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ösen von quadratischen Ungleichunge Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = - 1 Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen.

Lösen von quadratischen Ungleichungen

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Lösen von quadratischen Ungleichungen. Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0. Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1  Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen. Lösen von quadratischen Ungleichungen. Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0. - PowerPoint PPT Presentation

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Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2)

x² - 3x – 4 = 0 =>

x = 4 oder x = -1

Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen.

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

Betrachte den Graphen der Parabel

y = -2x² + 6x +8

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

Betrachte den Graphen der Parabel

y = -2x² + 6x +8

Mit den gefundenen Nullstellen

x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x² der Faktor –2 steht,

kann man den Graphen sofort skizzieren. (Also wirklich nur skizzieren!)

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

Betrachte den Graphen der Parabel

y = -2x² + 6x +8

Mit den gefundenen Nullstellen

x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x² der Faktor –2 steht,

kann man den Graphen sofort skizzieren. (Also wirklich nur skizzieren!)

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

y = -2x² + 6x +8 > 0 heißt doch, dass die y – Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen.

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

y = -2x² + 6x +8 > 0 heisst doch, dass die y – Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen.

Das sind dann alle Punkte der Parabel, die oberhalb der x-Achse liegen.

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen.

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen.

Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören.

Wie viele sind das ?

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen.

Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören.

Wie viele sind das ?

Unendlich viele !

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen.

Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören.

Wie viele sind das ?

Unendlich viele !

Aber sie liegen alle in dem Intervall

]-1 ; 4[

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

Aber sie liegen alle in dem Intervall

]-1 ; 4[

Das ist die Lösung!

]-1 ; 4[

Lösung

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2)

x² - 3x – 4 = 0 =>

x = 4 oder x = -1

Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen.

Neben der Parabelmethode gibt es noch die

„Zahlenstrahltabelle“.

Parabelmethode

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Erinnere dich an den Satz von Vieta:

-2x² + 6x +8 = 0 I :(-2)

x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1 =>

(x – 4)(x + 1) = 0

Die „-2“ wieder ran => -2(x – 4)(x + 1) = 0

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Also ist

-2x² + 6x +8 > 0 , wenn

-2(x – 4)(x + 1) > 0 ist.

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Der Term -2(x – 4)(x + 1) ist ein Produkt aus drei Faktoren. Mit der Zahlenstrahltabelle untersucht man die Vorzeichen der drei Faktoren.

Also gut, beginne mit einem Zahlenstrahl!

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

„Zahlenstrahltabelle“

Es ist sicher nützlich, wenn man die gefundenen Nullstellen auch auf dem Zahlenstrahl markiert.

x

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

„Zahlenstrahltabelle“

Die beiden Nullstellen geben nämlich die Lage der Spalten vor.Auf die „0“ kann man jetzt verzichten.

x

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

„Zahlenstrahltabelle“

Und dann braucht man noch eine Spalte für die drei Faktoren.

x

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

Jetzt musst du dir überlegen, welches Vorzeichen der jeweilige Term hat, wenn sich das x auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts bewegt.

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

Bei –2 ist das einfach, weil das x keinen Einfluss nimmt.

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.

-

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.

- -

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.

In die erste Zeile müssen also drei „-“ – Zeichen.

- - -

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

Jetzt ist die zweite Zeile dran.

Setze in (x – 4 ) einfach einen Beispielwert aus dem Bereich des Zahlenstrahls ein.

- - -

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

Z.B.: (-2 – 4 ) = - 6

- - -

-

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

Z.B.: (1 – 4 ) = - 3

- - -

- -

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

Z.B.: (5 – 4 ) = + 1

- - -

- - +

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

Es geht auch noch anders.

(x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!

- - -

- - +

0

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

(x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!

Dann muss der Term links von –1 negativ sein,

- - -

-

- +

0

-

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

(x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!

Dann muss der Term links von –1 negativ sein,

und rechts von –1 positiv !

- - -

-

- +

0 + +

-

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

So, jetzt ist das Vorzeichen des gesamten Produkts dran.

Ahnst du es schon?

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

„Minus mal Minus mal Minus“ gibt ?

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

„Minus mal Minus mal Minus“ gibt ? Minus!

-

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

„Minus mal Minus mal Plus“ gibt ?

-

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

„Minus mal Minus mal Plus“ gibt ? Plus!

- +

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

„Minus mal Plus mal Plus“ gibt ?

- +

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

„Minus mal Plus mal Plus“ gibt ? Minus!

- + -

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

So, fast fertig! Für welchen Bereich des Zahlenstrahls ist denn das Produkt nun positiv?

- + -

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)

„Zahlenstrahltabelle“

x

Genau! Da ist wieder das Intervall ]-1 , 4[.

- + -