Logikrätsel – Klasse 5+6/2

• auch unter dem Namen Logicals bekannt

• gegebene Hinweise liefern Schlussfolgerungen, es gibt zuordnende, verneinende und

einschränkende Hinweise

Vorgehensweise zum Lösen eines Logicals

1. Tabelle zeichnen

2. Alle Hinweise durchlesen!!! (Oft schon im Einleitungstext erste Informationen)

3. Zuordnende Hinweise auswerten (mit √)

4. Verneinende Hinweise auswerten (mit X)

5. Einschränkende Hinweise (größer als, früher als, etc.

6. Schlussfolgerungen ziehen

7. Prüfen der gewonnen Ergebnisse anhand der Hinweise

1. Aufgabe

Beim Schulfest möchte der 12-jährige Valentin auf der Bühne Sketche aufführen. Dazu braucht er

noch eine weibliche Partnerin. Die ersten Mädchen, die er fragt, reagieren jedoch recht schroff auf sein

Anliegen. Erst die 4. Kandidatin willigt ein.

In welcher Reihenfolge fragt Valentin welche Klassenkameradin und mit welcher Antwort reagieren

sie?

Hinweise:

1. Der Ausruf „Es hackt wohl“, kommt nicht von der Schülerin, die Valentin als Zweite

fragt.

2. Sina antwortet auf Valentins Frage mit den Worten: „Spinnst du?“

3. Ariane, die Valentin direkt nach Emma fragt, reagiert mit: „Geht’s noch?“

Lösung:

(E) – wegen Einleitung

(1) – (3) wegen Hinweisen 1-3

(5) – Ariane ≠ Meinetwegen = 4.

(6) – Sina ≠ Meinetwegen = 4.

(7) – Lisa = 4. als einziges übrig

(8) – Emma = Es hackt wohl als einziges

übrig

(9) – Geht’s noch = Ariane ≠ 1.

(10) – Es hackt wohl = Emma ≠ 2.

(11) – Ariane direkt nach Emma gefragt,

Emma ≠ 2 � Ariane ≠ 3.

(12) – Ariane = 2. als einziges übrig

(13) – wegen (11)

(14) übrig

Aufgabe 2:

Ganz Deutschland steht Kopf wegen der bevorstehenden Fußball – Weltmeisterschaft. So diskutieren

im Mathelager ein paar Jungen eifrig, welche Mannschaft wohl Weltmeister wird. Als die jungen

Fußballfans dabei auf ihre Lieblingsspieler zu sprechen kommen, geraten sie vollends ins Schwärmen.

Wer (Vorname und Alter) lebt in welcher Stadt und welcher Fußballstar ist sein jeweiliger

Lieblingsspieler?

Hinweise:

1. Der Fan des Portugiesen Christiano Ronaldo wohnt in Leipzig.

2. Benjamin, der jünger ist als der Junge aus Jena, schwärmt für den Brasilianer Kaká.

3. Der 12-jährige Junge lebt in Erfurt und Thomas in Ilmenau.

4. Weder der 10-jährige Joseph noch Adam schwärmen für den Argentinier Lionel

Messi. Der Junge, für den Messi der Größte ist, ist nicht 14 Jahre alt.

5. Der 9-jährige Fußballfan, dessen Lieblingsspieler Didier Drogba von der

Elfenbeinküste ist, wohnt nicht in Dresden.

6. Matthias ist nicht 11 Jahre alt.

(1) – (6) gemäß Hinweisen 1-6

(7) Leipzig = Ronaldo ≠ Drogba = 9 Jahre

(8) übrig

(9) Benjamin = Kaká ≠ Drogba = 9 Jahre

(10) Thomas = Ilmenau ≠ Leipzig =

Ronaldo

(11) Ilmenau = Thomas = 9 Jahre = Drogba

(12) Altersabschätzung in Hinweis 2

(13) übrig

(14) Joseph = 10 ≠ 9; 12; 14 = Ilmenau, Erfurt, Jena

(15) übrig

(16) gemäß Hinweis 4

(17) übrig

(18) Adam = 14 Jahre = Jena

(19) Benjamin = 11 Jahre = Kaká

Bereits an dieser Stelle ist das Logical gelöst:

Thomas 9 Jahre Ilmenau Drogba

Adam 14 Jahre Jena Rooney

Matthias 12 Jahre Erfurt Messi

Joseph 10 Jahre Leipzig Ronaldo

Benjamin 11 Jahre Dresden Kaká

Lösung der Klausuraufgabe zu diesem Thema:

Aufgabe 8

Während der Olympiade in Ilmenau unterhalten sich die Betreuer Peter, Anke und Maria über ihre

Schüler – unter ihnen auch die nette Juliette und der neugierige Franz – und deren Lieblingsthemen

im Mathelager.

Welches Kind (Name, Eigenschaft) mag welches Fach? Gib zusätzlich zur unten stehenden Tabelle

eine Zusammenfassung an und begründe deine Überlegungen!

Hinweise:

1. Julia, die nicht ruhig ist, mag Wurzelziehen besonders.

2. Das Kind, das Aussagenlogik toll findet, ist weder neugierig noch quirlig.

3. Georg mag Logicals, aber der quirlige Till keine Graphentheorie.

4. Das stets fröhliche Kind findet Magische Quadrate super, das freche Kind,

das nicht Lorenz ist, mag Kryptogramme.

5. Die Betreuer erzählen auch von Tom. Ein Kind ist ehrgeizig. Ein Kind mag

Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Lösung:

(E) gemäß Einleitung

(1)-(4) entsprechend den Hinweisen 1-4

(5) Till = quirlig ≠ fröhlich; frech = Mag. Quadrate, Kryptogramme

(6) übrig

(7) Julia = Wurzelziehen ≠ Kryptogramme; Mag. Quadrate = fröhlich; frech

(8) übrig

(9) Georg = Logicals ≠ Kryptogramme; Mag. Quadrate = fröhlich; frech

(10) übrig

(11) übrig

Bereits an dieser Stelle lässt sich die Lösung aus der Tabelle ablesen:

quirliger Till Wahrscheinlichkeitsrechnung

ehrgeizige Julia Wurzelziehen

frecher Tom Kryptogramme

ruhiger Georg Logicals

nette Juliett Aussagenlogik

neugieriger Franz Graphentheorie

fröhlicher Lorenz Magische Quadrate

Wahrscheinlichkeitsrechnung – Klasse 5

• umfasst nicht nur Schulstoff (z.B. Würfel, Münzen), sondern auch relevant in der Forschung

• Gibt Antwort auf Fragen wie:

Wie groß ist die Chance im Lotto zu gewinnen?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfle ich nachdem ich schon zweimal eine „6“

gewürfelt habe, wieder eine?

• aus aktuellem Anlass: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass min. zwei der 120 Kinder im

Mathelager am selben Tag des Jahres Geburtstag haben?

Betrachte zum Lösen das Gegenereignis: keine zwei Kinder haben am selben Tag des Jahres

Geburtstag

1. Kind: an einem beliebigen Tag des Jahres (366 Tage) Geburtstag

2. Kind: an einem der 365 verbleibenden Tage Geburtstag

3. Kind: an einem der 364 verbleibenden Tage Geburtstag

…

120. Kind: an einem der 247 verbleibenden Tage Geburtstag

Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

���̅� = 1 ∙365366

∙364366

∙ ⋯ ∙247366

<≈ 0,000235

Somit Wahrscheinlichkeit, dass zwei Mathelagerkinder am gleichen Tag Geburtstag haben:

���� = 1 − ���̅� >≈ 0,999764 = 99,9764%

Wichtige Begriffe:

Zufallsversuch: Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen X1, X2, …, Xn

Ergebnismenge: Menge aller möglichen Ergebnisse (Ω)

Ereignis: Teilmenge der Ergebnismenge

sicheres E.: Ereignis, das bei jeder Versuchsdurchführung eintritt (E= Ω)

unmögliches E.:Ereignis, das bei keiner Versuchsdurchführung eintritt (E=Ø)

Elementare.: Ereignis mit genau einem Ergebnis X

Gegenereignis Ē: Komplementärmenge von E (Ereignis, das genau dann eintritt, wenn E nicht

eintritt)

abs. Häufigkeit Hn(E): Anzahl d. Eintretens des Ereignisses E bei n Versuchsdurchführungen

rel. Häufigkeit: ℎ���� =������

Bernoulli – Versuch: Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen

Laplace – Versuch: Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse die gleiche

Wahrscheinlichkeit haben. Für E⊂Ω gilt:

���� = ��� !".$%&.'ü&.�.)ü�*+,)%�.�&)%-�,**%��� !".$%&..ö)",0!%�.�&)%-�,**%

Anhand der durchgeführten Experimente Festigung der Begriffe:

Wurf dreier Münzen: - Ω = {KKK, KKZ, KZZ, ZZZ}

- sicheres Ereignis: Würfeln von (KKK),(KKZ),(KZZ) oder (ZZZ)

- unmögliches Ereignis: (KKKK), da nur 3 Münzen

- Elementarereignisse: (KKK), (KKZ), (KZZ), (ZZZ)

- Gegenereignis zum Ereignis 3mal Zahl: {(KKK),(KKZ),(KZZ)}

- absolute Häufigkeit: Anzahl Striche in Tabelle in entsprechender Spalte

- relative Häufigkeit: Anzahl Striche durch Anzahl Gesamtversuche

- Bernoulli – Versuch: Nein, denn 4 Elementarereignisse

- Laplace – Versuch: Nein, denn (ZZZ),(KKK) sind unwahrscheinlicher als

(KZZ),(ZKK)

2 Würfel werfen: - Ω = { (1,1),(1,2),…(6,6)}

- sicheres Ereignis: Augenzahlsumme zwischen 2 und 12

- unmögliches Ereignis: Augenzahlsumme 1 oder 13

- Elementarereignisse: (1,1), (1,2), …, (6,6)

- Gegenereignis zum Ereignis Pasch: alle Ereignisse (x,y) mit x,y=1,2,…,6 und

x≠y

- absolute Häufigkeit: Anzahl Striche in Tabelle in entsprechender Spalte

- relative Häufigkeit: Anzahl Striche durch Anzahl Gesamtversuche

- Bernoulli – Versuch: Nein, denn mehr als 2Elementarereignisse

- Laplace – Versuch: Ja, denn alle Elementarereignisse (1,1),…,(6,6)

gleichwahrscheinlich, damit lässt sich Wahrscheinlichkeit für eine Summe 7

berechnen:

Ereignisse, die 7 ergeben: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1) = 6 Ereignisse

insgesamt: 36 Ereignisse, damit folgt:

��7� = 123≈ 19,4%

Lösungen der Klausuraufgaben zu diesem Thema:

Aufgabe 4

Was ist ein Bernoulli – Experiment? Ist das Ziehen aus einem Behälter mit 3 schwarzen und 2 weißen

Kugeln ein Bernoulli – Experiment? Begründe!

Lösung: Ein Bernoulli – Experiment ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen

Ereignissen, deswegen ist das Ziehen aus dem Behälter mit schwarzen und weißen

Kugeln ein Bernoulli – Experiment, denn dass das Ziehen einer schwarzen Kugel

wahrscheinlicher ist, spielt keine Rolle, sondern nur, dass es bloß die beiden

Ereignisse schwarz und weiß gibt. Aufgabe sehr locker gewertet, viele haben Laplace – und Bernoulli – Versuch verwechselt, trotzdem volle Punktzahl vergeben.

Aufgabe 5

Zwei Münzen werden gleichzeitig geworfen. Was ist das Gegenereignis Ᾱ zum Ereignis A, dass beide

Münzen Kopf zeigen? Berechne die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(Ᾱ)!

Lösung: A = {(KK)} � Ᾱ = {(KZ),(ZZ)}

���� = 45→ �7�8 = 1 − ���� = 2

5

Denn ein günstiges Ereignis (KK) und insgesamt 4 Ereignisse: (KK), (KZ), (ZK), (ZZ).

Dabei kann man (KZ) und (ZK) aufgrund des gleichzeitigen Werfens zwar nicht

unterscheiden, muss aber theoretisch unterschieden werden, weil (KZ)=(ZK) somit

doppelt so wahrscheinlich ist wie (KK) oder (ZZ).

Wurzelziehen und irrationale Zahlen

• bekannt sind Quadratzahlen: 0, 1, 4, 9, …

• Umkehroperation zum Quadrieren: (Quadrat-)Wurzelziehen, zum Beispiel:

√64� = 8 √121 = 11

• Quadrieren „Spezialfall“ des Potenzierens, Quadratwurzelziehen „Spezialfall“ des

Radizierens, dabei schreibt man für √� häufig einfach √

• obige Beispiele durch Kennen der Quadratzahlen gelöst, aber wie, wenn man √6241 sucht?

Oder √3 mit dem Wissen, dass 3 keine Quadratzahl ist?

• Ergebnis von √3 =? ist keine rationale Zahl, sondern eine irrationale Zahl

• irrationale Zahlen charakterisiert durch: 1. unendlich viele Nachkommastellen

2. keine Periodizität der Nachkommastellen

• 2. liefert Unterschied zu rationalen Zahlen, denn:

√2 = 1,414213562… ��= 0,666666… = 0, 6�

• damit uns bekannter Zahlenbereich auf Menge der reellen Zahlen (rationale und irrationale

Zahlen) erweitert:

mit:

N – Natürliche Zahlen

Z – Ganze Zahlen

Q – Rationale Zahlen

R – Reelle Zahlen

• im Folgenden zwei Methoden zum Bestimmen der Wurzel einer Zahl vorgestellt :

Intervallmethode

• geeignet für Wurzeln von relativ kleinen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind

• beruht auf Vergleich mit bekannten Quadratzahlen und verkleinern des möglichen

Intervalls, in dem die Wurzel liegt, erklärt am Beispiel √2

• suche zunächst die nächstgrößere und die nächstkleinere Quadratzahl zur Zahl unter

der Wurzel (hier die 2), offensichtlich gilt dann:

1 = √1 < √2 < √4 = 2 � √2 ∈ (1,2)

• Bestimme nun das Quadrat der Zahl in der Mitte des Intervalls (hier: 1,5) und

vergleiche wieder: 1,52

= 2,25

1 = √1 < √2 < �2,25 = 1,5 � √2 ∈ (1; 1,5)

• gleiche Vorgehensweise für neues Intervall (1;1,5): 1,252 = 1,5625

1,25 = �1,5625 < √2 < �2,25 = 1,5 � √2 ∈ (1,25; 1,5)

• um Rechnen zu erleichtern, kann gegen irgendeine Zahl des aktuellen Intervalls

abgeschätzt werden, denn 1,3752 rechnet sich viel schwerer, als z.B. 1,3

2 =1,69 und

somit:

1,3 = √1,69 < √2 < �2,25 = 1,5 � √2 ∈ (1,3; 1,5)

• Näherungsverfahren, das heißt, Intervalle müssten unendlich oft verkleinert werden,

um exaktes Ergebnis zu erhalten

• Taschenrechner nutzt dieses Verfahren zum Bestimmen von Wurzeln

• schematisch sieht Verfahren folgendermaßen aus:

Schriftliches Wurzelziehen

• Verfahren ähnlich dem schriftlichen Dividieren, Schritte an Beispiel erläutert:

Anweisung Beispiel: √119025

1 Zerlege die Zahl

von rechts

beginnend in

Zweiergruppen

2 Bestimme größte

Quadratzahl, die

kleiner gleich der

linken

Zweiergruppe ist,

subtrahiere diese

und schreibe

Wurzel dieser

Quadratzahl als

erste Ziffer des

Ergbnisses

3 Ziehe nachfolgende

Ziffer runter

4 1. NR: nach Ziffer

herunterziehen

entstandene Zahl

durch doppeltes des

bisherigen

Ergebnisses teilen,

Rechnung mit Rest

5 Ergebnis der 1. NR

ist nächste Ziffer

der Wurzel und geht

in 2. NR ein:

Produkt aus

(Ergebnis 1. NR)

(Zahl aus Ziffern

des Dividenden und

Ergebnis 1. NR)

bilden

6 Ergebnis in

Hauptrechnung

abziehen, nachdem

weitere Ziffer

heruntergezogen

wurde

7 Wiederhole ab

Schritt 3

• Bemerkungen:

zu 1): enthält die Zahl ein Komma (oder fügt man ,0000 an), so werden die

Zweiergruppen vom Komma ausgehend nach links und rechts gebildet

zu 4): erhält man als Ergebnis der 1.NR eine Zahl >9, verwendet man in den weiteren

Schritten einfach die 9

zu 6): erhält man nach Subtraktion ein negatives Ergebnis geht man zurück zu Schritt

4, verringert das Ergebnis der 1. NR um Eins und rechnet mit dieser Zahl

weiter, eventuell muss Ergebnis aus Schritt 4 mehrmals verringert werden

Im Unterricht behandelte Aufgaben:

Lösungen der Klausuraufgaben zu diesem Thema:

Aufgabe 1 – Klasse 5:

Berechne mit der Methode des schriftlichen Wurzelziehens √7396 !

Lösung:

Aufgabe 1 – Klasse 6:

Berechne mit der Methode des schriftlichen Wurzelziehens √26896 !

Lösung:

Aufgabe 2

Begründe, warum √160223 keine rationale Zahl sein kann! (Argumentieren, nicht

ausrechnen!)

Lösung: √160223 ist nur dann eine rationale Zahl, wenn 160233 eine Quadratzahl ist.

Allerdings endet 160233 auf 3 und es ist schnell gezeigt, dass Quadratzahlen nie auf 3 enden

können, denn:

(…0)2 = …0 (…5)

2 = …5

(…1)2 = …1 (…6)

2 = …6

(…2)2 = …4 (…7)

2 = …9

(…3)2 = …9 (…8)

2 = …4

(…4)2 = …6 (…9)

2 = …1 mit … = beliebige Ziffern

Quadratzahlen enden also immer auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9, aber nie auf 3. Somit ist 160233

keine Quadratzahl und folglich √160223 keine rationale Zahl, sondern eine irrationale.

Aufgabe 3

Benutze die Intervallmethode um √13 zu nähern. Gib eine Nachkommastelle des Ergebnisses

an!

Lösung: Vergleich mit umgebenden Quadratzahlen liefert 1. Intervall:

3 = √9 < √13 < √16 = 4 � √13 ∈ (3; 4)

Quadrat der Intervallmitte bestimmen, vergleichen: 3,52 = 12,25

3,5 = �12,25 < √13 < √16 = 4 � √13 ∈ (3,5; 4)

Quadrate von 3,6; 3,7 (gegebenenfalls 3,8; 3,9) bestimmen und vergleichen:

3,62 = 12,96

3,6 = √12,96 < √13 < √16 = 4 � √13 ∈ (3,6; 4) 3,7

2 = 13,69:

3,6 = √12,96 < √13 < √13,96 = 3,7 � √13 ∈ (3,6; 3,7) � √13 = 3,6…