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Mannigfaltigkeiten und Integration I Martin Jochum 16. Dezember 2008 Mannigfaltigkeiten und Integration I 16. Dezember 2008 1 / 28

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Mannigfaltigkeiten und Integration I

Martin Jochum

16. Dezember 2008

Mannigfaltigkeiten und Integration I 16. Dezember 2008 1 / 28

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Gliederung

MannigfaltigkeitenDefinitionFolgerungenTangentialvektorenDifferentialformen

Euklidische SimplizesDefinitionMotivationRanderKetten

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Mannigfaltigkeiten

Mannigfaltigkeiten

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MannigfaltigkeitenDefinition

Mannigfaltigkeit

Eine n-dimensionale (differenzierbare) Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum M zusammenmit einer Menge von offenen Teilmengen Ui ⊆M, i = 1 . . . m, sodass gilt:

1. Die Teilmengen Ui, i = 1 . . .m stellen eine Uberdeckung vonM dar, d. h. es gilt

M =m⋃

i=1

Ui.

2. Auf jeder Teilmenge Ui, i = 1 . . .m existiert ein Homoomorphismus (Diffeomorphismus)

φi : Ui → φi(Ui) ⊆ Rn.

3. Fur jede Kombination i, j, sodass Ui ∩ Uj 6= ∅ gilt, ist die Komposition

φj ◦ φ−1

i : φi(Ui ∩ Uj) ⊆ Rn → φj(Ui ∩ Uj) ⊆ R

n

ein Homomorphismus (Diffeomorphismus) zwischen φi(Ui ∩ Uj) und φj(Ui ∩ Uj) .

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MannigfaltigkeitenDefinition

Bezeichnungen

I Die Teilmengen Ui, i = 1 . . .m werden Kartengebiete genannt.

I Die Abbildungen φi : Ui → φi(Ui) ⊆ Rn werden als Karten bezeichnet.

I Die Menge A = {(Ui, φi), i = 1 . . .m} heißt Atlas vonM.

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MannigfaltigkeitenDefinition

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MannigfaltigkeitenFolgerungen

Koordinatenwechsel

I Betrachte Kartengebiete UI mit lokalen Koordinaten x1, . . . , xn und UJ mit lokalenKoordinaten y1, . . . , yn, sodass UI ∩ UJ 6= ∅.

I yi bzw. xj auf Uberlappung UI ∩ UJ als glatte Funktionen der xi bzw. yj darstellbar

yj = yj(x1, . . . , xn) j = 1, . . . , n

xi = xi(y1, . . . , yn) i = 1, . . . , n

⇒ yj = yj(x(y1, . . . , yn))

I Ableitung nach den y ergibt

δjk

=n

i=1

∂yj

∂xi

∂xi

∂yk⇔

∂yj

∂xi

·

∂xi

∂yk

= I.

I Fur die Jacobi-Determinanten gilt

∂(y1, . . . , yn)

∂(x1, . . . , xn)

∂(x1, . . . , xn)

∂(y1, . . . , yn)= 1 ⇒

∂(y1, . . . , yn)

∂(x1, . . . , xn)6= 0 auf ganzUI ∩ UJ

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MannigfaltigkeitenFolgerungen

Orientierbarkeit

Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit M ist orientierbar, falls die lokalen Koordinaten

xi, i = 1 . . . n auf UI bzw. yj auf UJ , j = 1 . . . n auf jeder Uberlappung UI ∩ UJ so gewahlt

werden konnen, dass fur die Jacobi-Determinante

∂(y1, . . . , yn)

∂(x1, . . . , xn)> 0

gilt.

FallsM orientierbar ist, sind zwei verschiedene Orientierungen moglich:

I Die Erste folgt, bis auf eine gerade Permutation, aus der Wahl der lokalen Koordinaten.

I Die Zweite folgt aus einer ungeraden Permutation der lokalen Koordinaten.

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MannigfaltigkeitenBeispiele

Orientierbare Mannigfaltigkeiten

• Oberflache einer Kugel • Oberflache eines Torus

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MannigfaltigkeitenBeispiele

Nichtorientierbare Mannigfaltigkeiten

• Mobiusband • Kleinsche Flasche

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MannigfaltigkeitenFolgerungen

Reellwertige glatte Funktion

SeiM eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und f eine reellwertige Funktion auf M

f :M→ R.

Die Funktion f ist glatt in einem Punkt P ∈ M, falls es ein Kartengebiet U ⊆M mit P ∈ U und

eine Karte φ : U → Rn mit lokalen Koordinaten x1, . . . , xn gibt, sodass

f(P ) = f(φ−1(x1, . . . , xn))

glatt bzgl. der lokalen Koordinaten x1, . . . , xn ist. Eine Funktion ist glatt auf ganzM, wenn sie

in jedem Punkt vonM glatt ist.

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MannigfaltigkeitenFolgerungen

Glatte Funktion

Seien M und N zwei Mannigfaltigkeiten der Dimension m bzw. n und f eine Funktion

f :M→ N .

Die Funktion f ist glatt in einem Punkt P ∈M, falls es ein Kartengebiet U ⊆M mit P ∈ Ubzw. V ⊆ N mit f(P ) ∈ V und eine Karte φ : U → Rm mit lokalen Koordinaten x1, . . . , xm

bzw. ψ : V → Rn mit lokalen Koordinaten y1, . . . , yn gibt, sodass die Komposition

ψ ◦ f ◦ φ−1

glatt bzgl. der lokalen Koordinaten ist.

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MannigfaltigkeitenFolgerungen

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MannigfaltigkeitenFolgerungen

Untermannigfaltigkeit

Seien M und N zwei Mannigfaltigkeiten der Dimension m bzw. n. Man nennt M eine

Untermannigfaltigkeit von N , falls eine Abbildung

i :M→N

so existiert, dass in lokalen Koordinaten der Rang der Jacobi-Matrix∥

∂yj

∂xi

∥der Abbildung i stets

gleich m ist.

Die Abbildung i wird als Einbettung bezeichnet. Grundsatzlich kann jede m-dimensionaleMannigfaltigkeit in einen RN mit N = 2m+ 1 eingebettet werden.

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MannigfaltigkeitenTangentialvektoren

I Eine Definition der Tangentialvektoren in einem Punkt P ∈ M unabhangig von gerichtetenPfeilen wird benotigt.

I Eine Moglichkeit hierzu ist die Interpretation eines Tangentialvektors als Richtungsableitung

I Beispiel: Sei P ∈ E3 und v = (a, b, c) ein Vektor im Punkt P . Dann wird der Vektor v mit

dem Operator

(

a∂

∂x+ b

∂y+ c

∂z

)∣

P

.

identifiziert.

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MannigfaltigkeitenTangentialvektoren

Tangentialvektor

SeiM eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, P ∈ M ein Punkt vonM und F0(M) der Raum

der reellwertigen glatten Funktionen aufM. Ein Tangentialvektor v in einem Punkt P ∈ M ist

ein Operator

v : F0(M)→ R

der den Bedingungen

v(af + bg) = av(f) + bv(g) Linearitat

v(fg) = g(P )v(f) + f(P )v(g) Produktregel

fur beliebige f, g ∈ F0(M) und konstante a, b ∈ R genugt.

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MannigfaltigkeitenTangentialvektoren

I Ist U eine Umgebung von P mit lokalen Koordinaten x1, . . . , xn, so ist jeder der Operatoren

vi =∂

∂xi

P

ein Tangentialvektor im Punkt P .

I Die Gesamtheit aller Tangentialvektoren im Punkt P bildet den Tangentialraum TPM anMim Punkt P .

I Die zuvor eingefuhrten Tangentialvektoren vi, i = 1 . . . n bilden eine Basis desTangentialraumes.

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MannigfaltigkeitenTangentialvektoren

Beweis:In lokalen Koordinaten habe der Punkt P ∈M die Form c = (c1, . . . , cn), v sei einTangentialvektor im Punkt P und es gelte

v(xi) = v(xi − ci) = ai.

Daruber hinaus sei f eine beliebige glatte Funktion auf M. Eine nach dem linearen Termabgebrochene Taylorreihen-Entwicklung dieser Funktion ergibt

f(x) = f(c) +n

i=1

(xi − ci)∂f

∂xi

P

Anwendung des Tangentialvektors v hierauf liefert

v (f) = v (f(c)) +n

i=1

v(xi − ci)∂f

∂xi

P

+n

i=1

(ci − ci)v

(

∂f

∂xi

P

)

=n

i=1

ai ∂f

∂xi

P

.

Hieraus folgt v in der Form

v =n

i=1

ai ∂

∂xi

P

,

d. h. ein beliebiger Tangentialvektor lasst sich als Linearkombination der vi = ∂∂xi

Pdarstellen.

Somit sind die vi eine Basis des Tangentialraumes.

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MannigfaltigkeitenTangentialvektoren

I Die ai, i = 1 . . . n sind die Komponenten von v bzgl. des lokalen Koordinatensystemsx1, . . . , xn

I Ist ein zweites Koordinatensystem y1, . . . , yn mit

v =n

i=1

bi∂

∂yi

P

gegeben, so gilt

bj =n

i=1

ai ∂yj

∂xi

P

.

Dies entspricht der Transformationregel fur die kontravarianten Komponenten eines Vektors.

I Ein Tangentialvektorfeld ist eine glatte Zuordnung eines Tangentenvektors zu jedem PunktP ∈ M, d. h. in lokalen Koordinaten ergibt sich fur das Vektorfeld v die Darstellung

v =n

i=1

ai(x)∂

∂xi,

wobei die ai(x), i = 1 . . . n als glatt angenommen werden.

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MannigfaltigkeitenDifferentialformen

I Die glatten Funktionen aufM werden wiederum als 0-Formen bezeichnet und bilden denRaum F0(M)

I Eine 1-Form ω in einem Punkt P ∈ M hat bzgl. lokaler Koodinaten (x1, . . . , xn) die Form

ω =n

i=1

aidxi

I Ist im Punkt P ein zweites lokales Koordinatensystem (y1, . . . , yn) mit

ω =n

j=1

bjdyj

gegeben, so genugen die Koeffizienten ai, bj der Beziehung

bj =n

i=1

ai∂xi

∂yj

P

.

Dies entspricht der Transformationsregel fur die kovarianten Komponenten eines Vektors.

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MannigfaltigkeitenDifferentialformen

I Die p-Formen in einem Punkt P ergeben sich dann durch Bildung von Summen von außerenProdukten von 1-Formen

I Allgemein folgen die p-Formen aufM indem jedem Punkt vonM eine p-Form

ω =∑

aH(x)dxH

zugeordnet wird, wobei die aH(x) bzgl. der lokalen Koordinaten glatte Funktionen seinsollen.

I Das Verhalten bei Koordinatenwechseln von (x1, . . . , xn) nach (y1, . . . , yn) ergibt sich aus

dyj =n

i=1

∂yj

∂xidxi.

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MannigfaltigkeitenDifferentialformen

I Alle lokalen Eigenschaften ubertragen sich entsprechend auf Mannigfaltigkeiten

I Ist eine Abbildung

φ :M→N

zwischen den m- bzw. n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten M und N gegeben, so wirdhierdurch eine Abbildung

φ∗ : Fp(N )→ F

p(M)

induziert.I Vollkommen analog zur lokalen Theorie ergibt sich

1. φ∗(ω + η) = φ∗ω + φ∗η,2. φ∗(ω ∧ η) = (φ∗ω) ∧ (φ∗η),3. d(φ∗ω) = φ∗(dω).

Fp(M)

φ∗

←− Fp(N )

d ↓ ↓dF

p+1(M)φ∗

←− Fp+1(N )

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Euklidische Simplizes

Euklidische Simplizes

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Euklidische SimplizesDefinition

I n-dimensionale Euklidische Simplizes stellen die Integrationsgebiete dar, auf denen spater dieIntegration von n-Formen durchgefuhrt wird.

I Beispiele:1. Ein 0-Simplex ist ein einzelner Punkt (P0).2. Ein 1-Simplex ist ein gerichtetes Geradenstuck, festgelegt durch seinen Anfangs- und Endpunkt

(P0, P1).3. Ein 2-Simplex ist ein geschlossenes Dreieck, festgelegt durch seine drei Eckpunkte (P0, P1, P2).4. Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder, festgelegt durch die vier Eckpunkte (P0, P1, P2, P3).5. . . .

I Allgemein ist ein n-Simplex sn die konvexe Hulle der n+ 1 Punkte (P0, . . . , Pn):

sn = (P0, . . . , Pn) =

{

P |P = t0P0 + · · ·+ tnPn, 0 ≤ ti, i = 1, . . . , n,n

i=1

ti = 1

}

I Als standard n-Simplex wird der Simplex sn = (R0, . . . , Rn) mit

R0 = (0, 0, 0, . . . , 0, 0)

R1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0)

R2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0)

...

Rn = (0, 0, 0, . . . , 0, 1)

bezeichnet.

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Euklidische SimplizesMotivation

Motivation

I Komplexe Geometrien konnen aus Simplizes zusammengesetzt werden.

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Euklidische SimplizesRander

I Der Rand ∂s eines Simplex s ist eine formale Summe von Simplizes deren Dimension um einsgeringer ist als jene von s

∂(P0, . . . , Pn) =n

i=0

(−1)i(P0, . . . , Pi−1, Pi+1, . . . , Pn)

I Beispiele:

1. 1-Simplex:∂(P0, P1) = (P1) − (P0)

2. 2-Simplex:∂(P0, P1, P2) =(P1, P2) − (P0, P2) + (P0, P1)

3. 3-Simplex:∂(P0, P1, P2, P3) = (P1, P2, P3) −(P0, P2, P3)+ (P0, P1, P3)− (P0, P1, P2)

(P0, P1, P2)

(P0, P1)

(P1, P2)

−(P0, P2)

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Euklidische SimplizesKetten

I Eine n-Kette ist eine formale Summe der Form

c =N

i=1

aisi,

wobei die ai Konstanten und die si n-Simplizes sind.

I Der Rand einer n-Kette ist definiert als

∂c =N

i=1

ai∂(si),

wobei gilt, dass der Rand einer Kette selbst keinen Rand besitzt, d. h.

∂(∂c) = 0.

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Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit!

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