Mathe Zusammenfassung

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    12-Nov-2015

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gesamte Abiturzusammenfassung Niedersachsen

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  • Mathematik-Zusammenfassung

    Inhaltsangabe:

    1. Analysis 1.1. Kurven

    a)Allgemein b)Kurvendiskussion

    Definitionsbereich Symmetrie Schnittpunkte Extrema Wendepunkte Asymptoten Monotonie Krmmungsverhalten

    c) Tangenten d)Ortskurven

    1.2. Integralrechnung a)Flcheninhalt errechnen b)Flcheninhalt zwischen zwei Kurven

    1.3. Extremwertaufgaben 1.4. Wachstums- und Zerfallsprozesse

    a)natrliches exponentielles Wachstum b)beschrnktes Wachstum

    2. Analytische Geometrie / Lineare Algebra 2.1. Rechnen mit Vektoren

    a)Allgemein b)Geraden und Ebenen c) Gegenseitige Lage

    Gerade zu Gerade Gerade zu Ebene

    d)Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren zwischen zwei Geraden zwischen Gerade und Ebene

    2.2. Rechnen mit Matrizen a)Allgemein b)Mehrstufige Prozesse c) Stochastische Prozesse

  • 3. Stochastik 3.1. Kombinatorik 3.2. Binominalverteilung 3.3. Vertrauensintervalle fr nicht bekannte

    Anzahl der Treffer 3.4. Vertrauensintervalle fr nicht bekannte

    Wahrscheinlichkeiten

  • 1. Analysis 1.1. Kurven

    a)Allgemein

  • b)Kurvendiskussion Definitionsbereich

    Wertebereich: Y-WerteDefinitionsbereich: X-Werte (y = 0)

    Symmetrie

    Achsensymmetrisch: f(-x) = f(x)Punktsymmetrisch: f(-x) = -f(x)keine Symmetrie: wenn vorherige Gleichungen nicht zutreffen

    Schnittpunkte

    Schnittpunkt mit der X-Achse: f(x) = 0Schnittpunkt mit der Y-Achse: f(0) ausrechnen

    Extrema

    Extrema bestimmen: 1. Ableitung bilden, gleich 0 setzen und nach x auflsen

    f ' (x) = 0x = x'

    X-Wert in Stammfunktion einsetzen, um Y-Wert zu errechnen

    f(x') = y

    Extrema hat die Koordinaten ( x / f(x') )

    (Lokales) Maximum bestimmen: 2. Ableitung bestimmen und x' einsetzen:

    f ''(x') < 0

    (Lokales) Minimum bestimmen: 2. Ableitung bestimmen und x' einsetzen:

    f ''(x') > 0

  • Wendepunkte

    2. Ableitung bilden, gleich 0 setzen und nach x auflsen

    f ' '(x) = 0x = x''

    X-Wert in Stammfunktion einsetzen, um Y-Wert zu errechnen

    f(x') = y

    Wendepunkt hat die Koordinaten ( x / f(x'') )

    Der Wendepunkt ist ein Sattelpunkt, wenn f ' (x'') gilt.Der Wendepunkt ist eine Links- / Rechtskurve, wenn f '''(x'') < 0 gilt. Der Wendepunkt ist eine Rechts- / Linkskurve, wenn f '''(x'') > 0 gilt.

    Asymptoten

    Senkrechte Asymptoten:

    Es wird die Funktion f(x) =g (x )h( x)

    gesucht wird die Definitionslcke (x0), also der X-Wert bei dem der Nenner 0 ergibt

    untersuchen, ob x0 eine Polstelle ist

    x0 ist eine Polstelle, wenn gilt:g ( x)0h (x)=0

    Der Wert von x0 beschreibt die senkrechte Asymptote

    Waagerechte Asymptoten:

    Es wird die Funktion f(x) =g (x )h( x)

    auf Globalverhalten in Abhngigkeit vom Grad

    des Nenners und Zhlers untersucht 1. Fall (Zhler = Nenner)

    lim f ( x)=cx => y = cAlso waagerechte Asymptote bei c

    2. Fall (Zhler > Nenner)lim f ( x)=

    x lim f ( x)=

    x - Also gibt es keine waagerechte Asymptote

    TI: Limit ((g(x)) / (h(x),x, )

  • 3. Fall (Zhler < Nenner)lim f ( x)=0

    x lim f ( x)=0

    x - Also liegt die Asymptote bei y = 0 (X-Achse)

    Schiefe Asymptoten:

    Es wird eine gebrochen rationale Funktion f(x) =g (x )h( x)

    untersucht

    Man dividiert jeden Summanden des Zhlers mit dem Nenner

    Am Beispiel der Funktion f(x) =3x

    2+ 9x+ 123x

    f(x) = 3x

    2

    3x+9x

    3x+12

    3x

    = x+ 3+4

    x

    Die Asymptote ist ein linearer Teil der Funktion (y=mx+b)a(x) = x+3

    Monotonie

    1. Ableitung ist Steigung f '(x) > 0 f(x) ist streng monoton steigend f '(x) < 0 f(x) ist streng monoton fallend f '(x) = 0 f(x) bleibt konstant

    Krmmungsverhalten

    2. Ableitung (in einem Intervall (a, b)) untersuchen:

    f '' (x) > 0 nach links gekrmmt f '' (x) < 0 nach rechts gekrmmt f '' (x) = 0 keine Krmmung

  • c) Tangenten

    f(t) = y = mx + b

    Tangentengleichung an der Stelle x.

    Steigung berechnen:

    m = f '(x)

    f(x), x und m einsetzen und berechnen:

    f(x) = mx + bf(x) mx = b

    m und b in Tangentengleichung einsetzen:

    f(t) = mx + b

    d)Ortskurven

    2. Ableitung bilden, gleich 0 setzen (bei Extrema: 1. Ableitung) und nach x auflsen:

    f '' (x) = 0x = x''

    Den X-Wert in Funktionsgleichung einsetzen und Ortskurvengleichung bilden:

    f(x'')

    1.2. Integralrechnung

    Dient zur Berechnung des Flcheninhaltes (FE) zwischen Funktion (f(x)) und der X-Achse

    Liegt Flche ganz oder teilweise unterhalb der X-Achse muss der Betrag berechnet werden (abs( ))

    a)Flcheninhalt errechnen

    x und y begrenzen die Flche (Intervall)TI: ( f(x), x, lower, upper)

  • b)Flcheninhalt zwischen zwei Kurven

    x und y begrenzen die Flche (Intervall)

    1.2. Extremwertaufgaben

    gesucht ist ein Maximum oder Minimum Funktion aufstellen Extremwert berechnen (s. 1.1.b Extrema) Zeichnung kann hilfreich sein

    1.3. Wachstums- und Zerfallsprozesse

    Bestand: B(t) Zeit: t Anfangsbestand: a( =B(t=0) ) Wachstumskonstante: k Schranke: S

    a)natrliches exponentielles Wachstum

    B(t) = a * ekt

    b)beschrnktes Wachstum

    B(t) = S - a * e-kt

    TI: ( f(x) g(x) , x, lower, upper)

  • 2. Analytische Geometrie / Lineare Algebra 2.1. Rechnen mit Vektoren

    a)Allgemein

    Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung von einem Punkt zu einem anderen Der obere ist die Verschiebung auf der x1- Achse der Mittlere die

    Verschiebung auf der x2-Achse und der Letzte auf der x3-Achse Ortsvektoren

    Ein Ortsvektor ist die Verbindungsvektor vom Koordinatenursprung zum jeweiligen Punkt.

    Fr A(1/3), B(3/2), C(6,5/1,5) ergeben sich folgende Ortsvektoren:

    a=OA=(13)b=OB=(32)c=OC=(6,51,5)

    RichtungsvektorenEin Richtungsvektor ist der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten

    AB=(b1a1b2a2b3a3

    )=ABAuch Ortsvektoren sind Richtungsvektoren. Sie beginnen im Koordinatenursprung

    Mittelpunktberechnung einer Gerade mit Vektorenzwischen Punkt x = (x1/x2) und y = (y1/y2)

    OM=OA+1

    2 AB

    Man kann Das Ergebnis auch ohne Vektoren errechnen

    M=(x1+ y1

    2

    x2+ y22

    )

  • Der Betrag des VektorsGemeint ist die Lnge des Vektors

    Lnge desVektors a=(a1a2a3)=a=a12+ a22+ a32

    Das Ergebnis beschreibt die Lnge der Strecke des Vektors

    Bei einem 2-dimensionalen Koordinatensystem entspricht die Lngen Berechnung dem Satz des Pythagoras.

    EinheitsvektorBeschreibt eine Einheit bzw. Lnge des Vektors

    a0=1

    aa

    b)Geraden und Ebene

    Bezeichnung der Gerade: G Bezeichnung der Ebene: E Sttzvektor: p Richtungsvektor: PQ (Beachte Beziehung zum Sttzvektor) Spannvektor: AB , AC , BA , BC ,CB und CA Variablen: r, s, t

  • Geraden:G : x= p+ tPQ

    Punkte einer geraden bestimmenZahlen fr die Variable t einsetzen

    PunktprobeDen Vektor des Punkt A (a1/a2/a3) fr x einsetzen

    Ebenen:E : x=a+ rAB+ sACE : x=b+ rBA+ sBCE : x= c+ rCA+ sCB

    PunktprobeDen Vektor des Punkt A (a1/a2/a3) fr x einsetzenDurch Hilfe des LGS prfen, ob es Werte fr r und s gibtIst r und s definierbar, liegt der Punkt auf der Ebene

    c) Gegenseitige Lage Gerade zu Gerade

    Die Geraden Schritt Identisch Parallel Schritt Schneiden

    sichwindschief

    Die Richtungsvektoren sind linear abhngig

    Ja Ja Die Richtungsvektoren sind linear abhngig

    Nein Nein

    Der Sttzvektor (p) der einen gerade liegt auf der anderen

    Ja Nein Man setzt die Geraden gleich und stellt um

    Ja Ja

    Durch LGS Vektorgleichung lsen

    Ja Ja

    Es gibt eine Lsung

    Ja Nein

    Werte der Variablen in eine Geradengleichung einsetzen um Schnittpunkt zu errechnen

    Ja

  • Gerade zu Ebene

    Normalvektor bildenI : xSpannvektor 1=0II : xSpannvektor 2=0

    Durch LGS x1, x2 und x3 bestimmen

    Den Normalvektor aufstellen n=(x1x2x3)

    Skalarprodukt bestimmenBetrag von Richtungsvektor von G * Normalvektor bestimmenWenn Ergebnis0 dann schneiden sich Gerade und EbeneWenn das Ergebnis = 0 ist G orthogonal (senkrecht) zu E

    Schnittpunkt ermittelnGerade und Ebene gleichsetzen und umstellenGleichung durch LGS lsenWerte der Variablen in Gleichung einsetzen um Schnittpunkt zu errechnen

    d)Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren

    cos ( )=ab

    ab=x

    Das Ergebnis x mit dem GTR berechnen Das Ergebnis ist immer 0x90

    zwischen zwei Geraden

    cos=( p1 p2)p1p2

    =x

    Das Ergebnis x mit dem GTR berechnen Das Ergebnis ist immer 0x90

    zwischen Gerade und Ebene

    sin=( PQn)PQn

    =x

    Das Ergebnis x mit dem GTR berechnen

    Fr das LGS

    TI: rref((2nd,) x1,x2,x3;x1,x2x3;x1x2x3 (2nd/))

    Fr das LGS

    TI: solve(... and and ... and,{x1,x2,x3})

    TI:2nd cos(x)

  • Das Ergebnis ist immer 0x90

    2.2. Rechnen mit Matrizen a)Allgemein

    Schreibweise einer Matrix:

    =

    333231

    232221

    131211

    ccc

    ccc

    ccc

    c

    Man spricht in diesem Fall von einer 3*3 Matrix

    Die Inversematrix und die Einheitsmatrix:

    =

    100

    010

    001

    E

    Die Einheitsmatrix hat unabhngig von der Gre immer die gleiche Form( Diagonale 1er Reihe und Rest 0en)

    =

    =

    100

    010

    001

    *

    *

    333231

    232221

    131211

    1

    ihg

    fed

    cba

    aaa

    aac

    aaa

    EAA

    Die Inversematrix (A-1) ist die Matrix die man mit A multiplizieren muss um E zu erhalten.Mit der Inversenmatrix wird ein rckwirkender Schritt berechnet.

    EndproduktoduktAusgangspr

    EndproduktoduktAusgangspr

    A

    A

    1

    Zum eingeben einer Matrix in den GTR

    TI: (2nd,) c11,c12,c13;c21,c22,c23;c31,c32,c33 (2nd /)

  • Veranschaulichung der Multiplikation von Matrizen per Hand:

    R1 R2 R3Z1 3 4 1Z2 3 2 4

    Z1 Z2E1 3 2 (2*3+1*3) 15 16 11E2 2 1 9 10 6E3 3 3 18 18 13

    b)Mehrstufige Prozesse

    zur Herstellung von 2 Zwischenprodukten Z1 und Z2 drei verschiedene Rohstoffe R1, R2, und R3 bentigt. Aus den beiden Zwischenprodukten entstehen dann 3 verschiedene Endprodukte E1, E2 und E3.

    3 3 4 2 1 4

    3 2 2 1 3 3

    Der Bedarf an Zwischenprodukten fr die Endprodukte und der Bedarf an Rohstoffen fr die Zwischenprodukte kann auch in Form von Tabellen angegeben werden:

    Will man Die Anzahl von R, Z oder E errechnen brauch man folgende Formeln:

    =

    2

    1

    3

    2

    1

    33

    12

    23

    Z

    Z

    E

    E

    E

    =

    3

    2

    1

    2

    1

    423

    143

    R

    R

    R

    Z

    Z

    R1 R2 R3

    Z1 Z2

    E1 E2 E3

    Die Zahlen an den Pfeilen zeigen die Bentigte Menge

    Z1 Z2

    E1 3 2

    E2 2 1

    E3 3 3

    R1 R2 R3

    Z1 3 4 1

    Z2 3 2 4

  • c) Stochastische Prozesse

    hnlich wie bei den mehrstufigen Prozessen kann man die Beziehungen der stochastischen Matrix in Diagrammform (bergangsdiagramm),

    0,5

    0,8 0,2

    0,3 0,2 0,1

    0,1 0,3 0,5

    oder in Tabellenform (bergangstabelle) darstellen.

    VON

    NACH

    I II III

    I 0,5 0,2 0,8

    II 0,2 0,5 0,1

    III 0,3 0,3 0,1

    Vor allem aus der Tabelle lsst sich besonders einfach die bergangsmatrix ablesen!

    =

    1,03,03,0

    1,05,02,0

    8,02,05,0

    p

    Der Startvektor beschreibt die Anfngliche Verteilung.

    =

    3

    2

    1

    x

    x

    x

    x

    Die stabile Grenzverteilung beschreibt die Verteilung, bei der keine Vernderung mehr statt findet. Die Verteilung also konstant bleibt.

    gxpkk

    =

    *lim

    I

    III II

  • Die Grenzmatrix ist ebenfalls eine stabile Verteilung, sie Bercksichtigt jedoch nicht die Anfangsverteilung.

    Gpkk

    =

    lim

    Der Fixvektor beschreibt die stabile Verteilung in Vektorform. (Jedes Vielfache vom Fixvektor ist dennoch ein Fixvektor)

    k

    kp

    lim jedoch als Vektor geschrieben also

    =

    3

    2

    1

    g

    g

    g

    g

  • 3. Stochastik 3.1. Kombinatorik

    Mglichkeiten der Stichprobe: N Umfang der Stichprobe: n Mgliche Kombinationen: k

    Permutation: Ziehen ohne Zurcklegen unter Beachtung der Reihenfolge

    Normalfall, wenn gilt n-k+1

    n(n1)(n2)...(nk+ 1)

    Sonderfall, wenn n = k

    n!

    Variation: Ziehen mit Zurcklegen unter Beachtung der Reihenfolge

    N=nk

    Kombination: Ziehen ohne Zurcklegen ohne Beachtung der

    Reihenfolge

    3.2. Binominalverteilung

    Anzahl der Versuche: nWahrscheinlichkeit fr einen Treffer: pAnzahl der Treffer: rZufallsgre: XIntervall: kleinst und grt mgliches r (von r 1 bis r 2)

    TI: (n) 2nd w

    Text 2: hlkhklhkl

    TI: nCr (n,k)

    Text 3: hlkhklhkl

    Fr ein bestimmtes einzelnes Ergebnis

    TI: binompdf (n,p,r)

    Fr ein in einem Intervall liegendes Ergebnis

    TI: binomcdf (n,p,lower,upper)

    TI: nPr (n,k)

    Text 1: hlkhklhkl

  • 3.3. Vertrauensintervalle fr nicht bekannte Anzahl der Treffer

    Wenn r nicht bekannt ist kann man durch die Ermittlung des Erwartungswertes und der Standartabweichung eine abgeben

    Erwartungswert: E (x )==npStandartabweichung: =((1 p))

    Nachdem Erwartungswert und Standartabweichung errechnet worden sind, muss man das Intervall fr r festlegen

    [-x*X +x*] x steht fr das x-te Vielfache von Sigma; je grer x desto kleiner wird das Intervall und desto genauer das Ergebnis fr r

    Das errechnete Intervall in die Gleichung B(n,p,r) einsetzen

    3.4. Vertrauensintervalle fr nicht bekannte Wahrscheinlichkeiten

    Man errechnet die relative Hufigkeit h

    h=r

    n

    n, r und h in die Formel fr unbekannte Wahrscheinlichkeiten einsetzen

    (hc(h(1h))n h h+ c (h(1h))n )

    TI: ( f(x), x, lower, upper)TI: ( f(x) g(x) , x, lower, upper)Fr das LGSFr das LGSZum eingeben einer Matrix in den GTRTI: (2nd,) c11,c12,c13;c21,c22,c23;c31,c32,c33 (2nd /)TI: nPr (n,k)TI: (n) 2nd wTI: nCr (n,k)Fr ein bestimmtes einzelnes ErgebnisTI: binompdf (n,p,r)Fr ein in einem Intervall liegendes ErgebnisTI: binomcdf (n,p,lower,upper)