Upload
anonymous-ghkgucm
View
4
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
7/21/2019 MAT WI Aufgaben Klausurvorbereitung WS2015 16
http://slidepdf.com/reader/full/mat-wi-aufgaben-klausurvorbereitung-ws2015-16 1/5
Prof. Dr. rer. nat. U. Hoffmann
Wintersemester 2015/16
M A T H E M A T I K F Ü R W I R T S C H A F T S I N F O M A T I K
Aufgaben zur Klausurvorbereitung
AUFGABE 1:
(a)
Die Funktion N AT : sei rekursiv auf der Menge A der Zweierpotenzen definiert durch
12)1( 0 T T und
1für2222 11 nT T nnn .
Beweisen Sie bitte durch vollständige Induktion:
Für jedes Nn ist 1222 nnnT .
(b)
Beweisen Sie bitte durch vollständige Induktion:
Für jedes Nn ist nn 27 durch 5 teilbar.
Hinweise: Beachten Sie, dass nnn 2727 für 1n ist.
Für den Induktionsschritt könnten Sie die durch die Punkte (…) angegebene
Teilformel in ...27727 11 nnnn bestimmen.
(c)
Beweisen Sie bitte:
Jedes Nn mit 4n kann als Summe von Summanden geschrieben werden, die nur aus
den Ziffern 2 und 5 bestehen.
Beispiele: 224 n ; 55 n ; 2226 n ; 527 n ; 22228 n ;
5229 n usw.
(d)
Für jedes Nn mit 1n sei die Summe nS definiert durch
7/21/2019 MAT WI Aufgaben Klausurvorbereitung WS2015 16
http://slidepdf.com/reader/full/mat-wi-aufgaben-klausurvorbereitung-ws2015-16 2/5
Aufgaben zur Klausurvorbereitung zu Mathematik für WI , WS 2015/16 Seite 2 von 5
n
i
niinn
S 1 1212
1
1212
1 ...
75
1
53
1
31
1.
Beweisen Sie bitte durch vollständige Induktion:
Für jedes Nn mit 1n ist 122
1
2
1
nS n
(e)
Die Folge 0Nnn
x werde definiert durch
11 x ,n
nn x
x x1
1 für Nn mit 1n .
Beweisen Sie bitte durch vollständige Induktion:
Für jedes Nn mit 2n ist n xn .
Hinweis: Da alle Werten x positive (rationale) Zahlen sind, ist die Aussage „ n x
n “
gleichbedeutend mit „ n xn 2 “. Diese Äquivalenz kann man vielleicht im Induk-
tionsschritt nutzen.
AUFGABE 2:
Berechnen Sie bitte
n
i ii22 2
1 in geschlossener Form, d.h. in einer Darstellung, die nur von n
abhängt und kein Summenzeichen und keinen Laufindex verwendet.
Hinweis: Zerlegen Sie 22 ii in zwei Faktoren b xa xii 22 .
AUFGABE 3:
In der Vorlesung wurde das Pascal’sche Dreieck behandelt, das in der n-ten Zeile und der i-ten
Spalte den Wert
in angibt ( 0,0 in ). Der Anfang lautet:
7/21/2019 MAT WI Aufgaben Klausurvorbereitung WS2015 16
http://slidepdf.com/reader/full/mat-wi-aufgaben-klausurvorbereitung-ws2015-16 3/5
Aufgaben zur Klausurvorbereitung zu Mathematik für WI , WS 2015/16 Seite 3 von 5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
... ...
(a) Die natürliche Zahl n sei ungerade, d.h. n hat die Form 12 mn mit Nm . Dann ent-
hält die n-te Zeile eine gerade Anzahl von Einträgen. Geben Sie bitte eine geschlossene
Formel (ohne Verwendung des Summenzeichens) für
m
i i
m
0
12 an.
Hinweis: Überlegen Sie, welche Einträge der n-ten Zeile aufsummiert werden und ver-
wenden Sie eine in der Vorlesung hergeleitete Formel.
(b) Nehmen Sie an, dass für 12n alle Einträge im Pascal’sche Dreieck mit drei Dezimal-
stellen geschrieben werden. Einträge, die weniger als drei Stelle haben, werden durch füh-
rende Nullen ergänzt. Anschließend werden alle Einträge einer Zeile zu einer einzigen
Dezimalzahl zusammengesetzt, die genau aus der Ziffernfolge der Zeile besteht. Bei-
spielsweise entsteht so aus der Zeile 2n die Zahl
1100012000000110010021001002001 und aus der Zeile 9n die (sehr
große) Zahl
001009036084126126084036009001 0010090360841261260840360091 .Jede dieser Zahlen lässt sich in der Form n
c schreiben. Wie lautet die durch die n-te Zeile
(für 12n ) so dargestellte Zahl (das „Verfahren“ funktioniert nur für 12n , da für grö-
ßere Werte von n einige Einträge im Pascal’schen Dreieck vierstellig werden)?
Hinweis: Überlegen Sie, wie man hier die binomische Formel
n
i
ninibaba
i
n
0
mit „geeigneten“ Werten für a und b anwenden kann.
Spalte 0
Zeile 0
7/21/2019 MAT WI Aufgaben Klausurvorbereitung WS2015 16
http://slidepdf.com/reader/full/mat-wi-aufgaben-klausurvorbereitung-ws2015-16 4/5
Aufgaben zur Klausurvorbereitung zu Mathematik für WI , WS 2015/16 Seite 4 von 5
(c)
Berechnen Sie bitte
n
i
i
i
nii
0
31 in geschlossener Form, d.h. in einer Darstellung,
die nur von n abhängt und kein Summenzeichen und keinen Laufindex verwendet.
Hinweis: Es ist
ina
inii 21 mit einem Faktor a. Wie lautet dieser Faktor?
(d) Es seien Nn und Nk . Die Anzahl der Möglichkeiten, k nichtnegative ganze Zahlen
auszuwählen, deren Summe n ist, beträgt
n
i k
ik
0 1
1.
Zeigen Sie bitte:
k
k n
k
ik n
i 0 1
1.
AUFGABE 4:
(a)
Sind die folgenden beiden Abbildungen f und g surjektiv bzw. injektiv? Bitte begründen
Sie Ihre Entscheidung.
y x y x y x f
,2,:
RRRR
y x y x y xg
,,,:
RRRRR
Falls Sie feststellen, dass die Abbildung bijektiv ist, geben Sie bitte die Umkehrabbildungan.
(b)
Warum gibt es für eine Abbildung f keine Umkehrabbildung, wenn f nicht injektiv ist bzw.
wenn f nicht surjektiv ist?
7/21/2019 MAT WI Aufgaben Klausurvorbereitung WS2015 16
http://slidepdf.com/reader/full/mat-wi-aufgaben-klausurvorbereitung-ws2015-16 5/5
Aufgaben zur Klausurvorbereitung zu Mathematik für WI , WS 2015/16 Seite 5 von 5
AUFGABE 5:
(a) Berechnen Sie bitte das zu 250113 multiplikativ inverse Element in 250250 ,,250 ZZ .
(b)
Wie lauten die letzten beiden Ziffern der Zahl409653 im Dezimalsystem?