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Inhalt
Vorwort
Training Grundwissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Grundwissen 5. – 8. Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Grundwissen 9. Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Flächeninhalt ebener Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.5 Vierstreckensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.6 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 Grundwissen 10. Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.1 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2 Weitere Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.3 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4 Berechnungen am Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.5 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 Raumgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Komplexe Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Ebene Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Raumgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Aufgaben im Stil der Prüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Teil A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Teil B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Original-Abschlussprüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019-1 Abschlussprüfung 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019-1 Teil A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019-1 Teil B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019-6
Abschlussprüfung 2020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . www.stark-verlag.de/mystark Das Corona-Virus hat im vergangenen Schuljahr auch die Prüfungsabläufe durcheinandergebracht und manches verzögert. Daher sind die Lösungen zur Prüfung 2020 in diesem Jahr nicht im Buch abgedruckt, sondern erscheinen in digitaler Form. Sobald die Original-Prüfungsaufgaben 2020 zur Veröffentlichung freigegeben sind, kannst du die Lösungen als PDF auf der Plattform MyStark herunterladen (Zugangscode vorne im Buch).
Vorwort
Liebe Schülerin, lieber Schüler,
dies ist das Lösungsbuch zu dem Band Training Abschlussprüfung Realschule 2021 – Mathematik II / III – Bayern (Bestell-Nr. 915111) und zur Kombination aus Trainingsband und interaktivem Training (Bestell-Nr. 91511ML). Es enthält zu allen Aufgaben von unseren Autoren ausgearbeitete Lösungen, die jeden Rechen-schritt ausführlich erklären. Dabei wird besonderer Wert auf die Lösungsansätze und Vorüberlegungen gelegt. Zur Veranschaulichung und dem besseren Verständnis der Lösungen helfen dir zahlreiche Skizzen.
Versuche stets, jede Aufgabe zunächst selbstständig zu lösen, und dann deine Lösung mit den Lösungen im Buch zu vergleichen. Solltest du nicht weiterkommen, helfen dir die r Hinweise und Tipps. Hast du eine Aufgabe nicht richtig gelöst, ist es ganz wichtig, diese zu einem späteren Zeitpunkt noch einmal durchzurechnen. Durch das Üben wirst du dich sicher fühlen und kannst beruhigt in die Prüfung gehen.
Wir wünschen dir viel Erfolg!
Autoren: Markus Hochholzer, Markus Schmidl Lösung der Original-Abschlussprüfung: Alois Einhauser
r 1
Training Grundwissen
1 Grundwissen 5. – 8. Klasse
r Hinweise und Tipps
1 Zähler und Nenner mit dem Erweiterungsterm mul-tiplizieren bzw. durch den Kürzungsterm dividieren
a) 8 : 2
8 : 2
3 24 125
⋅
⋅= =
40 20
Erweitern mit 8 und anschließend kürzen mit 2 Beachte: Die Brüche sind wertgleich.
b) : 7 2
: 7 2
49 6128 4
⋅
⋅= =7
8
Kürzen mit 7 und anschließend erweitern mit 2
c) 2
2
:11a 8c
2:11a 8c
33ab 3b121a 88c
⋅
⋅= =
224bc11
Kürzen mit 11a und anschließend erweitern mit 8c2
d) 2
2
: 4x 24x y2
2: 4x 24x y
12x y 3xy16x 96x y
⋅
⋅= =
3 272x y4
Kürzen mit 4x und anschließend erweitern mit 24x2y
2 a) :18
:18
36 290 5
= oder: : 6 : 3
: 6 : 3
36 6 290 15 5
= = Das schrittweise Kürzen ist aufwendiger, aber oft ein-
facher.
b) 3
3
: 55x y3 2
5 2: 55x y
55x y y220x y 4x
= oder: 3
3
:11x y : 53 2
5 2 2:11x y : 5
55x y 5y y220x y 20x 4x
= = Das schrittweise Kürzen ist aufwendiger, aber oft ein-
facher.
c) 95 26 55143 25 76
95 26
⋅ ⋅⋅ ⋅
⋅=2
55⋅ 11
14311
25⋅ 576
95
⋅
=19
2⋅ 111⋅ 1
111
5⋅ 176⋅ 38
19=1
382
12
=
Hier empfiehlt es sich, schrittweise zu kürzen, um die Übersicht zu behalten.
d) 25(a b)
0,5(a b)(a b)
5
−− +
=10
(a b) (a b)− −
0,51· (a b)− (a b)
10(a b)
(a b)
+
−=+
Zähler und Nenner liegen als Produktterm vor.
Auch Faktoren wie (a – b) können gekürzt werden.
Beachte: 5 : 0,5 = 10
2 r Lösungen: Training Grundwissen – 1 Grundwissen 5. – 8. Klasse
r Hinweise und Tipps
3 a) 11 2 2 HN: 3612 9 3
− + Bestimme den Hauptnenner (bzw. das kgV der
Nenner) und erweitere die Brüche auf ihn.
11 2 212 9 3
= − +3 4 123 4 12
33 8 2436 36 3633 8 24
36493613136
= − +
− +=
=
=
Addiere bzw. subtrahiere nun die gleichnamigen Brüche.
Forme im Endergebnis den unechten Bruch in eine gemischte Zahl um.
b) ( ) ( )( ) ( )
27 4 11 54 3 16 8
27 4 11 54 3 16 8
− + −
= − + −3 4 23 4 2
Bestimme jeweils klammerweise den Hauptnenner
und erweitere die Brüche in der Klammer auf den jeweiligen Hauptnenner.
( ) ( )( ) ( )81 16 11 1012 12 16 1681 16 11 10
12 16
= − + −
− −= +
Addiere bzw. subtrahiere die nun gleichnamigen Brüche in den Klammern.
65 1 HN: 4812 1665 112 16260 348 48
= +
= +
= +
4 34 3
Bestimme den Hauptnenner, erweitere und fasse die gleichnamigen Brüche zusammen.
2634823548
=
=
Forme im Endergebnis den unechten Bruch in eine gemischte Zahl um.
c) 4 4 1 112 4 3 175 7 2 54 1 4 112 17 4 35 5 7 2
8 730 4 314 14
1530 714130 8
14132114
− + +
= + − +
= − +
= −
= −
=
2 72 7
Hier empfiehlt es sich, das Kommutativgesetz der Addition anzuwenden, um die bereits gleichnamigen Brüche zu ordnen und zusammenzufassen.
d) 4
34 1 1ab a3 64
+ −3
2 a1b 115 13
+ −
Das rechtzeitige Kürzen nicht vergessen
334 1b 1 1a 11b a
3 5 64 2 13= + + − −
3 34 1 1 1 11b b a a3 5 64 2 13
= + + − − Bestimme jeweils die Hauptnenner der gleichartigen
Summanden und erweitere.
Lösungen: Training Grundwissen – 2 Grundwissen 9. Klasse r 77
r Hinweise und Tipps
b) Es gilt ein Sicherheitsabstand von 50 cm zur Decke. Der Radius des Halbkreises beträgt also nur noch 4,50 m!
2 2
2 2
GC MG CM
GC (4,5 m) (1,25 m)
GC 4,32 m
= − ⏐
= −=
118 Berechnung der Höhe: ah 326h 3 cm2
h 3 3 cm
h 5,20 cm
=
=
==
oder: 2
2 2
22
2 2
aa h2
ah a2
h (6 cm) (3 cm)
h 5,20 cm
= +
= −
= −=
Berechnung des Flächeninhalts:
2
2
2
1A g h21A a h21A 6 3 3 cm2
A 9 3 cm
A 15,59 cm
∆
∆
∆
∆
∆
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
==
119 a) AC AB 2
AC 6 2 cm
AC 8,49 cm
===
1AE AC21AE 6 2 cm2
AE 3 2 cm
AE 4, 24 cm
=
=
==
Formel für die Länge der Diagonale im Quadrat an-wenden
2 2 2
2 2
2 2
SA AE ES
SA AE ES
SA (3 2) 10 cm
SA 9 2 100 cm
SA 10,86 cm
= +
= +
⇔ = +⇔ = ⋅ +⇔ =
Bestimme die Länge von [AS] mithilfe des Satzes des
Pythagoras im in E rechtwinkligen Dreieck AES.
78 r Lösungen: Training Grundwissen – 2 Grundwissen 9. Klasse
r Hinweise und Tipps
2 2 2
2 2
2 2
MS EM SE
MS EM SE
MS 3 10 cm
MS 109 cm
MS 10,44 cm
= +
= +
⇔ = +⇔ =⇔ =
Bestimme die Länge von [MS] mithilfe des Satzes des Pythagoras im in E rechtwinkligen Dreieck EMS.
b) BD ESGH FS
6 2 cm 10 cm
GH
=
⇔ =4 cm
2GH 6 2 cm5
GH 3,39 cm
= ⋅
⇔ =
2 2 2
2 2
2 2
GS SF FG
GS SF FG
GS 4 1,70 cm
GS 18,89 cm
GS 4,35 cm
= +
= +
⇔ = +⇔ =⇔ =
2. Vierstreckensatz mit Zentrum S anwenden
(BD AC)=
120 a) 2 2a ( 2) 3
a 4 9
a 13
a 3,61
⏐ ⏐= − +⏐ ⏐= +⏐ ⏐=⏐ ⏐=
b) 2 2b 12 ( 5)
b 144 25
b 169
b 13
⏐ ⏐= + −⏐ ⏐= +⏐ ⏐=⏐ ⏐=
121 a) ( ) ( )2 2
10 ( 4) 14EF 5 3 2
EF 14 2 LE
EF 14,14 LE
− −= =−
= +
=
b) ( )1 1 34 2 4
3 718 4 8
2 2
9 1 10EF
2 6 8
3 7EF 10 8 LE4 8
EF 13,94 LE
− − − = = − −
= − +
=
Bayern: Abschlussprüfung an Realschulen 2019 – Lösungen r 2019-1
Original-Abschlussprüfung
Abschlussprüfung 2019
Teil A r Hinweise und Tipps
Aufgabe A 1.1 Berechnung von ACB mithilfe des Kosinussatzes im Dreieck ABC:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
AB AC BC 2 AC BC cos ACB
AC BC ABcos ACB
2 AC BC
150 75 95cos ACB
2 150 75ACB 32
= + − ⋅ ⋅ ⋅
+ −=⋅ ⋅+ −=⋅ ⋅
= °
Aufgabe A 1.2 Berechnung von BM im rechtwinkligen Dreieck MBC:
sin MCBBC
sin MCB mit MCB ACB
75 sin 32 cm
39,7 cm
BM BC
BM BC
BM
BM
= ⏐⋅
== ⋅ °=
⋅ =
Für die Diagonalenlänge BD gilt dann:
BD 2 BM
BD 2 39,7 cm 79,4 cm
= ⋅= ⋅ =
Auf Ganze gerundet ergibt sich: BD 79 cm=
Berechnung des Flächeninhalts A des Drachenvierecks ABCD:
2 2
1A AC BD2
A 0,5 150 79 cm 5 925 cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ =
Man ermittelt zunächst die halbe Diagonalen-
länge BM.
Aufgabe A 1.3
X 33 % Da die Diagonalenlänge BD gleich bleibt und die Diagonalenlänge AC von 150 cm auf 100 cm, also
um 13
, verringert wird, gilt auch für die Fläche, dass
sie sich um 13
verringert, also um 33 % (eigentlich um 33, 3 %).
oder: Für den Flächeninhalt Aneu mit verkürzter Diagonale gilt:
2 2neu
1A 100 79 cm 3 950 cm2
= ⋅ ⋅ =
Prozentuale Verringerung:
2 2neu
2
A A 5 925 cm 3 950 cm100 % 33, %
A 5 925 cm3
− −= ⋅ =