M. Bostelmann - Neuhäusel 20051 / 56 Matrizen. M. Bostelmann - Neuhäusel 20052 / 56 Marktforschung Ein Marktforschungsinstitut wird von einem Verlag damit

M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 1 / 56

Matrizen


Marktforschung

Ein Marktforschungsinstitut wird von einem Verlag damit

beauftragt, das Kaufverhalten der Kunden von

Fernsehzeitschriften zu untersuchen.

Dies soll Hilfen für spätere Marketingentscheidungen

liefern.


Modell

2 Zeitschriften A und B

die Gesamtzahl der Kunden bleibt konstant

der Marktmechanismus bleibt konstant

Vereinfachungen


Daten

Das Institut ermittelt mit Hilfe von Umfragen folgende Daten:

pro Woche wechseln 20% der A-Kunden nach B

pro Woche wechseln 5% der B-Kunden nach A

Zeitschrift B hat 3000 Kunden

Zeitschrift A hat 2000 Kunden


Diskussion

irgendwann kaufen alle Kunden die Zeitschrift B

die Kundenzahlen oszillieren

es stellt sich ein Gleichgewicht ein

Wie entwickeln sich die Kunden-zahlen über einen längeren Zeitraum?


Übergangstabelle

von A von B

nach A 80% 5%

nach B 20% 95%


Übergangsgraph


Baumdiagramm


Erste Prognose

Nach zwei Wochen A: 1280 + 20 + 120 + 142,5 = 1562,5

B: 320 + 380 + 30 + 2707,5 = 3437,5


Entwicklung

Untersuchen Sie die Entwicklung der Kunden-zahlen über einen Zeitraum von 10 Wochen.

Verwenden Sie Excel !!!


Excel-Eingabe

=B5*(1-$B$1)+C5*$B$2 =C5*(1-$B$2)+B5*$B$1

Kopieren

Einfügen


Excel-Ergebnis


Excel-Grafik

0

1000

2000

3000

4000

5000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A

B


Zwischenbilanz

Die Kundenzahlen von A sinken, die von B steigen.

Hält diese Tendenz an?

0

1000

2000

3000

4000

5000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A

B

Fragen

Hat A irgendwann keine Kunden mehr?

Was passiert, wenn A zu Beginn mehr (noch weniger) Kunden hat ?


Dynasys

Definitionen

Startwerte A:=2000 B:=3000Ventile A_nach_B:=0.2*A B_nach_A:=0.05*B

Modell


DynasysSimulationsparameter


DynasysZeitdiagramm


DynasysSimulation


DynasysTabelle


DynasysSimulation


DynasysSimulation über 50 Wochen


DynasysAnfangswerte A=4000 ; B=1000


DynasysAnfangswerte A=0 ; B=5000


DynasysZeitliche Abhängigkeit der Änderungsraten


DynasysVergleich von A und dA bei gleicher Skalierung


DynasysVergleich von A und dA bei ungleicher Skalierung


SchematisierungBerechnung der Kundenzahlen nach einer Woche:

Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000

Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000


Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche:

von A von Bnach A 0,8 0,05nach B 0,2 0,95

Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000

Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000

0,8 0,05

0,2 0,95

Matrix



Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000

Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000



Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000

Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000

Aalt : 2000

Balt : 3000

2000

3000

Vektor



0,2 0,95

0,8 0,05

2000

3000

0,8 0,02000 30005· + ·

=



0,2 0,95

0,8 0,05

2000

3000

·

0

2

,8

00

·200

+

0 + 0,

0,2 0, ·0 30

05

00

·3000

95

=



0,8 0,05

0,2 0,95

2000

3000

1760

3250

=

Übergangs-matrix

alter Kunden-vektor

neuer Kunden-vektor


Definition

Ein rechteckiges Zahlenschema mit n Reihen und m Spalten heißt (n x m)-Matrix.

11 1m

n1 nm

a . . a

. . . .

. . . .

a . . a

Eine (n x 1)- bzw. (1 x m)-Matrix heißt auch

1

n

a

:

a

1 ma .. a

Spaltenvektor bzw. Zeilenvektor


Multiplikation

Für das Produkt einer 2x2-Matrix mit einem 2x1-Vektor definieren wir

11 12 1 11 1 12 2

21 22 2 21 1 22 2

a a k a ·k a ·k· :

a a k a ·k a ·k


Symbolisierung

Für Vektoren verwenden wir Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber, für Matrizen Großbuchstaben.

Anfänglicher Kundenvektor:

Übergangsmatrix: M = 0,8 0,05

0,2 0,95

0

2000k

3000

Damit ergibt sich 1 0 n n 1k M·k bzw. k M·k


Eingabe bei Derive

Eingabe Anzeige

Zeilenvektor [1,2,3]

Spaltenvektor [1;2;3]

Matrix [1,2,3;4,5,6]


Berechnung mit Derive

Eingabe des anfänglichen Kundenvektors und der Übergangsmatrix.

Initialisierung des Kundenvektors k.

Berechnung des neuen Kundenvektors

Eingabe abschließen durch Mausklick auf Approximieren.

Keinesfalls die Enter-Taste verwenden!!!



Durch mehrmaliges Klicken mit der Maus auf Approximieren erhält man eine Folge von Kundenvektoren, die die zeitliche Entwicklung des Kundenstamms zeigt.


Iteration

)kM(MkMk 012

Bei der iterativen Berechnung von z.B. k2 haben wir gerechnet

0

2 kM?

Sollte man das vielleicht auch so berechnen können?

Dazu müsste eine Multiplikation von Matrizen definiert werden.


Matrizenmultiplikation

ybxa

ybxa

y

x

ba

ba

22

11

22

11

Wir berechnen k1



und dann k2

ybbxabybaxaa

ybbxabybaxaa

ybxa

ybxa

ba

ba

22221212

21211111

22

11

22

11

y)bbba(x)abaa(

y)bbba(x)abaa(

22122212

21112111

y

x

bbba

bbba

abaa

abaa

2212

2111

2212

2111

Das sollte dann M2 sein



Damit ergibt als Definition für die Multiplikation von zwei 2x2-Matrizen:

2212

2111

2212

2111

22

11

22

11

bbba

bbba

abaa

abaa:

ba

ba

ba

ba


Prognose

Damit können wir nun Prognosen für beliebige Zeiträumeauch ohne Iteration berechnen.

Nach 10 Wochen: 010

10 kMk



Eingabe

Vereinfachen

ergibt



Eingabe

Vereinfachen

ergibt



Eingabe

Vereinfachen

ergibt


Stabiler KundenvektorOffenbar beschreibt der Vektor ks=

4000

1000eine stabile Situation

Mathematisch bedeutet dies ss kkM

Mit Hilfe dieser Gleichung sollte sich ks auchdirekt berechnen lassen.

bzw. ein dynamisches Gleichgewicht.


Berechnung von ks

ss kkM Aus folgt

y

x

y

x

95.02.0

05.08.0

Und daraus das LGS

0.8x + 0.05y = x0.2x + 0.95y = y

bzw. -0.2x + 0.05y = 0 0.2x - 0.05y = 0


Berechnung von ks

-0.2x + 0.05y = 0 0.2x - 0.05y = 0

Dieses LGS ist jedoch nicht eindeutig lösbar!

Wir müssen aber auch noch x + y = 5000berücksichtigen. Damit ergibt sich das LGS

0.2x - 0.05y = 0 x + y = 5000

mit der eindeutigen Lösung x=1000 und y=4000


Lösung mit Derive

Eingabe

Mit Mausklick auf „Eingeben und Vereinfachen“erhält man die Lösung


Ergebnis

Insbesondere ist das LGS nicht von einer speziellen Anfangsverteilung der Kunden abhängig. Also istauch der stabile Kundenvektor unabhängig von der Anfangsverteilung der Kunden!

Die Kundenverteilung stabilisiert sich.

Der stabile Kundenvektor ks lässt sich mit Hilfeder Gleichung M·ks=ks und der konstantenKundensumme berechnen.


Grenzmatrix

Untersucht man mit Derive Potenzen der Überführungsmatrix, so stellt man fest, dassauch hier eine Stabilisierung stattfindet.

G:n 0,2 0,20,8 0,05

limn 0,8 0,80,2 0,95

M

mit der Grenzmatrix MG.

Offenbar gilt


Grenzmatrix

Die Grenzmatrix überführt den Anfangsvektor direktin den stabilen Vektor.

Sowohl die Grenzmatrix als auch der stabile Vektor sind von einer speziellen Anfangsverteilung unabhängig.

Statt der Gesamtzahl der Kunden (5000) kann man auch von einer Gesamtmenge von 100% bzw. 1 ausgehen.

G 0 sM ·k k))))))))))))))))))))))))))))


Grenzmatrix

Der Anfangsvektor kann dann in der Form

1

0oder

0

1geschrieben werden.


Grenzmatrix

Durch Multiplikation mit der Grenzmatrix erhält man die erste bzw. zweite Spalte dieser Matrix:

s s

a b 1 a a b 0 bk bzw. k

c d 0 c c d 1 d

))))))))))))))))))))))))))))

Daraus folgt: skd

b

c

a

Die Spalten der Grenzmatrix stellen den stabilen Vektor dar.

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