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Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik

MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE-MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE

Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen

Prof. Dr. Gunar Matthies

Sommersemester 2015 Stand: 5. Mai 2015

Quellen

Klaus Strube

Sebastian Franz

Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure,Band I: Analysis, Vieweg+Teubner, 2011.

Arens, Hettlich, Karpfinger, Kockelkorn, Lichtenegger, Stachel:Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag, 2012.

G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 2/56

Funktion mehrerer Variablen

Reelle Funktion von n reellen Variablen

f : Df ⊂ Rn → R, x = (x1, . . . , xn) 7→ f (x) = f (x1, . . . , xn)

Jedem x = (x1, . . . , xn) ∈ Df wird eindeutig eine reelle Zahlzugeordnet.

Schreibweisen: f (x), f (x1, . . . , xn), f (x , y) bzw. f (x , y , z)

Angabe der Zuordnung x 7→ f (x):• explizit: (p,V ) 7→ T (p,V ) = p VR ,• implizit: (p,T ) 7→ V (p,T ) = V , wobei V Lösung der Glei-

chung(p + a

v2

)(v − b) = RT ist,

• andere Formen


Darstellung von Funktionen zweier Variablen

GraphΓf :=

{(x , f (x)

): x ∈ Df

}⊂ R3

HöhenlinienPunkte (x , y) mit gleichem Funktionswert c bilden die Höhenliniezum Niveau c {

(x , y) ∈ Df : f (x , y) = c}

Senkrechte SchnitteGraphen der Funktionen f̃ (y) = f (c , y) und f̂ (x) = f (x , c) fürjeweils konstantes c

Rechnen mit Funktionen mehrerer VariablenAddition, Subtraktion, Multiplikation, Division wie bei Funktionenmit einer Variable


Graph einer Funktion


Graphen von verschiedenen Funktionen


Niveaumengen und Schnitte

T = T (V , p) = V · p


Niveaumengen 1


Niveaumengen 2


Niveaumengen 3


Verknüpfung von Funktionen

gegeben: f : Df ⊂ R→ R,g : Dg ⊂ Rn → R

Verknüpfung f ◦ g : Dg → R, x 7→ (f ◦ g)(x) = f(g(x)

)Beispiel

f : R→ R, x 7→ x2,g : R2 → R, (x , y) 7→ sin(x) + cos(y)

f ◦ g : R2 → R, (x , y) 7→(sin(x) + cos(y)

)2


Abstand von Punkten

Abstand von x , y ∈ Rn

|x − y | : =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi )2

=√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2

Bemerkung

Die obige Definition beschreibt genau den üblichen Abstand vonPunkten, wie wir ihn in der Ebene (n = 2) und im Raum (n = 3)kennen.


Grenzwert von Punktfolgen

Definition (Grenzwert von Punktfolgen)

Die Folge{xk}k∈N mit xk ∈ R

n konvergiert gegen x∗, wenn

limk→∞

|xk − x∗| = 0

gilt. Wir schreiben dann

limk→∞

xk = x∗

und nennen x∗ den Grenzwert der Folge{xk}k∈N.

Bemerkung

Eine Folge von Punkten konvergiert genau dann, wenn jede ein-zelne Komponte konvergiert.


Grenzwert von Funktionen mehrerer Variablen I

Definition (Grenzwert einer Funktion)

Sei f : D ⊂ Rn → R eine Funktion. Der Wert f ∗ ∈ R heißtGrenzwert von f an der Stelle x∗ ∈ D, wenn für alle Folgen{xk}k∈N ⊂ D mit

xk 6= x∗ und limk→∞

xk = x∗

die Beziehunglim

k→∞f (xk) = f ∗

gilt. Dafür wird dann kurz

limx→x∗

f (x) = f ∗

geschrieben.


Grenzwert von Funktionen mehrerer Variablen II

Es sind alle Folgen zu betrachten, die gegen x∗ konvergieren.


Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen

Definition (Stetigkeit)

Die Funktion f : D ⊂ Rn → R heißt an der Stelle x∗ ∈ D stetig,wenn

limx→x∗

f (x) = f (x∗)

gilt. Die Funktion f heißt auf A ⊂ D stetig, wenn f in allenx∗ ∈ A stetig ist. Ist f auf D stetig, so wird f kurz stetige Funktiongenannt.

Bemerkung

In der Definition des Grenzwertes und damit auch in der Definiti-on der Stetigkeit ist es entscheidend, dass alle möglichen Folgenbetrachtet werden, nicht nur einige.


Grenzwerte und Stetigkeit I

z(x , y) =sin(πxy)x2 + y2


Grenzwerte und Stetigkeit II

z(x , y) = x sin(1y

)


Grenzwerte und Stetigkeit III

z(x , y) =xy2

x2 + y2


Rechnen mit stetigen Funktionen

Seien f , g : D ⊂ Rn → R in x∗ ∈ D stetig. Dann sind auch

f + g , f − g , f · g

in x∗ stetig. Gilt g(x∗) 6= 0, dann ist auch

f

g

in x∗ stetig.


Partielle Ableitungen I

Gegeben: Funktion f : D ⊂ Rn → R, Punkt x∗

Hilfsfunktionen

ϕj : R→ R, t 7→ f (x∗1 , . . . , x∗j−1, t, x∗j+1, . . . , x∗n ), j = 1, . . . , n,

Bemerkung

Bei Funktionen zweier Variablen entsprechen die Hilfsfunktionengerade den Schnitte, die wir bei der Darstellung der Funktionenkennengeleernt haben.


Partielle Ableitungen II


Partielle Ableitungen III

Definition

Ist die Funktion ϕj an der Stelle t = x∗j differenzierbar, so heißtf an der Stelle x∗ partiell nach xj differenzierbar. Wir nennendie Funktion f an der Stelle x∗ partiell differenzierbar, wenn diepartiellen Ableitungen nach allen Variablen x1, . . . , xn existieren.

Übliche Schreibweisen für die partiellen Ableitungen

∂f

∂xj(x∗),

∂f

∂xj(x∗1 , . . . , x

∗n ), fxj (x

∗), fxj (x∗1 , . . . , x

∗n ), ∂j f (x

∗)

Bemerkung

Um partielle Ableitungen zu bestimmen, verwenden wir die glei-chen Techniken wie beim normalen Differenzieren. Für die partielleAbleitung nach xj werden alle anderen Variablen wie Konstantenbetrachtet.


Höhere partielle Ableitungen

Wenn f partiell nach xj differenzierbar ist, dann lässt sich ∂f /∂xjwieder als Funktion von n Variablen auffassen. Somit können wiruntersuchen, ob die Funktion ∂f /∂xj selber partielle Ableitungenbesitzt. Wenn ja, sind diese die zweiten partiellen Ableitungen derAusgangsfunktion f .

Rekursive Definition für eine Funktion f zweier Variablen

f Funktion selbstfx , fy partielle Abl. (erster Ordung)

fxx , fxy , fyx , fyy partielle Abl. zweiter Ordung∂2f

∂x2,∂2f

∂x∂y, . . .

fxxx , fxyx , . . . partielle Abl. dritter Ordnung∂3f

∂x∂y∂x


Vertauschbarkeit von partiellen Ableitungen

Satz (Schwarz)

Sei f : D ⊂ Rn → R eine Funktion von n Variablen. Besitzt f aufD alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m und sind diese aufD stetig, dann hängen die partiellen Ableitungen der Ordnungenk ≤ n nicht von der Reihenfolge der Differentiation ab.

Bemerkung

Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen ist für die Vertauschbar-keit entscheidend.Im Fall der Vertauschbarkeit genügt damit die Angabe, wie oftnach welcher Variablen zu differenzieren ist.


Totale Differenzierbarkeit

Definition

Die Funktion f : D ⊂ Rn → R heißt in x∗ ∈ D (total) differen-zierbar, falls es einen Vektor d ∈ Rn mit

limx→x∗

f (x)− f (x∗)− d · (x − x∗)|x − x∗|

= 0

gibt. In diesem Fall heißt d Ableitung oder Gradient von f in x∗.Dafür wird kurz

f ′(x∗), grad f (x∗), ∇f (x∗)

geschrieben.


Zusammenhänge

Satz

Sei f : D ⊂ Rn → R in x∗ ∈ D differenzierbar. Dann haben wir(i) f ist in x∗ stetig;(ii) f ist in x∗ partiell differenzierbar mit

grad f (x∗) =

∂1f (x∗)

...∂nf (x∗)

,d. h., die Vektorkomponenten des Gradienten sind genau diepartiellen Ableitungen.

Satz

Sei f : D ⊂ Rn → R auf D partiell differenzierbar nach allen nVariablen. Wenn diese auf D stetig sind, dann ist f auf D diffe-renzierbar.


Geometrische Deutung

Seien f : D ⊂ R2 → R eine Funktion und x∗ ∈ D. Ist f in(x∗, y∗) ∈ D partiell differenzierbar, dann lässt sich gemäß

z = f (x∗, y∗) + fx(x∗, y∗)(x − x∗)

+ fy (x∗, y∗)(y − y∗)

die Tangentialebene an f im Punkt (x∗, y∗) definieren.

Bemerkung

Ist f in (x∗, y∗) differenzierbar, dann stellt die Tangentialebeneunter allen Ebenen, die durch den Punkt

(x∗, y∗, f (x∗, y∗)

)gehen,

die beste Näherung an f in der Umgebung von (x∗, y∗) dar.


Tangentialebene


Kettenregel

Seien f : D ⊂ Rn → R auf D und v1, . . . , vn : M ⊂ Rk → R aufM differenzierbar. Weiterhin gelte

(v1(z), . . . , vn(z)

)∈ D für alle

z = (z1, . . . , zk) ∈ M. Dann ist die Funktion

h : M → R, z 7→ f(v1(z), . . . , vn(z)

)auf M differenzierbar und die partiellen Ableitungen lassen sichgemäß

∂jh(z) =n∑

i=1

∂i f(v1(z), . . . , vn(z)

)︸︷︷︸äußere Ableitung

∂jvi (z)︸︷︷︸innere Ableitung

bestimmen.


Implizite Funktionen

Gegeben: F : DF ⊂ Rn+1 → R differenzierbar mit ∂n+1F 6= 0

implizit definierte Funktion f : Df ⊂ Rn → R mittels

F(x1, . . . , xn, f (x1, . . . , xn)

)= 0

Dies heißt:Bei gegebenen Werten x1, . . . , xn wird y = f (x1, . . . , xn)als Lösung von

F (x1, . . . , xn, y) = 0

bestimmt.


Partielle Ableitungen von impliziten Funktionen

Implizit gegebene Funktion f

F(x1, . . . , xn, f (x1, . . . , xn)

)= 0

Es gilt:

0 = ∂iF(x , f (x)

)= ∂1F

(x , f (x)

)∂x1∂xi

+ · · ·+ ∂iF(x , f (x)

)∂xi∂xi

+ · · ·+ ∂nF(x , f (x)

)∂xn∂xi

+ ∂n+1F(x , f (x)

) ∂f∂xi

(x)




F(x1, . . . , xn, f (x1, . . . , xn)

)= 0

Es gilt:

0 = ∂iF(x , f (x)

)= ∂1F

(x , f (x)

)��7

= 0∂x1∂xi

+ · · ·+ ∂iF(x , f (x)

)��7

= 1∂xi∂xi

+ · · ·+ ∂nF(x , f (x)

)��7

= 0∂xn∂xi

+ ∂n+1F(x , f (x)

) ∂f∂xi

(x)




F(x1, . . . , xn, f (x1, . . . , xn)

)= 0

Es gilt:

0 = ∂iF(x , f (x)

)= ∂iF

(x , f (x)

)+ ∂n+1F

(x , f (x)

) ∂f∂xi

(x)




F(x1, . . . , xn, f (x1, . . . , xn)

)= 0

Es gilt:

0 = ∂iF(x , f (x)

)= ∂iF

(x , f (x)

)+ ∂n+1F

(x , f (x)

) ∂f∂xi

(x)

somit∂f

∂xi(x) = −

∂iF(x , f (x)

)∂n+1F

(x , f (x)

)


Taylor-Entwicklung für Funktionen zweier Variablen

Gegeben: Funktion f : R2 → R mit ihren partiellen Ableitungenim Punkt (x∗, y∗) ∈ R2

Gesucht: Näherung für f in Umgebung von (x∗, y∗)

Unter geeigneten Voraussetzungen gilt

f (x , y) = f (x∗, y∗) + fx(x∗, y∗)(x − x∗) + fy (x∗, y∗)(y − y∗)

+12

{fxx(x

∗, y∗)(x − x∗)2

+2fxy (x∗, y∗)(x − x∗)(y − y∗)

+fyy (x∗, y∗)(y − y∗)2

}+ . . .


Beispiele für Taylor-Entwicklungen I

f (x , y) = exy + y



f (x , y) = exy + y , p1(x , y) = 1 + y



f (x , y) = exy + y , p2(x , y) = 1 + y + xy


Beispiele für Taylor-Entwicklungen II

f (x , y) = sin(πxy), x∗ = 0, y∗

= 0, p2(x , y) = πxy


Beispiele für Taylor-Entwicklungen III

f (x , y) = sin(πxy), x∗ = 1, y∗

= 1/2,p2(x , y) = 1− π

2

8 (x + 2y − 2)2


Taylor-Entwicklung für Funktionen mehrerer Variablen

Gegeben: Funktion f : Rn → R mit ihren partiellen Ableitungenim Punkt x∗ ∈ Rn

Gesucht: Näherung für f in Umgebung von x∗

Unter geeigneten Voraussetzungen gilt

f (x) = f (x∗) + f ′(x∗)·(x − x∗)+ 12

(x − x∗)TH(x∗)(x − x∗)+. . .

mit dem Gradienten f ′(x∗) und der Hesse-Matrix

H(x∗) =

∂2f∂x21

(x∗) ∂2f

∂x1∂x2(x∗) . . . ∂

2f∂x1∂xn

(x∗)

∂2f∂x1∂x2

(x∗) ∂2f∂x22

(x∗) . . . ∂2f

∂x2∂xn(x∗)

......

. . ....

∂2f∂x1∂xn

(x∗) ∂2f

∂x2∂xn(x∗) . . . ∂

2f∂x2n

(x∗)


Fehlerfortpflanzung

Taylor-Entwicklung nur bis zu den ersten Ableitungen liefert:

f (x)− f (x∗)︸︷︷︸= ∆f

≈n∑

k=1

∂k f (x∗) (xk − x∗k )︸︷︷︸= ∆xk

somit

∆f ≈n∑

k=1

∂k f (x∗)∆xk

Bemerkung

Die Änderung der Größe f ergibt sich aus den Änderungen derEingangsgrößen xk , wobei die partiellen Ableitungen als Verstär-kungsfaktoren auftreten.

Totales Differential

df =n∑

k=1

∂k f dxk


Lokale Extremwerte

Definition (Lokale Extremwerte)

Eine Funktion f : D ⊂ Rn → R hat an der Stelle x∗ ∈ D einlokales Minimum bzw. lokales Maximum, wenn es eine UmgebungM von x∗ derart gibt, dass

f (x∗) ≤ f (x) bzw. f (x∗) ≥ f (x)

für alle x ∈ M ∩ D gilt.

Bemerkung

Wenn eine Funktion in einer Umgebung des Punktes x∗ konstantist, dann hat die Funktion in x∗ sowohl ein lokales Minimum alsauch ein lokales Maximum.


Lokale Extremwerte: Illustration


Notwendiges Kriterium

Satz (Notwendiges Kriterium für lokale Extremwerte)

Sei f : D ⊂ Rn → R partiell differenzierbar. Wenn f an der Stellex∗ ∈ D ein lokales Extremum hat, dann gilt

∂i f (x∗) = 0, i = 1, . . . , n,

d. h., alle partiellen Ableitungen verschwinden in x∗.

Die Umkehrung gilt ohne weitere Bedingungen nicht.

Beispiel: Sattelpunkt

f : R2 → R, (x , y) 7→ x2 − y2, fx(x , y) = 2x , fy (x , y) = −2y .

Im Punkt (0, 0) verschwinden beide partiellen Ableitungen. Einlokales Extremum liegt dort aber nicht vor, da f in der Umgebungvon (0, 0) sowohl positive als auch negative Werte annimmt.


Hinreichendes Kriterium

Satz (Hinreichendes Kriterium für lokale Extremwerte)

Sei f : D ⊂ R2 → R eine Funktion mit stetigen partiellen Ablei-tungen bis zur Ordnung 2. Gilt an der Stelle (x∗, y∗) im Innerenvon D

∂x f (x∗, y∗) = 0, ∂y f (x∗, y∗) = 0

und

∆ := ∂xx f (x∗, y∗)∂yy f (x

∗, y∗)− ∂xy f (x∗, y∗)2 > 0,

dann hat f an der Stelle (x∗, y∗) ein lokales Maximum, falls∂xx f (x

∗, y∗) < 0

gilt, bzw. ein lokales Minimum, falls∂xx f (x

∗, y∗) > 0

erfüllt ist.


Bemerkungen

∆ := ∂xx f (x∗, y∗)∂yy f (x

∗, y∗)− ∂xy f (x∗, y∗)2

• Im Fall ∆ < 0 liegt kein Extremum sondern ein Sattelpunktvor, vgl. x2 − y2 mit ∆(0, 0) = 2 · (−2) = −4.

• Ist ∆ = 0, so keine die Entscheidung, ob ein Extremum vor-liegt, erst unter Berücksichtigung weiterer Bedingungen (z. B.höhere Ableitungen) getroffen werden.

• Wenn ∆ > 0 gilt, dann kann fxx nicht 0 sein.


Beispiel

f (x , y) = x2 + y2 + xy − 2x + 3y + 7


Beispiel

f (x , y) = y2(x − 1) + x2(x + 1)


Ausgleichsrechnung und Fehlerquadratmethode

zwei (physikalische) Größen x und y in funktionaler Abhängigkeit

y = f (x ; a1, . . . , ak)

mit Parametern a1, . . . , ak , die mittels einer Messreihe (xi , yi ), i =1, . . . , n, n > k , bestimmt werden soll.

Idee: Minimiere die Summe der Fehlerquadrate

F (a1, . . . , ak) :=n∑

i=1

(f (xi ; a1, . . . , ak)− yi

)2→ min

a1,...,ak

Notwendiges Kriterium für Minimum

∂jF (a1, . . . , ak) = 0, j = 1, . . . , k

ergibt k Gleichungen für a1, . . . , ak


Ausgleichsgerade

funktionaler Zusammenhang

y = ax + b

Fehlerquadratfunktion

F (a, b) =n∑

i=1

(axi + b − yi )2 → mina,b

notwendige Bedingungen für Minimum

Fa(a, b) =n∑

i=1

2(axi + b − yi )xi = 0,

Fb(a, b) =n∑

i=1

2(axi + b − yi ) = 0

ergeben lineares Gleichungssystem für a und bG. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 47/56

Ausgleichsgerade

Lineares Gleichungssystem

an∑

i=1

x2i +bn∑

i=1

xi =n∑

i=1

xiyi ,

an∑

i=1

xi +bn∑

i=1

1 =n∑

i=1

yi

Lösunga =

sxys2x, b = y − ax

mit

x =1n

n∑i=1

xi , y =1n

n∑i=1

yi ,

s2x =1

n − 1

n∑i=1

(xi − x)2, sxy =1

n − 1

n∑i=1

(xi − x)(yi − y)


Beispiele

linearer Zusammenhang: y = ax + b


Beispiele

exponentieller Zusammenhang: y = aebx

nach Logarithmieren: ln(y) = ln(aebx

)= ln(a) + bx


Extremwerte unter Nebenbedingungen

Oft werden Extremwerte nicht auf dem gesamten Definitionsbe-reich D gesucht, sondern unter allen Punkten, die gewisse Neben-bedingungen erfüllen. Diese werden von den eigentlichen Extrem-werten nur in Ausnahmefällen erfüllt.

Problemstellung:Gegebenf : D ⊂ Rn → R, g1, . . . , gm : D → R

GesuchtExtremstellen von f auf der Menge

G :={x ∈ D : g1(x) = 0, . . . , gm(x) = 0

}={x ∈ D : g(x) = 0

}mit

g(x) =

g1(x)...gm(x)


Lagrange-Funktion

Lagrange-Funktion

L(x ,λ) = f (x) + λ · g(x)

oder ausführlich

L(x1, . . . , xn, λ1, . . . , λm)

= f (x1, . . . , xn) + λ1g1(x1, . . . , xn) + · · ·+ λmgm(x1, . . . , xn)


Kriterium für Extremwerte unter Nebenbedingungen

Satz

Die Funktionen f , g1, . . . , gm : D ⊂ Rn → R seien stetig partielldifferenzierbar. Wenn x∗ ∈ G ⊂ D eine lokale Extremstelle von fauf G ist und die Matrix∂1g1(x

∗) . . . ∂1gm(x∗)...

. . ....

∂ng1(x∗) . . . ∂ngm(x∗)

den Rang m besitzt, dann gibt es einen Lagrange-Multiplikatorλ∗ ∈ Rm derart, dass all (n + m) partiellen Ableitungen von L imPunkt (x∗,λ∗) ∈ Rn+m verschwinden, d. h., die Bedingungen

∂j f (x∗1 , . . . , x

∗n ) +

m∑k=1

λ∗kgk(x∗1 , . . . , x

∗n ) = 0, j = 1, . . . , n,

g`(x∗1 , . . . , x

∗n ) = 0, ` = 1, . . . ,m,

sind erfüllt.G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 53/56

Beispiel

f (x , y) = x2 + y2 → min unter g(x , y) = x + y − 1 = 0


Beispiel

f (x , y) = (1−x2)(1−y2)→ min unter g(x , y) = x2+y2− 14

= 0


Beispiel

Ellipse mit den Halbachsen a = 3 und b = 2

einbeschriebene Rechtecke mit den Seitenlängen 2x und 2y


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