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MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄT HALLE-WITTENBERG Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät Fachbereich Ingenieurwissenschaften Institut Umwelttechnik Numerische Untersuchung des Schwingungsverhaltens von reibungsbehafteten Flüssigkeitssäulen mit freien Oberflächen Studienarbeit Inhalt 1 Bedeutung von Schwingungen 2 Grundlagen zu Schwingungen 3 Beschreibung des Schwingsystems 4 Berechnung der Eigenfrequenz 5 Numerische Simulation mit PHOENICS 6 Ergebnisse von: Thomas Reichardt

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MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄTHALLE-WITTENBERG

Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische FakultätFachbereich Ingenieurwissenschaften

Institut Umwelttechnik

Numerische Untersuchung des Schwingungsverhaltens von reibungsbehafteten Flüssigkeitssäulen mit freien Oberflächen

Studienarbeit

Inhalt

1 Bedeutung von Schwingungen

2 Grundlagen zu Schwingungen

3 Beschreibung des Schwingsystems

4 Berechnung der Eigenfrequenz

5 Numerische Simulation mit PHOENICS

6 Ergebnisse

von: Thomas Reichardt

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Seite Studienarbeit 21 Bedeutung von Schwingungen

• in vielen Bereichen des täglichen Lebens

z.B. Ebbe und Flut, Tag und Nacht

• in der Physik

z.B. Uhrenpendel, Atom- und Gitterschwingungen, Superstringtheorie

• in der Raumfahrt

z.B. Resonanzschwingungen von Flüssigkeiten können zum Torkeln des Raumflugkörpers führen

• in der Medizin

z.B. Pulsschlag

• In der Verfahrenstechnik

z.B. zur Intensivierung des Stoffaustausches (in Extraktoren, Blasensäulen und Ionenaustauscherapparten)

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Seite Studienarbeit 32 Grundlagen zu Schwingungen

• Definition von Schwingungsvorgängen– zeitlich-periodische Änderung einer physikalischen Größe um

einen Mittelwert– Energie wird hin- und herbewegt

• Systeme die zu einen Energieaustausch in der Lage sind werden Oszillatoren genannt.

• Die Periodizität des Energieaustausches wird durch die Frequenz, d.h. die Anzahl der Zyklen je Zeiteinheit beschrieben.

• Wird die Bewegung der Schwingung durch eine Cosinus- bzw. Sinus-Funktion beschrieben, liegt eine harmonische Schwingung vor.

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Seite Studienarbeit 42 Grundlagen zu Schwingungen

• Einmalige Energiezufuhr → freie Schwingung, System schwingt mit einer konstanten Eigenfrequenz– keine Energie wird entzogen → freie ungedämpfte Schwingung

• Auslenkung schwankt zwischen zwei konstanten Maximalwerten (Amplituden)

– Reibung oder Energieverluste→ freie gedämpfte Schwingung• abnehmende Amplitude• Die Frequenz ist kleiner als die Eigenfrequenz der ungedämpften

Schwingung

• Wird dem Oszillator eine periodische Erregung mit einer Erregerfrequenz aufgezwungen, dann nennt man ihn Resonator, der dann eine erzwungene Schwingung ausführt.– wenn die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz

(Resonanzfrequenz) des Schwingsystems ist, tritt Resonanz ein• Im ungedämpften Fall → Amplitude wächst unendlich an

(Resonanzkatastrophe)• Im gedämpften Fall → Amplitude steigt auf einen Maximalwert an

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Seite Studienarbeit 52 Grundlagen zu Schwingungen

• Allgemeine Schwingungsdifferenzialgleichung:

• Differentialgleichung der freien ungedämpften Schwingung:

mit der Lösung:

• Differentialgleichung der freien gedämpften Schwingung:

mit der Lösung:

202 cos( )y y y a t

20 0y y

202 0y y y Freie gedämpfte Schwingung

-0,15-0,1

-0,050

0,050,1

0,150,2

0,25

0 2 4 6 8 10

Zeit A

usl

enku

ng

Freie ungedämpfte Schwingung

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zeit

Aus

lenk

ung

)cos(ˆ)( 00 tyty

)cos(ˆ)( 0 teyty dt

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Seite Studienarbeit 63 Beschreibung des Schwingsystems

• Für die durchgeführten Untersuchungen wurde ein schwingungsfähiges System in einer offenen „Rohr-in-Rohr“-Ausführung, ähnlich einem beidseitig offenem U-Rohr zugrungegelegt.

pb pb pb pb

σ

10

00

L2

100

dM

L2

L1

A1 A2

L 1

L = L1+L2

y

y

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Seite Studienarbeit 73 Beschreibung des Schwingsystems

• Versuchsplanung– Variation der Ringspaltweite bei gleichen durchströmten Flächen

im Mantel- und Zentralrohr – Variation der durchströmten Flächen

– Vergleich der Eigenfrequenzen mit den Resonanzfrequenzen

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Seite Studienarbeit 83 Beschreibung des Schwingsystems

• 3d-Modelle

AM halbiert AM=AZ AM verdoppelt

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Seite Studienarbeit 94 Berechnung der Eigenfrequenz

• Eigenfrequenz bei durchströmten Flächen gleicher Größe– Herleitung über den Energieerhaltungssatz für instationäre,

reibungsfreie Fadenströmungen inkompressibler Fluide

• Gleichheit der Querschnitte

• Drücke heben sich heraus, da gleich dem Umgebungsdruck

• Differenz des Flüssigkeitsniveaus wird ersetzt durch

• Da gleiche Flächen ergibt sich für das Integral die Länge des Flüssigkeitsfadens L

• Änderung der Spiegelhöhe mit der Zeit , bzw.

dLA

A

dt

dvzgpvzgpv 22

222

2112

1 22

0)( 1222 zzgdL

A

A

dt

dv

21 AA bppp 21

yzz 212

dt

dyv 2 2

22

dt

yd

dt

dv

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Seite Studienarbeit 104 Berechnung der Eigenfrequenz

• die Differenzialgleichung lautet dann

oder

• für die Eigenfrequenz der freien ungedämpften Schwingung gilt:

02

2

2

L

yg

dt

yd

02

yL

gy

L

gf

2

2

1

20

0

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Seite Studienarbeit 114 Berechnung der Eigenfrequenz

• Eigenfrequenz bei durchströmten Flächen unterschiedlicher Größe

L

2

y2

L

1

y1

A1 A2

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Seite Studienarbeit 124 Berechnung der Eigenfrequenz

– Herleitung über den Energieerhaltungssatz

• und

• Kontinuitätsbedingung eingesetzt in die

die Energiebilanz führt nach Umstellen zu folgendem Ausdruck:

• für die Differenz des Flüssigkeitsniveaus kann

geschrieben werden

• und mit folgt

dLA

A

dt

dvzgpvzgpv 22

222

2112

1 22

12 1

2

Av v

A

t

yv

2

112 A

Ayy

21 AA 21 vv

2

2 11 2

2 1 1 12 1 0

2 2

Av

A v dv Ag z z dL

dt A

2112 yyzz

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Seite Studienarbeit 134 Berechnung der Eigenfrequenz

• Auflösen des Integrals

• mit und

• ergibt sich die Differentialgleichung

• Vernachlässigung des quadratischen Gliedes führt zu

dt

dyv 1

1 2

12

1

dt

yd

dt

dv

2 2

1 1 12

2 2112

1 11 2 1 2

2 2

1 1

0

2

A dy AgA dt Ad y

ydt A A

L L L LA A

0

1

1

2

121

2

1

y

A

ALL

A

Ag

y

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Seite Studienarbeit 144 Berechnung der Eigenfrequenz

• Somit gilt

und für die Eigenfrequenz

2

121

2

1

20

1

A

ALL

A

Ag

2

121

2

1

00

1

2

1

2

A

ALL

A

Ag

f

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Seite Studienarbeit 155 Numerische Simulation mit PHOENICS

• PHOENICS ist ein CFD-Softwarepaket mit dem folgende Strömungsvorgänge simuliert werden können:– stationäre und instationäre Strömungen– laminare und turbulente Strömungen– Strömungen kompressibler und inkompressibler Medien– Einphasensysteme oder Mehrphasensysteme– Berechnung von Partikelbahnen– Berechnung mit oder ohne chemische Reaktionen– Strömungsvorgänge durch Schüttschichten

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Seite Studienarbeit 165 Numerische Simulation mit PHOENICS

• Erhaltungsgleichungen– Grundlage der Berechnung bilden partielle Differential-

gleichungen für die Erhaltung der Masse, Energie und Impuls– Lösung erfolgt numerisch– Differentialgleichungen werden durch ein System von

algebraischen Gleichungen ersetzt (Diskretisierung)– In Phoenics erfolgt die Lösung mit der Finite-Volumen-Methode

• Finite-Volumen-Methode– Netz wird über das Berechnungsgebiet gelegt– es ergeben sich für jede Zelle (jedes Kontrollvolumen) sechs

Oberflächenintegrale– nach der Integration entstehen Bilanzgleichungen die eine

Lösung ermöglichen

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Seite Studienarbeit 175 Numerische Simulation mit PHOENICS

• Verfahren zur Bestimmung der Höhe von Flüssigkeiten bei freien Oberflächen (HOL-Verfahren)– zur Simulation von bewegten Schnittstellen (Flüssigkeit-Gas) – ist in PHOENICS im Unterprogramm GXHOL integriert– Position der Schnittstelle wird über die Markierungsvariable

VFOL ermittelt

VFOL : Volumenbruch der FlüssigkeitTMOL : gesamte Masse der Zellen in einer SpalteLMOL : Masse der Flüssigkeit vor der SchnittstellenzelleRHOL : FlüssigkeitsdichteCVOL : Zellvolumen

– VFOL kann Werte von 0 bis 1 annehmen 0 → Gas 1 → Wasser

CVOLRHOLLMOLTMOLVFOL /

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Seite Studienarbeit 185 Numerische Simulation mit PHOENICS

• Gitterausschnitt

PHOTON

Y

Z

Y

Z

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Seite Studienarbeit 195 Numerische Simulation mit PHOENICS

• Ermittlung der Resonanzfrequenz– Einlesen der PHI-Dateien der einzelnen Varianten in Autoplot– Diagramm für die Variable VFOL erzeugt und Erfassung des

mittleren Wertes der Variable VFOL

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

VFOL

Z

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Seite Studienarbeit 205 Numerische Simulation mit PHOENICS

– Messwerte wurden in Excel aufgenommen

– Bestimmung der Schwingungsdauer und des Abklingkoeffizienten für die jeweilige Variante

– Berechnung der Resonanzfrequenzen

– Nachbildung der Schwingungsfunktionen

Gleiche durchströmte Flächen bei der Ringspaltweite 0,025m

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Zeit [s]

Au

slen

ku

ng

[m]

Messwerte im Mantelrohr bei Auslenkung im ZentralrohrMesswerte im Zentralrohr bei Auslenkung im Zentralrohrnachgebildete Schwingungsfunktionobere Hüllfunktionuntere Hüllfunktion

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Seite Studienarbeit 216 Ergebnisse

• Variation der Ringspaltweite – mit 0,005m; 0,015m; 0,025m; 0,035m und 0,05m– Grenzringspaltweite bei 0,025m, hier ist die durchströmte Fläche

im Ringspalt gleich der durchströmten Fläche im Zentralrohr– Auslenkung im Mantelrohr

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 1 2 3 4

Zeit [s]

Au

slen

ku

ng

[m]

Ringspaltweite 0,015 mRingspaltweite 0,025 mRingspaltweite 0,035 mRingspaltweite 0,05 m

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Seite Studienarbeit 226 Ergebnisse

– Auslenkung im Zentralrohr

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 1 2 3 4

Zeit [s]

Au

slen

ku

ng

[m]

Ringspaltweite 0,005 mRingspaltweite 0,015 mRingspaltweite 0,025 mRingspaltweite 0,035 mRingspaltweite 0,05 m

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Seite Studienarbeit 236 Ergebnisse

– Resonanzfrequenzen

• Auslenkung im Mantelrohr: größte Resonanzfrequenz bei 0,035m

Ringspaltweite

• Auslenkung im Zentralrohr: größte Resonanzfrequenz bei 0,025m

Ringspaltweite

σ[m]

Aus der Simulation ermittelte Resonanzfrequenzen bei gleichen durchströmten Flächen

fd [Hz] bei Auslenkung im Mantelrohr fd [Hz] bei Auslenkung im Zentralrohr

0,005 - 0,5

0,015 0,5134788 0,5158332

0,025 0,5786618 0,5775321

0,035 0,5849886 0,5227492

0,05 0,5284738 0,5284738

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Seite Studienarbeit 246 Ergebnisse

– Animationen• Auslenkung der Flüssigkeit [m] zum Zeitpunkt Null im:

• Ringspaltweite [m]:

0,005 0,015

0,025

0,035

0,05

Mantelrohr: 0,5 Zenralrohr: 0,9

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Seite Studienarbeit 256 Ergebnisse

• Variation der der durchströmten Flächen

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4

Zeit [s]

Aus

lenk

ung

[m]

Mantelrohrfläche verdoppeltgegenüber der Zentralrohrfläche beiAuslenkung der Flüssigkeit imMantelrohr

Mantelrohfläche verdoppeltgegenüber der Zentralrohrfläche beiAuslenkung der Flüssigkeit imZentralrohr

Mantelrohrfläche halbiert gegenüberder Zentralrohrfläche beiAuslenkung der Flüssigkeit imMantelrohr

Mantelrohrfläche halbiert gegenüberder Zentralrohrfläche beiAuslenkung der Flüssigkeit imZentralrohr

Gleiche durchströmte Flächen imMantel- und Zentralrohr beiAuslenkung der Flüssigkeit imMantelrohr

Gleiche durchströmte Fläche imMantel- und Zentralrohr beiAuslenkung der Flüssigkeit imZentralrohr

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Seite Studienarbeit 266 Ergebnisse

– Resonanzfrequenzen

• größte Resonanzfrequenz bei den Varianten, wo die Auslenkung der Flüssigkeit in dem Rohrraum mit der kleinsten durchströmten Fläche erfolgt

σ[m]

aus der Simulation ermittelte Resonanzfrequenzen

Fläche im Mantelrohr verdoppelt Fläche im Mantelrohr halbiert

fd [Hz] bei

Auslenkungim Mantelrohr

fd [Hz] bei

Auslenkungim Zentralrohr

fd [Hz] bei

Auslenkungim Mantelrohr

fd [Hz] bei

Auslenkungim Zentralrohr

0,025 0,5389147 0,6102888 0,612769 0,5498805

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Seite Studienarbeit 276 Ergebnisse

• Vergleich der Ergebnisse– Vergleich der Abklingkoeffizienten

 

 σ[m]

gleiche Flächen   Fläche im Mantelrohr verdoppelt Fläche im Mantelrohr halbiert

δ bei Auslenkung

im Mantelrohr

δ beiAuslenkung

im Zentralrohr

δ beiAuslenkung

im Mantelrohr

δ bei Auslenkung

im Zentralrohr

δ beiAuslenkung

im Mantelrohr

δ bei Auslenkung

im Zentralrohr

0,005 - 1,3862944        

0,015 0,6038682 0,6210491        

0,025 0,5992839 0,5981139 0,6443042 0,7607315 0,6217748 0,5247986

0,035 0,5351949 0,413369        

0,05 0,4103751 0,4103751        

0,3

0,5

0,7

0,9

1,1

1,3

1,5

0,00

5

0,01

0,01

5

0,02

0,02

5

0,03

0,03

5

0,04

0,04

5

0,05

Ringspaltweite [m]

Abk

lin

gk

oeff

izie

nt

Abklingkoeffizient beiAuslenkung im Mantelrohr

Abklingkoeffizient beiAuslenkung im Zentralrohr

Abklingkoeffizient beiAuslenkung im Mantelrohr mitverdoppelter MantelrohrflächeAbklingkoeffizient beiAuslenkung im Zentralrohr mitverdoppelter MantelrohrflächeAbklingkoeffizient beiAuslenkung im Mantelrohr mithalbierter MantelrohrflächeAbklingkoeffizient beiAuslenkung im Zentralrohr mithalbierter Mantelrohrfläche

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Seite Studienarbeit 286 Ergebnisse

• Vergleich der Ergebnisse– Vergleich der berechneten Eigenfrequenzen mit den

Resonanzfrequenzen

analytisch berechnete Eigenfrequenzen

über Energieerhaltungssatz mit L1=L2=0,7666m bzw. L1=L2=0,6333m

gleiche Flächen Fläche im Mantelrohr verdoppelt Fläche im Mantelrohr halbiert

f0

[Hz]

f0 [Hz]

Auslenkungim Mantelrohr

f0 [Hz]

Auslenkungim Zentralrohr

f0 [Hz]

AuslenkungIm Mantelrohr

f0 [Hz]

Auslenkungim Zentralrohr

0,59570528 0,569216104 0,626273876 0,626273876 0,569216104

σ[m]

aus der Simulation ermittelte Resonanzfrequenzen

gleiche FlächenFläche im Mantelrohr Verdoppelt

Fläche im Mantelrohrhalbiert

fd [Hz] bei

Auslenkungim Mantelrohr

fd [Hz] bei

Auslenkungim

Zentralrohr

fd [Hz] bei

Auslenkungim

Mantelrohr

fd [Hz] bei

Auslenkungim

Zentralrohr

fd [Hz] bei

Auslenkungim

Mantelrohr

fd [Hz] bei

Auslenkungim

Zentralrohr

0,005 0,5

0,015 0,5134788 0,5158332

0,025 0,5786618 0,5775321 0,5389147 0,6102888 0,612769 0,5498805

0,035 0,5849886 0,5227492

0,05 0,5284738 0,5284738

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Seite Studienarbeit 296 Ergebnisse

0,45

0,47

0,49

0,51

0,53

0,55

0,57

0,59

0,61

0,63

0,65

0,00

5

0,01

0,01

5

0,02

0,02

5

0,03

0,03

5

0,04

0,04

5

0,05

Ringspaltweite [m]

Fre

quen

z [H

z]Eigenfrequenz bei gleichen Flächen

Eigenfrequenz bei Auslenkung imMantelrohr mit verdoppelterMantelrohrfläche

Eigenfrequenz bei Auslenkung imZentralrohr mit verpoppelterMantelrohrfläche

Resonanzfrequenz bei Auslenkung imMantelrohr mit gleichen Flächen

Resonanzfrequenz bei Auslenkung imZentralrohr mit gleichen Flächen

Resonanzfrequenz bei Auslenkung imMantelrohr mit verdoppelterMantelrohrfläche

Resonanzfrequenz bei Auslenkung imZentralrohr mit verdoppelterMantelrohrfläche

Resonanzfrequenz bei Auslenkung imMantelrohr mit halbierterMantelrohrfläche

Resonanzfrequenz bei Auslenkung imZentralrohr mit halbierterMantelrohrfläche

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Seite Studienarbeit 306 Ergebnisse

• schmale Hauptströmung und breite Rückströmung bei 0,015m Ringsp.

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Seite Studienarbeit 316 Ergebnisse

• Geschwindigkeitsvektoren bei der Auslenkung im Mantelrohr und 0,015m Ringspaltweite

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Seite Studienarbeit 326 Ergebnisse

• ebenfalls breite Rückströmung bei 0,005m Ringspaltweite

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Seite Studienarbeit 336 Ergebnisse

• Wirbelbildung im Bereich der Ringspaltweite bei 0,035 und 0,05 m Ringsp.