

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I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Wichtig ist, dass beide Verfahren zur Berechnung

des gemeinsamen Schnittpunkts verwendet

werden können.

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

| - 3y| + 3y

I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y

| ∙ 3| ∙ 4

I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘

45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y

y = 1

| + 9y| - 24| : 21

y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12

x = 3

| : 4

L = {(3 | 1)}

L = {(3 | 1)}

ADDITIONSVERFAHREN Gleichsetzungsverfahren

Page 64: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Das Gleichsetzungsverfahren bietet sich immer dann an, wenn auf einer Seite der

Gleichung die gleiche Variable oder ihr gleiches

Vielfaches steht.

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

| - 3y| + 3y

I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y

| ∙ 3| ∙ 4

I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘

45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y

y = 1

| + 9y| - 24| : 21

y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12

x = 3

| : 4

L = {(3 | 1)}

L = {(3 | 1)}

ADDITIONSVERFAHREN Gleichsetzungsverfahren

Page 65: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Das Additionsverfahren bietet sich immer dann an,

wenn das Gleichheitszeichen, die

Variablen und die Zahlen untereinander stehen….

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

| - 3y| + 3y

I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y

| ∙ 3| ∙ 4

I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘

45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y

y = 1

| + 9y| - 24| : 21

y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12

x = 3

| : 4

L = {(3 | 1)}

L = {(3 | 1)}

ADDITIONSVERFAHREN Gleichsetzungsverfahren

Page 66: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

… und wenn die Variableoder ihr Vielfaches in einer Gleichung ein positives und

in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen

besitzt.

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

| - 3y| + 3y

I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y

| ∙ 3| ∙ 4

I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘

45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y

y = 1

| + 9y| - 24| : 21

y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12

x = 3

| : 4

L = {(3 | 1)}

L = {(3 | 1)}

ADDITIONSVERFAHREN Gleichsetzungsverfahren

Page 67: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

I + II

4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7

x = 3

x in I4 ∙ 3 + 3y = 15

12 + 3y = 153y = 3

y = 1

| - 12 | : 3

Manchmal ist das Additionsverfahren

geschickter, manchmal das Gleichsetzungsverfahren.

I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6

| - 3y| + 3y

I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y

| ∙ 3| ∙ 4

I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘

45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y

y = 1

| + 9y| - 24| : 21

y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12

x = 3

| : 4

L = {(3 | 1)}

L = {(3 | 1)}

ADDITIONSVERFAHREN Gleichsetzungsverfahren

Page 68: Lineare Gleichungssysteme (LGS) rechnerisch lösen - Teil IV · 2020. 5. 3. · das Additionsverfahren anwenden können. L = {( 3 | 1 )} I 4x + 3y = 15 II 3x –3y = 6 I + II 4x +

I y = 2x + 1II y = -x + 10

Machen wir ein kleines Spiel. Additions-,

Gleichsetzungsverfahren oder beides, das ist hier die

Frage!

I 2x – y = 4II 3x + y = 1

I y = 3x - 15II 2y = x + 10

I 3y + x = -1II y = x + 3

I 2x – 3 = yII 3x + 2 = 2y

I 13x - 2y = 20II 2x + y = 7

I 3x + 4y = 21II 2x + 2y = 13

I 3x + 5y = -30II 5x - 3y = 120

Gleichsetzungsverfahren

Gleichsetzungsverfahrenoder

Additionsverfahren

Gleichsetzungsverfahrenoder

Additionsverfahren

Gleichsetzungsverfahrenoder

Additionsverfahren

Additionsverfahren

Additionsverfahren Additionsverfahren

Additionsverfahren

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I y = 2x + 1II y = -x + 10

I 2x – y = 4II 3x + y = 1

I y = 3x - 15II 2y = x + 10

I 3y + x = -1II y = x + 3

I 2x – 3 = yII 3x + 2 = 2y

I 13x - 2y = 20II 2x + y = 7

I 3x + 4y = 21II 2x + 2y = 13

I 3x + 5y = -30II 5x - 3y = 120

Gleichsetzungsverfahren

Gleichsetzungsverfahrenoder

Additionsverfahren

Gleichsetzungsverfahrenoder

Additionsverfahren

Gleichsetzungsverfahrenoder

Additionsverfahren

Additionsverfahren

Additionsverfahren Additionsverfahren

Additionsverfahren

Und, alles klar?Dann ran an die Hausaufgaben!

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6 kg

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