Mathematik FOS Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen (APO-BK C) Berufskolleg Marienschule Lippstadt 1.Allgemeine Einführung 2.Äquivalenzumformungen

Mathematik FOSFachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen (APO-BK C)

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

1. Allgemeine Einführung

2. Äquivalenzumformungen

3. Lineare Gleichungen

4. Textaufgaben

LineareGleichungen

Lineare Gleichungen Mathematik FOS 11 · Seite 2

Eine Gleichung in einer Variablen (Unbekannten) x ist eine Behauptung …


… und zwar in der Form

„Linke Seite“ = „Rechte Seite“

wobei „Linke Seite“ und „Rechte Seite“ Terme sind, die von x abhängen.

Anmerkungen(1) Dabei steht x für ein - zunächst beliebiges - Element einer Menge ID

(Definitionsmenge), die zusätzlich zur Gleichung angegeben sein muss.

(2) Wird die Definitionsmenge nicht eigens erwähnt, so wird üblicherweise angenommen, dass sie gleich der Menge IR der reellen Zahlen ist.


Eine Lösung der obigen Gleichung ist ein Element x aus ID, für welches die Behauptung „Linke Seite“ = „Rechte Seite“ eine wahre Aussage ist.


Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge und wird üblicherweise mit IL bezeichnet. Sie kann ein oder mehrere (sogar unendlich viele) Elemente enthalten oder auch leer sein.

Achtung: Die Variable (Unbekannte) wird zwar oft x genannt, kann aber auch mit anderen Buchstaben bezeichnet werden.

Beispiel: x + 7 = 13 über ID = IR .

Bedeutung: Diese Behauptung ist nur dann eine wahre Aussage, wenn x eine reelle Zahl ist, deren Summe mit der Zahl 7 die Zahl 13 ergibt.

Es gibt nur eine Zahl x, die diese Eigenschaft hat, nämlich die Zahl 6.Sie ist daher die (einzige) Lösung.Kurz: Die Lösung der Gleichung ist x = 6.

Die Lösungsmenge ist IL = {6}.


Eine Umformung einer Gleichung, die die Lösungsmenge nicht verändert, heißt Äquivalenzumformung.


Eine Äquivalenzumformung besteht darin, die linke und die rechte Seite einer Gleichung auf gleiche Weise abzuändern.

Diese Änderung muss allerdings umkehrbar sein: Es muss möglich sein, die ursprüngliche Gleichung durch eine weitere Umformung zurück zu gewinnen.

Dann enthalten die ursprüngliche und die veränderte Gleichung dieselbe Information (sie sind zueinander äquivalent – gleichwertig) und haben dieselbe Lösungsmenge.


In der Praxis werden Äquivalenzumformungen benutzt, um Gleichungen Schritt für Schritt zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern.


Die wichtigsten Äquivalenzumformungen sind:

• zu beiden Seiten einer Gleichung denselben Term addieren. Spezialfall: auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren;

• beide Seiten mit demselben Term (der immer von Null verschieden sein muss) multiplizieren. Spezialfall: beide Seiten mit einer von Null verschiedenen Zahl multiplizieren oder durch eine solche dividieren.

Weitere Äquivalenzumformungen sind:

• Termumformungen (z.B. Klammern auflösen, Anwenden der binomischen Formeln, Kürzen von Brüchen, ...), die auch nur auf einer Seite der Gleichung auftreten können;

• Vertauschen der beiden Seiten der Gleichung.


Zur Dokumentation des Lösungsweges ist es üblich, die Veränderungen, die an einer Gleichung im nächsten Schritt vorgenommen werden, rechts davon, nach einem senkrechten Strich, zu notieren.


3

x

hier haben wir die Lösung

von beiden Seiten wird der Term x subtrahiert2x = x + 3

zu beiden Seiten wird die Zahl 3 addiert2x – 3 = x

Beispiel (Äquivalenzumformung)Gegeben: 2x – 3 = x mit G = Q

x = 3

Dieser Lösungsweg fördert also zusätzlich zur gegebenen Gleichung noch zwei andere Gleichungen zutage, die dieselbe Lösungsmenge besitzen. Alle drei Gleichungen sind gewissermaßen nur Versionen voneinander.

Die letzte Gleichung ist so einfach, dass sie uns die Lösung direkt angibt. Damit haben wir die gegebene Gleichung gelöst. Die Lösungsmenge ist IL = {3} .


Was sind keine Äquivalenzumformungen?


• Beide Seiten einer Gleichung mit Null multiplizieren. • Beide Seiten einer Gleichung mit einem Term zu multiplizieren, in dem die zu bestimmende Variable enthalten ist.

• Das Quadrieren beider Seiten einer Gleichung.


Lineare Gleichungen werden auch als Gleichungen erster Ordnung bezeichnet.


Definition (lineare Gleichung / Koeffizient)Eine Gleichung der Form

ax + b = cx + d,

heißt lineare Gleichung (in der Variablen x).

Dabei sind a, b, c und d vorgegebene (bekannte) Zahlen.

Diese Zahlen werden in der Mathematik Koeffizienten genannt.


Beispiele


3x + 2 = x – 1 hier ist a = 3, b = 2, c = 1 und d = – 1

x + 3 = x hier ist a = 1, b = 3, c = 1 und d = 0

x – 1 = 0 hier ist a = 1, b = – 1 , c = 0 und d = 0

AnmerkungenIn den folgenden Betrachtungen nehmen wir als Definitionsmenge die Menge IR der reellen Zahlen an.

Manchmal vereinfachen sich Gleichungen, die zunächst recht kompliziert aussehen, durch Äquivalenzumformungen zu linearen Gleichungen.

Daher werden beim Lösen von linearen Gleichungen zunächst immer alle Klammern aufgelöst und die entstandenen Terme so weit wie möglich zusammengefasst. Anschließend wird die Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen gelöst.


Beispiel 1 (Lösen von linearen Gleichungen)



Beispiel 2 (Lösen von linearen Gleichungen)



Wenn eine Gleichung durch keine Zahl aus der Definitionsmenge in eine wahre Aussage überführt werden kann, nennt man diese Gleichung (bezogen auf die Definitionsmenge) unlösbar und die Lösungsmenge ist dann die leere Menge.



Neben unlösbaren Gleichungen gibt es auch Gleichungen, die immer wahr sind


Definition (allgemeingültige Gleichungen)Wenn eine Gleichung durch jede Zahl aus der Definitionsmenge in eine wahre Aussage überführt werden kann, nennt man diese Gleichung (bezogen auf die Definitionsmenge) allgemeingültig.

Eine lineare Gleichung kann also unendlich viele Lösungen besitzen, wie das folgende Beispiel zeigt:


Jede lineare Gleichung kann auf die Form ax + b = 0 gebracht werden


• dabei sind a und b fixe (bekannte) reelle Zahlen

• die obige Form wird als Normalform einer linearen Gleichung bezeichnet

Über der Definitionsmenge ID = IR ergibt sich folgendes Schema:

Ist a = 0 und b = 0, so ist IL = IR.

Ist a = 0 und b ≠ 0, so ist IL = .

Ist a ≠ 0, so ist Für lineare Gleichungen über ID = IR gilt also entweder sie werden von allen reellen Zahlen gelöst oder sie haben keine Lösung oder sie haben eine einzige Lösung.

Hinweis: Kein anderer Fall kann auftreten.

abIL


Lineare Gleichungen finden in vielen Bereichen Anwendung

4. Textaufgaben

So gibt es viele Sachverhalte und Probleme, wie beispielsweise

• die Ermittlung der Anzahl der Vollzeitstellen für Erzieherinnen nach dem neuen Kinderbildungsgesetz (KiBiz) oder

• die Berechnung der Betriebskosten eines Krankenhauses,

die mit den Mitteln und Methoden linearer Gleichungen bearbeitet und gelöst werden können.

Solche Aufgaben nennt man Sach- und Anwendungsaufgaben.

AnmerkungSind die Aufgaben durch Texte gegeben, sprechen wir im Folgenden von Textaufgaben.


Um das Lösen von Textaufgaben zu vereinfachen, empfehlen wir folgende Vor-gehensweise

4. Textaufgaben

I. Zunächst muss man sich über den Inhalt der Aufgabe und die Aufgabenstellung klar werden, damit man festlegen kann, wofür die Gleichungsvariable stehen soll (in der Regel benutzt man dafür dieVariable x).

II. Danach untersucht man den Text auf weitere Angaben und Größen und stellt deren Beziehungen untereinander bzw. zur Gleichungsvariable als Terme dar.

III. Aus diesen Termen ergibt sich die zu lösende Gleichung.

IV. Diese Gleichung wird dann nach dem üblichen Verfahren mittels Äquivalenzumformungen gelöst.

V. Falls erforderlich, werden durch das Einsetzen der Lösung für die Gleichungsvariable die noch fehlenden Lösungsteile ermittelt.

VI. Anschließend werden alle Angaben im Antwortsatz zusammengefasst.


Beispiel (Textaufgabe zu linearen Gleichungen)Subtrahiert man von einer Zahl 7, so erhält man 13 mehr als das Dreifache dieser Zahl. Welche Zahl ist das?

4. Textaufgaben

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