Mathe 9c – Teil nach den Ferien https://klettbib.livebook.de/978-3-12-742291-7/ (digitale Ausgabe LB)

So ihr Lieben. Ich habe euch vor den Ferien hoffentlich ordentlich gequält

mit Ähnlichkeit und Strahlensätzen.

Bevor es so richtig weiter geht, möchte ich natürlich euer erworbenes Wissen mit euch besprechen und Unklarheiten klären.

Dafür lade ich euch zu folgenden „Zoom-Meetings“ ein:

- Mittwoch, den 22.4. 15:00 Uhr bis 15:40 Uhr Thema: zentrische Streckung (Zeichengeräte bereit halten!)

Link: https://us04web.zoom.us/j/71458833161

- Mittwoch, den 22.4. 16:00 Uhr bis 16:40 Uhr Thema: Strahlensätze (Taschenrechner bereit halten!)

Link: https://us04web.zoom.us/j/72321186076

- Montag, den 27.4. 12:00 Uhr bis 12:40 Uhr

Thema: Einführung in quadratische Funktionen (Parabelschablone bereit halten!)

Link: https://us04web.zoom.us/j/79330131411

- Mittwoch, den 29.4. 16:00 Uhr bis 16:40 Uhr Thema: Weiterführendes zu quadratischen Funktionen

(Parabelschablone bereit halten!) Link: https://us04web.zoom.us/j/79932188102

- Donnerstag, den 30.4. 15:00 Uhr bis 15:40 Uhr

Bei Bedarf und Fragen! Link: https://us04web.zoom.us/j/74688322224

Wichtiges zu den “Zoom-Meetings“: - Ihr müsst eure E-Mail-Adresse eingeben

- Es ist für euch kostenlos - Ihr benötigt Lautsprecher / Kopfhörer

- Ihr könnt ebenfalls Kamera / Mikrofon verwenden - Betrachtet diese Meetings als Unterrichts-Ersatz -> bei vorhandener

Technik erwarte ich eine Teilnahme! - Ich werde NICHT die Aufgaben mit euch vergleichen -> wir gehen

nur bei offenen Fragen auf eure Probleme ein

Zusätzlich erhaltet ihr auf den nächsten Seiten weitere Übungs- und Wiederholungsaufgaben sowie die Lösungen der bisher gestellten

Aufgaben.

Hinweis: besorgt euch bitte bis zum 27.4. eine Parabelschablone!

Aufgabe 1 diese Aufgabe bitte bis zum Meeting am 27.4. fertig stellen

Erstelle einen Spickzettel zu den linearen Funktionen.

Dieser soll beinhalten: - Aussehen bei verschiedenen Anstiegen

- Formel und ihre Bestandteile - Wichtige Punkte der Funktion

- Besondere lineare Funktionen

Aufgabe 2 diese Aufgabe dient zur Vorbereitung auf quadratische Funktionen

und soll daher bis zum 27.4. fertig gestellt sein. Löse im Lehrbuch auf Seite 98 alle Aufgaben.

Aufgabe 3

diese Aufgabe dient zur Vorbereitung auf quadratische Funktionen und soll daher bis zum 27.4. fertig gestellt sein.

a) Beschreibe, wie sich die Funktion bei gleichem m aber

unterschiedlichem n verhält. (Nutze hierfür auch eine Skizze) b) Erkläre, wie man eine Nullstelle bestimmt.

c) Berechne nach deinem Verfahren die Nullstellen für folgende Funktionen:

i) f(x) = 2x – 4 ii) f(x) = -3x – 1

iii) f(x) = -x + 10 d) Überprüfe deine Nullstellen zeichnerisch.

Aufgabe 4

diese Aufgabe bitte bis zum Meeting am 29.4. fertig stellen a) Zeichne die folgenden linearen Funktionen in ein und dasselbe

Koordinatensystem: i) y = x + 1

ii) y = -x -2

iii) y = 2x iv) y = 2x + 1

b) Beschreibe die Lagebeziehungen der linearen Funktionen aus a). c) Berechne, falls vorhanden, die Schnittpunkte der Funktionen.

Aufgabe 5

diese Aufgabe erst nach dem Meeting am 27.4. beginnen! Löse im Lehrbuch auf Seite 101 die Aufgabe 5.

Aufgabe 6

diese Aufgabe erst nach dem Meeting am 29.4. beginnen! Löse im Lehrbuch S. 102 / 3 und S. 104 / 6.

Lösungen Klasse 9c

Aufgabe 0

Vorgehen auf dem AB gezeigt!

Aufgabe 1

Definition Ähnlichkeit: Zwei (oder mehr) Figuren sind genau dann zueinander

ähnlich, wenn sie durch Verschiebung, Drehung, Spiegelung oder Streckung oder

Kombinationen davon ineinander überführt werden können.

Ähnliche Figuren müssen also die gleichen Figuren sein, die sich maximal in ihrer

Größe unterscheiden (Spiegelung, Verschiebung und Drehung ändern die Figuren

ja nicht!). Dabei muss es eine maßstäbliche Vergrößerung sein! (also alle Seiten

um den gleichen Faktor vergrößert oder verkleinert)

S. 83 / 1

1 und 6 sind zueinander ähnlich (gleiche Form, nur andere Größe)

2 und 4 sind zueinander ähnlich

3 und 5 sind zueinander ähnlich

7 und 8 sind zueinander ähnlich

S. 83 / 3

a) nein (unterschiedliche Faktoren: 6:8 = 0,75; 3,5:5 = 0,7)

b) ja (gleicher Streckungsfaktor)

c) ja

d) nein (5,4:4 = 1,35; 9,6:6,4 = 1,5)

Aufgabe 2

Kongruenzsätze Ähnlichkeitssätze

SSS sss

SWS sWs

WSW WWW

SsW ssW

Die größten Unterschiede liegen darin, dass die Ähnlichkeitssätze bei den

Seitenlängen nur das gleiche Verhältnis fordern. Kongruenz erfordert hingegen

absolut gleiche Seitenlängen.

Die Winkelgrößen müssen auch bei der Ähnlichkeit gleich sein!

WSW und WWW beschreiben FAST das Gleiche -> auch bei WSW gilt WWW, nur

dass hier noch zusätzlich eine Seite gleich sein muss.

Lösungen Klasse 9c

S. 83 / 2

Maßstab 1:2 (Oben: Original, a, b; Unten: c, d, e, f)

b, c und e sind kongruent!

Aufgabe 3

S. 83 / 4

u = a + b + c = 7cm + 3cm + 6cm = 16cm

u’ = a’ + b’ + c’ = 24cm

k = u’ / u = 24cm / 16cm = 1,5 (k = a’ / a = b’ / b = c’ / c)

a’ = k * a = 1,5 * 7cm = 10,5cm

b’ = k * b = 1,5 * 3cm = 4,5cm

c’ = k * c = 1,5 * 6cm = 9cm

Probe: 10,5 + 4,5 + 9 = 24

S. 83 / 5

a) k = 6cm / 9cm = 2/3 -> x = 2/3*8cm = 16/3cm; y = 2/3*3cm = 2cm

b) k = 12cm / 10cm = 1,2 -> x = 1,2*5cm = 6cm; y = 7,5cm / 1,2 = 6,25cm

c) k = 8,1cm / 13,5cm = 0,6 -> x = 0,6*12cm = 7,2cm; y = 9,3cm / 0,6 = 15,5cm

d) k = 12cm / 10cm = 1,2 -> x = 0,6*18cm = 10,8cm; y = (18cm/1,2)-x = 4,2cm

Lösungen Klasse 9c

Aufgabe 4

a) sorry für den kleinen Gag -> beides ist natürlich das Gleiche!

b) Konstruktion für die Streckung EINES PUNKTES (muss dann bei Figuren

auf jeden Eckpunkt angewandt werden!)

Gegeben: ein Punkt A, ein Streckungszentrum Z und ein Streckungsfaktor k

1. Zeichne die Gerade g durch A und Z.

2. Zeichne eine weitere Gerade h durch Z, die nicht durch A verläuft.

3. Ziehe um Z einen Kreis j mit beliebigem Radius. Markiere den Schnittpunkt

von j auf h.

4. a) k ist ganzzahlig:

wiederhole Schritt 3 mit gleichem Radius so lange, bis du k Markierungen

hast (neuer Mittelpunkt ist jeweils der neue Schnittpunkt auf h).

z.B. k = 4 -> du brauchst 4 Schnittpunkte auf h.

b) k ist ein gemeiner Bruch, Zähler < Nenner:

wiederhole Schritt 3 mit gleichem Radius so lange, bis du so viele

Markierungen hast, wie der Nenner groß ist (neuer Mittelpunkt ist jeweils

der neue Schnittpunkt auf h).

z.B. k = 3/5 -> du brauchst 5 Schnittpunkte auf h.

c) k ist ein gemeiner Bruch, Zähler > Nenner:

wiederhole Schritt 3 mit gleichem Radius so lange, bis du so viele

Markierungen hast, wie der Zähler groß ist (neuer Mittelpunkt ist jeweils

der neue Schnittpunkt auf h).

d) k ist eine Dezimalzahl:

wandle k in einen gemeinen Bruch um und fahre dann wie bei b) oder c)

fort.

5. a)

verbinde den ersten Schnittpunkt mit A.

b)

verbinde den letzten Schnittpunkt mit A.

c)

verbinde den Schnittpunkt, der dem Wert des Nenners entspricht, mit A.

6. a)

verschiebe die eben entstandene Verbindung parallel in den letzten

Schnittpunkt.

b und c)

verschiebe die eben entstandene Verbindung parallel in den Schnittpunkt,

der dem Zähler entspricht.

7. Der jetzt entstandene Schnittpunkt mit g heißt A‘.

(das werde ich euch an einigen Beispielen noch einmal zeigen!)

Hinweis: Ist k negativ, musst du A zunächst an Z auf g spiegeln.

Lösungen Klasse 9c

c)

S. 79 / 1

k=2

k=2,5

Lösungen Klasse 9c

k=1,5

k=0,5

k=0.75

Lösungen Klasse 9c

S. 79 / 4

a) k=1,5 k=0,75

unten links Original oben rechts Original

b) k=5/3 k=0,5

links Original rechts Original

c) k=7/4 k=2/3

links Original rechts Original

Lösungen Klasse 9c

d) k=5/4 k=3/4

links Original rechts Original

S. 79 / 5

a)

b)

c)

Lösungen Klasse 9c

Aufgabe 5

S. 80 / 10

gegeben: k = 2 gesucht: k2 und k3

Anzahl Schritte: 2 und 3

Lösung: Bsp.: a = 2cm -> a‘ = 4cm -> a’’ = 8cm -> a’’’ = 16cm

k2 = k*k = 4 k3 = k*k*k = 8

Antwort: Bei zwei Schritten beträgt der Faktor 4 und bei drei Schritten 8.

S. 81 / 11

a)

gegeben: k=71% und k=141% gesucht: f als Dezimalzahl

Lösung: f = k/100 * k/100 (jede Seitenlänge wird um Faktor k verändert)

f = 71/100 * 71/100 = 0,5041 (rund 0,5)

f = 141/100 * 141/100 = 1,9881 (rund 2)

Antwort: Die Flächen werden halbiert / verdoppelt.

b)

gegeben: a=25,8cm gesucht: keffektiv

b=19cm

a‘=29,7cm

b‘=21cm

Lösung: ka=a‘/a=29,7cm/25,8cm=1,15

Kb=b‘/b=21cm/19cm=1,11

keffektiv ist der kleinere Wert (sonst passt es nicht mehr auf A4!)

Antwort: Man muss 111% als Faktor einstellen.

Lösungen Klasse 9c

Aufgabe 6

a) SB/SB‘ = SC/SC‘

SB/SB‘ = BC/B’C‘

SB/BC = SB‘/B’C‘

SC/SC‘ = CB/C’B‘

SC/CB = SC‘/C’B‘

b) selbstständig

(wichtig ist: Strahlensatzfigur = Figur mit einem Winkel und zwei

schneidenden und parallelen Geraden!)

c) 1. Strahlensatz: rot

2. Strahlensatz: grün

Aus Umstellung vom 2. Strahlensatz folgt: orange

d) 1. Strahlensatz: Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl

wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.

2. Strahlensatz: Es verhalten sich die Parallelen wie die vom Scheitel

ausgehenden Abschnitte auf den Strahlen.

Aufgabe 7

S. 86 / 1

a) a/b = c/d e/f = a/b = c/d

b) a/d = e/f f/c = a/d = e/f

c) AB/AC = AE/AD BE/CD = AB/AC = AE/AD

d) TQ/TS = TR/TP QR/PS = TQ/TS = TR/TP

Lösungen Klasse 9c

S. 86 / 2

x=3cm

S. 86 / 3

a) 9/6 = x/5 -> 9*5/6 = x =7,5cm

b) 9,5/5,7 = x/3,6 -> 9,5*3,6/5,7 = x = 6cm

c) 9,2/6 = x/12 -> 9,2*12/6 = x = 18,4cm

d) 8,4/6,4 = x/7,2 -> 8,4*7,2/6,4 = x = 9,5cm

e) 5/6 = x/9 -> 5*9/6 = x = 7,5cm

f) 3,5/4,2 = x/5,6 -> 3,5*5,6/4,2 = x = 4,7cm

S. 87 / 4

a) d = 3,5 | f = 10,8

b) c = 6 | e = 7,5

c) d = 4 | e = 10

d) c = 1,5 | d = 2,4

(Hier bitte beachten, dass nur die Teilstücke d und c gegeben sind -> das heißt,

die gesamte Länge des oberen Strahls beträgt b+d und die des unteren Strahls

a+c!!!)

S. 87 / 7

a) (1) 𝑥 =(𝑏+𝑎)∙𝑐

𝑎 (2) 𝑥 =

𝑏∙𝑐

𝑎 (3) 𝑥 =

−𝑎𝑐

𝑎−𝑏=

𝑎𝑐

𝑏−𝑎

b)

(1) x1 = 14 ; x2 = 16,8 ; x3 = 11,4

(2) x1 = 8 ; x2 = 9,6 ; x3 = 6,4

(3) x1 = 18 ; x2 = 21,6 ; x3 = 17,5

c) individuell!

Lösungen Klasse 9c

Aufgabe 8

S. 90 / 1

(1)

gegeben: SA’ = 102m gesucht: AA‘

A’B’ = 57m Breite

AB = 138m ASee

Lösung: 138𝑚

57𝑚=

𝐴𝐴′+102𝑚

102𝑚 -> 𝐴𝐴′ =

138𝑚∙102𝑚

57𝑚− 102𝑚 = 145𝑚

Breite des Sees etwa die Hälfte der Länge = 70m.

Fläche des Sees: ungefähr ASee = 145m * 70m = 10150m²

Antwort: Der See ist etwa 145m lang, 70m breit und hat eine Fläche von

10150m².

(2)

gegeben: AA’ = 86m gesucht: SA

A’B’ = 95m Breite

AB = 58m ASee

Lösung: 58𝑚

95𝑚=

𝑆𝐴

𝑆𝐴+86𝑚 -> 58𝑚(𝑆𝐴 + 86𝑚) = 𝑆𝐴 ∙ 95𝑚 ->

𝑆𝐴 ∙ 58𝑚 + 8170𝑚² = 𝑆𝐴 ∙ 95𝑚->8170𝑚2 = 37𝑚 ∙ 𝑆𝐴 -> 𝑆𝐴 =8170𝑚²

37𝑚= 220𝑚

Breite des Sees etwa die Hälfte der Länge = 110m.

Fläche des Sees: ungefähr ASee = 220m * 110m = 24200m²

Antwort: Der See ist etwa 220m lang, 110m breit und hat eine Fläche von

24200m².

S. 90 / 2

a)

gegeben: Entfernung e=220m gesucht: Höhe des Turms h

Größe g=1,7m

Armlänge a=0,6m

Lineal l=0,23m

Lösung: NR: Berechnung nur der Linealhöhe ℎ𝑜ℎ𝑛𝑒

0,23𝑚=

220𝑚

0,6𝑚 -> ℎ𝑜ℎ𝑛𝑒 =

220𝑚∙0,23𝑚

0,6𝑚= 84,3𝑚

h = hohne + 1,7m = 86m

Antwort: Der Turm ist etwa 86m hoch.

b)

+1cm ℎ =220𝑚∙0,24𝑚

0,6𝑚+ 1,7 = 89,7𝑚

-1cm ℎ =220𝑚∙0,22𝑚

0,6𝑚+ 1,7 = 82,4𝑚

Die Höhe des Turms befindet sich im Intervall [82,4m ; 89,7m]

Lösungen Klasse 9c

c) z.B. muss man das Lineal senkrecht halten (parallel zum Turm), …

S. 90 / 3

gegeben: Abschnitt a = 100m gesucht: Steigung h

Höhe Abschnitt p = 12m

Strecke s = 2300m

Lösung: ℎ

12𝑚=

2300𝑚

100𝑚 -> ℎ =

2300𝑚∙12𝑚

100𝑚= 276𝑚

Antwort: Auf der Strecke von 2,3km bei 12% Steigung steigt die Straße um

276m.

S. 90 / 4

a)

gegeben: SA = 100m gesucht: AB

SA‘ = 25m

A’B‘ = 20m

Lösung: 𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝑆𝐴

𝑆𝐴′ -> 𝐴𝐵 =

𝑆𝐴∙𝐴′𝐵′

𝑆𝐴′= 80𝑚

Antwort: Der See ist 80m breit.

b)

1. Man wählt einen Punkt A, an dem man die Breite AB des Sees messen möchte.

2. Genau parallel zum See (senkrecht zur Breite AB) wird eine Strecke AA‘

abgemessen.

3. Auf dieser Strecke wählt man einen Punkt S.

4. Man bewegt sich von S so, dass man sich auf dem Strahl BS bewegt.

5. Erreicht man den Punkt, dass man wieder senkrecht auf A‘ schaut, so hat man

B‘.

c) 𝐴𝐵 =𝑆𝐴∙𝐴′𝐵′

𝑆𝐴′= 79,84𝑚

Die Auswirkung ist minimal.

d) 𝐴𝐵 =𝑆𝐴∙𝐴′𝐵′

𝑆𝐴′= 79,2𝑚

Die Auswirkung ist etwas größer, aber immer noch gering.