Mathematikf urPhysikerIMichaelDreherFachbereichf urMathematikundStatistikUniversitatKonstanzStudienjahr2008/092EtwasJuristisches:Dieses Werk ist unter einem Creative Commons AttributionNonCommercialNoDerivs3.0 Unported Lizenzvertrag lizenziert. Um die Lizenz anzusehen, gehen Sie bitte zuhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/de/ oder schicken Sie einen Brief an Crea-tiveCommons,171SecondStreet,Suite300,SanFrancisco,California94105, USA.WerausdenB uchernnichtmehrlernt,alswasindenB uchernsteht,derhatdieB uchernichthalbgenutzt.GottholdEphraimLessing,172917814Inhaltsverzeichnis1 Grundlagen 111.1 WiederholungausderSchulanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.1 ReelleZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 DiekomplexenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 ZurEinstimmung:DieCardanischeFormel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 DiekomplexenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 FunktionenkomplexerZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4 Ausblick:Elektrotechnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.5 Ausblick:Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3 DieEbeneundderR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1 AllgemeineEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4 Gruppentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.1 Einf uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.2 Ausblick:GruppeninderPhysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4.3 Ausblick:Mobilfunk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5 DerRaumundderR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.2 VektorproduktundSpatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.3 DrehungenimR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.5.4 DeraneRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.6 Schl usselbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Vektorraume 452.1 AllgemeineEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2 Linearkombinationen,Erzeugendensystemeusw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.1 Linearkombinationen undUnterraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.2 LineareUnabhangigkeitundBasen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.3 DimensioneinesVektorraumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3 VektorraumemitSkalarprodukt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.1 Skalarprodukte,Normen,Orthogonalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.2 Approximationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4 Ausblick:VektorraumeinderPhysik1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5 Ausblick:dieHelmholtzProjektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6 Schl usselbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6056 INHALTSVERZEICHNIS3 Matrizen 613.1 Operationen mitMatrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Schl usselbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 Homomorphismen 694.1 AllgemeineEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2 GeometrischeAspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 LineareGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.4 Basistransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.5 Dierentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.6 Ausblick:LineareAbbildungeninderPhysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.7 Ausblick:VektorraumeinderPhysik2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.8 Schl usselbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885 NormierteRaume,ReelleZahlen, Folgen,Reihen 895.1 FolgenimRdundCd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 FolgenundReiheninnormiertenRaumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2.1 Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2.2 ReiheninnormiertenRaumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2.3 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3 FolgenundReihenreellerZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3.1 Schranken undGrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3.2 Beispielef urkonvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3.3 NichtabsoluteKonvergenz undUmordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.5 Beispiel:DieExponentialfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.6 Schl usselbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076 Funktionen 1096.1 GrenzwertevonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3 Dierenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.4 MittelwertsatzundTaylorscherSatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.5 ElementareFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.5.1 DergeometrischeZugangzudenWinkelfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.5.2 DeranalytischeZugangzudenWinkelfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.5.3 DieHyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.5.4 WurzelnauskomplexenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.6 VerfahrenzurnumerischenLosungnichtlinearerGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.6.1 DasHalbierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.6.2 Funktionaliteration undderBanachscheFixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.6.3 DasNewtonverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.7 Schl usselbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142AAlgebraischeStrukturen 143EinleitungHerzlichwillkommenimPhysikstudium!ZujedemPhysikstudiumgehorteinMathematikkurs,unddieserVersucheinesVorwortssollbeschreiben,welcheZielewirmitdiesemMathematikkursanpeilen.ImSchnelldurchlauf:essindetwasandereZielealsimgymnasialenMathematikunterricht(wobeihiernichterortertwerdensoll,obderschulischeMathema-tikunterrichtsinnvollkonzipiertistundoberseineZiele uberhaupterreicht).BekanntlichistdiePhysikeineWissenschaft. DasGegenteil davonistdieUnwissenschaft,wiesievertre-tenwirdvonW unschelrutengangern,Schamanen, EsoterikernundsonstigenverwirrtenPersonlichkeiten.ZwischenWissenschaftlernundNichtwissenschaftlernbestehtderausschlaggebendeUnterschied, dadieWissenschaftler ihre Arbeitsmethoden prazise begr unden und ihre erzielten Ergebnisse rechtfertigen konnen,undzwar(z.B.)auffolgendenWegen:Experiment: dieVoraussagen einerTheoriewerdengepr uft(ArbeitsweiseinderExperimentalphysik),Theorie: eine Aussagenwirdlogischpraziseaus elementarenPrinzipienhergeleitet, diemanals wahrvoraussetzt (Arbeitsweiseindertheoretischen PhysikundderMathematik),numerischeSimulationen: dassindRechenexperimenteauf demComputer, z.B. umeineTheoriezutesten.DawirnunalsWissenschaftlerwahrgenommenwerdenwollen,kommenwirnichtdrumherum,dieseAn-spr uche an wissenschaftlichesArbeiten auch gegen unsgelten zulassen, woraus sich ein ersterUnterschiedzumSchulunterricht ergibt:DieschultypischeFragenachdemWie(WieverlauftderRechenweg?)wirdersetztdurchdieFragenachdemWarum:Warumglaubeicheigentlich,dameinRechenwegmich uberhauptzumRechenzielf uhrt?GelegentlichartetdieAbiturvorbereitungausineinAntrainierenhalbverstandenerRechenrituale; diesePhasesollimPhysikstudiumnichtwiederkehren.WasisteigentlichMathematik?Wie eben schon angedeutet, geht es in der Mathematik nicht um das Abspulen von immergleichen Rechen-schemata,ganzimGegenteil:(a) MathematikistdieKunst,stumpfsinnigesRechnenzuvermeiden.EsgibtkeinenPlatzf urhalicheMathematik,genausowieeskeinenPlatzgibtf urhalichePhysik.(b) MathematikisteineWissenschaft,dieStrukturenerforscht unddurchschaubar macht.Dabei strebtdieMathematikzuallererstnachErkenntnisundversuchtzuerklaren, warumdie(vonihrbetrachtete Facette der hochst vielfaltigen) Wirklichkeit so ist, wie sie ist; und genau dasselbe gilt nat urlichf urjedeandereWissenschaft. EinbesonderesMerkmaleinerjedenNaturwissenschaftistes, daeinFor-scher1sich zwar ein bestimmtes Forschungsziel stellen kann, aber es ist zunachst nicht klar, ob das Problem uberhaupt2losbar ist,ob man es selber schat (oder ob jemand anders schneller ist),oder ob der gewahlteWegnicht vielleicht eineSackgasseist undmanamEndeder m uhseligenPlackerei mit leerenHanden1ausGr undendersprachlichenUbersichtlichkeitsindnurdiemaskulinenPersonenbezeichnungenangef uhrt. . .2Ausnahme:Spielzeugprobleme,beidenenjederahnt, washerauskommt, unddienurWenigeinteressieren78 EINLEITUNGdasteht. InderSchuleistdasbekanntlichanders, denndortbekommtmannurAufgaben, diegarantiertmitdemvorhervermitteltenWissenlosbarsind.KreativeundphantasievolleMenschensindklarimVorteil,undeslohntsich,umdieEckezudenken!Einweiteres wichtiges Kennzeichenmathematischer Arbeit ist dieAbstraktion. Das bedeutet, damanbei einerSituationdieEigenschaftenvonallenbeteiligtenObjektenentsprechendderKategorienwichtig/unwichtig sortiert, dieunwichtigenwegwirft, damitdiewichtigenklarerzusehensind(unddamitdasProblem uberhauptersteinmal handhabbarwird). EinPhysikermachtgenaudasgleiche, wennersagthierbeibetrachtenwirnurPunktmassen.BeiVektorenkanneszumBeispielsein,daihrePfeil-Gestaltwichtigist(wennmanz.B. dieKrafteauf einenKorperuntersucht, dannistdieVeranschaulichungderKraftealsPfeilevollignat urlich).MankanndieEigenschafteinesVektors,einPfeilzusein,aberauchwegwerfen, undlediglichdiebeidenEigenschaften ubrigbehalten, damanVektorenaddierenkann, unddamanVektorenmiteinerZahlmultiplizierenkann(sowieeinigerRechenregelnf urdieseOperationen).GenaudasselbetritaberauchaufFunktionenzu,denndieselassensichauchzueinanderaddierenbzw.miteinerZahlmultiplizieren.Wird urfenalsoFunktionenalsVektorenansehen!Das ist ein Beispiel f ur einen Abstraktionsschritt. Und weil wir spatestens in der Quantenmechanik sowiesodazu gezwungen sein werden, diesen Abstraktionsschritt (Funktionen als Vektoren anzusehen) zu vollziehen,wollenwirdenGedankenVektor=Pfeil garnichtweiterverfestigen(dannm utenwirspaterumlernen)undarbeitenindiesemKursfastvonAnfanganmitabstraktenVektoren(abKapitel2).WirschauenunsnocheinBeispielanf urFunktionenalsVektoren: WirbetrachteneineFunktion, dieauseinerreellenZahl einereelleZahl macht. BekanntlichkannmanvoneinersolchenFunktionMinimasuchen,indemmandieAbleitunggleichNullsetzt. JetztbetrachtenwireineFunktion,dieauseinerFunktioneinereelleZahlmacht.AusGr undendersprachlichen Klarheit redet man besser von einem Funktional, und das wichtigste Beispiel ist vielleichtdas Wirkungsfunktional aus der Theoretischen Mechanik. Viele Bewegungsgesetze der Mechanik (z.B.alles vomTyp F= ma) folgen aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung. Und wie sucht man nun Minimades Wirkungsfunktionals ? DurchNullsetzender Ableitung (was auchimmer das ist), wobei dieeingesetztenArgumentedesWirkungsfunktionalsjetztkeineZahlen x Rsind,sondern FunktionenauseinemunendlichdimensionalenFunktionenvektorraum.Einwenighochtrabendformuliert, benutzt die Theoretische Mechanikalsodie DierentialrechnunginunendlichdimensionalenFunktionenvektorraumen, unddaf urwollenwirmit diesemMathematikkursdieGrundlagenzulegenversuchen.Mit etwas Gl uck kann es dann auf dem Wege der Abstraktion gelingen, Gemeinsamkeiten zwischen Dingenzu entdecken,dieweit entfernt voneinander scheinen,und schon hat man ein wenig besser erkannt,wiedieWeltaussiehtundwasderenZusammenhangesind.MethodischeKonsequenzenEs ist praktischnicht durchf uhrbar, sichimStudiumauf jede Eventualitat des spaterenBerufslebensvorzubereiten und sich f ur jedeauftretbare Situation ein pagenau zugeschnittenes Rechenschema zurecht-zulegen.Daf ur ist die unsumgebendeWelt einfach zu vielgestaltig. Auerdem ist das Gedachtnis gar nichtinderLage,mehrerehundertisolierteEinzelinformationenabzuspeichern,wenndiesenichtuntereinandervernetztsind.Vielwichtigeristes,inhaltlicheZusammenhangezuerkennen,auchdamitderLernstoeinassoziativesNetzbildet, dassicherheblicheinfachereinpragenwird. DieimSkriptaufgef uhrtenBeweisesindanhanddesKriteriumsausgewahltworden,obsieinhaltlicheZusammenhangebeleuchtenundsomiteintieferesVerstandnisermoglichen (undeineakzeptableLangeaufweisen).BeidenHausaufgaben tretenalsoRechenaufgabenmitZahlenindenHintergrund.Kreativitat undPhan-tasiesindgew unscht, weshalbbei einigenHausaufgabennichtsofortersichtlichist, wiederLosungswegaussieht; nochdazukannesmehrereWegezurLosunggeben. Wennmansichungl ucklicherweiseverirrt,kanndieLosungwomoglich langundetwashalich sein(aberdasmerktmannat urlich).EINLEITUNG 9Garantie:Die4AufgabeneinesHausaufgabenblattessindaufetwa6Seitenlosbar.Das hangt nat urlich von der Schriftgroe ab, aber wenn Sie mehr als 8 Seiten brauchen, machen Sie sicherlichetwasfalsch,undwennSiewenigerals4Seitenbenotigen,machenSieeventuell etwasfalsch.AmEnde eines jedenKapitels sindSchl usselbegrie aufgelistet. Diese heiendeshalbso, weil sie eineSchl usselbedeutunghabenf urdasVerstandnisdesSkriptinhalts. DemnachsolltenSiedieseBegriever-standen haben,also:Denitionwiedergeben konnen,Eigenschaften beschreiben und Querverbindungen zuanderenBegrienbenennen. MitdiesenBegriensolltenSiesovertrautsein, daSiediekurzenBewei-severstehenundbei denlangerenBeweisen(essindeherwenige)auf jedenFall diezentralenGedankenangebenkonnen.WielostmanHausaufgaben?WeildasWichtigsteamStudiumnicht etwadieVorlesungen sind,sondern dieeigenstandigeAuseinander-setzungmitdemLernsto,kommenhiernocheinigeAnmerkungenzudenHausaufgaben.LassenSiesichvonIhremUnterbewutseinhelfen. DiesesbrauchtallerdingsseineAufwarmzeit, undesmuwissen,wobeieseigentlichhelfensoll,undesistauchnichtzuverlassiger alsdieEisenbahn.Sie sollten also so schnell wie moglich die Aufgabe verstehen. Dazu besorgen Sie sich von allen vorkommen-denmathematischenFachbegriendieexakte Bedeutung, alsodieDenition. DiesendenSieimSkriptundinB uchern(meistensmiteinemIndexausgestattet); nureingeschranktempfehlenswertistWikipe-dia.TragenSiealleEigenschaftendieserBegriezusammen,dieSienden.StellenSiesicher,daSiediezusammengetragenenDingeauchverstandenhaben(hierbei sindggf. Skizzenoderevtl. Zahlenbeispielebrauchbar).Nun m uten Sie ein solides Verstandnis dessen haben, worum es in der Aufgabe eigentlich geht. Wenn es sichum eineRechenaufgabe handelt,ist jetzt nicht mehr allzuviel zu tun (dieabiturtypischen Rechentechnikensetzenwiralsgefestigtvoraus).Falls es um einen Beweis geht: dr ucken Sie Voraussetzungen und Behauptung mit Ihren herausgeschriebenenDenitionenaus(formulierenSiealsoum).DaSiedieAufgabenstellungjetztverinnerlicht haben,konnenSie also beim Schlangestehen im Supermarkt dr uber nachdenken oder bei jeder anderen Gelegenheit. EchteZahlenbeispielekonnenhilfreichseinzurIdeenndung, Taschenrechnerexperimenteebenfalls. WerdenSiekreativ (ab dieser Stellegibt es kein Kochrezept mehr, wieauch ? Es geht ja schlielich um Phantasie, undwenn esdaf urein SchemazumAbspulengabe, dannw urden wirwahrscheinlich ineinerlangweiligen Weltleben).Diese Suche nacheiner Stelle, womanansetzenkann, ist vielleicht m uhselig, aber f ur denLerneektunverzichtbar. EineabgeschriebeneLosunghabenSiebinnen10Tagenvergessen, aber Siewerdensichmonatelang an den Moment erinnern, als nach langerer Anstrengung endlich der Groschen el. Der SchwungdiesesErfolgswirdSiedurchdasganzeSemestertragen.Eslohntsich! EineselbstgefundeneLosungistsovielwertwie10abgeschriebene.Werabpinselt,tutsichselbstkeinenGefallenundstudierteinfachnurinezient.Nacheiniger Zeit habenSie alsoeine mutmalicheLosungerhalten. Womoglichist der Gedankengangetwas zickzackig (das geht den professionellen Mathematikern und Physikern genauso), eventuell ndet IhrUnterbewutseindannamnachstenTag3eineIdee,wiemanihnbegradigen kann.WennSieschonimTeamarbeiten,konnenSiejasovorgehen,dajedereinzelnf ursichdieLosungsuchtund danach beide Varianten verglichen werden. Vielleicht kann man beide Wege zu einem zusammenf ugen,derschonerist.OderSielesenbeiIhremKommilitonenKorrektur(eshinterlateinenschiefenEindruck,wennineiner Wocheauf einmal 7Physikstudentender Meinungsind, da14+14=18!). Falls SieimTeamaufgemeinsamemBlattabgeben,seienSienicht uberrascht,wenndieUbungsleiterdannstrengereBewertungsmastabe anlegen,alswennSiealleineabgegebenhatten.AchtenSieaufdieauere FormIhrerLosung.DieLosungsollsoklardargestellt werden,daaucheinLe-ser,derwederAufgabenoch einenkorrekten Losungsweg kennt,erkennen kann,was eigentlichhierlosist.Korrektorensinddankbar,wennsienichtgedrangtsind, irgendwelchehingekritzeltenGedankenfragmen-tem uhsam zusammenzupuzzlen,sondern wenndieLosung einrichtiger Textistmitsyntaktisch korrekten3imUbrigenwerdendiemeistenTextebesser,wennmansiemiteinigemzeitlichenAbstandnochmalneuschreibt10 EINLEITUNGSatzen der deutschen Sprache. Die Kunst, sich im ganzen Satz gut auszudr ucken, ist bemerkenswert schwie-rig,soda man fr uhestmoglich mitdemUbenanfangen sollte.Es istdurchaus wahrscheinlich, daSieIhreHausaufgabenzettelspater noch ein malbenotigen werden,und daf urware esdann nutzvoll,dieLosungensoklarundeinleuchtendaufgeschriebenzuhaben,daSiedieseauchnacheinemhalbenJahrnochz ugigverstehen.RechentechnischeHinweiseJedeRechnungdienteinembestimmtenZweck.Oft mochtemanmit derRechnungirgendwelcheErgebnisseermittelnunddiesedannwoandersweiter-verwerten. IneinemsolchenFall isteseinnat urlicherWunsch, dieRechnerei nichtlangerzuhabenalsangemessen.Es kann aber auch sein, da der Rechenweg selbst aufschlureich ist und einige Zusammenhange beleuchtenkann. Dasfunktioniertnat urlichnur, wennmanbeimRechnenkeinunentwirrbaresGleichungsspaghettifabrizierthat.InbeidenFallenlohntessich,okonomischzurechnen.Generell giltdabei: wenneineGleichungsumformungkeinenbenennbarenNutzenhatweglassenoderzumindest so weit wie moglich hinauszogern. Spezieller heit das zum Beispiel: Unterdr ucken Sie den ReexIchmultipliziereerstmalallesaus.Als instruktives Beispiel suchen wir Wendepunkte von f= f(x) =3x+7(x+2)2durch Nullsetzen von f

. FleiigesAusmultiplizierensamtlicherKlammern unddieRegel(uv)

=u

vuv

v2f uhrenauff

(x) =3x214x 16x4+ 8x3+ 24x2+ 32x + 16,f

(x) =6x5+ 66x4+ 288x3+ 624x2+ 672x + 288x8+ 16x7+ 112x6+ 448x5+ 1120x4+ 1792x3+ 1792x2+ 1024x + 256,undnunsteckenwirfest,denndieGleichungf

(x) = 0bekommenwirnichtgelost.DasisteinfachkeineMathematikmehr,dennderVerstogegen Prinzip (a)istoensichtlich (keinMathe-matikeroderPhysikermitasthetischemGesp urrechnetfreudvolleinenMonstertermwie(3x2 14x 16)

(x4+8x3+24x2+32x+16) (3x214x16)(x4+8x3+24x2+32x+16)

aus. Abgesehen davonistdieWahrscheinlichkeit vonRechenfehlernvielzuhoch.).EsliegtaberaucheinVerstogegenPrinzip(b)vor, dennderBruchf urf

(x)enthalteineverborgeneStruktur, die jedoch aufgrund der milungenen Darstellung unsichtbar ist. Oder ist Ihnen etwa aufgefallen,damandiesenBruchk urzenkanndurchx4+ 8x3+ 24x2+ 32x + 16?!Wennmanstattdessendaskomplett uber ussigeAusmultiplizierendesNennersseinlatundjedeGele-genheitzumK urzensofort nutzt,bekommtmanaufwesentlichschnelleremWegef

(x) = 3x 8(x + 2)3, f

(x) =6x + 18(x + 2)4.WeitereTips:Nutzen Sie beiZwischenergebnissen, wann immer es sich anbietet,die Moglichkeit zur Zwischenprobe, undzwaraufeinemanderenWege.WennSiesolcheanderenZugange gezieltsuchen,trainieren SiegleichzeitigIhrenDurchblickdurchdieMathematik,undaufdenkommtesjaan.GewohnenSiesichUberschlagsrechnungen imKopfan;SiewerdenschnellerseinalsderTaschenrechner.FormulierenSiemit Worten, wasSietunwollen, undschreibenSiedas dannauchhin. Es sollenkeineRomane sein, eine Anmerkung der FormSetze Gleichung () in () ein und lose nach yaufreicht vollig,tutWunderundbegl ucktdenLeser,weildieStrukturIhrerArbeitsichtbarwird.Viel Erfolg!Kapitel 1Grundlagen1.1 WiederholungausderSchulanalysis1.1.1 ReelleZahlenWirlisteneinigebekannteEigenschaftenderreellenZahlenauf:Seiena, b, c, d Rbeliebig.Dannhabenwir:KommutativitatderAddition: a +b = b +aAssoziativitatderAddition: (a +b) +c = a + (b +c)0istneutralesElementf urdieAddition: 0 +a = a + 0 = aSubtraktion: JedeGleichunga + x=b(mitgegebenema, b)istlosbar,dieLosungxwirdgeschriebenalsx = b a.KommutativitatderMultiplikation: ab = baAssoziativitatderMultiplikation: (ab)c = a(bc)1istneutralesElementf urdieMultiplikation: 1a = a1 = aDivision: JedeGleichungax=b(mit gegebenema, b; jedocha ,=0) ist losbar, dieLosungxwirdgeschriebenalsx = b/a.Distributivgesetz: AdditionundMultiplikationsindverzahnt gemaderRegel(a +b)c = ac +bc.Bemerkung1.1. Mansagt auch, dadie Mengeder reellenZahlen, gemeinsammit denOperationen(+, ), einenKorperbildet. WeitereBeispielefurKorpersinddierationalenZahlenoderdiegebrochen-rationalenFunktionen(alsoFunktionenderFormf= f(x) =p(x)q(x),wobeipundqPolynomesind).AuerdemhabenwirnocheineOrdnungsrelation ,mitfolgendenEigenschaften:Reexivitat: Esista a.Antisymmetrie: Wenna bundb a,dannista = b.Transitivitat: Wenna bundb c,dannaucha c.UnddieseOrdnungsstrukturistverzahnt mitderKorperstrukturauffolgendeWeise:AdditionvonUngleichungen: Wenna bundc d,dannistaucha +c b +d.MultiplikationvonUngleichungenmitnichtnegativenZahlen: Wenna bund0 c, dannistac bc.1112 KAPITEL1. GRUNDLAGENWarnung1.2. Mandarfzwar2Ungleichungenaddieren,abernichtvoneinanderabziehenoderdurchein-anderdividieren, odermitnegativenZahlenmultiplizieren.BekanntlichkannmandiereellenZahlenalsPunkteaufderZahlengeraden darstellen,undindieserFormwird der Abstand zweier reeller Zahlen a, b auf der Zahlengeraden gegeben durch [ab[. Insbesondere stellt[a[denAbstanddesPunktesavomUrsprungdar.DerBetraghatfolgende3Eigenschaften: Esiststets [a[ 0;und [a[ = 0genaudann,wenna = 0. Esist [ab[ = [a[[b[. WirhabendieDreiecksungleichung: [a +b[ [a[ +[b[.Bemerkung 1.3. Diese 3Eigenschaftenwerdenuns spater inanderenZusammenhangennochoftersbegegnen;wirwerdendannsagen,daeineNormvorliegt.1.1.2 FunktionenZueinerFunktionfgehorenzweiDinge: ein Denitionsbereich Df R. Wenn man den Denitionsbereich verandert (zum Beispiel verkleinert),dannerhaltmaneineandereFunktion. eineVorschrift,wiediexausdemDenitionsbereichindenWertebereichabgebildetwerden.Beispielef urFunktionensind: Polynome;derDenitionsbereichistganzR, gebrochen rationale Funktionen f= f(x) = g(x)/h(x) mit Polynomen g und h; der DenitionsbereichistR Nullstellenvonh, dieWinkelfunktionensinundcos, dieLogarithmusfunktionen (deniertaufR+).Eine wichtige Eigenschaft von Funktionen ist die Stetigkeit. Wenn wir sagen, da eine Funktion fim Punktex0stetigist,dannmeinenwirimwesentlichenfolgendes:Wir konnen den Abstand von f(x) und f(x0), das heit den Wert [f(x) f(x0)[, beliebig klein bekommen,wennwirdaf ursorgen, daderAbstandvonxundx0, also [x x0[, nurkleingenugist(einegenauereDenitionkommtspater).DieobengenanntenFunktionensindstetig uberalldort,wosiedeniertsind.Beispielef urUnstetigkeitensindSprungstellenoderPolstellen.EsgibtabernochweitereTypenvonUn-stetigkeiten.Eine weitere wichtige Eigenschaft einer Funktion ist die Dierenzierbarkeit. Anschaulich gesprochen, ist eineFunktionfimPunktex0 Dfdierenzierbar,wennderGraphderFunktionin(x0[f(x0))eineTangentehat,dienichtvertikalverlauft.DannkanndieseTangentealsGrapheinerlinearenFunktiont = t(x) = f(x0) +A(x x0), x R,interpretiert werden. Der Anstieg A dieser linearen Funktion heit Ableitung vonfinx0und wird geschrie-benalsA =dfdx(x0) oder A = f

(x0).Etwasexakterformuliert, ist dieFunktionf inx0dierenzierbargenaudann, wennderGrenzwertdesDierenzenquotientenvorhanden ist,dasheitlimxx0f(x) f(x0)x x0existiert.1.2. DIEKOMPLEXENZAHLEN 13DerWertdiesesGrenzwertesistdanngleichA.JededierenzierbareFunktioniststetig.Die meisten aus der Schule bekannten Funktionen (Polynome, gebrochen rationale Funktionen, Winkelfunk-tionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen)sind uberall dort, womansiesinnvoll denierenkann, dierenzierbar. DieWurzelfunktionenunddieBetragsfunktionf =f(x)= [x[ sindimNullpunktnicht dierenzierbar.Die Rechenregeln f ur die Ableitung (Produktregel, Kettenregel usw.) sowie die Formeln f ur die AbleitungenderelementarenFunktionenwollenwiralsbekanntvoraussetzen.WenndieAbleitungf

einerFunktionfstetigist,dannheitfstetigdierenzierbar. WenndiesestetigeAbleitungf

wiederumdierenzierbarist, dannnenntmanf zweimal dierenzierbar, unddieAbleitungvon f

wird mit f

bezeichnet. Wenn diese zweite Ableitung f

stetig sein sollte, dann nennen wir fzweimalstetigdierenzierbar, undsoweiter.WennsamtlicheAbleitungenexistierenundstetigsind,dannheitfunendlichoftdierenzierbar.JedestetigeFunktionist auchintegrierbar, dasheit, mankannbestimmteundunbestimmteIntegralebilden.Darunterverstehen wirdasfolgende:Sei das Intervall [a, b] im Denitionsbereich der stetigen Funktion fenthalten. Dann wird der FlacheninhaltderjenigenFlache,dievonderxAchse,demGraphenderFunktionfunddenGeradenx = aundx =beingegrenzt wird,alsbestimmtesIntegralvonf uberdemIntervall [a, b]bezeichnet:A =_baf(x)dx.Dies ist lediglich eine anschauliche Beschreibung, die f ur die ersten Zwecke jedoch ausreicht. Spater werdenwireineexakteDenitionnachreichen.DasunbestimmteIntegral_f(x)dxbezeichnetdieMengeallerderjenigenFunktionenF=F(x), derenAbleitungF

(x)gleichf(x)ist.SolcheFunktionenFheienStammfunktionen.Die Beziehung zwischen Dierenzieren und Integrieren wird durch den folgenden Satz hergestellt, der besagt,dajedesbestimmteIntegralmitvariablerobererGrenzeeineStammfunktionist.Satz 1.4(Hauptsatz der DierentialundIntegralrechnung). Sei f eine stetige Funktionund[a, b] Df.SeiF= F(x)dieFunktion,dieauf[a, b]deniertistunddurchF(x) =_xaf(t) dtgegebenwird.DannistFdierenzierbar, undesistF

(x) = f(x)furjedesx [a, b].1.2 DiekomplexenZahlen1.2.1 ZurEinstimmung: DieCardanischeFormelWirschauenunsdieGleichungx3+px +q = 0 (1.1)an.Hierbei sindpundqgegebenereelleZahlen,undwirsuchenreelleLosungenx. F ursolchekubischenGleichungengibteseinLosungsverfahren, dasnachGeronimoCardano(15011576)benanntist:SeiD = (p3)3+ (q2)2undw =3_q2+D.DannwirdeineLosunggegebendurchx1= w p3w.Durchnaivunbek ummertesEinsetzenkannmannachrechnen,dadieseZahlx1tatsachlicheineLosungvon(1.1)ist.WennmandieseLosungabdividiert,alsodiePolynomdivision (x3+px +q) : (x x1)durchf uhrt,kommtmanzueinemquadratischen PolynommitbiszuzweiNullstellenx2undx3.InsgesamthatdieGleichung(1.1)dannmaximal3Losungen x1,x2undx3.14 KAPITEL1. GRUNDLAGENWirprobieren diesesVerfahrenmalaneinemBeispielaus:x3+23x 2027= 0.Wirkommenauf D=108729undw=133_10 +108. DiesisteineirrationaleZahl, aberwennwirdarausdannx1berechnen,dannhebensichdieIrrationalitaten mysterioserweise herausundwirndenx1=23,was auch tatsachlich eine Losung der kubischen Gleichung ist, wie man durch eine Probe feststellt. Abdivi-dieren desLinearfaktors (x 23) f uhrtunszum quadratischen Polynom x2+23x +109 ,welcheskeine reellenNullstellenhat.AlsweiteresBeispielbetrachtenwirx363x + 162 = 0. (1.2)Dannistp = 63,q = 162,undf urwerhaltenwirw =3_81 +2700.UndhierergebensichmindestenszweiProbleme: wassoll2700 sein, wennwir eineDeutungvon2700gefundenhabensollten, was ist danndiedritte Wurzel aus81 +2700 ?Wir konnten uns jetzt auf den Standpunkt stellen, da diese Formeln keinen Sinn haben, und die Gleichung(1.2) eben keine einzige Losung hat. Aber verwirrenderweise gibt es Losungen, und zwar gleich drei, namlichdiereellenZahlen3,6und 9,wiemanleichtnachrechnet.CardanoundvieleseinerKollegenindennachfolgendenJahrhundertengewannendenEindruck,daesn utzlichseinkann,mitsolchenAusdr uckenzurechnen.Allerdingsgelangeslangenicht,TermederForm2700 zu interpretieren. Man meinte, da Quadratwurzeln aus negativen Zahlennur in der Einbildungexistieren, und bezeichnete solche Zahlen demzufolge als imaginareZahlen, im Gegensatz zu reellenZahlen,dieeineEntsprechunginderWirklichkeithaben.Drei Jahrhunderte spater, 1831 durchCarl Friedrich Gau (17771855) und 1837 durch William R.Hamilton(18051865), gelang es endlich, diese imaginaren Zahlen exakt und logisch sauber einzuf uhren.Dassolltenwirjetztauchtun.1.2.2 DiekomplexenZahlenDenition1.5. UntereinerkomplexenZahl1zverstehenwireingeordnetesPaar(x, y) R2. Wirbe-zeichnenxals Realteil2undyals Imaginarteil3derkomplexenZahl z= (x, y);dafurschreibenwir:x = 'z, y= z.DieMengeallerkomplexenZahlenwirdmitCbezeichnet.Wirsagen,dazwei komplexeZahlenz=(x, y)undw=(u, v)gleichsind, wennsieinihrenRealteilenbzw.Imaginarteilen ubereinstimmen,dasheitx = uundy= v.KomplexeZahlenkannmanaddierenundmultiplizieren,undzwarwiefolgt:Denition1.6. Seienz= (x, y)undw = (u, v)komplexeZahlen.DanndenierenwirdieSummez +wunddasProduktzwalsz +w = (x +u, y +v), zw = (xu yv, xv +yu).1aufEnglisch:complexnumber2realpart3imaginarypart1.2. DIEKOMPLEXENZAHLEN 15Wirvermerken kurz,da(0, 1)(0, 1) = (1, 0).Lemma1.7. AdditionundMultiplikationkomplexerZahlensindkommutativundassoziativ. AuerdemgiltdasDistributivgesetz.Die komplexe Zahl(0, 0) istneutrales Elementfur dieAddition,und diekomplexeZahl (1, 0)istneutralesElementfurdieMultiplikation.BeweisalsUbungsaufgabe.Esistklar, wiemandieSubtraktionalsUmkehroperationzurAdditiondeniert: namlichkomponenten-weise.Es fehlt uns blo noch die Division, um zu zeigen, da die komplexen Zahlen ebenfalls einen Korper bilden,siehe auch Bemerkung 1.1. Wir verschieben die Denition der Division f ur einen Moment. Zunachst schauenwirunsdiejenigenkomplexenZahlenetwasgenaueran,derenzweiteKomponenteNullist:Lemma1.8. Esist(x, 0) + (u, 0) = (x +u, 0) und (x, 0)(u, 0) = (xu, 0).BeweisalsUbungsaufgabe.Wir beobachten, da die komplexen Zahlen mit verschwindender zweiter Komponente sich wie reelle Zahlenverhalten.Anstellevon(x, 0)konntenwirinZukunfteinfachxschreiben.JedereelleZahl kannalskomplexeZahl interpretiertwerden.Wirdenieren:Denition1.9. DiekomplexeZahl (0, 1)wirdals imaginareEinheit4ibezeichnet,i := (0, 1).Dannrechnetmannach,daz= (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0).InunsererneuenSchreibweiselautetdasz= x + iy.DieFormel(0, 1)(0, 1) = (1, 0) kannmanalsoauchschreibenalsii = 1.Und,allgemeiner,dieFormelnf urdieAdditionundMultiplikationlauteninderneuenSchreibweise:z +w = (x + iy) + (u + iv) = (x +u) + i(y +v),zw = (x + iy)(u + iv) = (xu yv) + i(xv +yu).Wirrechnenalsowiegewohnt,undbeachtendabeilediglichdieSonderregeli2= 1.BevorwirzurDivisionkommen,brauchen wirnoch2Begrie:Denition1.10. Seiz= (x, y) CeinekomplexeZahl.Dannheitz= (x, y) = x iydiekomplexkonjugierteZahl5zuz,und[z[ =_x2+y2heit Betrag6vonz.Manzeigtschnell,dadiefolgendenRechenregeln gelten:4imaginaryunit5complexconjugate6absolutevalue16 KAPITEL1. GRUNDLAGENSatz1.11. Seienz= (x, y)undw = (u, v)komplexeZahlen.Danngilt:z +w = z +w,zw = zw,z= z,zz= ([z[2, 0).In Worten zusammengefat: es ist egal, ob wir zuerst konjugieren und dann addieren (multiplizieren), oderumgekehrt.DiesebeidenRegelnkonnenwirauchalskommutativeDiagrammeveranschaulichen:(z, w)? (z, w)_+_+z +w ?z +w= z +w(z, w)? (z, w)__zw ?zw= zwDas Fragezeichenist dabei als Platzhalter zumEinsetzenzulesen. Wir bezeichneneinDiagrammalskommutativ,wennjederPfadvonderEckelinksobenzurEckerechtsuntendasgleicheErgebnisliefert.DieletzteRegelinSatz1.11bedeutet,dadasProdukt auseinerkomplexenZahlundihrerKonjugiertenstetsreellist.Satz1.12. DieBetragsfunktionerfulltdieEigenschafteneinerNorm(sieheBemerkung1.3).Dasheit:[z[ 0; [z[ = 0genaudann,wennz= (0, 0),[zw[ = [z[[w[,[z +w[ [z[ +[w[.Beweis.Ubungsaufgabe.DieersteunddieletztedieserEigenschaftensindgeometrischunmittelbareinsichtig, wennmansichdiekomplexenZahlen(diejageordnetePaarereellerZahlensind) alsVektoreninderEbenevorstellt. DerBetrageinerkomplexenZahlistnichtsanderesalsdiegeometrischeLangedeszugeordnetenVektors.NunzurDivision. GegebensindzweikomplexeZahlenw=u + ivundr=p + iq, undgesuchtistderenQuotientz= x + iy,alsosollgeltenrz= w.Wirmultiplizierenmitr:rw = r(rz) = (rr)z= [r[2 z= [r[2 (x + iy) = [r[2x + i([r[2y).Jetztnutzenwiraus,dawiraufderlinkenSeiteeinebekanntekomplexeZahlstehenhaben:rw = (p iq)(u + iv) = (pu +qv) + i(pv qu).Wirvergleichen RealundImaginarteil:x =pu +qv[r[2, y=pv qu[r[2.DasGanzewirdvielleichtetwaseinsichtigerinfolgenderSchreibweise:z=wr=u + ivp + iq=(u + iv)(p iq)(p + iq)(p iq)=(pu +qv) + i(pv qu)p2+q2=pu +qvp2+q2+ ipv qup2+q2 .Damit habenwir gezeigt, dadie Mengeder komplexenZahlen, zusammenmit der AdditionundderMultiplikation einen Korper bildet, was nichts anderes heit, da wir mit den 4 Grundrechenarten umgehenkonnen,wiewiresgewohnt sind.1.2. DIEKOMPLEXENZAHLEN 17Leider istesnicht moglich,aufCeineOrdnungsrelation zudenieren,diesich mitdenRechenoperationenvertragt (warum?).Wirwendenunsnunnochmal dergeometrischenVeranschaulichungderkomplexenZahlenalsVektoren(bzw. Punkte) der zweidimensionalen Ebene zu. Wir bezeichnen die horizontale Achse als reelleAchse, unddievertikaleAchsealsimaginareAchse. DurchHinschauenstellenwirdannfest, daf urjedekomplexeZahlz ,= 0gilt:'z= [z[ cos , z= [z[ sin.HierbeibezeichnetdenWinkelzwischendempositivenTeilderreellenAchseunddemVektor,derzuzgehort. (AbjetztwollenwirmeistensnichtmehrunterscheidenzwischeneinerkomplexenZahl unddemVektor, derdiesekomplexeZahl geometrischveranschaulicht.)DieserWinkel wirdauchalsArgumentvonzbezeichnet.WaspassiertbeiAdditionundMultiplikation?Mansiehtschnell,dadieAdditionkomplexerZahlendergewohnlichenVektoradditionentspricht.F urdieMultiplikationbetrachtenwirzweikomplexeZahlenz= x + iy= [z[(cos + i sin ), w = u + iv = [w[(cos + i sin ),underhalten:zw = [z[(cos + i sin )[w[(cos + i sin )= [z[[w[((cos cos sin sin ) + i(cos sin + sincos ))= [z[[w[(cos( +) + i sin( +)).DasProduktvonzundwistalsoeinekomplexeZahl,derenBetraggleichdemProduktderBetragevonzundwist;unddasArgumentvonzwistgleichderSummederArgumentevonzundw.DieMultiplikationkomplexerZahlenentsprichteinerDrehstreckung.Interessant istnochderFallz= w,dannhabenwirz2= [z[2(cos(2) + i sin(2)), wennz= [z[(cos + i sin ).Mittels vollstandiger Induktion bekommen wir die sogenannte Formel von Moivre (Abrahamde Moivre,16671754):zn= [z[n(cos(n) + i sin(n)), wennz= [z[(cos + i sin )undn N.1.2.3 FunktionenkomplexerZahlenGenausowiemanFunktionenvon reellenVariablendenierenunduntersuchenkann,kannmandiesauchmitFunktionenvonkomplexenZahlentun.EinfacheBeispielef ursolcheFunktionensindPolynome,P(z) = anzn+an1zn1+ +a1z +a0, n N,mitKoezientenaj CundDenitionsbereichC.Ein anderes und sehr wichtiges Beispiel ist die komplexe Exponentialfunktion. Bekanntlich erf ullt dieherkommlicheExponentialfunktiondieBeziehungenex1+x2= ex1 ex2, ex1=1ex1, e0= 1f urbeliebigereellex1, x2 R.Denition1.13. Seiz= x + iy CeinekomplexeZahl.Danndenierenwirez= ex+iy:= ex(cos y + i siny).DiesekomplexwertigeFunktionmitDenitionsbereichCheit komplexeExponentialfunktion.18 KAPITEL1. GRUNDLAGENSpaterwerden wireineandereDenitionbevorzugen.Satz1.14. DiekomplexeExponentialfunktionhatdiefolgendenEigenschaften:e0= 1,ez+w= ez ew, z, w C,ez=1ez, z C.Beweis. Wirhabene0= e0+i0= e0(cos 0 + i sin 0) = 1(1 + 0) = 1.Seiennunz= x + iyundw = u + iv.Dannisteinerseitsez+w= e(x+u)+i(y+v)= ex+u(cos(y +v) + i sin(y +v)),andererseits,wegenderAdditionstheoremef urdieSinus-undKosinusfunktionen,ez ew= ex(cos y + i siny)eu(cos v + i sin v)= ex+u((cos y cos v sin y sinv) + i(cos y sin v + siny cos v))= ex+u(cos(y +v) + i sin(y +v)).Alsoistez+w= ez ew.UnddiedritteBeziehungbeweistsichjetztfastvonselbst:1 = e0= ez+(z)= ez ez.Wenn wir annehmen, da zden Realteil Null hat (also eine sogenannte reinimaginareZahl ist), dann folgtdieBeziehungeiy= cos y + i sin y.Fallswirhiery= setzen,entstehtdieber uhmteGleichungei+ 1 = 0,diesamtlichef unff urdenPhysikerunverzichtbaren ZahlenineinerZeilevereinigt.UndwennzdenImaginarteilNullhat(alsoreellist),dannerhaltenwirauscos 0 = 1undsin 0 = 0,daez= ex.AlsostimmtdieneudeniertekomplexeExponentialfunktion mitderherkommlichen reellen Exponential-funktion uberein,wenndasArgumentderkomplexenExponentialfunktionzufalligerweisereellist.F ur eine komplexe Zahl z =x +iy mit Betrag [z[ undArgument habenwir jetzt drei aquivalenteSchreibweisenz= x + iy,z= [z[(cos + i sin ),z= [z[ei,diewirimFolgendengleichberechtigt verwendenwerden.NunzudenWinkelfunktionen.Wirkonnen dieWinkelfunktionenimReellen mittelsderExponentialfunk-tionausdr ucken:Satz1.15. Sei R.Danngiltcos =12(ei+ei), sin =12i(eiei).1.2. DIEKOMPLEXENZAHLEN 19Beweis. Wirhabenei= cos + i sin , ei= cos() + i sin() = cos i sin,denndieKosinusfunktionistgerade,unddieSinusfunktionistungerade.JetztbrauchenwirdiesebeidenGleichungenblozueinanderaddierenbzw.voneinanderabziehen,undderBeweisistvollendet.DamitkonnenwirjetztauchWinkelfunktionenf urkomplexeZahlenerklaren:Denition1.16. Furz Cdenierenwirsinzundcos zdurchsin z=12i(eizeiz), cos z=12(eiz+eiz).FallszindieserDenitionreellseinsollte,erhaltenwirgenaudieherkommlichenWinkelfunktionen.WirhabenalsodieseWinkelfunktionenvonderMengederreellenZahlenindieMengederkomplexenZahlenfortgesetzt. Wir konnten noch weitere Funktionen von den reellen Zahlen in die komplexen Zahlen fortsetzen,verschieben dasaberaufeinspateresKapitel.Stattdessenwollenwiruns uberlegen,welcheEigenschaftenFunktionenhabenkonnten.ZumBeispiel konnteeineFunktionw: C Cstetigsein. Was heit das ?Wir konnendieStetigkeitgenausodenierenwiebeiFunktionenw:R R.InWortenausgedr uckt,istdieStetigkeitderFunktionw :C CimPunktez0 Cfolgendermaen deniert:Wirkonnenerzwingen, daderWert [w(z) w(z0)[ beliebigkleinwird, wennwirnurdaf ursorgen,da[z z0[kleingenugist.HierbeibedeutendieBetragsstriche nat urlichdenkomplexenBetrag.DiebisherbetrachtetenFunktionen(Polynome,komplexeExponentialfunktion, komplexeWinkelfunktio-nen)sindallesamt inganzCstetig.EineweitereinteressanteEigenschafteinerFunktionistdieDierenzierbarkeit.Hierbei m ussenwiraller-dingsetwasaufpassenundzweiFalleunterscheiden. Funktionenw : R C, Funktionenw : C C.Im ersten Fall konnen wir uns vorstellen, da die Funktion wauf einem Intervall [a, b] R deniert ist, wirkonnenalsoschreibenw = w(t) = u(t) + iv(t), t [a, b].NaheliegenderweisewirdmandieAbleitungw

(t)komponentenweisedenierenwollen:w

(t) := u

(t) + iv

(t), t [a, b].Hierbei haben wir stillschweigend angenommen, da die reellwertigenFunktion u, v : [a, b] RimherkommlichenSinnedierenzierbarsind.Im zweiten Fallhaben wires mit einer Funktion w = w(z) zu tun,wobei jetztzaus ganzCstammen darf.Wennwirw = u + ivundz= x + iyschreiben,habenwirw(z) = u(x + iy) + iv(x + iy), x + iy C,undwirdenierendieAbleitungalsGrenzwert derDierenzenquotienten.Undzwar:WennderGrenzwertlimzz0w(z) w(z0)z z0, z C,existiert, dannsagenwir, dadieFunktionw: C CimPunktez0 Cdierenzierbarist, undsetzenw

(z0) gleichdiesemGrenzwert. Wir verlangendabei, daz auf beliebigemWege gegenz0laufendarf(z.B.entlangeinerheftigverknotetenKurve);undjedesmalsollderGrenzwertdesDierenzenquotientendenselbenWerthaben.20 KAPITEL1. GRUNDLAGENWarnung1.17. DieAbleitungistjetzteinekomplexeZahl,undesistnurschwermoglich, denWertderAbleitungingewohnterFormalsAnstiegderTangentezuinterpretieren.DieseAbleitunghatgenaudiegleichenEigenschaften wiedieherkommlicheAbleitungreellwertigerFunk-tionen:Satz1.18. Seienw = w(z)undr = r(z)dierenzierbareFunktionenvonCnachC.Danngilt:(w +r)

(z) = w

(z) +r

(z), z C,(cw)

(z) = cw

(z), z C, c C,(wr)

(z) = w

(z)r(z) +w(z)r

(z), z C,_wr_

(z) =w

(z)r(z) w(z)r

(z)r(z)2, z C, r(z) ,= 0,w(r(z))

= w

(r(z))r

(z), z C.DieBeweise dieser Formeln verlaufen genauso wieim reellen Fall.Diesist deshalb moglich,weil diereellenZahlen genauso wie die komplexen Zahlen einen Korper bilden; mit anderen Worten, da die Grundrechen-artendenselbenRegelngen ugen.Genauso wieim reellen Fallkann man nachweisen, da jededierenzierbare Funktion w :C C stetigist.Auerdemsinddieobenvorgestellten Funktionendierenzierbar,undesist(zn)

= nzn1, z C, n N = 1, 2, . . . ,(ez)

= ez, z C,sin

(z) = cos(z), z C,cos

(z) = sin(z), z C.Warnung1.19. LeidergibtesFunktionen,diewunderbarharmlosausschauen,abernichtdierenzierbarsind. EinBeispiel einersolchenFunktionist w=w(z)= [z[2. DieseFunktionist lediglichimUrsprungdierenzierbar,undsonstnirgendwo.Seiz.B.z0= 1 +2i.Wennwirzeinmalhorizontalgegenz0schickenundeinmalvertikal,bekommenwirfurdenGrenzwertdesDierenzenquotientenzweiverschiedeneWerte,wiemanschnell nachrechnet.DeshalbistwimPunktez0= 1 + 2inichtdierenzierbar. WirmusseneinegenauereBetrachtungderkomplexenDierentialrechnungaufspaterverschieben.1.2.4 Ausblick: ElektrotechnikHier ergibt sicheinkleines Problemmit denSchreibweisen: inder Elektrotechnikbezeichnet mandieStromstarkemitibzw.I,weshalb wirf urdieimaginareEinheitindiesemAbschnittjschreiben,j2= 1.EinenelektrischenWechselstrommitAmplitudeim, Kreisfrequenz=2f undPhasenverschiebungikonnenwirausdr ucken alsi(t) = imcos(t +i), im> 0, > 0, i R, t R.Wennwirf urdensogenanntenEektivwert derStromstarkeIschreiben,I= im/2,dannerhaltenwiri(t) = '_2Iejiejt_.Der AusdruckIejiist einekomplexeZahl, dienicht vonder Zeit t abhangt. UmdieSchreibweisezuvereinfachen,f uhrenwirdenkomplexenEektivwert ein:I= Iejiundesfolgti(t) =2'_Iejt_.Genausoverfahren wirmitderSpannung:u(t) = umcos(t +u), um> 0, > 0, u R, t R,U= um/2, U= Ueju,u(t) =2'_Uejt_.1.2. DIEKOMPLEXENZAHLEN 21DiekomplexenZahlenIejtundUejtdrehensichinderkomplexenEbeneimGegenuhrzeigersinn,wenntwachst;unddieRadienderKreisbahnensindIbzw.U.F ureinenUmlaufbrauchendieseVektorendieZeit1/f,sowiemaneserwartet.DerWinkelzwischendenVektorenIejtundUejtistimmergleich,namlichi u.DiesistgenaudiePhasenverschiebung zwischenStromstarkeundSpannung.Spannung und Stromstarke stehen zueinander in Beziehung uber den Widerstand. Wir haben die folgenden3Falle:OhmscherWiderstand: U= RI,R R,Spule(induktiverWiderstand): U= jLI,L R,Kondensator(kapazitiverWiderstand): U= j1CI,C R.Nunf uhrenwirdenkomplexenScheinwiderstandein:Z=UI.Mitdiesem Scheinwiderstand konnen wirgenauso rechnen wiemitohmschen Widerstanden:beieinerRei-henschaltung addieren sich die Scheinwiderstande, bei einer Parallelschaltung addieren sich die ReziprokenderWiderstande.F urdieSchaltunginAbbildung1.1habenwirzumBeispielZ=11R1j/(C1)+1R2+jLj1C2.WennmandenScheinwiderstandZinderFormZ= R + jX, R, X R,schreibt,dannheitR = 'ZderWirkwiderstandundX= ZderBlindwiderstandderSchaltung.R_1 C_1C_2L R_2Abbildung1.1:ElektrischeSchaltung1.2.5 Ausblick: MechanikEine ebene Welle,die sich im Ortsraum R3ausbreitet, wird haug modelliert mittelsFunktionen der Form(t, x) ei(kxt).Hierbeibenennent Rundx R3dieVariablenf urZeitundOrt,ihreEinheitensindnat urlichSekundeundMeter.Weiterhinistk = (k1, k2, k3)einVektor,dersenkrecht aufdenWellenfrontenstehtundinderPhysik Wellenzahlvektorgenannt wird. Seine Einheit ist1Meter. Das Produkt kx ist zu verstehen als k1x1 +k2x2+k3x3. Und (omega) heit oft Kreisfrequenzmit der Einheit1Sekunde. Schlielich ist nat urlich i2= 1.DerZusammenhang zwischen allen diesen Parametern istc =|k|,wobeicdieAusbreitungsgeschwindigkeitderWelleist.Man uberlegesich,warumdiestatsachlich eineBeschreibungvonebenenWellenimR3liefert!22 KAPITEL1. GRUNDLAGEN1.3 DieEbeneundderR21.3.1 AllgemeineEigenschaftenWirstartenmiteinigenBegrien,diebekanntseinsollten:Ebene: genauer gesagt, dieMengeder Ortsvektorender (zweidimensionalen) Ebene. Achtung: dies istnichtdasselbewiederR2!R2: dieMengeallergeordnetenPaare (x, y)mitx, y R.Ortsvektor: einVektor(Pfeil),derimUrsprunganfangt.AdditionvonOrtsvektoren: ergibtwiedereinenOrtsvektor.MultiplikationeinesOrtsvektorsmiteinerreellenZahl: ergibtwiedereinenOrtsvektor.KartesischesKoordinatensystem: bestehtauszwei Koordinatenachsen,diesichimUrsprungschnei-den(undzwarrechtwinklig),undjeeinemEinheitsvektorproAchse.DiesebeidenEinheitsvektorensindgleichlang.Wichtigist,sichfolgendesklarzumachen:DieAdditionzweierVektorenunddieMultiplikationeinesVektorsmiteinerreellenZahl kannmanreingeometrisch denieren,volligohnedenBegrieinesKoordinatensystems!DerfolgendeSatzistdannschnellbeweisbar:Satz1.20. SeiV dieMengederOrtsvektorenderEbene.Weiterhinseien+ :V V V, :R V VdiegeometrischdeniertenOperationenAdditionzweierVektorenundMultiplikationeinesVektorsmiteiner reellenZahl. Dannhabenwir diefolgendenEigenschaftenfuralleVektorenx, y, z V undallereellenZahlen, R:KommutativitatderAddition: x +y= y +xAssoziativitatderAddition: (x +y) +z= x + (y +z)

0istneutralesElementderAddition:

0 +x = x +

0 = xSubtraktion: Jede Gleichung a+x = b(mit gegebenema, b V ) ist losbar,dieLosung x wird geschriebenalsx = b a.AssoziativitatderMultiplikation: ()x = (x)1istneutralesElementderMultiplikation: 1x = xZwei Distributivgesetze: AdditionundMultiplikationsindverzahnt gemader Regeln( + )x=x +xund(x +y) = x +y.Bemerkung1.21. Wirsagenauch,da(V, +, )einenVektorraum7 uberRbildet.Es gibt einen Zusammenhang zwischen der zweidimensionalen Ebene und dem R2, der durch ein Koordina-tensystemvermitteltwird: BekanntlichkannmanjedenOrtsvektorderEbenealsLinearkombinationderBasisvektorendesKoordinatensystemsdarstellen. DieKoezientendieserLinearkombinationsindreelleZahlen,bildenalsogeradeeingeordnetesPaar,alsoeinElementausdemR2.AllerdingshabenwireinigeFreiheitenbei derWahl desKoordinatensystems.Esistzwar ublich, dadieeineKoordinatenachsenachrechtszeigtunddieanderenachoben,aberdasistkeineswegszwingend.DieKoordinatenachsenkonntenauchgespiegeltseinoderschief liegen. UndwenndasKoordinatensy-stem(oder, praziser, dieMengeder Basisvektoren) anders gewahlt werden, dannandernsichauchdieKoezienteneinesVektorsbez uglichdesjeweiligenKoordinatensystems.7vectorspace1.3. DIEEBENEUNDDERR223DieKoezienteneinesVektorshangenvondergewahltenBasisab!Im Folgenden haben wir uns f ur ein Koordinatensystem (also eine Basis) entschieden, das wir vorerst nichtmehrandern,unddessenBasisvektorene1 V unde2 V seien. DannkonnenwirjedenVektorx Vschreibenalsx = 1e1 +2e2, i R.Auf diesemWegebekommenwir eineAbbildungvonV indenR2, diejedes x V abbildet auf seineKoordinaten_12_ R2.(WennwireineandereBasis(e1, e2))gewahlthatten,dannsahedieseAbbildungandersaus.)DieKoordinatenvone1bez uglichderBasis(e1, e2)sindzumBeispiel_10_, dieKoordinatenvone2sind_01_.Wenn wir die geometrisch denierten Rechenoperationen auf den R2 ubertragen, kommen wir zur folgendenDenition:Denition1.22. DerR2istdeniertalsMengegeordneterPaarereellerZahlen:R2=__12_:i R_.DasPaar_00_wirdmit 0bezeichnet; auerdemsetzenwire1=_10_unde2=_01_. Danndenierenwir2Operationen:+ :R2R2R2,_12_+_12_:=_1 +12 +2_, :R R2R2, _12_:=_12_.Wirstellenschnellfest:Satz1.23. DerR2hatzusammenmitdenOperationen+unddieEigenschaftenausSatz1.20,istalsoeinVektorraumuberR.Abjetzt werdenwir dengeometrischdeniertenVektorraumder Ortsvektoreninder Ebene einerseitsund denR2andererseits synonym gebrauchen, wobeiwirimHinterkopf behalten,da diejenigeAbbildungzwischen VundR2,diejedemVektorseineKoordinaten zuordnet,von dergewahlten Basis inVabhangt.Geometrischistklar, daeszwischen2OrtsvektoreneinenWinkel gibt(essei denn, einerderVektorenware der Nullvektor), und da jeder Ortsvektor eine Lange hat. Wenn ein Ortsvektor x gegeben wird durchx = 1e1 +2e2,dannbetragtseineLange[x[ =_21 +22.WennwirdenWinkelzwischendemVektorxunddere1Achsetaufen,dannist1= [x[ cos , 2= [x[ sin .NunbetrachtenwirnocheinenweiterenVektorymitKoordinaten_12_undWinkelzure1Achse.DerWinkel (x, y)istdanngerade = ,undausdemAdditionstheoremf urdenCosinuserhaltenwircos = cos( ) = cos cos + sin sin =1[x[ 1[y[+2[x[ 2[y[.IndenZahlernderBr ucherechtsentdeckenwirdasbekannteSkalarprodukt imR2:Denition1.24. Furx =_12_ R2undy=_12_ R2denierenwirdasSkalarproduktxy Ralsxy = 1 1 +2 2.DafurschreibenwirinZukunftauch x, y).24 KAPITEL1. GRUNDLAGENDamithabenwirdanncos (x, y) =x, y)[x[[y[,falls keiner der Vektoren x, y gleich dem Nullvektor ist (ansonsten w urden wir durch Null dividieren). WennabereinerderVektorenx,ygleich0ware,danngabeesauchkeinenWinkelzwischenxundy.Bemerkung1.25. IndieBerechnungdesSkalarprodukts x, y)undderLangen [x[, [y[ gehendieKoor-dinaten1, 2, 1, 2ein. DieseKoordinatenhangenvomgewahltenKoordinatensystemab, alsovondergewahltenBasis(e1, e2). WennwireineandereBasisgewahlt hatten, zumBeispiel (e

1, e

2), dannhattenwirandereKoordinaten

1,

2,

1,

2bekommen.ObwohldiesandereKoordinatensind,bekommenwirfurcos (x, y)amEndedenselbenWert ! Dasist geometrischauchunmittelbareinsichtig. Hierbei habenwirstillschweigendvorausgesetzt,dadieVektorene1, e2aufeinandersenkrechtstehenundjeweilsdieLange1haben;unddaentsprechendesauchfure

1, e

2gilt.Satz1.26. DasSkalarprodukt, ) :R2R2RbesitztdiefolgendenEigenschaftenfuralleVektorenx, y, z R2undSkalare R:x, y) = y, x) ,x, y +z) = x, y) +x, z) ,x, y) = x, y) ,x, x) 0 und x, x) = 0genaudann,wennx = 0.Beweis. BeweisdurchNachrechnen ausDenition1.24.WeildasSkalarprodukt x, x)einesVektorsxmitsichselbstnienegativist,latsichdieWurzelziehen:Denition1.27. Furx R2erklarenwirdieLange(Betrag,Norm)vermoge[x[ :=_x, x).Satz1.28(UngleichungvonCauchySchwarz8). Seienx, y R2zweiVektoren.Danngilt[ x, y) [ [x[[y[.DasGleichheitszeichengiltgenaudann,wenndieVektorenxundyparallel sind.Beweis. GeometrischistdieSacheklar:wirhaben 1 cos (x, y) 1,unddeshalb [x[[y[ x, y) [x[[y[. Aber f ur spatere Zwecke ist es n utzlich, einen Beweis zu haben, der ohne Appelle an das geometrischeVorstellungsvermogen auskommtundstattdessennurSatz1.26ausnutzt.Seiennunalsox, y R2festgewahlt,undseiweiterhin Rbeliebig.Dannhabenwir0 x +y, x +y) ,wassichausmultiplizierenlatwiefolgt:0 x +y, x) +x +y, y)= x, x +y) +y, x +y) = x, x) +x, y) +y, x) +y, y)= x, x) +y, x) +y, x) +y, y) = x, x) +y, x) +y, x) +y, y)= x, x) + 2y, x) +2y, y) = [x[2+ 2x, y) +2[y[2.Wir konnenannehmen, day ,=

0ist, weil ansonstendieUngleichungtrivialerweisegilt (wir bekamen0 0).Dannistaber [y[2,= 0,undwird urfendividieren:0 [x[2[y[2+2 x, y)[y[2 +2.8AugustinLouisCauchy(17891857),HermannAmandusSchwarz(18431921)1.3. DIEEBENEUNDDERR225Nunsindxundyfest,abervariabel.DierechteSeiteistalsoeinequadratischeFunktionin:P() = [x[2[y[2+2 x, y)[y[2 +2,vonderwirwissen, dasieniemalsnegativeWerteannehmenkann. Alsoist dieDiskriminantederzu-gehorigen quadratischen Gleichung 0:_x, y)[y[2_2 [x[2[y[2 0,woraus diegew unschteUngleichungsofort folgt.Wenn in der CauchySchwarzUngleichung das Gleichheitszeichen eintritt, dann ist die Diskriminante gleich0,alsogibtesein Rmit x +y, x +y)=0,alsogiltf urdiesesdieBeziehungx + y= 0. Dannsindaberxundyparallel.DieUmkehrungdieserAussagegiltauch,wiemanschnellsieht.Manbeachte,dawirnirgendsbenutzthatten, daxundyVektorenausdemR2sind.DerselbeBeweisgiltauchimR3oderRn.Satz1.29. DieNormausDenition1.27erfulltdiefolgendendreiEigenschaften,furalleVektorenx, y R2undalleSkalare R:[x[ 0 und [x[ = 0genaudann,wennx = 0,[x[ = [[[x[,[x +y[ [x[ +[y[.Beweis. Wirbenutzennurdie4Eigenschaften ausSatz1.26,aberkeinerleigeometrischeInterpretation:Wegen 0ist [x[ 0.Wenn [x[ = 0seinsollte,dannmu x, x) = 0sein,unddasgehtnurf urx = 0.Weiterhinist[x[ =_x, x) =_x, x) =_x, x) =_x, x) = [[_x, x) = [[[x[.Undschlielich habenwir,wennwirdieUngleichungvonCauchySchwarz zitieren,[x +y[2= x +y, x +y) = x +y, x) +x +y, y) = x, x +y) +y, x +y)= x, x) +x, y) +y, x) +y, y) = [x[2+ 2 x, y) +[y[2 [x[2+ 2[x[[y[ +[y[2= ([x[ +[y[)2.Nunist [x +y[nienegativ,alsod urfenwirdieWurzelziehenunderhalten [x + y[ [x[ +[y[.DiefolgendenEigenschaftenkonnenaufahnlichemWegeleichtgezeigt werden:Satz1.30. Seienx, y R2beliebigeVektoren.Danngilt:[x y[2= [x[2+[y[22 x, y) ,[x +y[2+[x y[2= 2_[x[2+[y[2_,x, y) = 0 [x +y[2= [x[2+[y[2.GeometrischeInterpretationendavon zusuchenisteinelehrreicheUbungsaufgabe.Bemerkung1.31. Seiena R2und Rgegeben. Wirsuchen einen Vektor x R2mit a, x) = . Manstellt schnell fest, da es keine eindeutige Losung geben kann: Denn ausgeschrieben haben wir a1x1+a2x2=undsomitzwei Unbekannte,aberlediglicheineGleichung. UndtatsachlichkonnenwirzueinerLosungxeinenbeliebigenVektoraddieren,deraufasenkrechtstehtundbekommensoeineweitereLosung.EsgibtkeineDivisionalsUmkehroperationdesSkalarprodukts.26 KAPITEL1. GRUNDLAGEN1.3.2 DrehungenLiteratur: GreinerundM uller:Quantenmechanik.Symmetrien. KapitelI.8:RotationenundihreGrup-peneigenschaftenWirstellenunsfolgendesProblem:IneinerEbeneseidurchdieEinheitsvektorene1unde2einkartesischesKoordinatensystemgegeben.EinVektorxhabebez uglichdiesesKoordinatensystems dieKoordinaten_12_,alsox = 1e1 +2e2.WirwollendenVektorxumdenUrsprungdrehen, undzwarumdenWinkel imGegenuhrzeigersinn.DasBildvonxseix

;wassinddieKoordinatenvon x

?Oensichtlichkonnenwirmitgesuchten

jschreiben:x

=

1e1 +

2e2.Um diese

jzu bestimmen,gehen wir einen Umweg: Wir drehen dieVektoren e1und e2um den Ursprung,mitdemWinkel.DieBildvektorenseiene

1unde

2.Dannistgeometrisch glaubbar,dax

= 1e

1 +2e

2,dasheit,derBildvektorx

hatindergedrehten Basis(e

1, e

2)geradediealtenKoordinaten_12_.NunistanhandeinerSkizzeplausibel,dae

1= cos e1 + sin e2, e

2= sin e1 + cos e2.Insgesamtergibtsichdamitx

=

1e1 +

2e2= 1(cos e1 + sin e2) +2(sine1 + cos e2)= (1 cos 2 sin )e1 + (1 sin +2 cos )e2,nacheinemKoezientenvergleich (denwirspaterrechtfertigenwerden)also

1= cos 1sin 2,

2= sin 1 + sin 2.WirschreibendiesezweiGleichungenalseineVektorgleichung:_

1

2_= 1_cos sin_+2_sin cos _.Umdiesnochetwasanderszuschreiben,f uhrenwireineneueNotationein:EinSchemaderFormA =_a11a12a21a22_, aij R,heit2 2MatrixreellerZahlen,f urdiewireineOperationMatrixmal SpaltenvektorergibtSpaltenvektorgema_a11a12a21a22__12_:=_a111 +a122a211 +a222_= 1_a11a21_+2_a12a22_denieren.Damitkonnenwirinsgesamt schreiben:x

=_

1

2_=_cos sinsin cos __12_= R()x.1.3. DIEEBENEUNDDERR227Denition1.32. DieMatrixR() =_cos sinsin cos _, R,heit DrehmatrixzumWinkel.Was passiert, wennwir f ur xeinender Basisvektorene1=_10_, e2=_01_einsetzen?Als Bildvektorenerhaltenwirdann_cos sinsin cos __10_=_cos sin _= e

1beziehungsweise_cos sinsin cos __01_=_sincos _= e

2,unddassindgeradedieSpaltenderDrehmatrixR().DieSpaltenderDrehmatrixsinddieKoordinatenderBilderderBasisvektoren.AlsNachstesbetrachtenwir2Drehungen: zuerstdrehenwirxumdenWinkel underhaltenx

. Danndrehenwirx

umdenWinkelunderhaltenx

.Wiekonnenwirx

direktausxbestimmen?Wirhabenalsox

= R()x, x

= R()x

, (1.3)undgeometrisch istauchklar,dax

= R( +)x.DieAdditionstheoremederWinkelfunktionenliefernunsR( +) =_cos cos sin sin sincos cos sinsin cos + cos sin cos cos sinsin _.AndererseitskonnenwirdiebeidenGleichungen(1.3)auchineinandereinsetzen:x

= R()x

= R()(R()x).Man beachte die Reihenfolge der Multiplikationen auf der rechten Seite: erst wird die Matrix R() mit demSpaltenvektorxmultipliziert, waswiedereinenSpaltenvektorliefert. DieserwirddannineinemzweitenSchrittvonlinksmitR()multipliziert,undwirerhaltenx

.ImSinneeinesAssoziativgesetzes wollenwirnundieKlammernumsetzen:x

???=(R()R())x.Hierbeim utenwirabernocherklaren,wasdasProduktzweierMatrizenR()undR()seinsoll.Denition1.33. SeienAundBzweiMatrizendesFormats2 2,A =_a11a12a21a22_, B=_b11b12b21b22_.DanndenierenwirdasMatrixproduktABgemaAB=_a11b11 +a12b21a11b12 +a12b22a21b11 +a22b21a21b12 +a22b22_.Dasheit: vomlinkenFaktornehmenwirjeweilseineZeile, undvomrechtenFaktorjeweilseineSpalte.DasSkalarproduktdieser2Vektorenschreibenwirdorthin,woZeile(vomlinkenFaktor)undSpalte(vomrechtenFaktor)sichkreuzen.28 KAPITEL1. GRUNDLAGENBemerkung1.34. DieMultiplikationist nichtkommutativ.Dasheit,meistensistAB ,= BA.Satz1.35. FurdieDrehmatrizengiltallerdingsR()R() = R( +) = R()R(), , R.VonbesondererBedeutungistderDrehwinkel0.DannhabenwiralsDrehmatrixR(0) =_1 00 1_,undmanrechnetschnellnach,dax

= R(0)xgleich demAusgangsvektor xist.Denition1.36. Die2 2Einheitsmatrix9istI2:=_1 00 1_.DerNameerklartsichdaraus, daMultiplikationenmitdieserMatrixdenAusgangsvektorunverandertlassen;genausowieMultiplikationenmitderreellenZahl1einereelleZahlnichtandern.Klaristauch:wennwireinenVektorxerstumnachlinksdrehen,undanschlieendum nachlinksdrehen,erhaltenwirwiederdenAusgangsvektor x.EsistalsoR()R() = I2.Denition1.37. SeiAeineMatrixvomFormat2 2.WenneseineMatrixBgibt,mitBA = I2,dannheitdieMatrixAinvertierbar10,und dieMatrixBheit inverse Matrix11zuA.WirschreibenauchB= A1.Bemerkung1.38. DieMultiplikationistzwarnichtkommutativ. AberwennBA = I2ist,dannistauchAB=I2, wiewirimnachstenAbschnitt beweisenwerden. Wenndemnicht soware, dannmutemanzwischenlinksinversenundrechtsinversenMatrizenunterscheiden,wasunszumGluckerspartbleibt.Oensichtlichistdann:Satz1.39. JedeDrehmatrixR()istinvertierbar, undihreInverselautetR()1= R() =_cos() sin()sin() cos()_=_cos sin sin cos _.1.4 GruppentheorieLiteratur: GreinerundM uller:Quantenmechanik.Symmetrien.KapitelI.7:DenitioneinerGruppe1.4.1 Einf uhrungWenn wir mit einigem Abstand auf die reellen Zahlen, komplexen Zahlen, Vektoren und Matrizen schauen,dannentdeckenwireinigeGemeinsamkeiten,dieunszudenfolgendenDenitionenf uhren:Denition 1.40. Sei G eine beliebige (nichtleere) Menge. Sei weiterhin eine Operation mit 2 ArgumentenaufG::GG G,:(x, y) x y.Wenn dieseOperationauf ganz GG deniertist und die folgendenBedingungenerfullt, dannheit(G, )eineHalbgruppe12.9identitymatrix10invertible11inversematrix12semi-group1.4. GRUPPENTHEORIE 29istassoziativ: (x y) z= x (y z)furjeglichex, y, z G,neutralesElement: Esgibtgenaueine G,sodafurjedesx Ggilt:e x = x e = x.Denition1.41. Sei(G, )eineHalbgruppe,dieauerdemnochfolgendeBedingungerfullt:inverseElemente: Zujedemx Ggibtesgenaueiny Gmitx y= y x = e.Dannnennenwir(G, )eineGruppe13.Denition1.42. Sei (G, ) eineHalbgruppebzw. Gruppe. WenndieOperation kommutativist, alsox y=y xfurjeglichex, y Ggilt, dannnennenwirdieHalbgruppe/Gruppe abelsch14, nach NielsHenrikAbel(18021829).F urHalbgruppenhabenwirdiefolgendenBeispiele:1. (N0, +)2. (N0, )3. (Z, )4. (M2, ),wobeiM2dieMengeder2 2Matrizen bezeichnet.DieerstendreiHalbgruppensindabelsch.F urabelscheGruppenkennenwirunteranderemdiefolgendenBeispiele:1. (Z, +)2. (3Z, +)dieMengederdurch3teilbarenganzenZahlen3. (Z/3Z, +)dieMengederRestebeiDivisiondurch34. (Q, +)5. (C, +)6. (R2, +)7. (R 0, )8. (C 0, )9. (R(): R, )dieGruppederDrehmatrizen.UndnichtabelscheGruppesindzumBeispiel1. (A M2:Ainvertierbar, )2. dieMengealler Abbildungen,dieeinQuadrat auf sich abbilden (Ecke auf Ecke),mit derNacheinan-derausf uhrungalsOperation.Wir sollten das Beispiel der Reste bei Division durch 3 noch erklaren: Bei Division einer ganzen Zahl durch3 konnen genau die Reste 0, 1 und 2 auftreten. Die Menge G = 0, 1, 2 dieser Reste ergibt mit der AdditiongemaTabelle1.1 eineGruppe.Wirklassizieren dieGruppen:DieOperation kannzumBeispielseindieAddition: vonZahlen,Vektoren,Pfeilen,Matrizen,. . . ,13group14abelian30 KAPITEL1. GRUNDLAGEN+ 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1Tabelle1.1:Verkn upfungstafelvon(Z/3Z, +)Multiplikation: vonZahlenoderMatrizen,Nacheinanderausf uhrung: vonumkehrbaren AbbildungeneinerMengeaufsich.DasneutraleElementeistdannindiesendreiFallendieNull: NullalsZahl,NullalsNullvektor,NullalsNullmatrix,. . .Eins: EinsalsZahloderEinheitsmatrix,identischeAbbildung: bildetjedesObjektaufsichselbstab.DasinverseElementa1zueinemElementaderGruppeistdannindiesendreiFallendasentgegengesetzteElement: beispielsweisezu5 Ralso 5,dasreziprokeElement: beispielsweisezu5 Ralso0.2;oderdieinverseMatrix,dieUmkehrabbildung: diejenigeAbbildung,diedieAbbildungar uckgangig macht.Frage:EineGruppeGhabegenau1492Elemente.WievieleneutraleElementehatsie?WievieleinverseElemente?Denition1.41ist ubermaigstreng.Mankanneinigesweglassen undhattrotzdemdenselbenInhalt:Satz1.43. SeiGeinenichtleereMengeund eineassoziativeOperationmit2Argumenten,dieaufganzGGdeniertist,mitWerteninG.Wirsetzenweiterhinvoraus:Esgibt mindestenseinlinksneutralesElemente G,dasheite x = xfurjedesx G.Zujedemx Ggibtes mindestenseinlinksinversesElementx G,dasheitx x = e.Dannist(G, )eineGruppe.Beweis.Ubungsaufgabe.EineFolgerungausdiesemSatzist: DieMatrixI2istdaseinzigeneutraleElementf urdieMatrizenmul-tiplikation. Sei dieMatrixAinvertierbar. Danngibtesalso(mindestens) eineMatrixBmitBA=I2.Lautdemvorigen SatzistdiesesBdanndieeinzigelinksinverseMatrix.UndobendreinistdiesesBauchnochrechtsinvers,d.h.AB=I2.Unddies,obwohldieMultiplikationvonMatrizenimAllgemeinennichtkommutativist.Man kann Gruppen auch anders denieren: anstatt zu fordern, da zu jedem Element ein inverses existiert,kannmanauchverlangen, dajedeGleichunglosbarist:Satz1.44. Sei(G, )eineGruppeunda, b Gbeliebig. Danngibtesgenaueinx Gbzw.y Gmita x = b, y a = b.Beweis. Wirprobierenmitx = a1 b:a x = a (a1 b) = (a a1) b = e b = b.AlsoistdiesesxeineLosung.Umzuzeigen,daeskeineweitereLosunggibt,nehmenwirdasGegenteilan.Seialsoa x = b, a z= b.Dann haben wir ax = az. Wir setzen von links ein a1dran und erhalten a1ax = a1az, worausx = zfolgt.DieAussagen uberylassen sichgenausobeweisen.1.4. GRUPPENTHEORIE 31Warnung1.45. EsistzwarjedeslinksinverseElementauchrechtsinvers, aberdieLosungenxundyzua x = bundy a = bsindimAllgemeinenverschieden.DieserSatzwirktsichaufdieVerkn upfungstafelnauswiefolgt:InjederZeileeinerGruppentafel tauchtjedesElementgenaueinmal auf.AnalogfurjedeSpalte.WenndieseinmalnichtderFallseinsollte,hatmansichentwederverrechnet,oderesistkeineGruppe.Jetzt,wowir uberdenBegriderGruppeverf ugen,konnenwirdieDenitiondesKorpersk urzerformu-lieren.AmBeispielvon (R, +, )w urdedieaquivalenteDenitionlauten: (R, +)isteineabelscheGruppemitneutralemElement0, (R, )isteineabelscheHalbgruppemitneutralemElement1, (R 0, ) isteineGruppe, AdditionundMultiplikationsindverzahnt uberdasDistributivgesetz.Lemma1.46. SeienaundbElementeeinerGruppe, unda1, b1ihreinversenElemente. DannwirddasinverseElementzua bgegebendurch(a b)1= b1 a1.Beweis. BeweisdurchEinsetzen.ManbeachtediegeanderteReihenfolge!WennzumBeispiel dieMatrizenAundBinvertierbarsind, dannistauchihrProduktABinvertierbar,unddieinverseMatrixdesProduktsist(AB)1= B1A1.DieFormel(a b)1= b1 a1kannmansichauchalskommutativesDiagramm veranschaulichen:(a, b) a bTausch_()1_()1(b1, a1) (a b)1= b1 a1DerPunkt istjeweilsalsPlatzhalterzumEinsetzenzuverstehen.DasAssoziativgesetzhataucheinkommutativesDiagramm:b aa bc__cb c aa b cEntsprechendesgiltf urDistributivgesetzebeiKorpernundVektorraumen.1.4.2 Ausblick: GruppeninderPhysikWirlisteneinigeGruppenauf,dieinderPhysikoftersauftreten:SymmetriegruppeneinesKristalls: gegeben seieinKristallgitter. Diesegibtesinverschiedenen Aus-pragungen(kubisch,tetragonal,rhombisch,hexagonal,trigonal,monoklin,triklin, mitnochzusatz-lichenUnterscheidungen,obweitereAtomeraumzentriertoderachenzentriertoderaufdenMittel-punktender Basisachen angebracht sind).DieElemente derSymmetriegruppe dieses GesamtgittersbestehenausallenBewegungen,diedasGitteraufsichabbilden. DieVerkn upfungistnat urlichdieNacheinanderausf uhrung. DazuzahlenalleVerschiebungen(sofernsieGitterplatzeaufeinanderab-bilden) undggf. nochdiverseSpiegelungenanSymmetrieebenenoder einige Drehungen. Die dasVerhaltendiesesKristallsbeschreibendenDierentialgleichungenkonnensehrkompliziertsein,aberwennmandieSymmetrienherausfaktorisiert, wirdeseinwenigeinfacher.32 KAPITEL1. GRUNDLAGENVerschiebungsgruppenimRn: dassindalleVerschiebungen, diedenRnauf sichabbilden. DieVer-kn upfungistwiederdieNacheinanderausf uhrung (dasschreibenwirinZukunftnichtmehrmit).OrthogonaleGruppeimR3: das sindalle langentreuenAbbildungenimR3, die denUrsprung un-verandert lassen, also Drehungen, Spiegelungen, Drehspiegelungen. Diese Gruppe hat unendlich vieleElemente,mannenntsieO(3).SpezielleorthogonaleGruppeimR3: das sind alle langentreuen Abbildungen imR3, die den UrsprungunddieOrientierungunverandert lassen,alsoalleDrehungen.Schreibweise:SO(3).LineareGruppedesR3: das sind alle linearen Abbildungen des R3auf sich, die invertiert werdenkonnen.SpatewerdenaufSpateabgebildet.Schreibweise:GL(3).SpeziellelineareGruppedesR3: das sind alle Elemente der GL(3), die die Orientierung desR3erhal-tenundSpateaufSpatemitgleichemVolumenabbilden.Heisenberggruppe: dieobigenGruppenbestandenausAbbildungen(unddieVerkn upfungwarjeweilsdieNacheinanderausf uhrung), diePunkteimR3auf PunkteimR3abbildeten. ImGegensatzdazubesteht dieHeisenberggruppe15aus Abbildungen, dieElementeeines gewissenZustandsraums aufElemente diesesZustandsraums abbilden.DieserZustandsraum wiederum besteht aus allen Funktio-nenvonR3nachC, derenBetragsquadratnochdazuintegrierbaristaufdemR3. SeieinsolchesElementdesZustandsraums,alsoeineFunktion= (x): R3C.ElementederHeisenberggruppewirken aufwiefolgt:Verschiebungump R3: = (x)wirdabgebildetaufp= p(x) = (x +p)Phasenfaktor: = (x)wirdabgebildetaufq= q(x) = eiqx(x)DrehunginC: = (x)wirdabgebildetauft= t(x) = eit(x).Auerdemnat urlichnochalleKompositionen dieserOperationen.Lorentzgruppe:16diese ist in der speziellen Relativitatstheorie ganz wichtig. Siebildet denR1+3in sichab, undzwarso,daEigenzeitabstandegleichbleiben. DerRaumR1+3verwaltetdieVariablenf urZeit undOrt. Er heit Minkowski17Raumundhat anstelledes gewohnlichenSkalarprodukts einPseudoskalarprodukt:(t, x1, x2, x3)(s, y1, y2, y3) = ts +x1y1 +x2y2 +x3y3.Manbeachtedas Minus vordemProdukt der Zeiten. Das Pseudoskalarprodukteines Zeit-Raum-Vektorsmitsichselbstkannalsonegativwerden,undeinZeit-Raum-VektorgehortzumLichtkegel,wenn dieses Pseudoskalarprodukt dieses Vektors mit sich selbst gleich nullist. DieEigenzeitabstandewerden uberdiesesPseudoskalarprodukt bestimmt.DieLorentzGruppehatunendlichevieleElemente,manschreibt(f urdieGruppe)auchO(3, 1).VondiesenGruppengibtesnocheinenweiterenZusammenhangzurklassischen Mechanik:typischerweisewirddiezeitlicheEntwicklungeinesphysikalischenSystemsbeschriebendurcheinSystemvonDierenti-algleichungen.DieseDierentialgleichungenenthaltenAbleitungenbez uglichderOrtsundZeitvariablen(undeventuellnochbez uglichweitererVariablen).Nunhabenwir:Wenn dieses Gleichungssystem sich nicht andert unter einer Verschiebung aus der Verschiebungsgruppe desOrtsraumesR3,danngiltf urdiesesphysikalischeSystemderImpulserhaltungssatz.WenndiesesGleichungssystemsichnichtandertuntereinerDrehungausderSO(3)desOrtsraumesR3,danngiltf urdiesesphysikalischeSystemderDrehimpulserhaltungssatz.Wenn dieses Gleichungssystem sich nicht andert unter einer Verschiebung aus der Verschiebungsgruppe desZeitraumesR1,danngiltf urdiesesphysikalischeSystemderEnergieerhaltungssatz.Esversteht sich also von selbst,da esn utzlichist,nach weiteren Gruppen zusuchen,deren Elemente dasGleichungssystemnichtandern!Literatur: GreinerundM uller:Quantenmechanik. Symmetrien. KapitelVII: DieSU(3)-Symmetrie. Ka-pitelVIII:QuarksunddieGruppeSU(3).KapitelXI:CharmundSU(4).15WernerKarlHeisenberg(19011976), Nobelpreisf urPhysik193216Hendrik Antoon Lorentz (18531928), Namensgeber f ur die LorentzKraft und die LorentzTransformation, Nobelpreisf urPhysik190217HermannMinkowski(18641909)1.4. GRUPPENTHEORIE 331.4.3 Ausblick: MobilfunkBeim Mobiltelefonieren uberlagern sich dieFunkwellen der einzelnen Teilnehmer eben weil dieKommu-nikationnichtentlangvonDrahtenerfolgt. Danunauf einerAntenne(amMobiltelefonoderFunkmast)verschiedeneSignaleauftreen,stelltsichdieFrage,wiemandieseSignalevoneinandertrennt.DienaheliegendsteMoglichkeitware,jedemTeilnehmereineeigeneFrequenz(bzw.einFrequenzband)zugeben.Allerdingsscheitertdiesdaran,daesnichtgenugFrequenzbandergibt.Im GSM-Verfahren wird daher das Zeitschlitzverfahren eingesetzt: jedes Frequenzband mit einer Breite von200kHzwirdzeitlichauf8Teilnehmeraufgeteilt.Dasheit,jedesMobiltelefonaufdiesemBandinnerhalbeiner Funkzellebekommt einenvon8Zeitschlitzen. Wahrendeines solchenZeitschlitzeskommunizierenMobiltelefonundBasisstationmiteinander, wahrendderanderen7ZeitschlitzeistdieSendeundEmp-fangselektronikdesMobiltelefonsabgeschaltet unddieanderen TeilnehmersindanderReihe.AusverschiedenenGr undenistmanbei UMTSvomZeitschlitzverfahrenabgegangen.StattdessenfunkenjetztmehrereTelefoneinnerhalbeinerFunkzellegleichzeitigaufdemselbenFrequenzbandihreSignalezurBasisstation.DasFrequenzbandistjetztbreiter, namlich5MHz, unddieFunksignaleeinesTelefonssind uber die gesamteBreite von5MHz verschmiert, was eine hohere Sicherheit gegen uber schmalbandigenStorungenerlaubt. Andererseits funkenjetzt viel mehr Teilnehmer gleichzeitigauf diesemBand, sodadieseSignaleirgendwiegetrenntwerdenm ussen.EsgibtnocheinweiteresProblem:dieFunkwellen,diez.B.einMobiltelefonanseineBasisstationsendet,horenjanicht ander Grenzeder Funkzelleplotzlichauf. StattdessenstrahlensieauchinbenachbarteFunkzellenhinein. DeshalbbrauchtmannocheinenMechanismus, umdieSignalevon/zuverschiedenenBasisstationen zuunterscheiden.AusdiesemGrundewerden2Verfahrengleichzeitigverwendet:orthogonalevariableSpreizfaktoren: dieseOVSFhabendieAufgabe, dasschmalbandigeSignal aufdie gesamte Breite des Frequenzbandes zu spreizen; und zwar auf eine solche Art und Weise, da mandieTeilnehmereinerFunkzelleunterscheiden kann.scramblingcodes: diesetrennenverschiedeneBasisstationen (Funkmasten)voneinander.DerAblaufvomMikrofonbiszurSendeantenneistinetwawiefolgt: DieSprachsignalewerdendigitalisiert(alsoabgetastet)undliegendanachalsFolgevonNullenundEinsenvor. Anschlieendwerden uber ussigeInformationenweggeschnitten, dasSignal wirdkomprimiert. DieBandbreitedesSignalesistjetztetwa12kHz. Daskomprimierte Signalwird jetztkanalkodiert,eswird also Redundanzhinzugef ugt.Diesich erge-bendeBandbreiteist(3.84/Spreizfaktor)MHz. DasSignal wirdgespreizt. Dabei hatjederTeilnehmerinnerhalbeinerBasisstationseineneigenenSpreizkode.DieBandbreiteistjetzt3.84MHz. Der ScramblingCodewirdangewandt, umSignaleunterscheidenzukonnen, diezuverschiedenenBasisstationen gehoren.(Bandbreitebleibtgleich). Das Signal wird auf eine Tragerfrequenz von 2GHz aufmoduliert (Phasenmodulation). Die Bandbreiteistjetzt5MHz,damanandenBandgrenzen nichtexaktabschneidenkann.ZudenSpreizfaktoren/Spreizkodes:EinSpreizfaktorFisteinederZahlen4,8,16,. . . ,128,256.EinSpreizkodeisteineFolgevonFZahlen,jedeZahlist0oder1.DerSpreizfaktorhangtdavonab,wievieleTeilnehmerineinerZellesind.JemehrTeilnehmer, umsohoher muder Spreizfaktor sein. Jeder Teilnehmer bekommt vonseiner BasisstationeinenSpreizkodezugewiesen.Spreizkodesvonverschiedenen Teilnehmernsindorthogonalzueinander18.Bei einemSpreizfaktorFgibtesgenauFmoglicheSpreizkodes, diepaarweiseaufeinanderorthogonalstehen.18ZweiSpreizkodesaund

baus{0, 1}Fstehenorthogonalaufeinander,wenndasProduktPFj=1(2aj 1)(2bj 1)gleichnullist.DiesesProduktverhaltsichnicht wieeinSkalarprodukt, deshalbjedesmaldieGansef uchen.34 KAPITEL1. GRUNDLAGENDieSpreizungverlauftso: sei z.B. F=4, undderSpreizkodeeinesTeilnehmerssei z.B. (0, 1, 1, 0). DieSprachsignalediesesTeilnehmersseienz.B.0, 1, 0, 1, 1, . . . .IneinemerstenSchrittwerdendieseSignalemitdemFaktorFverlangert:0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .DadieseviermalsolangeBitfolgeinderselbenZeitgesendetwird,hatsichdieBandbreitevervierfacht.AnschlieendwirddieseFolgemitdemSpreizkode(0, 1, 1, 0) geXORt:0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, . . .WennmanjetztnochmalmitdemSpreizkodeXORenw urde,kamemanwiederzumAusgangssignal.AufderAntennederBasisstation kommt nuneinganzesGemischvon Signalenan.WenndieBasisstationdas Signal eines bestimmten Teilnehmers herausltern soll, dann wird dieses Signalgemisch mit dem Spreiz-kode geXORt. Weil Spreizkodes verschiedener Teilnehmer aberorthogonalaufeinander stehen, f uhrt dieszu einer Abschwachung der Signale der anderen Teilnehmer, und das gew unschte Signal ist also das starkste.NunkommendieScramblingCodesinsSpiel:Da es lediglichF paarweiseorthogonale Spreizkodes gibt mit der Lange F, braucht maneinneuesVerfahren, umSignaleverschiedenerBasisstationenvoneinanderabzugrenzen. Mannimmt dazuweitereKodes (scrambling codes), diebeinahe orthogonal aufeinander stehen. Diese Kodes werden auf folgendemWegekonstruiert:SeiF2= Z/2Z derKorper derRestebeiDivisiondurch 2. DieserKorper bestehtnurausden Elementen 0und1,undesgeltendieRegeln0 + 0 = 0,0 + 1 = 1,1 + 1 = 0sowie00 = 01 = 0,11 = 1.Sei F2[X] die Menge aller Polynome in der Variablen Xmit Koezienten aus F2. Man kann solche Polynomeaddieren, subtrahierenundmiteinandermultiplizieren(abernichtdurcheinanderdividieren!)underhaltjedesmal wiedereinErgebnisinF2[X]. Esgeltendie ublichenGesetze(Kommutativitat, Assoziativitat,Distributivitat,2neutraleElemente).Wirsagenauch,da(F2[X], +, )einenRingbildet.Nunsei p F2[X] einfestes Polynomaus diesemRingmit demGradeN. Dieses Polynomist f ur dieFestlegungderscramblingcodesentscheidend. Genauergesagt,gibteszwei solchePolynomep: einesf urdie KommunikationvomMobiltelefonzur Basisstation, undeinanderes f ur die andere Richtung. DieGrade diese Polynome sind 24 und 18; und diese beiden Polynome sind im UMTS-Standard festgelegt, alsoeuropaweit einheitlich(inAmerikaundAsiengibtesverschiedeneAbweichungen).DiesesPolynompisteinganzbesonderesPolynom:dennesmuirreduzibel sein.Dasbedeutet,damanesnichtinFaktorenausF2[X]zerlegen kann.NunnimmtmansichallediejenigenPolynomeausF2[X]her,diepalsFaktorenthalten.DiesebildeneinsogenanntesIdeal,manschreibtf urdiesesIdealauch(p).DannfaktorisiertmanF2[X] nachdiesemIdeal undbekommtF2[X]/(p). DiesistgenaudieMengeallerRestpolynome, die bei Division mit Rest eines Polynoms aus F2[X] durch p entstehen konnen, also diejenigenPolynomeausF2[X]mitGrad N 1.JedesElementgvonF2[X]/(p)hatdieFormg(X) aN1XN1+ +a1X +a0modp, aj 0, 1.DieseRestklassenbildeneinenRing,wiemanleichtnachpr uft.WeiljedochdasPolynom pirreduzibelist,bildendieseRestklassennicht bloeinenRing, sondernetwasviel Besseres: namlicheinenKorper. MitanderenWorten,manhatsogarnochdieDivision.Dasheit,zujedemPolynomg= g(X)ausF2[X]/(p)gibtesgenaueinPolynom h = h(X)ausF2[X]/(p)mitg(X)h(X) 1 modp.NundeniertmansicheineFolgeg0(X),g1(X),. . . vonPolynomen ausF2[X]/(p)gemaderVorschriftgk(X) Xkmodp, k = 0, 1, 2, . . . .EsistalsogknichtsanderesalsderRestvonXkbeiDivisiondurchp(X).1.5. DERRAUMUNDDERR335Jedes dieser Polynome wird gegeben durch seine Koezienten aN1, aN2, . . . , a1, a0, wobei aN1 0, 1derKoezientderhochstenXPotenzistunda0dasAbsolutglied.WirschauenunsjetztdieFolgederAbsolutgliederdergkan:(a0(g0), a0(g1), a0(g2), . . . ).Dies ist eine unendlich lange Folge von Nullen und Einsen; sie ist periodisch mit der Periodenlange 2N1.DiePeriodenlange istdeshalbsohoch,weilpirreduzibelist.Undindieser Folgesteckendiescramblingcodes: jedeBasisstationinEuropabekommt einenStartin-dexzugewiesen, unddieFolgenelementeabdiesemStartindexbildengeradedenscramblingcodedieserBasisstation.Verschiedenescramblingcodessinddabeiimwesentlichen orthogonal.DasmitdemSpreizkodegeXORteSignalwirdjetztmitdempassendenscramblingcodeeinweiteresMalgeXORt.AnschlieendwirddasSignalaufdieTragerfreqenz aufmoduliertundgesendet.An der Empfangsantenne kommt dann ein Wellensalat an, aus dem durch XORen mit dem scrambling codeundSpreizkodedasgew unschteSignalherausgeltert wird.1.5 DerRaumundderR31.5.1 AllgemeinesDieBegrieOrtsvektor,AdditionvonVektoren,VervielfachungvonVektoren,KartesischesKoor-dinatensystemdenierenwirim Falledesdreidimensionalen Raumesanalog wieimFallederEbene,blodajetztnocheineweitereDimensionhinzukommt.DieMengederOrtsvektorenimdreidimensionalenRaumbildet, gemeinsammit geometrischdenierterAdditionundMultiplikation,einenVektorraum.Denition1.47. DerR3istdeniertalsMengegeordneterTripel reellerZahlen:R3=_____123__:i R___.Wirdenieren2Operationen:+ :R3R3R3,__123__+__123__:=__1 +12 +23 +3__, :R R3R3, __123__:=__123__Weiterhinschreibenwir0 = (0, 0, 0)

,e1 = (1, 0, 0)

,e2= (0, 1, 0)

,e3= (0, 0, 1)

.WirdenierendasSkalarproduktzweierVektorenxundyalsx, y) = 1 1 +2 2 +3 3,unddieNorm(denBetrag,dieLange)einesVektorsx R3als[x[ :=_x, x).Dannfolgtschnell,dadieserR3mitdiesenbeidenRechenoperationeneinenVektorraumbildet,unddadasSkalarproduktdieEigenschaftenausSatz1.26besitzt. DanngiltautomatischauchdieUngleichungvonCauchySchwarz, unddieBetragsfunktion hatdieEigenschaften,diemanvonihrerwartet.1.5.2 VektorproduktundSpatproduktDer dreidimensionale Raum ist ein Sonderfall. Denn dort (und ausschlielich dort) konnen wirein weiteresProduktvon Vektorendenieren:36 KAPITEL1. GRUNDLAGENDenition1.48 (Vektorprodukt oder Kreuzprodukt imR3). Seienx =(1, 2, 3)

undy =(1, 2, 3)

zweiVektoren.Dannwirddas Vektorproduktbzw.Kreuzprodukt19gegebendurchx y=__232331311212__.Das sieht zunachst erst mal kompliziert aus; aber spater werden wir einfache geometrische InterpretationenundschonereFormelnzurBerechnungnden.Satz1.49. Seienx, y, z, w R3und R.DanngeltendiefolgendenEigenschaften:istbilinear: Esist (x)y=(xy)und(x + y)z=(xz) + (yz); analogfurdenzweitenFaktor.istantikommutativ: x y= y xEntwicklungssatz: x (y z) = x, z) y x, y) zistnichtassoziativ: aberesgiltx (y z) +y (z x) +z (x y) = 0.IdentitatvonLagrange:20x y, z w) = x, z) y, w) x, w) y, z)x ystehtsenkrechtaufxundy: x, x y) = y, x y) = 0.LangedesProduktvektors: WenneinenderbeidenWinkel zwischenxundybezeichnet,ist[x y[2= [x[2 [y[2x, y)2= [x[2 [y[2sin2().Multiplikationstafel: WirhabenfolgendeTabelle: e1e2e3e10 e3e2e2e30 e1e3e2e10(Erlauterung:e1e2= e3usw.)LinearabhangigeVektoren: Esistx y= 0genaudann,wennxundylinearabhangigsind.Beweis. DiemeistenEigenschaften lassensichsimplesRechnenzeigen.ZumBeispielist[x y[2= (2323)2+ (3131)2+ (1212)2= (23)2+ (23)2+ (31)2+ (31)2+ (12)2+ (12)22(2323 +3131 +1212)= (21+22+23)(21 +22 +23) (11 +22 +33)2= [x[2 [y[2x, y)2= [x[2 [y[2(1 (cos (x, y))2).DarausfolgtsofortdieletzteEigenschaft:Dennwennx y=

0ist,dannhatentwedereinerderVektorenx, ydie Lange 0, oder die beiden Vektoren sind parallel oder antiparallel; also sind x und ylinear abhangig.Undumgekehrt.F urdiegeometrischeInterpretationnehmenwiran, dae1, e2, e3einRechtssystemsind, alsoimRaumliegenwieDaumen,Zeigenger,MittelngereinergesundenrechtenHand.Danngilt:Satz1.50. Seienx, y R3,undz= x y.Danngilt:1. zstehtsenkrechtaufxundaufy.2. DieLange [z[istgleichderFlachedesParallelogramms, dasvonxundyaufgespanntwird.19crossproduct, vectorproduct, outerproduct20JosephLouisLagrange,173618131.5. DERRAUMUNDDERR3373. x,yundzbildenindieserReihenfolgeeinRechtssystem.DieerstenbeidenAussagensindschonbewiesen,denBeweisderletztenAussagem ussenwiraufschieben(sieheSatz1.60).Bemerkung1.51. Gegebenseienzwei Vektorenaundb. Gesucht sei einVektorxmit ax=b. AusdemvorigenSatzergibt sich, daaundbaufeinandersenkrecht stehenmussen. AnsonstenkanneseineLosungxgarnichtgeben.Aber selbstwennaund baufeinandersenkrechtstehensollten,ist dieLosung ximmernoch nichteindeutigbestimmt(auchwennwirjetztdreiGleichungenfurdreiUnbekanntehaben).SeienzumBeispiel a = (1, 0, 0)

undb = (1, 2, 3)

gegeben,undx = (1, 2, 3)

gesucht.Dannist__123__= b = a x =__032__.Wir bekommen1=0 (was nichts anderes als ab bedeutet) sowie 2=3und3=2. Undoensichtlichkonnenwir1nichtermitteln. EsgibtmehrereLosungen:wennxeineLosungist,dannistauchx +aeineLosung,furjedes R(naturlichnurwenna b).EsgibtkeineDivisionalsUmkehroperationdesKreuzproduktes.AlsKombination vonSkalarprodukt undVektorproduktbekommenwir(wieimmer,nurimR3)dassoge-nannteSpatprodukt:Denition 1.52 (Spatprodukt bzw. Determinante). Seien x, y, z R3. Dann heit der Wertx, y z) Spatprodukt21oderDeterminante22der Vektoren x, y, z. Eine andere Schreibweise ist det(x, y, z).Der Namenergibt sichdaraus, dadrei VektorenimR3einensogenanntenSpat aufspannen; unddasSpatproduktistgeradedas(orientierte)VolumendesSpats. WenndieVektorenx, y, zeinRechtssystembilden,dannistdasSpatproduktpositiv,ansonstennegativ.Seiennunx=(1, 2, 3)

,y=(1, 2, 3)

undz=(1, 2, 3)

.DannerhaltenwirnachEinsetzenundAusrechnendieFormeldet(x, y, z) = 123 +123 +123123123123,die man sich wie folgt merken kann: Man schreibt die Vektoren x, yund zspaltenweise nebeneinander, undanschlieend dieVektorenxundynocheinmalrechtsdaneben:111112222233333Anschlieend bildet man drei diagonale Produkte von links oben nach rechts unten; diese Produkte werdenpositivgezahlt.UndentsprechendbildetmandreidiagonaleProduktevonrechtsobennachlinksunten,dienegativgezahltwerden.Satz1.53. DasSpatprodukthatdiefolgendenEigenschaften: EsistlinearinjedemderdreiArgumente(trilinear),dasheitzumBeispiel furdasersteArgumentdet(x +y, z, w) = det(x, z, w) + det(y, z, w), det(x, y, z) = det(x, y, z). WennzweiderVektorenx, y, zgleichsind,dannverschwindetdasSpatprodukt:det(x, x, z) = 0usw. FurdiekanonischenBasisvektorengiltdet(e1, e2, e3) = 1.21parallelepipedialproduct,tripleproduct22determinant38 KAPITEL1. GRUNDLAGENBeweis. Wirwissenvonfr uher, dasowohldasSkalarproduktalsauchdasVektorproduktbilinearsind.Darausergibtsichsofort,dadasSpatproduktlinearinjedemseinerFaktorenist(Distributivgesetze).DiezweiteAussagefolgt daraus,daeinerseitsdasVektorprodukt senkrecht stehtaufjedemseinerbeidenFaktoren,andererseitsdasVektorproduktzweiergleicherVektorengleichdemNullvektorist.UnddiedritteAussageergibtsichauselementaremRechnen.Satz1.54. FurdasSpatproduktgeltendiefolgendenRechenregeln: WennmaneinVielfaches eines Vektors zueinemanderenVektor addiert, bleibt das Spatproduktgleich: det(x +y, y, z) = det(x, y, z). Wenn man zwei Vektoren imSpatprodukt tauscht, andert sich das Vorzeichen: det(y, x, z) =det(x, y, z). Die drei VektorenimSpatprodukt konnenzyklisch getauscht werden: det(x, y, z) =det(y, z, x) =det(z, x, y).Beweis. MitdenEigenschaften desvorigen Satzeshabenwirdet(x +y, y, z) = det(x, y, z) + det(y, y, z) = det(x, y, z) +det(y, y, z) = det(x, y, z) + 0,womitwirdiezweiteAussagebeweisenkonnen:det(y, x, z) = det(y, x +y, z) = det(y (x +y), x +y, z)= det(x, x +y, z) = det(x, y, z) = det(x, y, z).Undwennwirdieszweimalanwenden,erhaltenwirdendrittenTeil:det(x, y, z) = det(x, z, y) = +det(y, z, x).Denition1.55. Seienx1, x2, . . . , xn R3beliebigeVektoren.WennesreelleZahlen1,. . . ,ngibt,vondenenwenigstenseinenicht0ist,soda1x1 + +nxn=

0ist,dannheiendieVektorenx1,. . . ,xnlinearabhangig23.Ansonsten (wenn es also nur eine einzige Moglichkeitgibt, den Nullvektor mit den Vektoren xjdarzustellen:namlichallejgleich0zuwahlen)heiendieVektorenx1,. . . ,xnlinearunabhangig24.Andersformuliert:SeiendieVektorenx1,. . . ,xnlinearunabhangig.WenndanneineGleichungderForm1x1 + +nxn=

0wahrist,dannmussensamtlichej= 0sein.WenndieVektorenx1, . . . , xnhingegenlinearabhangigsind, dannkannmanreelleZahlen1, . . . , nndenmit1x1 ++ nxn= 0,sodawenigstenseinj ,=0ist.ZumBeispielsei1 ,=0.Dannd urfenwirdurch1dividieren,undbekommenx1= _21x2 + +n1xn_= 2x2 + +nxn, j= j1.Wir konnen also (weil 1 ,= 0 ist) x1als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben. (Aber es kannsein,dawirz.B.x2nichtmittelsx1,x3,x4,. . . ,xndarstellenkonnen.)WenneineFamilie25vonVektorenlinearabhangigist,danngibteseinenVektorausdieserFamilie,denmanalsLinearkombinationderanderenausdruckenkann.SobaldeineFamilievonVektorendenNullvektorenthalt,istsielinearabhangig.Satz1.56. Seienx, y, z R3beliebigeVektoren.23linearlydependent24linearlyindependent25Wir reden von einer Familievon Vektoren,weil in einer Familie ein Vektor auch mehrfach vorkommen darf. Im GegensatzdazudarfeineMengekeinElementdoppeltenthalten.1.5. DERRAUMUNDDERR339 FolgendeAussagensindaquivalent:1. x y= 0,2. xundysindlinearabhangig,3. xundysindparallel (oderantiparallel). FolgendeAussagensindaquivalent:1. det(x, y, z) ,= 0,2. x,yundzsindlinearunabhangig,3. jedesw R3kannaufeindeutigeWeisegeschriebenwerdenalsw = x +y +z. JevierVektorenimR3sindlinearabhangig.Beweisskizze. DerersteTeilwurdeinSatz1.49bewiesen.F urdenzweitenTeil beschrankenwirunsauf einigeanschaulichegeometrischeUberlegungen: WenndieVektorenx, y, zlinearunabhangigsind, dannliegensienichtineinergemeinsamenEbene. Alsospannensie einen Spat auf, der ein Volumen hat, das nicht gleich 0 ist. Und umgekehrt, was dieAquivalenz 1 2zeigt. Wenn die Vektoren x, y, z linear unabhangig sind und w ein beliebiger Vektor, dann existiert genau einSpat,derdieStreckezwischendemUrsprung0undwalsRaumdiagonalehatunddessenKantenparallelzudenVektorenx, yundzsind. DieKoordinaten, undkannmandannvondenKantenlangenablesen.F ur den Beweis des dritten Teils fehlen uns im Moment die Mittel, soda wir ihn auf spater verschieben.Denition1.57. WenndieVektorenx1,x2,. . . ,xn R3paarweiseorthogonal aufeinanderstehen,xi, xj) = 0, i ,= j,dannbildendieseVektoreneinOrthogonalsystem26.WenndieseVektorenauerdemnochjeweilsdieLange1haben,alsoxi, xj) = ij=_0 :i ,= j,1 :i = j,dannredenwir voneinemOrthonormalsystem27. Der Ausdruck ijheit Kroneckersymbol (LeopoldKronecker,18231891).Satz1.58. WenndieVektorenx1,. . . ,xn R3einOGSbildenundjeweilsnicht 0sind,dannsindsielinearunabhangig. Wenndie Vektorenx1, x2, x3R3einONSbilden, dannist ihre Determinante det(x1, x2, x3)entweder+1oder 1.Beweis. ImBeweisdeserstenTeilsgehenwirindirektvor: wirsetzenvoraus, dadieVektorenx1, . . . ,xnjeweilsnicht 0sind,einOrthogonalsystembilden,aberlinearabhangigsind.Dannkonnenwirzumin-dest einenVektorals Linearkombinationder anderendarstellen. OhneBeschrankungder Allgemeinheit(o.B.d.A.)seidieserVektorx1(ansonstennumerieren wirdieVektorenum).Dannistalsox1= 2x2 + +nxn.WirbildendasSkalarproduktmitx1:x1, x1) = 2x2, x1) + +nxn, x1) .DielinkeSeiteistungleich0,dennx1 ,=

0.AberdierechteSeiteverschwindet,dennesist xj, x1) = 0f urj 2.DasisteinWiderspruch.Alsom ussendieVektorenlinearunabhangigsein.Zum zweiten Teil: da jeder der drei Vektoren die Lange 1 hat, ist keiner gleich dem Nullvektor. Also konnenwirdasErgebnisdeserstenTeilsanwendenunderhaltendielineareUnabhangigkeitvonx1,x2,x3.Nach26orthogonal system27orthonormalsystem40 KAPITEL1. GRUNDLAGENSatz 1.56 spannen diese drei Vektoren also den gesamten R3auf, weshalb wir x2x3als Linearkombinationvonx1,x2,x3schreibenkonnen:x2x3= 1x1 +2x2 +3x3.WennwirdasSkalarprodukt mitx2oder x3bilden,verschwindet dielinkeSeite,undauf derrechten Seiteentsteht2oder3.DiesebeidenKoezientensindalso0.Dannhabenwirx2x3= 1x1.DieLange [x2x3[ist gleich dem Produkt aus [x2[, [x3[ und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels, alsoist [x2x3[ = 1.Wegen [x1[ = 1istalsoauch [1[ = 1,also1= 1.Nunistdet(x1, x2, x3) = x1, x2x3) = x1, 1x1) = 1[x1[2= 1= 1,wasdenBeweiskomplettiert.Denition1.59. EinOrthonormalsystemmit Determinante+1bzw. 1heit positivorientiert28bzw.negativorientiert29.EingeordnetesTripel (x1, x2, x3)vonVektorenheit Rechtssystembzw. Linkssystem, wennseineDeter-minantedet(x1, x2, x3)positivbzw.negativist.Satz1.60. DieTripel (e1, e2, e3)und(x, y, x y)sindRechtssysteme(wennx y ,=

0).Beweis. Manrechnetschnellnach,dadet(e1, e2, e3) = 1ist.Weiterhinistdet(x, y, x y) = det(y, x y, x) = det(x y, x, y) = x y, x y) = [x y[2> 0.DamitistderBeweisvonSatz1.50vervollstandigt.Bemerkung 1.61. Einanderer Zugang zumKreuzprodukt fuhrt uber den LeviCivita30Tensor .Dieser ist einTensor dritter Stufe (also einwurfelformiges Zahlenschema, analog zueiner Matrix alseinemquadratischenZahlenschemaundeinemVektoralseinemeindimensionalenZahlenschema). Eristdeniertalsjkl=___1 : wenn(j, k, l)einegeradePermutationvon(1, 2, 3)ist,1 : wenn(j, k, l)eineungeradePermutationvon(1, 2, 3)ist,0 :sonst.Dannist a

b = (a)

b.HierbeiistdasProdukta(ergibteineMatrix)deniertanalogzumProduktvonMatrixmal VektoruberdasSummierenbenachbarteridentischerIndizes:(a)jk:=3

l=1jklal.1.5.3 DrehungenimR3GenausowieimFalledesR2stellenwirunsfolgendeFrage:Gegeben ist ein Vektor x R3und eine Drehachse durch den Ursprung. Wir wollen den Vektor x um dieseAchsedrehenmiteinemDrehwinkel.WiekonnenwirdenBildvektorx

bestimmen?Wir gehen in zwei Schritten vor: zuerst nehmen wir an, da die Drehachse mit derjenigen Koordinatenachse ubereinstimmt, die durch den Basisvektor e1angegeben wird. In einem zweiten Schritt betrachten wir danndenFalleinerallgemeinenDrehachsedurchdenUrsprung.28positivelyoriented29negativelyoriented30TullioLeviCivita(18731941)1.5. DERRAUMUNDDERR341WirdrehenalsozunachstumdieAchseentlangdesVektorse1mitdemWinkel.Esbietetsichan,denOriginalvektor xinzweiTeilezuzerlegen:x = 1e1 +2e2 +3e3= x

+x,wobei x

= 1e1parallel zur Drehachse ist, und x= 2e2 +3e3in einer Ebene lebt,diesenkrecht auf derDrehachsesteht.Nun uberlegtmansichleicht, dadieDrehungeinelineareAbbildungbeschreibt. Dasheit: esistegal,obmanerstdiebeidenTeilvektorenx

undxzudemGesamtvektorxaddiertunddiesenanschlieenddreht;oderob manzuerst dieTeilvektoren x

undxdreht undanschlieend dieBildvektoren x

undx

addiert:aufbeidenWegenkommtmanzumBildvektorx

,x

= x

+x

.NunkonnenwirdieTeilbildvektorenleichtberechnen:Esistx

=x

,denndieserVektorliegtgenauaufderDrehachse,undderVektorx

ergibtsichdurcheineDrehunginderEbene:_

2

3_=_cos sinsin cos __23_.UmdiebeidenTeilvektoren x

undxeinheitlichzubehandeln,f uhrenwir3 3Matrizen ein:A =__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__, aij R.AuerdemdenierenwireineOperationMatrixmal SpaltenvektorergibtSpaltenvektorgema__a11a12a13a21a22a23a31a32a33____123__=__a111 +a122 +a133a211 +a222 +a