Mathematik 2 für Ingenieure Fourier- und Laplace ...eitidaten.fh-pforzheim.de/daten/mitarbeiter/hoeptner/Mathe2_TRA3_V... · Fourier- und Laplace-Transformation Teil 3: Laplace-Transformation

Skriptum zur Vorlesung

Mathematik 2

für Ingenieure

Fourier- und Laplace-Transformation

Teil 3: Laplace-Transformation

Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner

(nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

Fachhochschule Pforzheim

FB2-Ingenieurwissenschaften, Elektrotechnik/Informationstechnik

Vorlesungsskript "Mathematik 2: Fourier- und Laplace-Transformation", Teil 3: Laplace-Transformation

Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 2

Inhalt

2. Fourier- und Laplace-Transformation

2.1 Fourier-Reihenentwicklung

2.1.1 Zielsetzung, Begründung und Vorgehensweise 2.1.2 Ableitung der reellen Fourierreihe 2.1.2.1 Reelle Fourierreihe mit Sinus- und Kosinusschwingungen 2.1.2.2 Vereinfachte Bestimmung der reellen Fourierkoeffizienten 2.1.2.3 Reelle Fourierreihe in Sinusform 2.1.2.4 Reelle Fourierreihe in Cosinusform 2.1.2.5 Anschauliche Darstellung der verschiedenen Formen der reellen Fourierreihe 2.1.3 Ableitung der komplexen Fourierreihe 2.1.4 Rechenbeispiel 2.1.5 Graphische Darstellung periodischer Zeitfunktionen im Frequenzbereich 2.1.5.1 Amplitudenspektrum 2.1.5.2 Amplitudenbetrags- und Phasenspektrum 2.1.5.3 Komplexe Darstellung Übungsblatt Fourierreihe

2.2 Fourier-Transformation

2.2.1 Herleitung des Fourier-Integrals 2.2.2 Rechenbeispiele 2.2.2.1 Rechteckimpuls 2.2.2.2 Zeitbegrenzte Cosinusschwingung 2.2.2.3 Delta-Impuls Übungsblatt Fourier-Transformation

2.3 Laplace-Transformation

2.3.1 Einführung 2.3.2 Rechenregeln der Laplace-Transformation 2.3.2.1 Linearitätssatz 2.3.2.2 Änlichkeitssatz 2.3.2.3 Verschiebungssatz 2.3.2.4 Dämpfungssatz 2.3.2.5 Differentiationssatz 2.3.3 Korrespondenztabelle 2.3.4 Beispiele 2.3.5 Periodische Funktionen 2.3.6 Laplace-Rücktransformation 2.3.7 Anwendungsbeispiele Übungsblatt Laplace-Transformation Ergänzungsaufgaben Fourier-Reihen und –Transformation / Lösungen Ergänzungsaufgaben zur Laplace-Transformation / Lösungen



2.3 Laplace-Transformation

2.3.1 Einführung

Zweck: u.a. leichteres Lösen komplizierter Differentialgleichungen

Einsatz in E-Technik / Maschinenbau / Regelungstechnik ...

Differentialgleichung:

Vorgehensweise:

1. Die DGL (linear mit konstanten Koeffizienten, s. Kap. 1) wird mit Laplace-Transformation in eine algebraische Gleichung überführt.

2. Als Lösung dieser Gleichung erhält man die Bildfunktion Y(p) der gesuchten Original-funktion y(t).

3. Die gesuchte Lösung y(t) der DGL erhält man durch Rücktransformation der Bildfunktion Y(p). (Korrespondenztabellen, Partialbruchzerlegung, Reihenentwicklung, ...)

Vorteil: Rechenoperationen im Bildbereich meist leichter ausführbar!



Definitionsgleichungen

Transformation: ( ) ( ){ }F p LT f t= F p f t e dtpt( ) ( )= −

∞

∫0

bzw. F(p) •ο f(t) (Korrespondenzschreibweise n. DIN 5487)

Inverse Transformation: ( ) ( ){ }f t LT F p= −1 f tj

F p e dppt

j

j

o

o

( ) ( )=− ∞

+ ∞

∫1

2πσ

σ

bzw. f(t) ο• F(p)

Laplace-Operator: p = σ + jω (Literatur auch s = p)

σ = reel, positiv ≡ Dämpfung

vgl. Fourier-Transformation (σ = 0)

Beispiel: Einheitssprung σ(t)

t

f(t)

0

1

F p f t e dt e dtp

ep p

pt pt pt( ) ( ) ( )= = =−

=−

− =−

∞

−

∞

−

∞

∫ ∫0 0 0

11 1

11

"Praxis": Transformation bzw. Rücktransformation mittels Korrespondenztabellen und Anwendung der Laplace-Rechenregeln (s.u.), evtl. passende algebraische Umformungen nötig.

( )f tt

t=

<

≥

0 0

1 0

;

;



2.3.2 Rechenregeln der Laplace-Transformation

f(t) F(p) Transformation

f(t) °• F(p)

f tj

F p e dppt

j

j

o

o

( ) ( )=− ∞

+ ∞

∫1

2πσ

σ

(*)

F p f t e dtpt( ) ( )= −

∞

∫0

Linearitätssatz

a1f1(t) + a2f2(t)

a1F1(p) + a2F2(p)

Ähnlichkeitssatz

f(at) mit a > 0

1/a F(p/a)

Verschiebungssatz

f(t-τ) mit τ > 0

e-pτ F(p)

Dämpfungssatz

e-at f(t)

F(p+a)

1. Differentiation

f’(t)

pF(p) - f(+0) (**)

n. Differentiation

f(n)(t)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

p F p p f p f

p f f

n n n

n n

− + − ′ + −

− ⋅ + − +

− −

− −

1 2

2 1

0 0

0 0K

Integrationssatz

f d

t

( )τ τ0

∫

1/p F(p)

Faltungssatz

( ) ( )f f t dt

1 2

0

τ τ τ−∫

F1(p) • F2(p)

Anfangswertsatz ( )limt

x t→0

( )( )limp

pF p→∞

Endwertsatz ( )limt

x t→∞

( )( )limp

pF p→0

(*): Rücktransformation besser mit Partialbruchzerlegung bzw. Reihenentwicklung von F(p) und Korrespondenztafel

(**): t → +0, da linksseitiger Grenzwert null



2.3.2.1 Linearitätssatz

f(t) = a1f1(t) + a2f2(t)

( ) ( ){ } ( ) ( )( )

( ) ( )

( ){ } ( ){ }

LT a f t a f t a f t a f t e dt

a f t e dt a f t e dt

a LT f t a LT f t

pt

pt pt

1 1 2 2 1 1 2 2

0

1 1

0

2 2

0

1 1 2 2

+ = + ⋅

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

∞

−

−

∞

−

∞

∫

∫ ∫

⇒ ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }LT a f t a f t a LT f t a LT f t1 1 2 2 1 1 2 2+ = ⋅ + ⋅

2.3.2.2 Ähnlichkeitssatz

( ){ } ( )LT f at f at e dtpt= ⋅ −

∞

∫0

Substitution: u=at → dt = 1/a du

→ ( ){ } ( )LT f ata

f u e dupu a= ⋅ −

∞

∫1

0

/

⇒ ( ){ }LT f ata

Fp

a= ⋅

1

2.3.2.3 Verschiebungssatz

f(t<0) = 0

τ ≥ 0

f(t) f(t-τ)

τ

t

f



( ){ } ( )LT f t f t e dtpt− = − ⋅ −

∞

∫τ ττ

Substitution: u=t-τ → dt = du

( ){ } ( ) ( ) ( )LT f t f u e du e f u e dup u p pu− = ⋅ = ⋅ ⋅− +

∞

− −

∞

∫ ∫τ τ τ

0 0

⇒ ( ){ } ( )LT f t e F pp− = ⋅−τ τ

2.3.2.4 Dämpfungssatz

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )LT e f t f t e e dt f t e dt f t e dt mit p p aat at pt p a t p t− − −

∞

− +

∞

−

∞

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = +∫ ∫ ∫0 0 0

' '

⇒ ( ){ } ( )LT e f t F p aat− ⋅ = +

2.3.2.5 Differentiationssatz

( ){ }LT f tdf

dte dtpt& = ⋅ −

∞

∫0

Int.regel: u dv u v v du⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫

setze dvdf

dtdt= ⋅ u. u e pt= −

( )v f t du p e dtpt= = − ⋅ −

→ ( ){ } ( ) ( )LT f t f t e p f t e dtpt pt& = + ⋅− ∞ −

∞

∫00

( ){ } ( ) ( )LT f t f t e p F ppt& = + ⋅− ∞

0

⇒ ( ){ } ( ) ( )LT f t f p F p& = − + ⋅0



( ){ } ( )LT f t f t e dtpt&& &&= ⋅ −

∞

∫0

setze dv f dt= ⋅&& u. u e pt= −

( )v f t du p e dtpt= = − ⋅ −&

→ ( ){ } ( ) ( )LT f t f t e p f t e dtpt pt&& & &= + ⋅− ∞ −

∞

∫00

( ){ }tfLTp &⋅

( ) ( ) ( )[ ]= − + ⋅ − +&f p f pF p0 0

( ) ( ) ( )= − − ⋅ +&f p f p F p0 0 2

bisher: ( ){ } ( )LT f t F p=

( )

( ) ( )LTdf t

dtp F p f

= ⋅ − 0

( )( ) ( ) ( )LT

d f t

dtp F p p f f

2

22 0 0

= ⋅ − ⋅ − &

analoges Weiterführen der Rechnung führt auf:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )LTd f t

dtp F p p f p f p f f

n

nn n n n n

= − − ′ − − ⋅ −− − − −1 2 2 10 0 0 0K

sind sämtliche Anfangsbedingungen f(i)(0) ∀ i=0...(n-1) gleich Null, so folgt:

( ) ( ){ } ( )LT f t p F pn n= ⋅



2.3.3 Korrespondenztabelle

Nr. F(p) f(t)

1 1 ( )δ t

t

t=

∞ =

≠

;

;

0

0 0 "Delta-Impuls"

2 1

p ( )σ t

t

t=

≥

<

1 0

0 0

;

; "Einheitssprung"

3 1

pn ( )

t

n

n−

−

1

1 !

4 1

p a+

e at−

5

( )1

p p a⋅ + ( )

11

ae at⋅ − −

6 p

p2 2+ ω

cos(ωt)

7 ω

ωp2 2+

sin(ωt)

8

( ) ( )1

p a p b+ ⋅ +

e e

a b

bt at− −−

−

9

( )1

0p a

nn+

>; ( )

t

ne

nat

−

−

−⋅

1

1 !

10

( )1

p p an

⋅ + ( )1

10

1

a

at

ien

i

i

nat−

⋅

=

−

−∑!

11

(*)

1

22 2p ap b+ + [ ]

( ) 1sin1

12

121

<⋅⋅

>=−

− Dfürte

b

aDfüree

w

at

tptp

ωω

12

(*)

p

p ap b2 22+ + [ ]

( ) ( ) 1sincos

12

121

21

<

−⋅

>=−

− Dfürta

te

b

aDfürepep

w

at

tptp

ωω

ω

13

(*) ( )1

22 2p p ap b⋅ + +

( ) ( )

1

21

2 21

11 0 1

22 1

2

1 2

b

p

we

p

we für D

a

b

bt

at e für D

p t p t

at

+ −

= >

⋅ − −

⋅

< <−cos sinω

ωω

(*) Abkürzungen: w a b b a= − = −2 2 2 2; ω ; p a w a j1 2, = − ± = − ± ω



Herleitung einiger Korrespondenzen

Nr. 4: Dämpfungssatz mit f(t) = σ(t) = 1 f. t>0 (Einheitssprung)

( ){ } ( )LT t F pp

σ = =1

(s.o., Beispiel zum Einheitssprung)

( ){ } ( )LT e t F p ap a

at− = + =+

σ1

Nr. 5: ( ) ( ) ( )f ta

e tat= ⋅ − ⋅−1

1 σ

( ) ( ) ( ){ } ( ){ }{ }

( ) ( )

LTa

e ta

LT t LT e t

a p p a a

a

p p a p p a

at at11

1

1 1 1 1 1

− ⋅

= −

= −+

= ⋅⋅ +

=⋅ +

− −σ σ σ

Nr. 6: ( ) ( ) ( )f t t t= cos ω σ

→ ( ) ( ) ( )f t e e tj t j t= ⋅ + ⋅−1

2ω ω σ

→

( ){ } { } { }[ ]LT t LT e LT e

p j p j

p

p

j t j tcos ω

ω ω

ω

ω ω= ⋅ +

= ⋅−

++

= ⋅+

−1

2

1

2

1 1

1

2

22 2

⇒ ( ){ }LT tp

pcos ω

ω=

+2 2

f

1/a

t



Nr. 3: für n = 2 → "Rampenfunktion"

( ){ }LT t t t e dtptσ = ⋅ −

∞

∫0

Int.regel: u dv u v v du⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫

setze dv e dtpt= ⋅− u. u t=

ve

pdu dt

pt

= − =

−

→ ( ){ }LT t tt e

p

e

pdt

pt pt

σ = −⋅

+

− ∞ −∞

∫0 0

( )lim lim lim't

pt

tpt

L Hospital tptt e

t

e pe→∞

−

→∞ →∞⋅ = = =

10

→ ( ){ }LT t te

p p

pt

σ = − =

− ∞

2

0

2

1

Übungsaufgabe: Bitte leiten Sie die allgemeine Form für n her!

(Tip: sukzessive Anwendung der Integrationsregel (u,v), vgl. Herleitung des Differentiationssatzes)

( ) ( )f t t t= ⋅σ f(t)

t



2.3.4 Beispiele

2.3.4.1 Verzögerter Sprung

t

f(t)

0

A

To

a) Lösung mit Laplace-Integral (lt. Definition):

( ){ } ( )LT f t f t e dt A e dtA

pe

A

pept pt

T

pt

T

pT= ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ = − + ⋅−

∞

−

∞

−

∞

−∫ ∫0

1 00 0

0

( ){ }LT A t TA

pe pTσ − = ⋅ −

00

b) Lösung mit Rechenregeln / Korrespondenztabelle:

σ(t) ο• 1/p (Korr.tab. Nr. 2)

f(t-T) ο• e-pT F(p) (Verschiebungssatz)

A f(t) ο• A F(p) (Lin.satz mit f2 = 0)

⇒ ( ){ } 0

0pTe

p

ATtALT −⋅=−σ

( )f tA t T

t T=

≥

<

;

;0

00



2.3.4.2 Exponentialfunktion

f(t) = eat a = bel. komplexe Zahl

( )

F p e e dt e dta p

e

a pe

a p p afür a p

at pt a p t a p t

t

a p t

( )

lim Re

( ) ( )

( )

= = =−

−−

−=

−− <

−

∞

−

∞

−

∞

→∞

−

∫ ∫0 0 0

1

1 1 10

Übung: leiten Sie bitte das Ergebnis mit Hilfe d. Korrespondenztabelle her!

2.3.4.3 Potenzfunktion

f(t) = t2

F p t e dt et

p

t

p pe

t

p

t

p p

et

p

t

p p p p

pt

Bronstein

pt pt

t

pt

da e stär als tpt

( )²

( )² ( )³

²

² ³

lim²

² ³ ³ ³

, ' ker' ²

= =−

−−

+−

= − − −

= − − −

+ =

−

∞

−

∞

−

∞

→∞

−

→

∫

−

2

0 0 0

0

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2444 3444

vgl. Korrespondenztabelle



2.3.5 Periodische Funktionen

Transformierte einer periodischen Funktion f(t) mit Periodendauer T

Definition einer periodischen Fkt.: f(t-kT) = f(t)

F pe

f t e dtpT

Periodizität

pt

T

( ) ( )=− −

−∫1

10124 34

mit f(t < 0) = 0

vgl. nicht periodische Funktion: F p f t e dtpt( ) ( )= −

∞

∫0

Beispiel: Rechtecksignal

f tt T

T t T( )

/

/=

< <

< <

1 0 2

0 2

f(t)

tT0 T/2

1

( )( )

( )( )

( )

F pe

e dt e dte p

e

e pe

e

e p

e

e e p

p e e p

pTpt

T

pt

T

T

pTpt

T

pTpT

pT

pT

a a a

pT

pT pT

pT pT

( )/

/

/

//

/

( ²) ( )( )

/

/ /

/ /

=−

+

=

−

−

=−

⋅−

− =−

−

−

− +

=+

=+

⋅

−

− −

−

−

−

−

−

−

− = − +

−

− −

− −

∫ ∫

=

1

11 0

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

0

2

2 0

2

22

2 2

1 1 1

2

2 2

2 2

f(t)

T t



2.3.6 Laplace-Rücktransformation

( ){ } ( ) ( )LT F p f tj

F p e dppt− = = ⋅ ⋅∫1 1

2π

Integration um alle (i.A. komplexen) Pole von F(p)

z.B. f tj

F p e dppt

j

j

o

o

( ) ( )=− ∞

+ ∞

∫1

2πσ

σ

Integration oft "schwer" durchzuführen ⇒ Praxis: Korrespondenztabelle

Beispiel:

F pp

p p( )

²=

+

+ +

5

2 10

umformen: p

p p

p

p

p

p p

+

+ +=

+

+ +=

+

+ ++

+ +

5

2 10

5

1 9

1

1 3²

4

3

3

1 3²² ( )² ( )² ( )²

Korrespondenzen aus Tabelle:

cos(ωt) °• p

p² ²+ω mit p = p + 1 → ω = 3

sin(ωt) °• ω

ωp² ²+ mit p = p + 1 → ω = 3

Dämpfungssatz e-at f(t) °• F(p+a)

hier: p = p + 1 → a = 1

→ f(t) = [cos(3t) + 4/3 sin(3t)]e-t



2.3.6.1 Partialbruchzerlegung

sehr hilfreich, um gebrochen rationale Funktionen F(p) mittels Korrespondenztabelle rückzu-transformieren

auch hilfreich bei Integration

gebr. rat. Funktion wird in Summe von kleineren Brüchen umgeformt

allgemein: f xZ x

N x

a x a x a

x b x bn

no

mo

( )( )

( )

...

...= =

+ + +

+ + +

1

1

mit n < m ; m, n ∈ N ; ai, bi ∈ R ; an ≠ 0 (bm = 1 durch Kürzen)

Prinzip (zunächst rückwärts)

3

2

2

5

3 5 2 2

2 5

5 11

3 10x x

x x

x x

x

x x−+

+=

+ + −

− +=

+

+ −

( ) ( )

( )( ) ²

<-------------- Partialbruchzerlegung

Ziel: Faktorzerlegung Nenner N(x) = (x - x1)(x - x2) (bei quadratischem Nenner)

Bem.: Partialbruchzerlegung grundsätzlich immer möglich!



Vorgehensweise: f xZ x

N x( )

( )

( )=

1. Bestimme Nullstellen des Nennerpolynoms N(x)

2. Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet. Ansatz:

a) x1 einfache reelle Nullstelle → A

x xpb x

−=

1

( )

b) x1 zweifache reelle Nullstelle → A

x x

A

x xpb x1

1

2

1−+

−=

( )²( )

c) x1 r-fache reelle Nullstelle → A

x x

A

x x

Ar

x x rpb x

1

1

2

1 1−

+−

+ +−

=( )²

...( )

( )

d) komplexe Nullstellen relativ kompliziert

Ai unbekannt = zu bestimmende Konstanten

3. f x pb xii

N

( ) ( )==

∑1

mit N: Anzahl der Nullstellen des Nennerpolynoms

4. Bestimmung der Konstanten Ai :

• alle Brüche auf Hauptnenner bringen

• ‘geeignete’ x-Werte einsetzen, z.B. Nennernullstellen,

• ergibt Lineares Gleichungssystem

• Lösung des LG mit Gauß oder Koeffizientenvergleich

Anm.: f(x) mit Nennerpolynomen der Form N(x) = (x2 + ax + q)r können auch d. den Ansatz

( )( ) ( )

f xB x C

x ax q

B x C

x ax q

B x C

x ax q

r rr=

+

+ ++

+

+ ++ +

+

+ +

1 12

2 2

2 2 2K zerlegt werden.

Bestimmung der Bi, Ci über z.B. Koeffizientenvergleich.



2.3.6.2 Beispiele zur Partialbruchzerlegung

a) einfache Nullstellen f xx

x x

Z x

N x( )

²

( )

( )=

+

+ −=

5 11

3 10

1. Bestimme Nullstellen

N(x) = x² + 3x - 10 = 0

→ x1 2

3 9 40

2

3 7

2/ =− ± +

=− ±

→ x1 = +2 x2 = -5

→ N(x) = (x-2)(x+5)

Probe: x² - 2x + 5x - 10 = x² + 3x - 10 3

2. Zuordnung Partialbruch

x1 = +2 : pb xA

x x

A

x11 2

( ) =−

=−

x2 = -5 : pb xB

x2 5( ) =

+

3. Partialbrüche f x pb xA

x

B

xii

( ) ( )= =−

++=

∑1

2

2 5

4. Bestimmung der Konstanten

f xA x B x

x x

Ax A Bx B

x x

x

x x

A B x A B x

( )( ) ( )

( )( ) ² ²

( ) ( ) (*)

!

!

=+ + −

− +=

+ + −

+ −

+

+ −

→ + + − = +

=5 2

2 5

5 2

3 10

5 11

3 10

5 2 5 11



Methode 1: Koeffizientenvergleich mit (*)

A + B = 5 (i)

5A - 2B = 11 (ii)

→ A = 5 - B (i’)

(i’) in (ii) : 5(5-B) - 2B = 11

25 - 5B - 2B = 11

-7B = -14

→ B = 2

→ A = 3

→ 5 11

3 10

3

2

2

5

x

x x x x

+

+ −=

−+

+²

Methode 2: ‘geeignete’ x-Werte einsetzen

x kann beliebig sein, z.B. Nullstellen von N(x)

mit (*):

x1 = 2 : (A+B)2 + (5A-2B) = 10 + 11

2A + 2B + 5A - 2B = 21

7A = 21

→ A = 3 s.o.

x2 = -5 : (A+B)(-5) + (5A-2B) = -25 + 11

-5A - 5B + 5A - 2B = -14

→ B = 2 s.o.

z.B. Anwendung Integration:

5 11

3 10

3

2

2

53 2 2 5

x

x xdx

x xdx x x

+

+ −=

−+

+

= − + +∫ ∫²

ln ln

Übung: − −

− −=

+−

−

x

x x x x

9

2 24

1

2 4

3

2 6² ( ) ( )



b) zweifache Nullstellen f xx

x x

Z x

N x( )

²

( )

( )=

−

− +=

5

6 9

1. Bestimme Nullstellen

N(x) = x² - 6x + 9 = 0

→ x1 2

6 36 36

23/ =

+ ± −= → x1 = x2 = 3

→ N(x) = (x-3)2

2. Zuordnung Partialbruch

x1 = x2 = 3 : pb xA

x

A

x( )

( )²=

−+

−

1 2

3 3

3. Partialbrüche ( )f x pb xA

x

A

x( )

( )²= =

−+

−

1 2

3 3

4. Bestimmung der Konstanten

f xA x A

xA x A A x( )

( )

( )²(*)

!

=− +

−→ − + = −

1 21 1 2

3

33 5

Methode 1: Koeffizientenvgl. mit (*)

→ A1 = 1 → 3 . 1 - A2 = 5 → A2 = -2

→ f xx

x x x x( )

² ( )²=

−

− +=

−−

−

5

6 9

1

3

2

3

Methode 2: ‘geeignete’ x-Werte

mit (*)

x1 = 3 : 3A1 - 3A1 + A2 = 3 - 5 → A2 = -2 s.o.

A1: A1x - 3A1 - 2 = x - 5

A1(x - 3) = x - 3 → A1 = 1 s.o.

Übung: 15 26 5

3 4

4

1

11

2

1

2

x x

x x x x x

²

³ ² ( ) ( )²

+ −

+ −=

−+

+−

+



2.3.7 Anwendungsbeispiele

2.3.7.1 Differentialgleichung erster Ordnung

Ein Körper bewegt sich mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 horizontal in einer reibungsbehaf-

teten Flüssigkeit:

&vk

mv+ = 0 Anfangsbedingung: v(t=0) = vo

mathematisch: y’ + a y = 0 mit a = k/m Anfangsbed.: y(x=0) = yo

1. Laplace-Transformation

aus Rechenregeln: p F(p) - y(0) + a F(p) = 0

2. Lösen im Bildbereich

F(p) (p + a) = y(0) (Anfangsbed. bereits berücksichtigt!)

→ =+

F p yp a

( ) ( )01

3. Rücktransformation

aus Korrespondenztabelle (Nr. 4) e-at °• 1/p+a

→ y = y(0) e-at

physikalische Größen:

v = vo e-(k/m)t

v

t

vo

k/m



2.3.7.2 Differentialgleichung 2. Ordnung

RLC in Reihenschaltung mit plötzlich angelegter äußerer

Spannung U0 (σ - Impuls, Einheitssprung)

&& & & ( )IR

LI

C LI

LU

LU to+ + = ⋅ =

1 1 1δ

Anfangsbedingung: ( ) ( ) 00;00 == II &

L

C

R

Uo

mathematisch: y’’ + d y’ + ωωωωo²y = bo δδδδ(t) Anf.bed.: y(x=0) = y’(0) = 0

mit y = I ; d = R/L ; ω02 = 1/LC ; b0 = U0/L

1. Laplace-Transformation

aus Rechenregeln:

p² F(p) - p y(0) - y’(0) + d p F(p) - d y(0) + ωωωωo² F(p) = bo 1

2. Lösen im Bildbereich

mit Anf.bed.: p² F(p) + d p F(p) + ωo² F(p) = bo 1

→ F(p) {p² + dp + ωo²} = bo

→ F pb

p d po

o

( )²

=+ ⋅ +ω 2

auch hier 3 Fälle im Nenner! (vgl. Kap. 1.3.6)

im weiteren: gedämpfter Schwingfall angenommen



3. Rücktransformation

Korrespondenztabelle Nr. 11:

•ο

1

22 2p ap b+ + [ ]

( ) 1sin1

12

121

<⋅⋅

>=−

− Dfürte

b

aDfüree

w

at

tptp

ωω

hier: 2a = d ; b = ω0 gedämpfte Schwingung: 122 0

<==L

CRdD

ω

→ ( ) ( )f tb

e tat= ⋅ ⋅−0

ωωsin mit ω ω= − = −

0

2 2

21

2a

LC

R

L

physikalische Größen: ( )I tU

Le to

R

Lt

( ) sin=−

ωω2

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