Martin Burger Institut für Numerische und Angewandte Mathematik CeNoS Mathematische Beschreibungen des menschlichen Lebens

Martin Burger Institut für Numerische und Angewandte Mathematik CeNoS

Mathematische Beschreibungen des menschlichen Lebens

Mathematik + Mensch 2

9.4.2008Martin Burger

Warum Mathematik + Mensch ? Im 19. und frühen 20. Jahrhundert passierten enorme Fortschritte im Verständnis der Physik (Naturwissenschaft) – durch verstärkte Mathematisierung Im 20. und frühen 21. Jahrhundert passiert technischer Fortschritt und wachsender Lebensstandard - durch mathematische Modellierung und Simulation

Im 21. Jahrhundert stellt sich die nächste Herausforderung- Mathematische Beschreibungen menschlichen Lebens



Menschliches Leben auf allen Skalen Mathematische Probleme stellen sich auf allen Skalen:- Molekulare / Subzellulare Prozesse- Physiologie / Zellulare Prozesse- Zellbewegung und -populationen- Prozesse auf Organebene - Untersuchungen auf Ganzkörperebene - Prozesse mit grosser Anzahl von Menschen(massen)"Mathematics compares the most diverse phenomena and discovers the secret analogies that unite them." Jean Baptiste Joseph Fourier



Beispiele aus meiner Forschung - Simulation von Ionenkanälen- Simulation von Zellbewegung - Molekulare Bildgebung- Bildgebung auf grösseren Skalen- Simulation sozio-ökonomischer Prozesse

"Mathematics creates our standard of living." Bob Eisenberg

" Sozialkompetenz ist auch in der Mathematik eine ganz wichtige Eigenschaft." Wolfgang Lück (FOCUS, Jan 08)



Mathematical Imaging@WWU

Christoph Brune Marzena Franek Alex Sawatzky Frank Wübbeling Thomas Kösters Christina Stöcker

Claudia Giesbert Astrid Heitmann Mary Wolfram (Linz) Martin Benning Thomas Grosser



Diplomanden 07/08

Tanja Mues Katharina Daniel Anna Weisweiler Melanie Schröter Bärbel Schlake Jahn Müller Martin Benning Steffi Sillekens

Oleg Reichmann Arvind Sarin Tobias Neugebauer Matthias Tillmann Jan Pietschmann Jan Hegemann Michael Möller (Cambridge) (UCLA) (UCLA)



Bildrekonstruktion und inverse Probleme Inverse Probleme bestehen in der Rekonstruktion einer Ursache aus einer beobachteten Wirkung (über ein mathematisches Modell, das sie in Beziehung setzt)

Prototyp inverser Probleme: Medizinische DiagnoseNicht-invasive Verfahren in der Medizin basieren immer auf indirekter Beobachtung

"The grand thing is to be able to reason backwards." Arthur Conan Doyle (A study in scarlet)



Molekulare Bildgebung: PET Bildgebung auf molekularer Ebene, funktional und quantitativ

Beispiel Positron-Emission-TomographyExterne Messung basierend aufradioaktiven Zerfallsdaten

Zerfallsevents zufällig, aber Rate proportional zur Dichte



EM-Algorithmus Stochastische Modellierung des Problems, Messungen aus Poisson-Modell

Bild u ist Dichtefunktion des TracersLinearer Operator K entspricht Radon-TransformationEventuell zu korrigierende Störungen / Messfehler b

Johann Radon



EM-Algorithmus Rekonstruktion als maximum-likelihood Schätzer

Modellierung der a-posteriori Wahrscheinlichkeit nach Bayes



EM-Algorithmus als Fixpunktiteration Kontinuierlicher Grenzwert für grosse Anzahl von Events(Stirling-Formel)

Optimalitätsbedingung führt auf Fixpunktgleichung



PET Rekonstruktion

Rekonstruktion bei guter Statistik (Kleintier PET)

Thomas Kösters

Frank Wübbeling



EM-Algorithmus an der Grenze Schlechtere Statistik = weniger Radioaktivität / schneller zerfallende Isotope

Für Patienten verträglich/ für gewisse Untersuchungen besser

Alex Sawatzky Thomas Kösters

~10.000 Events

~600 Events



Vom Bild zum Cartoon Wie können wir auch im Fall schlechter Daten vernünftige Rekonstruktionen erhalten ?

Anforderungen müssen adaptiert werden

Suche Methode, die nicht alle detaillierten Muster zu rekonstruieren versucht, sondern sich auf die wesentliche Struktur konzentriert: Cartoon-Rekonstruktion



Das Auge des Betrachters Was sind vernünftig rekonstruierte Strukturen ?

Hauptanforderung: müssen für den (menschlichen) Betrachter sinnvolle Rückschlüsse zulassenÜbersetze Augenfunktion und Psyche in Mathematik

Scharfe Objektkanten sind viel wichtiger als Texturen

Morel et al, From Gestalt Theory to Image Analysis, Springer 2007Haddad-Meyer, UCLA CAM Report 2004



Das Auge des Betrachters Was sind vernünftig rekonstruierte Strukturen ? Was nimmt unser Auge /Hirn wahr ?



Das Auge des Betrachters Lokale Änderungen von Texturen ändern wenig



Das Auge des Betrachters Zusätzliche Strukturen ändern viel !



TV-Methoden Bestrafung der totalen Variation

Formal

Exakt

ROF-Modell zum Entrauschen von g : minimiere totale Variation unter Nebenbedingung

Rudin-Osher-Fatemi 89,92



Warum TV-Methoden ? Deswegen !

Linearer Filter TV-Methode



TV-Methoden und Bayes Es existiert ein Lagrange Parameter, sodass ROF äquivalent ist zu

Erster Term aus log-likelihood für Gauss-Verteilung, zweiter als a-priori Wahrscheinlichkeit !

p(u) » exp(¡ J (u))

p(g j u) » exp(¡ ¸2

Z(u ¡ g)2 dx)



TV-Methoden und GeometrieVerbindung zu Längen/Oberflächenminimierung durch coarea-Formel

Erster Term zerfällt in Volumsintegrale mit Gewichtung u-gLösung isoperimetrischer Probleme auf Level Sets !

Stan Osher



TV-Methoden und GeometrieOptimalitätsbedingung

Duale Variable p hat geometrische Bedeutung

q ist verallgemeinertes Normalenvektorfeld an Level Setsp ist mittlere Krümmung

¸(u ¡ g) + p= 0; p2 @J (u)

p= div q; kqk1 · 1



TV-MethodenAnalysis und Numerik von TV-Minimierung ist schwierig:- nichtdifferenzierbar- nicht strikt konvex- degenerierter Differentialoperator- keine starke Konvergenz- unstetige Lösungen- potentiell grosse Datenmengen (3D / 4D Imaging)



TV-MethodenFehlerabschätzungen brauchen eigenes Distanzmaß: Verallgemeinerte Bregman-distance

mb-Osher 04

p muss bei Diskretisierung richtig behandelt werden (primal-duale Methoden)mb 08DFG-Projekt Regularisierung mit Singulären Energien, 2008-2011



Effiziente LöserParallele Methoden basierend auf Gebietszerlegung – Minimierung auf Teilgebieten mit passender Randkopplung

Jahn Müller



Allgemeinere Probleme Durch Anpassung des Datenfit-Terms (Bayes)Gauss‘sche Entzerrung statt Gauss‘scher Entrauschung(Verzerrung modelliert durch linearen Integraloperator K )

→Poisson-Modell mit TV-Prior:



Konstruktion numerischer Verfahren Geeignete numerische Lösung durch 2-Schritt VerfahrenKlassischer EM-Teil im ersten Schritt

TV-Minimierung im zweiten Schritt



~600 Events

Alex Sawatzky

Thomas Kösters

EM

EM-TV



EM-TV Rekonstruktion aus simulierten Daten Bild Daten EM EM-TV



Quantitative Verfahren Verbleibendes Problem: systematischer Fehler der TV-Methode

Variation wird zu stark reduziert, quantitative Werte können vor allem bei kleinen Strukturen stark abweichen

Probleme bei quantitativen Verfahren, z.B. Auswertung von physiologischen Parametern basierend auf PET-RekonstruktionenProjekt PM 6 im SFB 656 (mb/Klaus Schäfers)



Rekonstruktion physiologischer Parameter Myokardiales Blutfluss-Modell in jedem Pixel. Vereinfachtes Modell: Bestimmung der Perfusion F und des arteriellen Blutfluss CA aus

Bildintensität u berechnet aus CT Nichtlineares inverses Problem

Martin Benning

@CT (x;t)t = F (x)(CA (t) ¡ CT (x;t)

VD)



Quantitative Verfahren Kontrastkorrektur durch iterative Regularisierung

Die prior probability zentriert bei null

Anpassung: sei das Minimum des Poisson-TV Modells

Iterativer Algorithmus, EM-TV kann für jeden Schritt verwendet werden mb-Osher-Goldfarb-Xu-Yin 05, mb-Gilboa-Osher-Xu 06

p(u) » exp(¡ J (u))

u1

p(u) » exp(¡ [J (u) + J (u1) + hp1;u ¡ u1i ])



Nanoskopie – STED & 4PiAnaloge Probleme in der optischen Nanoskopie:Stimulated Emission Depletion (Stefan Hell, MPI Göttingen)

BMBF Projekt „INVERS“, Göttingen(MPI+Univ)-Münster-Bochum-Bremen, Leica



Nanoskopie – STED & 4PiÄhnliches Modell der Bildformation, K ist Faltungsoperator

Verwendet u.a. zum Studium menschlicher Zellen



Nano-DekanSimulierte Bildformation

→

Christoph Brune



Dekan-CartoonIterierte EM-TV Rekonstruktion

Christoph Brune



Nanoskopie an der Grenze: Syntaxin PC12, 53nm

Christoph Brune



3D Zellstruktur

Christoph Brune



Mathematische Modelle: Kollektives VerhaltenMathematische Modelle lassen sich für verschiedenste Aspekte des menschlichen Lebens herleiten, zB

- Transport durch Ionenkanäle - Zellbewegung und –aggregation (Chemotaxis)- Verhalten von Menschenmengen bei Evakuierung - Verhalten von Händlern auf Finanzmärkten- ….



Individuelle ModelleMikroskopische Modelle (individual based) für den Zustand einzelner Teilchen (Position, Impuls) oder Menschen (Position, Meinung, …) können in Form stochastischer Differential-gleichungen gewonnen werden

Interaktion der Teilchen

Berechnung der Interaktionskräfte aus weiteren Gleichungen

dX Nj = F N

j (X N )dt ¡ r V(X Nj )dt + ¾N

j (X N )dW jt

F Nj (X N )dt =

X

k6=jHN (X N

j ;X Nk )



IonenkanäleTransport durch Zellmembrane passiert durch IonenkanäleIonenkanäle sind Proteinemit einem Loch in der MitteProteine erzeugen effektiveLadung im Kanal

Bob Eisenberg

Chemical Bonds are lines

Surface is Electrical PotentialRed is positiveBlue is negative

Chemist’s View

All Atoms View



IonenkanäleZustand ist Position der einzelnen Ionen im Kanal und umliegenden Flüssigkeiten

Interaktion über elektrische (Coulomb) und chemische Kräfte

Externe Kräfte von Proteinen, analoge elektrische und chemische Kräfte



FussgängersimulationBeschrieben durch Newton‘sche Bewegungsgleichungen mit starker Dämpfung (hin zur typischen Gehgeschwindigkeit)

„Soziale Kräfte“ (Helbing 93): - Bevorzugte Geschwindigkeitsrichtung (zB zum Ausgang)- Externe abstossende Potentiale (Wände, Hindernisse)- Lokal abstossende Kraft zu anderen Fussgängern



FussgängersimulationSimulation der Entleerung eines Raumes mit zwei

Türen und einem Hindernis

Bärbel Schlake



Finanzmärkte und MeinungsbildungHändlerverhalten nach ähnlichem Muster- Externe Potentiale: Wirtschaftsdaten, DAX, Zinsniveau, ...- Interaktion: Anpassung an / Abgrenzung von KonkurrenzBsp: Preisbildung, Volatilitätsmodelle, Einschätzungen des Wirtschaftsklimas, Verteilung von Wohlstand … Lux et al, Helbing et al, Toscani et al, Lasry-Lions, Bianchi-Capasso-Morale, …

Daniela Morale Vincenzo Capasso



PDE-ModelleIm Grenzwert einer grossen Anzahl von Inviduen Herleitung von Kontinuumsmodellen mit asymptotischen Methoden Liouville (2Nd+1 Dimensionen) BBGKY-Hierarchie (2kd+1 Dimensionen) Boltzmann/Vlasov Gleichungen (2d+1) Mean-Field Fokker-Planck Gleichungen (d+1)Ludwig Boltzmann



Finanzmärkte und MeinungsbildungAnaloge Modelle auch aus diskreten Sprungmodellen (random walks). Anwendung auf Finanzmarktdaten, Parameterschätzung Lux et al 05,07

Random Walk / Markov Prozess [Mastergleichung (hochdimensional)]

Mastergleichung (niedrigdimensional)

Fokker-Planck GleichungKatharina Daniel



Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen Kanonische Form der Fokker-Planck Gleichung

wobei für eine Entropie / Energie E

Degenerierte nichtlineare Diffusion, wenn D nicht strikt positiv ist und

Peter Markowich

E 0(½) = f (½) + nichtlokaler Teil

¹ = E 0(½)

@t½= r ¢(D(½)r ¹ )



Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen Allgemeine Formulierung als metrischer Gradientenfluss

Benötigen dafür Riemann‘sche MannigfaltigkeitMetrik definiert über optimalen Transport

Otto, Brenier, DeGiorgiAmbrosio-Gigli-Savare

@t½= r M E (½)

d(½0;½1)2 := inf½;V

Z 1

0

ZD(½)jV j2dx ds

½(0) = ½0; ½(1) = ½1

@s½= r ¢(D(½)V)



Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen Mathematische Herausforderungen: - Struktur der Metrik / Mannigfaltigkeit / Geodäten- Geodätische Konvexität der Entropie / Energie

Verstanden für D=1 (H - 1 Norm) und D= (Wasserstein Metrik)

Allgemeinerer Fall und Systeme (noch) offen

Jan Pietschmann



Optimaler Transport Weitere Arbeitsgebiete: - Robuste numerische Verfahren basierend auf opt. Transport- Anwendungen, Modellierung, Mikro-Makro Übergang

Mary Wolfram Jose Carrillo



Optimaler Transport Weitere Arbeitsgebiete: - Inverse Probleme: Bestimmung von unbekannten Termen aus Daten, zB Interaktionspotentiale, Ionenkanalstruktur- Optimales Design, zB Topologieoptimierung von Fluchtwegen- Optimaler Transport in (teilweise) unbekannter Umgebung

Heinz Engl Marzena Franek Richard Tsai

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