Lösung – 1. Übungsblatt

Fakultät Informatik, Technische Informatik, Lehrstuhl für Eingebettete Systeme

Konvertierung von Zahlendarstellungen verschiedener Alphabete und Darstellung negativer Zahlen

Übungsblatt 1 2

Stoffverteilung

1. Informationsdarstellung, Zahlensysteme und Konvertierung

2. Festkomma- und Gleitkommaformat, Rechnen mit Binärzahlen

3. Entwurf und Analyse einfacher kombinatorischer und squenzieller Schaltungen

4. Elementare Rechenwerke FK-Addition, -Multiplikation und -Division

5. Steuerwerke und Automaten

6. Befehlsformate, Addressierungsarten, Befehlszyklus und Hauptspeicher

7. MIPS-Instruction-Set, Basispipeline, Daten- und Steuer-Hazards

Übungsblatt 1 4

Aufgabe 1Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in Binärzahlen, Oktalzahlen und Hexadezimalzahlen um und überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Rückkonvertierung

a) 7310

26 25 24 23 22 21 20

73 : 2 = 36 Rest 136 : 2 = 18 Rest 018 : 2 = 9 Rest 0 9 : 2 = 4 Rest 1 4 : 2 = 2 Rest 0 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1

Z = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 Z = 64 + 8 + 1 = 73

10

Binärzahl: 10010012

Übungsblatt 1 5

Aufgabe 1

82 81 80

73 : 8 = 9 Rest 1 9 : 8 = 1 Rest 1 1 : 8 = 0 Rest 1

Binärzahl: 1 001 0012

Oktalzahl: 1 1 18

Berechnung:

Binärzahl: 100 10012

Hexadezimalzahl: 4 916

Berechnung: 161 160

73 : 16 = 4 Rest 9 4 : 16 = 0 Rest 4

Übungsblatt 1 6

Binäre Darstellung der Hexadezimalzahlen und Oktalzahlen

Stellenwert: Binär Oktal Binär Hexadezimal Wert Aufgabe 1a0 000 00001 001 00012 010 0010 0 0 1 0 0 1 0 0 13 011 00114 100 01005 101 0101 001 001 0016 110 01107 111 01118 - 1000 0 0100 10019 - 100110 = A - 101011 = B - 101112 = C - 110013 = D - 110114 = E - 111015 = F - 1111

Übungsblatt 1 8

Aufgabe 1

b) 24710

27 26 25 24 23 22 21 20

247 : 2 = 123 Rest 1123 : 2 = 61 Rest 1 61 : 2 = 30 Rest 1 30 : 2 = 15 Rest 0 15 : 2 = 7 Rest 1 7 : 2 = 3 Rest 1 3 : 2 = 1 Rest 1 1 : 2 = 0 Rest 1

Z = 1*27 + 1*26 + 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 Z = 128 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 247

10

Binärzahl: 1111 01112

Übungsblatt 1 9

Aufgabe 1

82 81 80

247 : 8 = 30 Rest 7 30 : 8 = 3 Rest 6 3 : 8 = 0 Rest 3

Binärzahl: 11 110 1112

Oktalzahl: 3 6 78

Berechnung:

Binärzahl: 1111 01112

Hexadezimalzahl: F 716

Berechnung: 161 160

247 : 16 = 15 Rest 7 15 : 16 = 0 Rest F

Übungsblatt 1 11

Aufgabe 1

c) 140410

210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

1404 : 2 = 702 Rest 0 702 : 2 = 351 Rest 0 351 : 2 = 175 Rest 1 175 : 2 = 87 Rest 1 87 : 2 = 43 Rest 1 43 : 2 = 21 Rest 1 21 : 2 = 10 Rest 1 10 : 2 = 5 Rest 0 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1

Z = 1*210 + 1*29 + 1*28 + 1*27 + 1*26 + 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 +

1*21 + 1*20 Z = 1024 + 256 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 = 1404

10

Binärzahl: 101 0111 11002

Übungsblatt 1 12

Aufgabe 1

83 82 81 80

1404 : 8 = 175 Rest 4 175 : 8 = 21 Rest 7 21 : 8 = 2 Rest 5 2 : 8 = 0 Rest 2

Binärzahl: 10 101 111 1002

Oktalzahl: 2 5 7 48

Berechnung:

Binärzahl: 101 0111 11002

Hexadezimalzahl: 5 7 C16

Berechnung: 162 161 160

1404 : 16 = 87 Rest C 87 : 16 = 5 Rest 7 5 : 16 = 0 Rest 5

Übungsblatt 1 14

Aufgabe 2

Konvertieren Sie in das Dezimal- und Oktalsystem:

a) AF1,2B16

10*162 + 15*161 + 1*160 + 2*16-1 + 11*16-2 = Z10

1010 1111 0001,0010 10112 → 101 011 110 001, 001 010 11

2

Z8 = 5361,126

8

2560 + 240 + 1 + 2/16 + 11/256 = Z10

2801 + 0,125 + 0,04296875 = 2801,16796875

Übungsblatt 1 16

Aufgabe 2

Konvertieren Sie in das Binär- und Hexadezimalsystem.

b) 224,62510

27 26 25 24 23 22 21 20

224 : 2 = 112 Rest 0 112 : 2 = 56 Rest 0 56 : 2 = 28 Rest 0 28 : 2 = 14 Rest 0 14 : 2 = 7 Rest 0 7 : 2 = 3 Rest 1 3 : 2 = 1 Rest 1 1 : 2 = 0 Rest 1

Berechnung des ganzzahligen Teils:

Übungsblatt 1 18

2-1 2-2 2-3

0,625 * 2 = 1,25 1 0,5 0,25 * 2 = 0,5 0 0,5 * 2 = 1 1 0,625

Berechnung der Nachkommastellen:

Binärzahl: 1110 0000,1012

Hexadezimalzahl: E 0 , A16

Aufgabe 2

Übungsblatt 1 21

Aufgabe 2

Konvertieren Sie in das Binär- und Hexadezimalsystem. Die Abweichung soll 0,01% nicht überschreiten:

c) 44,9210

25 24 23 22 21 20

44 : 2 = 22 Rest 0 22 : 2 = 11 Rest 0 11 : 2 = 5 Rest 1 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1

Mögliche Abweichung: 0,01% von 44,92 → ±0,004492

Berechnung des ganzzahligen Teils:

Übungsblatt 1 23

2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8

0,92 * 2 = 1,84 1 0,5 0,84 * 2 = 1,68 1 0,75 0,68 * 2 = 1,36 1 0,875 0,36 * 2 = 0,72 0 0,72 * 2 = 1,44 1 0,90625 0,44 * 2 = 0,88 0 0,88 * 2 = 1,76 1 0,9140625 0,76 * 2 = 1,52 1 0,91796875

Berechnung der Nachkommastellen:

Binärzahl: 10 1100,1110 10112

Hexadezimalzahl: 2 C, E B16

Aufgabe 2

Gewünschte Genauigkeit erreicht.

Übungsblatt 1 25

Aufgabe 3

a)

910 → 1001

2 → 4 Stellen

9910 → 110 0011

2 → 7 Stellen

99910 → 11 1110 0111

2 → 10 Stellen

999910 → 10 0111 0000 1111

2 → 14 Stellen

Wieviele Stellen im Binärsystem benötigen Sie für die Konvertierung von 910

, 9910

, 99910

und 999910

.

Stellen Dez. 1 2 3 4

Stellen Binär 4 7 10 14

Übungsblatt 1 27

Aufgabe 3

b) Versuchen Sie anhand dieser Beispiele eine allgemeine Regel für die Anzahl benötigter Stellen bei der Konversion von Zahlen aus dem Dezimalsystem ins Binärsystem abzuleiten.

0 2500 5000 7500 100000

2

4

6

8

10

12

14

16

Dezimalzahl

Ste

llen

zah

l

Stellen n der Zahl z dezimal: n = log10(z+1) = lg(z+1) Stellen n der Zahl z binär: n = log2(z+1) = ld(z+1)

f(z) = ld(z+1)

f(z) = lg(z+1)

Übungsblatt 1 29

Aufgabe 3logbz = logaz : logab → (lg z)/(lg 2) pro Stelle (lg 10)/(lg 2) = 3,321928Umrechnungsformel:

Beispiel: 86410

3 Stellen 3 * 3,3→ = 9,9 → 10 Stellen 11 0110 00002

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

14

16

Stellen Dezimal

Ste

llen

Bin

är

f(z) ≈ 3,3 z

Die Anzahl der Stellen nach dem Komma ist nicht exakt bestimmbar.

z 9 99 999 9999

n= (lg(z+1))/(lg 2) 3,322 6,644 9,966 13,288

Übungsblatt 1 31

Aufgabe 4

|5710| → 11 1001

2

|15010| → 1001 0110

2

|-7110| → 100 0111

2

|-12810| → 1000 0000

2

Konvertieren sie die Zahlen 5710

, 15010

, -7110

und -12810

in ein 8 Bit Binarformat.

Verwenden Sie dabei jeweils die Vorzeichen-Betrag-Darstellung, die Offset-Darstellung und (B-1)-Komplement- und B-Komplement-Darstellung.

Ermitteln der Binär-Beträge:

Übungsblatt 1 33

Aufgabe 4

8 Bit Vorzeichen-Betrag-Darstellunga)

Höchstwertiges Bit wird als Vorzeichen interpretiert (0=positiv, 1=negativ)

|5710| → 11 1001

2

|15010| → 1001 0110

2

|-7110| → 100 0111

2

|-12810| → 1000 0000

2

5710 → 0011 1001

2→ 57

15010 → 1001 0110

2→ -22 Überlauf

-7110 → 1100 0111

2→ -71

-12810→ 1 1000 0000

2→ -0 Überlauf

Binär-Betrag(Vorzeichen-Betrag-Darstellung)

InterpretierteDezimalzahl

Wert mit Vorzeichen

Übungsblatt 1 35

Aufgabe 4

8 Bit Offset-Darstellung (Offset = 128)b)

5710 = 57 + 128 = 185 → 1011 1001

2 → 57

15010 = 150 + 128 = 278 → 1 0001 0110

2 → -106 Überlauf

-7110 = -71 + 128 = 57 → 0011 1001

2 → -71

-12810 = -128 + 128 = 0 → 0000 0000

2 → -128

(Offset-Darstellung)InterpretierteDezimalzahl

Addition des Binär-Betrags mit 128 (1000 00002) → 0 durch 128 kodiert

Wert mit Vorzeichen

Übungsblatt 1 37

Aufgabe 4

8 Bit (B-1)-Komplement-DarstellungDie Differenz zu 1111 1111 bilden entspricht bei binären Zahlen der

c)

|5710| → 11 1001

2

|15010| → 1001 0110

2

|-7110| → 100 0111

2

|-12810| → 1000 0000

2

5710→ 0011 1001

2→ 57

15010→ 1001 0110

2→ -105 Überlauf

-7110→ 1011 1000

2→ -71

-12810→ 0111 1111

2→ 127 Überlauf

Binär-Betrag(Komplement-Darstellung)

InterpretierteDezimalzahl

Negation aller Stellen für negativen Zahlen

Wert mit Vorzeichen

Übungsblatt 1 39

Aufgabe 4

8 Bit B-Komplement-Darstellung (Eliminierung der doppelten Null)c)

Binär-Betrag(B-Komplement-Darstellung)

InterpretierteDezimalzahl

|5710| → 11 1001

2 → 0011 1001

2 → 57

|15010| → 1001 0110

2 → 1001 0110

2 → -106 Überlauf

|-7110| → 100 0111

2 → 1011 1000

2

+ 0000 0001

2

1011 1001

2 → -71

|-12810| → 1000 0000

2 → 0111 1111

2

+ 0000 0001

2

1000 0000

2 → -128

Wert mit Vorzeichen

Übungsblatt 1 41

Aufgabe 48 Bit B-Komplement-Darstellung (Eliminierung der doppelten Null)d)

255 0

128 127

Alle Werte für 8 Bit ohne Vorzeichen am Zahlenkreis angetragen.

Mit Vorzeichen stehen die Werte links für negative Zahlen und rechts für positive Zahlen127 – 01111111 ….000 – 00000000-1 – 111111111 …..-128 – 10000000

-1 0

- 128 127

Übungsblatt 1 42

Das B-Komplement ist die Differenz zu dem in der vorgegebenen Stellenanzahl größtem darstellbarem Wert + 1.

4 Stellen Dezimal sind 9999 + 1 = 10000 Das B-Komplement von 4321 ist: 10000 – 4321 = 5679

oder man bildet das B-1 Komplement und addiert danach 1. Das B-1 Komplement ist: 9999 – 4321 = 5678 und nun noch +1

4 Stellen Binär sind 1111 + 0001 = 10000 Das B-Komplement von 0101 ist: 10000 – 0101 = 1011

oder man bildet das B-1 Komplement und addiert danach 1. Das B-1 Komplement ist: 1111 – 0101 = 1010 und nun noch +1

1010 ist die Negation jeder Stelle in der Binären Darstellung!

Übungsblatt 1 45

Aufgabe 5

-0101 0100 → 1 0 1 0 1 0 1 1 + 0 0 0 0 0 0 0 1

01 00 01 00 01 01 10 10 → kein Überlauf

Konvertieren Sie in B-Komplement-Darstellung ohne in ein anderes Zahlensystem umzurechnen. Achten Sie dabei auf den gegebenen Darstellungsbereich.

8 Bit B-Komplement-Darstellung (Differenz zu 1111 1111 und +1)a)

8 Bit B-Komplement-Darstellung (Differenz zu 1111 1111 und +1)b)

-1001 1000 → 0 1 1 0 0 1 1 1 + 0 0 0 0 0 0 0 1

00 01 01 00 01 10 10 10 → Überlauf

(Interpretation als positive Zahl)

Übungsblatt 1 48

Aufgabe 5

-32FA → C D 0 5 + 0 0 0 1

0C 0D 00 06

→ kein Überlauf

B-Komplement-Darstellung Hexadezimal (Differenz zu FFFF und +1)c)

B-Komplement-Darstellung Dezimal (Differenz zu 9999 und +1)d)

-0213 → 9 7 8 6 + 0 0 0 1

09 07 08 07

→ kein Überlauf

Negation: F-0 → F, F-1 → E, F-2 → D, F-3 → C, ... ,F-F → 0

Negation: 9-0 → 9, 9-1 → 8, 9-2 → 7, 9-3 → 6, ... ,9-9 → 0

oder: 1 0 0 0 0 - 0 3 2 F A

0 1C 1D 00 16

oder: 1 0 0 0 0 - 0 0 2 1 3

0 19 17 18 17