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7/21/2019 MAT WI Aufgaben Klausurvorbereitung WS2015 16 http://slidepdf.com/reader/full/mat-wi-aufgaben-klausurvorbereitung-ws2015-16 1/5  Prof. Dr. rer. nat. U. Hoffmann Wintersemester 2015/16 M A T H E M A T I K F Ü R W I R T S C H A F T S I N F O M A T I K Aufgaben zur Klausurvorbereitung  AUFGABE 1: (a) Die Funktion N  A :  sei rekursiv auf der Menge A der Zweierpotenzen definiert durch 1 2 ) 1 ( 0  und 1 für 2 2 2 2 1 1   n  n n n . Beweisen Sie bitte durch vollständige Induktion: Für jedes N n  ist   1 2 2 2    n n n  . (b)  Beweisen Sie bitte durch vollständige Induktion: Für jedes N n  ist n n 2 7    durch 5 teilbar. Hinweise: Beachten Sie, dass n n n 2 7 2 7    für 1 n  ist. Für den Induktionsschritt könnten Sie die durch die Punkte (…) angegebene Teilformel in ... 2 7 7 2 7 1 1    n n n n  bestimmen. (c) Beweisen Sie bitte: Jedes N n  mit 4 n  kann als Summe von Summanden geschrieben werden, die nur aus den Ziffern 2 und 5 bestehen. Beispiele: 2 2 4   n ; 5 5  n ; 2 2 2 6   n ; 5 2 7   n ; 2 2 2 2 8   n ; 5 2 2 9   n  usw. (d) Für jedes N n  mit 1 n  sei die Summe n  definiert durch

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Prof. Dr. rer. nat. U. Hoffmann

Wintersemester 2015/16

M A T H E M A T I K F Ü R W I R T S C H A F T S I N F O M A T I K

Aufgaben zur Klausurvorbereitung 

AUFGABE 1:

(a) 

Die Funktion N AT :  sei rekursiv auf der Menge A der Zweierpotenzen definiert durch

12)1( 0 T T   und

1für2222 11   nT T   nnn .

Beweisen Sie bitte durch vollständige Induktion:

Für jedes Nn  ist   1222     nnnT   .

(b) 

Beweisen Sie bitte durch vollständige Induktion:

Für jedes Nn  ist nn 27    durch 5 teilbar.

Hinweise: Beachten Sie, dass nnn 2727    für 1n  ist.

Für den Induktionsschritt könnten Sie die durch die Punkte (…) angegebene

Teilformel in ...27727 11     nnnn  bestimmen.

(c) 

Beweisen Sie bitte:

Jedes Nn  mit 4n  kann als Summe von Summanden geschrieben werden, die nur aus

den Ziffern 2 und 5 bestehen.

Beispiele: 224   n ; 55 n ; 2226   n ; 527   n ; 22228   n ;

5229   n  usw.

(d) 

Für jedes Nn  mit 1n  sei die Summe nS   definiert durch

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n

i

niinn

S 1 1212

1

1212

1 ...

75

1

53

1

31

1.

Beweisen Sie bitte durch vollständige Induktion:

Für jedes Nn  mit 1n  ist 122

1

2

1

nS n  

(e) 

Die Folge 0Nnn

 x  werde definiert durch

11  x ,n

nn x

 x x1

1   für Nn  mit 1n .

Beweisen Sie bitte durch vollständige Induktion:

Für jedes Nn  mit 2n  ist n xn  .

Hinweis: Da alle Werten x   positive (rationale) Zahlen sind, ist die Aussage „   n x

n  “

gleichbedeutend mit „   n xn   2 “. Diese Äquivalenz kann man vielleicht im Induk-

tionsschritt nutzen.

AUFGABE 2: 

Berechnen Sie bitte  

n

i   ii22 2

1 in geschlossener Form, d.h. in einer Darstellung, die nur von n 

abhängt und kein Summenzeichen und keinen Laufindex verwendet.

Hinweis: Zerlegen Sie 22 ii  in zwei Faktoren b xa xii   22 .

AUFGABE 3: 

In der Vorlesung wurde das Pascal’sche Dreieck behandelt, das in der n-ten Zeile und der i-ten

Spalte den Wert   

  

in  angibt ( 0,0     in ). Der Anfang lautet:

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1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

... ...

(a) Die natürliche Zahl n sei ungerade, d.h. n hat die Form 12     mn  mit Nm . Dann ent-

hält die n-te Zeile eine gerade Anzahl von Einträgen. Geben Sie bitte eine geschlossene

Formel (ohne Verwendung des Summenzeichens) für

 

  

    m

i   i

m

0

12 an.

Hinweis: Überlegen Sie, welche Einträge der n-ten Zeile aufsummiert werden und ver-

wenden Sie eine in der Vorlesung hergeleitete Formel.

(b) Nehmen Sie an, dass für 12n   alle Einträge im Pascal’sche Dreieck mit drei Dezimal-

stellen geschrieben werden. Einträge, die weniger als drei Stelle haben, werden durch füh-

rende Nullen ergänzt. Anschließend werden alle Einträge einer Zeile zu einer einzigen

Dezimalzahl zusammengesetzt, die genau aus der Ziffernfolge der Zeile besteht. Bei-

spielsweise entsteht so aus der Zeile 2n  die Zahl

1100012000000110010021001002001     und aus der Zeile 9n   die (sehr

große) Zahl

001009036084126126084036009001 0010090360841261260840360091 .Jede dieser Zahlen lässt sich in der Form n

c  schreiben. Wie lautet die durch die n-te Zeile

(für 12n ) so dargestellte Zahl (das „Verfahren“ funktioniert nur für 12n , da für grö-

ßere Werte von n einige Einträge im Pascal’schen Dreieck vierstellig werden)?

Hinweis: Überlegen Sie, wie man hier die binomische Formel

 

  

 n

i

ninibaba

i

n

0

 

mit „geeigneten“ Werten für a und b anwenden kann.

Spalte 0

Zeile 0

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Aufgaben zur Klausurvorbereitung zu Mathematik für WI , WS 2015/16  Seite 4 von 5

 

(c) 

Berechnen Sie bitte

 

  

 

n

i

i

i

nii

0

31 in geschlossener Form, d.h. in einer Darstellung,

die nur von n abhängt und kein Summenzeichen und keinen Laufindex verwendet.

Hinweis: Es ist   

    

  

  

ina

inii 21 mit einem Faktor a. Wie lautet dieser Faktor?

(d) Es seien Nn  und Nk  . Die Anzahl der Möglichkeiten, k   nichtnegative ganze Zahlen

auszuwählen, deren Summe n  ist, beträgt

 

  

 

n

i   k 

ik 

0 1

1.

Zeigen Sie bitte:

 

  

   

 

  

 

  k 

k n

ik n

i 0 1

1.

AUFGABE 4:

(a) 

Sind die folgenden beiden Abbildungen  f   und g  surjektiv bzw. injektiv? Bitte begründen

Sie Ihre Entscheidung.

 y x y x y x f 

 ,2,:

RRRR 

 y x y x y xg

 ,,,:

RRRRR 

Falls Sie feststellen, dass die Abbildung bijektiv ist, geben Sie bitte die Umkehrabbildungan.

(b) 

Warum gibt es für eine Abbildung f   keine Umkehrabbildung, wenn f  nicht injektiv ist bzw.

wenn f  nicht surjektiv ist?

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AUFGABE 5:

(a) Berechnen Sie bitte das zu 250113 multiplikativ inverse Element in 250250  ,,250   ZZ .

(b) 

Wie lauten die letzten beiden Ziffern der Zahl409653  im Dezimalsystem?