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Materialien Lernstand 8 Mathematik Lesen von Diagrammen - Graphen von Zuordnungen und Funktionen Arbeitsbereich 2 - Bildungsforschung, Evaluation und Schulentwicklung Checkliste: 1. Schritt: Orientieren Worum geht es in dem Diagramm? (Überschrift, Beschriftungen, Maßeinheiten) 2. Schritt: Fragen an das Diagramm Was weißt du schon über das Thema? Was willst du herausfinden? 3. Schritt: Genau lesen Kläre unbekannte Wörter und Fachbegriffe. (Übernimm sie in deine Wortliste) Betrachte das Diagramm jetzt genau: Welche Informationen kannst du dem Diagramm im Einzelnen entnehmen? Hilfefragen: Welche Variablen/Größen stehen an den Achsen? Wie sind die Achsen eingeteilt? Welcher Bereich wird auf der Rechtsachse dargestellt? Welcher auf der Hochachse? Welche (besonderen) Punkte kannst du ablesen? Was ist der größte Wert, der kleinste Wert? Welche Werte sind besonders auffällig? Markiere diese Werte. Welche Veränderungen sind im Diagramm dargestellt? Auf welchen Bereichen nehmen die Werte zu, auf welchen nehmen sie ab? Welche Ursachen könnte es für Auffälligkeiten geben?

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Materialien Lernstand 8 Mathematik Lesen von Diagrammen - Graphen von Zuordnungen und Funktionen

Arbeitsbereich 2 - Bildungsforschung, Evaluation und Schulentwicklung

Checkliste: 1. Schritt:

Orientieren

Worum geht es in dem Diagramm? (Überschrift, Beschriftungen, Maßeinheiten)

2. Schritt: Fragen an das Diagramm

Was weißt du schon über das Thema? Was willst du herausfinden?

3. Schritt:

Genau lesen

Kläre unbekannte Wörter und Fachbegriffe. (Übernimm sie in deine Wortliste) Betrachte das Diagramm jetzt genau: Welche Informationen kannst du dem Diagramm im Einzelnen entnehmen? Hilfefragen: • Welche Variablen/Größen stehen an den Achsen? • Wie sind die Achsen eingeteilt?

• Welcher Bereich wird auf der Rechtsachse dargestellt? Welcher auf der Hochachse?

• Welche (besonderen) Punkte kannst du ablesen?

• Was ist der größte Wert, der kleinste Wert? Welche Werte sind besonders auffällig? Markiere diese Werte.

• Welche Veränderungen sind im Diagramm dargestellt? • Auf welchen Bereichen nehmen die Werte zu, auf

welchen nehmen sie ab? • Welche Ursachen könnte es für Auffälligkeiten geben?

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Aufgabe 1: Temperaturen in Frankfurt am Main

a)

b)

c)

0123456789

101112131415161718192021

Jan. Feb. März Apr. Mai Juni Juli Aug. Sep. Okt. Nov. Dez.

Monate

Trage die fehlende Durchschnittstemperatur für den Monat November in die Tabelle ein.

Zeichne die fehlende Durchschnittstemperatur für den Monat August in das Diagramm ein.

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Aufgabe 2: Aussagen zur proportionalen Zuordnung

Aufgabe 3: Im Koordinatensystem

a)

b) Zeichne zwei Punkte B und C so in das Koordintensystem in a) ein, dass ein Parallelogramm mit den Eckpunkten A, B, C, D entsteht. Gib die Koordinaten der beiden Punkte an: B( | ) C( | ).

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Aufgabe 4: Geschichte zur Graphik

Eine der folgenden Beschreibungen wurde hier graphisch dargestellt.

Kreuze die Beschreibung an, die zu der Graphik passt.

0

Paula und Sepp machen eine Bergtour. Zuerst steigt der Weg nur wenig an

und die beiden kommen gut voran. Dann ist der Weg eine Zeit lang eben.

Zum Schluss ist der Weg bis zum Gipfel ziemlich steil und Paula und Sepp

kommen nur langsam voran.

Herr Heuer kauft Aktien. Zuerst steigt der Wert der Aktien. Dann bleibt er

eine Zeit lang konstant. Schließlich steigt der Wert steil an und Herr Heuer

könnte die Aktien mit Gewinn verkaufen.

Lars ist auf dem Weg zur Schule. Unterwegs fällt ihm ein, dass er seinen

Taschenrechner vergessen hat, den er für die Mathearbeit braucht. Er läuft

zurück nach Hause, nimmt den Taschenrechner und muss sich jetzt

beeilen, um pünktlich zur Schule zu kommen.

Lisa und Sven machen eine Radtour. Nach einiger Zeit hat Sven eine

Panne und sie müssen sein Rad reparieren. Für den Rest der Strecke

fahren beide mit höherer Geschwindigkeit, um die versäumte Zeit

aufzuholen.

Strecke in km

Zeit in Stunden

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Aufgabe 5: Rolltreppe

a)

b)

c)

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Aufgabe 6: Abstand auf dem Wasser

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Lösungen und didaktische Kommentare Aufgabe 1: Temperaturen in Frankfurt am Main

a) Lösung: 5 b) Für August wird 19 markiert. c) Lösung: Alle Aussagen sind falsch. In dieser Aufgabe geht es um die Zuordnung von Durchschnittstemperaturen zu den Monaten. Die Schülerinnen und Schüler gehen mit vertrauten Darstellungen um und wechseln zwischen Tabelle und Graph, wobei sie wechselseitig jeweils fehlende Werte bestimmen

In Teilaufgabe c) sind zunächst die mathematikhaltigen Begriffe „tiefsten“, „höchsten“, „Anstieg“ sowie „Unterschied“ zu identifizieren. Diese müssen dann im Diagramm gedeutet werden, um die Aussagen auf ihre Richtigkeit zu prüfen.

Mögliche Schwierigkeiten

Zu b):

• Die Durchschnittstemperatur im Monat August wird durch graphische Interpolation der Temperaturen im Juli und September ermittelt, und der in der Tabelle gegebene Wert wird außer Acht gelassen.

Weiterarbeit und Förderung Bereitet der Umgang mit den fachsprachlichen Begriffen Probleme, kann man die Schülerinnen und Schüler auffordern, weitere Aussagen zu diesem Graphen zu formulieren. Dies kann helfen, die Fachvokabeln im aktiven Wortschatz zu verankern. Weiterhin kann man sie auffordern, Fragen zu diesem Sachzusammenhang zu stellen, und anschließend begründet zu entscheiden, ob man diese anhand der gegebenen Daten beantworten kann oder auch nicht.

Die folgenden Arbeitsaufträge bieten sich hier an:

- Formuliere weitere Aussagen, die zu diesem Diagramm passen.

- Formuliere eine Aufgabe, die man mithilfe dieses Diagramms (mithilfe der Tabelle) beantworten kann.

- Formuliere eine Aufgabe, die man mithilfe dieses Diagramms (mithilfe der Tabelle) nicht beantworten kann. Gib dabei an, welche Information fehlt.

Der Kontext bietet auch die Gelegenheit, die Bedeutung von „Durchschnittstemperaturen“ zu thematisieren, die in der vorliegenden Aufgabe faktisch keine Rolle spielt. Insbesondere Fehllösungen zu b) können hierfür als Anlass genommen werden, da man allein aus der Darstellung der diskreten Punkte nicht schlussfolgern kann, wie sich die Temperatur zwischen zwei Monaten (gedacht als Zeitpunkte) verhält. Dies kann auch zum Anlass genommen werden zu überlegen, unter welchen Voraussetzungen man einen Graphen überhaupt „durchzeichnen“ darf.

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Aufgabe 2: Aussagen zur proportionalen Zuordnung

Lösung: A(10|15) In dieser Aufgabe geht es darum, vorgegebene Punkte im Koordinatensystem zu identifizieren und festzustellen, ob sie auf dem Graphen liegen. Eigenschaften der proportionalen Zuordnung werden hierfür nicht benötigt.

Mögliche Schwierigkeiten • Die Zuordnung der Koordinaten zu den Achsen wird vertauscht. Weiterarbeit und Förderung Zu der Aufgabe können eine Reihe von Variationen und Zusatzfragen gestellt werden, wie: • Korrigiere die Koordinaten von A. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten: A(10 | ___ ) und A(

___ |15). • Erkläre, wie du an den Punkten B, C und D erkennen kannst, dass diese zu einer

proportionalen Zuordnung gehören. • Zeichne den Graphen einer proportionalen Zuordnung durch A(10 | 15). Ergänze für

diese Zuordnung die Koordinaten: B(30 | ___ ), C(45 | ___ ) und D(60 | ). Aufgabe 3: Im Koordinatensystem

Lösung: a) A(0,5 | 2,5), D(1 | 6) b) Es gibt mehrere Lösungen. z. B.: B(5 | 2,5), C(5,5 | 6)

Ein sicheres Umgehen mit Punkten in Koordinatensystemen ist eine Voraussetzung für die Arbeit mit Funktionsgraphen. Deshalb können Sie Aufgaben wie diese einschieben, wenn Ihre Schülerinnen und Schüler noch unsicher in diesem Bereich sind. Diese Aufgabe kann ein Anfang sein, das Ablesen und Eintragen von Punkten in ein Koordinatensystem zu üben. Die Schülerinnen und Schüler können anschließend aufgefordert werden, sich eigene Aufgaben mit unterschiedlichen Figuren im Koordinatensystem zu überlegen und diese von einem Tandempartner bearbeiten zu lassen.

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Aufgabe 4: Geschichte zur Graphik

Lösung: Das dritte Kästchen ist anzukreuzen. In dieser Aufgabe ist zu prüfen, welche Situation zu dem abgebildeten Graphen passt. Aus der Beschriftung der Achsen können die Schülerinnen und Schüler entnehmen, dass es um die Zuordnung einer Strecke zu einer Zeit geht. Anschließend sind die einzelnen Sachsituationen zu lesen. Situationen, die nichts mit Strecken zu tun haben (hier: Aktienkurse) können damit ausgeschlossen werden.

Bei den weiteren Situationen müssen die Schülerinnen und Schüler die Abhängigkeit der zurückgelegten Strecke von der verstrichenen Zeit erfassen. Dazu müssen sie die Steigungen der Graphen mit einer Vorstellung zu den Geschwindigkeiten verbinden (erst langsam, dann Stillstand, dann schnell). Aus den Geschichten müssen die Textstellen, welche Aufschluss über den Verlauf der Bewegung geben, herausgefiltert werden. Der Stillstand kommt nur in einer Geschichte in Form einer Pause vor. Bei der passenden Sachsituation wird außerdem auf die zwei unterschiedlichen Geschwindigkeiten verwiesen.

Natürlich ist auch die umgekehrte Vorgehensweise möglich: Zuerst werden nacheinander die Geschichten gelesen und graphisch veranschaulicht und dann wird jeweils mit dem gegebenen Graphen verglichen. Es kann aber auch eine Variante zur Weiterarbeit sein, zu den als falsch identifizierten Geschichten die korrekten Graphen zu skizzieren.

Mögliche Schwierigkeiten • Wird die 1. Antwortalternative gewählt, wird das Streckenprofil (Weg steigt an, Weg ist

eben, Weg steigt an) mit dem Zeit-Weg-Diagramm verwechselt. • Wird die 2. Antwortalternative gewählt, scheinen die Schülerinnen und Schüler nicht auf

die gegebenen Größenbereiche der dargestellten funktionalen Zusammenhänge geachtet zu haben (im Graphen die zurückgelegte Strecke in km, im Text der Wert der Aktie (in Euro)).

• Wird die 4. Antwortalternative als richtig bewertet, scheint zwar der Aspekt der wechselnden Geschwindigkeit richtig erfasst worden zu sein, doch wird der konstante Abschnitt des Graphen fälschlicherweise als „nach Hause laufen“ interpretiert.

Weiterarbeit und Förderung Kommt es bei der Aufgabe zu Schwierigkeiten, bietet es sich an, den Schülerinnen und Schülern im Unterricht vier verschiedene, zu den vier gegebenen Sachsituationen passende Graphen zur Verfügung zu stellen und sie aufzufordern, diese begründet den Situationen zu zuordnen. Dabei können sie notfalls nach dem Ausschlussprinzip vorgehen und sich dabei die Auswirkungen einer Bewegung auf den Verlauf des Graphen ins Gedächtnis rufen. Spätestens in der anschließenden Besprechung der Arbeitsergebnisse sollte noch einmal herausgearbeitet werden, welche Bedeutung ein steigender, fallender oder konstant verlaufender Abschnitt des Graphen jeweils hat.

Etwas schwieriger, aber auch lohnend ist die Variante, nicht genau vier passende, sondern fünf oder sechs Graphen zu verteilen, so dass die Schülerinnen und Schüler bei jedem Graphen genau überlegen müssen, ob sie ihn zu einer Geschichte zuordnen können. Zu den übrig bleibenden Graphen können sie dann eigene Geschichten erfinden und aufschreiben.

Alternativ oder weiterführend ist es auch denkbar, die Schülerinnen und Schüler den abgebildeten Graphen so verändern zu lassen, dass er zu einer der anderen Sachsituationen passt. Dies könnte beispielsweise geschehen, indem der konstant verlaufende Abschnitt fallend gezeichnet und die Beschriftung der zweiten Achse in „zurückgelegte Entfernung“ abgeändert wird.

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Copyright der Aufgabenbeispiele:

Zur Vertiefung der erworbenen Inhalte und zur Förderung des Kommunizierens im Unterricht können die Schülerinnen und Schüler aufgefordert werden, in Tandems zu einem Graphen eine passende Bewegungsgeschichte zu schreiben oder zu einer vorgegebenen Geschichte den richtigen Graphen zu zeichnen, d. h. ein Schüler schreibt die Geschichte und ein Mitschüler zeichnet den Graphen hierzu. Dabei zeigt sich, dass Graph und Geschichte genaue Informationen enthalten müssen, um in die jeweilige Darstellungsform übertragen werden zu können.

Aufgabe:

Die folgende Geschichte wurde von einer Siebtklässlerin Badewannen-Graphen geschrieben (vgl. Sinus-Materialien Hessen). In ihrer Geschichte wird jeder einzelne Abschnitt des Graphen mit Leben gefüllt. Lediglich die zu Beginn wechselnde Steigung wird dabei nicht deutlich genug berücksichtigt. Zur Kontrolle könnte ein Mitschüler wiederum den passenden Graphen zeichnen und diesen dann mit der Vorlage vergleichen. Dies ist jedoch aufgrund fehlender Wertepaare nicht einfach.

Graphen können Geschichten erzählen und Situationen beschreiben. Dieser Graph beschreibt den Wasserstand in einer Badewanne.

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Copyright der Aufgabenbeispiele:

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Copyright der Aufgabenbeispiele:

Aufgabe 5: Rolltreppe

a) Lösung: Nach einer Minute Rolltreppenfahrt ist Monika noch 10,5 m unterhalb des Straßenniveaus. b) Lösung: 1,4 min (berechnet). Aus der Graphik abgelesene Lösungen sollten im Intervall [1,375 min; 1,5 min] liegen. c) Lösung: Svens Graph sollte im ersten Abschnitt bis zur halben Höhe (10,5 m) unter dem Straßenniveau steiler sein als Monikas Graph, da Sven schneller als die Rolltreppe ist. Dieser Teil muss nicht linear sein. Der zweite Abschnitt des Graphen verläuft parallel zu Monikas Graph. z. B.

Zunächst ist die Sachsituation zu verstehen und die Abhängigkeit der Höhe (Position unter dem Straßenniveau) von der Zeit zu erfassen. Dieser Zusammenhang wird durch den abgebildeten Graphen konkret gegeben. Die Teilaufgaben a) und b) erfordern es, dem Graphen Informationen zur Fahrt von Monika mit der Rolltreppe zu entnehmen, und zwar bei a) „vorwärts“ (geg. Zeit, ges. Höhe) und bei b) „rückwärts“ (geg. Höhe, ges. Zeit). Dabei muss jeweils zwischen der Realsituation der Rolltreppenfahrt (Straßenniveau, Bahnsteigniveau) und dem graphisch repräsentierten Modell übersetzt werden.

In c) ist die Bewegung von Sven mit der Rolltreppe graphisch darzustellen. Dabei müssen die im Text gegebenen Informationen „läuft bis zur Hälfte die Rolltreppe hoch“ und „fährt ab hier mit der Rolltreppe mit“ als bedeutsam erkannt, adäquat interpretiert werden und sich dann in den entsprechenden Steigungen der Strecken im Graphen (dem Modell zur Sachsituation) widerspiegeln.

Mögliche Schwierigkeiten

Zu b):

• Es wird nicht darauf geachtet, dass Monika 15 m höher als das Bahnsteigniveau sein soll. Stattdessen wird die Zeit angegeben, welche verstreicht, bis Monika auf einer Höhe von 15 m unterhalb des Straßenniveaus ist (Fehllösung 0,6 min).

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Weiterarbeit und Förderung Treten bei der Bearbeitung der Aufgabe Schwierigkeiten auf, wird dies wahrscheinlich primär bei Teilaufgabe c)der Fall sein. So bietet es sich an, diese Teilaufgabe im Unterricht aufzugreifen und in diesem Rahmen auch Fehler, die bei den anderen beiden Teilaufgaben gemacht wurden, anzusprechen. Hierzu können die Schülerinnen und Schüler beispielsweise mit fehlerhaften Graphen konfrontiert werden. Im Folgenden finden Sie einige Fehllösungen.

Im ersten Schritt bekommen die Schülerinnen und Schüler den Auftrag die Bewegungen, so wie sie gezeichnet sind, zu beschreiben und zu erläutern, was sich der Schüler, der das gezeichnet hat, wohl dabei gedacht hat. Danach berichtigen sie die fehlerhaften Graphen.

• Der erste Abschnitt des Graphen zu Svens Bewegung verläuft nicht steiler als der Graph zu Monikas Fahrt mit der Rolltreppe. D. h. das Mitlaufen von Sven auf der Rolltreppe wurde hinsichtlich der Geschwindigkeit nicht richtig dargestellt.

• Die Bewegung der Rolltreppe wird vernachlässigt. So wird die Phase, in der sich Sven nicht mehr aktiv fortbewegt, sondern nur mit der Rolltreppe mitfährt, teilweise durch einen waagrechten Abschnitt im Graphen veranschaulicht. Dies zeigt die folgende Schülerlösung.

• Svens Bewegung ändert sich nicht nach der Hälfte der Strecke, sondern etwa nach der Hälfte der Zeit. Demnach ist der erste Abschnitt des Graphen, in welchem Sven schneller als Monika unterwegs ist, zu lang. Dies veranschaulicht die folgende Schülerlösung.

• Es wird vernachlässigt, dass Sven ab der Hälfte der Strecke nur mit der Rolltreppe mitfährt. Demzufolge ändert sich die Steigung des Graphen zu Svens Bewegungsablauf nicht. Dies illustriert die folgende Schülerlösung.

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Zur Übung kann auch eine Parallel-Aufgabe zur Fortbewegung mit einem unterirdischen Fahrstuhl genutzt werden.

In einer U-Bahnstation befindet sich einer der Bahnsteige genau 21 m unter dem Straßenniveau. Neben der Rolltreppe kann man auch einen Fahrstuhl nutzen, um nach oben zu kommen. Stefan entscheidet sich für den Fahrstuhl und lässt sich nach oben fahren. Nach 6 m hält der Fahrstuhl auf Höhe eines anderen Bahngleises und zwei weitere Personen steigen ein. Nach einem Aufenthalt von 1 Minute fährt der Fahrstuhl bis auf Straßenniveau.

Zeichne Stefans Fahrt mit dem Fahrstuhl in den abgebildeten Graphen ein.

Auch weitere Aufgaben mit Graphen von Bewegungsvorgängen tragen zu einem tieferen Verständnis bei, z. B. das Hissen einer Fahne oder ein Sprung vom 3-m-Brett im Schwimmbad. Dabei kann auch der bekannte Fehler thematisiert werden (der auch bei der Rolltreppenaufgabe naheliegt), nämlich dass der Graph mit der realen Situation verwechselt wird.

Umgekehrt können den Schülerinnen und Schülern Graphen ausgehändigt werden, zu denen Bewegungsgeschichten zu erstellen sind. Hierzu eignen sich beispielsweise die Kontexte „Schulweg“, „Autofahrt“ oder „Fahrradtour“.

Aufgabe Fahrradtour (Idee: LSE NRW 2005)

Mehmet und Andreas haben eine Fahrradtour von Dortmund nach Duisburg gemacht (Entfernung: 50 km).

Sie haben die Startzeit, die Pausen sowie die jeweils zurückgelegte Strecke notiert. Nach diesen Angaben ist das Diagramm („Bildfahrplan“) entstanden.

a) Wie viele km hatten sie um 10.00 Uhr

zurückgelegt? b) Wie spät war es, als sie nach 50 km Fahrt

in Duisburg ankamen? c) Schreibe eine Geschichte zu dieser Fahrradtour.

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Aufgabe 6: Abstand auf dem Wasser

Lösung:

Zur Bearbeitung der Aufgabe muss zunächst die gegebene Problemsituation verstanden werden. Insbesondere muss mithilfe der gegebenen Darstellung erfasst werden, dass sich das Schiff gleichmäßig fortbewegt und sich der Abstand vom Leuchtturm mit zunehmender Fahrzeit zunächst verkleinert und dann wieder vergrößert. Dabei kann speziell auch der Zeitpunkt ermittelt werden, zu dem das Schiff den kleinsten Abstand zum Leuchtturm hat. Vor dem Hintergrund dieser Informationen gibt es nun zwei naheliegende Vorgehensweisen: entweder ein passendes Modell – veranschaulicht durch eine Grafik – aus den gegebenen Modellen auswählen, oder selber ein solches erzeugen und mit den gegebenen vergleichen. Hierbei muss zwischen zwei verschiedenen Darstellungsarten gewechselt und überprüft werden, inwiefern die zur Auswahl gestellten Graphen die Charakteristika des vorliegenden funktionalen Zusammenhangs richtig darstellen.

Mögliche Schwierigkeiten - Der erste Graph wurde angekreuzt: Es ist zu vermuten, dass der Bezug zum Leuchtturm

nicht erkannt bzw. nur die Weiterfahrt des Schiffes gesehen wurde.

- Der Graph rechts daneben wurde angekreuzt: Zwar wird erkannt, dass es einen kleinsten Abstand gibt, dieser wird jedoch zeitlich falsch verortet; auch die zu kleine Minimalentfernung findet keine Beachtung.

- Die 4. Antwortalternative wurde angekreuzt: Dies deutet entweder darauf hin, dass die Entfernung des Schiffes zum Hafen in Abhängigkeit der Fahrzeit betrachtet wurde, oder dass der Graph und die in der Abbildung gegebene Fahrtroute gleichgesetzt wurden.

Weiterarbeit und Förderung

Treten bei der Bearbeitung derartiger Aufgaben Schwierigkeiten auf, können die Schülerinnen und Schüler zunächst aufgefordert werden, den Abstand des Schiffes vom Leuchtturm zu verschiedenen Zeitpunkten zu messen und anschließend den Graphen zu ihren Daten zu zeichnen. Hierauf aufbauend ist es denkbar, weitere Bewegungsvorgänge wie z. B. den Verlauf eines 1000-m-Laufs oder die Fahrt entlang einer Rennstrecke zu betrachten. Dabei können die Schülerinnen und Schüler Wertetabellen, Graphen und Situationsbeschreibungen einander wechselseitig zuordnen, begründet auswählen oder eine dieser Darstellungsformen anfertigen.

In Abhängigkeit von den gewählten Beispielen können die Zusammenhänge der drei Dar-stellungsformen gut herausgearbeitet und verschiedene Typen von Bewegungsvorgängen voneinander abgegrenzt werden. Dabei bieten sich auch Fragen an wie „Wie verändert sich

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Copyright der Aufgabenbeispiele:

der Verlauf des Graphen, wenn das Schiff seine Geschwindigkeit nach einer Fahrzeit von 20 Minuten verdoppelt?“, um die Abhängigkeit der verschiedenen Größen bewusst zu machen.