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Berichte

Stahlbau 73 (2004), Heft 3

Lösung und Gewinner der Weihnachtspreisaufgabe 2003

1 Aufgabenstellung Wie üblich, gelten für die in Bild 1 defi-nierten Zustandsgrößen die differentiel-len Beziehungen:

(2)

(3)

(4)

(5)

Aus den Gln. (1) und (5) erhält man dieDifferentialgleichung

(6)

Mit der Abkürzung

(k Konstante) (7)

wird für w folgender Lösungsansatz ge-macht:

(8)

Als vierte Ableitung erhält man:

(9)

Nach Einsetzen in die Differentialgleichungergibt sich:

(10)

3 Lösung der vorliegenden Aufgabe

Für die Lösung wird die linke Hälfte dessymmetrischen Systems betrachtet. Bild 2zeigt das verformte System und die maß-gebenden Randbedingungen in den End-punkten a und c.

k

aEI

4 = �

′′′′ =w k w4

w A B

C D

= + ++ +

cosh cos

sinh sin

� �

� �

� = kx

′′′′ − =w

aEI

w�

0

q Q EIw= − ′ = ′′′′

Q M EIw= ′ = − ′′′

M EI EIw= − ′ = − ′′�

� = ′w

Gegeben:Länge �1, Trägerabstand a (normal zur Systemebene),Wichte des Wassers �.

Gesucht:Mindestbiegesteifigkeit EI, so daß für beliebige Kraglängen �2Regenwasser stets abfließt,maßgebende Länge �2.

Annahmen:Dachhaut (unter Eigengewicht) eben undhorizontal, Wasserabfluß normal zur Systemebenenicht möglich.

Hinweise:– Bei Wasserbelastung kann für die Trä-gerdurchbiegung w(x), gemessen von derWasseroberfläche, als Ansatz eine Linear-kombination von sin(kx), cos(kx), sinh(kx)und cosh(kx) verwendet werden (k Kon-stante).– Für einen geeignet gewählten (dimen-sionslosen) Eigenwert existiert eine ein-zige, sehr einfache (transzendente) Be-stimmungsgleichung.

Bild 1. Definition der Zustandsgrößen desStabs unter Wasserlast

2 Biegefunktion w für einenallgemeinen, horizontalen Stabunter Wasserlast

Bei einem Trägerabstand a, der Wichte �des Wassers und der Durchbiegung w ge-mäß Bild 1 beträgt die Streckenlast desStabes:

(1)q aw= �

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Stahlbau 73 (2004), Heft 3

Für die beiden Stababschnitte s = 1und 2 gilt gemäß Gl. (8) für die Durch-biegung und deren Ableitungen:

(11)

(12)

(13)

(14)

mit

(15)

Abschnitt a–b (Stab 2)Die Randbedingungen wa = 0, Ma = 0und Qa = 0 liefern

(16)

(17)

Mit der Vereinbarung

(18)

erhält man für die Stelle b:

(19)

(20)

(21)′′( ) = −( )w C k2 2 2 2 22l sinh sinε ε

′ ( ) = +( )w C k2 2 2 2 2l cosh cosε ε

w C2 2 2 2 2l( ) = +( )sinh sinε ε

ε2 2= kl

′′′( ) = −( ) =

→ =

w C D k

D C2 2 2

3

2 2

0 0

w A B

w A B k

A B

2 2 2

2 2 22

2 2

0 0

0 0

0

( ) = + =

′′( ) = −( ) =

→ = =

�s skx=

′′′ = + +(+ − )

= −

w A B

C D k

EIQ

s s s s s

s s s s

s

sinh sin

cosh cos

� �

� � 3

1

′′ = − +(+ − )

= −

w A B

C D k

EIM

s s s s s

s s s s

s

cosh cos

sinh sin

� �

� � 2

1

′ = − +(+ + )

=

w A B

C D k

s s s s s

s s s s

s

sinh sin

cosh cos

� �

� �

�

w A B

C Ds s s s s

s s s s

= + ++ +

cosh cos

sinh sin

� �

� �

Abschnitt b–c (Stab 1)Die Randbedingungen �c = 0 und Qc = 0liefern

(22)

Mit der Vereinbarung

(23)

erhält man für die Stelle b:

(24)

(25)

(26)

An der Stelle b ändern sich wb, �b undMb nicht, so daß sich die Übergangsbe-dingungen w2(�2) = w1(–�1), w�2(�2) =w�1(–�1) und w�2(�2) = w�1(–�1) ergeben.Nach Einsetzen erhält man folgendes ho-mogene Gleichungssystem:

(27)

(28)

(29)

Summe von Gln. (27) und (29):

(30)

Differenz von Gl. (27) und (29):

(31)

Einsetzen in Gl. (28) und Kürzen durchC2 ≠ 0 ergibt:

(32)

Nach Umformen:

(33)

oder

(34)cosh cos cos coshε ε ε ε1 1 0+ =

cosh cosh sinh sinh cos

cos cos sin sin cosh

ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε1 2 1 2 1

1 2 1 2 1 0

+( ) +

+ −( ) =

− +

= +

sinhcosh

sinhsincos

sin

cosh cos

εε

ε εε

ε

ε ε

2

11

2

11

2 2

2 21 1 2 2

12

12

B C

B C

cos sin

sincos

ε εεε

=

→ =

2 21 1 2 2

12

12

A C

A C

cosh sinh

sinhcosh

ε εεε

=

→ =

A B

C1 1 1 1

2 2 2

cosh cos

sinh sin

ε εε ε−

= −( )

− += +( )

A B

C1 1 1 1

2 2 2

sinh sin

cosh cos

ε εε ε

A B

C1 1 1 1

2 2 2

cosh cos

sinh sin

ε εε ε+

= +( )

′′ −( ) = −( )w A B k1 1 1 1 1 12l cosh cosε ε

′ −( ) = − +( )w A B k1 1 1 1 1 1l sinh sinε ε

w A B1 1 1 1 1 1−( ) = +l cosh cosε ε

ε1 1= kl

′ ( ) = +( ) =

′′′( ) = −( ) =

→ = =

w C D k

w C D k

C D

1 1 1

1 1 13

1 1

0 0

0 0

0

mit

(35)

Darin sind ε1 und ε unbekannt. Die zweiteerforderliche Gleichung wird aus der Be-dingung erhalten, daß EI als Funktionvon �2 maximal wird, also k und ε1 mi-nimal werden. Damit gilt

(36)

Die Ableitung von Gl. (35) ergibt:

(37)

Die Ableitung von Gl. (34) nach �2 lie-fert damit:

(38)

oder

(39)

Die beiden Gln. (34) und (39) können alshomogenes Gleichungssystem für die bei-den Unbekannten U1 = cos ε1 und U2 =cosh ε1 angesehen werden. Nullsetzen derDeterminante liefert dann:

(40)

oder

(41)

also die gesuchte Bestimmungsgleichung,die nur noch die eine Unbekannte ε ent-hält.

Die maßgebende Lösung lautet:

Gl. (34) oder (39) liefert dann

Daraus erhält man

Die gesuchte Biegesteifigkeit berechnetsich gemäß Gl. (10) aus:

4 Zusammenfassung der Ergebnisse

Für den dimensionslosen Eigenwert

lautet die gesuchte Bestimmungsgleichung

tanh tanε ε+ = 0

ε = = = +k mit k

aEI

undl l l l�4

1 2

EIa

ka a= =

=�� �

41

1

4

140 34506

ll

ε,

l l l l2 1 10 8126= − = ,

l l l= =εε1

1 11 8126,

ε1 1 3047= ,

ε = 2 3650,

tanh tan ,ε ε+ = 0

sinh cos sin coshε ε ε ε+ = 0

sinh cos sin coshε ε ε ε1 1 0− =

sinh cos sin coshε ε ε ε1 1 0−( ) =k

dd

kεl 2

=

dkd

ddl l2

1

20 0= =,

ε

ε ε ε= + = +( )1 2 1 2k l l

Bild 2. Linke Symmetriehälfte des Systems,Biegelinie und maßgebende Randbedingun-gen

mit der Lösung

Die größte Mindestbiegesteifigkeit EI wirdfür

erhalten. Diese beträgt

Prof. Dr. Helmut Rubin, Wien

Die nächste Weihnachtspreisaufgabe er-scheint in Heft 11 dieses Jahres.

Gewinner:Folgende Personen erhalten für ihre rich-tige Lösung als Prämie ein Buch nachWahl aus dem Programm des VerlagesErnst & Sohn:

– Prof. Jukka Aalto, Structural Mecha-nics, Helsinki University of Technology,P.O.Box 2100, FIN – 02015 Hut, Finn-land– Thomas Benz, Heugärtenweg 5, 72108Rottenburg

EI a= 0 34506 14, � l

l l2 10 8126= ,

ε = 2 3650,

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– Horst Dennulat, Kirchstraße 18, 51702Bergneustadt– Dr.-Ing. Rudolf Findeiß*, Sailer Ste-pan & Partner GmbH, Simmernstr. 10,80804 München– Prof. Dr.-Ing. Udo Fischer*, Stieglitz-weg 9, 39110 Magdeburg– Dr. Theo Geidner, Parkstraße 71, 87439Kempten– Dipl.-Ing. Georg Geldmacher, Techni-sche Universität Darmstadt, Institut fürStahlbau u. Werkstoffmechanik, Alexan-derstraße 7, 64283 Darmstadt– Per Haaland, c/o Dr. techn. Olav Ol-sen a.s, Dicks vei 10, N – 1324 Lysaker,Norwegen– Dipl.-Ing. Bruno Kaschke*, Clausewitz-straße 3, 10629 Berlin– Dr.-Ing. Jürgen Kühn*, KronthalerWeg 26, 61476 Kronberg i. Ts.– Dr.-Ing. Lutz Nasdala, Universität Han-nover, Institut für Statik, Appelstraße 9A,30167 Hannover– Juha Paavola, Ristiniementie 6 C 2,FIN – 02320 Espoo, Finnland– Dipl.-Ing. Dr. techn. Wilhelm Pilgram*,Fünkhgasse 6/14, A-1140 Wien, Öster-reich– Dr. Günter Ramberger*, Ferrogasse 6,A – 1180 Wien, Österreich

– Tim Rutkowski, Lilienstraße 10, 30167Hannover– Prof. Dr.-Ing. Richard Schardt, Tech-nische Hochschule Darmstadt, Institut fürStatik, FB 13, Alexanderstraße 7, 64283Darmstadt– Dr.-Ing. Ulrich Schmidt, KipsdorferStraße 187, 01279 Dresden– Dr.-Ing. Knut Schwarze, Am Stoß 9,57234 Wilnsdorf– Eero-Matti Salonen, Emeritus profes-sor in mechanics, Sibeliuksenkatu 3 B 25,FIN – 00250 Helsinki, Finnland– Dr. techn. Erwin Volke, Karlsforster-straße 37, 41564 Kaarst– Dipl.-Ing. Jörn Weichert*, Brandenbur-gische Technische Universität Cottbus,Lehrstuhl Statik und Dynamik, Univer-sitätsplatz 3–4, 03044 Cottbus

Die mit * gekennzeichneten Teilnehmerhaben die Bestimmungsgleichung (41) ge-funden und erhalten zusätzlich vom Auf-gabensteller die Vollversion des Stabwerk-programms IQ 100 des Instituts für Bau-statik der Technischen Universität Wien.

Die Redaktion dankt für die regeBeteiligung und gratuliert allen Gewin-nern.