Mathematical Quantum mechanics

MathematicalQuantum mechanics ∗

Winter 2017/18

Parts are taken from Stefan TeufelMathematisches Institut

Uni Tubingen

1. Februar 2018

∗Diese vorlaufige Version des Skriptums ist nur zum Gebrauch parallel zum Besuch derVorlesung gedacht. Das Studium des Skripts kann den Besuch der Vorlesung nichtersetzen! Falls Sie Fehler finden, teilen Sie mir diese (auch die offensichtlichen) bittemit!

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Die freie Schrodingergleichung 52.1 Die Fouriertransformation auf S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Temperierte Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Die Schrodingergleichung mit Potential 173.1 Vorbemerkungen zu Hilbert- und Banachraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Unitare Gruppen und ihre Erzeuger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Selbstadjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Unbounded self-adjointness operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Spectral theorem 43

5 Compact operators 535.1 Hilbert-Schmidt- und trace-class-operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

iii

1 Einleitung

Physikalische Fragestellung:Wir betrachten zunachst die Dynamik eines einzelnen quantenmechanischen Teilchens im Orts-raum Rd (fur d = 1, 2, 3 ist dies physikalisch relevant) unter dem Einfluss einer außeren orts-abhangigen Kraft F (x) = −∇V (x). Die Funktion V : Rd → R heißt Potential.

Beispielsweise ware fur ein Elektron im Feld eines Kerns am Ort x = 0 die Raumdimension d = 3und das sog. Coulombpotential V (x) = − Z

|x| , wobei Z die Ladungszahl des Kerns ist.

1.1 Definition. Quantenmechanische Beschreibung: ein einzelnes Teilchen

(1) Der Zustand des Systems wird durch die Wellenfunktion ψ : Rt × Rdx → C beschrieben,wobei

‖ψ(t, ·)‖2L2(Rd) :=

∫Rd

|ψ(t, x)|2 dx = 1

angenommen wird. Physikalisch interpretieren wir ρ(t, x) := |ψ(t, x)|2 als die Wahrschein-lichkeitsdichte fur den Ort X(t) des Teilchens zum Zeitpunkt t.Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen zum Zeitpunkt t in einem Gebiet Λ ⊂ Rdbefindet, ist also

P (X(t) ∈ Λ) = Pψt(Λ) =

∫Λ|ψ(t, x)|2 dx .

Es ist ρ also keine Massen- oder Ladungsdichte, sondern eine Wahrscheinlichkeitsdichte furden Aufenthaltsort eines Punktteilchens.

(2) Die Dynamik des Zustands, d.h. dessen zeitliche Veranderung, wird durch die Schrodin-gergleichung

i~∂

∂tψ(t, x) = − ~2

2m∆xψ(t, x) + V (x)ψ(t, x) =: Hψ(t, x)

beschrieben, wobei die Naturkonstante ~ das Planck’sche Wirkungsquantum heißt, m dieMasse des Teilchens und V das Potential ist. Der Laplaceoperator ist

∆x :=

d∑j=1

∂2

∂x2j

.

Der Differentialoperator H, der sog. Hamiltonoperator, ist damit gegeben durch

H = − ~2

2m∆x + V (x) .

Die Schrodingergleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung (der Hamiltonope-rator selbst ist fur typische Potentiale elliptisch), deren Losungstheorie ein zentrales Themadieser Vorlesung sein wird.

1.2 Kommentar. Vergleich zur klassischen Mechanik

Die Newtonschen Bewegungsgleichungen fur ein Teilchen im Potential V sind

m q(t) = F (q(t)) = −∇V (q(t))

1

1 Einleitung

wobei q der Ort des Teilchens ist. Wir konnen dies in ein System von Differentialgleichungenerster Ordnung umwandeln, indem wir p(t) := m q(t) einfuhren und

d

dt

(q(t)p(t)

)=

(1mp(t)

−∇V (q(t))

)=

(∇pH(q, p)−∇qH(q, p)

)schreiben, wobei H(q, p) = |p|2

2m + V (q) die klassische Hamiltonfunktion ist. Vergleichen wir diesmit dem Hamiltonoperator der Quantenmechanik, so sehen wir, dass dieser aus der klassischenHamiltonfunktion durch sog.

”kanonische Quantisierung“ entsteht: man faßt H als Operator auf,

der auf Funktionen von x operiert, indem man q durch x und p durch −i~∇x ersetzt.

1.3 Remark. Da die Quantenmechanik die fundamentalere Theorie ist, ist physikalisch naturlichdie umgekehrte Frage relevant: Wie laßt sich aus der Quantenmechanik die klassische Beschrei-bung in geeigneten Grenzfallen herleiten?

1.4 Definition. Quantenmechanische Beschreibung: n > 1 Teilchen

Fur n Teilchen lebt die Wellenfunktion auf dem Konfigurationsraum (Rd)n = Rdn, d.h. die Kon-figuration x = (x1, . . . , xn) ∈ Rdn ist durch die Orte x1, . . . , xn ∈ Rd aller Teilchen gegeben. DieWellenfunktion ψ : Rt ×Rdnx → C ist wieder eine komplexwertige Funktion auf dem Konfigurati-onsraum, deren physikalische Interpretation unverandert bleibt: |ψ(t, x)|2 = |ψ(t, x1, . . . , xn)|2 istdie Dichte der gemeinsamen Verteilung der Orte aller n Teilchen zum Zeitpunkt t. Die Schrodin-gergleichung ist jetzt

i~ ∂tψ(t, x) =(− ~2

2

n∑j=1

1

mj∆xj + V (x)

)ψ(t, x) .

1.5 Remark. Versucht man die Schrodingergleichung numerisch zu losen, so stoßt man wegender hohen Dimension des Konfigurationsraums schon bei relativ kleinen Teilchenzahlen n anGrenzen. Selbst fur “kleinere” Systeme wie Atome und Molekule ist eine direkte numerischeLosung fast unmoglich und es sind ausgeklugelte Naherungsverfahren notwendig, um uberhauptapproximative Aussagen zu bekommen.

1.6 Example. Das Coulomb-Potential

Das in der Quantenmechanik wohl wichtigste Potential ist das Coulomb-Wechselwirkungspotentialvon n Punktteilchen mit den Ladungen ej gegeben durch

VCoul(x) =

n−1∑j=1

n∑i=j+1

ejei|xi − xj |

.

1.7 Definition. Die zeitunabhangige Schrodingergleichung

Wir nennen i∂tψ = Hψ die zeitabhangige Schrodingergleichung und das Eigenwertproblem

Hφ = Eφ

des zugehorigen Hamiltonoperators die zeitunabhangige Schrodingergleichung.

Ein Eigenvektor φ von H zum Eigenwert E, also eine Losung der stationaren Schrodingerglei-chung, liefert naturlich auch sofort eine Losung ψ(t) = e−iEtφ der zeitabhangigen Gleichung.

Wir werden uns in dieser Vorlesung von der Frage leiten lassen, fur welche Anfangsdaten ψ(0, x) =ψ0(x) und fur welche Potentiale V die Schrodingergleichung in welchem genauen Sinne eindeutigeglobale Losungen hat. Dabei werden wir zunachst die freie Schrodingergleichung, d.h. den FallV ≡ 0 betrachten. Dann kann man die Gleichung durch Fouriertransformation losen. Um die

2

Losungstheorie im allgemeinen Fall zu entwickeln, faßt man die zeitabhangige Schrodingerglei-chung

i ddtψ(t) = Hψ(t)

als “gewohnliche” Differentialgleichung fur die Vektor-wertige Funktion ψ : Rt → H = L2(Rnd)auf. Da allerdings H auf dem Hilbertraum H kein beschrankter Operator ist, wird die Theoriedeutlich komplexer als im beschranktem Fall. Diese Betrachtungen werden uns auf den Spektral-satz fur selbst-adjungierte Operatoren auf Hilbertraumen fuhren, welcher ein zentrales Resultatdieser Vorlesung sein wird.

3

2 Die freie Schrodingergleichung

Die freie Schrodingergleichung ist die Schrodingergleichung ohne Potential. Wir suchen somitLosungen ψ : Rt × Rdx → C der Gleichung

i∂tψ(t, x) = −12∆xψ(t, x) .

Spezielle Losungen erhalt man durch einen Separationsansatz: man sucht zunachst Losungen derstationaren Gleichung

−12∆xφ(x) = λφ(x) .

Diese liefern dann via ψ(t, x) := e−iλtφ(x) Losungen der zeitabhangigen Gleichung. Die Eigen-funktionen das Laplaceoperators auf dem Rd sind die sogenannten ebenen Wellen

φk(x) = eik·x = ei(k1x1+...+kdxd) fur k ∈ Rd ,

da−1

2∆xφk(x) = 12(k2

1 + · · ·+ k2d)e

ik·x = 12 |k|

2eik·x .

Also haben wir auch eine erste Losung fur die freie Schrodingergleichung, die ebene Welle

ψk(x, t) := e−i k2t2 eik·x .

Es ist |ψk(x, t)|2 = 1 , also ∫Rd|ψk(x, t)|2 dx =∞ .

Deshalb lassen sich diese Losungen nicht im Sinne der Quantenmechanik als Wahrscheinlichkeits-dichten interpretieren.

Um quadratintegrierbare Losungen zu erhalten stellen wir zunachst fest, dass aufgrund der Linea-ritat der Schrodingergleichung auch Linearkombinationen von Losungen wieder Losungen sind,also zumindest formal auch

ψ(x, t) =

∫Rd%(k)ψk(x, t) dk =

∫Rd%(k) e−i( k

2

2t−k·x) dk

fur jedes % : Rd → C wieder eine Losung ist. Die Anfangsdaten ψ(x, 0) = ψ0(x) legen % fest, dabei t = 0

ψ(x) =

∫Rd%(k) eik·x dk

gelten muss.

2.1 Die Fouriertransformation auf S

2.1 Definition. Fouriertransformation

Sei f ∈ L1(Rd), dann heißt

f(k) = (Ff)(k) :=1

(2π)d/2

∫Rdf(x) e−ik·x dx

5


die Fouriertransformierte von f und

f(k) = (F−1f) :=1

(2π)d/2

∫Rdf(x) eik·x dx

die Fourierrucktransformierte von f .

Um Aussagen uber die Regularitat der Fouriertransformierten zu bekommen, erinnern wir unsan das folgende Lemma aus der Integrationstheorie.

2.2 Lemma. Integrale mit Parameter

Sei Γ ⊂ R ein offenes Intervall und f : Rd×Γ→ C so, dass f(x, γ) ∈ L1(Rdx) fur jedes feste γ ∈ Γ.Setze I(γ) =

∫Rd f(x, γ) dx.

(a) Falls die Abbildung γ 7→ f(x, γ) fur fast alle x ∈ Rd stetig ist und es eine Funktion g ∈L1(Rd) gibt mit supγ∈Γ |f(x, γ)| ≤ g(x) fur fast alle x ∈ Rd, dann ist auch I(γ) stetig.

(b) Falls die Abbildung γ 7→ f(x, γ) fur alle x ∈ Rd stetig differenzierbar ist und es eine Funktiong ∈ L1(Rd) gibt mit supγ∈Γ |∂γf(x, γ)| ≤ g(x) fur fast alle x ∈ Rd, dann ist auch I(γ) stetigdifferenzierbar und es gilt

dI

dγ(γ) =

d

dγ

∫Rdf(x, γ) dx =

∫Rd

∂

∂γf(x, γ) dx .

Beweis. Beide Aussagen sind direkte Konsequenzen des Satzes uber die dominierte Konvergenzvon Lebesgue.

2.3 Satz. Lemma von Riemann-Lebesgue

Fur f ∈ L1(Rd) ist

f ∈ C∞(Rd) :=

f ∈ C(Rd)

∣∣∣ limR→∞

sup|x|>R

|f(x)| = 0

.

Beweis. Die Stetigkeit von f folgt sofort aus Lemma 2.2 und der Stetigkeit von k 7→ eik·x. DenAbfall fur |x| → ∞ werden wir spater leicht als Korollar eines anderen Satzes bekommen.

Wir untersuchen die Fouriertransformation zunachst auf moglichst schonen Funktionen. Da wiruber ein unbeschranktes Gebiet integrieren, verlangen wir von “schonen Funktionen” nicht nurGlattheit sondern auch schnellen Abfall.

2.4 Definition. Ein Multiindex α ∈ Nd0 ist ein d-tupel α = (α1, . . . , αd) mit αj ∈ N0, und

|α| :=∑d

j=1 αj . Fur x ∈ Rd bezeichne

xα := xα11 xα2

2 . . . xαdd und ∂αx :=∂|α|

∂xα11 . . . ∂xαdd

.

2.5 Definition. Schwartzraum

Der C-Vektorraum der Schwartz’schen Funktionen (Schwartzraum) S(Rd) ⊂ C∞(Rd) ist dieMenge derjenigen f ∈ C∞(Rd), fur die gilt:

‖f‖α,β := ‖xα∂βxf(x)‖∞ <∞

fur alle Multiindices α, β ∈ Nd0.

6


2.6 Remark. Die Funktionen in S fallen also schneller als jedes inverse Polynom ab und gleichesgilt fur all ihre partiellen Ableitungen. Fur f ∈ S ist xα∂βxf ∈ S fur alle α, β ∈ Nd0 und S(Rd) ⊂L1(Rd). Die Abbildungen ‖ · ‖α,β : S → [0,∞) sind Normen.

2.7 Definition. Konvergenz im Schwartzraum

Wir sagen fn → f in S, wenn ‖f − fn‖α,β → 0 fur alle α, β ∈ Nd0.

2.8 Proposition. Eine Metrik auf SDie Konvergenz in S ist aquivalent zur Konvergenz bezuglich der Metrik

dS(f, g) =∞∑n=0

2−n sup|α|+|β|=n

( ‖f − g‖α,β1 + ‖f − g‖α,β

)≤ 2 .

Beweis. Wir zeigen, dass dS eine Metrik ist. Die Aquivalenz der Konvergenzbegriffe ist dannoffensichtlich. Positivitat, dS(f, g) ≥ 0, und Symmetrie dS(f, g) = dS(g, f) sind offensichtlich.Definitheit ebenfalls, denn dS(f, g) = 0 impliziert ‖f − g‖0,0 = ‖f − g‖∞ = 0, also f = g. DieDreiecksungleichung dS(f, g) ≤ dS(f, h) + dS(h, g) gilt, da ‖ · ‖α,β jeweils die Dreiecksgleichungerfullt und h(x) = x

1+x fur x ≥ 0 monoton wachsend ist und h(x+ y) ≤ h(x) + h(y) erfullt.

2.9 Satz. Der Schwartzraum als vollstandiger metrischer Raum

Der metrische Raum (S, dS) ist vollstandig.

Beweis. Sei (fm) eine Cauchyfolge in S bezuglich dS . Dann ist (fm) auch Cauchyfolge bezuglich

aller Halbnormen ‖·‖α,β. Also konvergiert xα∂βxfm(x)→ gα,β(x) ∈ Cb(Rd) gleichmaßig, da Cb(Rd)vollstandig ist bezuglich der ‖ · ‖∞-Norm.

Es bleibt zu zeigen, dass g := g0,0 ∈ C∞(Rd) ist und, dass xα∂βxg = gα,β. Denn dann ist g ∈ Sund dS(fm, g)

m→∞→ 0.

Sei nun der Einfachheit halber d = 1. Wir zeigen g ∈ C1(R) und ∂xg = g0,1. Hohere Ableitungenund hohere Dimensionen gehen analog. Da fm ∈ S, gilt

fm(x) = fm(0) +

∫ x

0f ′m(y) dy . (2.1)

Nun gilt fm → g und f ′m → g0,1 gleichmaßig und deshalb ergibt der Limes m→∞ in (2.1)

g(x) = g(0) +

∫ x

0g0,1(y) dy .

Damit ist g ∈ C1(R) und g′ = g0,1 .

2.10 Lemma. Eigenschaften der Fouriertransformation auf SF und F−1 sind stetige lineare Abbildungen von S nach S und fur beliebige Multiindices α, β ∈ Nd0gilt (

(ik)α∂βkFf)

(k) =(F∂αx (−ix)βf

)(k)

und, insbesondere,

(xf)(k) = i(∇kf)(k) und (∇xf)(k) = ikf(k) .

Beweis. Mit

f(k) =1

(2π)d/2

∫Rdf(x) e−ik·x dx

7


und Lemma 2.2 gilt fur f ∈ S

(2π)d2

((ik)α∂βkFf

)(k) =

∫Rd

(ik)α∂βk e−ik·xf(x) dx

=

∫Rd

(ik)α(−ix)β e−ik·xf(x) dx

=

∫Rd

(−1)|α|(∂αx e−ik·x)(−ix)βf(x) dx

part. Int.=

∫Rd

e−ik·x(∂αx (−ix)βf(x)

)dx

= (2π)d2

(F ∂αx (−ix)βf

)(k) .

Daher ist Ff ∈ C∞ und die Formel gilt; es folgt weiter

‖f‖α,β =∥∥∥kα∂βk f∥∥∥∞ ≤ 1

(2π)d2

∫Rd|∂αxxβf(x)|(1 + |x|2)d

(1 + |x|2)ddx

≤ 1

(2π)d2

supx∈Rd

∣∣∣(1 + |x|2)d∂αxxβf(x)

∣∣∣ ∫Rd

1

(1 + |x|2)ddx︸︷︷︸

<∞

≤ C

m∑j=0

sup|α|+|β|=j

‖f‖α,β

fur geeignetes m ∈ N und C <∞ unabhangig von f . Damit ist einerseits Ff ∈ S und andererseitsimpliziert fn → f in S auch fn → f in S. Da in metrischen Raumen Folgenstetigkeit die Stetigkeitimpliziert, ist F : S → S stetig. Das Argument fur F−1 verlauft analog.

2.11 Lemma. Let f ∈ S, then

(a)

F(f(x/λ))(k) = λdf(λk),

F(f(x− h))(k) = e−ik·hf(k).

2.12 Theorem. Bijektivitat der Fouriertransformation auf SDie Fouriertransformation F : S → S ist eine stetige Bijektion und ihre stetige Inverse ist F−1.

Beweis. Wir mochten F−1F = idS zeigen (FF−1 = idS geht analog). Da F−1F und idS jeweilsstetige Abbildungen sind, reicht es, ihre Gleichheit auf einer dichten Teilmenge zu zeigen.

2.13 Lemma. Die glatten Funktionen mit kompaktem Trager bezeichnet mit C∞0 (Rd) liegendicht in S(Rd).

Beweis. Wahle dazu eine glatte Abschneidefunktion G mit kompaktem Trager und mit G(0) = 1,beispielsweise

G(x) =

e− 1

1−|x|2+1

fur |x| < 10 sonst .

Dann ist fn(x) := f(x)G(xn) eine Folge in C∞0 welche in allen Halbnormen ‖ · ‖α,β gegen fkonvergiert.

8


Sei also f ∈ C∞0 (Rd) gegeben. Es bezeichne Wm ⊆ Rd den am Ursprung zentrierten Wurfel derKantenlange 2m, wobei m so groß gewahlt ist, dass suppf ⊂ Wm gilt. Wir setzen Km = π

mZd.Dann lasst sich f auf Wm als gleichmaßig konvergente Fourierreihe schreiben,

f(x) =∑k∈Km

fk eik·x ,

mit den Fourierkoeffizienten

fk =1

Vol(Wm)

∫Wm

f(x) e−ik·x dx =1

Vol(Wm)

∫Rdf(x) e−ik·x dx =

(2π)d2

(2m)d(Ff)(k) .

Damit haben wir

f(x) =∑k∈Km

(Ff)(k) eik·x

(2π)d2

( πm

)d,

was wir als Riemannsumme auffassen, wobei ( πm)d jeweils das Volumen des Wurfels der Kan-tenlange π

m um einen Punkt im Gitter Km ist. Damit ergibt sich

f(x) = limm→∞

∑k∈Km

(Ff)(k) eik·x

(2π)d2

( πm

)d=

1

(2π)d2

∫Rd

(Ff)(k) eik·x dk = (F−1Ff)(x) .

2.14 Proposition. Fur f, g ∈ S(Rd) gilt:∫Rdf(x)g(x) dx =

∫Rdf(x)g(x) dx

und insbesondere ∫Rd|f(x)|2 dx =

∫Rd|f(x)|2dx

Beweis. Mit dem Satz von Fubini ergibt sich sofort∫Rd

(∫Rd

e−ik·xf(k) dk

)︸︷︷︸

=(2π)d2 f(x)

g(x) dx =

∫Rd

(∫Rd

e−ik·xg(x) dx

)︸︷︷︸

=(2π)d2 g(k)

f(k)dk .

Fur die zweite Gleichung stellen wir zunachst fest, dass

(Ff)(k) =1

(2π)d2

∫Rd

e−ik·xf(x) dx =1

(2π)d2

∫Rd

eikxf(x) dx = (F−1f)(k) .

Setzt man g(x) = (F−1f)(x) = (Ff)(x) in die erste Gleichung ein, erhalt man die zweite Be-hauptung als Spezialfall.

2.15 Example. Die Fouriertransformierte einer Gaußfunktion

Fur a > 0 sei fa(x) := exp(−ax2

2 ). Dann ist mit der Substitution y :=√

a2x

f(k) =1√2π

∫R

e−ax2

2 eikx dx =1√aπ

∫R

e−y2−iyk

√2/a dy

=e−

k2

2a

√aπ

∫R

e−(y+ ik√

2a)2

dy︸︷︷︸=√π

=1√a

e−k2

2a .

9


Allgemeiner ist fur fa(x) = e−a|x|2

2 mit Re(a) > 0 offensichtlich fa ∈ S(Rd) und, nicht ganz sooffensichtlich,

f(k) = a−d2 e−

|k|22a .

Um dies mit obiger Rechnung zu sehen, verwendet man, dass fur α, β ∈ C mit Re(α2) > 0∫R

e−(αx+β)2 dx =

√π

α

gilt. Fur Re(α2) = 0 gilt zumindest noch

limR→∞

∫ R

−Re−α

2x2 dx =

√π

α. (2.2)

Wir betrachten nun wieder die freie Schrodingergleichung

i∂tψ(t, x) = −12∆xψ(t, x) .

Wenden wir auf beiden Seiten die Fouriertransformation an, so erhalten wir zunachst rein formaldie Gleichung

i∂tψ(t, k) = 12 |k|

2ψ(t, k) . (2.3)

Diese ist fur jedes feste k ∈ Rd eine gewohnliche Differentialgleichung erster Ordnung, dereneindeutige globale Losung durch

ψ(t, k) = e−i|k|22t ψ(0, k) (2.4)

gegeben ist. Um die Losung der ursprunglichen Gleichung zu bekommen, mussen wir ledig-lich zurucktransformieren und erhalten so einen expliziten Ausdruck fur die Losung der freienSchrodingergleichung

ψ(t, x) = (F−1e−i|k|22tFψ0)(x)

zum Anfangswert ψ(0, x) = ψ0(x).

2.16 Theorem. Eindeutige globale Losung der freien Schrodingergleichung

Sei ψ0 ∈ S(Rd). Dann ist die eindeutige globale Losung ψ ∈ C∞(Rt,S(Rd)) der freien Schrodin-gergleichung mit ψ(0, x) = ψ0(x) fur t 6= 0 gegeben durch

ψ(t, x) =1

(2πit)d2

∫Rd

ei|x−y|2

2t ψ0(y) dy . (2.5)

Weiterhin gilt ‖ψ(t, ·)‖L2 = ‖ψ0‖L2 .

Beweis. Man uberlegt sich zunachst, dass ψ(t, x) := (F−1e−i|k|22tFψ0)(x) tatsachlich ψ ∈ C∞(Rt,S(Rd))

erfullt. Wir zeigen exemplarisch, dass t 7→ ψ(t) differenzierbar ist im behaupteten Sinne. Sei

ψ(t, x) := −i(F−1 |k|22 e−i

|k|22tFψ0)(x) dann ist ψ(t, ·) ∈ S(Rd) und wir mussen zeigen, dass

limh→0

∥∥∥∥ψ(t+ h)− ψ(t)

h− ψ(t)

∥∥∥∥α,β

= 0

bezuglich jeder Halbnorm ‖ · ‖α,β. Aufgrund der Stetigkeit und Linearitat von F und F−1 ist diesaber aquivalent zu

limh→0

∥∥∥∥∥ ψ(t+ h)− ψ(t)

h− ψ(t)

∥∥∥∥∥α,β

= 0

10


fur alle α, β. Das folgt aber aus der Glattheit von e−i|k|22t und dem Abfall von ψ0(k):∥∥∥∥∥ ψ(t+ h)− ψ(t)

h− ψ(t)

∥∥∥∥∥α,β

= supk∈Rd

∣∣∣∣∣∣kα∂βke−i

|k|22

(t+h) − e−i|k|22t

h+ i|k|2

2e−i

|k|22t

(Fψ0)(k)

∣∣∣∣∣∣h→0→ 0 .

Da (2.4) die eindeutige Losung von (2.3) ist, ist ψ(t, x) die eindeutige Losung in S. Nun kann manentweder direkt nachrechnen, dass die Formel (2.5) fur ψ(t, x) gilt, wobei man (2.2) verwendet.Oder man rechnet direkt nach, dass (2.5) ebenfalls eine Losung der freien Schrodingergleichungin S definiert.

Die Isometrieeigenschaft in L2 folgt schließlich aus der Isometrieeigenschaft von F und F−1, vgl.Proposition 2.14, und der Tatsache, dass |e−i|k|2t/2| = 1.

2.17 Remark. Das Zerfließen der Losungen der freien Schrodingergleichung

Aus (2.5) ergibt sich sofort, dass die Losungen der freien Schrodingergleichung fur große Zeitenbetragsmaßig klein werden,

supx∈Rd

|ψ(t, x)| ≤ ‖ψ0‖L1

(2πt)d2

t→∞→ 0 .

Da die L2-Norm aber erhalten bleibt, bedeutet das, dass sich die Losungen immer mehr “verbrei-tern”. Man spricht vom Zerfließen des Wellenpackets.

2.18 Definition. Polynomial beschrankte Funktionen

Sei C∞pol(Rd) der Raum der glatten polynomial beschrankten Funktionen: g ∈ C∞pol(Rd) falls

g ∈ C∞(Rd) und es fur alle α ∈ Nd0 ein n(α) ∈ N und Cα <∞ gibt, so dass

|∂αg(x)| ≤ Cα〈x〉n(α) := Cα(1 + |x|2)n(α)2 .

Wir haben bereits implizit verwendet, dass fur jede Funktion f ∈ C∞pol(Rd) die Abbildung

Mf : S → S , ψ(x) 7→ f(x)ψ(x)

stetig ist.

2.19 Definition. Pseudodifferentialoperatoren

Motiviert durch Lemma 2.10 definieren wir fur f ∈ C∞pol(Rd) den zugehorigen Pseudodifferential-operator f(−i∇x) : S → S durch

(f(−i∇x)ψ)(x) := (F−1MfFψ)(x) = (F−1f(k)Fψ)(x) .

Die Stetigkeit von Mf und F impliziert dann auch die Stetigkeit von f(−i∇x). Fur f(k) = kα

gilt naturlich wieder f(−i∇) = (−i)|α|∂αx . Fur Polynome sind die zugehorigen Pseudodifferential-operatoren also wieder gewohnliche Differentialoperatoren.

2.20 Example. Translationen und der freie Propagator

Fur a ∈ Rd sei Ta(k) = eia·k. Es ist Ta ∈ C∞pol und fur ψ ∈ S(Rd) gilt

(Ta(−i∇)ψ)(x) =1

(2π)d2

∫e−ik·aeik·xψ(k) dk =

1

(2π)d2

∫eik·(x−a)ψ(k) dk = ψ(x− a) .

Man kann also den Operator der Funktionen um einen konstanten Vektor a verschiebt als Pseu-dodifferentaloperator schreiben.

11


Ein anderes Beispiel ist Pf(k) = e−i|k|2t

2 . Es ist Pf ∈ C∞pol(Rd) und somit

ψ(t, x) = (Pf(t,−i∇x)ψ0)(x) .

Diesen Operator nennt man den freien Propagator und schreibt auch

ψ(t) = ei2

∆xtψ0 .

2.21 Example. Warmeleitungsgleichung bzw. Diffusion

Wir konnen nun direkt auch die Losung der Warmeleitungsgleichung oder Diffusionsgleichung

∂tf(t, x) = 12∆xf(t, x)

fur f(0, ·) = f0 ∈ S(Rd) und t > 0 hinschreiben:

f(t) = e∆xtf(0) = W (t,−i∇x)f0

mit

W (t, k) = e−k2

2t .

Beachte, dass W (t) ∈ C∞pol nur fur t ≥ 0 gilt. Wir konnen also nicht fur alle Anfangsdaten f0 ∈ SExistenz von Losungen auch fur negative Zeiten erwarten. Hat f0 aber beispielsweise kompaktenTrager, so erhalten wir tatsachlich eine Losung fur alle t ∈ R.

2.22 Definition. Faltung

Seien f, g ∈ S. Dann heißt

(f ∗ g)(x) :=

∫Rdf(x− y)g(y) dy

die Faltung von f und g.

2.23 Satz. Eigenschaften der Faltung

Fur f, g, h ∈ S gelten die folgenden Rechenregeln:

(i) (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) und f ∗ g = g ∗ f(ii) Die Abbildung g 7→ f ∗ g von S nach S ist stetig.

(iii) Es gilt

f ∗ g = (2π)d2 f · g

und entsprechend fg = (2π)−d2 f ∗ g. Insbesondere ist

g(−i∇)f = F−1(gf) = (2π)−d2 g ∗ f .

Beweis. (i) und (iii) sind leicht nachzurechnen. Die Stetigkeit, also (ii) folgt dann aus

f ∗ g = (2π)d/2F−1f F g ,

die Faltung mit f entspricht also der Hintereinanderausfuhrung von Fouriertransformation, Mul-tiplikation mit f und Rucktransformation, also der Komposition stetiger Abbildungen, welchedann auch stetig ist. Damit gilt auch (ii).

2.24 Example. Der Warmeleitungskern

Mit dem Warmeleitungskern

G(t, x) := (2π)−d/2(F−1W )(t, x) =1

(2πt)d/2e−|x|22t

ergibt sich fur die Losung der Warmeleitungsgleichung

f(t, x) = (W (t,−i∇x)f0)(x) = (G(t) ∗ f0)(x) =1

(2πt)d/2

∫Rd

e−|x−y|2

2t f0(y) dy .

12


2.25 Remark. Um zumindest ein wenig Intuition fur die Rolle des Laplaceoperators zu bekom-men, betrachten wir kurz die verschiedenen physikalische Gleichungen, die den Laplaceoperatorenthalten, in einer Dimension:

Die Wellengleichung: Die Gleichung fur die Auslenkung f(t, x) ∈ R einer schwingende Saite derLange L ist die Wellengleichung

∂2

∂t2f(t, x) =

∂2

∂x2f(t, x)

mit Randbedingung

f(t, 0) = f(t, L) = 0 .

Die Beschleunigung der Saite am Ort x ist al-so proportional zur Krummung an dieser Stelle.Deshalb schwingt die Saite, siehe Bild.

Die Warmeleitungsgleichung: Die Gleichung fur die Temperatur f(t, x) in einem Draht der LangeL, dessen Temperatur an den Enden auf 0 gehalten wird, ist die Warmeleitungsgleichung

∂

∂tf(t, x) =

∂2

∂x2f(t, x)

mit Randbedingung

f(t, 0) = f(t, L) = 0 .

Die”Geschwindigkeit”, also die Rate, mit der

sich die Temperatur am Ort x andert, ist jetztproportional zur Krummung an dieser Stelle.Deshalb strebt die Temperaturverteilung demkonstanten Wert f(x) = 0 entgegen.

Die Schrodingergleichung: Die Schrodingergleichung

∂

∂tψ(t, x) = i

∂2

∂x2ψ(t, x)

mit Randbedingung

ψ(t, 0) = ψ(t, L) = 0

beschreibt ein Teilchen in einer Dimension in ei-nem Kasten. Sie enthalt wie die Warmeleitungs-gleichung nur eine Zeitableitung, fuhrt aber we-gen des Faktors i dennoch zu

”Wellenverhalten”

der Losungen. Denn ψ ist nun komplexwertig,

was wir uns geometrisch auch als R2-wertig vorstellen konnen. Die komplexe Ebene ist am Punkt xin der Zeichnung orthogonal zur einen Raumrichtung angedeutet. Und die Rate mit der sich ψ(x)andert ist zwar betragsmaßig proportional zur Krummung, wegen des Faktors i aber orthogonalzu ψ′′(x) und im Bild auch orthogonal zu ψ(x). Im Allgemeinen andern sich deshalb sowohl dasArgument als auch der Betrag von ψ(t, x) zeitlich.

13


2.2 Temperierte Distributionen

2.26 Definition. Temperierte Distributionen

Die Elemente des Dualraumes S ′(Rd) von S(Rd) heißen temperierte Distributionen (manchmalauch verallgemeinerte Funktionen).

2.27 Reminder. Der Dualraum V ′ eines topologischen Vektorraums V ist der Raum der stetigenlinearen Abbildungen von V in den Korper, die sog. Funktionale. Fur f ∈ V und T ∈ V ′ schreibtman fur die sogenannte naturliche Paarung auch oft

(f, T )V,V ′ := T (f) .

2.28 Examples. (a) Sei g : Rd → C messbar und polynomiell L1-beschrankt, d.h. (1 +|x|2)−mg(x) ∈ L1(Rd) fur ein m ∈ N, dann ist

Tg : S → C : f 7→∫Rdg(x)f(x) dx

stetig und linear, also Tg ∈ S ′.

Beweis. Sei fn → f in S. Dann gilt

limn→∞

|Tg(fn − f)| ≤ limn→∞

∫Rd|g(x)||fn(x)− f(x)|dx

≤ ‖(1 + |x|2)−mg‖L1 limn→∞

‖(1 + |x|2)m|fn − f |‖∞ = 0 .

(b) Die Delta-Distribution ist

δ : S → C : f 7→ δ(f) := f(0) .

Offenbar gilt δ ∈ S ′. Oft schreibt man auch in Anlehnung an (a)

δ(f) =

∫Rdδ(x)f(x) dx

und ∫Rdδ(x− a)f(x) dx = f(a) .

Offensichtlich gibt es keine “echte” Funktion δ : Rd → C, welche dies fur alle f ∈ S(Rd)leistet. Aber man kann δ in S ′(Rd) durch echte Funktionen approximieren. Sei beispielsweiseg ∈ L1(R) mit

∫g(x) dx = 1 und

gn(x) := ng(nx) .

Dann gilt mit dominierter Konvergenz fur jedes stetige beschrankte f , also insbesondere furf ∈ S(R), dass

limn→∞

Tgn(f) = limn→∞

∫Rgn(x)f(x) dx = lim

n→∞

(∫Rgn(x)f(0) dx+

∫Rgn(x)(f(x)− f(0)) dx

)= f(0) + lim

n→∞

∫Rg(y)(f( yn)− f(0))︸︷︷︸→0 punktweise

dy = f(0) = δ(f) .

14

2.2 Temperierte Distributionen

2.29 Definition. Schwache und schwach* Konvergenz

Sei M ein topologischer Vektorraum und M ′ sein Dual.

(i) Eine Folge (mn) in M konvergiert schwach gegen m ∈M , falls

limn→∞

T (mn) = T (m) fur alle T ∈M ′.

Man schreibt dann kurz w-limn→∞mn = m oder mn m.

(ii) Eine Folge (Tn) in M ′ konvergiert schwach* gegen T ∈M ′, falls

limn→∞

Tn(m) = T (m) fur alle m ∈M .

Man schreibt dann kurz w*-limn→∞ Tn = T oder Tn∗ T .

2.30 Satz. Die adjungierte Abbildung

Sei A : S → S linear und stetig, dann wird durch

A′ : S ′ → S ′ , (A′T )(f) := T (Af) fur alle f ∈ S

eine schwach*-stetige lineare Abbildung definiert.

Beweis. Es ist A′T ∈ S ′, da A′T = T A als Komposition stetiger Abbildungen stetig ist. Umzu sehen, dass A′ : S ′ → S ′ schwach*-stetig ist, zeigen wir zunachst Folgenstetigkeit. Sei Tn

∗ T ,

dann gilt fur jedes f ∈ S

limn→∞

(A′Tn)(f) = limn→∞

Tn(Af) = T (Af) = (A′T )(f) ,

also A′Tn∗ A′T . Nun folgt im allgemeinen aus der Folgenstetigkeit nicht die Stetigkeit (die

Topologie auf S ′ ist nicht durch eine Metrik gegeben!). Allerdings kann man das Argument volliganalog auch auf Netze anwenden und aus der Netzstetigkeit folgt auch hier die Stetigkeit.

2.31 Definition. Die Fouriertransformation auf S ′

Fur T ∈ S ′ ist die Fouriertransformierte T ∈ S ′ definiert durch

T (f) := T (f) fur alle f ∈ S ,

also FS′ := F ′S .

2.32 Korollar. Die Fouriertransformation F : S ′ → S ′ ist eine schwach*-stetige Bijektion, welchedie Fouriertransformation auf S (und auch auf L1) fortsetzt: fur f ∈ S (bzw. L1) gilt Tf = Tf .

Beweis. Da F : S → S stetig und linear ist, folgt aus Satz 2.30, dass F : S ′ → S ′ schwach*-stetigist. Da (F−1FT )(f) = T (FF−1f) = T (f) gilt, ist die Fouriertransformation auch auf S ′ bijektivmit stetiger Inverser F−1.

Schließlich gilt fur f ∈ L1, dass

Tf (g) = Tf (g) =

∫f(x)g(x) dx =

∫f(x)g(x) dx = Tf (g) .

2.33 Example. Fouriertransformierte der δ-Distribution

Mit δ(f) := f(0) ergibt sich

δ(f) = δ(f) = f(0) =1

(2π)d2

∫f(x) dx =

∫1

(2π)d2

f(x) dx = Tg(f) .

Also ist die Fouriertransformierte von δ die konstante Funktion g(x) ≡ (2π)−d2 .

15


Auch die Ableitung ∂αx : S → S ist eine stetige lineare Abbildung, da

‖∂αx f‖γ,β := ‖xγ∂βx∂αx f‖∞ = ‖f‖γ,α+β .

Deshalb konnen wir auch die Ableitung von S durch Adjungieren auf S ′ erweitern.

2.34 Definition. Distributionelle Ableitung

Fur T ∈ S ′ ist die distributionelle Ableitung ∂αxT ∈ S ′ durch

(∂αxT )(f) := T(

(−1)|α|∂αx f)

definiert.

2.35 Korollar. Die distributionelle Ableitung ∂αx : S ′ → S ′ ist schwach*-stetig und setzt dieAbleitung auf S fort, d.h. fur g ∈ S ist

∂αxTg = T∂αx g .

Beweis. Als Adjungierte Abbildung ist ∂αx wieder nach Satz 2.30 stetig. Die Fortsetzungseigen-schaft ergibt sich aus |α|-facher partieller Integration:

(∂αxTg)(f) = Tg((−1)|α|∂αx f) =

∫g(x)(−1)|α|∂αx f(x) dx =

∫f(x)∂αx g(x) dx = T∂αx g(f) .

2.36 Example. Die Ableitung der δ-Distribution

Es ist(∂αx δ)(f) = δ((−1)|α|∂αx f) = (−1)|α|∂αx f(0) .

Fur die Heavyside-Funktion Θ(x) := 1[0,∞)(x) auf R ist die distributionelle Ableitung ddxΘ = δ.

2.37 Korollar. Sei g ∈ C∞pol, dann wird durch (gT )(f) := T (gf) eine schwach*-stetige AbbildungS ′ → S ′ definiert. Man kann zwar Distributionen nicht miteinander multiplizieren, aber zumindestmit Funktionen aus C∞pol.

2.38 Korollar. Fur g ∈ S ist durch (g∗T )(f) = T (g∗f) mit g(x) := g(−x) eine schwach*-stetigeAbbildung definiert, die die Faltung auf S fortsetzt, d.h. g ∗ Th = Tg∗h fur h ∈ S erfullt.

2.39 Remark. Eindeutigkeit der Fortsetzungen

Die Fortsetzungen sind alle eindeutig, da S dicht liegt in S ′ bezuglich der schwach*-Topologie.

Damit konnen wir jetzt die freie Schrodinger-Gleichung auch im distributionellen Sinne losen.

2.40 Proposition. Distributionelle Losung der freien Schrodingergleichung

Sei ψ0 ∈ S ′, dann ist die eindeutige globale Losung ψ ∈ C∞(Rt,S ′(Rd)) gegeben durch

ψ(t) = F−1e−i|k|22tFψ0 .

Beweis. Zunachst stellen wir fest, dass mit den Korollaren 2.32 und 2.37 offensichtlich ψ(t) ∈ S ′gilt. Um zu sehen, dass ψ(t) die Schrodingergleichung im distributionellen Sinne lost, betrachtefur eine beliebige Testfunktion f ∈ S

i ddt(f, ψ(t))S,S′ = i d

dt(Fe−i|k|22tF−1f, ψ0)S,S′ = (Fe−i

|k|22t |k|2

2 F−1f, ψ0)S,S′

= (−Fe−i|k|22tF−1 1

2∆f, ψ0)S,S′ = (−12∆f,Fe−i

|k|22tF−1ψ0)S,S′

= (f,−12∆ψ(t))S,S′ .

Man mache sich klar, dass man die Ableitung aufgrund der Stetigkeit von ψ(t) : S → C in dieKlammer ziehen kann.

16

3 Die Schrodingergleichung mit Potential

Wir betrachten nun die Schrodingergleichung mit Potential,

i ∂∂tψ(t, x) = −12∆xψ(t, x) + V (x)ψ(t, x) .

Fouriertransformation liefert hier keine einfache Losung mehr, da die Multiplikation mit V (x)nun in die Faltung mit V (k) ubergeht, also zu einem Pseudodifferentialoperator V (i∇k) wird.

Die Grundidee wird im folgenden sein, die Gleichung als “gewohnliche Differentialgleichung” ersterOrdnung fur eine vektorwertige Funktion ψ : Rt → F mit einem geeigneten Funktionenraum Faufzufassen, also als

i ddtψ(t) = Hψ(t) mit H = −1

2∆x + V (x) .

Zumindest formal kann man die Losung dann in der Form

ψ(t) = e−iHtψ(0)

schreiben. Wie wir sehen werden und wie aus der physikalischen Interpretation und den Ergebnis-sen zur freien Schrodingergleichung zu erwarten ist, ist der geeignete Funktionenraum der RaumL2(Rd) der quadratintegrablen Funktionen mit der L2-Norm. Dieser Raum hat die Struktur einesHilbertraumes, weshalb wir kurz einige wesentliche Eigenschaften von Hilbertraumen wiederholen.

3.1 Vorbemerkungen zu Hilbert- und Banachraumen

3.1 Definition. Hilbertraum

Ein C-Vektorraum H mit Skalarprodukt 〈·, ·〉 : H×H → C der vollstandig ist bezuglich der Norm‖ψ‖ :=

√〈ψ,ψ〉 heißt Hilbertraum.

3.2 Examples. (a) Cn wird durch das Skalarprodukt

〈x, y〉Cn =n∑j=1

xjyj

zu einem Hilbertraum.

(b) Der Raum `2 der quadratsummierbaren Folgen (xj) ist mit dem Skalarprodukt

〈x, y〉`2 =

∞∑j=1

xjyj

ein Hilbertraum.

(c) Sei (M,µ) ein Maßraum. Dann wird auf L2(M,µ) durch

〈ψ,ϕ〉L2 =

∫Mψ(x)ϕ(x) dµ

ein Skalarprodukt definiert, welches L2(M,µ) zu einem Hilbertraum macht.

17


3.3 Definition. Orthonormalfolge

Eine Folge (ϕn) in H heißt Orthonormalfolge (ONF), falls 〈ϕn, ϕm〉 = δn,m gilt.

3.4 Proposition. Orthogonalzerlegung

Sei (ϕj) eine Orthonormalfolge in H. Dann laßt sich jedes ψ ∈ H gemaß

ψ =n∑j=1

〈ϕj , ψ〉ϕj︸︷︷︸=:ψn

+

ψ − n∑j=1

〈ϕj , ψ〉ϕj

︸︷︷︸

=:ψ⊥n

zerlegen, wobei 〈ψn, ψ⊥n 〉 = 0 und somit

〈ψ,ψ〉 = 〈ψn, ψn〉+ 〈ψ⊥n , ψ⊥n 〉

gilt.

Beweis.

〈ψn, ψ⊥n 〉 =

⟨n∑j=1

〈ϕj , ψ〉ϕj , ψ −n∑i=1

〈ϕi, ψ〉ϕi

⟩=

n∑j=1

|〈ϕj , ψ〉|2 −n∑j=1

|〈ϕj , ψ〉|2 = 0 .

3.5 Korollar. Die Bessel und die Cauchy-Schwarz Ungleichung

(a) Sei (ϕj) eine Orthonormalfolge in H. Dann gilt fur alle ψ ∈ H und n ∈ N die

Besselsche Ungleichung ‖ψ‖2 ≥n∑j=1

|〈ϕj , ψ〉|2 .

(b) Fur alle ϕ,ψ ∈ H gilt die

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung |〈ϕ,ψ〉| ≤ ‖ϕ‖ ‖ψ‖ .

Beweis. Gemaß Proposition 3.4 gilt

‖ψ‖2 = ‖ψn‖2 + ‖ψ⊥n ‖2 ≥ ‖ψn‖2 ,

also (a). (b) folgt sofort aus (a), indem man eine ONF (ϕj) mit ϕ1 = ϕ/‖ϕ‖ wahlt und den Falln = 1 betrachtet.

3.6 Proposition. Die Polarisationsidentitat

In jedem komplexen Hilbertraum H gilt die Polarisationsidentitat

〈ϕ,ψ〉 = 14(‖ϕ+ ψ‖2 − ‖ϕ− ψ‖2 − i‖ϕ+ iψ‖2 + i‖ϕ− iψ‖2) .

Beweis. Nachrechnen.

18


3.7 Definition. Orthonormalbasis

Eine Orthonormalfolge (ϕj) aus H heißt Ortonormalbasis (ONB), falls fur alle ψ ∈ H

ψ =∞∑j=1

〈ϕj , ψ〉ϕj

gilt, wobei die Reihe in H konvergiert, also

limN→∞

∥∥∥∥∥∥ψ −N∑j=1

〈ϕj , ψ〉ϕj

∥∥∥∥∥∥ = 0 .

3.8 Definition. Separabilitat

Ein topologischer Raum heißt separabel, falls er eine abzahlbare dichte Teilmenge besitzt.

3.9 Proposition. Charakterisierung der Separabilitat in Hilbertraumen

Ein Hilbertraum ist genau dann separabel, wenn er eine Orthonormalbasis besitzt.

Beweis. Sei (ϕj) ONB, dann ist

span(Q+iQ)ϕj | j ∈ N :=

N∑j=1

(aj + ibj)ϕj |N ∈ N, aj , bj ∈ Q

eine abzahlbare dichte Teilmenge vonH. Sei umgekehrt (ϕj)j∈N eine abzahlbare dichte Teilmenge,dann kann man (ϕj) soweit ausdunnen, dass die ubrigen Vektoren (ϕj)j∈J linear unabhangig sind

(d.h. je endlich viele sind l.u.), aber immer noch spanϕj | j ∈ J = H gilt. Diese Menge kannman dann mit dem Gram-Schmidtschen Verfahren orthonormalisieren.

3.10 Proposition. Charakterisierung von Orthonormalbasen

Eine Orthonormalfolge (ϕj) in H ist genau dann eine Orthonormalbasis, wenn gilt:

〈ϕj , ψ〉 = 0 fur alle j ∈ N ⇒ ψ = 0 .

Beweis. Ubung.

3.11 Proposition. Parsevalsche Gleichung

Fur eine Orthonormalbasis (ϕj) gilt die Parsevalsche Gleichung

‖ψ‖2 =∞∑j=1

|〈ϕj , ψ〉|2 .

Beweis. Folgt sofort aus der Definition und der Stetigkeit des Skalarprodukts:

‖ψ‖2 =

⟨limN→∞

N∑j=1

〈ϕj , ψ〉ϕj , limM→∞

M∑i=1

〈ϕi, ψ〉ϕi

⟩

= limN→∞

limM→∞

⟨N∑j=1

〈ϕj , ψ〉ϕj ,M∑i=1

〈ϕi, ψ〉ϕi

⟩= lim

N→∞

N∑j=1

|〈ϕj , ψ〉|2 .

19


3.12 Remark. `2 als Koordinatenraum fur separable Hilbertraume

Sei (ϕj)j∈N eine ONB des Hilbertraums H. Dann ist die Abbildung

U : H → `2 , ϕ 7→ (〈ϕj , ψ〉)j∈N

aufgrund der Parsevalschen Gleichung eine Isometrie. Da zu jeder Folge c ∈ `2 die Reihe∑∞

j=1 cjϕjin der Norm konvergiert,∥∥∥∥∥∥

∞∑j=N

cjϕj

∥∥∥∥∥∥2

=

⟨ ∞∑j=N

cjϕj ,

∞∑i=N

ciϕi

⟩=

∞∑j=N

|cj |2N→∞→ 0 ,

ist U auch surjektiv, also ein isometrischer Isomorphismus.Somit ist jeder separable Hilbertraum isometrisch isomorph zu `2 und jede ONB liefert einensolchen isometrischen Isomorphismus. Wir konnen `2 also als Koordinatenraum fur separableHilbertraume unendlicher Dimension auffassen.

3.13 Example. Fourierreihe als Koordinatendarstellung bzgl. einer ONB

In L2([0, 2π]) ist (ϕk)k∈Z gegeben durch ϕk(x) := 1√2π

eikx eine Orthonormalbasis. Die Darstellung

ψ =

∞∑k=−∞

〈ϕk, ψ〉ϕk

heißt die Fourierreihe von ψ. Insbesondere ist L2([0, 2π]) separabel.

3.14 Definition. Orthogonales Komplement

Fur M ⊂ H heißtM⊥ := ψ ∈ H | 〈ϕ,ψ〉 = 0 fur alle ϕ ∈M

das orthogonale Komplement von M . Es gilt M ∩M⊥ ⊂ 0 und, da 〈ϕ, ·〉 linear und stetig ist,ist M⊥ ein abgeschlossener Unterraum von H.

3.15 Satz. Orthogonalzerlegung

Sei M ⊂ H ein abgeschlossener Unterraum. Dann gilt

H = M ⊕M⊥ ,

d.h. jedes Element ψ ∈ H lasst sich eindeutig gemaß ψ = ϕ + ϕ⊥ mit ϕ ∈ M und ϕ⊥ ∈ M⊥

zerlegen.

Beweis. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass H seperabel ist (der einzig fur uns interes-sante Fall). Dann sind auch M und M⊥ separable Hilbertraume und es gibt Orthonormalbasen(ϕn) von M und (ϕ⊥m) von M⊥. Wir zeigen, dass (ϕn) ∪ (ϕ⊥m) eine Orthonormalbasis von H istund verwenden dazu das Kriterium aus Proposition 3.10.

Angenommen ψ ∈ H erfullt 〈ϕn, ψ〉 = 0 = 〈ϕ⊥m, ψ〉 fur allem,n ∈ N. Dann gilt aufgrund der erstenGleichung, dass 〈ϕ,ψ〉 = 0 fur alle ϕ ∈ M , also gilt ψ ∈ M⊥. Da (ϕ⊥m) eine Orthonormalbasisvon M⊥ ist, zeigt die zweite Gleichung, dass ψ = 0 ist. Also ist ψ = ϕ+ ϕ⊥ mit

ϕ :=∞∑n=1

〈ϕn, ψ〉ϕn und ϕ⊥ :=∞∑m=1

〈ϕ⊥m, ψ〉ϕ⊥m .

Zur Eindeutigkeit: Angenommen es gibt eine weitere Zerlegung ψ = ϕ + ϕ⊥ mit ϕ ∈ M undϕ⊥ ∈ M⊥. Dann folgt aus ϕ + ϕ⊥ = ϕ + ϕ⊥, dass M 3 ϕ − ϕ = ϕ⊥ − ϕ⊥ ∈ M⊥. WegenM ∩M⊥ = 0 folgt ϕ− ϕ = ϕ⊥ − ϕ⊥ = 0 also ϕ = ϕ und ϕ⊥ = ϕ⊥.

20


3.16 Definition. Beschrankter linearer Operator

Ein linearer Operator L : X → Y zwischen normierten Raumen X und Y heißt beschrankt, fallses ein C <∞ gibt mit

‖Lx‖Y ≤ C‖x‖X fur alle x ∈ X .

3.17 Proposition. Operatornorm

Die Menge L(X,Y ) der linearen beschrankten Operatoren von X nach Y ist mit der Norm

‖L‖L(X,Y ) := sup‖x‖X=1

‖Lx‖Y

selbst ein normierter Raum. Falls Y vollstandig ist, ist auch L(X,Y ) vollstandig, also ein Ba-nachraum.

Beweis. Ubung.

3.18 Satz. Sei L : X → Y linear. Dann sind die folgenden Aussagen aquivalent:

(i) L ist stetig in 0.

(ii) L ist stetig.

(iii) L ist beschrankt.

Beweis. (iii)⇒(i): Sei ‖xn‖ → 0. Dann folgt ‖Lxn‖ ≤ ‖L‖ ‖xn‖ → 0.(i)⇒ (ii): Sei ‖xn − x‖ → 0 und L ist stetig bei 0. Dann ist ‖Lxn − Lx‖ = ‖L(xn − x)‖ → 0.(ii)⇒(iii): Angenommen, L ist nicht beschrankt, d.h. es gibt eine Folge (xn) mit ‖xn‖ = 1 so,dass ‖Lxn‖ ≥ n. Dann ist zn := xn

‖Lxn‖ eine Nullfolge mit ‖zn‖ ≤ 1n , aber ‖Lzn‖ = 1, was im

Widerspruch zur Stetigkeit bei der Null steht.

3.19 Example. Unbeschrankter linearer Operator

Sei `0 = (xn) ∈ `1 | ∃N ∈ N : xn = 0 ∀n ≥ N der Raum der abbrechenden Folgen versehenmit der Norm ‖x‖`1 :=

∑∞n=1 |xn|. Dann ist T : `0 → `0 mit x 7→ Tx = (x1, 2x2, 3x3, . . .)

unbeschrankt, da ‖Ten‖ = n, aber ‖en‖ = 1.

3.20 Satz. Fortsetzung einer dicht definierten linearen beschrankten Abbildung

Sei Z ⊂ X ein dichter Unterraum eines normierten Raumes X und Y ein Banachraum. Seiweiterhin L : Z → Y linear und beschrankt. Dann besitzt L eine eindeutige lineare beschrankteFortsetzung L ∈ L(X,Y ) mit L|Z = L und

‖L‖L(X,Y ) = ‖L‖L(Z,Y ) .

Beweis. Sei x ∈ X, dann gibt es nach Voraussetzung eine Folge (zn) in Z mit ‖zn−x‖X → 0. Da(zn) konvergiert, ist die Folge insbesondere Cauchy und wegen ‖Lzn−Lzm‖Y = ‖L(zn−zm)‖Y ≤‖L‖ ‖zn − zm‖X , ist dann auch (Lzn) eine Cauchyfolge in Y . Da Y vollstandig ist, konvergiertLzn → y ∈ Y . Dabei hangt y nicht von der Wahl der Folge (zn) ab, denn sei (z′n) eine andereFolge in Z mit ‖z′n − x‖X → 0, dann konvergiert auch die Folge z1, z

′1, z2, z

′2, . . . gegen x und mit

obigem Argument Lz1, Lz′1, Lz2, Lz

′2, . . . gegen y ∈ Y . Da aber jede Teilfolge einer konvergenten

Folge gegen den gleichen Grenzwert konvergiert, gilt y = limLzn = limLz′n = y. Damit konnenwir Lx := y definieren. Die Linearitat von L ist klar aus der Konstruktion. Die Beschranktheitfolgt aus

‖Lx‖Y = limn→∞

‖Lzn‖Y ≤ limn→∞

‖L‖ ‖zn‖X = ‖L‖ ‖x‖X .

Damit ist L beschrankt, infolgedessen stetig und somit die eindeutige Fortsetzung von L (die Ein-deutigkeit ist klar, da zwei stetige Abbildungen die auf einer dichten Teilmenge ubereinstimmen,uberall ubereinstimmen).

21


Um den Fortsetzungssatz auf die Fouriertransformation anzuwenden, zitieren wir folgendes Er-gebnis aus der Integrationstheorie.

3.21 Satz. C∞0 (Rd) liegt dicht in Lp(Rd) fur 1 ≤ p <∞.

3.22 Satz. Die Fouriertransformation auf L2

Die Fouriertransformation F : (S(Rd), ‖ · ‖L2) → L2(Rd) lasst sich eindeutig zu einem linearenbeschrankten Operator auf L2 fortsetzen.Weiterhin gilt fur f ∈ L2, dass ‖Ff‖L2 = ‖f‖L2 und FF−1 = F−1F = idL2 .

Beweis. Mit Satz 3.21 liegt auch S dicht in L2. Damit folgt die erste Aussage aus Satz 3.20.Außerdem ist

F−1F|S = FF−1|S = idL2 |Sbekannt. Da alle Abbildungen stetig sind, gilt die Gleichung auf ganz L2.

3.23 Definition. Unitarer Operator

Ein linearer beschrankter Operator U ∈ L(H1,H2) heißt unitar, falls U surjektiv und isometrischist, also ‖Uψ‖|H2 = ‖ψ‖H1 fur alle ψ ∈ H1 erfullt.

Mit der Polarisationsidentitat folgt sofort, dass unitare Operatoren “Winkel” erhalten, d.h.

〈Uψ,Uϕ〉H2 = 〈ψ,ϕ〉H1 fur alle ϕ,ψ ∈ H1

gilt.

3.24 Remark. Die Fouriertransformation F : L2 → L2 ist also unitar.

3.25 Remark. Der freie Propagator als unitare Gruppe

Wir konnen nun den freien Propagator

Pf(t) : L2(Rd)→ L2(Rd) , Pf(t) = F−1e−i k2

2tF

auf L2definieren. Es ist Pf(t) fur jedes t ∈ R unitar. Außerdem gilt

Pf(s)Pf(t) = F−1e−i k2

2sFF−1e−i k

2

2tF = F−1e−i k

2

2(s+t)F = Pf(s+ t) .

Deshalb nennt man Pf : R→ L(L2) eine unitare Gruppe.

Es stellt sich nun die Frage, in welchem Sinne

ψ(t) := Pf(t)ψ0

fur ψ0 ∈ L2 die freie Schrodingergleichung lost. Bevor wir die Differenzierbarkeit in t untersuchen,stellen wir fest, dass

ψ : R→ L2(Rd), ψ0 7→ ψ(t) = Pf(t)ψ0

stetig ist, da mit dominierter Konvergenz

‖ψ(t)− ψ(t0)‖2L2 = ‖(Pf(t)− Pf(t0))ψ0‖2L2 =

∫Rd

∣∣∣∣e−i k2

2t − e−i k

2

2t0

∣∣∣∣2 |ψ0(k)|2 dkt→t0→ 0 .

Betrachten wir nun den Differenzenquotienten, so legt obige Rechnung nahe, dass ψ : R→ L2(Rd)genau dann differenzierbar ist, wenn

|k|4|ψ0(k)|2

integrierbar ist, also wenn |k|2ψ0(k) ∈ L2.

22

3.2 Unitare Gruppen und ihre Erzeuger

Man konnte statt t 7→ Pf(t)ψ0 auch gleich die Abbildung Pf : R→ L(L2) betrachten. Wegen

‖Pf(t)− Pf(t0)‖L(L2) =

∥∥∥∥e−i k2

2t − e−i k

2

2t0

∥∥∥∥L(L2)

= supk∈Rd

∣∣∣∣e−i k2

2t − e−i k

2

2t0

∣∣∣∣ = 2

ist diese aber nicht stetig. Fur die verschiedenen Konvergenzbegriffe fuhrt man nun eigene Be-zeichnungen ein.

3.26 Definition. Normkonvergenz, starke und schwache Konvergenz

Sei (An) eine Folge in L(H) und A ∈ L(H).

(a) An konvergiert in der Norm (oder uniform) gegen A, falls

limn→∞

‖An −A‖L(H) = 0 .

Hierfur schreibt man auch limn→∞An = A oder An → A.

(b) An konvergiert stark (oder punktweise) gegen A, falls

limn→∞

‖Anψ −Aψ‖H = 0 fur alle ψ ∈ H .

Hierfur schreibt man auch s-limn→∞An = A oder Ans→ A.

(c) An konvergiert schwach gegen A, falls

limn→∞

|〈ϕ, (An −A)ψ〉| = 0 fur alle ϕ,ψ ∈ H .

Hierfur schreibt man auch w-limn→∞An = A oder Anw→ A.

3.27 Remark. Es gelten die folgenden Implikationen fur die Konvergenz von Operatorfolgen:

Normkonvergenz ⇒ starke Konvergenz ⇒ schwache Konvergenz .

Die umgekehrten Implikationen gelten im Allgemeinen nicht, vgl. Ubungen.


In welchem Sinne lost nun ψ(t) = Pf(t)ψ0 fur ψ0 ∈ L2 die freie Schrodingergleichung

i ddtψ(t) = −1

2∆ψ(t) ?

Einerseits ist ψ(t) stark-differenzierbar, wenn |k|2ψ(t) ∈ L2 ist. Andererseits ist die distributionelleAbleitung

−12∆ψ(t) = F−1 |k|2

2 ψ(t)

genau dann wieder in L2, wenn |k|2ψ(t) ∈ L2 ist. Schließlich gilt

|k|2ψ(t) = |k|2e−i|k|22tψ0 ∈ L2

genau dann, wenn |k|2ψ0 ∈ L2.

Es passt also alles zusammen: wenn fur die Anfangsdaten gilt |k|2ψ0 ∈ L2, dann gilt fur alleZeiten |k|2ψ(t) ∈ L2 und ψ(t) lost die freie Schrodingergleichung im L2-Sinne.

23


3.28 Definition. Sobolevraum

Sei m ∈ Z. Der m-te Sobolevraum Hm(Rd) ⊂ S ′(Rd) ist die Menge derjenigen f ∈ S ′(Rd), fur dief eine messbare Funktion ist und

(1 + |k|2)m2 f ∈ L2(Rd)

gilt. Fur m ≥ 0 ist Hm ⊂ L2.

3.29 Remark. Wir fassen nochmals unsere Beobachtungen zusammen: Der freie Propagator,gegeben durch

Pf : R→ L(L2) , t 7→ Pf(t) = F−1e−i k2

2tF

erfullt:

(a) Pf(t) ist fur alle t ∈ R unitar.

(b) Pf ist stark stetig, d.h. t 7→ Pf(t)ψ ist fur alle ψ ∈ L2 stetig.

(c) Pf ist ein Gruppenhomomorphismus, d.h. Pf(s)Pf(t) = Pf(s+ t) fur alle s, t ∈ R.

Weiterhin gilt im Hinblick auf die freie Schrodingergleichung

(d) Fur ψ0 ∈ L2 ist ψ(t) = Pf(t)ψ0 eine Losung im distributionellen Sinne.

(e) Fur ψ0 ∈ H2 ⊂ L2 ist ψ(t) = Pf(t)ψ0 sogar eine Losung im L2-Sinne, d.h. die AbbildungR→ L2, t 7→ ψ(t), ist differenzierbar und die Ableitung erfullt

i ddtψ(t) = −1

2∆ψ(t) ,

wobei auch −12∆ψ(t) ∈ L2 gilt.

Die Punkte (a)–(c) geben Anlaß zu folgender Definition.

3.30 Definition. Stark stetige unitare einparametrige Gruppe

Eine Familie U(t), t ∈ R, von unitaren Operatoren U(t) ∈ L(H) heißt stark stetige unitareeinparametrige Gruppe, falls gilt:

(i) U : R→ L(H), t 7→ U(t) ist stark stetig.

(ii) U(0) = idH und U(t+ s) = U(t)U(s) fur alle t, s ∈ R.

Die Punkte (d)–(e) motivieren weiterhin:

3.31 Definition. Erzeuger einer unitaren Gruppe

Ein dicht definierter linearer Operator H mit Definitionsbereich D(H) ⊆ H heißt Erzeuger einerstark stetigen unitaren Gruppe U(t), falls

(i) D(H) = ψ ∈ H | t 7→ U(t)ψ ist differenzierbar.(ii) Fur ψ ∈ D(H) gilt i d

dtU(t)ψ = HU(t)ψ.

3.32 Example. Der freie Hamiltonoperator

Der freie Hamilton-Operator

H0 = −12∆ mit D(H0) = H2(Rd)

ist also der Erzeuger der unitaren Gruppe Pf(t).

3.33 Proposition. Eigenschaften des Erzeugers

Sei H ein Erzeuger von U(t). Dann gilt:

(i) D(H) ist invariant unter U(t), d.h. U(t)D(H) = D(H) fur alle t ∈ R.

24


(ii) H vertauscht mit U(t), d.h.

[H,U(t)]ψ := HU(t)ψ − U(t)Hψ = 0 fur alle ψ ∈ D(H) .

(iii) H ist symmetrisch, d.h.

〈Hψ,ϕ〉 = 〈ψ,Hϕ〉 fur alle ϕ,ψ ∈ D(H) .

(iv) U ist eindeutig bestimmt durch H.

(v) H ist eindeutig bestimmt durch U .

Beweis. (i) Es ist s 7→ U(s)U(t)ψ = U(s+ t)ψ genau dann differenzierbar, wenn s 7→ U(s)ψ =U(−t)U(s+ t)ψ differenzierbar ist.

(ii) Fur ψ ∈ D(H) gilt

U(t)Hψ = U(t)i ddsU(s)ψ

∣∣∣s=0

= i ddsU(t)U(s)ψ

∣∣∣s=0

= i ddsU(s)U(t)ψ︸︷︷︸

∈D(H)

∣∣∣s=0

= HU(t)ψ .

(iii) Dies folgt direkt aus der Unitaritat, da fur ϕ,ψ ∈ D(H)

0 = ddt〈ψ,ϕ〉 = d

dt〈U(t)ψ,U(t)ϕ〉 = 〈−iHU(t)ψ,U(t)ϕ〉+ 〈U(t)ψ,−iHU(t)ϕ〉= i〈U(t)Hψ,U(t)ϕ〉 − i〈U(t)ψ,U(t)Hϕ〉 = i(〈Hψ,ϕ〉 − 〈ψ,Hϕ〉) .

(iv) Angenommen U(t) wird ebenfalls von H erzeugt. Dann ist wegen der Symmetrie von H

ddt

∥∥∥(U(t)− U(t))ψ∥∥∥2

= 2 ddt

(‖ψ‖2 − Re〈U(t)ψ, U(t)ψ〉

)= −2 Re

(〈−iHU(t)ψ, U(t)ψ〉+ 〈U(t)ψ,−iHU(t)ψ〉

)= −2 Re

(i〈HU(t)ψ, U(t)ψ〉 − i〈U(t)ψ,HU(t)ψ〉

)= 0

fur alle ψ ∈ D(H). Da (U(0) − U(0))ψ = 0, folgt U |D(H) = U |D(H) und wegen D(H) = Hschließlich U = U auf ganz H.

(v) Dies ist offensichtlich aus der Definition von H.

3.34 Examples. Translationen als unitare Gruppe auf L2

(a) Sei T (t) : L2(R)→ L2(R) mit ψ 7→ (T (t)ψ)(x) := ψ(x−t) die Gruppe der Translationen. Esist T (t) eine stark stetige unitare Gruppe, die von D0 = −i d

dx mit D(D0) = H1(R) erzeugtwird. (Ubungsaufgabe)

(b) Um Translationen auf L2([0, 1]) als unitare Gruppe zu definieren, muss die”Masse“, die auf

einer Seite herausgeschoben wird, auf der anderen Seite wieder dazukommen. Wir definierenfur 0 ≤ t < 1 und θ ∈ [0, 2π) also

(Tθ(t)ψ)(x) =

ψ(x− t) falls x− t ∈ [0, 1]

eiθψ(x− t+ 1) falls x− t < 0 .

Was “rechts rausgeschoben” wird, kommt “links bis auf den Phasenfaktor eiθ wieder rein”.Somit ist Tθ(t) unitar und fur alle t ∈ R durch die Gruppeneigenschaft eindeutig bestimmt.Fur θ 6= θ′ gilt dann aber Tθ(t) 6= Tθ′(t) fur t 6= 0, die Gruppen zu verschiedenen θ sind also

25


verschieden. Nach Proposition 3.33(iv) mussen diese Gruppen dann aber auch verschiedeneErzeuger haben.

Da innerhalb von (0, 1) alle Gruppen Tθ einfach nur verschieben, sollte der Erzeuger furalle θ immernoch −i d

dx sein. Wie kann das sein, wenn die Erzeuger doch verschieden seinmussen? Der Unterschied liegt im Definitionsbereich, welcher jetzt von θ abhangt!

Es sei Dθ = −i ddx der Operator mit Definitionsbereich

D(Dθ) = ψ ∈ H1([0, 1]) | eiθψ(1) = ψ(0) .

Dann ist tatsachlich D(Dθ) unter Tθ(t) invariant und Dθ ist Erzeuger von Tθ.

Hier ist H1([0, 1]) ein lokaler Sobolevraum, definiert durch

H1([0, 1]) := ψ ∈ L2([0, 1]) | es gibt ein ϕ ∈ H1(R) mit ϕ|[0,1] = ψ .

Da, wie wir in Lemma 3.37 zeigen werden, H1(R) ⊂ C(R) ist, macht die Punktauswertungin der Definition von D(Dθ) Sinn.

3.35 Remark. zum Definitionsbereich von −i ddx auf L2([0, 1])

Der Definitionsbereich von −i ddx darf im Beispiel mit H = L2([0, 1]) weder zu groß noch zu

klein gewahlt werden: Der Operator −i ddx ausgestattet mit dem maximalen Definitionsbereich

Dmax = H1([0, 1]) erzeugt keine unitare Gruppe, da H1 unter keinem Tθ invariant ist. Wahlt manden Definitionsbereich aber zu klein, z.B. Dmin := ψ ∈ H1([0, 1]) |ψ(0) = ψ(1) = 0, so erhaltman ebenfalls keinen Erzeuger, da Dmin wieder unter keiner der Gruppen Tθ invariant ist.

Da Dmin fur alle θ ∈ [0, 2π) in Dθ enthalten ist, konnen wir −i ddx auf Dmin auch nicht eindeutig

zu einem Erzeuger fortsetzen.

3.36 Remark. zur Symmetrie von −i ddx auf L2([0, 1])

Fur ϕ,ψ ∈ H1([0, 1]) gilt

⟨ψ,−i d

dxϕ⟩

=

∫ 1

0ψ(x)

(−i d

dxϕ(x))

dx = −i(ψ(1)ϕ(1)− ψ(0)ϕ(0)

)+

∫ 1

0

(−i d

dxψ(x))ϕ(x) dx

= −i(ψ(1)ϕ(1)− ψ(0)ϕ(0)

)+⟨−i d

dxψ,ϕ⟩.

Also ist −i ddx auf dem zu großen Definitionsbereich Dmax nicht symmetrisch und wieder sehen

wir, dass −i ddx auf Dmax kein Erzeuger sein kann.

Auf Dθ und auf Dmin ist −i ddx symmetrisch, da die Randterme wegen der Randbedingungen

verschwinden. Aber nur auf Dθ ist −i ddx tatsachlich Erzeuger.

Die Symmetrie ist also eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung dafur, Erzeuger einerunitaren Gruppe zu sein.

Bevor wir uns im nachsten Abschnitt mit der Frage befassen, wie sich die Erzeuger unitarerGruppen genau charakterisieren lassen, tragen wir noch das folgende Resultat zur Regularitatvon Funktionen in Sobolevraumen nach.

3.37 Lemma. von Sobolev

Sei ` ∈ N0 und f ∈ Hm(Rd) mit m > ` + d2 . Dann ist f ∈ C`(Rd) und ∂αf ∈ C∞(Rd) fur alle

|α| ≤ `.

Beweis. Wir werden zeigen, dass kαf(k) ∈ L1(Rd) ist fur alle α ∈ Nd0 mit |α| ≤ `. Mit demLemma von Riemann-Lebesgue, Satz 2.3, erhalten wir dann, dass ∂αf ∈ C∞(Rd) ist.

26

3.3 Selbstadjungierte Operatoren

Nach Definition von Hm ist (1 + |k|2)m2 f(k) ∈ L2(Rd) und somit fur jedes α ∈ Nd0 mit |α| ≤ `∫

Rd|kαf(k)| dk ≤

∫Rd

(1 + |k|2)`2 |f(k)| dk

=

∫Rd

(1 + |k|2)m2 |f(k)|(1 + |k|2)

`−m2 dk

≤ ‖(1 + |k|2)m2 f(k)‖L2(Rd)

(∫Rd

1

(1 + |k|2)m−`dk

) 12

,

wobei wir im letzten Schritt die Cauchy-Schwarz Ungleichung verwendet haben. Das letzte Inte-gral ist aber genau dann endlich, wenn 2(m− `) > d ist.

3.3 Selbstadjungierte Operatoren

3.38 Reminder. Der adjungierter Operator auf normierten Raumen

Seien V und W normierte Raume und A ∈ L(V,W ). Dann sind die Dualraume V ′ und W ′

Banachraume und man definiert den adjungierten Operator A′ : W ′ → V ′ fur w′ ∈W ′ durch

(A′w′)(v) := w′(Av) fur alle v ∈ V.

Offensichtlich ist A′ ∈ L(W ′, V ′) und aus dem Satz von Hahn-Banach folgt ‖A′‖ = ‖A‖.

Fur Hilbertraume gilt H′ ∼= H, weshalb fur A ∈ L(H) dann A′ ∈ L(H′) auch wieder als Operatorin L(H) aufgefasst werden kann. Das wollen wir jetzt genauer erklaren.

3.39 Satz. Riesz’scher Darstellungssatz

Sei H ein Hilbertraum und T ∈ H′. Dann existiert ein eindeutiges ψT ∈ H so, dass

T (ϕ) = 〈ψT , ϕ〉H fur alle ϕ ∈ H .

Beweis. Sei T ∈ H′. Da wir zeigen wollen, dass T die “Projektion” auf einen Vektor ψT ist,betrachten wir den Kern von T , M := Kern(T ), welcher das ortogonale Komplement von ψT seinsollte. Da T stetig ist, ist M sicherlich abgeschlossen. Falls M = H ist, ist T = 0 und ψT = 0liefert den gewunschten eindeutigen Vektor.

Sei also M 6= H. Dann ist die Aussage des Satzes im wesentlichen, dass M⊥ eindimensional ist.Um das zu sehen wahle ψ0, ψ1 ∈M⊥ \ 0. Dann gilt fur α := T (ψ0)

T (ψ1) , dass

T (ψ0 − αψ1) = T (ψ0)− αT (ψ1) = 0

also

ψ0 − αψ1 ∈M ∩M⊥ = 0

und somit ψ0 = αψ1. Mit dem Projektionssatz lasst sich nun jedes ϕ ∈ H eindeutig als

ϕ = ϕM + ϕM⊥ = ϕM + 〈ψ0,ϕ〉‖ψ0‖2 ψ0

schreiben. Fur ψT := T (ψ0)‖ψ0‖2ψ0 ergibt sich schließlich

T (ϕ) = T (ϕM + 〈ψ0,ϕ〉‖ψ0‖2 ψ0) = 〈ψ0, ϕ〉T (ψ0)

‖ψ0‖2 = 〈ψT , ϕ〉 .

Die Eindeutigkeit folgt sofort aus der Definitheit des Skalarprodukts.

27


3.40 Korollar. Selbstdualitat des Hilbertraums

Es gibt eine kanonische antilineare Bijektion

J : H → H′ , ϕ 7→ Jϕ := 〈ϕ, · 〉 .

Es ist J eine stetige Isometrie.

3.41 Definition. Hilbertraumadjungierte

Sei A ∈ L(H), dann ist der (Hilbertraum-)adjungierte Operator A∗ definiert durch

A∗ = J−1A′J .

3.42 Proposition. Fur A ∈ L(H) gilt

〈ψ,Aϕ〉 = 〈A∗ψ,ϕ〉 fur alle ψ,ϕ ∈ H

und A∗ ist durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt.

Beweis. Zunachst folgt aus der Definition von A∗, dass

〈ψ,Aϕ〉 = Jψ(Aϕ) = A′Jψ(ϕ) = JJ−1A′Jψ(ϕ) = JA∗ψ(ϕ) = 〈A∗ψ,ϕ〉 .

Nun ist aber die Abbildung ϕ 7→ 〈ψ,Aϕ〉 stetig und linear. Nach Satz 3.39 gibt es also eineindeutiges η ∈ H mit 〈ψ,Aϕ〉 = 〈η, ϕ〉 fur alle ϕ ∈ H.

3.43 Satz. Eigenschaften der Hilbertraumsadjungierten

Seien A,B ∈ L(H) und λ ∈ C. Dann gelten

(a) (A+B)∗ = A∗ +B∗ und (λA)∗ = λA∗

(b) (AB)∗ = B∗A∗

(c) ‖A∗‖ = ‖A‖(d) A∗∗ = A

(e) ‖AA∗‖ = ‖A∗A‖ = ‖A‖2

(f) KernA = (BildA∗)⊥ und KernA∗ = (BildA)⊥

Beweis. (a)–(c) folgen direkt aus der Definition und den entsprechenden Eingenschaften von A′

und (d) ist klar wegen

〈ψ,Aϕ〉 = 〈A∗ψ,ϕ〉 = 〈ϕ,A∗ψ〉 = 〈A∗∗ϕ,ψ〉 = 〈ψ,A∗∗ϕ〉 fur alle ψ,ϕ ∈ H .

Fur (e) folgern wir aus

‖Aϕ‖2 = 〈Aϕ,Aϕ〉 = 〈ϕ,A∗Aϕ〉 ≤ ‖ϕ‖2‖A∗A‖ ,

dass‖A‖2 = sup

‖ϕ‖=1‖Aϕ‖2 ≤ ‖A∗A‖ ≤ ‖A∗‖ · ‖A‖ = ‖A‖2 .

Bleibt (f) zu zeigen:

ϕ ∈ KernA ⇐⇒ Aϕ = 0

⇐⇒ 〈ψ,Aϕ〉 = 0 fur alle ψ ∈ H⇐⇒ 〈A∗ψ,ϕ〉 = 0 fur alle ψ ∈ H⇐⇒ ϕ ∈ (BildA∗)⊥ .

28

3.4 Unbounded self-adjointness operators

3.44 Example. Rechts- und Linksshift

Sei T : `2 → `2 der Rechtsshift, d.h. (x1, x2, . . .) 7→ (0, x1, x2, . . .). Wegen

〈x, Ty〉 =

∞∑j=2

xjyj−1 =

∞∑j=1

xj+1yj =: 〈T ∗x, y〉

ist T ∗ der Linksshiftoperator, d.h. (x1, . . .) 7→ (x2, x3, . . .).

Der Rechtsshift T ist zwar isometrisch, aber nicht surjektiv und somit nicht unitar. Es gilt zwarT ∗T = id, aber TT ∗ 6= id.

3.45 Proposition. U ∈ L(H) ist genau dann unitar, wenn U∗ = U−1 gilt.

Beweis. ⇒: Sei U unitar. Dann gilt wegen

〈U∗Uψ − ψ,ϕ〉 = 〈Uψ,Uϕ〉 − 〈ψ,ϕ〉 = 0 fur alle ψ,ϕ ∈ H

U∗U = id. Da U surjektiv ist, folgt aus UU∗U = U , dass auch UU∗ = id. Also ist U∗ = U−1.

⇐: Sei umgekehrt U∗ = U−1. Dann ist U insbesondere surjektiv und es gilt

〈Uϕ,Uψ〉 = 〈U∗Uϕ,ψ〉 = 〈U−1Uϕ,ψ〉 = 〈ϕ,ψ〉 .

3.46 Definition. Beschrankter selbstadjungierter Operator

A ∈ L(H) heißt selbstadjungiert, falls A = A∗ ist.

3.47 Proposition. Fur A ∈ L(H) gilt also,

A ist selbstadjungiert ⇔ A ist symmetrisch .

Es sei aber schonmal betont, dass fur einen unbeschrankten Operator die Richtung ⇐ im allge-meinen nicht gilt.

3.48 Satz. Beschrankte Erzeuger

Sei H ∈ L(H) mit H∗ = H. Dann wird durch

e−iHt =∞∑n=0

(−iHt)n

n!

eine unitare Gruppe definiert und ihr Erzeuger ist H mit D(H) = H. Es gilt sogar, dass R →L(H) : t 7→ e−iHt differenziebar ist.


3.49 Definition. unbounded operator

An unbounded operator T , on a Hilbert space H, is a dense subspace, D(T ), the domain of Tand a linear map T : D(T )→ H. The graph Γ(T ) is the subspace of H×H

Γ(T ) = (φ, Tφ) |φ ∈ D(T ). (3.1)

An unbounded operator is associated to a tuple (T,D(T )).

At times we will drop the requirement that D(T ) is dense. We will then refer to “perhaps notdensely defined operators”.

29


3.50 Definition. Let H1 and H2 be two Hilbert spaces. The direct sum of Hilbert spaces

H1 ⊕H2 := H1 ×H2

with the scalar product

〈ϕ,ψ〉H1⊕H2 := 〈ϕ1, ψ1〉H1 + 〈ϕ2, ψ2〉H2

is again a Hilbert space.

3.51 Definition. An operator T is called hermitian (symmetric) if and only if

〈φ, Tψ〉 = 〈Tφ, ψ〉

for all φ, ψ ∈ D(T ).

Since our Hilbert spaces are complex, polarization shows that T is hermitian iff 〈φ, Tφ〉 ∈ R forall φ ∈ D(T ). We also obtain that T hermitian implies that, for x, y ∈ R and φ ∈ D(T ),

‖[T − (x+ iy)]φ‖2 = ‖(T − x)φ‖2 + |y|2‖φ‖2.

3.52 Definition. An operator A is called positive, if

φ ∈ D(A)→ 〈φ,Aφ〉 ≥ 0.

The number γ(A) = infψ∈D(A),‖φ‖=1 is called lower bound of A. If A + c ≥ 0, we say that A isbounded below.

3.53 Definition. An operator T is called closed, iff Γ(T ) is a closed subspace of H⊕H.

An operator T is called closeable iff Γ(T ) is the graph of an operator, then called its closure, T ,that is,

Γ(T ) = Γ(T ).

If T is a closed operator, D0 ⊂ D(T ) and T |D0 = T, we say D0 is a core for T .

3.54 Remark. An operator T is closed, if for any sequence (ϕn) in D(T ) with ϕn → ϕ andTϕn → η follows that (ϕ, η) ∈ Γ(T ), i.e., ϕ ∈ D(T ) und Tϕ = η.

3.55 Example. The free Hamilton operator H0 = −12∆ on D(H0) = H2(Rd) is a symmetric

unbounded densely defined operator.

3.56 Reminder. We have seen in Proposition 3.33 that the generator H of a unitary group isalways symmetric. The reverse is not necessarily true as seen in Bemerkung 3.36.

3.57 Definition. The adjoint

Let T be an (unbounded) operator on H. T ∗, the adjoint of T , is the (perhaps not densely defined)operator with

D(T ∗) := ψ ∈ H | ∃η ∈ H with 〈ψ, Tϕ〉 = 〈η, ϕ〉 for all ϕ ∈ D(T ) .

Since D(T ) is dense η is uniquely defined and for ψ ∈ D(T ∗)

T ∗ : D(T ∗)→ H , ψ 7→ T ∗ψ := η .

Recall that D(T ∗) can be described as the set of all ψ such that |〈ψ, Tφ〉| ≤ c‖φ‖ for some c > 0depending on ψ.

30


3.58 Proposition. One has

〈ψ, Tϕ〉 = 〈T ∗ψ,ϕ〉 for all ψ ∈ D(T ∗) and ϕ ∈ D(T ) .

3.59 Definition. If A,B are two (unbounded) operators, we say B is an extension of A, A ⊂ Biff

D(A) ⊂ D(B), and B|D(A) = A.

EquivalentlyA ⊂ B ⇔ Γ(A) ⊂ Γ(B)

Notice, A is hermitian if and only if A ⊂ A∗

3.60 Definition. Selfadjoint operator

A is called self-adjoint if and only if A = A∗. A is called essentially self adjoint (esa) if and onlyif A is closeable and A is self-adjoint.

3.61 Example. Wir fuhren unser einfaches Beispiel 3.34(b) fort.

(a) Wir betrachten zunachst Dmin = −i ddx mit

D(Dmin) = ϕ ∈ H1([0, 1]) |ϕ(0) = ϕ(1) = 0 .

Fur ϕ ∈ D(Dmin) ist

〈ψ,Dminϕ〉 =

∫ 1

0ψ(x)

(−i d

dxϕ(x))

dx =

∫ 1

0

(−i d

dxψ(x))ϕ(x) dx = 〈−i d

dxψ︸︷︷︸=η

, ϕ〉 ,

vorausgesetzt, dass ddxψ ∈ L2([0, 1]) ist, also ψ ∈ H1([0, 1]) gilt. Also ist D(D∗min) =

H1([0, 1]) ) D(Dmin) und Dmin ist nicht selbstadjungiert.

(b) Fur Dθ = −i ddx mit

D(Dθ) = ϕ ∈ H1([0, 1]) | eiθϕ(1) = ϕ(0)

ist fur ϕ ∈ D(Dθ)

〈ψ,Dθϕ〉 =

∫ 1

0ψ(x)

(−i d

dxϕ(x))

dx

= i(ψ(0)ϕ(0)− ψ(1)ϕ(1)) +

∫ 1

0

(−i d

dxψ(x))ϕ(x) dx = 〈−i d

dxψ︸︷︷︸=η

, ϕ〉 ,

vorausgesetzt, dass ψ ∈ H1([0, 1]) und, dass

ψ(0)ϕ(0)− ψ(1)ϕ(1) = 0 ⇔ ψ(0)

ψ(1)=ϕ(1)

ϕ(0)= e−iθ .

Es ist somit D(D∗θ) = D(Dθ) und D∗θ = −i ddx = Dθ. Also ist Dθ selbstadjungiert.

3.62 Remark. Let T be self-adjoint. A dense subspace D0 ⊂ D(T ), is a core of T , if T withdomain D0 is essentially self-adjoint, i.e., if:

T |D0 = T .

There is a deep connection between adjoints and closability of operators. It depends on the map

J : H×H 7→ H×H, J(ϕ1, ϕ2) = (ϕ2,−ϕ1). (3.2)

31


3.63 Theorem. Let A be an (unbounded) operator on a Hilbert space H. Then

(a) Γ(A∗) = J [Γ(A)⊥] = [J(Γ(A))]⊥.

(b) Let A be a perhaps not densely defined operator. Then π1|J [Γ(A)]⊥ is one-one if and only ifD(A) is dense, where Π1 : (ϕ,ψ) 7→ ϕ.

(c) A is closable if and only if A∗ is densely defined, and in that case, A∗ is closed and

A = (A∗)∗. (3.3)

In particular, any Hermitian operator is is closable.

(d) If A is closable, then

A∗ = A∗∗∗ = A∗∗∗∗∗ = ... A∗∗ = A∗∗∗∗ = ... (3.4)

3.64 Remark. Thus,

A esa⇐⇒ A∗ = A∗∗.

Proof. (a) The fact that J [Γ(A)⊥] = [J(Γ(A))]⊥ is a simple consequence of the unitarity of J .

J(ψ, η) ∈ Γ(A)⊥ ⇐⇒ 〈(η,−ψ), (ϕ,Aϕ)〉H⊕H = 0 fur alle ϕ ∈ D(A)

⇐⇒ 〈ψ,Aϕ〉 − 〈η, ϕ〉 = 0 fur alle ϕ ∈ D(A)

⇐⇒ 〈ψ,Aϕ〉 = 〈η, ϕ〉 fur alle ϕ ∈ D(A)

(b) As we have just seen

(ψ, η) ∈ J [Γ(A)]⊥ ⇐⇒ 〈ψ,Aϕ〉 = 〈η, ϕ〉 ∀ϕ ∈ D(A)

Thus ψ determines a unique η if and only (0, η) ∈ J [Γ(A)]⊥ implies that η = 0 if and only if0 = 〈η, ϕ〉 ∀ϕ ∈ D(A) if and only if D(A)⊥ = 0 if and only if D(A) is dense.

(c) The first statement of (c) says

Γ(A) = Γ(A)⇐⇒ D(A∗) dense.

This follows from the identity

Γ(A) = Γ(A)⊥⊥ = J [J [Γ(A)⊥]]⊥ = J [Γ(A∗)]⊥.

In fact we get from (a) that from (a) that

J(ψ, η) ∈ Γ(A∗)⊥ ⇐⇒ 〈(η,−ψ), (ϕ,A∗ϕ)〉H⊕H = 0 for all ϕ ∈ D(A∗)

⇐⇒ 〈ψ,A∗ϕ〉 − 〈η, ϕ〉 = 0 for all ϕ ∈ D(A∗)

⇐⇒ 〈ψ,A∗ϕ〉 = 〈η, ϕ〉 for all ϕ ∈ D(A∗).

Let us get aware that Γ(A) = Γ(A) is equivalent to the statement: (0, η) ∈ Γ(A) implies thatη = 0.

For otherwise there would exist ϕn → 0 and Aϕn → η, hence there cannot be a uniquely definedA.

Hence (0, η) ∈ Γ(A) iff 〈η, ϕ〉 = 0∀ϕ ∈ D(A∗) iff D(A∗) is dense.

Further applying the argument twice and J2 = −1 Γ(A∗∗) = −Γ(A)⊥⊥ = −Γ(A) = −Γ(A) whichimplies that A = A∗∗. The final assertion follows from D(A) ⊂ D(A∗), so D(A∗) dense.

(d) We have just seen that if B is closed then B = B∗∗.

32


Hence, we know that A hermitian implies

A ⊂ A = A∗∗ ⊂ A∗.

3.65 Proposition. Let T be densely defined T ⊂ S, then S∗ ⊂ T ∗.

Beweis. Recall Γ(S∗) = (JΓ(S))⊥. Since T ⊂ S, we have Γ(T ) ⊂ Γ(S), as well as JΓ(T ) ⊂ JΓ(S),hence

Γ(S∗) = (JΓ(S))⊥ ⊂ (JΓ(T ))⊥ = Γ(T ∗) .

Since (A∗)∗ = A, the definition of ∗ provides the following characterization of A. This gives inparticular a characterization of hermitian A being essential self-adjoint

3.66 Corollary. A symmetric densely defined operator T is essentially self-adjoint if and only ifT ∗ is symmetric. In this case T = T ∗.

Proof. Recall if T is symmetric then T ⊂ T ∗ and T ∗ = T ∗∗∗ and T = T ∗∗. Assume T ∗ is symmetricT ∗ ⊂ T ∗∗ hence T ∗ ⊂ T and T = T ∗ = (T )∗.

Let now T be esa then with T also T ∗ is symmetric.

3.67 Remark. Let T be self-adjoint with domain D(T ). A subset D0 ⊂ D(T ), which is dense inH, is core if

T |D0 = T .

This means D0 is core of (T,D(T )) if and only if D0 is dense in D(T ) with respect to the graphnorm

‖ϕ‖2T := ‖Tϕ‖2H + ‖ϕ‖2H .

3.68 Example. The operator D = −i ddx on Dmin = ψ ∈ H1([0, 1]) |ψ(1) = ψ(0) = 0 is

symmetric but not essentially self-adjoint. We saw already that there are infinitely many self-adjoint extensions

3.69 Example. Multiplication operators

Let V : Rd → C measurable

MV : D(MV )→ L2(Rd) , f 7→ (MV f)(x) := V (x)f(x)

the corresponding multiplication operator on

D(MV ) =f ∈ L2(Rd) |V f ∈ L2(Rd)

.

If D(MV ) is dense in L2 then the adjoint operator on D(M∗V ) = D(MV )is given by

(M∗V f)(x) = V (x)f(x) .

For real V , MV is self-adjoint on the domain D(MV ).

3.70 Lemma. Let U : H1 → H2 be unitary and H on D(H) ⊂ H1 self-adjoint. Then UHU∗ isself-adjoint on UD(H) ⊂ H2.

Proof. Ubungsaufgabe.

33


3.71 Example. Der Laplaceoperator auf Rd

Der Laplaceoperator H0 = −∆ ist auf D(H0) = H2(Rd) selbstadjungiert, da FH0F∗ = |k|2 alsMultiplikationsoperator auf seiner maximalen Domane selbstadjungiert ist.

Nun ist jeder Teilraum X ⊂ H2(Rd) welcher dicht liegt bezuglich der Graphennorm von H0, alsoder H2-Norm

‖ϕ‖2H2 := ‖∆ϕ‖2L2 + ‖ϕ‖2L2 ,

ein determinierender Bereich fur H0. Also ist z.B. C∞0 (Rd) ein determinierender Bereich fur denselbstadjungierten Operator (H0, H

2(Rd)). Andererseits ist X0 := C∞0 (Rd \ 0) fur d ≤ 3 keindeterminierender Bereich fur (H0, H

2(Rd)), da X0 nicht dicht in H2(Rd) liegt (aber in L2!).Wir werden sehen, dass der symmetrische dicht definierte Operator (H0, X0) viele verschiedeneselbstadjungierte Erweiterungen besitzt.

3.72 Theorem. Criterium for self-adjointness

Let H be densely defined and hermitian. Then the following statements are equivalent.

(i) H is self-adjoint.

(ii) H is closed and Ker(H∗ ± i) = 0(iii) Ran(H ± i) = H

Proof. (i) ⇒ (ii): Let H be self-adjoint, i.e., H = H∗, and in particular H is closed. Let ϕ± ∈Kern(H∗ ± i) then Hϕ± = ∓iϕ±. Since eigenvalues of self-adjoint operators are always real weconclude ϕ± = 0.

(ii) ⇔ (iii): This statement is subject of the Lemma below.

(iii)⇒ (i): Since H is hermitian we know already that H ⊂ H∗. It remains to show that D(H∗) ⊂D(H). Take ψ ∈ D(H∗), then due to the assumption Range(H ± i) = H there exists a ϕ ∈ D(H)such that (H∗ − i)ψ = (H − i)ϕ. Since H ⊂ H∗ one has as well that

(H∗ − i)ψ = (H∗ − i)ϕ ,

hence ϕ−ψ ∈ Ker(H∗ − i). With the first part of the following lemma we infer ϕ−ψ = 0, henceψ = ϕ ∈ D(H) which concludes the proof.

3.73 Lemma. Let T be densely defined. Then

(a) for all z ∈ C Ker(T ∗ ± z) = Range(T ± z)⊥. In particular

Ker(T ∗ ± z) = 0 ⇐⇒ Range (T ± z) = H .

(b) If T is closed and symmetric, then the sets Range(T ± i) are closed.

Beweis. To see (a) we use (T + z)∗ = T ∗ + z in order to conclude

ψ ∈ range(T ± z)⊥ ⇐⇒ 〈ψ, (T ± z)ϕ〉 = 0 for all ϕ ∈ D(T )

⇐⇒ ψ ∈ D(T ∗) and (T ∗ ± z)ψ = 0

⇐⇒ ψ ∈ Ker(T ∗ ± z) .

For simplicity we show (b) only for +i. Since T is symmetric 〈ψ, Tψ〉 = 〈Tψ, ψ〉 = 〈ψ, Tψ〉, hence〈ψ, Tψ〉 ∈ R. Therefore ψ ∈ D(T ) satisfies

‖(T + i)ψ‖2 = 〈(T + i)ψ, (T + i)ψ〉 = ‖Tψ‖2 + ‖ψ‖2 − 2 Re i〈ψ, Tψ〉︸︷︷︸=0

= ‖Tψ‖2 + ‖ψ‖2 ≥ ‖ψ‖2 .

34


This implies that T +i injective and the inverse on the range (T +i)−1: Ran(T +i)→ D(T ) existsand is bounded.

Let ψn be a sequence in Ran (T + i) with ψn → ψ. Then ϕn := (T + i)−1ψn is a Cauchy sequenceand converges to a ϕ ∈ H. Since T is closed, the graph of T + i is also closed. Hence the sequence(ϕn, ψn) ∈ Γ(T + i) converges to a point (ϕ,ψ) = (ϕ, (T + i)ϕ) in the graph which finally showsψ ∈ Ran(T + i).

3.74 Corollary. Criterion for essential self-adjointness

Let H be densely defined and hermitian. Then the following statements are equivalent:

(i) H is essentially self-adjoint.

(ii) Ker(H∗ ± i) = 0.(iii) range(H ± i) = H.

Beweis. (ii) ⇔ (iii) is exactly the statement of Lemma 3.73 and (i) ⇔ (ii) follows from

H is esa ⇐⇒ H = H∗∗ is selfadjoint

⇐⇒ H∗∗ is closed and Ker(H∗∗∗ ± i) = 0⇐⇒ Ker(H∗ ± i) = 0.

3.75 Examples. (a) The operator Dmin = −i ddx on Dmin = ψ ∈ H1([0, 1]) |ψ(1) = ψ(0) = 0

is not essentially self-adjoint, since

D∗minϕ± = −id

dxϕ± = ∓iϕ±

with ϕ± = e±x which is in D(D∗min) = H1([0, 1]). Hence dim(Ker(D∗min ± i)) = 1 6= 0 andwe see again that it is not self-adjoint.

(b) For H0 = −∆ on C∞0 (Rd) we get D(H∗0 ) = H2(Rd) and

H∗0ϕ± = −∆ϕ± = ∓iϕ±

has no solution in H2. Hence Ker(H∗0±i) = 0 and H0 is essentially self-adjoint on C∞0 (Rd).

3.76 Definition. Defect indices

Let H be hermitian then we define

L± := Ker(H∗ ∓ i) = Ran(H ± i)⊥

and denote

N± := dimL±

as defect indices of H.

3.77 Remark. Due to

H = Ran(H ± i)⊕ L±

we see that H is essentially self-adjoint if and only if N+ = N− = 0.One can show that an operator has a self-adjoint extension if N+ = N−.

35


3.78 Definition. Conjugation

An anti-linear map C : H → H, i.e.,

C(αψ + ϕ) = αCψ + Cϕ ,

is called conjugation, if

‖Cψ‖ = ‖ψ‖ for all ψ ∈ H

and C2 = idH.

3.79 Examples. (a) The complex conjugation ψ(x) 7→ ψ(x) is a conjugation on L2(Ω).

(b) The time-reversal of Dirac-spinors on L2(R3,C4) given by ψ(x) 7→ γψ(x) with γ2 = idC4 isa conjugation.

3.80 Theorem. von Neumann-Theorem

Let H be hermitian and densely defined. If there is a conjugation C with CD(H) ⊂ D(H) andCHϕ = HCϕ for all ϕ ∈ D(H), then the defect-indices of H agree and H has self-adjointextensions.

Beweis. Since C2 = 1 and D(H) ⊂ CD(H) we see D(H) = CD(H). For all ψ+ ∈ L+ andϕ ∈ D(H), we conclude

0 = 〈(H∗ − i)ψ+, ϕ〉 = 〈ψ+, (H + i)ϕ〉 (∗)= 〈Cψ+, C(H + i)ϕ〉 = 〈(H − i)Cϕ,Cψ+〉 ,

where (∗) is proven in an exercise. CD(H) = D(H) implies

Cψ+ ∈ Ran(H − i)⊥ = L− .

Analogously CL− ⊂ L+ hence CL− = L+. Due to injectivity and anti-linearity of C we obtaindimL− = dimL+.

3.81 Examples. (a) The operator D[0,∞) = −i ddx on C∞0 ((0,∞)) does not commute with any

conjugation.

(b) The operator −∆ on C∞0 (Ω) commutes with complex conjugation, therefore it always hasself-adjoint extensions.

3.82 Definition. Resolvents, spectrum

Let T be a closed operator on H. The resolvent set of H is

%(T ) = z ∈ C | (T − z) : D(T )→ H is bijective with continuous inverse .

For z ∈ %(T )

Rz(T ) := (T − z)−1 ∈ L(H)

is the resolvent of T at z.

The spectrum of T is the complement of the resolvent set,

σ(T ) := C \ %(T ) .

The spectrum can further be decomposed into:

(a) σp(T ) := z ∈ C |T − z is not injectiveis called point spectrum and ist the set of eigenvalues of the operator.

36


(b) σc(T ) := z ∈ C |T − z is injective, not surjective, but with dense rangeis called continuous spectrum.

(c) σr(T ) := z ∈ C |T − z is injective, not surjective, without dense rangeis called residual spectrum.

3.83 Remark. If T − z is bijective, then its inverse (T − z)−1 is automatically continuous andtherefore

σ(T ) = σp(T ) ∪ σc(T ) ∪ σr(T ) .

For dimH <∞ σ(T ) = σp(T ) is the set of all eigenvalues.

3.84 Examples. (a) We consider the position operator x, with domain

D(x) = ψ ∈ L2(R) |xψ(x) ∈ L2(R)

with x : ψ 7→ xψ.(x− z)−1 is the multiplication with the function (x− z)−1, which is bounded iff z ∈ C \R.Hence σ(x) = R.

THe map (x− λ) has a dense range for λ ∈ R: for ψ ∈ L2 put

ϕn := χR\[λ− 1n, λ+ 1

n]

ψ

x− λ.

Then (x−λ)ϕn → ψ in L2 and therefore the range of x−λ is dense. Hence σ(x) = σc(x) = R.

(b) Let U ∈ L(H) be unitary then σ(T ) = σ(UTU−1), since T − z is bijective if and only ifU(T − z)U−1 = UTU−1 − z is bijective.

Hence also the momentum operator p = −i ddx on L2(R) has purely continuous spectrum

σ(p) = σc(p) = R, since p = F xF−1, and the Fourier transform ist unitary.

3.85 Theorem. Properties of resolvent and spectrum

Let T be a densely defined operator on the Hilbert space H. Then:

(a) %(T ) ist open, hence the spectrum σ(T ) closed.

(b) The resolvent map

%(T )→ L(H) , z 7→ Rz(T )

is analytic, i.e., the resolvent can be expressed as convergent power series with coefficientsin L(H).

(c) If T ∈ L(H), then |z| ≤ ‖T‖ ∀ z ∈ σ(T ). In particular the spectrum is a compact set.

(d) For z, w ∈ %(T ) the resolvent equation

Rz(T )−Rw(T ) = (z − w)Rw(T )Rz(T )

holds. Further the resolvents commute,

Rw(T )Rz(T ) = Rz(T )Rw(T ) .

Beweis. (a) Let z0 ∈ %(T ) and |z − z0| < ‖Rz0‖−1. Then

T − z = T − z0 − (z − z0) = (T − z0) (1− (z − z0)Rz0) .

Since ‖(z − z0)Rz0‖ < 1, the operator 1 − (z − z0)Rz0 is invertible according to the followingproposition, hence also T − z is (continuously) invertable. Hence z ∈ %(T ).

37


3.86 Proposition. Neumann series

Let X be a Banach space and T ∈ L(X) with ‖T‖ < 1. Then 1 − T is invertible with boundedinverse and one has

(1− T )−1 =∞∑n=0

Tn

und‖(1− T )−1‖ ≤ (1− ‖T‖)−1 .

Beweis. Exercise.

(b) According to the Neumann series

Rz = (1− (z − z0)Rz0)−1Rz0 =

∞∑n=0

(z − z0)nRn+1z0 ,

with coefficients Rn+1z0 in L(H).

(c) With |z| > ‖T‖ the operator 1− Tz is invertible as well as T − z, hence z ∈ %(T ).

(d) One has

Rz(T )−Rw(T ) = Rz(T )(T − w)Rw(T )−Rz(T )(T − z)Rw(T ) = (z − w)Rz(T )Rw(T ) .

3.87 Theorem. Spectrum of self-adjoint operators

Let H be self-adjoint, then σ(H) ⊂ R and for z ∈ C \ R one has

‖(H − z)−1‖ ≤ 1

|Im(z)|.

Beweis. Let z = λ + iµ with λ, µ ∈ R and µ 6= 0. Then H−λµ is self-adjoint on D(H) and we

conclude

Ker

(H − λµ− i

)= Kern(H − λ− iµ) = 0

und

Ran

(H − λµ− i

)= Ran(H − λ− iµ) = H .

Hence H − z : D(H)→ H is bijective and due to

‖(H − λ− iµ)ψ‖2 = ‖(H − λ)ψ‖2 + ‖µψ‖2 ≥ µ2‖ψ‖2

the inverse is bounded by 1|µ| .

3.88 Remark. Norm of the resolvent

We will see later that for self-adjoint operators one even has the bound

‖(H − z)−1‖ =1

dist(z, σ(H))

meaning that the norm of the resolvent is given by the distance to the spectrum.

3.89 Remark. In the following we are in the situation that we have a self-adjoint operatorH0 with domain D(H0) and we want to realize operators of the form H = H0 + V as self-adjoint operators on D(H0). The perturbation by a possible singular Coulomb-potential shouldnot change the domain of definition. One of the basic concepts for that is relative boundedness.

38


3.90 Definition. Relative boundedness

Let A and B be densely defined and assume

(i) D(A) ⊂ D(B)

(ii) there are positive real numbers a, b ∈ R+ so, such that

‖Bϕ‖ ≤ a‖Aϕ‖+ b‖ϕ‖

for all ϕ ∈ D(A).

Then the operator B is relatively bounded with respect to A (or A-bounded) and the infimum of thepossible parameters a is called relative bound. If this relative bound is 0, then B is infinitesimallyA-bounded.

3.91 Remark. One could equivalently to the second condition in Definition 3.90 require theexistence of a, b ∈ R with

‖Bϕ‖2 ≤ a2‖Aϕ‖2 + b‖ϕ‖2

for all ϕ ∈ D(A). Both conditions lead to the same relative bound.

3.92 Theorem. Kato-Rellich

Let A be self-adjoint and B symmetric. Let further be B relative bounded with respect to A withrelative bound a < 1. Then A+B is self-adjoint on D(A+B) = D(A) and essentially self-adjointon any core of A.

Beweis. We will show that Ran(A+B± iµ0) = H for an appropriate µ0 > 0. This will then implythe self-adjointness of A+B

µ0on D(A) and the self-adjointness of A+B using Theorem 3.72.

For ϕ ∈ D(A) and every µ > 0

‖(A+ iµ)ϕ‖2 = ‖Aϕ‖2 + µ2‖ϕ‖2 .

Since A is self-adjoint, the resolvent (A+iµ)−1 is bounded and plugging in ϕ = (A+iµ)−1ψ gives

‖ψ‖2 ≥ ‖A(A+ iµ)−1ψ‖2 and ‖ψ‖2 ≥ µ2‖(A+ iµ)−1ψ‖2

for all ψ ∈ H. Hence ‖A(A + iµ)−1‖ ≤ 1 and ‖(A + iµ)−1‖ ≤ µ−1. According to the relativeboundedness we conclude for ϕ = (A+ iµ)−1ψ that

‖B(A+ iµ)−1ψ‖ ≤ a‖A(A+ iµ)−1ψ‖+ b‖(A+ iµ)−1ψ‖ ≤(a+ b

µ

)‖ψ‖ .

For µ0 >b

1−a > 0 (observe a < 1) we conclude ‖B(A+iµ0)−1‖ < 1. Therefore 1+B(A+iµ0)−1 =

1− (−B(A+ iµ0)−1) is invertible and Ran(1 +B(A+ iµ0)−1) = H. Since

(1 +B(A+ iµ0)−1)(A+ iµ0)ϕ = (A+B + iµ0)ϕ

for all ϕ ∈ D(A) and Ran(A+iµ0) = H (A is self-adjoint), we obtain also that Ran(A+B+iµ0) =H.The argument for Ran(A+B − iµ0) = H is analogous.

3.93 Corollary. −∆-bounded potentials in R3

Let V : R3 → R and V ∈ L2(R3) + L∞(R3), i.e., one can decompose V = V1 + V2 with V1 ∈ L2

and V2 ∈ L∞. Then V infinitesimal H0-bounded, where H0 = −12∆ on D(H0) = H2(R3), and

therefore the Schrodinger-operator H = H0 + V self-adjoint on D(H0).

39


Beweis. D(V ) = ψ ∈ L2 |V ψ ∈ L2 includes for example the bounded L2-functions and istherefore dense in L2. Let V = V1 + V2 with V1 ∈ L2 and V2 ∈ L∞. Since ϕ ∈ H2(R3), it isautomatically continuous according to the Lemma about Sobolev embedding, we conclude

‖V ϕ‖L2(R3) ≤ ‖ϕ‖∞‖V1‖L2(R3) + ‖V2‖L∞(R3)‖ϕ‖L2(R3) ,

hence H2(R3) ⊂ D(V ). With the following Lemma 3.94 one immediately concludes the infinite-simal boundedness of V .

3.94 Lemma. For all a > 0 there exists a b > 0 such that for all ϕ ∈ H2(R3)

‖ϕ‖∞ ≤ a‖∆ϕ‖L2 + b‖ϕ‖L2 .

Beweis. With Cauchy-Schwarz

‖ϕ‖∞ ≤ ‖ϕ‖L1 = ‖(1 + k2)(1 + k2)−1ϕ‖L1

≤ ‖(1 + k2)−1‖L2︸︷︷︸=:C

‖(1 + k2)ϕ‖L2

≤ C(‖k2ϕ‖L2 + ‖ϕ‖L2) .

Let now ϕr(k) := r3ϕ(rk), then

‖ϕr‖L1(R3) = ‖ϕ‖L1(R3) forall r 6= 0 .

For ϕr we have

‖ϕr‖L2(R3) = r32 ‖ϕ‖L2(R3) , und ‖k2ϕr‖L2(R3) = r−

12 ‖k2ϕ‖L2(R3) .

Althogether

‖ϕ‖∞ ≤ ‖ϕ‖L1 = ‖ϕr‖L1 ≤ C(‖k2ϕr‖L2 + ‖ϕr‖L2) = Cr−12 ‖k2ϕ‖L2 + cr

32 ‖ϕ‖L2

= Cr−12 ‖∆ϕ‖L2 + Cr

32 ‖ϕ‖L2 .

Since r is arbitrary the statement follows

3.95 Remark. In many situations it is easy to show that

‖V 1

p2 + µ‖ ≤ Cµ,

with Cµ → 0 for µ to ∞. This estimate is part of the proof of Kato-Rellich and implies relativeboundedness.

3.96 Examples. The Coulomb potential

Let V (x) = − e|x| the Coulomb potential.

(a) Due to

V (x) = − e

|x|= −χ|x|≤R

e

|x|︸︷︷︸∈L2(R3)

−χ|x|>Re

|x|︸︷︷︸∈L∞(R3)

H = −12∆− e

|x| is self-adjoint on H2(R3). In the same way one can show that

H = −12

N∑j=1

∆xj −∑j>k

ejk|xj − xk|

is self-adjoint on H2(R3N ).

40


(b) For the Dirac-operator D = D0 − e|x| (with c = 1) one only has∥∥∥ e|x|ϕ

∥∥∥ ≤ 2e‖D0ϕ‖+ b‖ϕ‖ .

In order to apply Kato-Rellich one needs to have e < 12 . Indeed for e > 1

2 the Dirac-OperatorD is no longer essentially self-adjoint on D(D0).

41

4 Spectral theorem

4.1 Motivation. General statements

In the following we will prove the spectral theorem for bounded self-adjoint operators. The argu-ments are then in a straightforward way extended to unbounded operators.

Let us recall what we know about finite dimensional hermitian matrices H.

(i) H is unitarily equivalent to a diagonal matrix, that is, to a multiplication operator.

(ii) There is a functional calculus for H, that means for any continuous function f one canuniquely define f(H). Let A = Udiag(λ1, . . . , λn)U−1, define

f(A) = Udiag (f(λ1), . . . , f(λn))U−1 .

(iii) H has a spectral decomposition, that means there exists a projection valued measure PHon the spectrum σ(H) such that H =

∫σ(H) λ dPH(λ). For matrices that means that A can

be written in the form A =∑n

j=1 λjPj .

The three formulations of the spectral theorem are essentially equivalent. In the following westart with the functional calculus for continuous functions.

4.2 Theorem. Let T be a self adjoint on the Hilbert space H. Then there is a unique mapφ : C(σ(T ))→ L(H), with the following properties:

(1) φ ist algebraischer ∗-Homomorphismus, also

φ(fg) = φ(f)φ(g) φ(λf) = λφ(f)

φ(1) = 1, φ(f) = φ(f)∗.

(2) φ is continuous, i.e., ‖φ(f)‖ ≤ C‖f‖∞.(3) If f(x) = x then φ(f) = T .

(4) σ[φ(f)] = f(λ) |λ ∈ σ(T ).(5) if Tψ = λψ then φ(f)ψ = f(λ)ψ.

(6) if f ≥ 0 then φ(f) ≥ 0.

(7) ‖φ(f)‖ = ‖f‖∞

The idea of the proof is quite simple. (1) and (3) uniquely determine φ(P ) if P (x) is a polynomial.By Weierstrass theorem which says that the polynomials are dense in C(σ(T )), so the heart ofthe proof is essentially to show that

‖P (T )‖ = ‖P (x)‖∞ = supλ∈σ(T )

|P (λ)|.

To prove the crucial equality we prove a special case of (4). First we start with the followingLemma.

43

4 Spectral theorem

4.3 Lemma. Let T be a self-adjoint operator then

supλ∈σ(T )

|λ| = ‖T‖.

Beweis. We know already that if |λ| > ‖T‖ then λ− T is invertible, hence

supλ∈σ(T )

|λ| ≤ ‖T‖.

If T ∈ %(T ), then1

λ− T=

1

λ

∑n=0

(T

λ

)nis a power series in 1/λ at λ =∞. The radius of convergence according to Hadamard is

1/R = limn→∞

‖Tn‖1/n = ‖T‖,

which tells us that the resolvent has to have a pole at some |λ| = ‖T‖.

Since the spectrum of T is real, it lies within [−‖T‖, ‖T‖], that is

σ(T ) ⊂ [−‖T‖, ‖T‖].

In the following we show that we can always define P (T ) if P (x) is a polynomial.

4.4 Lemma. Let P (x) be a polynomial of degree n, and T s.a., then

σ(P (T )) = P (λ)|λ ∈ σ(T ).

Beweis. Let λ ∈ σ(T ), then since λ is a root one can write

P (x)− P (λ) = (x− λ)Q(x),

for an appropriate polynomial Q(x). Hence P (T ) − P (λ) = (T − λ)Q(T ) and therefore notinvertible since T − λ is not invertible by assumption.

On the other hand let µ ∈ σ(P (T )). According to the fundamental theorem of Algebra there aren zeros λ1, .., λn, such that

P (x)− µ = a(x− λ1)..(x− λn),

and P (T ) − µ is not invertible if and only if there is one λi such that T − λi is not invertible,hence there is at least one λi ∈ σ(T ) with µ = P (λi).

4.5 Lemma. Let T be s.a. Then, we have

‖P (T )‖ = supλ∈σ(T )

|P (λ)|.

Beweis.

‖P (T )‖2 = ‖P (T )∗P (T )‖ = ‖PP (T )‖ = supλ∈PP (T )

|λ| = supλ∈σ(T )

|PP (λ)|

= ( supλ∈σ(T )

|P (λ)|)2.

The third equality follows from Lemma 4.3 and the last one from the previous Lemma

44

Proof of Theorem 4.2. Let φ(P ) = P (A). Then ‖φ(P )‖ = ‖P‖∞. So φ has a unique linear exten-sion to the closure of polynomials in C(σ(A)). Since the polynomials are dense in C(σ(A)), theproperties follow by continuity.

The mapf → 〈u, f(T )u〉,

is a map from C(σ(T )) to the complex numbers. Hence one can apply an important theorem inmeasure theory. Namely, the Riesz-Markov-theorem which says that every linear functional fromthe space of the continuous functions, corresponds to a measure.

4.6 Satz. Riesz-Markov

Sei M ⊂ Rd be a closed set in Rd. Then to every positive linear functional l on C∞(M) thereexists a unique finite measure µ so, such that

`(f) =

∫Mfdµ .

Beweis. See Werner, Funktionalanalysis, Theorem 2.5. If you take an open set O. Then themeasure of this set would naturally be given by the characteristic function of O. However, this isnot continuous. Therefore one takes the supremum of all continuous functions which are 0 outsideof O and between 0 and 1 inside.

In this way to every vector u ∈ H one can associate a spectral measure µu, such that

〈u, f(T )u〉 =

∫σ(T )

f(λ)dµu.

Using the polarization identity one can adapt that to

〈u, f(T )v〉 =

∫σ(T )

f(λ)dµu,v.

As next step one can extend the functional calculus to bounded measurable functions, by meansof

〈u, g(T )v〉 =

∫ ∞−∞

g(s)dµu,v(s).

In particular one can define orthogonal projection valued measures P (Ω), by means of

〈u, P (Ω)v〉 = 〈u, χΩ(T )v〉 =

∫χΩ(x)dµu,v(x).

For us in particular the following operators are important

P (t)↔ χ(−∞,t](T ),

by means of the definition

〈u, P (t)v〉 = 〈uχ(−∞,t](T )v〉 =

∫ ∞−∞

χ(−∞,t](s)dµu,v(s).

This implies

〈u, P (t)u〉 = 〈uχ(−∞,t](T )u〉 =

∫ ∞−∞

χ(−∞,t](s)dµu(s) =

∫ t

−∞dµu(s) = µu(t).

Since also for these operators one has P 2t = Pt.

45

4 Spectral theorem

4.7 Lemma. The operators Pt are a resolution of the identity. This means

(i) t < s implies Pt ≤ Ps(ii) s− limt→−∞ Pt = 0 and s− limt→∞ Pt = 1

(iii) s− limt↓s Pt = Ps

If −∞ < a < b <∞ then Pa−ε = 0 and Pb = 1.

Proof. The operator Pt is defined by the relation

〈ϕ, Ptϕ〉 =

∫χ(−∞,t](x)dµϕ(x),

thats why the first two statements are obvious. For the third one, realize that

‖[Pt − Ps]ϕ‖2 = 〈ϕ, [Pt − Ps]2ϕ〉 =

∫χ(s,t](x)dµϕ(x),

which goes to zero when t goes to s, but not the other way round.

Given a resolution of an identity one can make sense out of the expression∫g(t)dPt for continuous

g just like in the case of Riemann-integrals.

4.8 Proposition. Let Pt be defined as above, and supported on [−R,R]. Let g ∈ C([−R,R]).Let

φn(g) =

2nR∑j=−2nR

g

(j

2n

)[P j

2n− P (j−1)

2n].

Then φn(g) converges in operator norm to an operator φ(g), satisfying φ(g)φ(f) = φ(fg), g →φ(g) is linear, φ(g) = φ(g)∗ and φ(g) ≤ ‖g‖∞.

Proof. It is easy to see that[P j

2n− P (j−1)

2n] ⊥ [P k

2n− P (k−1)

2n]

for k 6= j. Hence

‖φn(g)ψ‖2 =∑|g(j

2n

)|2‖[P j

2n− P (j−1)

2n]ψ‖2 ≤ sup

j|g(j

2n

)|2‖ψ‖2.

This, plus the existence of the limit shows φ(g) ≤ ‖g‖∞. In the same way one can show that

‖φn(g)− φl(g)‖ ≤ sup|x−y|≤2−n

|g(x)− g(y)|.

Since continuous functions on compact sets are uniformly continuous this goes to zero, for l, nto infinity, showing φn(g) is a Cauchy sequence. This proves the existence of a limit in operatorsense.

This shows that in Riemann sense the expressions∫f(t)dPt are well defined, and we have

4.9 Theorem. Let A be a s.a. bounded operator, then there exists a resolution of the identityPt, such that for all continuous functions f on σ(A),

f(A) =

∫f(t)dPt.

In particular

A =

∫tdPt.

46

4.10 Definition. A vector ψ is called cyclic for the self-adjoint operator T , if all linear combi-nations of Tnψ are dense in H. In the same way one can define a cyclic subspace Hϕ for anyϕ ∈ H, it is the closure of the span of all T ′s applied to ϕ.

4.11 Theorem. Let A be any self-adjoint operator on a Hilbert-space H. Then there exists anorthonormal family ϕjNj=1, (N ∈ N or N =∞) , so that for all ∀j 6= k Hϕj ⊥ Hϕk and

H = ⊕Nj=1Hϕj .

Proof. First, realize that if ψ ⊥ Hϕ, than Hψ ⊥ Hϕ, simply because if 〈ψ, φ〉 = 0 for all φ ∈ Hϕ,which are linear combinations of Anϕ, then

〈Amψ, φ〉 = 〈ψ,Amφ〉 = 0.

Next one proceeds inductively. Let ηj be an orthonormal basis for H. Let ϕ1 = η1, and H1 =Hϕ1 . And P1 the projection on H⊥1 . If for all j P1ηj = 0, then N = 1. If not let k1 be thesmallest j for which P1ηj 6= 0, then define φ2 = P1ηk1/‖P1ηk1‖. We see that Hϕ1 ⊥ Hϕ2 and

ηjk1j=1 ⊂ Hϕ1 ⊕Hϕ2 . Now chose k2 as the j which is the first one such that P2ηj 6= 0, with P2

the projection on the orthogonal subspace of Hϕ1 ⊕Hϕ2 . And define ϕ3 .... and so on...

4.12 Lemma. Let T be a s.a. bounded operator with cyclic vector ψ. Then there exists a measuredµψ and a unitary map U : H → L2(σ(T ), dµψ), with

(UTU−1f)(x) = xf(x),

which means that T diagonalizable.

Beweis. We have the continuous functional calculus Φg(T ). Therefore there is a positive measuredµψ with

〈ψ,Φg(T )ψ〉 =

∫g(x)dµψ(x).

In particular

〈Tmψ, Tnψ〉 =

∫xn+mdµψ(x) = 〈xm, xn〉L2(R,dµψ .

Define UP (T )ψ = P , with P a polynomial. We have

‖P (T )ψ‖2 = 〈ψ, P (T )∗P (T )ψ〉 = 〈ψ, PP (T )ψ〉 =

∫σ(T )|P (x)|2dµψ(x),

such that U is an isometry from H = P (T )ψ onto L2(R, dµψ) and can be extended to a mapfrom H to L2(σ(T ), dµψ). By construction

(UTU−1f)(x) = [UTf(T )ψ](x) = U(xf)(T )ψ](x) = xf(x).

Schliesslich verwenden wir, dass sich jeder separable Hilbertraum H als direkte Summe ⊕Ni=nHnschreiben kann, N = 1, 2, ... oder ∞, wobei Hn invariant unter T ist, mit ψn zyklischer Vektorfur Hn.

4.13 Theorem. Let T be s.a., andH separable Hilbert-space. Then there exist measures µnNn=1

(N = 1, ...., .or ∞) on σ(T ) and a unitary operator U ,

U : H → ⊕Nn=1L2(R, dµn),

such that(UTU−1ψ)n(x) = xψn(x).

47

4 Spectral theorem

The theorem tells us that any self-adjoint operator is a multiplication operator on an appropriateHilbert-space.

4.14 Theorem. Let A be a bounded s.a. operator. The following sets are the same:

(i) σ(A), the spectrum of A.

(ii) The set of points of increase pf Pλ, that is λ | ∀ε > 0, Pλ+ε 6= Pλ−ε.(iii) the support for the spectral measure for A, ∪nsuppµn.

The proof will be given later and discussed in the exercises.

We proved the spectral theorem under the assumption that A is a bounded self-adjoint operator.However, this construction can be extended to unbounded self-adjoint operators.

In other words, it is possible for unbounded s.a. operators A to associate a family of projectorsPt, with s− limt→−∞ Pt = 0 and s− limt→∞ Pt = 1. Then

D(A) = ϕ ∈ H |∫t2〈ϕ, Ptϕ〉 <∞.

In equivalent form the domain of f(A) then is

D(f(A)) = φ ∈ H |∫|f(t)|2〈φ, Ptφ〉 <∞.

Then one obtains the spectral representation for self-adjoint operators

f(A) =

∫f(t)dPt.

4.15 Korollar. Norm of the resolvent

For a self-adjoint operator H

‖(H − z)−1‖ =1

dist(z, σ(H)).

Beweis. We simply use that any s.a. operator is unitarily equivalent to a multiplication operatoron the corresponding spectrum.

‖(H − z)−1‖ = supx∈σ(H)

|(x− z)−1| = 1

dist(z, σ(H)).

We now our central result that any self-adjoint operator generates a strongly continuous unitarygroup. And then we also prove the other direction, that any strongly continuous unitary group isgenerated by a self-adjoint operator.

This means that any Schrodinger type equation of the form

iψ = Hψ, ψ|t=0 = ψ0

has a unique solutione−itHψ0.

4.16 Satz. Hauptsatz

Let H be self-adjoint with domain D(H)) and let U(t) = e−iHt be defined via the functionalcalculus. Then U(t) is astrongly continuous unitary group and its generator is H with domain ofdifferentiability D(H).

48

Beweis. The proof is a simple consequence from the spectral theorem. Since H is s.a. the is afamily of projectors Pt , such that

U(t) =

∫e−itλdPλ

hence U(t) is unitary.

Observe that strong continuity is equivalent to weak continuity, which follows directly from thecontinuity of the exponential function. Due to unitarity one has

‖(U(t)− U(t0))ϕ‖2 = 2〈ϕ,ϕ〉 − 2<〈U(t− t0)ϕ,ϕ〉,

which means that the left hand side goes to 0 if and only if

〈U(t− t0)ϕ,ϕ〉 =

∫eiλ(t−t0)dµϕ

converges to 〈ϕ,ϕ〉 which follows from dominated convergence theorem. The group propertyfollows from (1) in Theorem 4.2.

The opposite direction is harder to proof.

4.17 Theorem. von Stone

Every strongly continuous group U(t) has a self-adjoint generator H, that is, it is of the formU(t) = e−iHt.

Beweis. For ϕ ∈ H let

ϕt =

∫ t

0U(s)ϕds.

This integral is well defined via Riemann sums and ϕt/t→ ϕ, for t to 0. Further

1

t(U(t)ϕτ − ϕτ ) =

1

t

(∫ t+τ

tU(s)ϕds−

∫ τ

0U(s)ϕds

)=

1

t

(∫ t+τ

τU(s)ϕds−

∫ t

0U(s)ϕds

)=

1

tU(τ)

∫ t

0U(s)ϕds− 1

t

∫ t

0U(s)ϕ→ U(τ)ϕ− ϕ

in the limit t to 0. In the second row we have used that t < τ , such that the expression∫ τt U(s)ϕds

gets canceled . This implies that ϕτ ∈ D(H). We know already that H is symmetric and D(H)invariant under U(t).

In the next step we show that H is on D essentially self-adjoint. Let ψ ∈ Ker(H∗ ± i), then wehave for ϕ ∈ D that

ddt〈ψ,U(t)ϕ〉 = 〈ψ,−iHU(t)ϕ〉 = 〈iH∗ψ,U(t)ϕ〉 = ∓〈ψ,U(t)ϕ〉 .

By solving this differential equation we obtain on the one hand

〈ψ,U(t)ϕ〉 = e∓t〈ψ,ϕ〉 ,

and due to ‖U(t)‖ = 1 on the other hand

|〈ψ,U(t)ϕ〉| ≤ ‖ψ‖‖ϕ‖ <∞ .

Hence 〈ψ,ϕ〉 = 0 and H on D essentially self adjoint.It rests to show that the self-adjoint operator H indeed generates the group U(t), and that H = H.

49

4 Spectral theorem

Lets consider the group e−iHt which is generated by the s.a. operator H. It rests to show thate−iHt and U(t) agree on a dense set, hence on H. Let ϕ ∈ D ⊂ D = d(H). Then e−iHtϕ ∈ D andalso U(t)ϕ ∈ D ⊂ D. For ψ(t) = (U(t)− e−iHt)ϕ we conclude

d

dtψ(t) = −iHU(t)ϕ+ iHeiHtϕ = −iHU(t)ϕ+ iHeiHtϕ = −iHψ(t) .

Due to ψ(0) = 0 and

d

dt‖ψ(t)‖2 = i〈Hψ(t), ψ(t)〉 − i〈ψ(t), Hψ(t)〉 = 0

we obtain ψ(t) = 0 and U(t) = e−iHt the dense set D.

4.18 Remark. For every Borel-measure there is a unique decomposition with respect to theLebesgue-measure,

dµ = dµac + dµsing,

where for the absolutely continuos measure µac one has that µ(B) = 0 for all sets B mit Lebesgue-Mass 0. Whereas a measure is called singular relative to Lebesgue measure if for if µsing(S) = 0for some S where R \ S has Lebesgue measure 0. The singular measure has only support on setsof L-measure 0. This however can be further decomposed into a part which has only support onpoints, this is called pure-point measure µpp, and into a singular-continuous part µsc with µscvanishes on points, µsc(p) = 0 for all p ∈ R,

dµsing = dµsc + dµpp.

In other words µsc(t) ist continuous and µpp(t) a step-function. We will primarily deal withsituations where µsc = 0.

4.19 Remark. Therefore every Hilbert space H can be uniquely decomposed into

H = Hac ⊕Hsc ⊕Hpp,

mit

Hac = ψ ∈ H |µψ is absolutely continuousHsc = ψ ∈ H |µψ is singular continuosHac = ψ ∈ H |µψ is a stepfunction.

In the following we derive a few properties about the spectrum by means of the spectral theorem.

4.20 Lemma. Let be T s.a with family of orthogonal spectral projectors P (t). Then the follwoingstatements are equaivalent

(1) λ is eigenvalue of T ,

(2) There exists a Cauchy sequence un ∈ D(T ), with (T − λ)un → 0 and un is not convergingto 0

(3) p(λ) = limε→0(P (λ)− P (λ− ε)) 6= 0, that means P (t) is a step function with jump discon-tinuity at λ

Beweis. (1)⇒ (2): There exists an eigenvector u for the eigenvalue λ, choose un = u.(2) ⇒ (1): Since T is closed the Cauchy sequence un ∈ D(T ), converges un → u to u ∈ D(T ),and (T − λ)u = lim(T − λ)un = 0. Hence u is eigenvector to the eigenvalue λ.(3)⇒ (1): Let u ∈ Ran p(λ) then dµu is concentrated in λ and

‖(T − λ)u‖2 =

∫(t− λ)2dµu(t) = 0.

50

(1)⇒ (3): Assume p(λ) = 0. Then for no u ∈ D(T ) µu(t) has a jump discontinuity at λ. Hence

‖(T − λ)u‖2 =

∫(t− λ)2dµu(t) > 0,

which implies that λ is no eigenvalue.

4.21 Lemma. Let T be s.a with spectral family P (t). Then the following statements are equi-valent.

(1) λ ∈ σ(T ),

(2) There is a sequence un ∈ D(T ), with (T −λ)un → 0 and un does not converge strongly to 0

(3) P (λ+ ε)− P (λ− ε)) 6= 0 for all ε > 0, this means P (t) is point of increasement in λ.

Beweis. (1) ⇒ (3): Assume: There is an ε > 0 with P (λ + ε) − P (λ − ε)) = 0. Then for anyu ∈ D(T ), dµu(t) = 0 for t ∈ (λ− ε, λ+ ε), and

‖(T − λ)u‖2 =

∫(t− λ)2dµu ≥ ε2

∫dµu = ‖u‖2,

hence T − λ invertible which is in contradiction to the assumption.

(3)⇒ (2): For un ∈ Ran(P (λ+ 1/n)− P (λ− 1/n)) with ‖un‖ = 1, one concludes

‖(T − λ)un‖2 =

∫(t− λ)2dµun ≤

1

n2‖un‖2 = 1/n2 → 0.

(2)⇒ (1): Due to (2) T − λ is not invertible, hence λ ∈ σ(T ).

4.22 Lemma. Let T be s.a. and

γ = infu∈D(T )

〈u, Tu〉〈u, u〉

,

then P (t) = 0 for all t < γ, (−∞, γ) ⊂ %(T ), and γ = inf σ(T ).

Beweis. For λ ∈ (−∞, γ) we obtain

‖u‖‖(T − λ)u‖ ≥ 〈u, (T − λ)u〉 ≥ (γ − λ)‖u‖2,

such that T − λ is invertible hence λ ∈ %(T ). Since 0 is in the spectrum of (T − γ)1/2, it is alsoin the spectrum of (T − γ) and the last statement holds.

51

5 Compact operators

5.1 Definition. compact operators

Let X,Y be Banach spaces, K ∈ L(X,Y ). K is called compact, if K(B) is compact for all boundedsubsets B ⊂ X. We denote the set of all compact operators as K(X,Y ) and if X = Y with theK(X).

5.2 Remark. Recall that a set A is compact if any sequence has a converging subsequence tolimit in A.

5.3 Example.

• The theorem of Rellich tells us that the embedding ι : H1(Ω)→ L2(Ω) is compact. We willdiscuss this in the exercises.

• All operators T with finite rank (dim(RanT ) <∞) is compact.

5.4 Theorem. Let X,Y, Z Banach spaces. Then

1. A ∈ L(X,Y ), B ∈ L(Y,Z) and A compact or B compact then⇒ BA ∈ L(X,Z) is compact.

2. Kn ∈ K(X,Y ), n ∈ N, Knn−→ K ⇒ K ∈ K(X,Y ).

Beweis.

1. B compact⇒ BA compact: obvious since ‖A‖ <∞. If A is compact, then A(U) is compactfor all bounded sets U ⊂ X. Since B continuous also (BA)(U) = B((A(U))) is compactsince for all sequences xn ∈ U the sequence Axn has a subsequence with limit y ∈ Y andtherefore (BA)xn has a subsequence with limit By ∈ Z.

2. Let xn be a bounded sequence. We construct a subsequence xnk by means of Cantorsdiagonalization method such that Kmxnk is a Cauchy-sequence for all m ∈ N: Since K1 is

compact, there exists a subsequence x(1)n of xn, which is Cauchy. Defeine now subsequences

x(m)n of x

(m−1)n recursively such that Kmx

(m)n has a limit and is Cauchy. Then the diagonal

subsequence x(n)n fullfills that Kmx

(n)n is Cauchy for all m ∈ N.

Statement: Kxnk is a Cauchy sequence. Choose ε > 0. Choose m ∈ N, such that ‖Km −K‖ < ε

3 (Km converges in norm to K) and N ∈ N, such that ∀i, j ≥ N : ‖Kmxni −Kmxnj‖ < ε

3 (Kmxnk is Cauchy for all m ∈ N). If i, j ≥ N then

‖Kxni −Kxnj‖ ≤ ‖(K −Km)xni‖︸︷︷︸<ε/3

+ ‖‖Kmxni −Kmxnj‖︸︷︷︸<ε/3

+ ‖(K −Km)xnj‖︸︷︷︸<ε/3

< ε.

Hence Kxnk is Cauchy and Kxn has a convergent subsequence and consequently is K iscompact.

From now on : X = Y = H.

5.5 Theorem. K is compact⇔ ∃Kn ∈ L(H) with finite rank (dim(RanKn) <∞) and Knn−→ K.

Beweis.

53

5 Compact operators

(⇐) : Choose an orthonormal basis ϕn∞n=1 and define Kn =∑n

j=1〈ϕj , ·〉Kϕj . Then the sequence

‖K −Kn‖ = supψ∈spanϕ∞j=n+1

‖ψ‖=1

‖Kψ‖

is monotonically decreasing and bounded below by 0, hence has a limit, say ε ≥ 0. Thismeans there exists a sequence ψn ∈ spanϕ∞j=n+1 mit ‖ψn‖ = 1, such that ‖Kψn‖ ≥ ε.With K being compact, there is a subsequence ψnk , such that limk→∞Kψnk = η ∈ H. Weare now going to show that η = 0, which then implies ε = 0 and the statement.

We first show that ψn 0. To this aim choose an arbitrary χ ∈ H and write it via thebasis χ =

∑∞j=1 cjϕj . Then

|〈χ, ψn〉| = |〈∞∑

j=n+1

cjϕj , ψn〉| ≤

∥∥∥∥∥∥∞∑

j=n+1

cjϕj

∥∥∥∥∥∥ ‖ψn‖︸︷︷︸1

=

∞∑j=n+1

|cj |21/2

.

According to Bessel’s inequality the right side goes to zero showing that ψn goes weakly to0.

With ψn 0 also Kψn 0, since for any χ ∈ H

〈χ,Kψn〉 = 〈K∗χ, ψn〉 → 0.

Since Kψnk converges to η and at the same time weakly to 0, we conclude η = 0, for

0 = limn→∞

〈ψn,K∗η〉 = limn→∞

〈Kψn, η〉 = 〈η, η〉 = ‖η‖2.

η = 0 yields ε = 0 and consequently Knn−→ K.

(⇒) : Assume Knn−→ K with Kn of finite rank. Hence Kn is compact and Theorem 5.4 2 implies

that K is compact.

5.6 Theorem. Spectral theorem for compact self-adjoint operators

Let T ∈ L(H) be compact and self-adjoint. Then

1. σ(T ) \ 0 = σp(T ) \ 0.2. σp(T ) = λi∞i=1, such that λi∞i=1 can only accumulate at 0 and dim Kern(T − λi) <∞.

3. There exists an orthonormal basis ϕi of Kern(T )⊥, such that

T =∞∑n=1

λn〈ϕn, ·〉ϕn.

Beweis. We show that the rank of the operators P ((λ− ε, λ+ ε)) is finite, whenever ε < |λ| and|λ| > 0. Let Kn be a sequence of operators with finite rank and ‖Kn−K‖ ≤ 1/n, which is possiblebecause K is compact. Assume that the rank of P ((λ− ε, λ+ ε)) is infinite, then it is possible tofind a sequence ψn in the image of P ((λ− ε, λ+ ε)) with Knψn = 0. With that one obtains

1/n ≥ |〈ψn(Kn −K)ψn〉| = |〈ψn,Kψn〉| ≥ |λ| − ε > 0,

which stands in contradiction to the assumption.

A different way of seeing that any compact operator A has only eigenvalues is the following. Ifλ ∈ σ(A), then there is a normalized sequence ψn, with (A − λ)ψn → 0, by the definition thespectrum. Then there is a subsequence ψnj , such that Aψnj converges in H, such that also λψnjconverges to a ψ, which then satisfies the eigenvalue equation for all λ 6= 0. The eigenspace of λhas to be finite by a similar argument.

54

5.1 Hilbert-Schmidt- und trace-class-operators

5.7 Proposition. Entwicklung von kompakten Operatoren

Let K ∈ K(H). Then there exist orthonormal sequences ϕnn∈N and ψnn∈N and numberssn ≥ 0 with limn→∞ sn = 0, such that

K =∑n∈N

sn〈ϕn, ·〉ψn, K∗ =∑n∈N

sn〈ψn, ·〉ϕn.

Beweis. Since K∗K is compact, positive and self-adjoint, we can apply the spectral theorem forcompact operators, i.e.,

K∗K =∑n∈N

λn〈ϕn, ·〉ϕn, λn > 0.

The ϕj are an orthonormal family which can be extended to an othonormal basis by choosingan orthonormal family for the KerK∗K. Define sn =

√λn and ψn = 1

snKϕn. Then ψn∞n=1 is an

orthonormal family

〈ψn, ψm〉 =1

snsm〈ϕn,K∗Kϕm〉 =

λmsnsm

〈ϕn, ϕm〉 = δmn.

With ϕn being an ONB we conclude

Kψ =∑n∈N〈ϕn, ψ〉Kϕn =

∑n

snψn〈ϕn, ψ〉.

5.8 Korollar.‖K‖ = sup

n∈Nsn.

5.9 Korollar. If K ∈ K(H), then K∗ ∈ K(H).


In this section we want to study integral operators K ∈ L(H) of the form

(Kψ)(x) =

∫RdK(x, y)ψ(y)dy.

We will see, e.g., that K is compact if K(·, ·) ∈ L2(Rd × Rd).

5.10 Definition. Trace for positive operators

Let A ∈ L(H) be positive and ϕn∞n=1 an orthonormal basis of H. Then the trace of A is definedas

tr(A) =∞∑n=1

〈ϕn, Aϕn〉.

5.11 Proposition.

1. tr is independent of the choice of the basis and

tr(UAU−1) = tr(A), for U unitary.

2. tr(A+B) = tr(A) + tr(B).

3. tr(λA) = λtr(A) for λ > 0.

4. 0 ≤ A ≤ B ⇒ tr(A) ≤ tr(B).

55

5 Compact operators

Beweis. Observe that for two sets of ONB ϕn∞n=1 and ψn∞n=1 we have

∞∑n=1

〈ϕn, Aϕn〉 =∑n,m,l

〈ϕn, ψm〉〈ψm, Aψl〉〈ψl, ϕn〉 =∞∑m=1

〈ψm, Aψm〉,

since∑

n〈ψm, ϕn〉〈ϕn, ψl〉 = δm,l.

5.12 Definition. Schatten-classes

Let K ∈ K(H). K is in the Schatten p-class, 1 ≤ p <∞, if

tr(|K|p) <∞, |K| =√K∗K.

We denote the Schatten p-class as Ip(H) and define the norm

‖K‖p = [tr(|K|p)]1/p.

The special case I1(H) is denoted as the set of all trace class-operators and I2(H) as the set ofall Hilbert-Schmidt-operators.

5.13 Theorem. Polarzerlegung

Let K ∈ K(H). Then there exists a partial isometrie U ∈ L(H) (i.e., ‖Uψ‖ = ‖ψ‖ on Kern(U)⊥),such that K = U |K| und

Ker(U) = Ker(K)

Ran(U) = Ran(K)

Beweis. Define first U : Ran(|K|)→ Ran(K) as

U(|K|ψ) = Kψ.

THis is well defined since

‖|K|ψ‖2 = 〈ψ, |K|2ψ〉 = 〈ψ,K∗Kψ〉 = ‖Kψ‖2

and therefore |K|ψ = |K|φ ⇔ Kψ = Kφ. Since U is an isometry and hence continuous thereexists an extension U : Bild(|K|) → Bild(K). Finally seth U ≡ 0 on Bild(K)⊥. Since |K| isself-adjoint, we have as well Bild(|K|)⊥ = Kern(|K|) = Kern(K).

5.14 Theorem. Trace for trace-class operators

Let T ∈ I1(H) and ϕn∞n=1 an orthonormal basis for H. Then the infinite sum

∞∑n=1

〈ϕn, Tϕn〉

converges absolutely and is independent of the choice of the basis.

Beweis. Denote T = U |T |1/2|T |1/2. Then

|〈ϕn, Tϕn〉| ≤ ‖|T |1/2U∗ϕn‖‖|T |1/2ϕn‖.

HEnce

∞∑n=1

|〈ϕn, Tϕn〉| ≤ (∞∑n=1

‖|T |1/2U∗ϕn‖2)1/2(∞∑n=1

‖|T |1/2ϕn‖2)1/2.

56


The operator U |T |U∗ is positive. Wie know in this case that the trace is independent of the choiceof the basis. Let φn e an orthonormal basis of Kern(T )⊥. Complete φn and ψn = U∗φn to anorthonormal basis φn∞n=1 and ψn∞n=1 on whole H. Then

∞∑n=1

‖|T |1/2U∗ϕn‖2 =

∞∑n=1

〈ϕn, U |T |U∗ϕn〉 =

∞∑n=1

〈φn, U |T |U∗φn〉

=∞∑n=1

〈ψn, |T |ψn〉 ≤∞∑n=1

〈ψn, |T |ψn〉 = tr(|T |).

HEnce∞∑n=1

|〈ϕn, Tϕn〉| ≤ tr(|T |) <∞,

since T ∈ I1(H) and the sum converges absolutely.

The independence of the basis is shown ion the same way as in the case of positive operators.

5.15 Proposition.

1. I1(H) is a vector space.

2. A ∈ I1(H), B ∈ L(H) ⇒ AB,BA ∈ I1(H).

3. A ∈ I1(H)⇒ A∗ ∈ I1(H).

Beweis. Ubung

5.16 Proposition.

1. tr is linear.

2. tr(A∗) = tr(A).

3. tr(AB) = tr(BA) for A ∈ I1(H) and B ∈ L(H).

Beweis. Ubung

5.17 Definition. Trace for trace-class operators

Let T ∈ I1(H) and ϕn∞n=1 an orthonormal basis of H. Then the trace tr : I1(H) → C isdefined by

tr(T ) =

∞∑n=1

〈ϕn, Tϕn〉.

5.18 Theorem. Sei H = L2(Rd). Then K ∈ I2(H) is Hilbert-Schmidt if and only if K(·, ·) ∈L2(Rd × Rd) with (Kψ)(x) =

∫Rd K(x, y)ψ(y)dy. In this case

‖K‖2 =

∫Rd×Rd

|K(x, y)|2dx dy.

5.19 Lemma. Let K(·, ·) ∈ L2(Rd × Rd). Then the corresponding integral operator (Kψ)(x) =∫Rd K(x, y)ψ(y)dy satisfies

‖K‖ ≤ ‖K(·, ·)‖L2(Rd×Rd).

Beweis.

‖Kψ‖2 =

∫Rd

∣∣∣∣∫RdK(x, y)ψ(y)dy

∣∣∣∣2 dx Cauchy−Schwarz≤

∫Rd

(∫Rd|K(x, y)|2dy‖ψ‖2

)dx

=

∫Rd×Rd

|K(x, y)|2dxdy‖ψ‖2.

57

5 Compact operators

Beweis. (Theorem 5.18)

(⇐) Let ϕn∞n=1 be an orthonormal basis of the Hilbert space H. Then, since

K =∑n

∑n

|ϕn〉〈ϕm|K|ϕm〉〈ϕm|,

we see that the integral kernel K(x, y) can be written as

K(x, y) =∑m,n∈N

∫Rd×Rd

K(s, t)ϕm(s)ϕn(t)dsdt︸︷︷︸=:kmn

ϕn(x)ϕm(y)

Approximate now K(x, y) by KN (x, y) =∑N

m,n=1 kmnϕm(x)ϕn(y). The corresponding in-

tegral operator (KNψ)(x) =∫Rd KN (x, y)ψ(y)dy can be written as

KN =

N∑m,n=1

kmn〈ϕn, ·〉ϕm

and has finite rank. Using the Parseval-inequality we infer

‖K(·, ·)−KN (·, ·)‖L2(Rd×Rd)N→∞−−−−→ 0,

and according to Lemma 5.19 we see ‖K −KN‖N→∞−−−−→ 0 and conclude that K is compact.

Finally we can estimate tr(K∗K) as

tr(K∗K) =

∞∑k=1

‖Kϕk‖2 =

∞∑m,n=1

|kmn|2Parseval

=

∫Rd×Rd

|K(x, y)|2dxdy. (5.1)

(⇒) If K is compakt ist, then K can be approximated by the finite rank operator

Kn =n∑j=1

sj〈φj , ·〉ψn.

Then Kn has the kernel∑n

j=1 sjφj(x)ψn(y) and

∫R2d

|Kn(x, y)|2dxdy =

n∑j=1

s2j .

The right hand side converges, since it is easy to see that trK∗K =∑∞

j=1 s2j , so does the

left.

5.20 Korollar. Let K ∈ I2(H). Then

‖K‖ ≤ ‖K‖2,

5.21 Lemma. Let K ∈ I2(H) and A ∈ L(H). Then

‖AK‖2 ≤ ‖K‖2‖A‖.

58


Beweis.〈ϕn,K∗A∗AKϕn〉 = ‖AKϕn‖2 ≤ ‖A‖2‖Kϕn‖2.

5.22 Lemma. Let K ∈ Ip(H) with K =∑∞

j=1 sj(K)〈ϕj , ·〉ψj . Then

‖K‖pp =

∞∑j=1

sj(K)p.

Beweis. Recall that K∗K =∑

j s2j |ψj〉〈ψj |, such that

(K∗K)p/2 =∑j

spj |ψj〉〈ψj |,

which implies the result.

5.23 Proposition. Let f, g : Rd → C be measurable functions and Mf , Mg the correspondingmultiplication operators. Define Af,g = F−1MfFMg and Bf,g = MfF−1MgF .

Then Af,g, Bf,g ∈ I2(H) if f, g ∈ L2(Rd) and Af,g, Bf,g compact if f, g ∈ L∞∞(Rd) or f ∈ L2(Rd)+L∞∞(Rd) and g ∈ L2(Rd)∩L∞(Rd), where L∞∞(Rd) denotes L∞(Rd) with limR→∞ ‖ψχBcR(0)‖∞ = 0.

Beweis. For f, g ∈ L2(Rd) the integral kernels Af,g and Bf,g are given by

Af,g(x, y) =1

(2π)d

∫Rde−i(x−y)·pf(p)g(y)dp =

1

(2π)d/2f(x− y)g(y) ∈ L2(Rd × Rd),

Bf,g(x, y) =1

(2π)d/2f(x)g(x− y) ∈ L2(Rd × Rd).

Hence Af,g, Bf,g ∈ I2(H) with ‖Af,g‖2 = ‖Bf,g‖2 = ‖f‖2‖g‖2.

If f, g ∈ L∞∞(Rd), approximate f und g by fn = χBn(0)f and gn = χBn(0)g.The operator Afn,gnconverges in operator norm against Af,g:

‖Af,g −Afn,gn‖ ≤ ‖Af,g −Afn,g‖+ ‖Afn,g −Afn,gn‖ ≤ ‖Mf −Mfn‖‖Mg‖+ ‖Mfn‖‖Mg −Mgn‖

≤ ‖f − fn‖∞‖g‖∞ + ‖f‖∞‖g − gn‖∞n→∞−−−→ 0.

The same holds for Bf,g.

If f ∈ L2(Rd) + L∞∞(Rd) and g ∈ L2(Rd) ∩ L∞(Rd), then f = f1 + f2 with f1 ∈ L2(Rd) andf2 = L∞∞(Rd). Then

Af,g = F−1MfFMg = F−1M(f1+f2)FMg = F−1(Mf1 +Mf2)FMg = Af1,g +Af2,g

the sum of two compact operators.

5.24 Example. d = 3, V (x) = 1|x| . The

K = V (x)1

p2 + z, z ∈ C \ R−

is compact, since K = BV,W with V ∈ L2(R3)+L∞∞(R3) and W (p) = 1p2+z

, W ∈ L2(R3)∩L∞∞(R3).

in the following we present a useful representation of the essential spectrum. To this aim we definethe discrete spectrum.

59

5 Compact operators

5.25 Definition.

σd(T ) = λ ∈ C |λ is isolated eigenvalue ofT with finite multiplicity

σess(T ) = σ(T ) \ σd(T ).

In some cases the following characterization turns out to be useful which used the family ofspectral projections P (t) = PT (t) of T .

σd(T ) = λ ∈ σ(T ) | ∃ε > 0, rank (P (λ+ ε)− P (λ− ε)) <∞σess(T ) = λ ∈ σ(T ) | ∀ε > 0, rank (P (λ+ ε)− P (λ− ε)) =∞.

In some cases the following characterization of the essential spectrum goes back to HermanHerman Weyl.

5.26 Theorem. Let T s.a. Then λ ∈ σess(T ) if and only if

(1) there is a sequence un in D(T ), with ‖un‖ = 1,

(2) and ‖(T − λ)un‖ → 0 for n to ∞, and

(3) un 0, hence un goes weakly to 0.

Beweis. Let λ ∈ σess(T ). Then there exists a sequence with

limn→∞

‖(T − λ)un‖ = 0,

otherwise T−λ would be invertable. The following Lemma guarantees that there is a subsequence,call it un, such that un u0.

5.27 Lemma. Banach-Alaoglu

Let H be a separable Hilbert-space, and un a sequence in H, which is uniformly bounded, i.e., ,‖un‖ ≤ C, then there is a subsequence uni , and a u0 ∈ H, such that uni u0. Hence the unitball is compact in the weak topology. (weak- ∗ topology).

Beweis. Let ϕi be a family of functions which is dense in H. The proof uses Cantors diagona-lization argument and the Theorem of Riezs. 〈un, ϕ1〉 is a bounded sequence of numbers, whichconverges, i.e.,

〈un1 , ϕ1〉 → F (ϕ1).

The sequnce un1 has another subsequence, such that

〈un2 , ϕ2〉 → F (ϕn)

and more generally

〈unm , ϕm〉 → F (ϕm).

THis defines a bounded linear functional F which can be extended to a continuous boundedfunctional on H, such that the diagonal sequence

〈unn , ϕ〉 → F (ϕ),

for ϕ ∈ H. Next the theorem of Riesz guarantees that there is a u0 ∈ H such that F (ϕ) = 〈u0, ϕ〉implying the statement.

60


With f ∈ D(T ) we conclude

〈(T − λ)f, u0〉 = limn→∞

〈(T − λ)f, un〉 = limn→∞

〈f, (T − λ)un〉 = 0,

such that 〈Tf, u0〉 is a bounded linear functional as function of f ∈ D(T ) hence u0 ∈ D(T ),and (T − λ)u0 = 0. According to our assumption, λ ∈ σess(T ), hence λ cannot be an isolatedeigenvalue of finite multiplicity. Either λ is no eigenvalue and u0 = 0, and un Weyl-sequence, oru0 6= 0, and λ an eigenvalue which is not isolated or of infinite multiplicity. In this case one hasto show that there is as well a Weyl-sequence.

If λ has infinite multiplicity then there exists a sequence un with limnto∞(T − λ)un = 0, whichautomatically goes weakly to 0. If λ is accumulation point of eigenvalues λn then we have thesame logic. If λ is embedded eigenvalue then

Pn = P ([λ− 1/n, λ− 1/(n+ 1)) ∪ (λ+ 1/(n+ 1), λ+ 1/n]),

does not vanish for infinite n. Choose ψn ∈ PnH. These are orthogonal hence ψn 0 and(T − λ)ψn → 0.

Conversely, let un be a Weyl-sequence and (T − λ)ψn → 0. Then λ ∈ σ(T ), since otherwise

‖ψn‖ = ‖(T − λ)−1(T − λ)ψn‖ ≤ C‖(T − λ)ψn‖ → 0.

It rests to show that λ is not an isolated eigenvalue of finite multiplicity. We show a contradictionfor n = 1. Let ψ0 be the corresponding eigenvector, and let ψn = cnψ0 + ψn, with ψn ⊥ ψ0. Sincecn = 〈ψn, ψ0〉 → 0, we conclude that ‖ψn‖ → 1. On the other hand since T − ξ is bounded on ψ⊥0we have for ξclose to the isolated eigenvalue λ, that

‖ψn‖ = ‖(T − λn)−1(T − λn)ψn‖ ≤ C‖(T − λn)ψn‖ → 0.

This criterium guarantees us that perturbations with compact operators do not change the es-sential spectrum. Let A s.a., and K compact, then

σess(A+K) = σess(A),

since if ψn is a Weyl-sequence to λ for A, then

‖(A+ k − λ)ψn‖ ≤ ‖(A− λ)ψn‖+ ‖Kψn‖.

Since compact operators convert weakly converging sequences to strongly convergent sequenceswe see ‖Kψn‖ → 0 and therefore also ψn a Weyl-sequence for A+K.

5.28 Definition. Let A s.a.. K is said to be relative compact to A if

K1

A+ i

is a compact operator.

5.29 Satz. Weyl

Let A and H = A+K s.a. operators. If K is relative compact to A then

σess(H) = σess(A).

61

5 Compact operators

Proof. Observe1

A+ i− 1

H + i=

1

H + iK

1

A+ i.

Since the right hand side is compact so is the left hand side Der Satz ist eine direkte Konsequenzder folgenden Tatsache. Seien A und H s.a. und sei 1

A+i −1

H+i ein kompakter Operator, dann gilt

σess(A) = σess(H).

Assume λ ∈ σess(A), then there is a Weyl-sequence psin, such that (A− λ)ψn → 0. Since

1

A+ i− 1

λ+ i= − λ+ i

A+ i(A− λ),

one has (1

A+ i− 1

λ+ i

)ψn → 0

and since the difference is compact(1

H + i− 1

λ+ i

)ψn = −(H − λ)

λ+ i

H + iψn → 0.

Hier geht die relative Kompaktheit ein. Since the normalized sequence of φn = λ+iA+iψn is a Weyl

sequence for H − λ we have immediately λ ∈ σess(H). If you chance the role of H and A weconclude the statement of the Theorem.

Finally we are able to show that the Schrodinger operator

−∆ + V (x)

the same essential spectrum as −∆, and that below 0 there can only be eigenvalues of finitemultiplicity.

5.30 Satz. Sei V ∈ L2 + L∞∞, i.e., V = V1 + V2 with V1 ∈ L2 and V2 ∈ L∞∞ then we have

σess(−∆ + V ) = σess(−∆) = [0,∞).

Proof. The statement follows from the fact that V 1−∆+i is a compact operator.

The statement in particular holds for operators describing atoms

H = −∆− γ

|x|.

We will see that there are infinitely many eigenvalues below 0.

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Mathematical Quantum mechanics