Lösungen zur Technischen Mechanik IV (Sommersemester 2002 ...I_+II_+III... · Lösungen zur Technischen Mechanik IV (Sommersemester 2002) Dynamik Kurs Prof. A. Bertram Ausgabe 2002

Lösungen

zur

Technischen Mechanik

- Dynamik -

Ausgabe 2016

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Lösungen zur Aufgabensammlung Dynamik (Ausgabe 2001, 2016) Kinematik des Punktes Lösung 1.1 &&( ) &( ) ( )

: &( )( )

&( ) ( )

( ) & &( )

x t a x t a t C x t a t C t C

AB t x t v C vx t x C x

x t a t v x t a t v t x

x x t s m v x x t s ms

x x x

x x

x x x x

x

= = + = + +

= = = ⇒ =

= = ⇒ =

= + = + +

= = = = = = =

12

1 2

0 1 0

0 2 0

02

0 0

1 1 1

12

0 00

12

3 0 3 1

Umkehrpunkt der Bewegung: &( ) , ( ) ,x t t t v

as x x t t mu u

x

xu= = ⇒ = − = = = = −0 2 5 0 250

2

Lösung 1.2 &&( ) &( ) ( )

: &( )( )

&( ) ( )

.: &( ) ( )

( ) ( )

x t a x t a t C x t a t C t C

AB t x t v C vx t C

x t a t v x t a t vt

Endb t t x t t a t v

x t t s s a t vt

avt

sv

t vtv

t ts

va

x x x

x x

x

x

x x

= = + = + +

= = = ⇒ =

= = ⇒ =

= + = +

= = = = +

= = = +

= − ⇒ = − + = = ⇒ = −

12

1 2

1

2

2

1 1 1

1 12

1

11 1 1 1

12

0 00 0 0

12

0 0 112

2

2 22 v

s

Zahlenwerte t s a msx

2

1 2

2

20 8 1 2: , ,= = −

Diagramme: x

tt1

260m

tt1

vx

25m/s

t

t1

ax

-1,2m/s2

Lösung 1.3

1 3bt 6

6 6

3 2

3 3 3 23

. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

s t bt v t dsdt

a t dvdt

bt

s t bt t s sb

a s b sb

b s

= = = = =

= ⇒ = = =

2 34

0 0 0 04

4s 4s 4s

3 24

1

1

44 4

3 34

. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

v t ct a tdvdt

ct v tdsdt

ds v t dt s tct

C

t s C und s tct

tc

v s cc

cc

= = = = ⇒ = = +

= = ⇒ = = = = ⋅ = ⋅

34 20

0 0 0 0 0 0 04 20

34

1

5

1 2

1 2

4 5

. ( ) ( ) ( )

: ( ) ; ( ) ( ) ( )

a t dt v tdt

C s tdt

C t C

t v C s C v t dt s t dt

= = + = + +

= = ⇒ = = ⇒ = = =

( )

4 2 2

1 0 1 1

1 1 11

21

2 2 2 3

22 2 1 1

01 1

0

0

0

0

203

03

. ( ) ( )

:

( ) ( ) ( )

v s es a dvdt

dvds

dsdt

v dvds

es es a s e s

v dsdt

es dt dses

t dses

Ces

C ABes

C Ces

t se s s

s tses t

a te ses t

= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

= = = = + = − + = − + =

= −

⇒ =

−⇒ =

−

∫

( )

( )

5

12 3

23

22

32 1

22

3

23

23

2

23

12

3

1 02 0

3

1 1 02 0

3

303

02

303

02

0

.

( )

a dvdt

dvds

v vdv ads fs ds

v fs C v fs C vfs

C C vfs

v s f s s v

vdsdt

dtdsv

tds

f s s vs

s

= = ⋅ ⇒ = =

= + = + = + = −

= − +

= ⇒ = =− +

∫

61 1 1

1 1 11

1 1

22

0

0

0

0

0

0

22 0

0 00

. ( )

( )

ln ( ) ln

a hvdvdt

dtdv

hvt v

h v v

v vht

v htv

v tvv ht

a hv dvdt

dvds

v ds vdvhv

dvhv

s sh

vv

s vh

vv

s

= = ⇒ = = −

= − =−

⇒ =−

= = = ⇒ = = − = = +

Lösung 1.4 1. Annäherung im Bereich I durch ein Polynom 2. Grades ( 0 ≤ t ≤ 8s ):

s(t) = K1 + K2t + K3t2 v t dsdt

K K t( ) = = +2 32

Bestimmumg der Ki aus: t v t s m t s s m= = = = = =0 0 0 4s 25 8 100: ( ) ; : ; : v K m K K s K m K s K K

K K Kms

s tms

t für t s

( )

( )

0 0 25 4s 16 100 8 64s

0 02516

2516

0 8

2 1 22

3 1 22

3

1 2 3 2 22

= = = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅

= = = ⇒ = ⋅ ≤ ≤

Annäherung im Bereich II durch ein Polynon 1. Grades ( Gerade für 8s ≤ t ≤ 14s)

stsfürtsmmts

mKsmK

KsKmKsKmmsstmsstmittKKts

14825100)(

10025

142508100250:14100:8)(

45

5454

54

≤≤⋅+−=

−==⇒

⋅+=⋅+=====+=

2. Beschleunigung:

Bereich I v dsdt

K t ms

t a dvdt

K ms

Bereich II v dsdt

K ms

a dvdt

ms

:

:

= = = ⋅ = = =

= = = = =

2 258

2 258

25 0

3 2 3 2

5 2

Lösung 1.5 1 0

13

112

0 0 0 0 0 0 01

10013

103

112

253

1

12

13

1 14

1 2

1 2

1 1 1 1 1 12

11

12 4

1 1 13

1 1 14

. :

( ) ( ) ( )

: ( ) ( )

: ( )

( ) ( )

Bereich t t

a t K t v t K t C s t K t C t C

t v s C C

t t a t a a K t K at

ms

v t K t ms

s t K t m

≤ ≤

= = + = + +

= = = ⇒ = =

= = ⇒ = = =

= = = =

s in m

t in s0

50

100

150

200

5 10

Parabel

Gerade

( )

212

12

16

15

1

1 2

2 3 2 32

3 22

33

3 4

1 1 1 1 2 3 1

2 2 2 2 2 3 2

2 1 3 2 1 32 1

2 13 2 1 3 1 2

1 2 1 1 1

.

( ) ( ) ( )

: ( )

: ( )

: ( ) ( )

Bereich t t t

a t K K t v t K t K t C s t K t K t C t C

t t a t a a K K t

t t a t a a K K t

a a K t t K a at t

ms

K a K t ms

ÜB t t v t v t

≤ ≤

= + = + + = + + +

= = = + −

= = = + +

− = − ⇒ =−−

= = − = −

= = =103

103

12

10 10

253

253

50 1003

103

50 1753

253

12

20 40103

23 33

12

16

2 1 3 12

3 3

2 1 1 1 3 1 4

3 4

2 2 2 2 3 22

3

2 2 2 22

3 23

3 2 4

ms

ms

K t K t C ms

ms

C

s t s t m m m m C t C

C ms

C m m

v v t K t K t Cms

ms

ms

ms

s s t K t K t C t C

End

ges

⇒ = + + = − + +

= = ⇒ = − + + +

= = −

= −

= = + + = − + + =

= = + + + =

( ) ( )

( ) ,

( ) − + + − =200 8003

2003

253

125m m m m m

Lösung 1.6

Bereich I x a x a t C x a t C t C

AB t x x C C

t t x t v x t s t va

s s a t m

Bereich II x x C x C t C

ÜB t t x v x s C v ms

C s vt m

t t x t v x t

A A A

AA

: && &

: & , ,

: &( ) , ( )

: && &

: & , ,

: &( ) , ( )

= = + = + +

= = = ⇒ = =

= = = ⇒ = = = =

= = = +

= = = ⇒ = = = − = −

= = =

12

1 2

1 2

1 1 1 1 1 1 12

3 3 4

1 1 3 4 1 1

2 2 2

12

0 0 0 0 0

20 12

160

0

16 160

( )

( )

( ) ( ) ( )

s vt s vt v t t s

Bereich III x a x a t C x a t C t C

ÜB t t x v x s C v a t C s vt a t

Endbedingung t t x x s S a t t v und

S a t v a t t s vt a t a t t v t t

B B B

B B

B

B B B B

2 2 1 1 2 1 1

52

5 6

2 2 5 2 6 2 2 22

3 3 3 2

32

2 3 2 2 22

3 22

3 2

12

12

0 0 112

12

12

= + − = − +

= = + = + +

= = = ⇒ = − = − +

= = = = ⇒ − + =

= + − + − + = − + −

: && &

: & ,

: & , ( )

( )

( ) ( ) ( )

+

= + ⇒ = +−

− = + + = =

= − = ⇒ = − − − − =

s

t t va

in t t S sv

va

s s t

t s s s S a t t v t t m

B Bges

B

2

2 3 3 11

2 2 3 22

3 2

2

2 12

20 23 8 51

51 16 35 12

400

( )

( )

Lösung 1.7 1 0

13

112

0 0 0 0 0 0 0

1

13

13

112

112

1

12

13

1 14

1 2

1 2

1 1 1 1 1 12

11

12 4

1 1 13

1 1 14

. :

( ) ( ) ( )

: ( ) ( )

: ( )

( ) ( )

Bereich t t

a t K t v t K t C s t K t C t C

t v s C C

t t a t a a K t Kat

ms

v t K t ms

s t K t m

≤ ≤

= = + = + +

= = = ⇒ = =

= = ⇒ = = =

= = = =

2

12

13

13

1 23

112

112

12

23

14

2 23

43

12

1 2

1 1 3 12

3 4

1 2 1 1 1 1 1 3 3 3

2 1 1 1 4 4

2 2 2 1 2 3

2 2 1 2

.

( ) ( ) ( )

: ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Bereich t t t

a t a v t a t C s t a t C t C

ÜB t t v t v t ms

ms

a t C ms

C C ms

s t s t m m m m C C m

t t v t a t C ms

ms

ms

s t a t

≤ ≤

= = + = + +

= = = ⇒ = + = + = −

= = ⇒ = − + =

= = + = − =

= 23 2 4 2

43

14

1112

+ + = − + =C t C m m m m

( )

mCsmC

CtCmmmmtsts

Csm

smCtKtK

sm

smtvtvttÜB

smtKK

sm

ttaKttKa

tKKtatt

tKKaatatt

CtCtKtKtsCtKtKtvtKKta

tttBereich

1219

38

634

1211

1211)()(

2621

34

34)()(:

31

00)(:

)(:61

21)(

21)()(

.3

65

6252322

552232223222

2332323

132331

33233

2321122

653

32

252

3232

32

=−=

+++−=⇒==

+−=++=⇒===

=−=−=−

−=⇒−=−

++===

−+===

+++=++=+=

≤≤

Lösung 1.8

00

0 1)( axlaxoder

lxaxx =+

−= &&&& inhomogene DGL 2.Ordnung mit konstanten

Koeffizienten. Lösung:

tl

atxtl

latxtl

ltx

lBlBxAAxtAB

tBtAtxltBtAtx

laxl

amittBtAxxxx partpart

00

00

0

2002

homhom

acos)(asin)(acos1)(

00)0(000)0(0:

sincos)(cossin)(

cossin

==

−=

−=+=⇒===⇒==

−=++=

===+=+=

&&&

&&

ωωωωωωω

ωωωω

x(t) nach t umgestellt:

==

−=−

lx

alxtt

llxt

llx -1arccos)(a-1arccosacos1

0

00

−=

−=

=⇒===

+

−=

−=

−====

∫ ∫

lxxaxx

lxxax

CxxtAB

Clxxaxdx

lxaxdx

lxax

dxxd

dtdx

dxxd

dtxdx

212)(2

00;00:21

211

1

002

1

1

2

02

0

0

&&

&

&&&

&&&&&&

Lösung 1.9 0

15 1

2

750 12 6

0 0 0 00 0

1 12

12

1

01

0

2

11

1 1 02

3

11 2

1

2

01

≤ ≤

= = = −

= = −

+

= = = −

+ +

= = ⇒ =

= ⇒ =

= −

=

t t

x v ms

x t a tt

x t v t x t a t tt

C

x t v t m x t a t tt

C t C

t x Cx t C

x t a t tt

x t a

G G P p

G G P p

G G P p

P

P

P p P

& && ( )

( ) & ( )

( ) ( )

: & ( )( )

& ( ) ( ) p

P P

t tt

x tms

x t m

02

1

1 1

1 13

20 666 6

−

= =& ( ) ( ) ,

Kein Treffen der Züge im Intervall 0 ≤ t ≤ t1. t t x x C x C t C

t t x t ms

C ms

x t m C t C m C m

Treffen x t x t v t C t C t Cv C

s

x t v t m v x t x t ms

P P P

P

P

G P GG

G G P G

> = = = +

= = ⇒ =

= ⇒ + = = −

= ⇒ = + =−

=

= = = − =

1 3 3 4

1 1 3

1 3 1 4 4

2 2 2 3 2 4 24

3

2 2 2 2 2

0

20 20

666 666 333 3

66 67

1000 5

: && &

: & ( )

( ) ,

: ( ) ( ) ,

( ) & ( ) & ( )

Lösung 1.10

AB x t x t v: ( ) &( )= = = =0 0 0 0

a t x t av t x t a t C C v

s t x t a t C t C C

( ) &&( )( ) &( )

( ) ( )

= =

= = + =

= = + + =

0

0 1 1 0

02

1 2 212

0

Endbedingung : x ( t* ) = l

( )

hkm

smvtatv

gVerzögerunsmtvl

tatvtal

99,2111,6**)(

)(778,0**2**

21

00

202002

0

==+=

−=−=+=

v0

lx

a v s

t tt

(+)(+)

(-)

100m5021,99

0,778

Lösung 1.11

lalavvtv

al

alt

tatatallts

CsCtCtt

atats

CvCtt

atatv

ttataa

eee

e

eeee

e

e

e

00

00

20

2020

221302

0

1120

0

0

16153

23

532

512

125

1221

000122

1

0004

21

,:)(

:)(

:)()(

:)()(

)(.)

===

=⋅

=

=−==

==++−=

==+−=

−=

lalavlavdxl

xavdv

dxxavdvvdxdva

lxaxab

ee

lve

0002

00

0

0

225,123

43

21

21

)(

21)(.)

===

−=

==

−=

∫∫

( )

( )[ ] ( )

( ) lalav

avvvv

avl

bxaba

bx

bxaxdxTafel

vvvdv

av

vva

vdvdx

dvva

vdxvdxdv

dtdx

dxdv

dtdva

vvavac

e

eve

e

v

e

ev

e

l

e

e

ee

00

0

2

0e0

2

0000

0

0

14,112ln22

12ln222vln22

ln:

22

21

)(

21)(.)

=−

=

−=−−−=

+−=+

−=

−

=

====

−=

∫

∫∫∫

Lösung 1.12

1 22

0 318 19

20 0

0 0 00 1 1

0 0 0

. ,

. &&( ) & ( ): & ( ) & ( )

ω πω

πϕ α ϕ α

ϕ ω ω ϕ α ω

= ⇒ = = ≈

= = +

= = ⇒ = = +

− −n n s

t t t Ct C t t

min

r0&&ϕr0 r0

2&ϕϕ

t t ns

s

t t s

= = = =⋅

=

= + ⇒ =−

=

−1 1 1

1

1 1 0 11 0

2 2 150060

157

15 5

: &

,

ϕ ω ππ

ω α ωω ω

α

( ) ( )( ) ( )

222

2022000

02

0

02

8,10

104:0

konst.für2.3

smaaa

smra

smrat

erera

rrerrerra

r

r

r

r

=+=

==−=−===

+−=

==++−=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

αωωϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

&

r&&r&r

r&&&&r&&&r

Lösung 1.13 && &&

& &

: & ( ) & ( )

( ) ( )

( ) ( )

ϕ α ϕ α

ϕ α ϕ α

ϕ α ϕ α

ϕ ϕ ω ω

ϕ ϕ

ϕ α ω ϕ α ω

1 2

1 1 2 3

12

1 2 22

3 4

1 2 00

1 3 0

1 2 2 4

12

0 22

0

12

12

0 0 0

0 0 0 012

12

= = = − = −

= + = − +

= + + = − + +

= = = = ⇒ = =

= = ⇒ = =

= + = − +

ar

ar

t C t C

t C t C t C t C

AB t vr

C C

C C

t t t t t t

t t

( ) ( )

1 2

2 2

2 12

12

2 2

3 0 0

12

12

1 2

00 0

2

2 2

02

0

0

2 2

02

02

2 202

2

2 0 0 0 00 0

2 0 002

202

0

. : ( ) ( )

. ( )

. & ( )

( )

Treffen t t

t t rv

t rv

vr

rv

rv

vr

ar

a vr

t t t va

t

B B

B B

B B B

Bt

t B

t

ϕ ϕ π

ω ππ

ωπ

ϕ ϕ απ π

ϕ π απ

απ

π ϕ απ

π ϕ

ϕ α ωωα

ϕ ϕ αωα

ωα

ω

+ =

= ⇒ = =

= = − + − = −

= − = = −

= ⇒ − + = = =

= = − + =( )

2 2

4απ

π ϕ=

− B

Lösung 1.14 Flugzeug I: && &

: &&

s s C s C t CAB t s v s C v Cs v s v t

I I I

I I I I

I I I I

= = = +

= = = ⇒ = =

= =

00 0 0

1 1 2

1 2

Punkt E wird zur Zeit t = t1 erreicht: t t l v t t l

vII

= = ⇒ =1 3 1 13:

Bewegung auf der Kreisbahn:

( )

&&( ) & ( ) ( )

: &( )

( )

& ( ) ( )

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

t t C t C t C

AB t t t vR

C vR

t C vR

t

t vR

t vR

t t

I I

I

I I

= = = +

= = ⇒ =

= ⇒ = −

= = −

0

0

3 3 4

1 1 3

1 4 1

1

Punkt D wird zur Zeit t = t2 erreicht:

( ) ( )t t t vR

t t t Rv

tv

R lI

I I

= = ⇒ = − = + = +2 2 2 1 2 1 31

ϕ π ππ

π( )

Flugzeug II: && &

: & ( )( )

& ( ) ( )

s a s a t C s a t C t C

AB t s v C vs C

s t a t v s t a t v t

II II II II II II

II II II

II

II II II II II II

= = + = + +

= = ⇒ =

= ⇒ =

= + = +

52

5 6

5

6

2

12

0 00 0 0

12

Das Flugzeug II soll den Punkt C erreicht haben, wenn sich das Flugzeug I im Punkt D befindet.

( )

( ) ( )

t t s t l l l a t v t aR

vlv

vR

vlv

oder

l l R va

v v va

l l vv

R R

l va

Rav

v v a l l R v v

t tv

II II II III I

III I

I

III II

I

II

II

I

I

II

II

II II II I II

= = − + = + = +

+ +

+ + +

− + −

+ =

= − − − + + + + +

= =

2 2 1 3 2 22

23

23

32

3

2

1 22 2

3 1 22

2

12

12

2 2 0

2

1

( ) π π

π π π

ππ

( )I

R lπ + 3

Lösung 1.15 R a R a t C R a t C t C

AB t R R v C C v

t t t&& &

: &

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

= − = − + = − + +

= = = ⇒ = =

12

1 2

0 2 1 0

12

0 0 0

( )

( )

t t R v v a t v t v va

R s sa v v

av

v va

as

v v

t v va

s v vv v

sv v

E E E t E EE

t

t E

t

E

tt E

EE

t

E

E E

= = ⇒ = − + =−

= ⇒ = −−

+

−= −

=−

=−

−=

+

&ϕ

ϕ

00

02

00

02 2

0 0

02 2

0

212

2 2

Zahlenwerte:

t s ams

a avR

ms

a avR

msE t t E t

E= = = +

= = +

=80 0 125 0 308 0 12882 0

2 02 2

22

2 2

2, , ,

Lösung 1.16

( ) ( )( )

e x d d s l s t l e x t

s t ds tdt

dsdx

dxdt

xe x

x xxe x

s t ds tdt

e x x xx xx xxe x

e xe x xx e x

e x

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 22 2

2 2

2 2 2 2

2 2 3

22

22

+ = + = ⇒ = − +

= = ⋅ = −+

⋅ = −+

= = −+ + −

++

=+ +

+

( ) ( )

&( ) ( ) & &

&&( ) &( )& && & &

& &&

v0

s

RvE

ϕ

Lösung 1.17

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

αα

αα

αα

αα

αα

αα

α

coscos

cos2cos

cos2cos

:cos2

cos...2

cos2cos220)(

cos2cos2)(

cos2

min

22minmin

22minmin

22min

22

2222

222

AB

BA

A

B

BAAB

BAAAA

BAAB

BABBB

BAAB

BA

BABAAB

BABAAB

ABAB

BBAA

vvvv

sls

vvvvvvlvltvlsl

vvvvvvlvtvs

rnungenHafenentfevvvv

vvlt

vvlvvvvtdt

tde

lvvltvvvvtte

oderslsslse

tvstvs

++

=

−

+++

−=⋅−=−

+++

=⋅=

+++

=

⇒+−++

==

++−++=

−−−+=

==

H

A

sA

l

sB

vA

vB

e α

Lösung 1.18

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

r r r r r r

r r r

r r r

v re r e a r r e r r e

mit r v r

v v e r e v v r

a r e v e a r v

r r

r

r

= + = − + +

= = = =

= + = +

= − + = +

& & && & & & &&

& && & &&

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ω ϕ

ω ω

ω ω ω ω

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

2

0 0

0 0 02

02

02

0 0 02 2

0 02

2

0 0

2 2

Lösung 1.19

Geometrische Zusammenhänge: r rsin1 2

2 2= = +

ϕξ ψ

ϕ

Lösung in Polarkoordinaten:

( ) ( )r r r r r rv r e r e a r r e r r e

r r r

r r

r r= + = − + +

= + = ⋅ ⋅ ⋅ =

= + = −

& & && & & & &&

& &&

& & &

&& && &&&& && &

1 1 1 12

1 1

1

12

1 12

22 1

2

212

ξ ξ ξ ξ

ξ ψϕ ϕ

ϕ ϕϕ

ξ ψϕ

ϕϕ

ϕϕ

ξ ξ

cos2

cos2

cos2

sin2

r r r

r r r r r

v r e rsin e v r

a r r e r rsin e a e a e

a r

r

r r r

= + =

+ ⋅

= −

−

+ +

= +

= − ⋅ +

+

& & & &

&& & & & & &&

&& & & &

ϕϕ ϕ

ξ ϕϕ ϕ

ξ

ϕϕ

ϕϕ

ξϕ

ϕϕ

ξϕ

ξ

ϕ ϕ ϕ ϕξ

ξ

ξ ξ ξ

cos2 2

cos2

sin2

cos2

sin2

sin2

cos2 2

cos2

sin2

1

1 1 1

2 2 12

12

2 2 2

22 4

2 2

2 2

22

2

ϕϕ

ξϕ

ξcos2

sin2

& &&+

2

Lösung 1.20

M

rr1ϕ ψ

ϕ/2ξ

&& &&& &

.

& &

&& & && & &

ϕ α

ϕ α

ϕ α

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= = −

= + = − +

= + + = − + +

= = = =

= = = +

= − = + = +

0 0

0 1 0 3

02

1 2 02

3 4

1 3 2 4

2 2

2 2 2

12

12

0 0 0

2

r at C r a t C

t C t C r a t C t C

AB liefern C C C C l

v r v r v v v

a r r a r r a a a

r r

r r

),(,**)(,*

**)(

,

,,

,,,

,,,

:

°====

+−==

=

−=−=−=−−=

==

+−=−=−=

=+−===

====

756821218322

210für Oerreicht Körper

5550

354024270

56403160214670

3755621871493

321

66:Endb.

20

0

20

2

22

000222

00

02

00

20

22

0

220

ttsa

lt

ltatr

sma

smtara

smtraa

smv

smtltav

smtav

cmltarstst

tttt

e

eeeeere

eeeeere

eeee

eeee

αϕ

ααα

α

απαππϕ

ϕ

ϕ

Lösung 1.21

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

r r r r r r

) ) )r r ) r

r ) r ) ) r

)

) ) )

v re r e a r r e r r e

r v r

t t tv v e r te

a r t e v t r t e

v v r t

a r t v t r

r r

r

r

= + = − + +

= =

= = = −

= +

= − + −

= +

= − + −

& & && & & & &&

& &&

& &&

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

2

0

2

0

20

2

02 2

2 2 2 20

2

0

2

2

sin cos sincos

cos cos sin

cos

cos cos

Ω Ω Ω Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω Ω Ω Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω Ω Ω Ω( )2 2sinΩt

r

v0

ϕ

Lösung 1.22

[ ]

[ ] [ ]

v r drd

ddt

drd

v r r R drd

R

v R v R v v v R ddt

konst

v dtR

d v tR

Maus v v s v t

und t T s v T R TR

v

v RT

v

r

r K r

K

t

K

M M

MM

K M

= = = ⋅ = ⋅ = =

= ⋅ = ⋅ = + = ⋅ + =

= + = + +

= =

= = = = =

= + + = ⋅ + +

∫ ∫

& & & ( )

& & .

:

:

ϕϕ

ϕϕ ϕ ϕ

ϕπ ϕ π

πϕ

ϕπ

ϕπ

ϕϕ

πϕ ϕ

πϕ ϕ ϕ

ϕ π ππ

ππ π π

ππ π π

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

2 2 2

0

2

0

2

22

2

1

12

1

21 1

21

arsinh

arsinh arsinh = 0 62, vM

Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers Lösung 2.1

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ππ

π

W W

W G ZW K ZWG

KW

G

K

ZW G M KG

K

K

GM

K

G M

K

G M

K

G

Dv

vD

r r rr

rr

vD

r r rr

vD

rr

n rr

vn D

i

i rr

vn D

zz

⋅ = ⇒ =

⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅

= =

= = = =

22

2

2 2

0 18

22

,

Lösung 2.2

ω ω ω ω

ω πω

π

Mot Mot

MotMot

d d und d v vdd d

s

n n s

⋅ = ⋅ ⋅ = ⇒ = =

= ⇒ = = =

−

−

12

22

3 2

1 3

1

1

2 2 22 142 7

22

22 72 1363

,

, min -1

Lösung 2.3

( )v r r v r r r

rr

rr

rr

rr

rr

12 1 1 2 2 23 2 2 1 2 3

21

23 1

2

12

2

13

21

23 1

2

13

2

1 2 2 1

1 2 1

= = = = +

= +

= = +

= +

= +

ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

ϕ ϕ ϕ ϕ

Lösung 2.4

sin

r

r

β β

αγ β γ α β

π

π

π

= = ⇒ = =

+ = ° + = ° ⇒ = °+

=

=+

⇒ =+

⋅

=−

⇒ =−

⋅

rl

h

larcsin r

lh l r

l

nv l

l rv l

l rr n

v ll r

vl

l rr n

AmaxAmax

RmaxRmax

2 1 21

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2 2

2180 90 180 2

2

2

2

Ω

Ω

Ω

1

2

3v12

v23

ω1

ω2

ω3

l2

l1

β

Ω

α/2

h/2

γ

Zahlenwerte: 1 209 2 14 5 3 450

4 0 4712 5 0 7854

. . , .

. , . ,

α β= ° = ° =

= =

h mm

v ms

v msAmax Rmax

Lösung 2.5

sin coscos

tan tan tan

tan

tan = xe

tan tan sin

tan sin tan sin

tan sin tan sin

β β βα

ββ

α α α

αα

β β β β

β β β β

β β β β

ω ω

= = = = =

= ⋅ = ⋅ = ⋅

= = = ⇒ = °

= ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅ =

⋅ = =

es

e ssin eq

q e

q t s t q t s t q s

qs

vv

x e s

x t s t x t s t

x s v ms

d x x

m m

m

m

mst

mk

m m mk

R R

2

2 2 2

20 05714 6 54

0 00114

22

( ) ( ) &( ) &( ) & &

&&

, ,

( ) ( ) &( ) &( )

& & ,

& &d

xd

sRmmω = = −2 0 0456 1& ,

Lösung 2.6

( ) ( )

( ) ( )

ββϕλββϕ

βλ

ϕβϕ

βϕβϕ

2sin1cossin=sinsinsin

cos11cos1cos1cos1

cos1cos1coscos

−==

−+−=−+−=

−+−=−−+=

lrrl

rx

lrlrrlx

( )

( )( )322

2222

2

22

22

sin1

sin1sin-tcos+tcos

sin1tcos1sin

sin111tcos1

t

ttr

xt

tr

x

trx

t

ωλ

ωλωωλωω

ωλ

ωλωω

ωλλ

ω

ωϕ

−

−=

−+=

−−+−=

=

&&

&

Näherung für λ << 1 durch eine Reihenentwicklung der Form 1 1 12

− = −y y. ..

xr

t t

xr

t tcos t tcos t t

xr

≈ − + − −

= − +

≈ + + +

≈

1 1 1 1 12

12

22

22

2

2

2

cos t sin cos t sin

sin sin t = sin sin t = sin sin

cos t + 12

cos2 t = cos t + cos2 t

2 2ωλ

λ ω ωλ

ω

ωω

λω ω ω λ ω ω ω

λω

ωω λ ω ω λ ω

&

&&

se

βq

xe

r l

xβϕ

Lösung 2.7 s h e C h acos b asin e r b

s t a t r a sr

= + = = = = = −

= + − = + −

& &&

( ) ( )

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ λ ϕ λ ϕ

0

1

2 2

2 2 2cos sin cos sin2 2

( )( )

& & && &sr

sr

= − +−

= − +

+ −

−

λϕ ϕλ ϕ ϕ

λ ϕλϕ ϕ λ

ϕ ϕ λ ϕ

λ ϕsin sin cos

sincos

cos sin sin

sin2

2 2 2

21

1

12

22

232

Lösung 2.8 Lösung durch Überlagerung von Translation und Drehung um den Schwerpunkt:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )22

22

2

sin2c1

sin4c12

c2sincsin21

42c2

sin2

22c

2sin

2

ϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

++−=

++−=

+=−+=

===+=

===−+=

osaa

oderosaa

osayosaxDa

Da

ddosDDy

DaxDxosDDax

A

A

AA

AA

AAAA

&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

Lösung 2.9 Geschwindigkeitsverhältnisse:

v v tv v t

v v tv

1

2

3

4

22

20

=

=

=

=

( )( )

( )

Beschleunigungsverhältnisse:

sr

a

eh

bϕ

&ϕ2

2⋅D

aA

A ϕ

&&ϕ ⋅D2

0 90 180 270 360ϕ in ° →

4

8

12

a/aA

v(t)

v4 = 0v1

v2v3R Rv(t)v(t)

v(t)v(t)

v(t)

0

)()()(

)(2

)()()(

4

222

3

2

222

1

=

+

+=

=

+

−=

a

taR

tvtaa

taa

taR

tvtaa

Lösung 2.10 1. Schwerpunkt der Halbscheibe:

A e rdA A r dA bdr b r r

er

r r r dr z r r r r z

dr zr z

dz r r r dr z dz r e r

r

r

r

r

⋅ = = = = −

= − = − = −

= −−

− = − = =

∫

∫

∫ ∫

0

02

02 2

02

002 2

02 2

02 2

02 2

002 2 2

003

0

0

0

0

0

22

4

343

π

π

π

2. Beschreibung der Schwerpunktsbewegung in kart. Koordinaten:

( ) ( )

( )ϕϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

sincsin

csinccsin

csin

2

0

20

20

0

0

&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&

+=

=−=

+−=+−−=

−=−=

oseyey

oseryeoseroserx

oserxerx

S

S

S

S

S

S

( ) ( )

( ) ( )v x y r ecos esin

a x y r e r e

S S S

S S S

= + = − +

= + = + + + −

& & &

&& && && & && && & &&

2 20

2 2

2 202 2 2 4 2

022

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕsin cos

( )& & &

&

& &

x r e

r ecos

y e

S

S

= −

= −

=

0

0

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

cos

sin

&& && & &&

&& & &&x r e e

y e eS

S

= + −

= +0

2

2

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

sin cos

cos sin

v tR

2 ( )

v(t)

a4 = 0a1

a2

a3RRa(t)a(t)

a(t)a(t)

a(t)a(t)

v tR

2 ( )

r0r

dr

eSA

dA

b

x

ϕ

r0e

S S

esinϕ

e

r0ϕ

ecosϕ

y

e

S

ϕ

ϕr0 &ϕ

e &ϕ

e

S

ϕ

ϕr0&&ϕ

e&&ϕ e &ϕ2

Lösung 2.11

( ) ( )

( ) ( )

( ) ,

( )

12

22

34

2 212

12

212

14

1 1 1 2 32

2 2 2 2 2 2 2

2 1 22

21 2 1

2 3 3 3 3 3 3 2 3

3 2 1 32 3

31 3 1

v R v r v r r R r r r r R r

v v r v v r v v v

v v v R r v vr

v v r v v r v v v

v v v R r undv v

r

A B C

A B A B

A BA

C C

C

= = = − =−

=+

=+

= + = − + =

= + = + =−

= =

= + = − + =

= + = − =−

= =

ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω ω

Die Momentanpole liegen auf einer Geraden.

A BC

2

3

Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern Lösung 3.1

← = = = ⋅

↓ = − = − + = − + ⋅

= = ⋅ = − + ⋅

: && &

: && &

:

x x v x v t

y g y gt v y gt v t

t t x v t y gt v t

012

12

0 0

02

0

1 1 0 1 1 12

0 1

cos cos

sin sin

cos sin

α α

α α

α α

Elimination von α durch Quadrieren und Addieren liefert:

( )x y gt v t12

1 12

2

0 121

2+ +

= Kreisgleichung mit dem Radius R = v0 t1, Mittelpunkt versetzt um

y gt= −12 1

2

Lösung 3.2

Dynamisches Grundgesetz:

r r r rF ma F F a x y

mx x F my ym

F t

x x C x C t C

ym

F t y Fm

t C y Fm

t C t C

= = =

= ⇒ = = ⇒ =

= = = +

= = + = − + +

0

0 0 1

0

11 1 2

3 2 3 4

; &&;&&

&& && && && $

&& &

&& $ &$ $

cos

cos sin cos

Ω

ΩΩ

ΩΩ

Ω

( )

AB t x C

y Fm

C C Fm

x v C vy C

x v t t xv

y Fm

Fm

:$ $

&&

$ $

= = ⇒ =

= ⇒ = − + =

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ = = − = −

0 0 0

0 0

0 0

1 1

2

2 4 4 2

0 1 0

3

00

2 2

Ω Ω

ΩΩ

ΩΩcos t cos xv 0

Ω

Ω

Ω

xv

cos xv

0

0

02

32

2

1 0 1 0 1

0 1 2 1 02

ππ π π

−

ymF$

mg

x

y

v0

α

mx&&my&&

Mt = t1

x

y

½gt2

x

y

m

F

0 π 2π

1

2

Ωxv0

ymFΩ2

$

Extremwerte:

,...3,2,1,00ˆ

0

0

2

==

Ω⇒=

Ω

Ω

nnv

x

vxd

Fymd

Ex

π

Lösung 3.3

F mg my y y t y y t

F mg my t

Abheben F mg my t g y t

gy t

für t gy

s

N

N

N

− − = = = −

= −

= = =

= = = = −

&& $ && $

$

: $ $

$ $

0

0

1 99

2

2

2 2

1

sin sin

sin

sin sin

sinsinmin min

Ω Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω Ω Ω

ΩΩ

Ω Ω Ω

Lösung 3.4

( )↑ = +

← + =

=+

−=

:&&

&&

,

F mg Fsin

mg Fsin Fcos

F mg

xg N

N α

µ α α

µ

α µ α

: mx +

cos sin371 45

Lösung 3.5

542422

322

2222

11111101

)(021)(

0)(

CtCtxCxx

CtCgttyCgtygy

CCtvtxvxHy

+===

++−=+−=−=

=+===

&&&

&&&

&

gHvvt

gHtvt

tvgtHtyty

vvtxtxttEB

CyCx

invCinvyvCvxtAB

EEE

EEEE

EEE

02

112,1

012

12

021

1221

32

52

2222

2422

2g

tang

tan02g

tan2

tan21)()(

cos)()(:

0000

sscoscos0:

−

±=⇒=+−

⋅+−=⇒=

=⇒==

=⇒==⇒==⇒==⇒==

ααα

α

α

αααα

&&

Zahlenwerte: v kmh

t s t sE E2 1 21200 3 67 55 1= = =, , ( , )

y

mg

FN

my&&

xF

mg

FNµ FN

mx&&

α

m y2&&

m1

m2

m2g

x

y

m x2&&

Lösung 3.6 ← = ↓ = −

= = − +

= + = − + +

=

= = = =

= ⋅ = − + ⋅ +

: && : &&& &

& &( )

( ) ( )

x y gx C y gt C

x C t C y gt C t C

yC C C C h

x t t y t gt t h

0

12

00

12

1 3

1 22

3 4

1 2 3 4

2

AB: x(0) = 0 y(0) = h x(0) = v cos v sinv cos v sin

v cos v sin

0 0

0 0

0 0

α α

α α

α α

Endbedingung: y( xmax ) = 0 Elimination von t:

( )

( ) ( )

20

20

maxmax

20

2max

220

2maxmax

220

2

222

max220

2max

max

220

2

0

21(*)tan

0tan1tan1tan2210),(

),(tantan121

tan1tantan1cos

1

(*)0tancos2

10),(

tancos2

1cos

vgh

gvxeingesetztin

xgv

xv

gxdxdy

xyhxvgx

dd

hxv

gxxy

hxv

gxyv

xt

+=⋅

=

=+++⋅−⇒=

=+++−

+=+=

=++−

=

++−=⇒=

α

αααα

α

ααα

αα

ααα

αα

α

ααα

my&&v0

h

mg

x

y mx&&

xmax

α

x(α)

αα-90° +90°

xmax

Lösung 3.7

F mgsin kv F mgsin kv

vv

v v hl

v kmh

kmh

W W1 1 02

2 2 22

02

22

1

22 0

2

11 2

2

0 14 0 08

60 0 080 14

45 3

= = = =

= = = = =

= =

α α

αα

αα

α αsinsin

sinsin

sin sin, ,

,,

,

h

α1

mmgsinαl

FW1

Lösung 3.8

( )

( )

( )

++

+=

−−

+=

≤

=⋅−⋅+++=−−+

=−+

αα

αα

µαα

αα

sincos

sincos

0cossin20sin

0cos

2

1

1

21

21

gs

cd

dbcmgF

gs

cb

dbcmgF

FFbmgcmgcsmdbF

smmgFFmgFF

N

N

NH

N

HH

NN

&&

&&

&&&&

:::

( )

( )

( ) αµ

αµααµα

µ

αµ

αµααµα

αµ

ααµαµα

αµµα

sin1

cossincossin

0bHeckantrie2

sin1

cossincossin

sin0:ebFrontantri1

sincoscossin

cossinAllrad3

221

1211

212121

−

+−

⋅+

≤

++

+≤

+

≤≈

−

++

⋅+

≤

−−

+≤

+

+=≈≤

−≤≤

+

=+≤+

+=+

dbcdb

dgs

gs

cd

dbcmg

gsmg

FFF

dbcdb

bgs

gs

cb

dbcmg

gsmg

gsmgFFFF

gsmg

gsmg

mgFFFFgsmgFF

NHH

HHNH

NNHHHH

&&&&&&

&&&&&&

&&

&&&&

&&

:.

.

:.

&& && && &&sg

sg

sg

sg G

= −

= −

= −

= −

1 2 3

29

27

12

2cos sin cos sin cos sin cos sinα α α α α α α α

286,0.2222,0.15,0.3

0sin1cos0tan

≤≤≤

==⇒=

gs

gs

gs &&&&&&

ααα

Umkippen, wenn FN1 < 0 wird.

Grenzbedingung:&& &&sg

bc

sg G

≤ − =

=cos sin tanα α α 0 2

tan cos sinα α α= ⇒ = =

= ≤ ≤ ≤

0 2 0 9806 0 196

1 765 3 0 2943 1 0 02169 2 0 0844

, , ,

&& , . && , . && , . && ,sg

sg

sg

sgG

sm &&

s

αc

bd

mgsinα

mgcosα

FN1

FN2

FH1

FH2

S

2

Lösung 3.9 1. Voraussetzung: m1 gleitet auf m2

m F m g m x F x g

m m x F F x Fm

mm

g

Zahlenwerte xms

xms

N N

N

2 2 2 2 2

1 1 1 11

2

1

1 2 2 2

0

0

3 088 1 472

: && &&

: && &&

: && , && ,

= − = ⇒ =

+ − = = −

= =

µ µ

µ µ

2. Kein Gleiten zwischen m1 und m2

( )

&& &&

:

*

**

*

x x und F F

Fm

mm

g g F g m m

Zahlenwert F N

1 2 0

10

2

10 0 1 2

1717

= = =

− = ⇒ = +

=

µ µ

µ µ µ

Lösung 3.10

NmlmgF

dsslmmgllF

dslmdmsysx

ydmxmgllFA

S

l

S

l

S

64,1931cos31+cot

21

cossincos21-sin

sincos

0cos21-sin:

2

0

22

0

2

==

−

===

=−

∫

∫

βωβ

ββωββ

ββ

ωββ

Lösung 3.11

F mgsin mr

F mgsin mr vr

F mg mvr

m g vr

kN

N

N

N

− − =

= + =

= + = +

=

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

&

& &

,max

2

2

2 2

0

11 073

x1

x2

FNµ FN

m1g

m2g

Fm x1 1&&

m x2 2&&

FS

mg

A

xω2dm

x

y

sds

β

mr &ϕ2

ϕ

mg

FN

0

mr

Lösung 3.12

Aus Aufgabe 2.1 : M rr

M rrmot

k

gtr

k

g

=

=

2

0 18,

1. Bereich: 0 1≤ ≤ = = =t t x konst a vt

&& .

2. Bereich: t t x≥ =1 0&&

freie Koordinaten: x, ϕ

Zwangsbedingungen: x D xD

= ⇒ =2

2ϕ ϕ

Masse mL: F m x m g F m x m gS L L S L L− − = = +&& &&0

Trommel: J F D Mtr S tr&&ϕ+ ⋅ − =2

0

( )

( )[ ]

M J xD

D m x g D m g x D m JD

J JD

m

M rr

D m g x m m

tr tr L L Ltr

tr Ring tr

motk

gL L tr

= ⋅ + + = + +

= =

=

+ +

22 2 2

2

0 9 0 92

20 9

2

2

&& && &&

, ,

&& ,

1. Bereich: Mmot = 224 Nm 2. Bereich: Mmot = 215 Nm Lösung 3.13

( ) ( )J M J M t tt

t t J M t M Jt

J m D m d m e

&&

:

ϕ ω ω

ω

ωω

= − = −

= =

= = ⇒ =

=

−

+

0 0 0 0

0 0

1 1 0 1 01

1

1

2

2

2

22

0 0

12 2

6 12 2

( )[ ]( )[ ]

m a D m b d J aD bd d e

Mt

aD bd d e n

Zahlenwerte n s M Nm

1

2

2

24 2 2 2

01

1

4 2 2 21

1

11 1

0

4 4 326 8

326 8

2

4 77 286 5 0 3933

= = ⇒ = − +

= − + =

= ≡ =− −

ρπ

ρπ ρπ

ω ρπ ωπ

: , , ,min

t1 t

vHubv

J tr &&ϕ

xmLg

FS

ϕ

M tr

Jtr

m xL&&

J&&ϕ

ϕ

M0

J

Lösung 3.14

00:06

2)(:0

)()(

21

3

1

1

1

2

1

1

1

1

111

===++⋅=

+⋅=⋅==≤≤

==

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

&

&&&

&&&&

tCtCtJtM

CtJtMt

JtM

ttMtMtt

JtMtMJ

&& &

: && &

: ( ) && &

: & ( )

( )

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

= ⋅ = ⋅ = ⋅

= = = ⋅ = ⋅

≤ = = = + = + +

= = ⋅ = + ⇒ = − ⋅

= ⋅ = − ⋅ +

MJt

t MJt

t MJt

t

t t MJ

MJ

t MJ

t

t t M t M MJ

MJ

t C MJ

t C t C

t t tMJ

t MJ

t C CMJ

t

t MJ

t MJ

t MJ

t C

1

1

1

1

21

1

3

11 1 1 1 1

2

1 11 1

31

2

3 4

1 11 1 1

1 3 31 1

11 1

21 1

21 1

2

4

2 6

2 6

2

2 2

6 2 2⇒ = ⋅

= − ⋅ = − ⋅ + ⋅

= = = =

C MJ

t

MJ

t MJ

t MJ

t MJ

t t MJ

t

t tM

Jt n n

41 1

2

1 1 1 12

1 1 1 12

11

1

6

2 2 2 6

232

22

&

: & &

ϕ ϕ

ϕ ω πϕπ

Lösung 3.15

( )( )

F F cx x x F FF F cx F F cx

F F c x x

F mx mx F c x x

C a S S S C

a S a S

C S S

C S S S S

= + = ⇒ =

= + ⇒ = −

= + −

= ⇒ = + −

0 0

0 0 0 0

0 0

2 20 0ω ω

ω ω ω ωω

π

ω

= = ⇒ = = = = ≡

=−

−= ⇒ = = ⇒ =

= ⇒ =

−a S S S a a

Sa

a

SS

S S

S

x x F mx Fmx

n s

x F cxm c

n x mm n x mm

n x mm

: ,

: , ,

,

0 0 02 0

0

1

0 02 1 1 2 2

3 3

23 183 191

250 43 9 355 57 7

450 92 8

min

min min

min

-1

-1 -1

-1

J&&ϕ

ϕ

M(t)

J

FC mxSω2

xS

xS

FC

n

xS

40

80

191 450

Lösung 3.16

A J ma b J J mbma b

J mbdd

Für ist

dma b

J mbd

ma bJ mb

ma bJ mb

A A S

S

S

S S

: &&

&& & & &

& &

& &

ϕ ϕ

ϕ ϕϕϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕπ

− = +

=+

= = =

=+

=+

=

+

02

02

02

2 02

02

0 0

12

2

cos = 0

cos

cos int.

sin2

SA

ma0

JA&&ϕ

a0

ϕ

Lösung 3.17

( ) ( )

( )

J F d J F d t t

t t t

J F d t F Jd t

J md

md

m l d

F ld t

d d

i i

&&ϕ µ ω ω µ

ω ω ω ω

ω µω

µ

ρπ

ω ρ πµ

+ = − = − −

= = = = =

= ⇒ =

=

+

=

= +

21 0

21 0

0 0 1 1

02

10

2 1

11

2

22

22

0

2 114

24

20

20 0

22

12 2

12 2 4

16

Lösung 3.18

Scheibe J M MScheibe J M

M MJ

M MJ

t C

M MJ

t C t C

MJ

MJ

t C MJ

t C t C

R

R

R R

R

R R R

1 02 0

2

2

1 1

2 2

11

11

1

11

2

1 2

22

22

3 22

2

3 4

: &&

: &&

&& &

&& &

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

+ − =

− =

=−

=−

+

=−

+ +

= = + = + +

AB t C C C C: & & & &= = = = = ⇒ = = = =0 0 0 0 0 0 01 10 1 2 2 1 10 2 3 4ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

& & & &ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ11

10 11

2

10 22

22

2

2 2=

−+ =

−+ = =

M MJ

tM M

Jt

tMJ

tMJ

tR R R R

Reibmoment MR:

NmpbdrdprM

rrddrprdFdMb

rR

RR

7,12532 3

2

0 0

2 ===

⋅⋅⋅⋅=⋅=

∫ ∫= =

πµαµ

αµπ

α

Kuppelzeit tK: & ( ) & ( ) &

&,

ϕ ϕ ϕ

ϕ

1 21

102

10

2 1

2 35

t t M MJ

t MJ

t

tMJ

M MJ

s

K KR

KR

K

KR R

= ⇒−

+ =

=−

−

=

Kuppelzeit tK muß endlich sein und tK > 0 :

2

2

1312

47,1412

30cmN

JJb

MpJ

MMJ

M RR =

+

>⇒>

−−

πµ

J&&ϕ

ϕ

µF

J

F

M MR MR

ϕ1 ϕ2

J1 1&&ϕ J2 2&&ϕ

dFRb

dArdr

dα

ϕ ϕ, &

Energieverlust:

[ ] NmtMttMW KR

KKRV4

1021 1043,42

)()( ⋅==−⋅= ϕϕϕ &

&& ,ϕ2241 9= −s

&& ,ϕ1285 6= − −s

ttK

&&ϕ &ϕ

ttK

&ϕ1

&ϕ2

300s-1

98,5s-1

ttK

ϕ

ϕ2

ϕ1

468,5

116,2

Lösung 3.19

J M dA rd dr m r h

dF ghdA dF dF J mr

M rdF gh r d dr gr r h gr m

mr r mg gr

AB tg

rt g

rt t

Endb T gr

T T

S R

N R N S

R R

r

&&

&& &&

: ( ) & ( )

&

.: & ( )

ϕ α ρπ

ρ µ

µρ α µ ρπ µ

ϕ µ ϕµ

ϕ ϕ ω

ϕµ

ω ϕµ

ω

ϕµ

ω

π

= − = =

= = =

= = = =

= − = −

= = =

= − + = − +

= = − +

∫ ∫∫

02

02

2

0

2

00 0

20

02

00

0

00

0

20

00

12

23

23

12

23

43

0 0 0 043

23

0 0 43

0

=

= = =

34

38 2

316

0 0

02

0 02

0

ωµ

ϕωµ

ϕπ π

ωµ

rg

Trg

Umdrehungen U T rg

( ) ( )

dFN

h

dFRr0

dArdr

MR

dα

ϕ ϕ, &

ϕ&&SJ

Lösung 3.20

ZB x x x xr

J m r

F m g m x m g m xF m g m x m g m x

J F r F r J xr

m gr m xr m gr m xr

x g m m

m m m

S

S

S S

:

&& &&&& &&

&& && && &&

&&

3 1 2

22

1 1 1 1 1 1

2 3 3 3 3 3

2 2 1 3 3 1 1

1 3

1 2 3

12

0

12

= = = =

=

= − = −

= + = +

+ − = = + + − +

=−

+ +

ϕ ϕ

ϕ

( )

( )

( )

T m x m x J x m m m

U m gx m gx gx m m

L T U x m m m gx m m

ddt

Lx

Lx

Lx

g m m Lx

x m m m ddt

Lx

x m m

= + + = + +

= − + = − −

= − = + +

+ −

− =

= − = + +

= +

12

12

12

12

12

12

12

0

12

12

1 12

3 32

22 2

1 2 3

1 1 3 3 1 3

21 2 3 1 3

1 3 1 2 3 1

& & & &

&

&

&&

&&&

ϕ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

( )

( )

( )

2 3

21 2 3 1 3

1 2 3 1 3

0

12

12

12

0

+

+ = ⇒ + =

+ = + +

− −

+ +

− − =

m

T U konstddt

T U

T U x m m m gx m m

xx m m m gx m m

.

&

&&& &

J&&ϕ2

x1 x3

ϕ2

FS1 FS2

m1g m3gm x3 3&&m x1 1&&

Lösung 3.21

2

2

1

22

1

01

121

2

1

22

2

2

1

22

1

01

121

2

1

11111211

2222

1

1011220

11

2222222

1111

11

22

1

12211

0

:

mrr

rJm

mmrr

rrgx

mrr

rJm

mmrr

gx

rxmgrmrxrrmgrm

rxJrFrFJ

xrrmgmxmgmF

xmgmF

xrrx

rxxrxrZB

SS

S

S

++

−=

++

−=

+++−==+−

−=−=

+=

==⇒==

&&&&

&&&&&&&&

&&&&

&&

ϕ

ϕϕϕ

T m x m x J x m Jr

rr

m

U m gx m gx gx m rr

m

L T U x m Jr

rr

m gx m rr

m

Lx

g m rr

m Lx

= + + = + +

= − = −

= − = + +

− −

= − −

12

12

12

12

12

1 12

2 22

02

12

10

12

2

1

2

2

1 1 2 2 1 12

12

12

10

12

2

1

2

2 1 12

12

11

2

13

& & & &

&

&

ϕ

∂∂

∂∂ 1

1 10

12

2

1

2

21

1 10

12

2

1

2

2= + +

= + +

&

&&&x m J

rrr

m ddt

Lx

x m Jr

rr

m∂∂

( )

0

21

0.

21

2112

2

1

22

1

0111

21

2112

2

1

22

1

01

21

=

−+

++

−+

++=+

=+⇒=+

mrrmxgm

rr

rJmxx

mrrmgxm

rr

rJmxUT

UTdtdkonstUT

&&&&

&

J0&&ϕ

x1 x2

ϕ

FS1 FS2

m1g m2gm x2 2&&m x1 1&&

Lösung 3.22

( )

r x xx

r rr

rr

xr

r x xr

r r

J F r M F Mr

Jr

J F r r mx r mgsin r

SS

S A SA

S

1 12 3

31

2

3 1

33

1 2

1 1 11

11

1

2 2 3 3 3

1

0

0

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ α

= =+

⇒ = +

= ⇒ = =

+ − = = −

− + + ⋅ + ⋅ =

&& &&

&& &&

( ) ( )

( )( )

( )

KsvvdvsdKvdsdv

dtds

dsdv

dtdvK

KttsKttsK

rr

rJ

rJm

mgtstx

mgrr

rJ

rJmx

rrrmgrMM

mgxmr

rrrxJ

rrr

rM

rxJ

rrrmgrMxfürM

rmgrxmrrr

Jrrr

MJ

vs

AA

A

AA

A

2

21)(0)(

1

sin)()(

sin1

sin22

0sin

sin0,0

0sin

00

22

3

12

1

12

3

2

2

3

12

1

12

3

2

32

31min

21

232

23

13

32

12

32

32

31min1min

33321

1132

12

==⇒===

=+==

+++

==

=

+++

+==

=+++

+

+−

+=⇒===

=⋅+⋅++++−

∫∫

&&&&&

&&

&&&&&&

&&&&&&

&&&&&&

α

α

α

α

αϕϕ

αϕϕ

J1 1&&ϕJ2&&ϕ

FS

FN FT

x

ϕ

ϕ1

MA

mx&&mg

Lösung 3.23

( ) ( )

( )

)6(2;)5(2:

)4(0c)3(0

sin)2(0

)1(0

11

22

32

32321

21222

111

rx

rxZB

osgmmFF

gmmxmmFFrFrFJ

MrFJ

N

N

SS

SS

AS

==

=+−=−

+−+−+=+−

=−+

ϕϕ

αµ

αϕϕ

&&&&&&

Ab hier falsch da, ZB1 falsch eingesetzt-> Faktor 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

F Mr

J xr

F Mr

J xr

J xr

in eingesetztMr

J xr

Mr

J xr

J xr

m m x m m gsin m m gcos

x m m Jr

Jr

Mr

m m gsin m m gcos

SA

SA

A A

A

= −

= − −

− + − − − + − + − + =

− + + +

= − + + + +

11

12

11

112 2

22

11

12

11

12 2

22 2 3 2 3 2 3

2 3 112 2

22

12 3 2 3

2 1

2 2

3

2 2 0

4 1 1 2

&& ( ')

&& && ( ' )

( ) :&& && && &&

&&

&

α µ α

α µ α

( ) ( )& .x

Mr

m m g

m m Jr

Jr

konst a

v at s at

A

=− + +

+ + += =

= =

2

4 1 1

12

12 3

2 3 112 2

22

2

sin cosα µ α

11ϕ&&Jx

ϕ1

ϕ2

µFN FN

m3g

MA

m2g

FS

FS1 xmm &&)( 32 +

22ϕ&&J

α

Energiebilanz:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

M m m gcos x J J m m x m m gsin x

J J m m x m m gsin x M m m gcos x

ZB einsetzen

x Jr

m m m x m m gMr

ddt

xx J

A

A

A

ϕ µ α ϕ ϕ α

ϕ ϕ α ϕ µ α

α µ α

1 2 3 1 12

2 22

2 32

2 3

1 12

2 22

2 32

2 3 1 2 3

21

12 2 2 3 2 3

1

12

12

12

12

12

12

0

12

41 1

22 0

4

− + ⋅ = + + + + + ⋅

+ + + + + ⋅ − + + ⋅ =

+ + +

+ + + −

=

& & &

& & &

:

&

&&&

sin cos

( ) ( )

( ) ( )

112 2 3 2 3

1

12 3

112 2 3

1 32

2 0 0

2

4 1 32

rm m x m m g M

rx

x

Mr

m m g

Jr

m m

A

A

+ +

+ + + −

= ≠ ⇒

=− + +

+ +

& &

&&

sin cos

sin cos

α µ α

α µ α

Lagrange:

( )[ ] ( )

( )

( ) ( )

ddt

Lx

Lx

Q Q Wx

L T U J J m m x m m gsin x

x m m Jr

Jr

m m gsin x

W M m m gcos x xMr

m m gcos

ddt

Lx

m m Jr

Jr

AA

∂∂

∂∂

δδ

ϕ ϕ α

α

ϕ µ α µ α

∂∂

&* * *

& & &

&

*

&

− = =

= − = + + + − + ⋅

= + + +

− + ⋅

= − + ⋅ = − +

= + + +

1212

4

2

4

1 12

2 22

2 32

2 3

22 3

1

12

2

22 2 3

1 2 31

2 3

2 31

12

2

2( )

( )

( ) ( )

2 2 3

12 3

2 31

12

2

22 2 3

12 3

2

4 2

= − +

= − +

+ + +

+ + = − +

&&

*

&&

x Lx

m m gsin

Q Mr

m m gcos

m m Jr

Jr

x m m gsin Mr

m m gcos

A

A

∂∂

α

µ α

α µ α

Lösung 3.24

22

coscos

0cos3in

cos2aus3020cos

1

RJm

RrF

xRrF

RJmx

FRRxmFrRxJ

FxmFRFFrJS

FxmFRxxR

S

S

S

T

TS

T

+

−

=

−=

+

=−++

+−=

=−+=−+←

=⇒=

αα

α

αϕ

α

ϕϕ

&&&&

&&&&&&

&&&&

&&&&

:)(

:)()(:)(:

)(

für rR

x Beschl in x Richtung

rR

x

rR

x Beschl in neg x Richtung

cos

cos

cos

α

α

α

> ⇒ > −

= ⇒ =

< ⇒ < −

&& ( . )

&&

&& ( . . )

0

0

0

mx&&S r

R

x

mg

FN

F

FTP

ϕJS&&ϕ

α

Lösung 3.25

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

α

α

α

2 3

2 2 2

3 3 3

1 2 3 1

122

32 1 2 2

23 3

2

1

12 3

2 03 01 0

12

12

2 2

= =

− =

− =

+ + − =

+ + = = =

=+ +

sr

sr

Rolle J F rRolle J F rMasse m s F F m gsin

m s Jr

s Jr

s m gsin J m r J m r

sm gsin

m m m

T

T

T T

: &&

: &&

: &&

&& && &&

&&

( )L T U m s J J m gs

s mm m

m gs

= − = + + + ⋅

= + +

+ ⋅

1212 2 2

12

2 22

3 32

1

21

2 31

& & &

&

ϕ ϕ α

α

sin

sin

( ) ( )

( ) ( )

++

−⋅=−==

++−

=−

=⇒=−⇒−==

====⇒===

++=+==

++

=

=

++=

22

sin22

sin22

22

21:

210,00,00:

21

22

sin

sin22

321

1

1

321

2

221

212

132

1

1

132

1

mmm

algmKalKtv

gm

mmmal

KaltKtalalsttEB

KtsKtsCCsstAB

CtCKtsCKtsKmmm

gms

gmsLmmms

sL

dtd

EE

EEE

α

α

α

α∂∂

∂∂

&&

&&&

&&&

m s1&&

J3 3&&ϕ

J2 2&&ϕa

m1gFN3

FN2

FT3

FT2

h α

sϕ2

ϕ3r

r

FT2

FT3

U=0

s

α

Lösung 3.26

( )

( )

ϕ ϕ= = − = −

= − −

− − − = ⋅

+ + −

= −

= + = =

xr

x R r Rr

x

F m g m Rr

x

F R r Jxr

m x rr

x mJr

mRr

m gRr

J J J J m r J m R

S

S

A B A A B B

21 2

1 1 2

22

2 2

2 222 1

2

1

22 2

1

1

01

1 1

2 12

12

&&

&&&&

&&

J2&&ϕ

m x2 2&&

x2

x1

FS

FS

m1g

11xm &&

FT

ϕ

FN

m2g

22

22

21

121

22

44

22

22222

244

2

222

11

1

2121

22

−

+

−

+=

−=

++

=

+=⇒+=+=

⋅=⋅=+=

rRr

J

rR

mm

gmxrRx

bRdrbRdrmJ

bRdrmbRdrmbRdrJ

bRmdrmmmm BABA

&&&&

πρπρπρ

ρπρπ

( ) ( )T m x m x J U m gx z B ddt

T U= + + = − + =12

02 22

1 12

22

1 1& & & . .ϕ

Lösung 3.27

r r x R x x

ZB x x x xR

rr

xR

Antrieb M F r J rr

xR

Rad J xR

F R F r

Rad JxR

F R F R

Masse m g m x FMasse m g m x F F

A

S

S S

S

S S

1 1 2 2 2 3 2 3 1 2

2 1 3 2 12

1

0 1 12

1

2 1 0 2

3 2 3

1 1 3

2 2 1 2

0

2 0

3 0

1 02 0

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

= = = =

= = = = =

− − =

+ − =

− + =

+ − =

− + − + =

:

: &&

: &&

:&&

: &&: &&

23

22

21

2

1

221

121

2

112221

21

1

223

2221

21

1

22113

21

21

1

21

1

21

10

01

1

11

RJ

RJ

RJ

rrmm

gmgmR

Mrr

x

xmgmxmgmRxJ

Rx

rrJM

rr

RRxJ

xmgmRxJ

Rx

rrJM

rr

RFxmgmF

RxJ

Rx

rrJM

rr

RF

Rx

rrJM

rF

A

A

ASS

ASA

++

++

−+=

=+++−

−

−−

−+

−

−=+=

−

−=

−=

&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&

&&&&&&

J1 1&&ϕ

J3 3&&ϕ

m x2 2&&

J2 2&&ϕ

FS≈0 FS1

FS2

FS3

F0

F0

x1

x2

ϕ2

ϕ3

ϕ1 MA

m1g m2g

m x1 1&&

R

r1r2

R

Lösung 3.28

( ) αα

αα

αα

αϕαϕ

ϕϕϕ

sin71sin

sin74sin2

21

21

0sinsin

0sin:0sin:

22

2121

11212222

2222

1111

2121

mggxxmF

gxmgmmmmx

mrJmrJmmm

gmxmrxJgmxm

rxJ

rgmrxmrFJmrgmrxmrFJm

rxxxx

S

S

S

=−+=

==

+++

====

=−++−+

=⋅−+−=⋅−++

=====

&&&&

&&&&

&&&&&&&&&&&&

&&&&

Lösung 3.29

( )

( ) ( )

( )

A J mgl l J ml

ml mgl ll a g

F ml mg

F m l g

la g d

d la g d

l a g d

A A

S

S

: &&

&&&&

: &

&

&&&

& * * * &

& * * *

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

+ = =

+ =

+ + =

− − + =

= + −

= − + = − + =

= − +

∫

∫

sin + ma cos

sin + ma coscos sin

cos ma sin

cos a sin

cos sin cos sin

cos sin

0

0

0

0

0

00

0

1 1 12

2

2

2

0

2

2

0 00

2

20

0

Lösung 3.30

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

L T U J m x m x m gx m gx x r x r

L J m r m r g m r m r ddt

L L

J m r m r g m r m rg m r m r

J m r m r

A

A

AA

= − = + + − − − = =

= + + + +

− =

+ + − + = =+

+ +

12

12

12

12

0

0

21 1

22 2

21 1 2 2 1 1 2 2

21 1

22 2

21 1 2 2

1 12

2 22

1 1 2 21 1 2 2

1 12

2 22

& & &

&&

&& &&

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ∂∂ϕ

∂∂ϕ

ϕ ϕ

m x1 1&&

J1 1&&ϕJ2 2

&&ϕx1

x2

FS

FN1

FT1m1g

FT2

FN2m2g

rr

ϕ2

ϕ1 m x2 2&&

Aa0

ma0

mg

ϕ

JA&&ϕ

ma0

mg

FS

ml&&ϕ

ml &ϕ2

( )

( )

( )

F m g m r m g rg

m gJ m r r rJ m r m r

F m g m r m g rg

m gJ m r r rJ m r m r

F Forderung F liefert J m r r r

SA

A

SA

A

S S A

1 1 1 1 11

12 2 1 2

1 12

2 22

2 2 2 2 22

21 1 1 2

1 12

2 22

2 1 2 2 1 2

1

1

0 0

= − = −

=

− −+ +

= − = −

=

+ −+ +

> > > −

&& &&

&&&&

, :

ϕϕ

ϕϕ

Lösung 3.31

( )

( )

ZB sr

r r rr

sr

Masse m ms mg FScheibe J M F r

Scheibe J J F r F r

F ms mg F Mr

J rr

sr

J J sr

rr

M J rr

sr

msr mgr

S

A S

S S

S SA

A

:

: &&

: &&

/ : &&

&& &&

&& && &&

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

23

2 2 1 1 12

1 3

2

1 1 1 1

2 3 2 1 2 2 3

2 11

12

12

3

2 33

2

11

22

12

33 3

01 0

2 3 0

0

= = ⇒ =

+ − =

− + =

+ − + =

= + = −

+ − + + + =

( FS = 0 , da Riemenabtriebsseite ohne Last)

( )

( )

KssKdssdssdssdKsoder

Kss

Kst

KtsKtsK

mr

JJrJ

rr

mgsMM

mgrrrMMsfürM

mr

JJrJ

rr

mgMrr

r

s

AA

AAA

A

221.3

212.2

0.1

2

2

23

322

1

1

2

3

2

min

2

31minmin

23

322

1

1

2

3

2

31

2

=====⇒=

===

++

+

=⇒=

==⇒=

++

+

−=

&&&&&&&&&

&&&

&&&&

FS1FS2

m1gm2g

m x1 1&&m x2 2&&

( )J J2 3 2+ &&ϕ

J1 1&&ϕ FS1

FS=0

FS2

mg s

ms&&

ϕ2ϕ1

r1

r2

r3

MA

Lösung 3.32

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

)2()2(2)1()(2)2(

2)2()(

)2()(

22:

1

1

13

21

2133

2211

12132131

3

mglmMxMmglmMxmM

lxgMlxgmMxgmMxgM

FFxgmMFxgmMFxgMF

lxxxxxxxxlxfZB

SSS

SS

−=++−=+++

⋅+=⋅++−+=+

=++=−+=+=

⋅+=⇒+=+−=⋅==

ϕϕ

ϕϕ

&&&&&&&&

&&&&&&&&

&&&&&&

&& && && &&x l gMm

Mm

xg M

mMm

Mm

xg M

mMm

Mm

3 1 2

1 8 1

4 1 1

1 8 1

4 1 3

1 8 1= = −

+ +

=+

−

+ +

=+

−

+ +

ϕ

F F Mg

Mm

Mm

Mm

Mm

xl

gl M

mMm

S S2 134

1 2 1

1 8 1

1

1 8 1= =

+

+

+ +

= = − ⋅+ +

&& &&ϕ

Lösung mit Lagrange:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) )(222)(256

22

562222

222

)(22

2222

222221

1**

1

21

21

21

1

1

1111

111

11222

121

IImgxMlmMIIIIImgxmMlmM

mglmMlmMlgL

lmMxlmMlmMllxmMLdtd

lmMllxmMLImglmMxmM

mgmMMgxL

lmMxmMlxmMxMxL

dtdlxmMxM

xL

lmMlxmMMxglmMlxmMxML

−=−+⇒−=+++

=+++−−=∂∂

+++=++⋅++=

∂∂

++⋅++=∂∂

=+++

=−−−=∂∂

+++=+++=

∂∂

+++=∂∂

++++−−+++++=

&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&

&&&&

&&&&

&&&&&&&&&&&

&&&&

&&&&

ϕϕ

ϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕ

FS1 FS2

FS3

x1x2

x3

ϕ

(M+m)gMg

(2M+m)g

Mx&&1 ( )&&M m x+ 2

( )&&2 3M m x+

Lösung 3.33

( ) ( ) ( )

( )

L T U J m m x m m gsin x

W m gcos x m gcos x r

ZB x x x xr

L x m mJr

xg m m

W m gcos x

= − = + + − − + ⋅

= − ⋅ − −

= = =

= + +

+ +

= − ⋅

12

12

1

12

12

1 22

1 2

2 2 1 1

1 2

21 2

12 1 2

2 2

& &

. :

&

*

*

ϕ α

µ α µ α ϕ

ϕ

α

µ α

sin

( )

( )

+

−+=

−=+=

+=

==−

21

2221

22*

2121

211

*

23

cossin

cossin23

21

mm

mmmgx

gmQgmmxLmmx

xL

dtd

rmJQxL

xL

dtd

αµα

αµα∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

&&

&&&

&

Kräftegleichgewicht in Richtung der Schiefen Ebene für die Masse m2:

( )αµααµα osmm

mgmxmosgmgmFS c3sin23

csin 221

122222 −

+=−−= &&

( ) ( )

( )

212

12

1 2

12

1 22

1 2

1 1 2 2 1 1

. :

& &

*

ZB x x x r x

L J m m x xg m m

W m m gcos x m gcos r

= = ≠

= + + + +

= − + ⋅ + ⋅

ϕ

ϕ α

µ µ α µ α ϕ

sin

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ddt

Lx

Lx

Q ddt

L L Q J m r

ddt

Lx

x m mLx

m m gsin Q m m gcos

ddt

L J m r L Q m grcos

x m m m m gsin m m gcos

∂∂

∂∂

∂∂ϕ

∂∂ϕ

∂∂

∂∂

α µ µ α

∂∂ϕ

ϕ ϕ∂∂ϕ

µ α

α µ µ α

& &

&&&

&&& &&

( ) &&

(

* *

*

*

− =

− = =

= + = + = − +

= = = =

+ − + = − +

1 2 1 12

1 2 1 2 1 1 1 2 2

1 12

2 1 1

1 2 1 2 1 1 2 2

12

12

0

1

( )( ) ( )

212

21

21 1

1

1 1 2 2

1 21 2

1 2

1 2

) && &&

&&

m r m grcosgcosr

x gm mm m

F m m gcosm mS

ϕ µ α ϕµ α

α αµ µ

µ µα

= ⇒ =

= − ⋅++

= − ⋅+

sin cos

Lösung 3.34 Freie Koordinaten: x1, ϕ2, x3, ϕ4

xxϕ

x1

ϕ4 ϕ2

FS3

x3 FN µFN

m3g

FS2 (m1+m2)g

Zwangsbedingungen:

( )1323

4

21343

1,

,

xxrr

xrxxrx

−==

⇒+==

ϕϕ

ϕϕ

D´Alembert:

( ) ( )

( )

)(0

:)3(),1()2(

)(0

:)4()5(),3()5()4(:21

)3(0:2)2(0:4

)1(:3

324

22

33122

21322

22

211

211212

222

3244

3333

IIgmrJ

rJmxx

rJ

ZBundmit

IgmmxrJ

rJmmx

ZBundingmmFFxmmFuMassen

rFJMasserFrFJMasse

xmgmFMasse

NNS

S

SS

S

=−

+++−

=++−

++

+=++==−

=−+−=

&&&&

&&&&

&&&&&&

&&

µ

µϕϕ

Lagrange:

( ) ( )

( )

( )

( )

)(0

)(

0

0

1121

3322

24

3122

21322

122

21

*33

312

232

224

33

21*1

132

212

221

1

*3

33

*1

11

121*

33233

2324

21322

2121

IIgmxrJ

rJmx

rJ

IgmmxrJx

rJmm

QgmxLx

rJx

rJ

rJm

xL

dtd

gmmQxLx

rJx

rJmm

xL

dtd

QxL

xL

dtdQ

xL

xL

dtd

gxmmW

gxmxmxr

Jxxr

JxmmUTL

=−

+++−

+−=−

++

==∂∂

−

++=

∂∂

+−==∂∂

−

++=

∂∂

=∂∂

−

∂∂

=∂∂

−

∂∂

+−=

−−

+⋅+−⋅++=−=

&&&&

&&&&

&&&&&

&&&&&

&&

&&&&&

µ

µ

µ

Lösung:

( ) ( )

( ) gggxx

ggxgxadd

gxxm

mgxmxm

gxxm

mgxmxm

954925

19245

95681

19281219:.

242221

164208221

25

13

11

3131

3131

=−=+=

=−=−=

=+−⇒⋅=+−

−=−⇒⋅−=−

µµ

µµ

µµ

&&&&

&&&&

&&&&&&&&

&&&&&&&&

Lösung 3.35

Zwangsbedingungen: 221

21

41

3xx

rx

rx

=== ϕϕ

( ) ( )

( )

( )

( )

++−=−=

+−=−=−=−=

++++

+−

=

=

+−−

++++⇒=

∂∂

−

∂∂

24

23

1114

423

23

1113

312111111

24

23

421

421

1

42124

23

421111

2

441

21

021

4410

rJ

rJmxgm

rJFF

rJmxgm

rJFFxgmxmgmF

rJ

rJmmm

mmmgx

mmmgr

JrJmmmx

xL

xL

dtd

SS

SSS

&&&&

&&&&&&&&

&&

&&&

ϕ

ϕ

Lösung 3.36

ZB:

( )

( )613

6146

51

2

21

21

xxr

xxxrx

rx

−=

+===

ϕ

ϕϕ

( ) ( ) 6644311

266

255

233

2443

222

2112

1

gxmgxmmgxmU

xmJJxmmJxmT

UTL

−++−=

++++++=

−=

&&&&&& ϕϕϕ

X1

ϕ3

ϕ4

x1 x6

x4

ϕ2

ϕ3

ϕ5

X2

( ) ( )

( )

( )

+−+

++++=−=

++−=

++++=

4211

24

23

42121

24211

244

233

2242

211

21

441

21

21

mmmgx

rJ

rJmmmxUTL

gxmmgxmU

JJxmmxmT

&

&&&& ϕϕ

( ) ( )

( )

( ) ( ) mgmgxLxmxmxxmxxmmmx

xL

dtd

xL

xL

dtd

xL

xL

dtd

xxmgmgxmgx

xmxmxxmxxmxmxmL

−=∂∂

+=−+++

+=

∂∂

=∂∂

−

∂∂

=∂∂

−

∂∂

+⋅−+

+

++−⋅++⋅++=

283

825

81

21

212

00

2122

21

41

21

412

212

21

16161611

1

6611

6161

26

26

261

261

21

21

&&&&&&&&&&&&&&&

&&

&&&&&&&&

gxgxgxx

IinxxIIxxxmxm

mgmgxLxmxmmmmmxmmx

xL

dtd

Igxxmgxmxm

523

52178

17925

)(173)(01730

817

83

08

1783

21

81

21

81

21

)(08325083

825

6111

166161

66161

6

6161

−=⇒=⇒=−

−=⇒=+=+

=−=∂∂

+=

++++

−=

∂∂

=−+=−+

&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

&&&&&&&&

Lösung 3.37

Freie Koordinaten: x, ϕ

Zwangsbedingung: ax

=ϕ

Fall 1) und 2) unterscheiden sich nur durch die Massenträg- heitsmomente. Massenträgheitsmomente Bezüglich A:

( ) ( )

( ) ( )

++=

+++=

++=++=

21

022

2222120

221

022

22120

192

332

22

612

)2

)(182

3322

612

)1

mmmaamamamamJ

PunktmassealsmmmmaamamamJ

A

A

1. D’Alembert

ϕ&&AJ

ϕ F

x

ϕ A

+

=

=−+=−

23

3

33 00

aJm

gmx

gmxmFaFJ

A

SSA

&&

&&&&ϕ

2.Lagrange II: nur Potentialkräfte

( )

+

==−

+

=∂∂

+=

∂∂

+

+=

−=

+=+=−==

∂∂

−

∂∂

32

3332

332332

2

332

22

32

0

2

2210

maJ

gmxgmmaJx

gmxLm

aJx

xL

dtdgxmm

aJxL

gxmUmaJxxmJTUTL

xL

xL

dtd

A

A

AA

AA

&&&&

&&&

&

&&&&

ϕ

3. Zahlenwerte:

22 417,0472)2436,0

452)1

smgx

smgx ==== &&&&

Lösung 3.38

Freie Koordinaten: ϕ1, ϕ2, ϕ3 ZB: r1ϕ1 = r2ϕ2 r3ϕ2 = r4ϕ3 gen. Koordinate: ϕ3

33

4

1

213

3

42 ϕϕϕϕ &&&&&&&&

rr

rr

rr

==

kWrr

rrMMPNmJ

rr

rr

rr

rrJ

tnM

nJ

rr

rr

rr

rrJ

tMtKtt

KthdCtABCKtK

KJ

rr

rr

rr

rrJ

MJrr

rrM

rr

rrJ

rJ

rrF

rrF

rJFrFJrFrFMJrF

AAA

A

AA

A

67,412,6632

2:

..,000:

0

000

33

4

1

21max2

4

1

2

3

3

4

1

21

0

3

33

24

1

2

3

3

4

1

21

0303330

3333

24

1

2

3

3

4

1

21

3324

1

2

33

3

4

1

21

4

32

2

32

2

31

4

322423232211111

==⋅==

+=

=+

⋅=⋅=⇒==

==⇒==+==

=+

=⇒=+−==

=⇒=−=−=−+

ωωπ

πωωωωϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕ

&

&&&&&

&&&&&&&&

&&&&&&

Lösung 3.39

22ϕ&&J 11ϕ&&J

ϕ2 ϕ1

FU

M FN

ϕ2

ϕ1

MA

11ϕ&&J

F2 F1

32ϕ&&J

ϕ3

( ) Nmbrbrt

rrnMbrrmJbrrmJ

nrrJ

rrJ

tMKttt

KtCCKtK

6,42222

2:

00)0(

22

212

11

2122

2

422

22

21

412

11

1

222

12

1

21

1

212221

2222

=+=====

=

+=⇒===

==⇒=+==

ρππρπρ

πωωωωϕ

ϕϕϕϕ

&

&&&&&

K

rrJ

rrJ

MMrrJ

rrJ

rJFrFJ

MrFJrrrr

UU

U

=

+

==−

+

=⇒=−

=−+

=⇒=

2

12

1

21

22

12

1

212

22

2222

111

21

212211

0

0

0

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕϕϕ

&&&&

&&&&

&&

&&&&&&

Lösung 3.40

( )

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕ

&&&&

&&&&

dd

Jmge

meJJmemgeJAmm

lmlmm

lmlme

mmm

A

SAS

==

+==+−

+−

=+−

=

+=

cos0cos:

222

2221

3221

21

32

21

[ ]

[ ]( )

( )412

1412

110:0

cossin21

cossin0sincos:

cossin3

sin200sincos21

cossin0cossin:

22

122

211

23

2232

2

222

22

2

2*

0

*2

22

lmllmlmlmJJ

memgFF

JmemgF

memgFmememgFJ

memgF

Jmgefürmit

Jmged

Jmge

meFmeFme

AA

AyAx

AAy

AyAy

AAx

AAA

AxAx

++++=

−===

−+=

−+=⇒=−+−↑

−=

=====

+−=⇒=++←

∫

ϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

&&&&&&

&&&

&&&&&&

Ergänzung: Schnittgrößen im dünnen Stab

30 lz ≤≤

2ϕ&me

ϕ&&SJ

FAx FAy

S

ϕ

mg

( ) 221

3 ϕρ &zlAz −

A ϕρ &&2

121 zAz⋅

( )ϕρ &&zlAz 21

3 −

ρAzg

M

FQ

FL ϕ

00

sin121

2

sin21

3

23

=⇒=

−

−

=

−

−=

L

AL

L

F

J

zlmeAzgF

gzlAzF

ϕ

ϕρ

ϕϕρ &

+

−−= ϕϕρ cos

21

3 gzlAzFQ &&

xm &&

( )

( )

+

+

−+−==

+

+

−

−

+−=

−+−=⇒=

232

212

21

32213323

232

212

21

32213

3

2

233

2

2

4

121)(

42

313

121

311

210

lmllm

lmlmlglmlzM

lmllm

lmlmzl

lzgmzl

Jme

lzgmM

A

ϕ

3

2

22

21

21)(

lzgmqzzM −=−=

Lösung 3.41

3

2

lgmq =z

ym && ϕ&&SJ

x

r

y

v

vcosϕ

vsinϕ ϕ mg ϕ0

( ) ( )

( )

−+−=

+

−+−=

−

+−=⇒==

−

+−=⇒=

−

+−=

zlJme

lzgmgzlzAzM

Jlme

lzgmF

lmAundAlmmit

JlmegAzF

JlmegAzF

A

A

z

Q

A

z

QA

z

Q

311cos

21cos

21

61

21

1

10cos1

33

2

232

23

32

3

232

2323

ϕϕϕϕρ

ρρ

ρϕϕρ

&&&&

ra

ra

aa

ryrxrv

aaar

===

−==⇒=

=+=

000

22

cos2

sin2

tan

sincos

524

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ &&&&&

mgFFF xx 918,020

200 =+=

( )

mgmgmgmrmgFmgra

agmrmrF

ag

arr

g

rammaramgma

aymaxmamgJxmFymmgFGGW

maaamJrryrrx

yx

Sxy

S

t

2825

283sin

143

286cos

286

613cos2sin

0sin2

cos212

13

022

:0:

:

121349

12cossinsincos

0

0000

00

002

00

0

22222

0

=−=−==⋅⋅==

=++

=

=++−

=−+−=→+=↑

=

=+=−−=−=

==

ϕϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕ

&&&&

&&

&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&

Lösung 4.1

W Fdr Fcos dr F kNm kJ

P Fv F kN ms

kW

S

S

= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= = ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅

=

∫ ∫r r r

rr

α α

α

cos s = 10 12

cos v = 10 12

3 3 10 25980 76

3 9 103 6 10

21 65

3

3

3

,

,,

Lösung 4.2

( )ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

coscos2)(

cos)(21cos

)(21cos

0cos

0

20

222

101

2211

−=

+=

==

==+=+

grv

mgrmvmgr

mvTmgrU

TmgrUTUTU

( )

( ) (mgFmgmgvrmF

smgrv

SS 33)(cos3cos2cos)()(

05,61cos2)(

02

0

+=−=−=

=+=

πϕϕϕϕϕ

ϕπ

Lösung 4.3

( ) ( ) glvglvvmglmvmv

UTUTa

360cos12cos121

21

.)

22

22

20

22

20

2211

+=°++=++=

+=+

α

glvglglglvdamitund

glvgl

vhdFistfür

lvamgmaF

N

nnN

243

..,0

0cos:

020

22

22

2

==+=

====

==−−

πϕ

ϕ

mgFmitglvglvzEnergiesatvb N −==== 33:0.) 0202

Lösung 4.4

Energiebilanzen:

022

21)(

21.2

7,89221

21.1

21

2

1

2

1

2

222

22221

211

12

11

1211

211

=−++

=+−

=−=⇒=−

lcc

clmg

clmgl

lcllmglc

scmgll

mcvmvmgllc

µµ

µ

µµ

FN mg

man

mat

ϕ

U=0

l1 l2

(0) (1) (2)

U=0 r

vm2

(2)

mg

FS ϕ ϕ0

(1) ϕ&&mr

cmcclllclc

cmlmglcc

mglc

cmgl

33,621

21.3

29,5121

2

11

*2

2*22

211

2

21

2112

22

==⇒=

=

−

+−±=

µµµ

Lösung 4.5

Impulserhaltung: 12

122211 v

mmvvmvm =⇒=

Energieerhaltung:

+=⇒+=

2

111

222

211

2 121

21

21

mm

cmvwvmvmcw

Lösung 4.6 1. Energiebilanz (Ausgangslage und horizontale Lage (mit U=0):

( ) ( ) ( )

01

22

22210

sin

3

232

33

233

1213

21sin

23

ϕϕ

ϕϕ

+

+

=

+=

++==

+

mM

mM

ag

mMaamamaMJJmMag

&

&

2. Energiebilanz (Ausgangslage und Endlage): für kleine Winkel ϕ2 gilt für die Federwege x1= aϕ2 und x2= 2aϕ2 und sinϕ2 ≈ϕ2<<sinϕ0

( ) ( ) ( ) 021

22122

220

2222

2110

sin4

26421sin

23

sin2

321

21sin

23

ϕϕϕϕϕ

ϕϕ

⋅+

+

≈⇒+=+

+

+−+=

+

cc

mM

agccamMag

mMagxcxcmMag

Lösung 4.7 Energiebilanz: Ausgangslage (U=0) – vertikale Lage – Lage mit maximaler Federzusammen-drückung

( )

22

1maxmax

111

21

21

max12

max2121

21cos2210

cos21

210

clmgl

lgmglml

mgllcmglJ A

=≈=⇒−=

−=−=

ϕϕωω

ϕϕϕ&

Lösung 4.8 Fallhöhe aus Vergleich der Energien ermittelt: Die kinetische Energie des Beiles beim Auftreffen auf den Boden wird mit der kinetischen Energie des Rasenmähers gleichgesetzt.

LDm

blhmDmJlmJ

JJJnJTTT

FeA

FeMAkerAnMMesser

MesserkerAnRMRMRMRMB

⋅=

=

==

+====

4

221

121

221

2

22

2000

πρ

ρ

πωω

Für das Beil gilt:

( ) RMB

RMB

BBBBB

JgmnHnJgHm

gHmvmUvmTTgHmUTUTUT

⋅=⇒=

======+=+

222

200

2000110011

2221

210

210

ππ

Zahlenwerte: mHgcmJgmgm RMAM 689,01085,61074,4283 243 =⇒⋅=⋅== Lösung 4.9

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )2

02

0

*20

*20

*

2

20

20

2

222

02

0

20

2220

tantan20tantan20

tantan221

21tan

21tan

21

tan

21

21

21

210

lblbmgbclbcmgblbcv

rJm

lbcmgblbcv

rvJmvlbcmgblbc

rvbh

lhcmghUJmvTlbcUTUTUT

II

II

IIII

IIII

IIIIIIIIIIIIIIII

−−−==−−−−⇒=

+

−−−−=

++−+=−

==

−+=+=−==+=+

αααα

αα

αα

ϕα

ϕ&

Lösung 4.10

Energiebilanz im Rohr: mclvmvcl =⇒= 0

20

2

21

21

00000:

21

0

34

0102

432

3

211

=⇒==⇒==⇒==⇒==

++−=+−=−=

+===

CyhChyvCvxCxtAB

CtCgtyCgtygy

CtCxCxx

&&

&&&

&&&

EB:

U=0

1

H

mB

mg

x

y

chmgwlh

vwg

vwttvwywxtt EEE 2

0210

22

000 ==−

==⇒===

Zahlenwerte: l = 9,9 cm; v0 = 8,09 m/s

Lösung 4.11 Energiesatz:

2200

2

200000

00

21cos

21cos

21cos

21cos

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕβ

ϕ

β

mvmgrmvmgr

mvTmgrmghU

mvTmgrmghU

TUTU

+=+

===

===

+=+

( ) 200 coscos2)( vgrv +−= ϕβϕ

Kräftegleichgewicht im Punkt 1 in Radiusrichtung:

( )[ ]

grv

vgrrmmg

rvmmg

fürFN

3cos

32cos

coscos2cos)(cos0

0

20

01

20101

12

1

1

+=

+−−=−=

⇒==

ββ

βββββ

βϕ

Zahlenwerte:

;75,3815;62,360:2

;91,4915;19,480:0

10100

10100

°=⇒°=°=⇒°==

°=⇒°=°=⇒°==

ββββ

ββββ

smv

smv

Lösung 4.12 Bewegung auf der Kreisbahn: r = konst.

0sin2 =−− NFmgmr ϕϕ& für 0=== NFωϕαϕ & Ablösen von der Bahn

αωαω sinsin 202

2022 rgv

rvmgmr ===

Schiefer Wurf:

αααα

αααα

coscos)0(sinsin)0(

sinsin)0(coscos)0(:

21

0

030

010

4

2

432

3

211

vCvyvCvx

rCryrCrxAB

CtCgtyCgtygy

CtCxCxx

=⇒=−=⇒−=

=⇒==⇒=

++−=+−=−=

+===

&&

&&&

&&&

x

0 y

β1

β0 h0

1

ϕ

ϕ h

ϕ&&r

2ϕ&rϕ

r ϕ&&mr

2ϕ&mrϕ

r

FN

mg

t=0

x

y

x0

y0

α

mg

v0

αααα sincos21)(cossin)( 0

20 rtvgttyrtvtx +⋅+−=+⋅−=

Bahnkurve (Zeit eliminieren):

( ) ( )

( ) ( )

313,35

31sin

021sin

23sin1

21sincos

21cossinsin

sinsincos

21

sincossin00),0(:

sincos

21cos

sincossin),(

sinsin

coscossin

cos21),(

sincos

20

2222222

3

3

22

3

2

00

2

00

⋅=°=⇒=

=−=−−=−+

⋅−+=⇒=

−−−+=

+−

⋅+

−−=⇒

−=

rgvund

rrrryBedingung

rxrxrrxy

rv

xrvv

xrgxyv

xrt

αα

ααααααα

ααα

αααα

ααα

αααα

αα

ααα

ααα

α

Energiesatz:

( )

( )

+=+

+=++=

++=+

+=+

3211

31

21

311

21sin1

sin1210

20

20

0011

rrrgvrh

mgrmvmgh

UTUT

α

α

Lösung 4.13

Bewegung auf der schiefen Ebene: αα sin221sin 1

21 glvmvmgl =⇒=

ββββ

ββω

ωϕ

cossin0cossin:

0sincos: 2

1

SNNS

NS

FmgFFFmg

FFmrrv

+==−+↓

=−−→

==&

cm

lr

wh

wwhÜberhöhungg

rfürF

FmgFmr

S

SS

6,20

sin21

tan1tansin:tan0

0sincos

sincos

2

*2

**

2**

2

=

+

=

+=====

=⋅+

−−

α

β

ββωβββ

ββ

ββω

1

h 0

U=0

mg β

FS FN

mrω2 r

Lösung 4.14

21313

233

2113311

2112

22

2112211

)(221

21

221

21

vhhgvmvmghmvmghUTUT

vghvmvmvmghUTUT

+−=+=+⇒+=+

+==+⇒+=+

( ) mrsmv

gvhhrr

gvrrrfürF

rvmmgF

rvmmgF

N

NN

917,295,62

0

0:

2

21

31*

23**

23

23

>=+−=>

=⇒==

−==+−↑

Lösung 4.15

cmxcmxcmx

vcm

cmglx

cmgx

mgxcxmglmv

3,1401901

0sin2sin2

sin21sin

21

max2

max2max

21max

2max

max2max

21

==−⋅−

=−−⋅−

−=+

αα

αα

Lösung 4.16

0 – Ausgangszustand (U=0) 1 – Endzustand mS = ql Schwerpunkt des Seiles bei 2l

.

21

2121

2

1

221100

1100

221

22

22210

222100

+

==

+

=⇒−

+=

−=

+====

+=+

dmJ

glmndmJ

glmlgmdmJ

lgmUdmJJmitJTUT

UTUT

S

S

S

SSS

SSgesges

ππϕϕϕ

ϕ

&&&

&

Lösung 4.17 0 – horizontale Lage mit U=0 1 – vertikale Lage

( ) ( )

( ) ( )22112

222

11

221122

21122222

211

112222

2

112222

222

1221121

22111222

211

21100

1100

22

2021

2100

lmlmfürlmlm

lmlmglvlmlmfürlmlm

lmlmglv

Jlmlmg

lvlmlmgJ

glmglmUlmlmJmitJTUT

UTUT

AA

AA

>+

−=>

+−

=

−==⇒=−+

−=+====

+=+

ϕϕ

ϕ

&&

&

rvm

23

3

mg

FN

v3

l xmax

U=0 2

Lösung 4.18

( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

T U T U

c l l mv c l l mgl l l l cm

v cm

l l l l gl

v glcm

l l l lcms

ms

F F

F F

F F

1 1 2 2

12

22

22

2 12 2

22

12

22

2 22

12

012

12

12

25

2

2 148 1 48

+ = +

+ − = + − − = + =

= − − − +

= − − − − = = ,

Lösung 4.19

( )

( )

T U T U J m a

cb J mga J J m a ma

cb ma mgacm

ba

ga s

S

S

1 1 2 22

20 2

20

2 2

2 222

2

2

112

5

0 12

12

1 5 1 5 133

12

136

1 53

139

135 72

1

+ = + =

+ = + = + =

= + =

− =

ω

ω ω

, ,

, ,

( )

( )

0 0 0 0

0 0

0 73 88

2 2

0 0

0 22

0 22

::

: ,

J mr J mr

F mr F

F mg mr F m g r N

S S S S

x S x

y S y S

α α α α

α

ω ω

+ = + = =

→ − = =

↑ − + = = − =

Lösung 4.20

gxgxxL

xL

dtd

mgxmmmmxL

rxxv

rxxrxrxrx

mrJmrJmgxJmvxmJUTL

ZZZ

RZZZZZZR

ZZRRZZZR

1740

4170

43

23

21

22122

21,

21

216

21

21

2

222222

==−=−

+

+++=

=======

==+

+++=−=

&&&&&

&

&&&&&

&&&

∂∂

∂∂

ϕϕϕϕϕ

ϕϕ

S

S 01

2

1,5a

S

F0y

0

mrSα

F0x

mg

mrSω22

JSα

Lösung 4.21

( ) ( )[ ]( )

( )

T m x m x l l U m glcos

L m m x m lx m l m glcos

L m lx m l L m lx m lx m l

Lm lx m glsin

Lx

m m x m l Lx

= + + + = −

= + + + +

= +

= − +

= − −

= + + =

•

12

12

12

12

0

12

22 2

2

1 22

2 22 2

2

2 22

2 2 22

2 2

1 2 2

& & & &

& & & &

&& &

&&& & & &&

& &

&& &

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

∂∂ϕ

ϕ ϕ∂∂ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

∂∂ϕ

ϕ ϕ ϕ

∂∂

ϕ ϕ∂∂

cos sin

cos

cos cos sin

sin

cos

( )

( )

∂∂

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

Lx

m m x m l m l

x l gsin m m x m l m l

&&& && &

&& && && && &

= + + −

+ + = + + − =

•

1 2 2 22

1 2 2 220 0

cos sin

cos cos sin

Lösung 4.22

( )( )

( )αµαµ

µαµααµα

cossin1cossin

0cossin

−=

=−=+−

k

mgkmglklmgmgl

( )

lCvCltvxlxttCtxCtx

CCxxtCtCCtxCCtx

Cgxmgmgxm

22,:21

0,00,0:021

cossin0sincos

11112

21212

1

==⇒=====

==⇒===++=+=

=−==−+

&&

&&

&&&&

αµαααµ

( ) kvonBestzurkxg

vtxtt

vCCvxxt

CtCgtxCgtxgxmgxm

EE .:0:

00:0210

1

1341

432

3

==⇒==

==⇒===

++−=+−=−==+

µ

µµµµ

&

&

&&&&&

m1x, &x

m2

ϕ

ϕ, &ϕ l &ϕ

∇

2 1

k U=0

x

mg FR

FN

x

xm &&

mg FR

FN

xm &&

( ) ( )αµαµαµαµ

cossin21cossin

222*1

* −+−

=+=+=gl

gl

glC

Cltttt E

Schwingungen Lösung 5.1

( ) ( )( )

( )

MgcaMaT

MaMgca

MaMgca

AusschlägekleineaMgcaJ

caFaMgMgaaFJ

MaMaaMaMJ

A

CCA

A

5822

850

85

sin,1cos0sin5cos

sin0sin2sin3cos

83231212

2

2222

+==

+==

++

≈≈⇒=++

==+++

=++=

πωπωϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

&&

&&&&

( )

MgcaMaT

MaMgca

MaMgca

AusschlägekleineaMgcaJ

aMgMgacaJ

A

A

5822

850

85

sin,1cos0sin5cos

0sin2sin3cossin

2

2

−==

−==

−+

≈≈⇒=−+

=−−+

πωπωϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

&&

&&&&

Für Mgca 5≤ ist keine Schwingung möglich.

caMaT

Maca

Maca

MgaaFchtGleichgewiStatischesMgaaFcaJ

AusschlägekleineMgaaFcaJ

aMgMgaaFacaJ

v

vA

vA

vA

8228

08

05:05

sin,1cos0cos5cossincos

0cos2cos3coscossin

2

2

2

πωπωϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

====+

⇒=−=−++

≈≈⇒=−++

=−−++

&&

&&

&&&&

Man erhält Lösung b.) aus a.), wenn man 5Mg durch –5Mg ersetzt, c.) ohne Schwerkraft. Lösung 5.2

T

TTT c

JTJc

JccJ π

ωπωϕϕϕϕ 22000

0 ====+=+ &&&&

ϕ&&AJ

Mg

3Mg

FC ϕ

ϕ&&AJ

Mg

3Mg

FC

ϕ

ϕ&&AJ

Mg 3M

FC ϕ

Fv

ϕ cTϕ

ϕ&&J

Bestimmung von cT: Fall a.): Federn parallel

4

2

2

1

121

2

222

1

111

2121

32dI

lGI

lGIMMMc

GIlM

GIlM

cMMMM

ppp

Tpp

T

πϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ

=+=+

====

==+==

Jld

ld

Gld

ldGcT

+

⋅=⇒

+= 2

42

1

41

02

42

1

41

3232πωπ

Fall b.) Federn hintereinander

+

⋅=⇒

+=

=+

=+

====

====+

42

24

1

10

42

24

1

1

4

2

2

1

1212

222

1

111

2121

132

132

321

dl

dlJ

G

dl

dl

Gc

dI

GIl

GIl

MMcGI

lMGI

lMcMMMM

T

p

pp

Tpp

T

πωπ

πϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ

Lösung 5.3

lEAc

EAFlclcxcFFFederkraft

mcx

mcxcxxm

chtGleichgewistatmgxc

c

v

=⇒⋅=∆⋅=⋅==

==+⇒=+

=−⋅

200

.0

ω&&&&

Lösung der Differentialgleichung:

( ) ( )

kNNlmg

EAvmgF

mcvmgvcmgxxcFtvcmgxxcF

tvtx

vBBvvxAAxtAB

tBtAxtBtAx

S

vSvS

81,491081,491

sin

sin)(

)0(0100)0(0:

cossinsincos

32

2

max

maxmax

=⋅=

+=

⋅+=⋅+=+=⋅+=+=

=

=⇒===⇒⋅===

+−=+=

ωω

ω

ωω

ωω

ωωωωωω

&

&

xv

x cx st. RL

xm &&

Lösung mit Hilfe des Energiesatzes:

( ) ( )

( ) .0.

21

21

21

21

2222

22

21

22

21

DglUTdtdkonstUT

xxmgxxcU

mgxcxUxmTmvT

vv

vv

⇒=+=+

+−+=

−=== &

( ) ( )

( )

mcvmgcxmgFcmvxmgcxxcxmv

xxmgxxcmgxcxmv

Thdxistxxfür

S

v

vvvv

+=+=

==−=−

+−+=−+

===

maxmax

maxmax2max

2

max2

max22

2max

021

21

21

21

21

0..0&

Lösung 5.4

U=0 xv

x st. RL 1

2

ϕ&&21lm

22 ϕ&lm

ϕ&&lm2

FAx

ϕ&&SJ

m2g

m1g

ϕ

FAy

( )

0sin

3121

31

20sin

21

0sin21

41:

0cos21sin

21:

0sin21cos

21:

21

212

21

22

2

121

212

21

212

21

212

2121

=

+

+

+

+=

+

+==

++

=

++

++

=

++

+−←

=

+−

+−+−↑

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

lmm

gmmlmmJ

lmlmJJmitglmmJ

oderglmmlmmJA

lmmlmmF

lmmlmmgmmF

A

SAA

S

Ax

Ay

&&

&&

&&&&

&&&

&&&

( )

( )020

20

200

20

020

2*20

2

20

20

21

2120

20

coscos2cos2cos20

0:0cos2cos21

sinsin

3121

0sin:.

ϕϕωϕϕωϕω

ϕϕϕϕωϕϕωϕ

ϕϕωϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕωϕ

ωϕωϕ

−=−=⇒+=

===+=+−−=

−==⇒===−=

+

+

⋅==+

&

&&&

&&&&&&&&&&

&&

CC

tCC

ddddd

dtd

dd

dtd

mm

mm

lgmitDgl

Damit erhält man die Auflagerreaktionen:

[ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

[ ] ( ) [ ]02021210

2021

022

02121

22

20

2202121

02021

cos1212cos23

21

1cos,sin:

1coscos2cos321

1cossin

sincoscos2cos221

cos2cos3sin21

ϕωϕϕω

ϕϕϕϕ

ϕϕϕω

ϕϕ

ϕϕϕϕω

ϕϕϕω

−

+++=−

+=

⇒≈≈

−−

+++=

−=−

−−

+++=

−

+=

lmmgmmFlmmF

giltWinkelkleinefür

lmmgmmF

mit

lmmgmmF

lmmF

AyAx

Ay

Ay

Ax

Lösung 5.5

Federkonstante der Blattfeder: ( )33233

dbEI

lEIc

+==

Reihenschaltung: ( ) EIdbcEIc

ccccc

33

31

1

21

21

++=

+⋅

=

Unter der Voraussetzung, daß das stat. Gleichgewicht erfüllt ist, gilt: ZB: x = bϕ x1 = (b+d)ϕ

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) c

mbJdb

TmbJdbc

mbJdbc

dbcmbJ

dbcxbxmJM

S

SS

S

SA

2

2

22

2

2

22

1

220

0

0:0

++

==++

==++

+

=+++

=+++⇒=∑

πωπωϕϕ

ϕϕ

ϕ

&&

&&

&&&&

Lösung 5.6

cmT

mc

mccama

mamamamaJJ

aaxaxcJ

SA

A

3230302

32

32

21

61

21

2sin20cos2

222

2222

πωϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

===+=+

=+=+=

≈==⋅⋅+

&&&&

&&

Ermittlung von JA:

( )

2444

0 0 0 0

2222

222

)(

22

32

32

31

31 mabaaab

dxdyydxdyxbbdxdyyxJ

yxlbdxdydmdmlJbam

a a a a

A

mA

==

+=

+=+=

+====

∫ ∫ ∫ ∫∫∫

∫

ρρ

ρρ

ρρ

Lösung 5.7

( ) ( )

( ) ( )

( )

00

31

41

121

21

21

222

2112

11222

2122

21

212

221

2

12221

=+

+=++

−+=

−++=+=

−=−=+=

ϕϕϕϕϕA

A

ASSA

SASS

JlclclclcJ

llllm

llmllmmlJJ

llllllll

&&&&

πω

ωπωω

223 0

0021

22

21

222

211

0

222

2112

0 ==−+

+⋅=

+= fT

lllllclc

mJlclc

A

x

ϕ&&SJ

xm && A

cx1 ϕ

ϕ&&AJA

c . x st. RL

ϕ

x dx

dm dy

y

A l

c2l2ϕ

ϕ&&AJ

A S ϕ

c1l1ϕ lAS

Lösung 5.8

J cr J J mr mr

crJ

cm

cm

fT

cm

T mc

A A S

A

&&

&& &&

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ωωπ π

π

+ = = + =

+ = + =

= = = = =

4 032

40

83

0

2 23 2

1 1 23

32

2 2 2

2

Lösung 5.9

ZB r x r x x xxr

L T U mx J Mx cx

x mJr

M c x J Mr

A A

A A A

AA

:

& & &

&

ϕ ϕ ϕ

ϕ

= = = =

= − = + + −

= + +

− =

212

12

12

12

12

12

12 4

14

12

14

12

1 11

12 2 2 2

12

2 12 2

∂∂

∂∂

ω ω ω ω ω ω ω

ωω

ωω

Lx

Lx

x m M cx x c

m Mx

c

m Mx t Asin t Bcos t x A t B t

AB t x B x v v A A v

x t v t

&&& &&

( ) &

: &

( )

1 11 1 1 1

21 1

1 1 0 00

10

0 38

14

04 3

2

0

4 32

0 0 0

− = +

+ = +

+

=

=+

= + = −

= = = = = =

=

•

cos sin

sin

A

c2rϕ

JA&&ϕ

AxAx1

ϕ

Lösung 5.10

A

B

S

a

b

mg

ϕ

JA &&ϕ

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )2

2

2

222

2222222

222222

22222

22

22

2

2

22

222

222

4

8448

2)(44

44

4mit0

4mit0:rtlinearisie

0sin:Banalog0sin:A

mamgaTJ

lgTTlgTlallgTlgTTa

alalaTalaTgbambTaTmg

mbJmgbTmaJmgaTalblbambJJmaJJmgb

JTJ

mgbJ

mgbmga

JTJ

mgaJ

mgamgbJmgaJ

AS

BA

BBBA

BABA

SB

SA

SBSA

BB

BB

B

AA

AA

A

BA

−=

−+−

⋅=−=−+

+−−=−−−=−

+=+=

−==++=+=

===+

===+

=+=+

π

ππ

ππ

ππ

ππ

πωϕϕ

πωϕϕ

ϕϕϕϕ

&&

&&

&&&&

Lösung 5.11 ( )

gAmT

mgAx

mcx

gAmgxcmgxcxcxm

Fl

FlFl

Fl

FlFlFl

ρπρω

ρ

20

c:tFlüssigkeideranteFederkonst00

20

Fl

00

===+

==−=−++

&&

&&

Lagrange:

( ) ( )

( ) ( ) 00

21

210

00

02

02

=+=−++⇒++−=∂∂

=

∂∂

+++−==∂∂

−

∂∂

xmcxmgxxcxmmgxxc

xL

xmxL

dtdxxmgxxcxmL

xL

xL

dtd

FlFlFl

Fl

&&&&

&&&

&&

Lösung 5.12

sTsm

cxmcxmrJ

cxrJmxcxrrxmJA

rxZB

S

SS

1571,021403220

38

21

0404:

:

2

2

=====+=

=+

+⇒=++

=

ωπω

ϕ

ϕ

&&

&&&&&&

Lösungsansatz:

22

0max2

0

0max00

00

22

16cos

4,0sincos

00:0:cossinsincoscossin

smxxtxx

smxxtxxtxx

AxxBxxtABtBtAxtBtAxtBtAx

==⇒−=

==⇒−==

=⇒==⇒==−−=−=+=

ωωω

ωωωω

ωωωωωωωωωω

&&&&

&&

&&&&

Lösung 5.13 Statisches Gleichgewicht: m1g – cxst = 0

( )

( )

0

00

210

21112

12

2111

122

2

02

20

0:

fTf

mmc

xmm

cxxmgmxxcRxJ

RFRFJSRxxxcFxmgmF

stS

SSS

stSS

==+

=

=+

+⇒=+−++

=−+

=+=−=

πωω

ϕ

ϕ

&&&&&&&&

&&

xm &&

cFlx

x

ϕ

ϕ&&SJ

xm &&

x cx 3cx

FN FR A

S mg

FS1 FS2

S

ϕ

( ) ( )xxgmxxcJxmUTL ststS +++−+=−= 1222

1 21

21

21 ϕ&&

Lösung 5.14

( )

( )

( )1cossin21

0

1cossinsincos

22

−+==

+==

−==∂∂

−

∂∂

−+=⇒+=+

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

mgrmgyU

rmJJJT

UTLLLdtd

ryyrrr

SMM &

&

( )

( )

( )

[ ] [ ]

grlT

lgrmlJ

Jmgr

AusschlägekleinefürrungLinearisieOrdnungDglrenichtlineamgrmrmrJ

mgrmrmgrmrL

mrJLdtdmrJL

mgrmrJL

SS

S

SS

S

3212

1210

,0,1cos1:.2.0cos

cossincossin

2

1cossin21

21

02

20

2

22

2222

2222

22222

2222

πωπωϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

===⇒==+

≈≈⇒<<

=+++

−=−+−=∂∂

++=

∂∂

+=∂∂

−+−+=

&&

&&&&

&&

&&&&&&

&&&

&&

Lösung 5.15

Statisches Gleichgewicht: 0sin =⋅−⋅ rcxrmg stα

( )

( )sm

cxmcxxxcmgmmx

rxmrJrxxcrmgrxmJ

st

SstS

110320

320sin

21

210sin 2

===+⇒=++−

+

===⋅++⋅−+

ωα

ϕαϕ

&&&&

&&&&

S

M

r ϕ

ϕ rϕ

rcosϕ

rϕsinϕ y

xst

mg

cxst x st. RL

mg

ϕ&&SJ

xm &&

xst

c(xst+x) x

st. RL

S P

txtvtx

vAvxxBxxt

tBtAxtBtAx

0000

0

0

0000

000000

cossin)(

:0

sincoscossin

ωωω

ω

ωωωωωω

+=

=⇒==⇒==

−=+=

&

&

sTscmxxtxx

scmxxtxxtxx

AxxBxxtABtBtAxtBtAxtBtAx

628,02100cos

10sincos

00:0:cossinsincoscossin

22

0max2

0

0max00

00

22

====⇒−=

==⇒−==

=⇒==⇒==−−=−=+=

ωπωωω

ωωωω

ωωωωωωωωωω

&&&&

&&

&&&&

( ) ( ) αϕ

ϕ

sin21

21

21

:.21

21

21

222

222

xxmgxxcxmJL

chtGleichgewistdemmitodercxxmJUTL

ststS

S

+−+−+=

−+=−=

&&

&&

Lösung 5.16 Stat. und dyn. Gleichgewicht (Momente um B):

( ) ( )22

221

202

02

2412104

02)(220222

amaamJJca

aacagmJaacagm

BB

B

++==+

⇒=⋅+⋅+⋅−=⋅⋅−⋅

ϕϕ

ϕϕϕϕ

&&

&&

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )

( ) ( )

c

mmT

mm

cammJJca

gamcacaJgamcaL

JLdtdagmacJL

agmacUJTUTLLLdtd

BB

B

BB

B

4

4125

24

125

4412504

0024424

2221

21

2221

210

21

21

02

21

2

2022

202

022

02

022

02

+=

+=

+==+

==−++++−=∂∂

=

∂∂

+++−=

+−+==−==∂∂

−

∂∂

πωϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

&&

&&

&&&

&

&&

ϕ&&BJ

B 2caϕ ϕ

Lösung 5.17

312

2

23

21

23

21

0

312

2

0

312

2

312

2

22

31

2312

22

022

02

2:0

Mgllmgcl

MlmlTMlmlJT

J

Mgllmgcl

J

Mgllmgcl

MgllmgclJM

A

AA

AA

−−

+=+==

−−==

−−+

=−−+=∑

πωπ

ωϕϕ

ϕϕϕϕ

&&

&&

ϕ&&AJ

Mg

mg ϕ

cl2ϕ

cl2ϕ

A

Lösung 5.18

Schnittskizze: Fall a): freie Koord.: ϕ, ψ ZB: lϕ = rψ Fall b): ψ = 0

00:00: 2

=−−=−==++

ϕψϕϕ

&&&&&&

mlFFrFJRadJmitlFcaJHebel

utuS

AtA

cm

camlT

mlcacamlbFall

cm

mrJ

camlT

rlJml

ca

carlJml

rlaFall

lr

Jmlcar

JmlFr

JF

S

S

S

SSt

Su

ππϕϕϕϕψ

ππϕϕ

ϕϕϕψ

ψϕϕψϕψ

42000:)

574120

0:)

0

2

2

2

222

22

2

2

22

2

22

22

2

===+=+=

=+⋅==+

+

=+

+=

=

+++==

&&&&&&

&&

&&&&&&

&&&&&&&&&&

Lösung 5.19 Bewegungsgleichung:

( ) ( )

0

20

0

20

20

1

sinsincos02

2,00

ωδϑϑωω

ϕωωω

ωδ

δω

δδ

=−=

+⋅=+=

=++

⇒===++=++

−− tCetBtAexLösungdermitxxx

mb

mcmitx

mcx

mbxcxxbxm

tt

&&&

&&&&&&

( )

.4096,123,23,23,23,210ln)(

)(ln

)()(ln

21

1122

)()(ln

)()(

2

20

Schwzsb

mzTzTzTtx

txzTtx

txmczzzzT

zTtxtx

enSchwingungderAnzahlzee

ezTtx

tx zTzTt

t

≈=⋅

===⇒≈=+

+⋅

−=⇒

−===

+

−==+ +−

−

δδ

πδϑ

ϑωπδ

ωδπδ

δδ

δ

st. RL

caϕ

Ft

ψ&&SJϕ&&mlFr

Fu

Fa

ϕ

ψ

A

Ft

cx

xm &&xb &

x

Lösung 5.20

Lösung 5.21

2

42

3

222

03

220

2

3

2222

3

433

2

030

3

AAAA

AAersA

ers

Jab

lJEIa

lJEIa

Jba

lJEIa

JbaacbaJ

axlEIc

−=−===

=++=++

==

δωωωδ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕ

&&&&&&

223

223 12

42122

abl

JEIa

JTabl

JEIJa

A

AA

A −⋅

==−⋅

=π

ωπω

Lösung 5.22

clϕ ϕ

FS

xm && xb &

x

sTseZahlenwert

Tbcmm

mittmbtexx

tmb

419,015:

221sin

2cos

1

220

==

=−=

+=

−

−

ω

ωπωω

ωω

( )

ωδ

ωω

ωδ

ϕϕ

ϕϕ

δ

0

00

20

2

0

:0sincos

0204

2020

22

xBx

xAxxttBtAex

xxxxmcx

mbx

clFcllFFxbxm

lxxl

t

SSS

=⇒=

=⇒==+=

=++=++

=⇒=−⋅=++

=⇒=

−

&

&&&&&&

&&&

cersx

xb &

A ϕ

ϕ&&⋅AJc x

mg

ϕ2lc

ϕ&blϕ&&AJ

A

Mg

ϕ2lcϕ

222

20

20

2

2

31

222

02

022

0222

20

MlmlJJ

blMgmgclJl

MgmgclJl

Jbl

MgllmgblllcJM

AAA

AA

AA

+==

++=

=++

=

++++

=+++⋅+=∑

δω

ϕωϕδϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

&&&

&&&

&&&

Lösung der Dgl. für schwache Dämpfung mit den AB. t = 0: lv0,0 == ϕϕ & :

ωπ

δ

δ

ωϕ

ωπϕ

ωπω

δωωωω

ϕ

20maxmax

2

2

4222

00

24

2

32

3

22

422sin)(

−

−

⋅===

=

+

−+

++

=

−

++=−=⋅=

elvTtfür

TmM

bmM

Mmlgc

JlbMgmgcl

Jlt

lvet

AA

t

Lösung 5.23

2

20

2

20

2200

20

2121

102

00

−==−=

⇒−=−===++

=++=++

TAgm

Tmit

mAgxxx

xmAgx

mbxAgxxbxm

Fl

Fl

FlFl

πρ

ϑπωωωϑ

ϑωδωωρωωδ

ρρ

&&&

&&&&&&

Lösung 5.24

xm &&AgxFlρ

x

xb &

ϕ1cl ϕ&1bl

ϕ

ϕ&&AJmg

A

( ) ( )

( )

( )( )222

212

12

1

02

1

0

22

22

10

21

22

12

12

21

21

222

2

00

0

mlJmglclll

JlJb

mlJJJ

mglclJbl

Jmglcl

JblmglclblJ

M

SAA

SAAA

AAA

A

+−===

=+=−

==

=−

++=−++

=∑

ϑϑωδ

ωδϑωδ

ϕϕϕϕϕϕ &&&&&&

Zahlenwert: b = mNs

cmNs 4,145454,1 =

Lösung 5.25

⇒−Ω=Ω+ΩΩ−

ΩΩ−=Ω=

Ω=+

==+=−+

..sinˆ

sinsin

sin)(sin)(:

sinˆ

2202

max20

2max

2maxmax

20

220

22

VerglKoefftJMtt

ttttatzLösungsans

tJM

JcR

JM

JcRMcRJ

ϕωϕ

ϕϕϕϕ

ϕωϕ

ωϕϕϕϕ

&&

&&

&&&&

ϕcR ϕcR

ϕ&&JM

ϕ

005,011

12.)

0067,034

2001

34

115,0.)

005,02001

2ˆ

11

11

2ˆ

11ˆˆ

1

max2

max2

2

222220

max0

2

0

20max

==⇒=−

=⇒=

=⋅=⇒=−

=⇒=

===

−⋅=

−⋅=

−⋅=⇒

Ω==

Ω−

st

st

st

Vb

Va

cRM

cRJJM

JMmit

JM

ϕϕη

η

ϕη

η

ϕ

ηϕ

ηηωϕ

ωη

ωωϕ

stϕϕ max

1

2 η1 0,5

4/3

Lösung 5.26

( )

kgmcmcmmmm

c

cmN

xFccmx

sn

xxFcx

xccxFxxxx

st

stB

stst

3223

1015030102:Forderung2.

28722031030

031030

030031030031

0301

1030030:Forderung1.

111

120

2202

201

21

20

4

max

4max

222202

0

222

2maxmax

2maxmax0

2max20

2

0

20max

=−==+⇒+

=

⋅==⋅±=

===⇒===

⇒±=−

±=⇒±=

−⋅===

−=⇒=

−

−

−

ωωωω

πωω

ηη

η

ηωη

ηω

ωω

ˆ,

,,

,,

,,,,

,,ˆ,

ΩΩ

ΩΩ

Lösung 5.27

2ϕ

( )21 ϕϕ −c

22ϕ&&J11ϕ&&J

M(t)

1ϕ

tF Ωsinˆ x

cx xm && txtxtx

txxtxxAnsatzL

txtmc

cFt

mFx

mcx

ccmmm

st

pp

st

F

Ω=Ω+ΩΩ−

ΩΩ−=Ω=−

Ω=Ω⋅=Ω=+

=+=

sinsinsin

sinsin:.

sinsinˆ

sinˆ

4

20max

20

2max

2maxmax

20

21

ωω

ω

&&

&&

( )( )

tAtAtAtAatzLösungsans

cJtMcJ

ΩΩ−=Ω=

ΩΩ−=Ω=

=−−Ω=−+

sinsinsinsin:

0sinˆ

22222

21111

2122

2111

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

&&&&

&&&&

Lösung 5.28

trbas

btr

as

Ω=⇒Ω

== sinsin1ϕ

Gleichgewicht an der Masse m: ( )

trbatAtA

tAxtAxAnsatzmctr

ba

mcx

mcx

cscxxmsxcxm

pp

Ω−=Ω+ΩΩ−

ΩΩ−=Ω=

=Ω−=+

−=+=++

sinsinsin

sinsin:

sin

0

20

20

2

2

20

ωω

ω

&&

&&

&&&&

0 1

1

V

η

x

1ϕ

tΩ=ϕ

s

st.RL c(x+s)

xm &&

( )( )21

2

max2max2

21

2ˆ1

1sinsin1

1ˆsin

JJcJM

VttJJc

JMtA

+

∆=

−=⇒Ω∆=Ω

−⋅

+=Ω∆−=∆

ϕη

ϕη

ϕ

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

( )( )[ ] ( )[ ]

( )

( )[ ]

( )[ ] ( )21

21021

20210

212021

2000

00

212

21

212

212

212

22

212

212

221

1

21

22

222

1

212

21222

22

122

21

2

12

2

21

1222

2

2112

1

0,Drehung)(starre0

0für0aus2

ˆ:AmplitudeRel.

ˆˆ

ˆ0

ˆˆ0

ˆ

0

ˆ0

ˆ

JJJJcJJcJJ

JJcJJDf

JJcJJJMAAA

JJcJJcM

DDA

JJcJJJcM

DDA

cMc

MJcDJcMJccMD

JJcJJcJcJcJcccJc

D

MAA

JcccJc

cAcAAJ

McAcAAJ

+=⇒=+−=

=+−=Ω==

+−Ω=∆=−−

+−ΩΩ==

+−ΩΩΩ−

==

=−

Ω−=Ω−=

Ω−−

=

+−ΩΩ=−Ω−⋅Ω−=Ω−−

−Ω−=

=⋅Ω−−

−Ω−⇒=−+Ω−

=−+Ω−

ωωω

ωωωωπ

ω

( ) 1212

21222

211 :Koor.gen.

21

21

21auch ϕϕϕϕϕϕϕ ⋅=−−+=−= )(, * tMWcJJUTL &&

( ) tJM

JJJJc

Ω∆∆∆∆ sinˆ

121

212121mit =

++⇒−=−= ϕϕϕϕϕϕϕϕ &&&&&&&&

( )

)(8649,016,1833

)(5023,027,318,97

21141121

62,4

)(078,157,1423,21

708,152min150

4112

0

11

:.

1

033

13033

022

12022

22

3,22

101

011

11011

11

2

)2(,12

22

2

2

0

0max2

20

20

2

schunterkritismc

cmNc

schunterkritismc

cmNc

gr

rmg

bgar

rmg

abcr

ba

cmg

cmc

mgx

chüberkritissmc

cmNc

snn

bgar

rmg

abc

rgm

abc

rmg

abc

ccm

rmg

abcr

ba

cmg

cmgxAuslenkungstat

mitxrbaAr

baA

=Ω

===⇒=

=Ω

===⇒=

Ω−±=

Ω−±⋅=⇒

−⋅−=

==

=Ω

===⇒=

==Ω⇒=

Ω+±⋅−==Ω⋅−⋅⋅+

⇒⋅

−

Ω⋅=⇒

−⋅+=

=

Ω=±=

−⋅=⇒−=+Ω−

−

−

−

−−

ωηω

ωηω

η

ωηω

π

η

ωη

ηωω

x02 = 1,003 cm x03 = 2,973 cm

Lösung 5.29

tAtAAnsatzmcts

mlc

mc

mlJltslcJ

pp ΩΩ−=Ω=

=Ω=+

==⋅

−+

sinsin:21sinˆ

24

02

)(2

2

0

200

ϕϕ

ωϕϕ

ϕϕ

&&

&&

&&

( )t

lstt

ls

mlscAts

mlctAtA

Ω−

⋅=Ω=

=−

⋅=Ω−

=⇒Ω=Ω+ΩΩ−

sin1

1ˆ2sin)(

11ˆ2

2ˆsinˆ

2sinsin

2max

max2220

20

2

ηϕϕ

ϕηω

ω

Lösung 5.30

Federzahl einer Blattfeder: 33lEIc = , cers = 2c

220

2220

2

2

30

2

3

32

11ˆ

sinsin:

6sin6

6sin

ηωω

ω

−Ω

==⇒Ω

=+Ω−

ΩΩ−=Ω=

=ΩΩ

=+

=ΩΩ=+

mrmxA

mrmAA

tAxtAxAnsatzmlEIt

mrmx

mlEIx

lEIctrmxcxm

AA

pp

A

ersAers

&&

&&

&&

007,195,1559929,02,158

8188846608,157ˆ6

62ˆˆ

ˆ1

1ˆ

21

211

01

42

41

123

2,1

32

22

1

22

2

2

20

2

2

=⇒==⇒=

⇒===Ω

±

Ω=

==Ω

−Ω=

+Ω=

⇒Ω

=Ω−⇒Ω−

Ω=

Ω−

Ω=

−−

−

ηωηω

π

ω

ss

cmIcmIsx

rmmE

lI

lEIcn

xrmmc

xrmmc

xrmmc

mcrm

crmx

A

ersA

ersA

ers

Aers

ers

A

ers

A

0

− )(

2tslc ϕ

tsts Ω= sinˆ)(

ϕ&&0Jϕ

xm &&

tΩ

st.RL x

cersx mArΩ2

η2

V

η η1 1

2

2

220

2

1ˆ

ηη

ω −=

Ω−Ω

= Vrmmx A

Lösung 5.31 ( )

222

20

20

2

2

20

111

0

ηηη

ωω

ω

−=

−=

−=

=+−

−==

==+

=+=−+

sxtstxsA

tstAtA

tAxtAxAnsatzmcts

mcx

mcx

cscxxmsxcxm

pp

ˆˆsinˆ)(ˆ

sinˆsinsin

sinsin:

sinˆ

Ω

ΩΩΩΩ

ΩΩΩ

Ω

&&

&&

&&&&

mmxsf

smc

cmNc

err 3276124570081572

101010001

21

12101

,ˆ,.

.

====

==⇒=

−

−

ηπ

ω

Ω

( )

NFNF

mgscmgsscmgsAcF

cmNmc

mcsssx

cc

c

03,1857,421

ˆˆ1

ˆˆ.3

68,612

2231

1ˆ

3ˆ

3ˆˆ.2

2max1max

2

2

2max

2

2

22

20

0

22

==

+

−

=+

−

−=+−=

=

Ω=

=

Ω

=⇒Ω

===−−

=⇒=

ηη

η

ωω

ηηη

Lösung 5.32

( ) xcF

mFx

tmFtxtx

txxtxxAnsatzL

tmFx

mcx

pp

ˆ1

1ˆˆ

sinˆ

sinsin

sinsin:

sinˆ

2220

max

max20

2max

2maxmax

=−

=Ω−

=

Ω=Ω+ΩΩ−

ΩΩ−=Ω=−

Ω=+

ηω

ω

&&

&&

NFNFFcmit

NFNxcFcmit

cmN

FFmc

mc

FF

FF

FmgFtFcxF

cmx

ssnscmNc

Funddyn

Funddyn

dyn

dyn

dyndynFunddyn

6,1105,12ˆ81:

8,3588,260ˆ:.3

1074,21

ˆ,

ˆ11

11

ˆsin1

ˆ.2

0652,0ˆ

6169,010467,21572104104.1

max

1max1

2

max

220

0max

2

2max

.2

224212420

31

=⇒==

=⇒==

⋅=

+

Ω=⇒=

Ω==−>

−=

+=Ω

−==

=

=⋅=Ω==Ω⋅=⇒⋅= −−−

ωω

ηηη

ηη

ηπω

s(t)

x

c(x-s)

xm && st.RL

tF Ωsinˆ x

cx xm &&

Lösung 5.33

( )

tsmbtsx

mcx

mbx

tsmcy

mcy

mbyy-scybym

mxmy

syxsxysxysxylEIc

ΩΩΩΩ

oderΩ0

MassederegungRelativbewMassederegungAbsolutbew

3

2

3

cosˆsinˆ

sinˆ

−=++

⋅=++=++

−−

−=+=+=+==

&&&

&&&&&&

&&&&&&&&&

Ansatz für die partikuläre Lösung:

tBtAxtBtAxtBtAx ΩΩ−ΩΩ−=ΩΩ−ΩΩ=Ω+Ω= cossinsincoscossin 22&&& in die Dgl. eingesetzt und Koeffizientenvergleich:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )22*22222

2222

*22*

22222222

222

00

20

222

412tan441

41ˆ

tansincossin)(

411ˆ2

4141sA

folgt2

ˆˆ

ϑηηϑϕϑϑηη

ϑηηη

ϕϕ

ϑηηϑη

ϑηη

ϑηη

ϑωδη

ωδω

−−=+−−

+−=

−=+=−Ω=Ω+Ω=

+−−=

+−

−−=

==Ω

==

Ω−=

Ω−+ΩΩ=Ω−

Ω−

sC

ABBACmittCtBtAtx

sB

mb

mcmit

smb

mcBA

mbundsB

mb

mcA

ϕ* ist der Phasenwinkel zwischen s und x.

s

x y

st.RL

cx

ym && yb &

Lösung 5.34

( )

21

21220 2

1

sinˆ0

cccccMRJ

Jc

mittJ

cJccJ

+===

Ω=+=−+

ω

ϕϕϕϕϕϕ &&&&

( ) ( )

22

220

20

22

242

41

42

41

042

41

42

41

42

2

41

1

11

ˆˆ

sinˆsin1

1ˆ

1ˆˆsinsin

16323232

ηϕϕ

ϕη

ϕϕ

ωη

ηϕϕωωϕϕ

πωπππ

−==Ω=Ω

−=

Ω=

−==+Ω−⇒ΩΩ−=Ω=

+=

+⋅=⇒==

ppp

pp

Vtt

AAAtAtA

MRdddd

lG

dddd

lGc

ldGc

ldGc

&&

Zahlenwerte: 723,0)(544,139,32 1

0 === − ηηω Vs

ϕtΩ= sinϕϕ

( )ϕϕ −c ϕ&&J

V

1

1 η

Lösung 5.35

tQxxxtmFx

mcx

mbx

tFcxxbxm

Ω=++Ω=++

=++

sin2sinˆ

)(

20ωδ&&&&&&

&&&

Partikuläre Lösung:

( )( )0

222220

sin41

1)( ϕηϑηω

−Ω+−

= tQtx

( )( )

cmb

mc

bcmFx

mcm

bmb

mitcFxund

dxdschlagMaximalaus

xcFxmittxtx

41

ˆˆ

22

121ˆ

ˆ210ˆ:

)(ˆ41

1ˆˆsinˆ)(

2max00

2max2*

22220

−

==⇒=Ω

==

−⋅=−=⇒=

=+−

⋅=−Ω=

ϑδω

ηωδϑ

ϑϑϑη

η

ηηϑη

ϕ

Aufgelöst nach c: 10

2

22max

2

02,4031,3204ˆ

ˆ−=⇒=+= s

cmN

mb

bxFmc ω

1201

0

12* 98,392121 −=−=Ω⇒Ω

=−= sϑωω

ϑη

Lösung 5.36

xm &&

st.RL

cx

F(t) x

xb &

ϕ2lc

ϕ2lcϕ&&AJ

ϕ&bl

M(t)

mg

Mg

A

+=+=Ω=++

Ω=

++

++

=+++

+

mMlmlMlJtQ

tJM

J

Mgmglcl

Jbl

tMblMgllmglcJ

A

AAA

A

31

31sin2

sinˆ2

12

)(22

2

22220

2

22

ϕωϕδϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

&&&

&&&

&&&

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) 0

2

22222222220

0022222

000

20022222

0

24121

21

ˆ

41

ˆˆ

sinˆsin41

ˆ

12arctansin

41

1

ωϑ

ηϑηηϑηωϕ

ϕϕϕηϑηω

ϕω

ηωδϑ

ηϑηϕϕ

ηϑηωϕ

AA

A

p

p

Jbl

Mglmglcl

M

J

M

ttJ

M

tQ

=+−

++

=+−

=

−Ω=−Ω+−

=Ω

==

−=−Ω

+−⋅=

Lösung 5.37 Mit Hilfe der Einflußzahlen gilt:

1112121111

1212221212

1112121111

MFFMFFy

MFFy

βδδϕγααγαα

++=++=++=

111222111 ϕ&&&&&& JMymFymF −=−=−= Ansatz für die harmonische Schwingung:

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )[ ] ( )( )

( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) 212

2221122112

122211

22,1

21

212221121

2

212221121

222111212221121

22211122,1

212221121

2212221121

2221114

22211122

122211214

2112

2121

2212

2222

21112

2222

121

2212

2111

1

2111

2212

2111

2121

2222

2121

2111

2212

2111

21113

22122

21111

21213

22222

21211

21113

22122

21111

23131

22222

21111

42

1

122

0101

1101

1

:folgt0Für

01

11

:nantetendetermiKoeffizien010101

:eingesetztsinsinsinsinsinsin

αααααααα

ω

αααααααα

αααααω

αααω

αααααω

ααωαααω

αα

ωαωαωαωαωαωα

ωαωα

ωβωδωδωγωαωαωγωαωα

ωβωδωδ

ωγωαωα

ωγωαωα

ωωϕωϕ

ωωωωωω

+−±+−

=

==

−−

−+

±−

+=

=−

+−

+−

=++−−

=

−−−==−

−

=

=−

−−

=−++

=+−+

=++−

−==

−==−==

m

mmm

mmmmmm

mmmm

mmmmmm

mmmm

mmmmmm

mm

J

JmmJmmJmm

JAmAmAJAmAmAJAmAmA

tAtAtAytAytAytAy

&&&&&&

Einflußzahlen: EIa

EIa

EIa

46

3

12

3

22

3

11 −=== ααα

( )

32322

313213

22,1

2039,32648,10

9670,09352,034754

maEI

maEI

maEI

maEI

maEI

==

===

ωω

ωωω ∓

277,02648,10

6128,39352,01

1

23

22

1

23

212

212

2111

1

2

=⇒=

−=⇒=−

−=

AA

maEI

AA

maEI

mm

AA

ω

ωωα

ωα

1 2

F1 F2

M1

Lösung 5.38

Erregerkraft: ( ) )(2cosˆ21ˆ

212cos1

21ˆcosˆ)( 2 tFFtFFtFtFtF dynsta +=Ω+=Ω+⋅=Ω= Statischer

Anteil:

++===

+−−

−=⇒=−+

=−−+

la

cF

cmgvy

laFmgyc

GlinlaFycyclyclycaF

Fmgycyc

Asta 14

ˆ2

012ˆ

2

)1(.2ˆ

)2(02ˆ

)1(02ˆ

22222

22112211

2211

Dynamischer Anteil:

( ) ( )

( ) ( )

eingesetzttAtAtAytAy

ätzeLösungsans

taFllycllycJ

tFlyclycym

S

ΩΩ−=Ω=

ΩΩ−=Ω=

Ω=−−++

Ω=++−+

2cos42cos2cos42cos

:

2cos2ˆ

2cos2ˆ

222

211

12

21

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

&&&&

&&

&&

aF2ˆ

2F

S

mg c1y1 c2y2

A

ym &&

taF Ω2cos2ˆtF

Ω2cos2ˆ

y

A

ϕ

c1(y-lϕ) c2(y+lϕ)

ϕ&&SJ

A1

A2=-3.63,61A1

A1 A2=0,276A

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )

( ) AdynAstaAgesAdyn

SS

SS

S

S

S

vvvtlAAlyvlJmcc

lmJcc

lam

lac

lacF

DDlA

lJmcc

lmJcc

lJ

lac

lacF

DDA

laF

lAA

lJcccc

ccmcc

oderlaF

lJcclAccAundFcclAmccA

+=Ω+=+=

+Ω+−

Ω+

Ω−

−−

+

==

+Ω+−

Ω+

Ω

−

−+

+

==

⋅=⋅

Ω−+−

−Ω−+

=

Ω−++−=−+Ω−+

2cos

44

4112ˆ

44

4112ˆ

1

2ˆ

4

4

2ˆ

42ˆ

4

21

22

212

4

21

221

22

22

212

4

21

2

2

211

1

2

1

2

2

2112

122

21

2

2

2121211222

211

ϕ

Für c1 = c2 = c entkoppeln sich die Bewegungsgleichungen.

−+

−+++=

=+=+

t

clJla

cmF

mgla

cFv

taFclJundtFcyym

SAges

S

ΩΩΩ

ΩΩ

22121

1214

erhältmanund22

222

2

2

22

2

cosˆˆ

cosˆ

cosˆ

ϕϕ&&&&

Lösung 5.39

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

tBtBtAxtAxrccrxccJ

rccxccxmoderrrxcrrxcJ

rxcrxcxm

S

S

ωωϕωϕωωω

ϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕ

sinsinsinsin0

00

0

22

21212

1212

12

21

−==−==

=++−+

=−+++=−−++

=++−+

&&&&&&

&&&&

&&

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( )( )( )

( )( )( ) ( )

++−

++=

=+++

−

⇒=−−++−⋅++−

=++−−

−++−

⇒==⋅++−−

−++−

22221

2122

2122,1

212

22

214

212

221

2221

2

2122

12

12212

2122

12

12212

16112

040

0

0DetGlsyst.hom.0

mrJccmJccr

mJmrJcc

mJccr

mJmrJcc

ccrccrJccm

ccrJccrccrccm

DBA

ccrJccrccrccm

S

S

S

S

SS

S

S

S

S

∓ω

ωω

ωω

ωω

ωω

Speziell: mc

mc

mc

mc 56,256,1

9171

29

816411

29

212

2,1 ==⇒

=

−= ωωω ∓∓

Lösung 5.40

( )

10max121

1021max

2111010

00

111111

21

2121

2

)()(sin)(cos)(:00:0:

sincoscossin

000

ωωω

ωωωω

ωωωωωω

ω

xxmc

mccxx

txtxtxtxtxtxAxxBxxtAB

tBtAxtBtAx

xxxm

ccxxccxm

==+

==

−=−==⇒

=⇒==⇒==−=+=

=+=+

+=++

&&&

&&&&

&

&&&&&&

101011

1111101 2sin)(

220cos0 ωπω

ωππωω xxtxundtttxxtt −=−==⇒==⇒== &

Bewegung in Richtung x*:

tDtCxmcx

mcxxcxm 22

*12

*1**1

* cossin00 ωωω +===+=+ &&&&

Neue Zeitzählung:

ϕ&&SJ

xm &&st.RL

x

ϕ

c2(x+rϕ) c1(x-rϕ)

c2x

*xm &&

xm &&c1x x*

c1x*

( )

21

0*max2

10max

10max

1112121

210*max

22222210

*

2210*

210*

22

10

*

2

101021

**

202404632,02

149,02

32111

21

220cos0:

sin)(cos)(sin)(

)(00:0

sm

mcxx

sm

mcxx

sm

mcxx

scm

cm

cmTTT

xxtttxxEndelinkes

txtxtxtxtxtx

xCxCtxxDxt

−=−=−=−=−=−=

==

+=

+=+=

−====⇒=

−===

==⇒−==⇒==

&&&&&

&&&

&&&

&&

ππωω

π

ωωωππωωω

ωωωωωωωω

ωωωω

Lösung 5.41

( )( )

( )

31cos4cosˆ

31cos

34ˆcoscos143ˆcos3

cos14ˆcos33

72,1132

3422

22 212

21

121

−=

−=−−=

⇒−==−=

=+=

====+=

αϕ

αϕαϕ

αϕ

π

ωωωπ

ωπ

arc

lll

lhlhlygl

glT

lg

lgTTTTT

Lösung 5.42

( )( )

( ) ( ) 00sinsinsin:

00

22

221112112

11

22211

2221122

21111

=−++−=−−

−===

=+−−=−+

AJccAcAcAJctAtAtAAnsatz

ccJcJ

ii

ωω

ωωϕωϕωϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

&&&&&&

Ein homogenes Gleichungssystem hat nichttriviale Lösungen, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet.

h

l

4l 3l α

ϕy

22ϕ&&J 11ϕ&&J

c2ϕ2

ϕ1 ϕ2

c1(ϕ1-ϕ2)

( )( ) ( )( )

( )

Jc

Jc

Jc

Jc

Jc

JJJcccJJcc

JJcJccJ

cJccJcJccc

cJc

62,2382,09411

2303

folgtundmit0

oder00

22

21

22,12

224

212121

212

21

122114

21

2221

2112

2211

12

11

==

−==+−

=====+++

−

=−−+−⇒=−+−

−−

ωωωωω

ωω

ωωω

ω

∓

Schwingformen:

Aus der ersten Gleichung des Gleichungssystems folgt: cJ

AA 2

1

2 1 ω−=

62,1:618,0:1

222

2

1

221

2 −====AA

AA ωωωω

Lösung 5.43

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]2

2322

121233

222

211

2232

2121

233

222

211

21

21

21

21

3,2,10

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕ

−+−−++=

−+−=++=

−=

==∂∂

−

∂∂

ccJJJL

ccUJJJT

UTL

iLLdtd

ii

&&&

&&&

&

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 000 232332321212212111

2323

2321212

1211

333

222

111

=−+=−−−+=−−

−−=∂∂

−+−−=∂∂

−=∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=

∂∂

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

cJccJcJ

cLccLcL

JLdtdJL

dtdJL

dtd

&&&&&&

&&&

&&&

&&&

Eigenfrequenzen:

( )( )

( )

321

32121

2

3

2

2

21

1

1

3

2

2

21

1

122,1

23

2

321

32121

4

3

2

2

21

1

16

2322

22

2211

12

11

321

41

210

0

0)det(00

0

:

JJJJJJcc

Jc

Jcc

Jc

Jc

Jcc

Jc

JJJJJJcc

Jc

Jcc

Jc

ACBA

JcccJccc

cJc

CeBeAeAnsatz tititi

++−

+

++

+

++==

=++

+

+

++−

⇒==⋅−−−−+−

−−

===

∓ωω

ωωω

ωω

ω

ϕϕϕ ωωω

Bewegungsformen:

1 1 0,618 -1,62

Grundschwingung Oberschwingung

ϕ3 ϕ2 ϕ1

Amplitudenverhältnisse:

tAAtAtAtAtAtAAtAtAtAtA

tAAtAtAtAtA

undicJ

cJ

cJ

AC

cJ

AB

iiii

iii

i

652422321211113

652422321211112

65242312111

2

12

2

22

1

12

1

12

cossincossincossincossin

cossincossin

3,2,1111

+++++=+++++=

+++++=

=−

−

−=

=−=

=

ωγωγωγωγϕωβωβωβωβϕ

ωωωωϕ

ωωωγωβ

Zahlenbeispiel: Mit ccccJJJJJ 422 21321 ==∞⇒== folgt

tAtAtAtA

tAtAtAtAtAA

Jc

Jc

242312112

242312111

653

33212123

22

21

21

21

folgt0wegenund

10012104

ωωωωϕ

ωωωωϕϕ

γβγγββωωω

cossincossin

cossincossin

−−+=

+++=

+==

====−=====

Für Schwingungen in der Grundschwingungsform mit ω1 gilt:

0)0(21)0(cos

21)(cos)(

00)0()0(:0:00

202102101

102101

43

==⇒==

==⇒=====

ϕϕϕωϕϕωϕϕ

ϕϕϕϕ

&

&

tttt

AAtABAA

Stoßvorgänge Lösung 6.1

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

Impulserh .

. *

m v m v m m v v m v m vm m

Energies T U W T U I unmittelba r nach dem Stoß II am Ende

m m v F s F F F m m g

m v m vm m

gs m v m m v v m v m m gs

v mm

v v mm

I II

R R N N

1 1 2 2 1 21 1 2 2

1 2

1 22

1 2

1 1 2 22

1 22 1

212

1 2 1 2 22

22

1 22

12 2

12 1

2

1

12

0

12

0 2 2 0

2

− = + =−+

+ + = + − −

+ − ⋅ = = = +

−

+− = − + − + =

−

⋅ +

µ

µ µ

−+

= =

± +

2

22 1 2

1

2

12

12

2

1

2

2 0 2 11 2

v m mm

gs v mm

v mm

gsµ µ,

Lösung 6.2

( )

( )

( )( )

( )

m v m m v v mm m

v nach Stoß

F F F m g F m g

F c x x Fc

m gc

x m gc

Energiebil anz m m v cx

mm m

vm gc

vm gm

m mc

c H N H

cc

1 1 1 21

1 21

3 0 3

0 3 0 3

1 22 2

12

1 212 0 3

2

10 3

1

1 2

0 0

12

12

12

12

= + =+

→ − = ↑ − = ≤

= ⋅ = ≤ =

+ =

+=

=+

: :

:

max

max

µ

µ µ

µ

µ

Lösung 6.3

( )

Imp .: (*)

: (**)

(*) (**): (***)

m v m v m v vm v m v

mv

mm

v

Energie m v m v m v v v mm

v

in mm

v v mm

v mm

v mm m

v

1 0 2 2 1 1 11 0 2 2

10

2

12

1 02

1 12

2 22

02

12 2

122

2

10 2

2

122 2

12

1

1 20

12

12

12

2 1 0 2

= + =−

= −

= + = +

− +

= =

+

m3Fc

m3g

FN

FH

( )

:

:

***

F m vl

m gcos F m vl

m gcos

F F F für F m vl

m g

v l Fm

g v m mm

l Fm

g

S S

S Smax Smax Smax

Smax Smax

− − = = +

> = = +

= −

= >

+−

222

2 222

2

222

2

22

2

20

1 2

1 2

0

0

2

ϕ ϕ

ϕReißen

Lösung 6.4

( ) ( ) ( )

( )

Energie m gh m v v gh v

m v m m c m c k c cv v

c cv

kv c c

m v m c m kv c v m km c m m c m kmm m

v v

c gh c kv c v k gh

:

:

,

, , ,

1 1 1 12

1 1 2

1 1 2 1 1 2 22 1

1 2

2 1

11 2 1

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 11 2

1 21 1

1 1 2 1 1 1 1

12

2 0

0

0 2

0 2 2 0 2 0 6 2

= = =

+ ⋅ = + =−−

=−

= −

= + + − = + =−+

= −

= − = + = − =

Impuls

Energiebil anz für m m c m gh

h cg

h

1 1 12

1 2

212

1

12

20 04

:

,

=

= =

Lösung 6.5

( ) ( )

Energie m v m gs m v v v gs v Aufprallge schw

Stoß m v m c m c und k c cv

oder c c kv

m v k c m m v

mmk

c

Energie m c m gs c gs

Eliminatio n von c und v

v v gs

mmk

: .

:

:

:

12

12

2

11

112

0 2

21

1

1 02

1 1 1 1 12

12

02

1 1 1

1 1 1 1 2 22 1

11 2 1

1 1 2 1 2 1

2

12

2 22

2 2 2 22

2 2

2 1

02

12

1 1

2

1

− = = − −

= + =−

= −

+ = + =+

+

− = =

= + =+

+

µ µ

µ µ

µ

⋅ + = = =

2

2 2 1 1

2

2 02 2 429 19 20 7 74 58µ µgs gsms

vms

kmh

, , ,

m2g

FS

ϕ

m l2 &&ϕ

mvl222

c1

1

2h2 ∇

Lösung 6.6

( )( )

Impuls cos = m cos

sin m sin

mcos

tan = sincos

1

1

1

: :

:

. .:

.:

→ + + ⋅

↑ = + ⋅

+ =+

+ +

+

m v m v m c

m v m c

quadr add cm

m v m m v v m v

div m vm v m v

1 1 2 2 2

2 2 2

212

12

1 2 1 2 22

22

2 2

1 1 2 2

12

α β

α β

α

βα

α

( )

( ) ( )

( ) πα

α

α

=

−++

=

+++

−+=

+−+=

ammenstoßFrontalzusfür

cos22

cos2121

21

21

21:lustEnergiever

2122

21

21

21

22

222121

21

21

21

222

211

221

222

211

maxT

vvvvmm

mm

vmvvmmvmmm

vmvm

cmmvmvmT

∆

∆

Lösung 6.7

Auftreffgeschwindigkeit: v gh1 02=

Stoßbed k cv

c kv k gh.: = − = − = −1

11 1 02

Neue Steighöhe (Energiesatz): 12 21 1

21 1 1

12

20m c m gh h

cg

k h= = =

allgemein: h k h h k h k h k h k hh

k hhi i n n n

n n n nn= = = = ⋅ = =− − −

21

21

42

20

2

0 0

2

Lösung 6.8

Impuls und Drehimpuls:

( )

m v p m c p m c p b J

m v m c m c m c Jb

J m l

c c b k c cv

v c c

c cb

c v c

m c Jb

v c c

S S

S S S S

B SB

B

B SB

SS

S

1 1 1 1 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 22

22

2 2 21 2

11 2 1

22 2

2 1 1

2 2 2 1 1 2

1 2 112

3 1 4

3 4

2

− = = ⋅ =

− = = =

= + = = −−

= −

=−

= +

= + −

ω

ω

ω

ω

( ) ( )

( ) ( )

( ' ) ( ' )

( ')

m1

m2

m1 + m2

cv1

v2

αβ

m1

m2→ ∞ v2 = c2 =0

h0 hi

hn

PP

Sm1

v1 ,c1

cS2

B

ω2

b

( )

( )

c m bJ

v c c v cm b

J

v cbl

v c

m v m v c m c c m m v m m

c vm m

m mv v c v c v

aus

SS

S

S

S

22

2

1 1 21 1

22

1 12 1 1

1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2

1 1

1 2

1 2

1 1 1 1 2 1

11 1 12

47

1 47

47

47

4747

1 87

1 87

115

115

815

2

+

= + =

+

+

=+

+

= +

− + = +

= −

=−

+=

−

+= − = − =

( ')

( ) ω ω22

2

2

22

11

21

14

112

815

85

85

= = ⋅ = =bmJ

cm l

m lv v

lvlS

S

Auch Energiesatz: 12

12

12

121 1

21 1

22 2

2 2m v m c m c JS S= + + ω

Lösung 6.9

( )

3322

2

21

1222111

121112211

2:StoßrPlastische

221

UTUTgmcx

ghmm

mvvmmvm

ghvvmghmUTUT

v

+=+

=

+=+=

==⇒+=+

( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )21

1211max

21

1

21

21

211

2,1

221

212112

122

221

21222

221

21

2112

02221

21

21

21

21

mmgch

cgm

cgmmxxx

mmgch

cgm

cmmghm

cgm

cgmx

ghmm

mc

mmxc

gmx

gxmcxvmm

gxmmxxccxvmm

v

vv

+++

+=+=

++±=

++

±=

=+

⋅+

−−

−=+

+−+=++

Zahlenwerte: xv = 0,613cm xmax = 19,92cm

3

xmax

1

2 0 h

x

xv

Lösung 6.10

( ) ( )

( ) ( )

Energie c l m g a l m v v c lm

g a l

elast Stoß m v m c m c kc c

vc c v

m v m m c c m vm m

:

. :

12

12

2

1

2 2

21 1 1

21

2

1

1 1 1 1 2 22 1

11 2 1

1 1 1 2 2 21 1

1 2

∆ ∆∆

∆− + = = − +

= + = =−

= −

= + =+

µ µ

( )( )

( )

( )

12

12

2

4 4 2

2 2 0

1 1 2

2 22

2 2 2 22

2

22 1

2

1 22

2

1

2 1 1 1 22

1

1

1

1 22

13 2

m c m gh m gh m c m gh

c gh mm m

c lm

g a l

l gmc

l gmc

am m

mghc

l m gc

acm g

m m hcm g

− = =

= =+

− +

− − −+

=

= + + ++

∆∆

∆ ∆

∆

µ

µ µ

µµ µmin

Lösung 6.11

( )

21

222

2

2

12

1222

1

1

12

112211

2211

2221

21

211

21

Stoß2.

323

21

21

131

31

31

ϕψϕϕ

ϕψ

ϕ

ϕ

&&&&

&&

&

&

kll

vv

lllk

mMmM

lg

glmJglmM

UTUT

lmJmMllmMlJ

rel

A

BA

−==−

=

++

⋅=

+=+

+=+

=

+=+=

*****

:

.

Impuls:

0

0

*2

2

12

*2

1

22

*2

2

1*22

2

*2

2*21

*22

=−+−⇒=−

−=⇒+=−=

ψϕψϕψϕϕ

ψψϕϕ

&&&&&&&

&&&&

llJkJ

llJJ

llJJJ

lJPPlJPlJJ

BAAABAA

BBAA

( ) ( ) ( )

( ) 222

2*2223322

1

1

1

1

2

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2*2

21cos2

21

21

21

323

31

111

** ψψψ

ϕϕψ

&&

&&&

BB

A

BBA

A

JglmJglmUTUT

mMmM

lg

mMm

llk

ll

JJ

ll

k

llJ

llJ

kJ

+−−=+−⇒+=+

++

⋅

+

+

+=⋅

+

+=

+

+=

c2

0 0

A 1

2 3

ϕ

ψ

2*

P P

ψ

ϕ

( ) ( )

( ) ( )

( )2

1

211

2

2

11

2

22

2*2180

2

2*2

222*2

313

21366

cos13cos1

+

++

++

+=+=

−+=−+=

°

mMmmMl

llmMgk

lg

lg

lg

JglmB

ψψ

ψψψψψ

&&

&&&

Dreidimensionale Bewegung des Starren Körpers Lösung 7.1

( )

J ml ml m l l ml

J ml ml m l l m l ml

J ml ml ml m l l ml

J m l l l ml

J m

xxA

yyA

zzA

xyA

yzA

( )

( )

( )

( )

( )

= + + +

=

= + + +

+ =

= + + + +

=

= − ⋅ + ⋅ + ⋅

= −

= − ⋅ + ⋅ −

13

112 2

53

13

112 2

2 113

13

112 2

83

12

0 02

12

0 0 0 12

2 2 22

2

2 2 22

2 2

2 2 2 22

2

2

( )

( )

+ ⋅ −

=

= − + −

⋅ + − ⋅

=

=−

−

= = + × = ⋅ =

=

−

=−

=

l l ml

J m l l l ml

J ml ddt

J J

J

zxA

A A A A A A

A A

212

0 12

32

6

10 3 93 22 3

9 3 160

12

20

12

2

12

21

01

2

2

2

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

& &M L L L

L

r r r r

r

ω ω ω ω

ω

ω

ωω

⋅ =−

−

⋅

−

=−

× = −−

=−

−

=−

−

r

r

ω ω ω

ω ω ω ω

ml ml

mlx y z

ml mlA A

22

2 2 2 2 2 2

6

10 3 93 22 3

9 3 16

12

21

01

212

167

112

1 0 11 6 7

112

666

12

111

L M( ) ( )

Lösung 7.2

( ) ( )

( ) ( )

( )

J m l ml

J m l m l m l l ml

J m l m l ml

J J J l l l m ml

xC

yC

zC

xyC

yzC

zxC

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ); ;

=

=

=

+

+ +

=

=

+ =

= = = ⋅ − ⋅ ⋅ = −

13

13

19

13

23

2 112

13

13

2 12

73

13

23

2 13

2 209

0 0 0 22

13

13

2 2

2 2 22

2

2 2 2

2

J

ml ml

ml

ml ml

ml

J ml

mlx y z

ml

C

zC C

z

Cz z

( )

( ) ( )

( )

=

−

−

=−

−

=

= ⋅ =−

× =−

= −

19

013

073

013

0209

19

1 0 30 21 03 0 20

001

19

30

20

19

0 0 13 0 20

19

030

2 2

2

2 2

2

2

2 2 2 2

r r

r

ω ω ω ω

ω ω ω

L

L

( )

( )

=−

−

=−−

− = −

− = −

= = −

M( ) &

& ( )

( )

& ( ) & . .

CBy Ay

Ax Bx

By Ay

Ax Bx

ml mllF lFlF lF

Moder

l F F ml

l F F ml

M ml Mml

Beweg Gl

19

30

20

19

030

2 22 2

2 13

1

213

2

209

3 920

2 2 2

0

2

2 2

02 0

2

ω ω

ω

ω

ω ω

d.Alemb.: Schwerpunkt reine Translation auf Kreisbahn

xl x

ll l l l

ll a x a x

F F mxF F mx

Si i

gesn S t S

Ax Bx S

Ay By S

= =⋅ + ⋅

= = =

→ + + =

+ − =

∑.

&

: ( ): & ( )

2 23

43

0 40 5

2

2

ω ω

ω

ω

1/3m,l2/3m,2l

x

y

z

M0

FAx FAy

C

FBxFBy

FBz

2l

2lω

x

z

S

2

0

2

22

02

0

1274 aus

8027

435 aus

43

345

23242

344

8021

612

4021

67251

611

ω

ω

ωω

ωω

ω

ωω

mlF

lMmlF

mlFmlFF

mlFmlFF

lMFmlFF

lMmlFmlFF

Bx

Ay

AxAyBy

AxBxAx

ByBxAx

ByAyBy

−=

==

−==+

−=+−=+

=−=−

==+−=−

:)'(

:)'(

)'(

:)'()'()'(

)'(

:)'()'()'(

&

&

&&

Lösung 7.3

( ) ( )

( )( ) ( )

r r

r

r

ωϕ

ωϕ

ωϕ

ω

Stab Zyl xA

yA

zA

A a AZyl

A AStab

J mr J J m r r ml m r l

J

mr

m r lm r l

Drehimp Jmr

m r l

=

=

= = = + + = +

= ++

= ⋅ =+

= +

00 0 1

21

123 3

12

0 0

0 00 0

12

0

2 2 2 2 2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

& &( )

.&

&

.( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

( ) ( )

Ω

Ω

L

M L

( ) ( )

( )

×

=−

=+

+

+

= = = =

= + =

− = + + ++

L

M

( )

( )

&

&&&

&

:

: & & ( )

: & &

: && && &&

A

Ay

y y

Mmglsin

mr

m r l

x y z

mr m r l

in Komponenten

X mr t C

Y M mr M mr

Z mglsin m r l glr l

012

0 0 012

0

0 12

0

012

12

0

2

2 2 2 2 2

20

2 20

2 22 2

ϕ ϕϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

Ω

Ω

Ω Ω Ω Ω

Ω Ω

sin = 0 oder linearisie rt +

cos sin

sin

2ω ϕ

ω ϕ ω ω

ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ω ϕ ϕ ω ω

ϕ ω ω

=

=+

= +

= = == =

= = −

= −

0

0 0 0 00

12

22 2

0 0

0 0

20 0

glr l

Lösung t Asin t Bcos t

AB t d h AB

t t t t und damit

M mr ty

: ( )

: : &( ) , . .( ) ,

( ) & ( )

Ω

Lösung 7.4 (zu aufwendige Lösung, geht viel einfacher !!!)

Momentensatz: MMM

JJJ

JJ mit J

x

y

z

xz

yz

z

yz

xz yz

=

+−

= =& & ,ω ω ω2

00 0

für die dünne Scheibe gilt:

z

x

y

1

2a b

FAx FBx

ϕ

ω ω, &

( )

1cos2cos22cossin2sin2sin;cos

121

121

122sin

22cos

222

222222

22

23

1212121

222

−=+

==+

=+

=

==⋅=−

−=−

−+

=

=−=−===+= ∫∫∫∫

ϕϕϕϕϕϕϕ

ρϕϕ

ρρρρ

baab

bab

baa

mbJmabatJJJJJJJJJ

tIxzdAtxzdmJtIdAxtdmyxJ

xzz

xzxzzz

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )( ) Ax

xzBx

xzBxBxAx

BxAx

BxAxxzy

xz

z

Fbal

abbaml

JFl

JFFF

zSFF

lFlFJMba

abbamba

abbamJ

babma

bababambamJ

−=+⋅

−−===−=

=+↑

+−===

+−

−=+

⋅−−=

+=

+−

−−+=

22

22222

2

22

22

2222

22

22

22

222222

2422)'1()'2(

liegt)aufda,Fliehkraft(keine)2(0:

)1(:0mit12

2241

6241

241

ωωω

ωω&

( )

( )

F F für J

J J m b b

ma b aba b

m b aba b

m a b m b m mab

Ax Bx xz

xz xz

= = =

= +

=

−−

++

+=

− − + = = −

0 0

22 2

0

112

24

0

112

12

016

1

1

2 2

2 2 1

2

2 2

2 21

21

2

2

*

* sin cosϕ ϕ

Lösung 7.5 (zu aufwendige Lösung, geht viel einfacher !!!)

( )( )

( ) ( )22sin

00

0000cossin

2 αωωωω

ωωωωωω

ωωωωαωωαωω

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIII

IIIIII

IIIIII

JJMJJJM

MJJJMMJJJM

−=⇒−+=

=⇒−+==⇒−+=

=====−=

&

&&

&&&

2

222222

cos81

441

31

4161

121

+==

+=+=

αemmdJdmdlmmdmlJ III

m1

m1

z

x

I II

III FA FB S

ω α ωI

ωII

Überlagerung von Rotation und Translation durch Wahl des Koordinatensystems (Ursprung auf der Drehachse). Lagerkraftanteil aus der Rotation:

( ) αωαωαω tan3

2sin481

22sin

32

2222

dmemd

dJJ

lMFF IIIIII

BRAR −=⋅−

==−=

Lagerkraftanteil aus der Translation des Schwerpunktes: meω2 wirkt im Schnittpunkt der Achse I mit der Drehachse

( )l

elmeFelmelF BTrBTr 2tantan2 22 αωαω −

=⇒−⋅=⋅ (exakte Lösung)

22

21 ωω meFFFFmeFF BTrATrBTrATrBTrATr ≈≈⇒≈=+

Somit ergibt sich

−

+=++−≈

+

−=+−≈

ααωωαωαω

ααωωαωαω

2sin481

3tan

21

21tan

32sin

481

2sin481

3tan

21

21tan

32sin

481

2222

2

2222

2

dd

eemmed

memdF

dd

eemmed

memdF

B

A

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Lösungen zur Technischen Mechanik IV (Sommersemester 2002 ...I_+II_+III... · Lösungen zur Technischen Mechanik IV (Sommersemester 2002) Dynamik Kurs Prof. A. Bertram Ausgabe 2002