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Mathematik fur Physiker I

Version fur die Vorlesung im SS 2007

Margarita Kraus (Mathematischer Inhalt)Manuel Muller (LATEX-Satz der Vorlesung im WS 2006/2007)

Letzte Aktualisierung: 21.10.2007

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Lizenz und c©opyright

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Vorwort

Diese Mitschrift wurde im Rahmen der Vorlesung”Mathematik fur Physiker

I“ des Wintersemesters 2006/07 (23.10.2006-14.02.2007), welche von Margari-ta Kraus gehalten wurde, angefertigt. Sie wurde im SS07 neu geordnet unduberarbeitet. Die Mitschrift dient als Script, damit also als ein die Vorlesungbegleitendes Medium, sollte allerdings nicht als einzige Quelle des dargebotenenInhaltes angesehen werden. Hinweise auf Fehler werden jederzeit gern entgegen-genommen.

INHALTSVERZEICHNIS 2

Inhaltsverzeichnis

1 Notation 111.1 Notationen (Grundlegende Notation) . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Notationen (zur Mengenalgebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Definitionen und Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Definitionen (Injektivitat, Surjektivitat, Bijektivitat) . . . . . . . 121.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Definition (Komposition, Inklusion, inverse Abbildung) . . . . . . 131.9 Notation und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9.1 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.9.2 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.10 Definition (der totalen Ordnung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Beweistechniken 152.1 Beweis durch Widerspruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Beweistechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Beweis durch vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Beweistechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Beispiel zur Anwendung dieser Beweistechnik . . . . . . . 152.2.3 Beweis von Beispiel (2.2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Die reellen Zahlen 173.1 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Definition (Assoziativitat, neutrales und inverses Element (abel-

scher) Gruppen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Notation (von Verknupfungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Bemerkung (Eindeutigkeit neutraler/inverser Elemente) . . . . . 18

3.5.1 Eindeutigkeit des neutralen Elements . . . . . . . . . . . 183.5.2 Rechtsinverses gleich Linksinverses . . . . . . . . . . . . . 18

3.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 Definition (des Korpers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.9 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.10 Definition (von geordneten Korpern) . . . . . . . . . . . . . . . . 193.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.12 Bemerkung (zu geordneten Korpern) . . . . . . . . . . . . . . . . 193.13 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.14 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.15 Definition (von Beschranktheit, Maximum, Minimum, Supremum

und Infimum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.16 Bemerkung (Eindeutigkeit von Suprema/Infima) . . . . . . . . . 203.17 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.18 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.19 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


3.20 Satz (Vollstandiger Korper der reellen Zahlen) . . . . . . . . . . 213.21 Korollar und Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.22 Definition (der erweiterten Zahlengerade) . . . . . . . . . . . . . 213.23 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.24 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.25 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.26 Konvention beim Zeichnen (von Intervallen) . . . . . . . . . . . . 22

4 Komplexe Zahlen 234.1 Definition und Satz (der Addition und Multiplikation) . . . . . . 234.2 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5 Notation (komplex konjugierte, Betrag, Argument, Imaginar- und

Realteil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6 Bemerkung (Veranschaulichung der Arithmetik) . . . . . . . . . . 244.7 Bemerkung (Darstellung durch cosinus und sinus) . . . . . . . . . 254.8 Notiz (Weitere Rechenregeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.9 Bemerkung (Nullstellen von Polynomen) . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Normierte Vektorraume 275.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Notiz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.5 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.6 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.8 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.9 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.11 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Teilmengen normierter Vektorraume 326.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.3 Definition (von inneren, außeren, Rand- und Haufungspunkten) . 32

6.3.1 Innere, außere und Rand-Punkte . . . . . . . . . . . . . . 326.3.2 Haufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.5 Definition (isolierter Punkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.7 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.8 Zwischenbemerkung (zu Quantoren) . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7 Folgen 367.1 Definition (von Folgen und Grenzwert) . . . . . . . . . . . . . . . 367.2 Notation und Sprechweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.3 Lemma (Eindeutigkeit des Grenzwerts) . . . . . . . . . . . . . . . 367.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


7.5 Definition (der Beschranktheit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.6 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.7 Rechenregeln fur den Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.9 Definition (Haufungspunkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.11 Notiz (Beziehung zwischen Grenzwert und Haufungspunkt(en)) . 407.12 Definition (der Teilfolge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.13 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.14 Lemma (Teilfolgen und Haufungspunkte) . . . . . . . . . . . . . 407.15 Definition (der Monotonie und Konvergenz) . . . . . . . . . . . . 417.16 Notiz (Anwendbarkeit der Limes-Rechenregeln) . . . . . . . . . . 417.17 Lemma (Konvergenz und uneignetliche Konvergenz) . . . . . . . 427.18 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.19 Satz von Bolzano Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.20 Definition (der Cauchy-Folge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.21 Satz (Konvergenz der Cauchy-Folge) . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8 Reihen 448.1 Definition (der Reihe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.2 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.4 Satz & Definition (der Grenzwert e) . . . . . . . . . . . . . . . . 458.5 Notiz (Cauchy-Kriterium fur Reihen) . . . . . . . . . . . . . . . . 458.6 Definition und Korollar (Majoranten-Kriterium) . . . . . . . . . 46

9 Stetige Abbildungen 479.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.4 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489.6 Zwischenbemerkung zur Beweistechnik: . . . . . . . . . . . . . . 489.7 Lemma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.8 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.9 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.11 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.12 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.13 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.14 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.15 Definition (rationale Funktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.16 Korollar (Stetigkeit rationaler Funktionen) . . . . . . . . . . . . . 539.17 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.18 Definition (von Minimum/Maximum) . . . . . . . . . . . . . . . 539.19 Lemma (Existenz von Minimum/Maximum auf abgeschlossenen

Intervallen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.20 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.21 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.22 Definition (Monotonie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


9.23 Satz (Umkehrsatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.24 Bemerkung (uber Monotonie und Stetigkeit) . . . . . . . . . . . . 559.25 Vorsicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.26 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.27 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10 Elementare Funktionen 5710.1 Satz (uber Potenzrechenregeln und Monotonie) . . . . . . . . . . 5710.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.3 Satz (uber Stetigkeit, Monotonie und Surjektivitat der Potenz-

funktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.4 Definition (des Logarithmus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.5 Lemma (Logarithmus-Rechenregeln) . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.6 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.9 Bemerkung (Die Winkelfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.10Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.11Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.12Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.13Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11 Die Ableitung 6411.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.2 Anschauung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.3 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.4 Notiz (Differenzierbarkeit und Stetigkeit) . . . . . . . . . . . . . 6411.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.6 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6511.7 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711.8 Beispiele (Lemma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711.9 Korollar (Potenz-, Exponential- und Logarithmus-Funktion) . . . 6711.10Proposition (spezielle Grenzwerte) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.11Korollar (Sinus und Cosinus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.12Korollar (Ableitungen des Tangens und Cotangens) . . . . . . . . 6811.13Korollar (Ableitungen der Arcus-Winkelfunktionen) . . . . . . . 69

12 Mittelwertsatz und Extrema 7012.1 Definition (des lokalen Minimums/Maximums (Extremum)) . . . 7012.2 Notiz (Extremum und Ableitung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7012.3 Definition (des kritischen Punkts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7012.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7012.5 Satz von Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7012.6 Korollar (1. Mittelwertsatz der Differentiation) . . . . . . . . . . 7112.7 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7112.8 Zweiter Mittelwertsatz der Differentiation . . . . . . . . . . . . . 7112.9 Korollar (Regel von l’ Hospital) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.10Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.11Lemma (Monotonie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.12Korollar (konstante Funktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


12.13Definition (des isolierten (lokalen) Maximums/Minimums) . . . . 7312.14Lemma (Kritischer Punkt und isoliertes lokales Maximum/Minimum) 7312.15Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

13 Partielle Ableitung und Richtungsableitung 7413.1 Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.3 Warnendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7513.5 Satz (Schwarzscher Satz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7513.6 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7513.7 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7513.8 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7613.9 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7613.10Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7613.11Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7613.12Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7613.13Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

14 Basen und Dimensionen von Vektorraumen 7814.1 Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7814.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7814.3 Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7914.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7914.5 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7914.6 Basiserganzungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8014.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8014.8 Korollar und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

15 Lineare Abbildungen 8115.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8115.2 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8115.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8115.4 Erinnerung und Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8115.5 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8215.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8215.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8215.8 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8215.9 Lemma und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8215.10Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.11Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.12Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.13Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.14Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8415.15Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8415.16Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8415.17Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


16 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 8516.1 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.2 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.4 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.7 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8616.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8616.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8716.10Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8716.11Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8716.12Notiz und Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8816.13Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8816.14Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

17 Multilineare Abbildungen und Determinanten 9017.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017.3 Notiz und Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017.5 Notiz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9117.6 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9117.7 Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9117.8 Definition und Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9217.9 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9217.10Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9217.11Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9317.12Notiz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9317.13Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9317.14Leibnizformel zur Berechnung von det . . . . . . . . . . . . . . . 9317.15Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9417.16Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9417.17Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9417.18Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9417.19Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9517.20Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9517.21Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9517.22Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9617.23Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9617.24Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

18 Skalarprodukt 9718.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.2 Notiz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.4 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.5 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9818.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9818.7 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98


18.8 Satz (Gram-Schmidt-Orthonormalisierung) . . . . . . . . . . . . 9818.9 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9918.10Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9918.11Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9918.12Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10018.13Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10018.14Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10018.15Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10018.16Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10118.17Definition und Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

19 Eigenwerte und Eigenvektoren 10219.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10219.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10219.3 Lemma und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10219.4 Notiz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10219.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

19.5.1 einfaches Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10219.5.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

19.6 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10319.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10419.8 Lemma und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10419.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10419.10Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10519.11Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10519.12Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10519.13Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10519.14Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10519.15Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10619.16Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10619.17Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

19.17.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10619.17.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

19.18Lemma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10619.19Lemma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10719.20Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

20 Totales Differential und Extrema von Funktionen in mehrerenVeranderlichen 10820.1 Satz, Definition und Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10820.2 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10820.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10820.4 Beispiel (Polarkoordinaten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10920.5 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10920.6 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10920.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10920.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10920.9 Satz & Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.10Warnung und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.11Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110


20.12Satz (Restgliedformel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11120.13Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

21 Riemann-Integral 11321.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11321.2 Lemma und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11321.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11421.4 Lemma (Rechenregeln fur das Integral) . . . . . . . . . . . . . . 11621.5 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11721.6 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11721.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11821.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11821.9 Satz (Mittelwertsatz der Integralrechnung) . . . . . . . . . . . . . 11921.10Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . 12021.11Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12021.12Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12021.13Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12021.14Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12121.15Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12121.16Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12121.17Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12221.18Bemerkung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12221.19Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

22 Finden von Stammfunktionen 12322.1 Satz von der partiellen Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . 12322.2 Satz von der Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12322.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12322.4 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12422.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12422.6 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12422.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12522.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12522.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12522.10Finden der PBZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12522.11Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12622.12Integration der Terme aus der Partialbruchzerlegung . . . . . . . 126

23 Taylorpolynome 12823.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12823.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12823.3 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12923.4 Approximationslemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12923.5 Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12923.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13023.7 Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13023.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13023.9 Satz (von Taylor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13023.10Bemerkung und warnendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 13123.11Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131


23.12Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13223.13Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13223.14Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13223.15Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13323.16Restgliedformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

24 Mehrdimensionales Riemann-Integral 13424.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13424.2 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13524.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13524.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13524.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13524.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13524.7 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13524.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13524.9 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13624.10Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13624.11Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13624.12Satz (Fubini) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13724.13Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13724.14Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13824.15Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

1 NOTATION 11

1 Notation

1.1 Notationen (Grundlegende Notation)

= Gleichheitszeichen:= linke Seite wird durch rechte Seite definiert=: rechte Seite wird durch links Seite definierta =⇒ b Aussage a impliziert Aussage b

a 6⇒ b Aussage a impliziert nicht Aussage b

a :⇔ b Ausdruck a wird durch b definierta ⇔ b Ausdruck a ist aquivalent zu Ausdruck b

∧ und zugleich∨ oder¬ nicht< kleinerA ∪ B Menge A vereinigt Menge B

A ∩ B Schnittmenge/Durchschnitt von Menge A und Menge B

P(A) Potenzmenge von Menge A - Menge aller Teilmengen von A

1.2 Beispiele

1. f(x) := x + 3

2. (a ≤ b) ⇔ (a < b) ∨ (a = b)

3. (a > b) :⇔ (b < a)

4. x · y > 0 6 =⇒ (x > 0) ∧ (y > 0)

5. x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)

6. A = {1; 2; 3}, P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}

1.3 Notationen (zur Mengenalgebra)

A ⊆ B Menge A Teilmenge von Menge B; x ∈ A =⇒ x ∈ B

B ⊇ A :⇔ A ⊆ B

A\B Komplement von B in A; {x ∈ A|x 6∈ B} = {x ∈ A : x 6∈ B}A × B Kartesisches Produkt von Menge A und Menge B;

A × B := {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B}

1.4 Beispiele

1. N := {1, 2, 3, . . .}

2. N0 := {0, 1, 2, 3, . . .} = N ∪ {0}

3. Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

4. Z\N0 = {−1,−2,−3, . . .}

5. Q := { pq |p ∈ Z, q ∈ N}

6. Z × N = {(p, q)|p ∈ Z, q ∈ N}

1 NOTATION 12

7. A := {1, 2}∧B := {−1, 0, 1} =⇒ A×B = {(1,−1), (1, 0), (1, 1), (2,−1), (2, 0), (2, 1)}

8. C = {x ∈ R| − 1 ≤ x ≤ 1}=⇒ A × C = {(1, x)|x ∈ [−1, 1]} ∪ {(2, x)|x ∈ [−1, 1]}

1.5 Definitionen und Notationen

• Eine Abbildung f zwischen zwei Mengen A und B ist eine Vorschrift, diejedem Element a ∈ A genau ein Element b ∈ B zuordnet. Man schreibtdann f : A → B, a 7→ f(a).

• A heißt Definitionsbereich; B heißt Zielmenge.

• Ist A0 ⊆ A, dann heißt f(A0) := {f(x)|x ∈ A0} ⊆ B das Bild von A0

unter f .

• f(A) heißt das Bild oder der Wertebereich von f .

• Ist B0 ⊆ B, dann heißt f−1(B0) = {x ∈ A|f(x) ∈ B0} das Urbild von B0

von f . (Vorsicht: f−1 ist im Allgemeinen keine Abbildung)

• Ist x ∈ B : f−1(x) := f−1({x})

• Gf = {(x, f(x))|x ∈ A} ⊆ A × B heißt der Graph von f .

1.6 Definitionen (Injektivitat, Surjektivitat, Bijektivitat)

Eine Abbildung f : A → B heißt

1. injektiv :⇔ (f(x) = f(y) =⇒ x = y)

2. surjektiv :⇔ Fur jedes y ∈ B existiert ein x ∈ A mit f(x) = y

3. bijektiv :⇔ f ist surjektiv und injektiv

A ∼= B bedeutet: Es existiert eine Bijektion zwischen den Mengen A und B.Eine Abbildung f : N → A heißt eine Folge in A.

Eine Menge A heißt abzahlbar :⇔ A hat nur endlich viele Elemente (#A <

∞) oder es existiert eine Abzahlung, d.h. eine bijektive Abbildung N → A

1.7 Beispiele

1. Ist A eine Menge, so ist die Identitat: idA : A → A, a 7→ a bijektiv

2. Ist A0 ⊆ A, dann ist die Inklusion j : A0 → A, a 7→ a injektiv, aber furA0 6= A nicht surjektiv

3. Sind A, B Mengen, so ist die Projektion p : A × B → A, (a, b) 7→ a

surjektiv, aber nur dann injektiv, falls B aus genau einem Element besteht

1 NOTATION 13

4. f : N → N, n 7→ 2n ist injektiv, aber nicht surjektiv

5. f : N → N, f(n) =

{n2 n geraden+1

2 n ungeradeist surjektiv, aber nicht injektiv

6. f : N → Z, f(n) =

{n2 n gerade−n−1

2 n ungeradeist eine Bijektion, also ist Z

abzahlbar

7. N × N ist abzahlbar

f : N → N × N ist gegeben durch:

f(1) = (1, 1)f(2) = (1, 2)f(3) = (2, 2)f(4) = (2, 1)

. . .

8. Analog ist auch Z × N abzahlbar

9. Ist X eine abzahlbare Menge, so ist auch jede Teilmenge von X abzahlbar

10. Die Abbildung Z × N → Q, (p, q) 7→ pq ist surjektiv, aber nicht injektiv

11. Die Abbildung

Q → Z × N,p

q7→

{(p, q) wobei ggT(|p|, q) = 1 und p

q 6= 0

(0, 1) fur pq = 0

ist injektiv, aber nicht surjektiv. Fasse also Q ⊂ Z × N auf. Damit ist Q

abzahlbar.

1.8 Definition (Komposition, Inklusion, inverse Abbildung)

• Sind f : A → B, g : B → C Abbildungen, so bezeichnet man mit g ◦ f :A → C, (g ◦ f)(x) := g(f(x)) die Komposition von g und f .

• Ist A0 ⊆ A, j : A0 → A die Inklusion, so schreibt man auch f |A0 stattf ◦ j. f |A0 heißt die Einschrankung von f auf A0.

1 NOTATION 14

• Ist f : A → B bijektiv, dann heißt die1 Abbildung g : B → A mitg ◦f = idA und f ◦g = idB die inverse Abbildung zu f . Man schreibt auchg = f−1.

1.9 Notation und Definition

Ist Mn = {1, 2, . . . , n}, dann heißt eine Bijektion Mn → Mn eine Permutation.Die Menge aller Permutationen von Mn bezeichnet man mit S(n) und heißt diesymmetrische Gruppe.

Eine Permutation, die alle bis auf 2 Elemente festlasst und diese vertauscht,heißt Transposition. Die Transposition, die i und i + 1 vertauscht, bezeichnetman mit τi.

1.9.1 Beispiel:

τ2 ∈ S(5)

1.9.2 Notiz

Fur jede Transposition τ gilt: τ ◦ τ =: τ2 = id, also τ−1 = τ .

1.10 Definition (der totalen Ordnung)

Sei X eine Menge. Dann heißt eine Teilmenge R ⊆ (X×X) eine totale Ordnungauf X , falls gilt:

1. R ist transitiv, d.h. ist (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R, so ist (x, z) ∈ R

2. Fur a, b ∈ X mit a 6= b, gilt stets genau eine der beiden Moglichkeiten(a, b) ∈ R oder (b, a) ∈ R

3. (a, a) 6∈ R fur alle a ∈ X

Schreibt man a < b ⇔ (a, b) ∈ R, dann spricht man auch von der Ordnung <.

1.11 Beispiel

Q ist durch < total geordnet: R = {(x, y) ∈ Q × Q|x < y}

1eindeutig bestimmte

2 BEWEISTECHNIKEN 15

2 Beweistechniken

2.1 Beweis durch Widerspruch

2.1.1 Beweistechnik

Nutze folgende Tatsache aus:

(A =⇒ B) ⇔ (¬B =⇒ ¬A)

Form des Beweises: Es gelte A

Angenommen ¬B. . . =⇒ ¬A. : Widerspruch. Q.e.d.

2.1.2 Beispiel

Behauptung: Es gibt kein a ∈ Q mit a2 = 2 (a2 = 2 =⇒ a 6∈ Q)Beweis:Sei a2 = 2.Angenommen a ∈ Q.Dann existieren (p, q) ∈ Z × N, p 6= 0 mit a = p

q .

Folglich existieren r, s ∈ N0 mit p = 2rp′, q = 2sq, p′, q′ ungerade, p′, q′ 6= 0.

Also folgt aus 2 = 22(r−s) p′2

q′2 ⇔ q′2 = 22(r−s)−1p′2 dass 2(r − s) − 1 = 0.Widerspruch. Q.e.d.

2.2 Beweis durch vollstandige Induktion

2.2.1 Beweistechnik

Sei n0 ∈ Z und fur jedes n ≥ n0, n ∈ Z0 eine Aussage A(n) gegeben. Zeige A(n)ist richtig fur alle n ≥ n0.

2.2.2 Beispiel zur Anwendung dieser Beweistechnik

1. Zeige fur alle n ∈ N : 1 + 2 + · · · + n = 12n(n + 1).

2. Zwischen 2 Mengen mit n Elementen gibt es genau n! Bijektionen.

3. Fur h ≥ −1 und n ∈ N0 gilt die Bernoullische Ungleichung: (1 + h)n ≥1 + hn.

4. Fur a, b ∈ R und n ∈ N0 gilt die binomische Formel: (a+b)n =∑n

k=0

(nk

)akbn−k.

Die Beweismethode beruht auf folgender Tatsache:

Sei W ⊆ N0 eine Teilmenge der naturlichen Zahlen, mit folgenden Eigen-schaften:

1. n0 ∈ W fur ein n0 ∈ N0

2. n ∈ W =⇒ (n + 1) ∈ W

Dann gilt W ⊇ {n0, n0 + 1, n0 + 2, . . . } = N0\{0, 1, . . . , n0 − 1} = {n ∈N|n ≥ n0}.

2 BEWEISTECHNIKEN 16

Daraus erhalt man mit W = {n ∈ N|A(n) ist richtig} folgendes Beweis-schema:

1. IB (Induktionsbeginn) oder IA (Induktionsanfang): Die Behauptungist richtig fur n = n0, denn. . .

2. IA (Induktionsannahme): Sei n ≥ n0 und A(n) wahr

3. IS (Induktionsschritt): A(n) wahr =⇒ A(n + 1) wahr

2.2.3 Beweis von Beispiel (2.2.2)

1. Beweis:

IB: Behauptung ist offensichtlich wahr fur n = 1

IA: Sei A(n) wahr fur ein n ≥ n0

IS: Dann gilt:

1 + · · · + n + (n + 1) = 12n(n + 1) + (n + 1)

= (n + 1)(12n + 1)

= 12 (n + 1)(n + 2)

Q.e.d.

2. Beweis:

IB: Die Behauptung ist offensichtlich richtig fur n = 1

IA: Die Behauptung sei richtig fur ein n ∈ N

IS: Seien X , Y 2 Mengen mit n+1 Elementen. Sei x0 ∈ X . Dann gibtes nach IB fur jedes y0 ∈ Y genau n! Bijektionen zwischen X\{x0}und Y \{y0}. Also gibt es fur jedes y0 ∈ Y n! Bijektionen zwischen X

und Y mit f(x0) = y0, also gibt es (n + 1) ·n! = (n + 1)! Bijektionenzwischen X und Y . Q.e.d.

3 DIE REELLEN ZAHLEN 17

3 Die reellen Zahlen

3.1 Bemerkung

Fur alle a, b, c ∈ Q gilt:

(a + b) + c = a + (b + c)

a + b = b + a

0 + b = b

Fur alle a ∈ Q existiert ein b ∈ Q mit a + b = 0 (namlich b = −a).

3.2 Definition (Assoziativitat, neutrales und inverses Ele-ment (abelscher) Gruppen)

Unter einer Gruppe (G, ∗) versteht man eine Menge G zusammen mit einerAbbildung: G × G → G, (a, b) 7→ a ∗ b mit folgenden Eigenschaften:

1. (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) fur alle a, b, c ∈ G (Assoziativitat)

2. Es existiert ein neutrales Element n ∈ G, d.h. es existiert ein n ∈ G, sodass fur alle a ∈ G gilt: n ∗ a = a

3. Existenz des Inversen: Zu jedem a ∈ G existiert ein Element a∗ ∈ G mita∗ ∗ a = n

Eine Gruppe heißt abelsch, wenn fur alle a ∈ G gilt: a ∗ b = b ∗ a.

3.3 Beispiele

1. (N, +) und (N0, +) bilden keine Gruppen, da (3.2.3) nicht erfullt ist.

2. (Z, +) und (Q, +) bilden Gruppen, welche auch abelsch sind: Das neutraleElement n ist 0 und das Inverse zu a ist a∗ = −a.

3. (Z, ·) ist keine Gruppe, weil 3.2.3 nicht erfullt ist.

4. Die symmetrische Gruppe (S(n), ◦) mit der Komposition als Verknupfungist eine nicht abelsche Gruppe.

5. Die Menge der invertierbaren n×n-Matrizen mit der Matrizenmultiplika-tion bildet eine nichtabelsche Gruppe GL(n, R).

3.4 Notation (von Verknupfungen)

• Ist klar, welche Verknupfung ∗ gemeint ist, spricht man auch von derGruppe G statt von (G, ∗).

• Ist G abelsch, so schreibt man statt ∗ oft + statt n 0 und statt a∗ −a.

• Schreibt man statt ∗ ·, so schreibt man (meist) statt n 1 und statt a∗ a−1

oder 1a .


3.5 Bemerkung (Eindeutigkeit neutraler/inverser Elemen-te)

3.5.1 Eindeutigkeit des neutralen Elements

Ist (G, ∗) eine Gruppe, so ist das neutrale Element n eindeutig bestimmt: Istm ein weiteres Element m ∈ G, mit m ∗ a = a fur alle a ∈ G, so existiert nach(3.2.3) ein m∗ ∈ G mit m∗ ∗ m = n, also

m = m∗ ∗ m ∗ n︸︷︷︸

=n(da m neutral ist)

∗m = m∗ ∗ n ∗ m =︸︷︷︸

da n neutral

m∗ ∗ m = n

3.5.2 Rechtsinverses gleich Linksinverses

Ist a∗ das inverse Element von a, so folgt stets: a ∗ a∗ = n, denn ist a∗∗ dasInverse Element zu a∗, so gilt:

a ∗ a∗ = (a∗∗ ∗ a∗) ∗ a ∗ a∗ = a∗∗ ∗ (a∗ ∗ a) ∗ a∗ = a∗∗ ∗ a∗ = n

Analog folgt: Inverse Elemente sind eindeutig bestimmt, fur das neutrale Ele-ment gilt stets a ∗ n = a, und a∗∗ = a.

3.6 Bemerkung

1. (Q, +) bildet eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0.

2. (Q, ·) ist keine Gruppe, aber (Q\0, ·) ist eine abelsche Gruppe mit neutra-lem Element 1.

3. Fur a, b, c ∈ Q gilt: a · (b + c) = a · b + a · c.

3.7 Definition (des Korpers)

Unter einem Korper versteht man ein Tripel (K, +, ·) bestehend aus

1. (K, +) einer abelschen Gruppe mit neutralem Element 0

2. (K\0, ·) einer abelschen Gruppe, mit neutralem Element 1,

sodass fur alle a, b, c ∈ K das Distributivgesetz gilt:

a · (b + c) = ab + ac

3.8 Beispiel

1. (Q, +, ·) ist ein Korper.

2. weitere Beispiele in den Ubungen.

3.9 Bemerkung

In einem Korper gilt stets: 0 · x = 0 und (−1) · x = −x fur alle x ∈ K.


3.10 Definition (von geordneten Korpern)

Ein Korper (K, +, ·) mit einer totalen Ordnung R auf K und < definiert durcha < b ⇔ (a, b) ∈ R, heißt geordnet, falls gilt:

1. a + x < a + y falls x < y, fur alle a ∈ K

2. Ist x < y und a > 0, so gilt: ax < ay

3.11 Beispiel

(Q, +, ·) mit der Ordnung < ist ein geordneter Korper.

3.12 Bemerkung (zu geordneten Korpern)

1. In einem geordnetem Korper gilt stets:

x > 0 ⇔ −x < 0, denn aus x > 0 folgt x + (−x) > −x ⇔ 0 > −x

2. x2 > 0 falls x 6= 0, denn entweder

• x > 0, dann folgt aus (3.11.2) x2 > 0, oder

• x < 0, dann ist x2 = (−x) · (−x) > 0

3.13 Definition

Ist (K, +, ·) ein geordneter Korper, dann schreibt man

|x| :=

x x > 00 x = 0−x x < 0

3.14 Bemerkung

Es gilt:

1. |x| ≥ 0 und |x| = 0 ⇔ x = 0.

2. |x · y| = |x| · |y|.

3. |x + y| ≤ |x| + |y|

fur alle x, y ∈ K.

3.15 Definition (von Beschranktheit, Maximum, Minimum,Supremum und Infimum)

1. Sei M eine durch < totalgeordnete Menge, B ⊆ M , dann heißt B nachoben (bzw. nach unten) beschrankt, falls es ein c ∈ M , mit b ≤ c (bzw.b ≥ c) fur alle b ∈ B gibt. c heißt dann obere (bzw. untere) Schranke vonM . B heißt beschrankt, wenn es eine obere und untere Schranke von B

gibt. (Dabei heißt a ≤ c, dass b < c ∨ b = c gilt).

2. Sei B 6= ∅, B nach oben beschrankt, dann heißt s ∈ M Supremum von B,wenn gilt:


(a) s ist obere Schranke von B

(b) Ist s′ < s, dann existiert ein b ∈ B mit b > s′

Ist das Supremum s ∈ B, dann heißt s ein Maximum von B.

3. Sei B 6= ∅, B nach unten beschrankt, dann heißt j ∈ M ein Infimum vonB, wenn gilt:

(a) j ist untere Schranke von B

(b) Ist j′ > j, dann existiert ein b ∈ B mit b < j′

Ist das Infimum j ∈ B, dann heißt j ein Minimum von B.

3.16 Bemerkung (Eindeutigkeit von Suprema/Infima)

Sei M totalgeordnet. B ⊂ M nach oben bzw. unten beschrankt, B 6= ∅. Dannist das Supremum, bzw. das Infimum von B, eindeutig bestimmt und wird mitsup B bzw. inf B bezeichnet.

3.17 Beispiele

1. B = {x ∈ Q|x ≤ 2} ⊂ Q ist nach oben beschrankt und das Maximum vonB ist 2.

2. B = {x ∈ Q|x < 2} ⊂ Q ist nach oben beschrankt und das Supremumvon B ist 2 (z.B. 20 ist obere Schranke von B).

3. B = {x ∈ Z|x < 2} ⊂ Z ist nach oben beschrankt. 1 ist Maximum von B.

3.18 Beispiel

B = {q ∈ Q|q2 < 2} ⊂ Q ist beschrankt und besitzt kein Supremum.

Beweis:

Wir werden zeigen: Ware s ein Supremum von B, so ware s2 = 2.

Angenommen s2 6= 2:

Fall a.) s2 > 2. Dann gilt fur s = s − 1n fur n > 2s

s2−2

1. s < s

2. s2 = (s − 1n )2 > s2 − 2s

n > 2

Also ware s eine obere Schranke von B mit s < s, im Widerspruchdazu, dass s Supremum ist.

Fall b.) s2 < 2, dann gilt fur b := s + 1n mit n > max( 4s

2−s2 , 12s )

1. b > s

2. b2 < 2, also b ∈ B, denn

(s +1

n)2 = s2 +

2x

n+

1

n2< s2 +

4s

n< 2.

Also ware s keine obere Schranke fur B, also kein Supremum.

Widerspruch =⇒ s2 = 2


3.19 Definition

Ein geordneter Korper heißt vollstandig ⇐⇒ jede nach oben beschrankte Teil-menge besitzt ein Supremum.

3.20 Satz (Vollstandiger Korper der reellen Zahlen)

Es gibt (bis auf Isomorphie) genau einen vollstandigen, geordneten Korper R,den wir als Korper der reellen Zahlen bezeichnen.

3.21 Korollar und Notation

Sei x > 0 und n ∈ N, dann existiert ein eindeutig bestimmtes y > 0, y ∈ R mityn = x, namlich

y = sup{y′ ∈ R|y′ > 0, y′n < x}.

Man schreibt y = x1

n . Weiter schreibt man aq

p := (ap)1

q und a−r = 1ar fur r ∈ Q.

3.22 Definition (der erweiterten Zahlengerade)

R = R ∪ {−∞,∞} heißt erweiterte Zahlengerade. Wir definieren:−∞ < a fur alle a ∈ R ∪ {∞}a < ∞ fur alle a ∈ R ∪ {−∞}∞ + ∞ = ∞, −∞−∞ = −∞a ±∞ = ±∞ fur a ∈ R

(±∞) · a = ±∞ fur a > 0, a ∈ R

(±∞) · a = ∓∞ fur a < 0, a ∈ Ra∞ = a

−∞ = 0 fur a ∈ R.a0 = ∞ fur a > 0, a

0 = −∞ fur a < 0, a ∈ R.

3.23 Bemerkung∞∞ oder 0 · ∞ ist nicht definiert.

3.24 Notation

B ⊂ R nicht nach oben (bzw. unten) beschrankt, B 6= ∅, so schreibt mansup B = ∞, (bzw. inf B = −∞).

3.25 Notation

Fur a, b ∈ R, a < b schreibt man

1. (a, b) = {x ∈ R|a < x < b}

2. [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}, a 6= −∞, b 6= ∞

3. analog [a, b), (a, b]

Fur a, b 6= ±∞ heißt

• (a, b) offenes,

• [a, b] abgeschlossenes,


• [a, b), (a, b] halboffenes

Interval. Ist entweder a = −∞ oder b = ∞ (nicht (−∞,∞)), so spricht manvon ∞-Intervall oder Halbstrahlen. Halbstrahlen, Intervalle und Punkte und ∅

heißen die zusammenhangenden Teilmengen von R.

3.26 Konvention beim Zeichnen (von Intervallen)

• [a, b)

• (a,∞)

• [0, 1]\{ 12}

4 KOMPLEXE ZAHLEN 23

4 Komplexe Zahlen

4.1 Definition und Satz (der Addition und Multiplikation)

Die Menge R × R zusammen mit Addition +:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

und der Multiplikation ·:

(x1, y1) · (x2, y2) = (x1 · x2 − y1 · y2, x1 · y2 + x2 · y1)

bildet einen Korper, den Korper der komplexen Zahlen. Das neutrale Elementder Addition ist durch (0, 0) gegeben, das neutrale Element der Multiplikationist durch (1, 0) gegeben. Wir bezeichnen diesen Korper mit C und fassen R ⊂ C

mittels j : R → C, x 7→ (x, 0) auf.Beweis durch Nachrechnen der Axiome:

• Das Inverse der Addition zu (x, y) ist durch (−x,−y) gegeben,

• das Inverse der Multiplikation zu (x, y) ist durch ( xx2+y2 , −y

x2+y2 ) gegeben.

4.2 Notiz

Ist j : R → C die kanonische Inklusion, so

j(x + y) = j(x) + j(y)

undj(x · y) = j(x) · j(y)

Fur (0, 1) ∈ C gilt(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = j(−1)

4.3 Notation

Wir schreiben i = (0, 1) und (a, b) =: a + bi, also

i2 = −1 = −1 + 0i

und

(a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 + i2b1b2 + i(b1a2 + a1b2)

= a1a2 − b1b2 + i(b1a2 + a1b2)

4.4 Bemerkung

Es gibt keine Ordnungsrelation auf C, so dass C ein geordneter Korper wird,denn i2 = −1 < 0 und in einem geordnetem Korper gilt stets x2 > 0 fur allex ∈ K. Schreiben wir a < b, dann ist a, b ∈ R gemeint.


4.5 Notation (komplex konjugierte, Betrag, Argument, Ima-ginar- und Realteil)

Fur z = a + ib ∈ C sei

1. z = a − ib das komplex konjugierte

2. |z| :=√

a2 + b2 der Betrag von z

3. ℜ(z) := a (= Re(z)) der Realteil von z

4. ℑ(z) := b (= Im(z)) der Imaginarteil von z

5. Fur z 6= (0, 0) sei arg(z) = arctan( ba ) ∈ [0, 2π) fur a 6= 0 und arg(z) =

arccot(ab ) ∈ [0, 2π) fur b 6= 0 das Argument von z

Konjugation:

Addition:

4.6 Bemerkung (Veranschaulichung der Arithmetik)

• Die Multiplikation mit i entspricht einer Drehung um 90◦ (i(a + ib) =−b + ia).


• Die Multiplikation mit r > 0 entspricht fur r > 1 einer Streckung (bzw.Stauchung fur r < 1).

r · (a + ib) = (r, 0) · (a, b) = (ra, rb) = ra + irb

• Die komplexe Konjugation entspricht einer Spiegelung an der reellen Achse({z ∈ C|ℑ(z) = 0}).

4.7 Bemerkung (Darstellung durch cosinus und sinus)

Ist φ = arg(z), r = |z|, so ist offenbar

z = r(cos(φ) + i sin(φ)) =: reiφ.

Die Multiplikation mit z ist eine Drehstreckung mit dem Streckfaktor r und umden Winkel φ, wie man leicht nachrechnet, wenn man die Additionstheoremebenutzt (Beweis spater).

z1 · z2 = r1(cos(φ1) + i sin(φ1)) · r2(cos(φ2) + i sin(φ2))

= r1r2(cos(φ1) cos(φ2) − sin(φ1) sin(φ2)

+i(cos(φ1) sin(φ2) + cos(φ2) sin(φ1)))

= r1r2(cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)), also

r1eiϕ1 · r2e

iϕ2 = r1r2ei(ϕ1+ϕ2).

4.8 Notiz (Weitere Rechenregeln)

Fur z ∈ C, zi ∈ C gilt:

1. z · z = |z|2

2. 1z := z−1 = z

|z|2 fur z 6= 0

3. ℜ(z) = 12 (z + z); ℑ(z) = 1

2 i(z − z)

4. |z| ≥ 0 und (|z| = 0 ⇐⇒ z = 0)

5. |z1 · z2| = |z1| · |z2|

6. |z| ≤ |ℜ(z)| + |ℑ(z)|

7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (Dreiecksungleichung)


4.9 Bemerkung (Nullstellen von Polynomen)

Die Gleichung z2 = r hat fur jedes r ∈ R, r 6= 0 in C genau 2 Losungen, λ1 und−λ1. Fur r > 0 ist λ1 =

√

|r| ∈ R, fur r < 0 ist λ1 = i√

|r|.Es ist dann (z2 − r) = (z − λ1)(z + λ1). Bsp.: x2 + 1 = (x − i)(x + i).Es gilt sogar: In C hat jedes Polynom

p(z) = anzn + an−1zn−1 + · · · + a0, aj ∈ C

eine Zerlegung in Linearfaktoren

p(z) = (z − λ1)n1 · · · · · (z − λj)

nj , n1 + · · · + nj = n

Die λi ∈ C sind die Nullstellen des Polynoms p der Vielfachheit ni. Insbesonderehat zn − reiϕ die Nullstellen

n√

rei(ϕ+2πk)/n, k = 0, . . . , n − 1.

Sind die Koeffizienten ai alle reell, ai ∈ R, und λi eine Nullstelle von p derVielfachheit ni, so ist auch λi eine Nullstelle von p der selben Vielfachheit.

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