Mathematik-Zusammenfassung

Inhaltsangabe:

1. Analysis 1.1. Kurven

a)Allgemein b)Kurvendiskussion

Definitionsbereich Symmetrie Schnittpunkte Extrema Wendepunkte Asymptoten Monotonie Krmmungsverhalten

c) Tangenten d)Ortskurven

1.2. Integralrechnung a)Flcheninhalt errechnen b)Flcheninhalt zwischen zwei Kurven

1.3. Extremwertaufgaben 1.4. Wachstums- und Zerfallsprozesse

a)natrliches exponentielles Wachstum b)beschrnktes Wachstum

2. Analytische Geometrie / Lineare Algebra 2.1. Rechnen mit Vektoren

a)Allgemein b)Geraden und Ebenen c) Gegenseitige Lage

Gerade zu Gerade Gerade zu Ebene

d)Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren zwischen zwei Geraden zwischen Gerade und Ebene

2.2. Rechnen mit Matrizen a)Allgemein b)Mehrstufige Prozesse c) Stochastische Prozesse

3. Stochastik 3.1. Kombinatorik 3.2. Binominalverteilung 3.3. Vertrauensintervalle fr nicht bekannte

Anzahl der Treffer 3.4. Vertrauensintervalle fr nicht bekannte

Wahrscheinlichkeiten

1. Analysis 1.1. Kurven

a)Allgemein

b)Kurvendiskussion Definitionsbereich

Wertebereich: Y-WerteDefinitionsbereich: X-Werte (y = 0)

Symmetrie

Achsensymmetrisch: f(-x) = f(x)Punktsymmetrisch: f(-x) = -f(x)keine Symmetrie: wenn vorherige Gleichungen nicht zutreffen

Schnittpunkte

Schnittpunkt mit der X-Achse: f(x) = 0Schnittpunkt mit der Y-Achse: f(0) ausrechnen

Extrema

Extrema bestimmen: 1. Ableitung bilden, gleich 0 setzen und nach x auflsen

f ' (x) = 0x = x'

X-Wert in Stammfunktion einsetzen, um Y-Wert zu errechnen

f(x') = y

Extrema hat die Koordinaten ( x / f(x') )

(Lokales) Maximum bestimmen: 2. Ableitung bestimmen und x' einsetzen:

f ''(x') < 0

(Lokales) Minimum bestimmen: 2. Ableitung bestimmen und x' einsetzen:

f ''(x') > 0

Wendepunkte

2. Ableitung bilden, gleich 0 setzen und nach x auflsen

f ' '(x) = 0x = x''

X-Wert in Stammfunktion einsetzen, um Y-Wert zu errechnen

f(x') = y

Wendepunkt hat die Koordinaten ( x / f(x'') )

Der Wendepunkt ist ein Sattelpunkt, wenn f ' (x'') gilt.Der Wendepunkt ist eine Links- / Rechtskurve, wenn f '''(x'') < 0 gilt. Der Wendepunkt ist eine Rechts- / Linkskurve, wenn f '''(x'') > 0 gilt.

Asymptoten

Senkrechte Asymptoten:

Es wird die Funktion f(x) =g (x )h( x)

gesucht wird die Definitionslcke (x0), also der X-Wert bei dem der Nenner 0 ergibt

untersuchen, ob x0 eine Polstelle ist

x0 ist eine Polstelle, wenn gilt:g ( x)0h (x)=0

Der Wert von x0 beschreibt die senkrechte Asymptote

Waagerechte Asymptoten:

Es wird die Funktion f(x) =g (x )h( x)

auf Globalverhalten in Abhngigkeit vom Grad

des Nenners und Zhlers untersucht 1. Fall (Zhler = Nenner)

lim f ( x)=cx => y = cAlso waagerechte Asymptote bei c

2. Fall (Zhler > Nenner)lim f ( x)=

x lim f ( x)=

x - Also gibt es keine waagerechte Asymptote

TI: Limit ((g(x)) / (h(x),x, )

3. Fall (Zhler < Nenner)lim f ( x)=0

x lim f ( x)=0

x - Also liegt die Asymptote bei y = 0 (X-Achse)

Schiefe Asymptoten:

Es wird eine gebrochen rationale Funktion f(x) =g (x )h( x)

untersucht

Man dividiert jeden Summanden des Zhlers mit dem Nenner

Am Beispiel der Funktion f(x) =3x

2+ 9x+ 123x

f(x) = 3x

2

3x+9x

3x+12

3x

= x+ 3+4

x

Die Asymptote ist ein linearer Teil der Funktion (y=mx+b)a(x) = x+3

Monotonie

1. Ableitung ist Steigung f '(x) > 0 f(x) ist streng monoton steigend f '(x) < 0 f(x) ist streng monoton fallend f '(x) = 0 f(x) bleibt konstant

Krmmungsverhalten

2. Ableitung (in einem Intervall (a, b)) untersuchen:

f '' (x) > 0 nach links gekrmmt f '' (x) < 0 nach rechts gekrmmt f '' (x) = 0 keine Krmmung

c) Tangenten

f(t) = y = mx + b

Tangentengleichung an der Stelle x.

Steigung berechnen:

m = f '(x)

f(x), x und m einsetzen und berechnen:

f(x) = mx + bf(x) mx = b

m und b in Tangentengleichung einsetzen:

f(t) = mx + b

d)Ortskurven

2. Ableitung bilden, gleich 0 setzen (bei Extrema: 1. Ableitung) und nach x auflsen:

f '' (x) = 0x = x''

Den X-Wert in Funktionsgleichung einsetzen und Ortskurvengleichung bilden:

f(x'')

1.2. Integralrechnung

Dient zur Berechnung des Flcheninhaltes (FE) zwischen Funktion (f(x)) und der X-Achse

Liegt Flche ganz oder teilweise unterhalb der X-Achse muss der Betrag berechnet werden (abs( ))

a)Flcheninhalt errechnen

x und y begrenzen die Flche (Intervall)TI: ( f(x), x, lower, upper)

b)Flcheninhalt zwischen zwei Kurven

x und y begrenzen die Flche (Intervall)

1.2. Extremwertaufgaben

gesucht ist ein Maximum oder Minimum Funktion aufstellen Extremwert berechnen (s. 1.1.b Extrema) Zeichnung kann hilfreich sein

1.3. Wachstums- und Zerfallsprozesse

Bestand: B(t) Zeit: t Anfangsbestand: a( =B(t=0) ) Wachstumskonstante: k Schranke: S

a)natrliches exponentielles Wachstum

B(t) = a * ekt

b)beschrnktes Wachstum

B(t) = S - a * e-kt

TI: ( f(x) g(x) , x, lower, upper)

2. Analytische Geometrie / Lineare Algebra 2.1. Rechnen mit Vektoren

a)Allgemein

Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung von einem Punkt zu einem anderen Der obere ist die Verschiebung auf der x1- Achse der Mittlere die

Verschiebung auf der x2-Achse und der Letzte auf der x3-Achse Ortsvektoren

Ein Ortsvektor ist die Verbindungsvektor vom Koordinatenursprung zum jeweiligen Punkt.

Fr A(1/3), B(3/2), C(6,5/1,5) ergeben sich folgende Ortsvektoren:

a=OA=(13)b=OB=(32)c=OC=(6,51,5)

RichtungsvektorenEin Richtungsvektor ist der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten

AB=(b1a1b2a2b3a3

)=ABAuch Ortsvektoren sind Richtungsvektoren. Sie beginnen im Koordinatenursprung

Mittelpunktberechnung einer Gerade mit Vektorenzwischen Punkt x = (x1/x2) und y = (y1/y2)

OM=OA+1

2 AB

Man kann Das Ergebnis auch ohne Vektoren errechnen

M=(x1+ y1

2

x2+ y22

)

Der Betrag des VektorsGemeint ist die Lnge des Vektors

Lnge desVektors a=(a1a2a3)=a=a12+ a22+ a32

Das Ergebnis beschreibt die Lnge der Strecke des Vektors

Bei einem 2-dimensionalen Koordinatensystem entspricht die Lngen Berechnung dem Satz des Pythagoras.

EinheitsvektorBeschreibt eine Einheit bzw. Lnge des Vektors

a0=1

aa

b)Geraden und Ebene

Bezeichnung der Gerade: G Bezeichnung der Ebene: E Sttzvektor: p Richtungsvektor: PQ (Beachte Beziehung zum Sttzvektor) Spannvektor: AB , AC , BA , BC ,CB und CA Variablen: r, s, t

Geraden:G : x= p+ tPQ

Punkte einer geraden bestimmenZahlen fr die Variable t einsetzen

PunktprobeDen Vektor des Punkt A (a1/a2/a3) fr x einsetzen

Ebenen:E : x=a+ rAB+ sACE : x=b+ rBA+ sBCE : x= c+ rCA+ sCB

PunktprobeDen Vektor des Punkt A (a1/a2/a3) fr x einsetzenDurch Hilfe des LGS prfen, ob es Werte fr r und s gibtIst r und s definierbar, liegt der Punkt auf der Ebene

c) Gegenseitige Lage Gerade zu Gerade

Die Geraden Schritt Identisch Parallel Schritt Schneiden

sichwindschief

Die Richtungsvektoren sind linear abhngig

Ja Ja Die Richtungsvektoren sind linear abhngig

Nein Nein

Der Sttzvektor (p) der einen gerade liegt auf der anderen

Ja Nein Man setzt die Geraden gleich und stellt um

Ja Ja

Durch LGS Vektorgleichung lsen

Ja Ja

Es gibt eine Lsung

Ja Nein

Werte der Variablen in eine Geradengleichung einsetzen um Schnittpunkt zu errechnen

Ja

Gerade zu Ebene

Normalvektor bildenI : xSpannvektor 1=0II : xSpannvektor 2=0

Durch LGS x1, x2 und x3 bestimmen

Den Normalvektor aufstellen n=(x1x2x3)

Skalarprodukt bestimmenBetrag von Richtungsvektor von G * Normalvektor bestimmenWenn Ergebnis0 dann schneiden sich Gerade und EbeneWenn das Ergebnis = 0 ist G orthogonal (senkrecht) zu E

Schnittpunkt ermittelnGerade und Ebene gleichsetzen und umstellenGleichung durch LGS lsenWerte der Variablen in Gleichung einsetzen um Schnittpunkt zu errechnen

d)Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren

cos ( )=ab

ab=x

Das Ergebnis x mit dem GTR berechnen Das Ergebnis ist immer 0x90

zwischen zwei Geraden

cos=( p1 p2)p1p2

=x

Das Ergebnis x mit dem GTR berechnen Das Ergebnis ist immer 0x90

zwischen Gerade und Ebene

sin=( PQn)PQn

=x

Das Ergebnis x mit dem GTR berechnen

Fr das LGS

TI: rref((2nd,) x1,x2,x3;x1,x2x3;x1x2x3 (2nd/))

Fr das LGS

TI: solve(... and and ... and,{x1,x2,x3})

TI:2nd cos(x)

Das Ergebnis ist immer 0x90

2.2. Rechnen mit Matrizen a)Allgemein

Schreibweise einer Matrix:

=

333231

232221

131211

ccc

ccc

ccc

c

Man spricht in diesem Fall von einer 3*3 Matrix

Die Inversematrix und die Einheitsmatrix:

=

100

010

001

E

Die Einheitsmatrix hat unabhngig von der Gre immer die gleiche Form( Diagonale 1er Reihe und Rest 0en)

=

=

100

010

001

*

*

333231

232221

131211

1

ihg

fed

cba

aaa

aac

aaa

EAA

Die Inversematrix (A-1) ist die Matrix die man mit A multiplizieren muss um E zu erhalten.Mit der Inversenmatrix wird ein rckwirkender Schritt berechnet.

EndproduktoduktAusgangspr

EndproduktoduktAusgangspr

A

A

1

Zum eingeben einer Matrix in den GTR

TI: (2nd,) c11,c12,c13;c21,c22,c23;c31,c32,c33 (2nd /)

Veranschaulichung der Multiplikation von Matrizen per Hand:

R1 R2 R3Z1 3 4 1Z2 3 2 4

Z1 Z2E1 3 2 (2*3+1*3) 15 16 11E2 2 1 9 10 6E3 3 3 18 18 13

b)Mehrstufige Prozesse

zur Herstellung von 2 Zwischenprodukten Z1 und Z2 drei verschiedene Rohstoffe R1, R2, und R3 bentigt. Aus den beiden Zwischenprodukten entstehen dann 3 verschiedene Endprodukte E1, E2 und E3.

3 3 4 2 1 4

3 2 2 1 3 3

Der Bedarf an Zwischenprodukten fr die Endprodukte und der Bedarf an Rohstoffen fr die Zwischenprodukte kann auch in Form von Tabellen angegeben werden:

Will man Die Anzahl von R, Z oder E errechnen brauch man folgende Formeln:

=

2

1

3

2

1

33

12

23

Z

Z

E

E

E

=

3

2

1

2

1

423

143

R

R

R

Z

Z

R1 R2 R3

Z1 Z2

E1 E2 E3

Die Zahlen an den Pfeilen zeigen die Bentigte Menge

Z1 Z2

E1 3 2

E2 2 1

E3 3 3

R1 R2 R3

Z1 3 4 1

Z2 3 2 4

c) Stochastische Prozesse

hnlich wie bei den mehrstufigen Prozessen kann man die Beziehungen der stochastischen Matrix in Diagrammform (bergangsdiagramm),

0,5

0,8 0,2

0,3 0,2 0,1

0,1 0,3 0,5

oder in Tabellenform (bergangstabelle) darstellen.

VON

NACH

I II III

I 0,5 0,2 0,8

II 0,2 0,5 0,1

III 0,3 0,3 0,1

Vor allem aus der Tabelle lsst sich besonders einfach die bergangsmatrix ablesen!

=

1,03,03,0

1,05,02,0

8,02,05,0

p

Der Startvektor beschreibt die Anfngliche Verteilung.

=

3

2

1

x

x

x

x

Die stabile Grenzverteilung beschreibt die Verteilung, bei der keine Vernderung mehr statt findet. Die Verteilung also konstant bleibt.

gxpkk

=

*lim

I

III II

Die Grenzmatrix ist ebenfalls eine stabile Verteilung, sie Bercksichtigt jedoch nicht die Anfangsverteilung.

Gpkk

=

lim

Der Fixvektor beschreibt die stabile Verteilung in Vektorform. (Jedes Vielfache vom Fixvektor ist dennoch ein Fixvektor)

k

kp

lim jedoch als Vektor geschrieben also

=

3

2

1

g

g

g

g

3. Stochastik 3.1. Kombinatorik

Mglichkeiten der Stichprobe: N Umfang der Stichprobe: n Mgliche Kombinationen: k

Permutation: Ziehen ohne Zurcklegen unter Beachtung der Reihenfolge

Normalfall, wenn gilt n-k+1

n(n1)(n2)...(nk+ 1)

Sonderfall, wenn n = k

n!

Variation: Ziehen mit Zurcklegen unter Beachtung der Reihenfolge

N=nk

Kombination: Ziehen ohne Zurcklegen ohne Beachtung der

Reihenfolge

3.2. Binominalverteilung

Anzahl der Versuche: nWahrscheinlichkeit fr einen Treffer: pAnzahl der Treffer: rZufallsgre: XIntervall: kleinst und grt mgliches r (von r 1 bis r 2)

TI: (n) 2nd w

Text 2: hlkhklhkl

TI: nCr (n,k)

Text 3: hlkhklhkl

Fr ein bestimmtes einzelnes Ergebnis

TI: binompdf (n,p,r)

Fr ein in einem Intervall liegendes Ergebnis

TI: binomcdf (n,p,lower,upper)

TI: nPr (n,k)

Text 1: hlkhklhkl

3.3. Vertrauensintervalle fr nicht bekannte Anzahl der Treffer

Wenn r nicht bekannt ist kann man durch die Ermittlung des Erwartungswertes und der Standartabweichung eine abgeben

Erwartungswert: E (x )==npStandartabweichung: =((1 p))

Nachdem Erwartungswert und Standartabweichung errechnet worden sind, muss man das Intervall fr r festlegen

[-x*X +x*] x steht fr das x-te Vielfache von Sigma; je grer x desto kleiner wird das Intervall und desto genauer das Ergebnis fr r

Das errechnete Intervall in die Gleichung B(n,p,r) einsetzen

3.4. Vertrauensintervalle fr nicht bekannte Wahrscheinlichkeiten

Man errechnet die relative Hufigkeit h

h=r

n

n, r und h in die Formel fr unbekannte Wahrscheinlichkeiten einsetzen

(hc(h(1h))n h h+ c (h(1h))n )

TI: ( f(x), x, lower, upper)TI: ( f(x) g(x) , x, lower, upper)Fr das LGSFr das LGSZum eingeben einer Matrix in den GTRTI: (2nd,) c11,c12,c13;c21,c22,c23;c31,c32,c33 (2nd /)TI: nPr (n,k)TI: (n) 2nd wTI: nCr (n,k)Fr ein bestimmtes einzelnes ErgebnisTI: binompdf (n,p,r)Fr ein in einem Intervall liegendes ErgebnisTI: binomcdf (n,p,lower,upper)