Lösen von quadratischen Ungleichungen

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Lsen von quadratischen Ungleichungen. Beispiel: -2x + 6x +8 > 0. Lse zuerst die Gleichung : -2x + 6x +8 = 0 I :(-2) x - 3x 4 = 0 => x = 4 oder x = -1 Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen. Lsen von quadratischen Ungleichungen. Beispiel: -2x + 6x +8 > 0. - PowerPoint PPT Presentation

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  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0Lse zuerst die Gleichung : -2x + 6x +8 = 0 I :(-2)x - 3x 4 = 0 =>x = 4 oder x = -1 Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen.

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0ParabelmethodeBetrachte den Graphen der Parabel y = -2x + 6x +8

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0ParabelmethodeBetrachte den Graphen der Parabel y = -2x + 6x +8 Mit den gefundenen Nullstellen x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x der Faktor 2 steht,kann man den Graphen sofort skizzieren. (Also wirklich nur skizzieren!)

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0ParabelmethodeBetrachte den Graphen der Parabel y = -2x + 6x +8 Mit den gefundenen Nullstellen x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x der Faktor 2 steht,kann man den Graphen sofort skizzieren. (Also wirklich nur skizzieren!)

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0Parabelmethodey = -2x + 6x +8 > 0 heit doch, dass die y Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen.

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0Parabelmethodey = -2x + 6x +8 > 0 heisst doch, dass die y Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen. Das sind dann alle Punkte der Parabel, die oberhalb der x-Achse liegen.

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0ParabelmethodeZur Lsung der Ungleichung bentigt man aber die x Werte, die die Ungleichung erfllen.

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0ParabelmethodeZur Lsung der Ungleichung bentigt man aber die x Werte, die die Ungleichung erfllen.Das mssen die x Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehren.Wie viele sind das ?

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0ParabelmethodeZur Lsung der Ungleichung bentigt man aber die x Werte, die die Ungleichung erfllen.Das mssen die x Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehren.Wie viele sind das ?Unendlich viele !

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0ParabelmethodeZur Lsung der Ungleichung bentigt man aber die x Werte, die die Ungleichung erfllen.Das mssen die x Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehren.Wie viele sind das ?Unendlich viele !Aber sie liegen alle in dem Intervall ]-1 ; 4[

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0ParabelmethodeAber sie liegen alle in dem Intervall ]-1 ; 4[ Das ist die Lsung!]-1 ; 4[Lsung

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0Lse zuerst die Gleichung : -2x + 6x +8 = 0 I :(-2)x - 3x 4 = 0 =>x = 4 oder x = -1 Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen. Neben der Parabelmethode gibt es noch die Zahlenstrahltabelle.Parabelmethode

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0Erinnere dich an den Satz von Vieta:-2x + 6x +8 = 0 I :(-2)x - 3x 4 = 0 => x = 4 oder x = -1 =>(x 4)(x + 1) = 0Die -2 wieder ran => -2(x 4)(x + 1) = 0

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0Also ist -2x + 6x +8 > 0 , wenn-2(x 4)(x + 1) > 0 ist.

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0Der Term -2(x 4)(x + 1) ist ein Produkt aus drei Faktoren. Mit der Zahlenstrahltabelle untersucht man die Vorzeichen der drei Faktoren.

    Also gut, beginne mit einem Zahlenstrahl!

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 00-14ZahlenstrahltabelleEs ist sicher ntzlich, wenn man die gefundenen Nullstellen auch auf dem Zahlenstrahl markiert.x

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14ZahlenstrahltabelleDie beiden Nullstellen geben nmlich die Lage der Spalten vor.Auf die 0 kann man jetzt verzichten.x

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 00-14ZahlenstrahltabelleUnd dann braucht man noch eine Spalte fr die drei Faktoren.x

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)Zahlenstrahltabellex

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexJetzt musst du dir berlegen, welches Vorzeichen der jeweilige Term hat, wenn sich das x auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts bewegt.

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexBei 2 ist das einfach, weil das x keinen Einfluss nimmt.

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexTrage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.-

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexTrage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.--

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexTrage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.In die erste Zeile mssen also drei - Zeichen.---

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexJetzt ist die zweite Zeile dran.Setze in (x 4 ) einfach einen Beispielwert aus dem Bereich des Zahlenstrahls ein.---

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexZ.B.: (-2 4 ) = - 6----

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexZ.B.: (1 4 ) = - 3-----

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexZ.B.: (5 4 ) = + 1-----+

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexEs geht auch noch anders.(x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!-----+0

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)Zahlenstrahltabellex(x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!Dann muss der Term links von 1 negativ sein, -----+0-

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 0-14-2(x-4)(x+1)Zahlenstrahltabellex(x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!Dann muss der Term links von 1 negativ sein, und rechts von 1 positiv !-----+0++-

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 00-14-2(x-4)(x+1)------+++-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexSo, jetzt ist das Vorzeichen des gesamten Produkts dran.

  • Ahnst du es schon?

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 00-14-2(x-4)(x+1)------+++-2(x-4)(x+1)Zahlenstrahltabellex Minus mal Minus mal Minus gibt ?

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 00-14-2(x-4)(x+1)------+++-2(x-4)(x+1)Zahlenstrahltabellex Minus mal Minus mal Minus gibt ? Minus!-

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 00-14-2(x-4)(x+1)------+++-2(x-4)(x+1)Zahlenstrahltabellex Minus mal Minus mal Plus gibt ? -

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 00-14-2(x-4)(x+1)------+++-2(x-4)(x+1)Zahlenstrahltabellex Minus mal Minus mal Plus gibt ? Plus! -+

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 00-14-2(x-4)(x+1)------+++-2(x-4)(x+1)Zahlenstrahltabellex Minus mal Plus mal Plus gibt ? -+

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 00-14-2(x-4)(x+1)------+++-2(x-4)(x+1)Zahlenstrahltabellex Minus mal Plus mal Plus gibt ? Minus!-+-

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 00-14-2(x-4)(x+1)------+++-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexSo, fast fertig! Fr welchen Bereich des Zahlenstrahls ist denn das Produkt nun positiv?-+-

  • Lsen von quadratischen UngleichungenBeispiel: -2x + 6x +8 > 00-14-2(x-4)(x+1)------+++-2(x-4)(x+1)ZahlenstrahltabellexGenau! Da ist wieder das Intervall ]-1 , 4[.-+-