M. GARDNER

Mathematische Rätsel und Probleme

MARTIN GARDNER

Mathematische

Rätsel und Probleme

Mit einem Vorwort von Prof. Dr. ROLAND SPRAGUE

Mit 89 Abbildungen

FRIEDR. VIEWEG & SOHN

BRAUNSCHWEIG 1964

Autorisierte Übersetzung: Patrick P. Weidhaas, Berlin

ISBN 978-3-322-97919-3 ISBN 978-3-322-98457-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-98457-9

Titel der amerikanischen Originalausgabe MATHEMATICAL PUZZLES and DIVERSIONS Vol. 1/2

© 1959/1961 by Martin Gardner

Published by Simon and Schuster, New York 20 N.Y. Alle Rechte an der deutschen Ausgabe bei Friedr. Vieweg & Sohn, Verlag, Braunschweig

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Die Zaubermatrix ..................................... . Acht Probleme ....................................... . Paradoxien der Wahrscheinlichkeit ...................... . Das Ikosaeder-Spiel und der Turm von Hanoi ........... . Ungewöhnliche topologische Modelle ................... .

Das Spiel Hex ........................................ . Sam Loyd: Amerikas größter Rätselerfinder .............. .

Neun Probleme ....................................... . Nim und Tac Tix ..................................... . Henry Ernest Dudeney: Englands größter Rätselerfinder .. . Digitale Reste ........................................ .

Neun Probleme ....................................... . Der Soma·Würfel ..................................... . Unterhaltsame Topologie .............................. . Der Affe und die Kokosnüsse ......................... .

Irrgärten ............................................. . Unterhaltsame Logik .................................. . Neun weitere Probleme ................................ . Wahrscheinlichkeit und Mehrdeutigkeit .................. .

Literaturverzeichnis .................................... .

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Einleitung

Der Begriff des Spieles, der die Unterhaltungs mathematik erst unter­haltsam gestaltet, äußert sich in vielen Formen: ein Rätsel, das gelöst werden soll, ein Zweipersonenspiel, ein magischer Trick, ein Paradoxon, Trugschlüsse oder ganz einfach Mathematik mit überraschenden und amüsanten Beigaben. Gehören diese Beispiele nun zur reinen oder ange­wandten Mathematik? Es ist schwer zu sagen. Einerseits ist Unterhal­tungsmathematik reine Mathematik, unbeeinflußt von der Frage nach den Anwendungsmöglichkeiten. Andererseits ist sie aber auch ange­wandte Mathematik, denn sie entstand aus dem allgemeinen menschli­chen Hang zum Spiel. Vielleicht steht dieser Hang zum Spiel aber auch hinter der reinen Mathe­matik. Besteht doch kein wesentlicher Unterschied zwischen dem Triumph eines Laien, der eine "harte Nuß geknackt hat" und der Befriedigung, die ein Mathematiker empfindet, wenn er ein höheres Problem gelöst hat. Beide blicken auf die reine Schönheit - diese klare, exakt definiert, geheimnisvolle und überwältigende Ordnung, die jeder Struktur zugrunde liegt. Es ist daher nicht verwunderlich, daß es oft äußerst schwierig ist, die reine Mathematik von der Unterhaltungsmathematik zu unter­scheiden. Das VierfarbenproblemI) beispielsweise ist ein wichtiges bisher ungelös­tes Problem der Topologie und doch findet man Diskussionen über dieses Problem in vielen unterhaltungsmathematischen Büchern. Mathematiker schämen sich selten ihres Interesses an unterhaltsamer Mathematik. Beispielsweise hatte die Topologie ihren Ursprung in Eulers Untersuchung einer Aufgabe mit Brückenüberschreitungen (siehe "Unterhaltsame Topologie"). Leibniz verbrachte beträchtliche Zeit mit dem Studium einer Aufgabe über Bewegungen von Figuren auf einem Brett, welche erst kürzlich unter dem Firmennamen Test Your High-Q. neu auf den Markt kam. David Hilbert, der große deutsche Mathematiker. bewies einen der grundlegenden Sätze aus dem Gebiet der Zusammensetzprobleme (s. "Henry Ernest Dudeney"). A. M. Turing,

1) Das Vierfarbenproblem besagt, daß eine jede ebene Landkarte, die in beliebig viele zusammenhängende Gebiete (Staaten) aufgeteilt ist, mit vier Farben so gefärbt werden kann, daß je zwei benachbarte Staaten verschiedene Farben haben. Bewiesen ist, daß fünf Farben hierzu stets ausreichen. Auf dem Torus braucht man 7 Farben. (Anm. d. Obers).

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ein Pionier in der modernen Elektronenrechner-Theorie, diskutierte Sam Loyds Fünfzehnerspiel (hier im Abschnitt "Sam Loyd" beschrie­ben) in einem Artikel über lösbare und unlösbare Probleme. Durch Piet Hein (dessen Spiel "Hex" hier auf S. 33 behandelt wird) erfuhr ich, daß er bei einem Besuch bei Albert Einstein eine Gruppe von unterhal­tungsmathematischen Büchern auf dessen Bücherbrett entdeckte. Das Interesse dieser großen Köpfe an mathematischen Spielereien ist leicht zu erklären, denn das schöpferische Denken, das auf solche spielerischen Dinge verwandt wird, hat vieles gemein mit der Art des Denkens, die zu mathematischen und überhaupt zu wissenschaftlichen Erkenntnissen führt. Was ist denn Mathematik überhaupt anderes, als ein Lösen von Rätseln? Und was ist Wissenschaft, wenn nicht ein systematisches Vor­dringen, um immer bessere Antworten auf die Rätselfragen der Natur zu erhalten? Der pädagogische Wert der Unterhaltungsmathematik ist heutzutage überall anerkannt. Man findet einen ständig wachsenden Anteil von Unterhaltungsmathematik in Zeitschriften, die für Mathematiklehrer gedacllt sind, aber auch in neueren Lehrbüchern, besonders in solchen, die vom "modernen" Standpunkt aus geschrieben sind. Beispielsweise enthält das Buch "lntroduction to Finite Mathematics" [87] von J. G. Kemeny, J. Laurie Snell und Gerald L. Thompson sehr viel Unterhal­tungsstoff. Solche Dinge sprechen das Interesse der Studenten an, wie wenig anderes.

In einem Artikel über "The Psychology of Puzzle Crazes" [47] beklagte sich der große englische Rätselerfinder Henry Ernest Dudeney über zwei Dinge. Die unterhaltungsmathematische Literatur, so sagte er, wiederholt sich ständig und der Mangel eines vollständigen Kataloges zwingt Enthusiasten dazu, ihre Zeit an Probleme zu verschwenden, mit denen man sich schon lange vorher beschäftigt hatte. Ich bin in der glücklichen Lage, festzustellen, daß man diesem Mangel endlich beigekommen ist. Professor William L. Schaaf vom Brooklyn College hat nämlich eine ausgezeichnete 143 Seiten lange Liste mit dem Titel "Recreational Mathematics" aufgestellt, die beim National Council ofTeachers ofMathematics (1201 Sixteenth Street, N. W., Washington 6, D.C.) erworben werden kann. Eine neue Auflage wurde 1958 ge­druckt. Was Dudeneys andere Klage betrifft, so fürchte ich, daß sie auch noch auf heutige Bücher dieses Gebietes, dieses Buch eingeschlossen, zutrifft. Allerdings glaube ich, daß der Leser hier mehr unbekannten Stoff als gewöhnlich vorfinden wird, der bisher noch nicht in anderen Büchern veröffentlicht wurde.

Meinen Dank möchte ich Gerard Piel, Herausgeber des Scientific American und Dennis Flanagan, Redakteur dieser Zeitschrift, für das

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Vorrecht aussprechen, regelmäßig in der ausgezeichneten Gesellschaft ihrer Mitarbeiter erscheinen zu dürfen, ferner für die Erlaubnis, meine Bemühungen im vorliegenden Buche abzudrucken. Weiter danke ich den tausenden von Lesern aus allen Teilen der WeIt, die sich die Mühe gemacht haben, mich auf Fehler (leider alIzuviele) aufmerksam zu machen und von denen ich wertvolle Ratschläge erhalten habe. In eini­gen Fällen wurde dieses willkommene Material in die Artikel selbst aufgenommen, aber in der Mehrzahl findet man es in einem Anhang am Ende eines jeden Kapitels zusammengefaßt. Die Lösungen zu den Problemen befinden sich (soweit notwendig) ebenfalls am Ende des jeweiligen Kapitels. Ein ausgewähltes Literaturverzeichnis ist am Ende des Buches aufgeführt. Ich möchte nicht vergessen, meiner Frau zu danken, nicht nur für ihr Durchlesen des Manuskripts, sondern auch für ihre Geduld, die sie in solchen Augenblicken mathematischer Meditation zeigte, wenn ich nicht hörte, was sie sagte.

M artin Gardner

Zur deutschen Ausgabe

Gardners zweibändiges Buch über mathematische Rätsel und Unter­haltungen ist in Amerika weithin bekannt. Seine Entstehung aus Beiträ­gen zu einer Zeitschrift unterscheidet es von Veröffentlichungen mit ähnlichen Zielen in anderen Ländern: Zahlreiche Mitglieder der großen Gemeinde von Freunden der Unterhaltungsmathematik werden mit Namen genannt und kommen ausführlich zu Worte. Die hier getroffene Auswahl für deutsche Leser enthält nicht solche Probleme, die in Deutschland schon vorzügliche Darstellungen ge­funden haben, wie z. B. die Frage der Zerlegung von Rechtecken in lauter verschieden große Quadrate (in Meschkowskis Buch" Ungelöste und unlösbare Probleme der Geometrie"), andererseits aber doch das schon oft behandelte Spiel Nim, das durch Automaten auf Ausstellungen und durch den Film "Letztes Jahr in Marienbad" vielfach Interesse gewonnen hat. Jede Auswahl mag willkürlich sein, diese ist jedenfalls dann gerecht­fertigt, wenn sie den Charme des Ganzen spüren läßt.

Januar 1964 R. Sprague

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