Mathematik Lerneinheit 2 Geometrisches DenkenDenkensysdyn.educanet2.ch/.../1/LE2Skript2014_Geometriesches_Denken.pdf · „Sag es mir, und ich vergesse es;„Sag es mir, und ich

Mathematik Lerneinheit 2Mathematik Lerneinheit 2Mathematik Lerneinheit 2Mathematik Lerneinheit 2

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„Sag es mir, und ich vergesse es;„Sag es mir, und ich vergesse es;„Sag es mir, und ich vergesse es;„Sag es mir, und ich vergesse es; Zeige es mir, und ich werde mich erinnern;Zeige es mir, und ich werde mich erinnern;Zeige es mir, und ich werde mich erinnern;Zeige es mir, und ich werde mich erinnern;

Lass es mich tun, und ich behalte es.“ Lass es mich tun, und ich behalte es.“ Lass es mich tun, und ich behalte es.“ Lass es mich tun, und ich behalte es.“

Konfuzius Konfuzius Konfuzius Konfuzius

Benno FreiBenno FreiBenno FreiBenno Frei ©2013/14©2013/14©2013/14©2013/14

DialogMathe Inhaltsverzeichnis

Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 |© BF I

INHALTSVERZEICHNIS

1 Geometrische Grundbegriffe ......................................................................................................... 1

1.1 Gerade, Strahl und Strecke ....................................................................................................... 1 1.2 Winkel und Winkelarten .......................................................................................................... 2 1.3 Senkrecht und parallel .............................................................................................................. 3 1.4 Winkelpaare, Winkel an Parallelen ......................................................................................... 4 1.5 Winkel im Dreieck ..................................................................................................................... 6 1.6 Winkel am Kreis ...................................................................................................................... 11

2 Winkelberechnungen .................................................................................................................... 13

2.1 Geometrische Denkaufgaben Winkel im Dreieck ............................................................... 13 2.2 Geometrische Denkaufgaben Winkel am Kreis .................................................................. 26

3 Berechnungen von Dreieck und Viereck ................................................................................... 32

3.1 Symmetrien .............................................................................................................................. 32 3.2 Übersicht Vierecke................................................................................................................... 36 3.3 Strecken – und Flächenberechnungen .................................................................................. 41 3.4 CAS - Bausteine ....................................................................................................................... 43 3.5 Geometrische Denkaufgaben Dreieck und Viereck............................................................ 47

4 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck ............................................................................... 52

4.1 Sätze am rechtwinkligen Dreieck .......................................................................................... 52 4.2 Geometrische Denkaufgaben Pythagoras ............................................................................ 54 4.3 Spezielle rechtwinklige Dreiecke .......................................................................................... 60 4.4 Pythagoras und Kreisberührungen ...................................................................................... 64

5 Dreieckskonstruktionen ................................................................................................................ 72

5.1 Geometrische Örter ................................................................................................................. 72 5.2 Dreiecksstücke ......................................................................................................................... 74 5.3 Konstruktionsbeschreibung ................................................................................................... 82

6 Streckenverhältnisse ...................................................................................................................... 88

6.1 Ähnliche Dreiecke ................................................................................................................... 89 6.2 Strahlensätze ............................................................................................................................ 94 6.3 Geometrische Denkaufgaben Strahlensätze und Ähnlichkeit .......................................... 98

7 Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben .............................................................. 102

7.1 Geometrische Denkaufgaben Lösungen mit dem CAS ................................................... 102 7.2 Geometrische Denkaufgaben Ansetzen einer Gleichung ................................................ 107 7.3 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck ........................................................................ 114 7.4 Flächeninhalt eines Dreiecks mit Trigo .............................................................................. 130 7.5 Pythagoras für beliebige Dreiecke ...................................................................................... 131

8 Kreisberechnungen ...................................................................................................................... 133

8.1 Kreisumfang ........................................................................................................................... 133 8.2 Kreisfläche .............................................................................................................................. 135

DialogMathe

II Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF

9 Stereometrie ................................................................................................................................... 143

9.1 Oberflächen und Volumen einiger Körper ........................................................................ 143 9.2 Berechnungen mit Schnittebenen ........................................................................................ 147 9.3 Ähnliche Körper .................................................................................................................... 148 9.4 Stereometrieaufgaben ........................................................................................................... 149 9.5 Rotationskörper, Guldinsche Regel .................................................................................... 151

„Sag es mir, und ich vergesse es; Zeige es mir, und ich werde mich erinnern; Lass es mich tun, und ich behalte es.“ Konfuzius © DialogMathe Mathematik Lerneinheit 2 Skript Geometrisches Denken 2013/14 Theorie, Übungen, Partnerinterviews, dynamische Experimentiervorlagen, Lernkontrollen Von Benno Frei ©

DialogMathe Vorwort

Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF III

Vorwort Die Euklidische Geometrie ist die Geometrie der Ebene (Planimetrie) und des Raumes

(Stereometrie), die auf den von Euklid von Alexandria festgelegten Definitionen,

Postulaten und Axiomen beruht. Üblicherweise wird sie nur als Geometrie

bezeichnet. Es ist eine verbreitete Vorstellung, dass die euklidische Geometrie, wie

man sie in der Schule kennenlernt, „die“ (einzige) Geometrie sei. Das ist falsch:

Erstens wissen wir seit Einstein (Allgemeine Relativitätstheorie), dass unsere Welt

allenfalls lokal als euklidisch beschrieben werden kann. Andererseits wissen wir seit

Gauss, dass Geometrie mathematisch auch ganz anders gedacht werden kann.

Eine Theorie (z.B. die Geometrie) besteht aus Grundsätzen und Definitionen, aus

denen verschiedene Lehrsätze bewiesen werden. Die klassische Geometrie nach

Euklid unterscheidet sich von der nichteuklidischen Geometrie allein durch die

Gültigkeit des Parallelenaxioms. Dieses besagt, dass es zu jeder Geraden g und jedem

nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt P genau eine zu g parallele Gerade h gibt,

die durch den Punkt P geht.

In der nichteuklidischen Geometrie, eine Geometrie, in der (fast) alle Axiome der

euklidischen Geometrie gelten mit Ausnahme des Parallelenaxioms, unterscheidet

man die hyperbolische und die elliptische nichteuklidische Geometrie: In der

hyperbolischen Geometrie gehen durch einen gegebenen Punkt mindestens zwei

Parallelen zu einer gegebenen Geraden. Die Winkelsumme im ebenen Dreieck ist

kleiner als 180°. In der elliptischen Geometrie, für die z. B. die Geometrie auf der

Oberfläche einer Kugel ein Modell ist, gibt es keine Parallelen, d.h. zwei Geraden

einer Ebene haben stets einen Punkt gemeinsam. Die Winkelsumme im ebenen

Dreieck ist grösser als 180°. Eine weitere Verallgemeinerung ist die riemannsche

Geometrie [nach G. F. B. Riemann]. Hier handelt es sich um ein System geometrischer

Sätze für n-dimensionale Räume, das die euklidische Geometrie und die

nichteuklidischen Geometrien als Spezialfälle enthält. Die riemannsche Geometrie

beantwortet die Frage nach möglichen Gestaltverhältnissen des Raumes. In ihr wird

der Begriff der Geraden, die zwei Punkte verbindet, ersetzt durch den Begriff der

kürzesten Linie (geodätische Linie) zwischen diesen Punkten, der Raum selbst kann

eine von Ort zu Ort veränderliche Krümmung haben. Die geometrischen

Eigenschaften dieses Raumes werden durch den Fundamentaltensor (metrischer

Tensor) beschrieben. Die riemannsche Geometrie ist das wichtigste mathematische

Hilfsmittel der allgemeinen Relativitätstheorie.

Vorwort DialogMathe

IV Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF

Die Grenze: Naturwissenschaft lässt sich mit Bildern popularisieren, aber nur mit

Mathematik verstehen (Auszug aus einem Artikel von Holm Tetens, Die Zeit 1999)

Wer würde nicht gern wissen, was die Welt im Innersten zusammenhält? Wann

immer die Wissenschaftler glauben, auf die letzten Bausteine der materiellen Welt

gestossen zu sein, melden sie uns Laien ihren Fund; unterstützt werden sie von einem

Heer von Wissenschaftsjournalisten. Es sind merkwürdige Meldungen.

Gegenwärtig werden wir überhäuft mit sensationell klingenden Berichten, wonach

Wissenschaftler mit dem Gedanken spielen, die Welt könne aus unvorstellbar kleinen

Fäden, "Superstrings" genannt, bestehen, die in einem elfdimensionalen "Raum"

schwingen. Von den elf Dimensionen liessen sich nur vier, die uns vertrauten drei

räumlichen Dimensionen und die Zeit als vierte Dimension, beobachten, die restlichen

sieben seien zu so unglaublich winziger Grösse "zusammengerollt", dass niemand sie

je beobachten wird. Nicht selten werden diese Schilderungen durch Bilder wild

ineinander verschlungener fadenartiger Gebilde illustriert. Haben wir uns die Bau-

steine der materiellen Welt also wie schwingende Fäden vorzustellen? Um Gottes

willen nein, eilig korrigieren sich die Wissenschaftler und Wissenschaftsjournalisten,

die Superstrings seien ganz und gar unanschaulich; die Rede und Bilder von Fäden

und die Metapher von zusammengerollten Dimensionen sollten wir nur ja nicht

missverstehen, es seien lediglich Krücken, damit wir Laien uns einem Verständnis der

unanschaulichen und eigentlich unvergleichlichen Superstrings wenigstens etwas

weiter annähern könnten. Genau beschreiben liessen sich die Superstrings nur in einer

unermesslich komplizierten Mathematik, so kompliziert, dass sie selbst die grössten

mathematischen Genies ins Schwitzen brächte. Es fragt sich, ob wir Laien nach

solchen und vielen anderen, aber ähnlichen Auskünften irgendetwas von dem

verstehen, was die Superstringtheorie über die Welt aussagt.

Und wer würde nicht gerne hinter das Geheimnis von Raum und Zeit kommen?

Die Wissenschaft, so erfahren wir Laien, habe sich in diesem Jahrhundert unter der

Federführung von Albert Einstein von den alltäglichen Vorstellungen von Raum und

Zeit für immer verabschiedet. Und wieder sind die uns Laien zugetanen Dolmetscher

aus Wissenschaft und Journalismus zur Stelle, diesmal um das ABC der Relativitäts-

theorie aufzusagen: Raum und Zeit seien untrennbar zu einem vierdimensionalen

Gebilde, "Raumzeit" genannt, "zusammengeschweisst", und diese Raumzeit werde

durch Materie "verbogen". Wieder sollen zweidimensionale Bilder raffiniert geformter

und verbogener dreidimensionaler Körper, Pferdesattel zum Beispiel, unserem Laien-

verstand auf die Sprünge helfen.

DialogMathe Vorwort

Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF V

Zurück zur Euklidischen Geometrie

In der euklidischen Geometrie spielen Dreiecke eine wichtige Rolle, da sich alle ande-

ren Vielecke (Polygone) in Dreiecke zerlegen lassen. Wir werden uns also vorwiegend

mit Berechnungen von Dreiecken beschäftigen. Entscheidend ist aber das mathemati-

sche Denken, das wir entwickeln können, wenn wir uns mit der Geometrie auseinan-

dersetzen. Definitionen sind die Grundbausteine, auf denen eine Theorie aufbaut.

Daraus lassen sich Aussagen (Sätze) als Folgerungen beweisen. Von Interesse sind

Strategien und Methoden für Problemlösungen.

Ziele der Lerneinheit geometrisches Denken

Inhaltsdimension

• Winkelberechnungen, Dreieck, Kreis

• Berechnung von Dreieck und Viereck

• Pythagoras, Strahlensätze, Ähnlichkeit

• Definition Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck

• Trigonometrie: Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

• Kreisberechnungen, Bogenmass

• Stereometrie (räumliche Berechnungen)

Der Stoff, den wir in dieser Lerneinheit behandeln, hast du schon in der Sekundar-

schule kennengelernt. Es handelt sich daher vorwiegend um eine Repetition. Schau

dir die alten Hefte deiner früheren besuchten Schulen an!

Wir wollen jedoch nicht nur Kenntnisse auffrischen, sondern das wesentliche Ziel

wird sein, Zusammenhänge zu erkennen und die Mathematik zu verstehen. Zudem

können wir in der Geometrie algebraische Berechnungen durchführen. Daher wird

diese Lerneinheit auch eine Anwendung der Algebra sein.

Anwenden der Algebra

Erfassen von geometrischen Problemstellungen und Entwickeln von strukturierten

Lösungswegen mit Hilfe von Schaufiguren und mathematischen Sätzen. Algebraische

Behandlung, einführen von Unbekannten, ansetzen einer Gleichung (Lösungsprinzip:

für n Unbekannte brauchen wir n Gleichungen), Training im Kopfrechnen mit Hilfe

von geometrischen Denkaufgaben. Einsatz des CAS-Rechners für aufwendige Glei-

chungen oder Gleichungssysteme. Automatisieren von Berechnungen durch CAS-

Bausteine.

Vorwort DialogMathe

VI Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF

Handlungsdimmension

• Modellieren und Transferieren

Modellieren erfordert, dass wir in einem gegebenen Sachverhalt die

relevanten mathematischen Beziehungen erkennen und diese dann in

mathematischer Form darstellen, allenfalls Annahmen treffen und

Vereinfachungen bzw. Idealisierungen vornehmen.

Transferieren erfordert ein adäquates Nutzen oder Übertragen fachlicher

Kompetenzen in den Alltag sowie in berufsfeldspezifische Bereiche.

• Operieren und Technologieeinsatz

Operieren meint die Planung sowie die korrekte, sinnvolle und effiziente

Durchführung von Rechen- oder Konstruktionsabläufen oder das Arbeiten

mit Tabellen und Grafiken mit ein und beinhaltet immer auch die

zweckmässige Auslagerung operativer Tätigkeiten an die verfügbare

Technologie.

Technologieeinsatz: Mathematisches Tun wird heute in vielen Bereichen

durch die permanente Verfügbarkeit und Verwendung elektronischer

Werkzeuge unterstützt oder überhaupt erst ermöglicht. Dies gilt für nahezu

alle Ebenen mathematischen Arbeitens. Eine entsprechende

„Werkzeugkompetenz“ ist daher integraler Bestandteil mathematischer

Kompetenzen.

• Interpretieren und Dokumentieren

Interpretieren erfordert, dass wir aus Informationen oder aus

mathematischen Darstellungen Fakten, Zusammenhänge oder Sachverhalte

erkennen und darlegen, sowie mathematische Sachverhalte und Beziehungen

im jeweiligen Kontext deuten.

Dokumentieren meint, Modelle, Lösungswege und Ergebnisse für sich und

andere brauchbar darzustellen und zu erläutern.

• Argumentieren und Kommunizieren

Argumentieren begründet Entscheidungen oder erfordert die Angabe von

Aspekten, die für oder gegen eine bestimmte Sichtweise sprechen.

Argumentieren benötigt die korrekte und adäquate Verwendung

mathematischer Regeln sowie die Kenntnis der mathematischen Fachsprache.

Kommunizieren meint, kontextbezogene Informationen in

adressatengerechter Fachsprache auszutauschen

DialogMathe Vorwort

Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF VII

Notizen

Vorwort DialogMathe

VIII Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF

Notizen

DialogMathe Gerade, Strahl und Strecke

Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 1

1 Geometrische Grundbegriffe

1.1 Gerade, Strahl und Strecke Punkte werden mit Grossbuchstaben benannt. Eine gerade Linie besteht aus

unendlich vielen Punkten.

� Ist sie auf beide Seiten unbegrenzt, so nennen wir sie Gerade.

� Ist sie in eine Richtung begrenzt und in die andere unbegrenzt, so heiss

sie Strahl.

� Ist sie in beide Richtungen begrenzt, so nennen wir sie eine Strecke.

Strecken können wir messen (m, cm, usw.), z.B.: PQ ist die Länge der

Strecke PQ .

Geraden, Strahlen und Strecken werden mit kleinen Buchstaben oder mit

Hilfe der beiden Punkte benannt, die sie festlegen. Z.B.:

1.1.1 Gerade g durch die Punkte P und Q: PQ

1.1.2 Strahl s von P durch Q: PQ

1.1.3 Strecke a durch P und Q: PQ

Geometrische Grundbegriffe DialogMathe

2 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF

1.2 Winkel und Winkelarten 1.2.1 Bezeichnung von Winkel

Eine Figur aus zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt S heisst

Winkel. Die beiden Strahlen g und h sind die Schenkel des Winkels. Winkel

werden mit kleinen griechischen Buchstaben ( α : Alpha, β : Beta, γ : Gamma,

δ : Delta, usw.) benannt und in Grad gemessen.

Winkel 045α =

Der Winkel α kann durch die beiden Strahlen g und h oder durch die drei

Punkte P,S und Q festgelegt werden (S = Scheitel). ( )g,h PSQα = =∢ ∢

1.2.2 Winkelarten

Spitze Winkel

0 00 90< α <

Rechter Winkel

090α =

Stumpfe Winkel

0 090 180< α <

Gestreckter Winkel

0180α =

Überstumpfe Winkel

0 0180 360< α <

Vollwinkel

0360α =

DialogMathe Senkrecht und parallel


1.3 Senkrecht und parallel

1.3.1 Senkrechte Geraden

Zwei Geraden g und h heissen senkrecht

zueinander, wenn sie einen rechten

Winkel ( 090 ) einschliessen.

In Zeichen: g h⊥ .

(Synonym für senkrecht: normal, orthogonal)

1.3.2 Parallele Geraden

Zwei Geraden g und h heissen parallel

zueinander, wenn sie eine gemeinsame

Senkrechte besitzen.

In Zeichen: g h� .

g s⊥ und h s⊥ also g h�

Zwei verschiedene parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt.

1.3.3 Abstand Der Abstand d bedeutet die kürzeste Entfernung.

Punkt – Punkt Punkt – Gerade Gerade – Gerade



1.3.4 Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte ABm zu einer Strecke AB

geht durch den Mittelpunkt von AB und ist

senkrecht zu AB .

Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten von AB liegt, dann ist der Ab-

stand von P zu A und von P zu B gleich.

Und Umgekehrt: Wenn der Abstand eines Punktes P zu A und zu B gleich ist,

dann liegt P auf der Mittelsenkrechten von AB .

1.3.5 Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende wα eines

Winkels α geht durch den Scheitel

S von α und halbiert α .

Wenn ein Punkt P auf der Winkelhalbierende wα eines Winkels α liegt, dann

ist der Abstand d von P zu beiden Schenkeln von α gleich.

Und Umgekehrt: Wenn der Abstand eines Punktes P zu beiden Schenkeln von

α gleich ist, dann liegt P auf der Winkelhalbierende wα .

1.4 Winkelpaare, Winkel an Parallelen 1.4.1 Nebenwinkel

0180α + β =

0180→ β = − α

DialogMathe Winkelpaare, Winkel an Parallelen


1.4.2 Scheitelwinkel

Scheitelwinkel sind gleich gross.

α = β

1.4.3 Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen

Die parallelen Geraden p und q werden von der Geraden g geschnitten.

Die Winkelpaare und 'α α

heissen Stufenwinkel.

Stufenwinkel an Parallelen

sind gleich gross: 'α = α .

1.4.4 Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen

Die parallelen Geraden p und q werden von der Geraden g geschnitten.

Die Winkelpaare und 'β β

heissen Wechselwinkel.

Wechselwinkel an Parallelen

sind gleich gross: 'β = β .



1.5 Winkel im Dreieck 1.5.1 Innenwinkel-Satz im Dreieck

Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt

0180 .

0180α + β + γ =

1.5.2 Aussenwinkel-Satz am Dreieck

Der Nebenwinkel 'α von α heisst

Aussenwinkel.

Es gilt: 0' 180α + α =

Und weiter

'α = β + γ

Der Aussenwinkel im Dreieck ist die Summe der beiden nicht anliegenden

Innenwinkel.

Aus 0' 180α + α = (Nebenwinkel) und 0180α + β + γ = (Innenwinkelsumme)

folgt: ' /α + α = α + β + γ −α

'α = β + γ

1.5.3 Gleichschenkliges Dreieck

c AB= heisst Basis, a, b Schenkel.

Da a b= liegen die Eckpunkte A und B auf

einem Kreisbogen mit Mittelpunkt C.

Die beiden Basiswinkel sind gleich: α = β .

Mit Hilfe der Innenwinkelsumme erhalten wir:

0180 2γ = − α ; 01802

− γα = β =

DialogMathe Winkel im Dreieck


1.5.4 Partnerinterview Innenwinkelsumme im n-Eck

Partnerinterview Innenwinkelsumme im n-Eck Zeit: 15 Minuten

Problem 1

Zeige mit Hilfe der

nebenstehenden Figur dass die

Innenwinkelsumme im 3-Eck

0180 beträgt.

Problem 2

Berechne die Innenwinkelsumme eines 4-Ecks mit Hilfe der

Innenwinkelsumme des Dreiecks.

Analog die Innenwinkelsumme eines 5-Ecks, 6-Ecks, . . . . .

Verallgemeinere auf ein n-Eck (Gib eine Formel an!)



1.5.5 Satz von Thales experimentell

Wir betrachten ein Dreieck, dessen

eine Seite AB der Durchmesser ei-

nes Kreises ist. Wählen wir die Ecke

C auf dem Kreis (Thaleskreis), so

ergibt sich immer ein rechtwinkli-

ges Dreieck ( 090γ = ).

Arbeiten mit dem dynamischen Geometrieprogramm von TI-Nspire

Wir können die Situation mit unserem Rechner aufzeichnen und den Winkel

γ messen, wobei wir die Ecke C dynamisch auf dem Kreis bewegen können.

Wir benutzen dafür Geometry.

Der TI-Nspire ist dokumentenbasiert.

Dokumente lassen sich in Ordnern

unter einem Namen abspeichern. Ein

Dokument kann maximale 30 Probleme

enthalten. Jedes Problem kann maximal

50 Seiten umfassen.

DialogMathe Winkel im Dreieck


1) Strecke zeichnen 2) Mittelpunkt 3) Kreis 4) Punkt C auf Kreis 5) Winkel messen 6) Winkel Gradmass / Bogenmass 7) Ecke C auf Kreis verschieben



1.5.6 Beweis Satz von Thales

Partnerinterview: Beweis Satz von Thales Zeit: 10 Minuten

Versuche diesen Sachverhalt zu beweisen. Diskutiere mit deinem Lernpartner!

Benütze dazu die folgende Figur und die Eigenschaften von Dreieckswinkel.

DialogMathe

Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14

1.6 Winkel am Kreis

α : Peripheriewinkel

β : Zentriwinkel

γ : Sehnen – Tangenten

Für Peripheriewinkel und Zentriwinkel

über der gleichen Sehne

Der Zentriwinkel ist doppelt so gross wie

der Peripheriewinkel.

Alle Peripheriewinkel über der gleichen Sehne

Für Peripheriewinkel und Sehnen

Peripheriewinkel und Sehnen

Merke: Der Berührungsradius

1.6.1 Dynamisches Arbeitsblatt Kreiswinkel

Dynamisches Arbeitsblatt PeripheriewinkelZeit: 10 Minuten

Arbeitsaufträge

1) Bewege den Punkt Q auf der

Kreislinie. Was stellst du fest?

2) Wie ändert sich der Winkel, wenn

Q ausserhalb (innerhalb) des

Kreises liegt?

3) Verlängere die Sehne, indem du

einen Endpunkt auf dem Kreis

bewegst. Wie ä

Zentriwinkel und

4) Wähle den Durchmesser als Sehne. Wie gross wird dann der

Peripheriewinkel?

2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF

: Peripheriewinkel

: Zentriwinkel

Tangenten – Winkel

Für Peripheriewinkel und Zentriwinkel

gleichen Sehne AB gilt: 2β = α

Der Zentriwinkel ist doppelt so gross wie

der Peripheriewinkel.

Alle Peripheriewinkel über der gleichen Sehne AB sind gleich gross.

Für Peripheriewinkel und Sehnen – Tangenten – Winkel gilt:

Peripheriewinkel und Sehnen – Tangenten – Winkel sind gleich gross.

Merke: Der Berührungsradius ZB steht rechtwinklig zur Tangente.

Dynamisches Arbeitsblatt Kreiswinkel

Dynamisches Arbeitsblatt Peripheriewinkel Zeit: 10 Minuten

Bewege den Punkt Q auf der

Kreislinie. Was stellst du fest?

Wie ändert sich der Winkel, wenn

Q ausserhalb (innerhalb) des

Kreises liegt?

Verlängere die Sehne, indem du

Endpunkt auf dem Kreis

Wie ändert sich der

Zentriwinkel und Peripheriewinkel.

Wähle den Durchmesser als Sehne. Wie gross wird dann der

Peripheriewinkel?

Winkel am Kreis

11

sind gleich gross.

Winkel gilt: α = γ .

Winkel sind gleich gross.

steht rechtwinklig zur Tangente.

Wähle den Durchmesser als Sehne. Wie gross wird dann der



1.6.2 Anwendung Kreiswinkel

Partnerinterview (Zeit: 15 Minuten) 1) Winkel im Sehnenviereck 2) Konstruktion eines Ortsbogen

1) Winkel im Sehnenviereck

Definition: Ein Viereck, dessen vier Seiten Sehnen in einem

Kreis sind, nennen wir Sehnenviereck. Vierecke mit

einem Umkreis (alle Ecken liegen auf dem Kreis),

sind Sehnenvierecke.

Satz: In einem Sehnenviereck ist die Summe von zwei

gegenüberliegenden Winkel o180 : α + γ = o180 und β + δ = o180

Beweis: Zeige in untenstehender Figur, dass α + γ = o180 beträgt.

2) Konstruktion eines Ortsbogen

Bei geometrischen Konstruktionen (siehe Kap. 5 Dreieckskon-

struktionen) muss häufig die folgende Problemstellung als

Grundaufgabe gelöst werden.

Wir suchen alle Punkte P, von denen die Endpunkte A und B

einer Strecke unter dem gleichen Winkel α gesehen werden.

Analysiere das Problem! Auf welcher Linie liegen alle

möglichen Punkte P? Betrachte den Spezialfall α = o90 .

Wie kann diese Linie konstruiert werden, wenn die Strecke

AB und der Winkel α gegeben sind?

DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Winkel im Dreieck


2 Winkelberechnungen

Mit den folgenden geometrischen Denkaufgaben kannst du deine

mathematischen Fähigkeiten anwenden und weiter entwickeln.

Lernziele

− Erfassen von geometrischen Problemstellungen und entwickeln von

strukturierten Lösungewegen mit Hilfe von Schaufiguren und

mathematischen Sätzen.

− Training im Kopfrechnen

− Algebraische Behandlung: Einführen von Unbekannten und aufstellen von

Gleichungen (Lösungsprinzip: Pro Unbekannte brauchen wir eine

Gleichung, d.h. für n Unbekannte brauchen wir n Gleichungen, so ergeben

sich Gleichungssysteme, die der Rechner lösen kann).

− Einsatz des Rechners: Erhalten wir bei der Lösung einer Aufgabe

Gleichungen, die wir noch nicht lösen können, so hilft uns der Rechner mit

dem solve – Befehl. Interpretiere jeweils die vom Rechner vorgeschlagenen

Lösungen.

2.1 Geometrische Denkaufgaben Winkel im Dreieck − Beschreibe und begründe deine Lösungswege!

− Entwickle Strategien und wende diese auf neue Aufgaben an!

− Überprüfe die erhaltenen Ergebnisse auf Plausibilität!

− Diskutiere deine Lösungswege mit anderen. Kommuniziere mit Hilfe der

mathematischen Fachsprache.

2.1.1 Musterbeispiel Berechne α .

Winkelberechnungen DialogMathe


Lösungsvariante 1 (sequentielle Lösung, schrittweise Berechnung)

1) Hilfslinie AD

2) Winkel 0 0 0ABD 180 141 39= − =∢ (Nebenwinkel)

3) Winkel 0DAB ABD 39= =∢ ∢ ( ABD∆ gleichschenklig)

4) Winkel 0 0ADC 2 39 78= ⋅ =∢ (Aussenwinkel ABD∆ )

5) Winkel 0DCA ADC 78= =∢ ∢ ( ADC∆ gleichschenklig)

6) Winkel 0 0 0CAD 180 2 78 24= − ⋅ =∢ (Innenwinkelsumme ADC∆ )

7) 0 0 039 24 63α = + =

oder Innenwinkelsumme ABC∆ : 0 0 0 0180 39 78 63α = − − =

Lösungsvariante 2 (Einführen von Unbekannten, aufstellen von Gleichungen)

Unbekannte , ,α β γ Innenwinkel des Dreiecks ABC∆ , Schaufigur entwickeln:

1) Hilfslinie AD

3) Winkel DAB = β∢ ( ABD∆ gleichschenklig)

4) Winkel ADC = γ∢ ( ADC∆ gleichschenklig)

5) Winkel 0CAD 180 2= − γ∢ (Innenwinkelsumme ADC∆ )

Gleichungen (3 Unbekannte / 3 Gleichungen)

Gleichung 1: 0 0141 180+ β = (Nebenwinkel)

Gleichung 2: 2γ = β (Aussenwinkel ABD∆ )

Gleichung 3: 0180α + β + γ = (Innenwinkelsumme ABC∆ )



Ersetzen wir Gleichung 1 durch 0180 2α = β + − γ (Winkel bei A zweimal

ausdrücken DAB CADα = +∢ ∢ ), so ist das Problem unterbestimmt, d.h. es

gibt unendlich viele Lösungen.

Interpretation und Analyse der Rechnerlösung

Taschenrechnerlösung: 0 32180 c1α = − ⋅ und 1

2 c1β = ⋅ und c1γ = , wobei die

Variable c1 eine beliebige Zahl sein kann (Einschränkungen durch die

Problemstellung: , ,α β γ sind Dreieckswinkel).

Z.B. 0 0 0 0c1 40 120 , 20 , 40= → α = β = γ = . Diese Lösung erfüllt die

Gleichung 0 0141 180+ β = , welche den Winkelβ bestimmt, nicht. Warum

ergibt das zweite Gleichungssystem nicht die korrekte Lösung?

Gleichung 1: 0180 2α = β + − γ 02 180→ α − β + γ =

Gleichung 2: 2γ = β → 02 0− β + γ =

Gleichung 3: 0180α + β + γ = → 0180α + β + γ =

Die Informationen der Gleichung 1 sind schon in den Gleichungen 2 und 3

enthalten. Gleichung 1 bekommen wir, indem wir Gleichung 2 und 3

addieren, Gleichung 1 ist also abhängig von Gleichung 2 und 3. Unser

Problem hat 3 Unbekannte aber nur 2 Gleichungen (Bedingungen). Wir sagen

das Problem ist unterbestimmt (zu wenige Bedingungen).

MERKE: Anzahl Unbekannte: So wenig wie möglich, so viel wie nötig !..

Wird beim Aufstellen von Gleichungen eine gegebene Information eines

Problems zweimal benutzt, dann erhalten wir unendlich viele Lösungen.

Je weniger Unbekannte ein Problem hat, desto besser ist die Überischt!



2.1.2 Übungsbeispiele Winkel im Dreieck Aufgabe 1 (w = AF = Winkelhalbierende)

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Lösungen A1: 012α = A2: α = β = γ =0 0 060 / 75 / 82,5 A3: 066α = A4: 011,5α =



Aufgabe 5

Aufgabe 6

Aufgabe 7

Aufgabe 8

Lösungen A5: α = β = γ =0 0 078 / 51 / 27 A6: 068α = A7:

042α = A8: 0115,5α =



Aufgabe 9

Aufgabe 10

Aufgabe 11

Aufgabe 12

Lösungen A9: 051α = A10: 051α = A11: 061,5α = A12:

075α =



2.1.3 Repetitionstest Winkel im Dreieck

Repetitionstest : Winkel im Dreieck Zeit: 45 Minuten Löse die 5 Aufgaben ohne Hilfsmittel als Test.

Simuliere eine Prüfungssituation, arbeite mit einer Uhr. Zeit für eine Augabe

ca. 9 Minuten. Falls dir der Zugang zu einer Aufgabe innerhalb nützlicher

Frist nicht gelingt, überspringe sie. Ziel: In der vorgegebenen Zeit möglichst

viele gelöste Aufgaben!

Aufgabe 1

Aufgabe 2



Aufgabe 3

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Lösungen A1: 067,5α = A 2: α = β = γ =0 0 045 / 67,5 / 78,75 A3: 0100α =

A4: α = β = γ =0 0 025 / 75 / 50 A5: 044γ =



2.1.4 Berechnungsaufgaben mit Parametern In den folgenden Aufgaben sind keine konkreten Zahlen gegeben. Die Winkel

werden mit Hilfe von Platzhaltern sogenannten Parametern gegeben. Für die-

se können dann im Resultat verschiedene Zahlen eingesetzt werden. Dies

bringt den Vorteil, dass durch eine Rechnung mit den Parametern, unendlich

viele Zahlenbeispiele durchgerechnet werden können. Weiter können Bedin-

gungen für die Parameter diskutiert werden (welche Zahlen sind möglich,

welche nicht?).

Aufgabe 1 Gegeben Winkel α ; Gesucht Winkel ϕ

Musterlösung

Lösungsidee: Winkel ABCβ = ∢ zweimal ausdrücken und gleichsetzen:

Innenwinkelsumme FBC∆ : 0 0 090 180 90+ ϕ + β = → β = − ϕ

Gleichschenkliges Dreieck ABC∆ : 01802

− αβ =

00 180

902 2

− α α− ϕ = → ϕ =




Aufgabe 3 Gegeben Winkel α , AD AB BC s= = = ; Gesucht Winkel ϕ




Aufgabe 5 Gegeben Winkel ,α β ; Gesucht Winkel ϕ




Aufgabe 7 Gegeben Winkel α , DE MB r= = ; Gesucht Winkel ϕ

DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Winkel am Kreis


Aufgabe 8 Es ist AC BC= und AE DE= . Berechne den Winkel ϕ aus den

gegebenen Winkeln α und β .

2.1.5 Lösungen Berechnungsaufgaben mit Parametern

Aufgabe 1: 2αϕ =

Aufgabe 2: 01352αϕ = −

Aufgabe 3: 3ϕ = α

Aufgabe 4: 0902αϕ = +

Aufgabe 5: 0180 2 2ϕ = − α − β

Aufgabe 6: 4ϕ = α

Aufgabe 7: 3ϕ = α

Aufgabe 8: ϕ = β − α



2.2 Geometrische Denkaufgaben Winkel am Kreis

2.2.1 Übungsbeispiele Kreiswinkel

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Lösungen A1: 036α = A2: 066α = A3:

044α = A4: 079α =



Aufgabe 5

Aufgabe 6

Aufgabe 7

Aufgabe 8

Lösungen A5: 024α = A6: 0105α = A7: 010α = A8:

067,5α =



2.2.2 Repetitionstest Kreiswinkel

Repetitionstest: Kreiswinkel Zeit: 45 Minuten Löse die 5 Aufgaben ohne Hilfsmittel als Test.



Frist nicht gelingt, überspringe sie.

Ziel: In der vorgegebenen Zeit möglichst viele gelöste Aufgaben!

Aufgabe 1

Aufgabe 2



Aufgabe 3

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Lösungen A1: 0112,5α = A2: 0106α = A3:

0100α = A4: 068α = A5:

048α =



2.2.3 Berechnungsaufgaben mit Parametern Aufgabe 1 Berechne den Winkel α mit Hilfe einer Gleichung. Aufgabe 2 Berechne den Winkel α aus β !

Aufgabe 3 Berechne ε aus α und β .



Aufgabe 4 Berechne die Winkel α undβ . Aufgabe 5 Berechne den Winkel α aus β !

Lösungen Kreiswinkel Berechnungsaufgaben mit Parametern

Aufgabe 1: α = 054

Aufgabe 2: βα =3

Aufgabe 3: ε = + α − β090

Aufgabe 4: α = 018 ; β = 033

Aufgabe 5: α = β − 02 180

Berechnungen von Dreieck und Viereck DialogMathe


3 Berechnungen von Dreieck und Viereck

3.1 Symmetrien Symmetrie als Strukturprinzip in Natur und

Technik ist ein faszinierendes und in der

Mathematik ein überaus bedeutsames Thema.

Symmetrie leitet sich vom altgriechischen

symmetria her und bedeutet "Ebenmass". Ein

Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn

es gegenüber bestimmten Transformationen

unverändert (invariant) bleibt.

Transformationen dieser Art werden als Symmetrieoperationen bezeichnet.

Symmetrien führen vielfach zur Vereinfachung von Problemlösungen.

In der Physik spricht man u. a. von Symmetrie, wenn ein System im Verlauf

von Operationen, beispielsweise bei Umkehr der Zeitrichtung und einer

Raum-Zeit-Verschiebung, unverändert bleibt. Viele physikalische Systeme

gehorchen solchen Symmetrien, auf die sich auch die Erhaltungssätze der

Physik beziehen. Alle fundamentalen Wechselwirkungen, Gravitation, die

elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkung werden nach

heutigem Wissen durch Symmetrien (Eichtheorien) beschrieben. Das

Fundament der Naturgesetze ist vermutlich eine perfekte, grossartige

Symmetrie. Seit Albert Einstein ist die Physik auf der Suche nach einer

»Theorie für Alles«. Zwei Kandidaten gelten derzeit als vielversprechend: die

Stringtheorie und die Schleifen-Quantengravitation (»loop quantum gravity«).

Die Schleifen-Quantengravitation beschreibt den geometrischen Raum als

Verkettung winziger Quanten und Schleifen.

Stringtheorie [englisch string »Faden«]

Die Stringtheorie ist eine Klasse physikalischer Theorien, die als fundamentale

Gebilde submikroskopische, schwingende »Fäden« betrachten. Diese werden

als Urgebilde des Weltalls angesehen und sollen nach einer möglichen String-

theorie als geschlossene Schleifen (Umfang 10−33 cm) einen zehndimensionalen

Raum bilden, in dem sie miteinander in Wechselwirkung stehen.

DialogMathe


Möglicherweise gestattet die Stringtheorie beziehungsweise die mit Anwe

dung der Supers

Quantenfeldtheorie aller Wechselwirkungen der Elementarteilchen.

Symmetrieverletzungen Die meisten Theo

allerdings nicht alle: Die

da die Zunahme der Entropie eine Zeitrichtung auszeichnet

spiel ist die zerbrochene Tasse, die sich nicht von selbst wieder zusam

fügt. Asymmetrien sind oft

Supraleitung durch eine Symmetriebrechung erklärt werden.

Chiralität (Händigkeit) Beim sp3-hybridisierten Kohlenstoffatom weisen die vier Bindungen in die

Ecken eines Tetraeders. Sind vier verschiedene Atome bzw. Gruppen an ein

C-Atom gebunden, gibt es zwei Konfigurationen, d.h. zwei unterschiedliche

Möglichkeiten, diese

Gruppen anzu-

ordnen. Man nennt

ein solches C-Atom

ein asymmetrisches

C-Atom (da sich

durch das Atom keine Spiegelebene legen läss

sitzt ein Molekül ein solches chirales C

Isomere, die sich wie Bild und Spi

Enantiomere unterscheiden sich nicht in ihrem chemischen Verhalten und, mit

Ausnahme ihrer

ten. Unterschiede gibt es j

Organismus kommt es zu Wechselwirkungen mit anderen chiralen Molek

len, bei denen die Konfigur

Beispiel: Struktur der beiden

Enantiomere von

Links (S)-Milchsäure, rechts

(R)-Milchsäure.


Möglicherweise gestattet die Stringtheorie beziehungsweise die mit Anwe

dung der Supersymmetrie entstandene Superstringtheorie


Die meisten Theorien erfüllen jeweils die vorgegebenen Symmetrien,

nicht alle: Die Thermodynamik ist nicht T-invariant

da die Zunahme der Entropie eine Zeitrichtung auszeichnet

spiel ist die zerbrochene Tasse, die sich nicht von selbst wieder zusam

Asymmetrien sind oft Hinweise auf tiefere Strukturen, so kann heute die


hybridisierten Kohlenstoffatom weisen die vier Bindungen in die


Atom gebunden, gibt es zwei Konfigurationen, d.h. zwei unterschiedliche

Möglichkeiten, diese

-

Man nennt

Atom

ein asymmetrisches

Atom (da sich

durch das Atom keine Spiegelebene legen lässt) oder Chiralitäts

sitzt ein Molekül ein solches chirales C-Atom, existieren zwei Konfigurations

Isomere, die sich wie Bild und Spiegelbild verhalten: die zwei


Ausnahme ihrer optischen Aktivität, auch nicht in physikalischen Eigenscha

ten. Unterschiede gibt es jedoch in ihrem biochemischen Verhalten,

Organismus kommt es zu Wechselwirkungen mit anderen chiralen Molek

len, bei denen die Konfiguration einen wesentlichen Einfluss

Struktur der beiden

Enantiomere von Milchsäure.

Milchsäure, rechts

Milchsäure.

Symmetrien

33

Möglicherweise gestattet die Stringtheorie beziehungsweise die mit Anwen-

eine einheitliche


Symmetrien,

invariant (Zeitumkehr),

da die Zunahme der Entropie eine Zeitrichtung auszeichnet - alltägliches Bei-

spiel ist die zerbrochene Tasse, die sich nicht von selbst wieder zusammen-

Hinweise auf tiefere Strukturen, so kann heute die


hybridisierten Kohlenstoffatom weisen die vier Bindungen in die


Atom gebunden, gibt es zwei Konfigurationen, d.h. zwei unterschiedliche

t) oder Chiralitäts-Zentrum. Be-

Atom, existieren zwei Konfigurations-

bild verhalten: die zwei Enantiomere.


, auch nicht in physikalischen Eigenschaf-

doch in ihrem biochemischen Verhalten, denn im

Organismus kommt es zu Wechselwirkungen mit anderen chiralen Molekü-

tion einen wesentlichen Einfluss hat.



Biochemie Viele biologisch wichtige Substanzen sind chiral, nicht nur die kleineren

Moleküle von Aminosäuren und Zuckern, sondern auch biologische

Makromoleküle wie Enzyme oder Rezeptoren. Bei einigen Substanzklassen

überwiegt oft ein Chiralitätssinn, so herrscht beispielsweise bei den

natürlichen Aminosäuren die L-Form vor. Chiralität als Folge des räumlichen

Baus von Molekülen hat entscheidende Bedeutung für das Funktionieren

biologischer Systeme, die alle selbst chiral sind. So sind viele Enzymreaktio-

nen auf ein Enantiomer, entweder das linksdrehende oder das rechtsdrehen-

de, spezialisiert, die Reaktionsgeschwindigkeit mit dem spiegelbildlichen

Enantiomer als Substrat ist dann deutlich geringer oder es wird gar nicht um-

gesetzt. Gar nicht so selten entfaltet das „falsche“ Enantiomer auch eine völlig

andere biologische Wirkung. Beispielsweise schmeckt bei einer bestimmten

Verbindung das eine Enantiomer süss, während sein Partner bitter ist. Bei

zahlreichen Geruchsstoffen unterscheidet sich der Geruchseindruck hinsicht-

lich Intensität und Ausprägung. Auch bei Pharmazeutika treten solche Effekte

fast regelmässig auf. Bei einigen Betablockern wirkt das eine Enantiomer

selektiv auf das Herz, das andere an den Zellmembranen des Auges.

Enzymreaktionen sind oft spezifisch für bestimmte Enantiomere, da das

aktive Zentrum eines Enzyms vielfach das eine Enantiomer leichter

aufnehmen kann als das andere. Das Enantiomere des Pharmawirkstoffes

D-Penicillamin, also das L-Penicillamin, ist toxisch. Deshalb ist eine hohe

Enantiomerenreinheit bei Arzneistoffen von überragender Bedeutung.

Geometrie

In der Geometrie ist die Symmetrie ein Merkmal bestimmter ebener und

räumlicher Formen. Unter Symmetrieoperationen versteht man Bewegungen,

die eine symmetrische Figur mit sich selbst zur Deckung bringen.

Die Symmetrieoperationen sind bezüglich eines gegebenen Punktes (Symmet-

riezentrum), einer Linie (Symmetrieachse) und einer Ebene (Symmetrieebene)

definiert.

DialogMathe Symmetrien


3.1.1 Achsensymmetrie Eine geometrische Figur heisst achsensymmetrisch, wenn sie

durch Umklappen um eine Gerade a (die Symmetrieachse)

mit sich selbst zur Deckung gebracht werden kann. P wird

durch Achsenspiegelung an der Achse a auf P' abgebildet.

Eigenschaften Achsenspiegelung • Die Strecke [PP'] wird durch die Symmetrieachse senkrecht halbiert.

• Zueinander achsensymmetrische Winkel sind gleich gross, aber

entgegengesetzt orientiert.

• Zueinander achsensymmetrische Strecken sind gleich lang.

• Geraden werden auf Geraden und Kreis auf Kreis abgebildet.

3.1.2 Drehsymmetrie Eine Figur heisst drehsymmetrisch, wenn sie durch Drehung um einen Punkt

um einen von 360°verschiedenen Winkel mit sich selbst zur Deckung gebracht

werden kann. Bei der Drehsymmetrie unterscheidet man zwischen 2 (3, 4, 5,...)

zähliger Drehsymmetrie, je nachdem, ob eine Halb-, (Drittel-, Viertel-,...) Dre-

hung möglich ist.

3.1.3 Punktsymmetrie Die Punktsymmetrie ist ein Spezialfall der

Drehsymmetrie. Unter Punktsymmetrie versteht man die

2-zählige Drehsymmetrie. Eine geometrische Figur heisst

punksymmetrisch, wenn sie durch eine Drehung von 180°

um einen Punkt Z (Symmetriezentrum) mit sich selbst zur Deckung gebracht

werden kann. P wird durch Punktspiegelung am Zentrum Z auf P' abgebildet.

Eigenschaften Punktspiegelung • Die Strecke [PP'] wird durch das Symmetriezentrum halbiert.

• Zueinander punktsymmetrisch Winkel sind gleich gross und

gleichsinnig orientiert.

• Zueinander punktsymmetrische Strecken sind gleich lang.

• Geraden werden auf Geraden und Kreise auf Kreise abgebildet.

3.1.4 Schubsymmetrie Eine Figur heisst schubsymmetrisch, wenn jeder ihrer Punkte durch eine

Verschiebung mit sich selbst zur Deckung kommt.



3.2 Übersicht Vierecke

Bestimmungsstücke

Ein Viereck wird im Allgemeinen eindeutig bestimmt, wenn von den vier

Seiten und vier Winkeln fünf Stücke gegeben sind. Ein Dreieck erfordert drei

Stücke, für den vierten Eckpunkt des Vierecks benötigt man zwei weitere. Hat

das Viereck spezielle Eigenschaften, so vermindert sich die Anzahl bis auf 1

beim Quadrat.

Symmetrie

Das symmetrische Drachenviereck hat eine Symmetrieachse und das

Parallelegramm ein Symmetriezentrum. Beide liegen deshalb in einer Zeile.

Dann liegen Raute und Rechteck nebeneinander. Beide haben zwei

aufeinander senkrecht stehende Symmetrieachsen und ein

Symmetriezentrum. Das Quadrat hat vier Achsen. Das Trapez passt nicht in

diese Anordnung. (Das gleichschenklige Trapetz hat eine Symmetrieachse).

DialogMathe Übersicht Vierecke


3.2.1 Quadrat

Definierende Eigenschaft 090α = β = γ = δ =

a b c d= = = Flächeninhalt und Umfang

2A a= ; U 4a= Diagonalen e f 2 a= = ⋅ ; e f⊥ e und f halbieren einander weitere Eigenschaften: vier Symmetrieachsen, Punktsymmetrie zu S

3.2.2 Rechteck

Definierende Eigenschaft 090α = β = γ = δ =

Flächeninhalt und Umfang A a b= ⋅

( )U 2 a b= ⋅ +

Diagonalen e f= , e und f halbieren einander weitere Eigenschaften a c= und b d= , zwei Symmetrieachsen, Punktsymmetrie zu S

3.2.3 Raute (Rhombus) Definierende Eigenschaft a b c d= = = Flächeninhalt und Umfang

12A e f= ⋅ ⋅ ; U 4a=

Diagonalen e f⊥ , e und f halbieren einander weitere Eigenschaften α = γ und β = δ , Punktsymmetrie zu S



3.2.4 Parallelogramm

Definierende Eigenschaft a c� und b d� Flächeninhalt und Umfang

a bA a h b h= ⋅ = ⋅ ( )U 2 a b= ⋅ +

Diagonalen e und f halbieren einander weitere Eigenschaften: α = γ und β = δ , a c= und b d=

Benachbarte Winkel haben die Summe 0180 , Punktsymmetrie zu S

3.2.5 Drachenviereck

Definierende Eigenschaft Eine Diagonale ist Symmetrieachse Flächeninhalt und Umfang

12A e f= ⋅ ⋅

( )U 2 a b= ⋅ +

Diagonalen e f⊥ , eine Diagonale wird halbiert weitere Eigenschaften: a d= und b c=

3.2.6 Trapez

Definierende Eigenschaft Mindestens zwei Seiten sind parallel Flächeninhalt und Umfang

( )12A a c h m h= ⋅ + ⋅ = ⋅

U a b c d= + + + Diagonalen Nichts Spezielles weitere Eigenschaften

0180α + δ = ; 0180β + γ =

DialogMathe Übersicht Vierecke


3.2.7 Partnerinterview Vierecke

Partnerinterview Vierecke Zeit: 15 Minuten

Löse den Multiple – Choice Test (Es sind mehrere Antworten pro Aufgaben-

stellung möglich). Diskutiere deine Ergebnisse mit deinem Lern-Partner. Falls

Fragen oder Unklarheiten auftauchen, notiere sie! Die Lösungen befinden sich

am Ende des Tests.

Multiple – Choice – Test Vierecke

1) Die Summe der Winkel im Viereck beträgt ... A) 0180 B) 0270 C) Das Doppelte der Winkelsumme im Dreieck. D) 0360 E) 090

2) Ein allgemeines Trapez ...

A) hat zwei parallele Seiten.

B) hat vier gleich lange Seiten.

C) hat zwei gleich lange Diagonalen.

D) ist achsensymmetrisch

3) Gegenüberliegende Winkel sind gleich gross ...

A) beim Quadrat

B) beim Rechteck

C) beim Drachen

D) beim gleichschenkligen Trapez

E) bei der Raute

4) Ein Quadrat ist auch ...

A) ein Parallelogramm, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.

B) ein Rechteck mit gleich langen Seiten.

C) eine Raute mit vier rechten Winkeln.

D) ein Trapez mit vier rechten Winkeln.

5) Welche Vierecke haben mindestens zwei Symmetrieachsen?

A) Drachen

B) Parallelogramm

C) Raute

D) Rechteck

E) Quadrat



6) Welche Aussagen treffen zu?

A) Jedes Viereck hat mindestens zwei parallele Seiten.

B) Jedes Viereck lässt sich in zwei Dreiecke zerlegen.

C) Die Winkelsumme beträgt immer 360°.

D) Diagonalen liegen immer senkrecht zueinander.

E) Jedes Viereck hat genau zwei Diagonalen.

7) Was macht ein Viereck zu einem allgemeinen Trapez?

A) zwei senkrecht zueinander liegende Seiten

B) zwei gleich lange Seiten

C) zwei gleich grosse Winkel

D) zwei gleich lange Diagonalen

E) zwei parallele Seiten

8) Es gibt nur eine Symmetrieachse ...

A) beim gleichschenkligen Trapez

B) beim Rechteck

C) beim Quadrat

D) beim Drachen

E) beim Parallelogramm

9) Benachbarte Winkel sind immer 180° gross ...

A) beim Drachen

B) beim Trapez

C) beim Parallelogramm

D) beim Quadrat

E) beim Rechteck

10) Für jede Raute gilt:

A) Jede Raute ist auch ein Trapez.

B) Jede Raute ist auch ein Parallelogramm.

C) Jede Raute ist auch ein Drachen.

D) Jede Raute ist auch ein Rechteck

Lösungen: Multiple – Choice – Test Vierecke

1) C, D 2) A 3) A,B,E 4) B,C 5) C,D,E

6) B,C,E 7) E 8) A, D 9) C,D,E 10) A,B,C

DialogMathe Strecken – und Flächenberechnungen


3.3 Strecken – und Flächenberechnungen 3.3.1 Dreiecksfläche und Heron

Grundformel Dreiecksfläche

12A Grundlinie Höhe∆ = ⋅ ⋅

a12A a h∆ = ⋅ ⋅

Heron’sche Flächenformel

( ) ( ) ( )A s s a s b s c∆ = ⋅ − ⋅ − ⋅ −

Wobei a, b und c die Längen der Dreiecksseiten sind und s der halbe Umfang.

( )12s a b c= ⋅ + +

3.3.2 Berechnungen von Strecken über Flächen

Beispiel 1 Anwendung zur Heron‘schen Flächenformel

Berechne die Dreieckshöhe ah , wenn die Seiten a 21cm= , b 10cm= und

c 17cm= gegeben sind.

a a12

2 AA a h h

a∆

∆⋅= ⋅ ⋅ → =

( ) ( )1 12 2s a b c 21 10 17 24= ⋅ + + = ⋅ + + =

( ) ( ) ( )A s s a s b s c 24 3 14 7 2 4 3 3 2 7 7 84∆ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

a2 A 2 84

h 8cma 21

∆⋅ ⋅= = =

Beispiel 2 Abstand im Quadrat

Gegeben ist das Quadrat ABCD mit der

Seitenlänge a 4cm= . BP 1cm= ,

1M und 2M sind Seitenmitten.

Berechne den Abstand x von P zur Strecke 1 2M M .



Lösungsidee: x als Höhe des Dreiecks 1 2PM M∆

berechnen.

Quadrat 1 2 3A A A A A

16 2 3 6 5∆ = − − −

= − − − =

1 2M M 2 2= ⋅ (Diagonale des Quadrates mit der

Seitenlänge 2)

1 2

2 A 2 5 5 5 2x 3,54

22 2 2M M∆⋅ ⋅ ⋅= = = = =

⋅

Nenner wurzelfrei machen

Beachte die Umformung: 5 5 2

22⋅= .

Wir erweitern den Bruch 5

2mit 2 :

5 2 5 222 2

⋅ ⋅=⋅

.

Warum machen wir diese Umformung?

Da 2 eine irrationale Zahl ist, können wir uns eine Teilung durch 2 nur

schwer vorstellen! Daher macht es Sinn generell Wurzeln im Nenner durch

Erweitern wegzuschaffen.

Teilen im Alltag: Du hast sicher schon einen Apfel halbiert oder in vier Teile

geteilt. Was würdest du machen, wenn du einen Apfel in 2 Teile teilen

müsstest?

Aufgabe

Das Quadrat ABCD hat die Seitenlänge 6cm.

M ist der Mittelpunkt der Quadratseite.

Berechne die schraffierte Dreiecksfläche, wenn

die Dreiecke AEM und BCE flächengleich sind.

[Lösung: 2A 15cm= ]

DialogMathe CAS - Bausteine


3.4 CAS - Bausteine

3.4.1 Rechner - Einsatz: CAS-Bausteine

(CAS = Computer-Algebra-System)

Die mühsame Berechnungsarbeit bei der Anwendung der Heron’schen

Flächenformel, kann mit dem Rechner automatiesiert werden.

Wir definieren einen CAS-Baustein heron(a,b,c):

Der CAS-Baustein ( )ah a,b,c berechnet aus den Seiten eines Dreiecks die

Höhe. Beachte, dass die entsprechende Höhe ( )ah a, ,… … durch die Eingabe

der ersten Seite festgelegt wird!

3.4.2 Arbeiten mit „CAS-Bausteinen“ Ein CAS-Baustein ist eine eindeutige Zuordung (siehe später Funktion).

Der Baustein heron(a,b,c) ordnet den drei Seiten a,b,c eines Dreiecks die

Fläche zu. Bausteine sind eine sinnvolle Anwendung, wenn es darum geht,

ein Problem schnell und immer wieder zu lösen. Da der Baustein vom

Benutzer selbst erarbeitet werden muss und der Baustein in der Regel eine

allgemeine Lösung ist (Baustein mit Variablen), ist es eine wunderschöne

Übung, um allgemeine Lösungsansätze herauszufinden. Mit einem Baustein

lässt es sich auch wunderbar experimentieren.

TI-Nspire: Bibliotheken

Eine Bibliothek ist ein TI-Nspire-Dokument, dessen Daten allen andern

Dokumenten zur Verfügung stehen. Objekte einer Bibliothek sind global zum

gesamten Nspire System, während normale Objekte lokal innerhalb eines

Problems sind. Bibliotheken lassen sich im Programmeditor erstellen.



Arbeiten mit dem Programmeditor von TI-Nspire

Programme werden in der Applikation Calculator erstellt. TI-Nspire verfügt

über einen Programmeditor, der über „menu“,9,1,1 gestartet wird. Gib im

sich öffnenden Fenster den Programmnamen „heron“ ein, als Typ Program

und für Bibliothekszugriff Lib Pub (im Katalog anzeigen).

Mit „OK“ öffnet sich eine geteilte Seite. Im rechten Fenster erscheint das

Programmgerüst unseres Programms. Mit „doc“,5,1 kann das rechte Fenster

verbreitert werden. Die Begrenzung wird mit den Pfeiltasten verschoben.

heron(a,b,c): Das Programm benötigt die drei Seiten des Dreiecks als Eingabe.

a,b,c,s und fläche werden als lokale Variablen definiert. Dann wird der halbe

Umfang s und die Fläche berechnet. Zuletzt wird die Fläche ausgegeben.

Der Stern (*heron) weist darauf hin, dass das Programm noch nicht gespei-

chert ist. Mit „menu“,2,1 kann die Syntax des Programms geprüft und das

DialogMathe CAS - Bausteine


Programm als Variable gespeichert werden. Ist das Programm fehlerfrei, er-

scheint die Meldung „heron“ erfolgreich gespeichert.

Das Programm kann nun mit „Var“ als Variable „heron“ im Calculator (linke

Seite) aufgerufen werden. Dazu kann mit „doc“,5,1 das linke Fenster wieder

verbreitert werden. Um das Programm in allen Anwendungen zur Verfü-

gung zu haben, muss es mit „Save“ in den Ordner MyLib gespeichert werden.

Gib als File Name „program“ ein (den File Name kannst du wählen! ).

Bevor die Variable „heron“ im Dokument „program“ mittels Katalog aufgeru-

fen werden kann, muss mit „Doc“, 6 die Bibliothek aktualisiert werden.

Beachte: „heron“ ist nun eine Variable im Dokument „program“ und kann

über den Katalog in allen TI-Nspire Dokumenten aufgerufen werden.

Es können weitere Programme als Probleme ins Dokument „program“ ge-

schrieben werden (maximal 30). Verlasse das Dokument „program“ und öffne



ein neues. Wähle die Applikation Calculator. Unser Programm kann im Kata-

log im Register 6 durch „anklicken“ aufgerufen werden. Mit „menu“,1,7,3

kann für „program“ ein shortcut z.B. „p“definiert werden. Gib p. (p Punkt)

ein und es erscheint eine Liste aller Programme im Dokument „program“.

Partnerinterview: Erstellen von CAS-Bausteinen Zeit: 15 Minuten

Überlege, wo dir die Anwendung von CAS-Bausteinen Vorteile bringen kann.

Erstelle einige nützliche CAS-Bausteine in der Mathematik oder in den

Naturwissenschaften.

CAS-Bausteine in der Mathematik

CAS-Bausteine in der Physik

CAS-Bausteine in der Chemie

DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Dreieck und Viereck


3.5 Geometrische Denkaufgaben Dreieck und Viereck

3.5.1 Übungsbeispiele Dreieck und Viereck

Aufgabe 1

Aufgabe 2 M = Mittelpunkt

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Lösungen A1: x 6cm=

A3: x 12cm= A2:

21A 6cm= , = 2

2A 20cm , = 23A 14cm

A4: x y 25cm+ =




Aufgabe 6

Aufgabe 7

Aufgabe 8

Lösungen A5: 38

A6: x 18cm= A7: x 20cm= A8: x 45 cm=



Aufgabe 9

Aufgabe 10

Aufgabe 11

Aufgabe 12

Lösungen A9: 2A 28cm= A10: 2A 28cm= A11:

2A 9cm= A12: 2D 15cm=



3.5.2 Repetitionstest Dreieck und Viereck

Repetitionstest: Dreieck und Viereck Zeit: 45 Minuten


Aufgabe 2

Aufgabe 3



Aufgabe 4

Aufgabe 5

Aufgabe 6

Lösungen A1: x 8cm= A2: x 4cm= A3: 2A 240cm= A4: x 6cm=

A5: x 9cm= A6: 2A 26cm=

Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck DialogMathe


4 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

Bezeichnungen a, b : Katheten ; c : Hypotenuse

h : Höhe ; p, q : Hypotenusenabschnitte

4.1 Sätze am rechtwinkligen Dreieck

Pythagoras : 2 2 2c a b= +

Höhensatz: 2h p q= ⋅

Kathetensatz: 2a p c= ⋅ , 2b q c= ⋅

4.1.1 Beweis Satz von Pythagoras

Partnerinterview: Beweis Satz von Pythagoras Zeit: 15 Minuten

Für den Satz von Pythagoras gibt es zahlreiche Beweise!

Entwickle eine Idee, für einen Beweis des Satzes von Pythagoras.

Suche einen Beweis im Internet!

DialogMathe / Sätze am rechtwinkligen Dreieck


Beweis: Satz von Pythagoras

4.1.2 Beweis Höhensatz, Kathetensatz

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lassen sich der Höhen- und Kathetensatz

rein algebraisch beweisen: Betrachte die beiden rechtwinkligen Teildreiecke

AFC und FBC (siehe Figur Seite 50).

Pythagoras: = +2 2 2b q h und = +2 2 2a p h

Addiere die beiden Gleichungen: + = + +2 2 2 2 2a b p q 2h

Mit ( )22 2 2 2 2a b c p q p 2pq q+ = = + = + + erhalten wir

( )22 2 2 2 2a b c p q p 2pq q+ = = + = + + und damit

Kathetensatz: ( )2 2 2 2a p h p pq p p q pc= + = + = + = . Die beiden Sätze lassen

sich auch mit Hilfe der Ähnlichkeit beweisen (siehe Kap. 6.1.2 Seite 91)

2 2 2 2 2 2 2p 2pq q p q 2h 2pq 2h h pq+ + = + + → = → =



4.2 Geometrische Denkaufgaben Pythagoras

4.2.1 Übungsbeispiele Pythagoras

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Lösungen A1: x 10cm= A2: A 2100 / x y z 240= + + = A3: x 17cm= A4: x 14cm=

DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Pythagoras


Aufgabe 5

Aufgabe 6

Aufgabe 7

Aufgabe 8

Lösungen A5: x 4cm= A6: x 30 cm= A7: x 26cm= A8: 2A 98cm=



Aufgabe 9

Aufgabe 10

Aufgabe 11

Lösungen A9: x 13cm= A10: x 13cm= A11: x 6cm=



4.2.2 Repetitionstest Pythagoras

Repetitionstest: Pythagoras Zeit: 45 Minuten Löse die 5 Aufgaben ohne Hilfsmittel als Test.



Frist nicht gelingt, überspringe sie.

Ziel: In der vorgegebenen Zeit möglichst viele gelöste Aufgaben!

Aufgabe 1

Aufgabe 2



Aufgabe 3

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Lösungen A1: x 28cm= A2: x 8cm= A3: =x 7cm A4: x 10cm= A5: x 74 cm=



4.2.3 Berechnungsaufgaben mit Parametern Aufgabe 1: Drücke x durch a aus.

Aufgabe 2: Berechne x aus a.

Aufgabe 3: Berechne den Abstand x der Ecke B von der Geraden AE, ausgedrückt durch a.

Lösungen Berechnungsaufgaben mit Parametern

Aufgabe 1: x 10 a 3,16a= ⋅ ≈

Aufgabe 2: 5

x a 0,745a3

= ⋅ ≈

Aufgabe 3: 30

x a 5,14a34

= ⋅ ≈



4.3 Spezielle rechtwinklige Dreiecke

4.3.1 Memo: Spezielle rechtwinklige Dreiecke

Memo Spezielle rechtwinklige Dreiecke

0 0 0 0 0 090 45 45 Dreieck / 90 60 30 Dreieck− − − − − −

Das gleichschenklig rechtwinklige Dreieck ( 0 0 090 45 45 Dreieck− − − ) → halbes Quadrat !

AB BC s= =

AC d 2 s= = ⋅ (Diagonale)

Die Hypotenuse ist 2 mal die Kathete!

Pythagoras: 2 2 2d s s= +

2 2d 2s=

2d 2s 2 s= = ⋅

d 2

s d22

= = ⋅

Das 0 0 090 60 30 Dreieck− − − → halbes gleichseitiges Dreieck

s

AB2

= ; BC s=

3AC h s

2= = ⋅ (Höhe)

Die Kathete h ist 3

2mal die Hypotenuse!

Pythagoras: 2

2 2 sh s

2 = −

2 23h s

4= ⋅

23 3h s s

4 2= ⋅ = ⋅

2 2 3

s h h33

⋅= ⋅ = ⋅

DialogMathe Spezielle rechtwinklige Dreiecke


4.3.2 Repetitionstest: Spezielle Dreiecke

Repetitionstest: Spezielle Dreiecke Zeit: 15 Minuten

Aufgabe 1

Gegeben: Gleichschenkliges

Dreieck ABC (a = b), Seite c

Gesucht: Seite a und Höhe h

Aufgabe 2

Gegeben: z

Gesucht: x und y

Aufgabe 3

Gegeben: Gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge s.

Gesucht: Fläche des Dreiecks.



4.3.3 Aufgaben: Spezielle Dreiecke Aufgabe 1

Das rechtwinklige Dreieck ACD ist

gleichschenklig CD AD= .

Berechne die Fläche des Vierecks ABCD,

wenn die Seite AB 2= ist. (Lösung exakt

angeben, d.h. nicht aufgehende Wurzeln

stehen lassen)

Aufgabe 2

Berechne die Fläche des Trapezes

ABCD ausDC s= .

Aufgabe 3

Die Geraden a und b sind Tangenten

an den Kreis.

Berechne aus h = 10 cm den Radius r

des Kreises.

Aufgabe 4

Das Dreieck ABC ist gleichseitig

und hat die Seitenlänge c = 5.

Berechne den Inhalt der

schraffierten Fläche BDEF.

DialogMathe Spezielle rechtwinklige Dreiecke


Aufgabe 5 In der nebenstehenden Figur ist D der

Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

des Winkels 0BCA 60=∢ mit dem

Umkreis des Dreiecks ABC.

Berechne den Flächeninhalt des

Dreiecks ABD aus der Länge c der

Seite AB

4.3.4 Lösungen Spezielle Dreiecke Repetitionstest: Spezielle Dreiecke

Aufgabe 1: c 2 c

a22

⋅= =

ch

2=

Aufgabe 2: 2 2 3x z z

33

⋅= ⋅ = ⋅

Aufgabe 3: 23A s

4= ⋅

Aufgaben: Spezielle Dreiecke

Aufgabe 1: 32A 3= +

Aufgabe 2: 21 3s

2 12 + ⋅

Aufgabe 3: r 20 3= ⋅ Aufgabe 4: 2

schraffiertA 0,125c 3,125= =

Aufgabe 5: 2c

A4 3

=⋅

Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

64

4.4 Pythagoras und Kreisberührungen

Memos Pythagoras und Kreisberührungen

Merke

Bei einer Berührung von zwei Kreisen k

immer auf der Verbindungslinie

M1 und M2.

Für die Berührung

zwei Fälle unterscheiden:

Äussere Berührung

Begründung Die beiden sich berührenden Kreise k

gente t. Der Berührungsradius steht jeweils senkrecht zur Tangente. Damit e

geben sich bei der äusseren Berührung beim Berührungspunkt B zwei 90

Winkel, d.h. ein gestreck

M1 und M2 und der Berührungspunkt B auf einer Geraden. Bei der inneren B

rührung liegen die Berührungsradien aufeinander.

Wir können drei verschiedene Aufgabentypen (Lösungsideen) unterscheiden.

Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck


und Kreisberührungen

Pythagoras und Kreisberührungen

Berührung von zwei Kreisen k1 und k2 liegt der Berührungspunkt B

immer auf der Verbindungslinie 1 2M M der beiden Kreismittelpunkten

Für die Berührung von zwei Kreisen k1 und k2 können wir

zwei Fälle unterscheiden:

Innere Berührung

beiden sich berührenden Kreise k1 und k2 haben eine gemeinsame Ta

gente t. Der Berührungsradius steht jeweils senkrecht zur Tangente. Damit e


Winkel, d.h. ein gestreckter Winkel (1800). Somit liegen die Kreismittelpunkte

und der Berührungspunkt B auf einer Geraden. Bei der inneren B

rührung liegen die Berührungsradien aufeinander.


DialogMathe


liegt der Berührungspunkt B

der beiden Kreismittelpunkten

haben eine gemeinsame Tan-

gente t. Der Berührungsradius steht jeweils senkrecht zur Tangente. Damit er-


). Somit liegen die Kreismittelpunkte

und der Berührungspunkt B auf einer Geraden. Bei der inneren Be-


DialogMathe Pythagoras und Kreisberührungen


4.4.1 Typ 1: ein rechtwinkliges Dreieck

Berechne r aus b.



4.4.2 Typ 2: Eine Strecke auf zwei verschiedene Arten berechnen

Berechne r aus a.

Lösungsvariante (Typ 1)



4.4.3 Typ 3: zwei rechtwinklige Dreiecke

Berechne r aus b.



4.4.4 Lösungen der Beispiele Typ 1 , 2 und 3 mit dem Rechner Interpretiere die Rechnerlösungen

4.4.5 Aufgaben: Kreisberührungen

Aufgabe 1 In einem Viertelkreis befinden sich zwei

Halbkreise, die sich berühren (siehe Figur).

Berechne den Radius x, wenn der Radius r

gegeben ist.



Aufgabe 2 Gegeben sei ein Quadrat ABCD mit

der Seitenlänge a. Berechne den

Radius x aus a.

Aufgabe 3 Gegeben ist ein Quadrat mit der

Seitenlänge 3a und ein Kreis mit

Radius a.

Wie gross ist der Radius x des

Halbkreises?



Aufgabe 4 Berechne aus der folgenden Figur

den Radius x aus r.

ZA r= ; rZP

4= r

WZ2

=

Aufgabe 5 Gegeben: Rechteck mit den Seiten a

und b.

Gesucht: Radius x des kleinen

Kreises.



Aufgabe 6: Kirchenfenster

Berechne x aus r.

4.4.6 Lösungen der Aufgaben 1 bis 6 mit dem Rechner

Interpretiere die Rechnerlösungen!

Dreieckskonstruktionen DialogMathe


5 Dreieckskonstruktionen

Kennen wir drei Stücke eines Dreiecks, so lässt es sich konstruieren.

Konstruieren heisst Punkte durch schneiden von geometrischen Örtern zu

bestimmen.

Später in der Trigonometrie werden wir sehen, dass sich ein Dreieck aus drei

gegebenen Stücken vollständig berechnen lässt.

5.1 Geometrische Örter

Geometrische Örter sind Punktmengen, die gewisse Bedingungen erfüllen.

5.1.1 Kreis

Wo liegen alle Punkte P, die von

einem Punkt M den gleichen

Abstand r haben?

5.1.2 Parallelenstreifen

Wo liegen alle Punkte P, die

von einer Geraden g den

gleichen Abstand h haben?

DialogMathe Geometrische Örter


5.1.3 Mittelsenkrechte

Wo liegen alle Punkte P, die von

zwei Punkten A und B den

gleichen Abstand haben?

=AP BP

5.1.4 Winkelhalbierende

Wo liegen alle Punkte P, die

von zwei sich schneidenden

Geraden g und h den gleichen

Abstand haben?

5.1.5 Ortsbogen für einen Winkel α

Wo liegen alle Punkte P, von

welchen eine Strecke AB unter

einem beliebigen Winkel

] 0 ;180 [α ∈ erscheint.

5.1.6 Speziell: Thaleskreis

Wo liegen alle Punkte P, von

welchen eine Strecke AB unter

einem rechten Winkel erscheint.

Dreieckskonstruktionen

74

5.2 Dreiecksstücke

Seiten a, b, c

Winkel , ,α β γ

Höhen a b ch , h , h

Seitenhalbierende

Winkelhalbierende

Umkreisradius R

5.2.1 Partnerinterview spezielle Linien

Partnerinterview spezielle Linien im DreieckZeit: 15 Minuten

1. Höhen

Wie ist eine Höhe im Dreieck definiert?

2. Seitenhalbierende

Wie ist die Seitenhalbierende im Dreieck definiert?

Die drei Seitenhalbierenden in einem Dreieck

Punkt. Wie nennen wir diesen Punkt und welche Eigenschaften hat er?


α β γ

a b ch , h , h

Seitenhalbierende a b cs , s , s

Winkelhalbierende a b cw , w , w

Umkreisradius R, Inkreisradius r

Partnerinterview spezielle Linien im Dreieck

Partnerinterview spezielle Linien im Dreieck Zeit: 15 Minuten

Wie ist eine Höhe im Dreieck definiert?

2. Seitenhalbierende

Wie ist die Seitenhalbierende im Dreieck definiert?

Die drei Seitenhalbierenden in einem Dreieck schneiden sich in einem


DialogMathe


schneiden sich in einem


DialogMathe Dreiecksstücke


3. Winkelhalbierenden

Wie ist eine Winkelhalbierende im Dreieck definiert? Welche Eigenschaften

besitzen die Punkte auf der Winkelhalbierenden?

Die drei Winkelhalbierenden in einem Dreieck schneiden sich in einem


4. Mittelsenkrechten

Wie ist eine Mittelsenkrechte im Dreieck definiert? Welche Eigenschaften

besitzen die Punkte auf der Mittelsenkrechten?

Die drei Mittelsenkrechten in einem Dreieck schneiden sich in einem Punkt.

Wie nennen wir diesen Punkt und welche Eigenschaften hat er?



5.2.2 Der Schwerpunkt eines Dreiecks

Der Schwerpunkt S eines beliebigen Dreiecks teilt jede Schwerelinie

(Seitenhalbierende) im Verhältnis 2 : 1.

5.2.3 Umkreismittelpunkt

Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt U.

Der Schnittpunkt ist Zentrum des Umkreises.

5.2.4 Inkreismittelpunkt

Die drei Winkelhalbierenden in einem Dreieck schneiden sich in einem Punkt

I. Der Schittpunkt ist Zentrum des Inkreises.



5.2.5 Die Winkelhalbierende im Dreieck

In jedem Dreieck gilt: Eine Winkelhalbierende ( w γ ) teilt die Gegenseite (c) im

Verhältnis der anliegenden Seiten. u av b

=

5.2.6 Anwendungen Winkelhalbierende: Berechnungsaufgaben

Aufgabe 1

Berechne die Fläche A des rechtwinkligen Dreiecks ABC.

(w = CE = Winkelhalbierende)



Aufgabe 2

Berechne die schraffierte Fläche A. (w = BE = Winkelhalbierende)

Aufgabe 3 Strahlensatz, siehe Kap. 6.2 Seite 94

(w = Winkelhalbierende)

Lösungen A1: = 2A 294cm A 2: = 2A 54cm A3: =x 60cm



5.2.7 Tangentenabschnitte

Die Tangentenabschnitte sind gleich lang: 1 2a a=

(Die Dreiecke 1PMB∆ und 2PMB∆ sind deckungsgleich.)

Anwendung

Lösungen =x 15cm Tangentenviereck

Vierecke, die einen Inkreis besitzen. Zeige: Es gilt a c b d+ = + .



5.2.8 Dynamisches Geometrieprogramm von TI-Nspire

Mit Hilfe von TI-Nspire lassen sich geometrische Sachverhalte dynamisch

veranschaulichen. Im Folgenden einige Beispiele:

Beispiel 1: Umkreismittelpunkt Dreieck ABC zeichnen und die Mittelsenkrechten konstruieren. Diese

schneiden sich in einem Punkt U, dem Umkreismittelpunkt.

Nun können wir die Form des Dreiecks verändern und dabei die Lage von U

beobachten.

Spizwinkliges Dreieck

Umkreismittelpunkt U

liegt im Innern des

Dreiecks!

Rechtwinkliges Dreieck


liegt auf der Hypotenuse

Stumpfwinkliges Dreieck


liegt ausserhalb des

Dreiecks



Beispiel 2: Teilverhältnis der Winkelhalbierenden

Dreieck ABC zeichnen und eine Winkelhalbierende konstruieren.

Die Dreiecksseiten b und c , sowie die beiden Teilabschnitte u und v können

gemessen werden und damit die beiden Verhältnisse berechnet werden.

Analog lassen sich andere Eigenschaften im Dreieck veranschaulichen., z.B.,

Lage des Höhenschnittpunkts Teilverhältnis Seitenhalbierende



5.3 Konstruktionsbeschreibung

Ein Dreieck konstruieren heisst die drei Eckpunkte des Dreiecks bestimmen.

Die Eckpunkte erhalten wir durch schneiden von geometrischen Örtern.

Im folgenden wollen wir Dreiecke nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren,

sondern mit Hilfe einer Schaufigur und einer Konstruktionsbeschreibung.

Diese soll sich auf die Schaufigur beziehen und in einer mathematischen

Sprache kompakt und verständlich die einzelnen Schritte der Konstruktion

wiedergeben.

5.3.1 Musterbeispiele Beispiel 1 Gegeben: a, a, hα

KB (Konstruktionsbeschreibung):

1) aHöhenstreifen h p, q→

2) a auf p hinlegen B, C→

3) Ortsbogen für über BC q Aα ∩ →

Kommentar

Schritt 1: aHöhenstreifen h p, q→

Auf q liegt der Punkt A, q ist der 1. geometrische Ort für die Ecke A.

p ist der 1. geometrische Ort für die Ecke B und C

Schritt 2: a auf p hinlegen B, C→

Schritt 3: Ortsbogen für über BC q Aα ∩ →

Der Ortsbogen ist der 2. geometrischer Ort für A.

Die Ecke A ergibt sich als Schnittpunkt der beiden geometrischen Örter.

DialogMathe Konstruktionsbeschreibung


Beispiel 2 Gegeben: a b, h , hα

KB. 1) ( )0

b bTeildreieck ABF h , , 90α

2) ( )a aThaleskreis über AB Kreis A,r h F∩ = →

3) a bBF AF C∩ →

Oder 1) bHöhenstreifen h p, q→

2) A auf p wählen A→

3) Winkel α bei A an p antragen AB→

4) AB q B∩ →

5) aThaleskreis über AB q F∩ →

6) aBF p C∩ →

Beispiel 3 Gegeben: a, , sβ γ

KB. Lösungsidee: B und C sind Punktsymmetrisch 1) a as hinlegen A, M→

2) ∗β →a aOrtsbogen für über AM spiegeln an M Ortsbogen

3) ∗γ ∩ →aOrtsbogen für über AM Ortsbogen C 4) C an aM spiegeln B→

Oder 1) Ähnliches Dreieck AB'C'mit a, , s 'β γ

2) Zentrische Streckung =

a

a

sStrekungszentrum A,Streckungsfaktor z

s '



Beispiel 4 Gegeben: a bs , s ,γ

KB. 1) b2s hinlegen B, D→

2) ( )1b b b3Kreis M ,r s M B S= ∩ →

3) ( )2a b3Kreis S,r s Ortsbogen für über DM A= ∩ γ →

4) bA an M spiegeln C→

Oder 1) a as hinlegen A, M→

2) ( )2a a3Kreis A,r s AM S= ∩ →

3) ∗γ →a aOrtsbogen für über AM an M spiegeln Ortsbogen

4) ( ) ∗= ∩ →2b3Kreis S,r s Ortsbogen B

5) aB an M spiegeln C→

5.3.2 Übungsbeispiele Dreieckskonstruktionen

Übung 1 Gegeben: ab, c, h



Übung 2 Gegeben: a, , hβ γ

Übung 3 Gegeben: a ba, h , h

Übung 4 Gegeben: aa, s , α

Übung 5 Gegeben: ac, s ,γ



Übung 6 Gegeben: a ba, s , s

Übung 7 Gegeben: a bb, h , s

Übung 8 Gegeben: bw , h ,α α

Übung 9 Gegeben: ar, h , α



Übung 10 Gegeben: aR, h , α

5.3.3 Partnerinterview Lösungsideen für Dreieckskonstruktionen

Partnerinterview Lösungsideen für Dreieckskonstruktionen Zeit: 20 Minuten

Fasse die wichtigsten Lösungsideen für die Dreieckskonstruktionen

zusammen und diskutiere sie! Höhenstreifen, Ortsbogen, Teildreieck,

Symmetrie, Ähnlichkeit, Parallelogramm

Streckenverhältnisse DialogMathe


6 Streckenverhältnisse

Wir haben schon zwei wichtige Sätze kennengelernt, in denen

Streckenverhältnisse vorkommen.

1. Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1.

2. Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberleigende Seite im Verhältnis

der anliegenden Seiten.

Hier handelt es sich um Teilungsverhältnisse. Im Folgenden wollen wir die

Seitenverhältnisse von ähnlichen (formgleichen) Dreiecken betrachten.

Du kennst den wichtigen Begriff kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke.

Dreiecke, die deckungsgleich sind, besitzen den gleichen Flächeninhalt und

die gleiche Form. (deckungsgleich = flächengleich + formgleich)

Flächengleichheit

Berechnung der Dreiecksfläche: g h Grundlinie mal HöheA

2 2⋅= =

Begründe: Die Dreiecke ABC∆ , 1ABC∆ , 2ABC∆ und 3ABC∆ haben die

gleiche Fläche.

Formgleichheit Wann sind Dreiecke formgleich?

DialogMathe Ähnliche Dreiecke


Bei kongruenten (deckungsgleichen) Dreiecken sind zwei entsprechende

Strecken (z.B. Seiten, Höhen usw.) gleich. Bei ähnlichen (formgleichen)

Dreiecken ist das Verhältis von zwei entsprechenden Strecken gleich.

Durch Gleichsetzen von Streckenverhältnissen ähnlicher Figuren erhalten wir

Gleichungen, aus denen jeweils eine Strecke berechnet werden kann. Dies

wollen wir im Kapitel 6.1 für Dreiecke anwenden.

Bei ähnlichen Dreiecken in perspektivischer Lage (zentrische Streckung)

kennen wir die Strahlensätze (Kap. 6.2), die uns bei Streckenberechnungen

helfen können.

Speziell untersuchen wir in Kap. 7.3 den Zusammenhang zwischen Winkel

und Seitenverhältnissen von ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken. Wir

definieren Zuordungen (trigonometrische Funktionen) bei denen einem

Seitenverhältnis ein Winkel zugeordnet wird. Mit diesem Werkzeug lassen

sich Dreiecksberechnungen durchführen.

6.1 Ähnliche Dreiecke

Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, dann sind sie ähnlich.

'α = α und 'β = β ⇒ ABC A 'B'C'∆ ∆∼



6.1.1 Partnerinterview ähnliche Dreiecke

Partnerinterview ähnliche Dreiecke Zeit: 20 Minuten

Finde alle ähnlichen Dreiecke und beweise deren Ähnlichkeit.

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3



Berechnungen mit Ähnlichkeit

Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, dann haben zwei entsprechende Strecken

(z.B. Seiten, Höhen, Winkelhalbierende, Umkreisradien, Umfänge . . . . ) das

gleiche Längenverhältnis.

ABC A 'B'C'∆ ∆∼ ⇒ a ' h ' w ' R ' U'k

a h w R U= = = = =

6.1.2 Partnerinterview Berechnungen mit Ähnlichkeit

Partnerinterview Berechnungen mit Ähnlichkeit Zeit: 10 Minuten

Zeige mit Hilfe ähnlicher Dreiecke, dass die folgenden Sätze am rechtwinkli-

gen Dreieck gelten.

Höhensatz: 2h p q= ⋅

Die beiden ähnlichen Dreiecke:

Seitenverhältnis:

Kathetensatz: 2a p c= ⋅


Seitenverhältnis:

Kathetensatz: 2b q c= ⋅


Seitenverhältnis:



Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke

Die Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate

entsprechender Strecken.

ABC A 'B'C'∆ ∆∼ ⇒ A 'B'C ' 2 2A 'B 'C ' ABC

ABC

Ak A k A

A= ⇒ = ⋅

2 2 2

2 a ' h ' w 'k

a h w = = = =

⋯⋯

6.1.3 Partnerinterview Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke

Partnerinterview Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke Zeit: 10 Minuten

Gegeben ABC A 'B'C'∆ ∆∼

Dreieck ABC: Grundlinie c und Höhe h

Dreieck A’B’C’: Grundlinie c’ = 2c und Höhe h’ = 2h

Streckenverhältnis:

c ' h 'k

c h= = =

Flächenverhältnis:



6.1.4 Aufgaben zur Ähnlichkeit Aufgabe 1

Berechne im nebenstehenden Dreieck ABC die Seite AC x= , wenn BC 5cm= und BD 3cm= gegeben sind.

Aufgabe 2

Für die Flächen der Dreiecke ASD und BCS gilt: ASD

BCS

A 225A 49

∆

∆=

a) Zeige, dass die Dreiecke ASD und BCS ähnlich sind.

b) Berechne den Radius r MA MB= = des Halbkreises, wenn AD 12= und DS 9= ist.

Lösungen

Aufgabe 1: 809x 8,89= ≈

Aufgabe 2: a) Dreiecke haben gleiche Winkel (Thaleskreis, Scheitelwinkel) b) r 10=



6.2 Strahlensätze

Eine Strahlensatzfigur besteht aus zwei sich schneidenen Geraden g und h

und zwei parallelen Geraden p und q.

Der Schnittpunkt Z von g und h nennen wir Strahlensatzzentrum.

Die Strecken auf den sich schneidenden Geraden g und h heissen

Strahlenabschnitte.

Die Strecken auf den Parallelen p un q heissen Parallelenabschnitte.

DialogMathe Strahlensätze


6.2.1 Erster Strahlensatz Ohne Parallelenabschnitte (c, d) oder (m, n)

nur mit Strahlenabschnitten ( 1 2 1 2a ,a ,b ,b ) oder ( 1 2 1 2u ,u ,v ,v )

1 1

2 2

a ba b

= 1 1

2 2

u vu v

=

oder 1 1

1 2 1 2

a ba a b b

=+ +

Auch möglich 1 2

1 2

a ab b

=

6.2.2 Zweiter Strahlensatz Mit Parallelenabschnitten (c,d) oder (m, n) und

mit Strahlenabschnitten ( 1 2 1 2a ,a ,b ,b ) oder ( 1 2 1 2u ,u ,v ,v )

1

1 2

c ad a a

=+

1

2

m un u

=

oder 1

1 2

c bd b b

=+

oder 1

2

m vn v

=

Auch möglich 1 1 2

c db b b

=+

Auch möglich 1 2v vm n

=



6.2.3 Partnerinterview Berechnungen mit den Strahlensätzen

Partnerinterview Berechnungen mit Strahlensätzen Zeit: 10 Minuten

Berechnungen ohne Taschenrechner!

1. Strahlensatz : Berechne x und y. (Strahlenabschnitte)

2. Strahlensatz: Berechne x, y und z. (Strahlenabschnitte und

Parallelabschnitte)

Berechne x und die Fläche 1A , wenn 22A 4cm=

DialogMathe Strahlensätze


6.2.4 Aufgaben Strahlensätze Aufgabe 1 : Geometrie im Garten

In einem Garten stehen zwei Pfähle mit den

Höhen a = 2m und b = 3m im Abstand d = 5m.

Jede Pfahlspitze ist mit dem Fuss des andern

Pfahles durch eine gespannte Schnur verbunden.

a) In welcher Höhe h treffen sich die Schnüre? b) Wie ändert sich die Höhe h, wenn der Abstand d halbiert wird?

Aufgabe 2 Gegeben: Quadrat ABCD mit der Seite s 10cm= ; FA 2s=

M = Mitte von BC

Gesucht: Strecke EM x=

Aufgabe 3

Gegeben: rechtwinkliges Dreieck ABC mit BC 6cm= ; AC 8cm= .

Gesucht: Strecke EF x=

Lösungen Aufgaben Strahlensätze

Aufgabe 1: a) h 1,2 m= b) h bleibt gleich (ist unabhängig von d)

Aufgabe 2: x 10,14 cm=

Aufgabe 3: x 3,43 cm=



6.3 Geometrische Denkaufgaben Strahlensätze und Ähnlichkeit 6.3.1 Übungsbeispiele Strahlensätze und Ähnlichkeit Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Lösungen A1: 2A 27cm= A 2: 2A 84cm= A3:

2A 300cm= A4: x 6cm=

DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Strahlensätze und Ähnlichkeit


Aufgabe 5

Aufgabe 6

Aufgabe 7

Aufgabe 8

Lösungen A5: x 3cm= A 6: x 100cm= A7: x 6cm= A8: x 12cm=



Aufgabe 9

Aufgabe 10

Aufgabe 11

Aufgabe 12

Lösungen A9: x 24cm= A 10: x 35 cm= A11: 2A 42cm= A12: x 6cm=

DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Strahlensätze und Ähnlichkeit


6.3.2 Repetitionstest Strahlensätze und Ähnlichkeit

Repetitionstest : Strahlensätze und Ähnlichkeit Zeit: 25 Minuten

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Lösungen A1: =x 10cm A2: = 2A 864cm A3: =x 45cm A4: = 2A 42cm

Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe


7 Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben

7.1 Geometrische Denkaufgaben Lösungen mit dem CAS

Mathematisch arbeiten heisst Gleichungen aufstellen. Beim Lösen von

Problemen können wir Unbekannte einführen. Brauchen wir eine Grösse zur

Berechnung einer anderen und ist diese nicht bekannt, so geben wir ihr einen

Namen. Somit haben wir eine weitere Unbekannte in unser Problem

eingeführt. Die Anzahl der Unbekannten sollte möglichst klein sein, denn für

jede Unbekannte braucht es eine Gleichung, damit diese bestimmt werden

kann. In den Gleichungen, die wir aufstellen können mehrere Unbekannten

vorkommen. Da die Gleichungen miteinander gekoppelt sind, sprechen wir

von einem Gleichungssystem. Ein 2x2 Gleichungssystem besteht aus zwei

Gleichungen, die zwei Unbekannten bestimmen können. Das Auflösen von

Gleichungssystemen ist in der Regel sehr aufwendig (siehe später). Der

Rechner kann uns diese Arbeit mit Hilfe des „solve-Befehles“ abnehmen!

Dadurch gewinnen wir Zeit, vor allem wenn es sich um 3x3 oder grössere

Gleichungssysteme handelt. Jedoch müssen wir die vom Rechner

vorgeschlagene Lösung Interpretieren und auf ihre Richtigkeit überprüfen!

Im folgenden diskutieren wir einige schon gelöste geometrische

Denkaufgaben. Dabei verwenden wir jeweils die folgenden zwei

verschiedenen Lösungsansätze:

• Algebraische Lösungsmethode (Gleichungssystem)

Wir führen Unbekannte ein und stellen Gleichungen auf. Die

Gleichungen erhalten wir durch Anwenden von geometrischen Sätzen.

Zum Auflösen des Gleichungssystems brauchen wir den Rechner!

• Geometrische Lösungsmethode (sequentielle Lösung)

Wir berechnen Hilfsgrössen, die zur gesuchten Grösse führen, jeweils

nacheinander. Der Rechner wird nicht benötigt.

DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Lösungen mit dem CAS


7.1.1 Aufgabe 1 Seite 101: Vergleich von zwei verschiedenen Lösungen

Algebraische Lösung mit Hilfe von Gleichungen (Gleichungssystem)

Einführung von zwei Unbekannten:

y DE= und z DB= .

Wir brauchen drei Gleichungen für die Unbekannten x, y und z.

1. Strahlensatz Zentrum Punkt A: ( )12 : y 12 z : 24= +

2. Bestimmungsgleichung 5D = 4T: 12 y y 245 4 z

2 2⋅ +⋅ = ⋅ ⋅

3. Pythagoras Dreieck EFC : ( )22 2x z 24 y= + −

Auflösen des Gleichungssystems mit Hilfe des Rechners.

Berechnung von y und z (2x2 – Gleichungssystem), anschliessend Berechnung

von x!

Berechnung von x , y und z (3x3 – Gleichungssystem)



Lösung ohne Rechner (geometrische Lösung mit Hilfe des Ähnlichkeitsfaktors)

Ähnliche Flächen: = =+

2D 4k

D T 9

→ = 2k

3 (Ähnlichkeitsfaktor)

AE 2x= ; AC 3x= ;

3AB AD 18cm

2= ⋅ =

Pythagoras im Dreieck ABC: 2 23x 18 24 30 x 10cm→ = + = → =

7.1.2 Aufgabe 8 Seite 99: Vergleich von zwei verschiedenen Lösungen

Lösung ohne Rechner (geometrische Lösung mit Hilfe des Ähnlichkeitsfaktors)

Hilfslinie 1 3M M , Strahlensatz Zentrum B

3GM 5= 1GM 15→ =

Ähnliche Dreiecke: 1 2M GE CM E∆ ∆∼

Ähnlichkeitsfaktors: 15 3k

10 2= =

1M E 3T= ; EC 2T=

Strahlensatz Zentrum 1M : 3T 203T : x 5T : 20 x 12

5T⋅= → = =

DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Lösungen mit dem CAS


Algebraische Lösung mit Hilfe von Gleichungen (Gleichungssystem)

Hilfslinie EH

Unbekannte y CH= einführen.

Wir brauchen zwei Gleichungen für die Unbekannten x und y.

Erste Lösungsvariante

1. Strahlensatz Zentrum B: ( ) ( )20 y : 20 x 20 : 10− − =

2. Strahlensatz Zentrum E: ( ) ( )20 x : y x : 10 y− = −

Zweite Lösungsvariante

1. Strahlensatz Zentrum 1M : ( )x : 10 y 20 : 10− =

2. Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck CEB: ( ) ( )2y 20 y 20 x⋅ − = −



Interpretation der Taschenrechnerlösung

Analysiere die folgende Lösungsvariante.

Einführung von zwei Unbekannten:

1y M E= und 1z M F= .

Wir brauchen drei Gleichungen für die

Unbekannten x, y und z.

2 21M C 10 20 500= + =

Strahlensatz Zentrum 1M 1. x : y 20 : 500=

2. z : x 10 : 20=

Pythagoras 3. 2 2 2y x z= +

Als Lösung erhalten wir vom Rechner ein Resultat mit einer Konstanten c1.

Diese kann durch eine beliebige Zahl ungleich Null belegt werden.

Das Gleichungssystem hat somit unendlich viele Lösungen, z.B. die Lösung

z = c1 = 1 , y = 2.236 , x = 2

Die Figur zeigt aber, dass es nur eine Lösung geben kann. Wo liegt der Fehler?

Die eingeführten Unbekannten x, y, z sind die Seiten des rechtwinkligen

Dreiecks EFM1, dadurch wird das Problem unterbestimmt.

Lösungsvariante

Strahlensatz Zentrum 1M : x : z 20 : 10=

Strahlensatz Zentrum E: ( ) ( )x : z 20 x : 10 z= − −

DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Ansetzen einer Gleichung


7.2 Geometrische Denkaufgaben Ansetzen einer Gleichung

7.2.1 Winkelaufgaben

Aufgabe 1

Musterlösung

Schaufigur entwickeln:

Hilfslinien AD und CD .

ABD gleichschenklig DAB∆ → = α∡

BCD gleichschenklig, Aussenwinkel bei B BCD2α∆ = α → =∡

1 Unbekannte braucht eine Gleichung:

Innenwinkelsumme ACD∆ : 01802αα + + α =

0 05180 72

2α = → α =



Aufgabe 2

Musterlösung

Schaufigur entwickeln:

0ABC gleichschenklig ABC und CAB 180 2∆ → = γ = − γ∡ ∡

3 Unbekannte benötigen 3 Gleichungen:

gestreckter Winkel bei F: 02 180α + β =

Innenwinkelsumme ADE∆ : 0 0 0180 2 90 180− γ + β + =

Innenwinkelsumme Viereck DBCF : 02 2 360γ + β + α =

Gleichungssystem

02 180α + β =

02 90−β + γ = 02 2 360α + β + γ =

Lösung mit Taschenrechner



Aufgabe 3

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Aufgabe 6

Lösungen A3: 072α = A4:

020α = A5: α = β = γ =0 0 048 / 66 / 84 A6: 0108α =



Aufgabe 7

Aufgabe 8

Aufgabe 9

Aufgabe 10

Lösungen A7:

054α = A8: 036α = A9:

01

777α = A10:

030α =



7.2.2 Flächen und Streckenberechnungen Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Lösungen A1: 2A 6 cm= A2: x 3cm= A3: x 21cm= A4: x 12cm=



Aufgabe 5

Aufgabe 6

Aufgabe 7

Aufgabe 8

Lösungen A5: x 17cm= A6: x 8cm= A7: x 5cm= A8: x 18cm=



7.2.3 Repetitionstest Ansetzen einer Gleichung

Repetitionstest Ansetzen einer Gleichung Zeit: 25 Minuten

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Lösungen A1:

090α = A2: x 48 cm= A3: x 18cm= A4: x 21cm=



7.3 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck 7.3.1 Warum Trigonometrie?

Die Trigonometrie (griechisch „Dreiecksmessung“) beschäftigt sich mit der

Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieck. Darüber hinaus wird

sie aber auch in nichtgeometrischen Gebieten vielfältig angewendet.

Zusammenhang Streckenlänge und Winkel

Bis jetzt kennen wir in der Geometrie Sätze, die Aussagen über nur Winkel

oder nur Strecken machen.

Beispiele für geometrische Sätze

Dreieckswinkel

Innenwinkelsumme: 0180α + β + γ = , Aussenwinkelsatz: 'α = β + γ

Strecken im rechtwinkligen Dreieck

Pythagoras: 2 2 2a b c+ = , Höhensatz: 2h p q= ⋅

Sind drei Grössen eines Dreiecks bekannt, so kann dieses mit Zirkel und

Lineal konstruiert werden. Ziel der Trigonometrie ist es, ein Dreieck aus

beliebigen drei Stücken zu berechnen, z.B. aus zwei Dreiecksseiten und einem

Winkel können alle anderen Stücke des Dreiecks berechnet werden. Dazu

brauchen wir geometrische Sätze, die Strecken und Winkel enthalten.

Zuordnung zwischen Winkel und Seitenverhältnis

Wir werden sehen, dass es zwischen Winkeln und Strecken keinen direkten

Zusammenhang gibt, dass wir aber im rechtwinkligen Dreieck eine

Zuordnung zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen definieren können.

Diese Zuordnungen werden wir Winkelfunktionen (trigonometrische

Funktionen) nennen. Die trigonometrischen Funktionen spielen in der

Technik und dort vor allem zur Beschreibung von periodischen Vorgängen

eine bedeutende Rolle. Ihre Ursprünge reichen sehr weit zurück und im

Gegensatz zu anderen Funktionen liegen ihre Wurzeln deutlich im

geometrischen Bereich. Grundlage aller Berechnungen ist das rechtwinklige

Dreieck. Jedes andere Dreieck können wir durch zeichnen einer Höhe in zwei

rechtwinklige Dreiecke zerlegen.

DialogMathe


7.3.2 Definition am rechtwinkligen Dreieck

Untersuche den

Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken.

Dyn. Arbeitsblatt Seitenverhältnisse rechtwinkliges Dreieck

Dynamisches ArbeitsblattGeoGebra: Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

Zeit: 10 Minuten

Schieberegler:

• Winkel

• Mit dem Faktor

verändert werden.

a, b,c sind die Seiten im rechtwinkligen Dreieck

(für den Winkel

1 1 1a , b ,c sind die Seiten im rechtwinkligen Dreieck

Arbeitsaufträge

1) Wir betrachten Seitenverhältnisse der drei Seiten a, b und c. Wie viele Mö

lichkeiten zur Bildung von Verhältnissen gibt es? Notiere dir alle Verhältnisse

und versuche sie

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck


Definition am rechtwinkligen Dreieck

Untersuche den Zusammenhang zwischen den Seitenverhältnissen und den

Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken.

Dyn. Arbeitsblatt Seitenverhältnisse rechtwinkliges Dreieck

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra: Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

Zeit: 10 Minuten

Winkel α für die zwei rechtwinkligen Dreiecke ABC∆

dem Faktor [ ]k 10 ; 20∈ − kann das Dreieck AB C∆

verändert werden.

die Seiten im rechtwinkligen Dreieck ABC∆

den Winkel α sind: a = Gegenkathete, b = Ankathete, c = Hypotenuse)

die Seiten im rechtwinkligen Dreieck 1 1AB C∆

betrachten Seitenverhältnisse der drei Seiten a, b und c. Wie viele Mö


und versuche sie zu ordnen.


115

Zusammenhang zwischen den Seitenverhältnissen und den

ABC und 1 1AB C∆ .

1 1AB C in der Grösse

= Hypotenuse)

1 1

betrachten Seitenverhältnisse der drei Seiten a, b und c. Wie viele Mög-




2) Im Arbeitsblatt werden alle Verhältnisse für die zwei verschiedenen Drei-

ecke berechnet. Verändere den Winkel α und beobachte jeweils die entspre-

chenden Verhältnisse in den beiden Dreiecken. Was stellst du fest? Kannst du

diese Gesetzmässigkeit mit einem Satz aus der Geometrie begründen? Formu-

liere einen Satz über die Seitenverhältnisse und den Winkel α am rechtwink-

ligen Dreieck.

3) Verändere die Grösse des Dreiecks 1 1AB C∆ mit Hilfe des Faktors k und

beobachte die Seitenverhältnisse. Was stellst du fest?

Ergebnis

Im rechtwinkligen Dreieck besteht ein Zusammenhang zwischen Winkeln

und Seitenverhältnissen. Ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck wird durch

ein Seitenverhältnis eindeutig bestimmt. Und umgekehrt gilt: Wenn ein

Winkel gegeben ist, sind die Seitenverhältnisse eindeutig bestimmt. Es gilt:

Das Verhältnis zweier Seiten am rechtwinkligen Dreieck ist eine Funktion des

Winkels. Diese Zuordnungen ergeben die trigonometrischen Funktionen.

Definition der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck

(3 Winkelfunktionen genügen für die praktische Arbeit):

Definition

Gegenkathetesin( )

Hypotenuseα =

Ankathetecos( )

Hypotenuseα =

Gegenkathetetan( )

Ankatheteα =

Zur Information: Die anderen möglichen Verhältnisse definieren den Sekans,

Kosekans und den Kotangens.

Hypotenuse Hypotenuse Ankathetesec( ) ; csc( ) ; cot( )

Ankathete Gegenkathete Gegenkatheteα = α = α =

DialogMathe


Dyn. Arbeitsblatt Definition der trigonometrischen Funktionen

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra: Definition_TrigoFunk am Zeit: 15 Minuten


Schieberegler:

a, b,c sind die Seiten im rechtwinkligen Dreieck

(für den Winkel

Arbeitsaufträge

1) Von den 6 möglichen Seitenverhältnissen genügt es für die Praxis, wenn

wir drei als Winkelfunktionen definieren.

Wie sind die drei Winkelfunktionen

2) Im Allgemein

Rechner möglich (Beachte Einstellung Bogenmass / Gradmass).

Für einige spezielle Winkel gelingt uns die Berechnung von Hand. Berechne

( )sin α , (cos α

[eventuell 15 und 22,5α =

3) Die beiden Winkel

definiert. Welche Werte würdest du den drei Winkelfunktionen für diese be

den Winkel zuordnen?



Dyn. Arbeitsblatt Definition der trigonometrischen Funktionen

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra: Definition_TrigoFunk am rechtwinkligen Dreieck Zeit: 15 Minuten


: Winkel α für das rechtwinklige Dreieck ABC∆

die Seiten im rechtwinkligen Dreieck ABC∆

Winkel α sind: a = Gegenkathete, b = Ankathete, c = Hypotenuse)

den 6 möglichen Seitenverhältnissen genügt es für die Praxis, wenn

wir drei als Winkelfunktionen definieren.

Wie sind die drei Winkelfunktionen ( )sin α , ( )cos α und tan

Allgemeinen sind Berechnungen der Winkelfunktionen nur durch den

echner möglich (Beachte Einstellung Bogenmass / Gradmass).


)α und ( )tan α für die speziellen Winkel α =

0 015 und 22,5α = ]

Winkel 0 00 und 90α = sind im rechtwinkligen Dreieck nicht

definiert. Welche Werte würdest du den drei Winkelfunktionen für diese be

den Winkel zuordnen?


117

rechtwinkligen Dreieck


ABC∆

sind: a = Gegenkathete, b = Ankathete, c = Hypotenuse)

den 6 möglichen Seitenverhältnissen genügt es für die Praxis, wenn

( )tan α definiert?

nktionen nur durch den

echner möglich (Beachte Einstellung Bogenmass / Gradmass).


0 0 030 ,45 ,60α = .

sind im rechtwinkligen Dreieck nicht

definiert. Welche Werte würdest du den drei Winkelfunktionen für diese bei-



Ergebnis

Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck: Das Verhältnis entsprechen-

der Seiten ist konstant. Wenn der Winkel α gegeben ist, sind die Seitenver-

hältnisse bestimmt. Einem Winkel α können Seitenverhältnisse zugeordnet

werden und umgekehrt kann den Seitenverhältnissen ein Winkel α zugeord-

net werden.

Wir sagen: Das Verhältnis zweier Seiten am rechtwinkligen Dreieck ist eine

Funktion des Winkels α (Winkelfunktion = trigonometrische Funktion)

7.3.3 Repetitionstest: Definition trigonometrische Funktionen

Repetitionstest: Definition trigonometrische Funktionen Zeit: 10 Minuten

Ergänze die fehlenden Winkel bzw. Seitenlängen!

f

cos =

f

tan =

f

sin =

Ergänze sin, cos oder tan

c( )

dα =

c( )

dβ =

e( )

cβ =

Ergänze sin, cos oder tan und die zugehörigen Winkel

ba

=

cb

=

ca

=

DialogMathe Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck


Beschrifte die beiden Dreiecke, so dass die dahinter stehenden Beziehungen gelten.

csin

aα =

btan

cβ =

dsin

eγ =

d

tanf

ϕ =

Partnerinterview Sinus Kosinus Tangens rechtwinkliges Dreieck Zeit: 10 Minuten

Frage 1: Wie lauten die Verhältnisse für die folgenden Winkelfunktionen?

Ermittle aus der nebenstehenden Figur: sin( )α =

cos( )ε =

tan( )ε =

cos( )β = tan( )α = sin( )γ =

Frage 2: Welche Winkel gehören zu den folgenden Verhältnissen?

Ergänze den Winkel (siehe Figur oben): h

tan( )u

= ; hsin( )

m=

h

cos( )m

= ; vsin( )

n=



Diskutiere folgende Aussagen.

• Ein Sinuswert kann nicht über 1 liegen.

• Die Sinuswerte nehmen zu, wenn α von 00 bis 090 zunimmt.

• Ein Tangenswert kann niemals über 1 liegen.

• Ein Kosinuswert kann über 1 liegen.

• Die Kosinuswerte nehmen zu, wenn α von 00 bis 090 zunimmt.

• Der Tangens ist 1, wenn 045α = ist.

Anwendung Ein Ballon ist mit einem 300m langen Seil mit

dem Erdboden verbunden. In welcher Höhe

befindet sich der Ballon, wenn windbedingt

das Seil einen Winkel von 700 mit dem

Erdboden bildet?

Merke: Zentrale Entdeckung der Trigonometrie

Die Beherrschung der Verhältnisse am rechtwinkligen Dreieck sind

fundamental. Durch sie lassen sich die Verhältnisse an beliebigen Dreiecken

ableiten. Mit Hilfe des Einheitskreises können die Definitionen am

rechtwinkligen Dreieck auf beliebige Winkel erweitert werden (siehe später).



7.3.4 Spezielle Dreiecke

Mit Hilfe von speziellen Dreiecken lassen sich die trigonometrischen

Funktionen für spezielle Winkel exakt berechnen.

30o – 60o – 90o Dreieck (halbes geleichseitiges Dreieck)

45o – 45o – 90o Dreieck (halbes Quadrat)

Damit lassen sich für die Winkel 30o , 45o und 60o die Seitenverhältnisse

berechnen.

Beispiel: ( )0sin 30 , ( )0cos 30 , ( )0tan 30

( )012 1

sin 301 2

= =

( )032 3

cos 301 2

= =

( )01232

1 2 1 3tan 30

2 33 3= = ⋅ = =

Für die Winkel 15o und 22,5o lassen sich die

trigonometrischen Funktionen auch exakt

berechnen. Überlege wie?

Beispiel: ( )0 usin 22,5

w=

u 1v 2u v 1

=

+ = ; 2w 1 u= +

1v 2 u u 2 u 1 u 2 1

2 1= ⋅ → + ⋅ = → = = −

+

2w 1 u 1 2 2 2 1 4 2 2 2 2 2= + = + − + = − = ⋅ −

( )0 u 2 1 2 2 2 2sin 22,5

w 22 2 2 2 2 2

− − −= = = =⋅ − ⋅ −



7.3.5 Partnerinterview spezielle Winkel im rechtwinkligen Dreieck

Partnerinterview Trigo_spezielle Winkel im rechtwinkligen Dreieck Zeit: 15 Minuten

Frage 1: Wie kannst du die exakten Werte der Winkelfunktionen für spezielle Winkel ohne Taschenrechner berechnen?

Berechne für die in unten stehender Tabelle aufgeführten Winkel die Werte mit Hilfe eines speziellen Dreiecks!

Fülle die Tabelle aus!

030α = 045α = 060α =

( )sin α

( )cos α

( )tan α

Frage 2: Was für Werte ergeben sich für die Winkel 00α = und 090α = . Da diese im rechtwinkligen Dreieck nicht vorkommen, überlege dir die Verhält-nisse mit Hilfe von „entarteten Dreiecken“.

( )0sin 0 =

0sin(90 ) =

( )0cos 0 =

0cos(90 ) =

( )0tan 0 =

0tan(90 ) =



7.3.6 Übersicht Berechnungen

Gegeben Gesucht Zusammenhang

zwei Seiten dritte Seite Satz des Pythagoras

zwei Winkel dritter Winkel Innenwinkelsumme

Hypotenuse, Winkel beide Katheten Kosinus, Sinus

Ankathete, Winkel Gegenkathete, Hypotenuse Tangens, Kosinus

Gegenkathete, Winkel Ankathete, Hypotenuse Tangens, Sinus

Gradmass / Bogenmass (Taschenrechner Einstellung)

Die folgenden Berechnungen führen wir im Gradmass durch. Du musst dei-

nen Rechner auf das Gradmass (DEG) einstellen! Der Wechsel zum Bogen-

mass (RAD) wird später wichtig sein.

Beispiel 1: Gegeben: Hypotenuse c = 9,3 ; Winkel o26α =

Gesucht: Katheten a und b

( ) asin

cα =

( ) ( )0a c sin 9,3 sin 26 4,1→ = ⋅ α = ⋅ =

( ) ( ) ( )0bcos b c cos 9,3 cos 26 8,4

cα = → = ⋅ α = ⋅ =

Beispiel 2: Gegeben: Hypotenuse c = 9,3 ; Kathete a = 3,1

Gesucht: Winkel α

( ) asin

cα =

Wir kennen das Verhältnis a 3,1 1c 9,3 3

= = .

Den Winkel α erhalten wir mit dem Taschenrechner mit Hilfe der

Umkehrfunktion ( )arc sin x oder ( )1sin x−

1 0a 1arc sin sin 19,5

c 3− α = = =



Beispiel 3:

Für einen Brückenbau muss die Breite

b FP= einer Schlucht ausgemessen

werden. Dazu wird am linken

Schluchtrand eine Strecke AB 50m=

abgesteckt. An den Endpunkten A und

B wird ein Punkt P auf der anderen

Seite der Schlucht anvisiert und die

Winkel 042α = und 067β =

gemessen. Berechne die Entfernung b FP= (FP ist rechtwinklig auf AB ).

Einführen einer Unbekannten: x BF=

Dauraus ergibt sich für AF 50 x= − .

Für die beiden Unbekannten b und x

brauchen wir zwei Gleichungen. Diese

erhalten wir aus den zwei rechtwinkligen

Dreiecken FPB∆ und FAP∆ :

FAP∆ : ( ) btan

50 xα =

−

FPB∆ : ( ) btan

xβ =

Auflösen des Gleichungssystems: Beide Gleichungen nach x auflösen und

gleichsetzen ( ) ( )( ) ( )

50 tan tanb 32,57m

tan tan⋅ α ⋅ β

= =α + β

oder mit dem TR:



7.3.7 Übungen Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

Figur für Aufgabe 1 bis 3

Aufgabe 1

Berechne die fehlenden Seiten.

a) a 8,9cm= , 034,8β =

b) b 12,0cm= , 021,8β =

c) c 11,04cm= , 050,1α =

d) c 22,3cm= , 034,3β =

Aufgabe 2

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das folgende Seitenverhältnis bekannt.

Berechne den Winkel α .

a) a : c 3 : 7=

b) b : a 2 : 3=

c) b : c 17 : 28=

d) a : b 1 : 38=

e) a : c 39 : 31=

Aufgabe 3

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel.

a) b 31,4cm= , 068,4β =

b) c 13,8m= , 051,2α =

c) a 38,7cm= , c 36,3cm=

d) c 25,4dm= , 085,1β =

e) a 54,3cm= , b 18,2cm=



Aufgabe 4

Berechne die Länge der Winkelhalbierenden wα eines rechtwinkligen Drei-

ecks, wenn die Katheten a 16,6cm= und b 23,2cm= messen.

Aufgabe 5

Von einem Dreieck ABC sind die Höhe ch 6,3cm= , die Winkelhalbierende

w 6,8cmγ = und der Winkel 070γ = gegeben.

Berechne die Seite c sowie die Winkel α und β .

Aufgabe 6

Ein Rechteck hat die Fläche 2A 310cm= , die Diagonalen schneiden sich unter

einem Winkel 0113β = . Berechne die Seiten a und b des Rechtecks.

Aufgabe 7

Im quadratischen Einheits – Netz sind die Graden a und b, sowie die Punkte

A und B gegeben.

a) Berechne den Schnittwinkel γ zwischen den Geraden a und b.

b) Berechne die Fläche des Dreiecks ABC, wenn C der Schnittpunkt der Ge-

raden a und b ist.



Aufgabe 8

In einem Fluss liegt eine Insel mit einem Turm (siehe Skizze). Am Ufer wird

eine Strecke AB 50m= abgesteckt. Um die Entfernung e FE= des Fusspunk-

tes F des Turmes von der Strecke AB zu bestimmen, werden die beiden Win-

kel 0(BAF) 58= α =∡ und 0(FBA) 47= β =∡ gemessen.

Bestimme die Entfernung e?

Aufgabe 9

Wir sollen nach der untenstehenden Skizze den horizontalen Abstand x

zweier Punkte A und B im Gelände bestimmen. Dazu wird im Punkt B eine

Messlatte der Länge a 2,00m= senkrecht aufgestellt. In A werden die

„Höhenwinkel“ zum unteren und oberen Ende der Messlatte gemessen

015,8α = und 014,2β = .

Aufgabe 10

M ist Kreismittelpunkt.

Radius r 4=

AB AM=

Berechne x BC=



7.3.8 Aufgaben mit Parametern Aufgabe 1

Einem Quadrat mit der Seite a wird ein zweites

einbeschrieben. Bestimme die Seitenlänge b des

einbeschriebenen Quadrates aus a und α .

Aufgabe 2

Berechne die Strecke x, wenn

b, α und β gegeben sind.

Aufgabe 3

Zeige, ausgehend von den Definitionen der trigonometrischen Funktionen

am rechtwinkligen Dreieck,

dass:

a) sin( )

tan( )cos( )

αα =α

b) sin( )

1cos( )

α =β

b αααα

a

DialogMathe Flächeninhalt eines Dreiecks mit Trigo


7.3.9 Lösungen Übungen Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Aufgabe 1 a) b 6,2cm= , c 10,8cm= b) a 30,0cm= , c 32,3cm= c) a 8,47cm= , b 7,08cm= d) a 18,4cm= , b 12,6cm=

Aufgabe 2 a) 025,4α = b) 056,3α = c) 052,6α = d) 01,51α = e) keine Lösung

Aufgabe 3 a) a 12,4cm= , c 33,8cm= , 021,6α =

b) a 10,8m= , b 8,65m= , 038,8β =

c) keine Lösung d) a 2,17dm= , b 25,3dm= , 04,9α =

e) c 57,3cm= , 071,5α = , 018,5β =

Aufgabe 4 w 24,4cmα =

Aufgabe 5 c 11,2cm= , 077,1α = , 032,9β =

Aufgabe 6 a 21,6cm= , b 14,3cm=

Aufgabe 7

a) 063,4γ = b) A 6,4=

Aufgabe 8 e 32,1m=

Aufgabe 9 x 66,8m=

Aufgabe 10 x 5,37=

Aufgaben mit Parametern

Aufgabe 1

( ) ( )a

bsin cos

=α + α

Aufgabe 2

( ) ( )b

xtan tan

=α + β − α

Aufgabe 3

a) ( ) asin

cα = ; ( ) b

cosc

α = ; ( )( ) ( )sin a c a

tancos c b b

α= ⋅ = = α

α

b) ( ) acos

cβ = ; ( )

( )sin a c

1cos c a

α= ⋅ =

β



7.4 Flächeninhalt eines Dreiecks mit Trigo

Gegeben:

zwei Dreiecksseiten p, q und der

Zwischenwinkel ϕ

Fläche des Dreiecks:

( )12A p q sin= ⋅ ⋅ ⋅ ϕ

Ein beliebiges Dreieck kann durch die Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke

zerlegt werden.

( ) ( )

( )

cc

c1 12 2

hsin h p sin

p

A q h q p sin

ϕ = → = ⋅ ϕ

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ϕ

Aufgabe Berechne den Flächeninhalt A des gleichschenkligen Dreiecks aus dem Um-

kreisradius R und dem Basiswinkel 063α =

DialogMathe Pythagoras für beliebige Dreiecke


7.5 Pythagoras für beliebige Dreiecke 7.5.1 Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke

o90γ =

2 2 2c a b= +

7.5.2 Pythagoras für spitzwinklige Dreiecke

Kosinussatz

( )2 2 2c a b 2ab cos= + − ⋅ γ

o90γ <

Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben

132

7.5.3 Dynamisches Arbeitsblatt Kosinussatz als Flächensatz

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Kosinussatz als FlächensatzZeit: 15 Minuten

Die Ecke C des Dreiecks ABC kann mit der Maus bewegt werden.

Achtung: Die dynamische Konstruktion ist nicht definiert, wenn sich die Ecke

C innerhalb des Halbkreises befindet (stumpfwinklige Dreiecke).

Arbeitsaufträge:

1) Verschiebe die Ecke C auf den HalbDreieck).

2 2 2c a b= +

2) Spezialfall: Ziehe C weg vom Halbkreis, so dass

Verändere die Position von C so, dass der Winkel bei A

( CAB 90α = =∡

3) Zeige, das für eine beliebige Position der Ecke C ausserhalb des Hal

kreises gilt:

Teildreiecke.

Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben


Dynamisches Arbeitsblatt Kosinussatz als Flächensatz

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Kosinussatz als Flächensatz Zeit: 15 Minuten




Verschiebe die Ecke C auf den Halbkreis (Thaleskreis, rechtwinkliges Dreieck). Überzeuge dich, dass der folgende Flächensatz gilt:

2 2 2c a b= + (Pythagoras)

Spezialfall: Ziehe C weg vom Halbkreis, so dass γ kleiner als


) oCAB 90α = =∡ wird.

Zeige, das für eine beliebige Position der Ecke C ausserhalb des Halkreises gilt: ( )2 2 2c a b 2ab cos= + − ⋅ γ . Benutze dazu rechtwinklige

Teildreiecke.

DialogMathe





kreis, rechtwinkliges Überzeuge dich, dass der folgende Flächensatz gilt:

kleiner als o90 wird.


Zeige, das für eine beliebige Position der Ecke C ausserhalb des Halb-. Benutze dazu rechtwinklige

DialogMathe Kreisumfang


8 Kreisberechnungen

Definition Kreis

Der Kreis ist die Ortslinie aller Punkte, die von einem Punkt den gleichen Ab-

stand haben.

Am Kreis werden die folgenden Bezeichnungen verwendet.

Bezeichnungen

Kreislinie k

Mittelpunkt M

Durchmesser d

Radius r

Sehne s

Sekante g

Tangente t

Passante p

Merke

• Der Radius r steht im Berührungspunkt B senkrecht auf der Tangente t.

• Das Lot (RechtwinkligeMF ) vom Mittelpunkt M auf eine Sehne s halbiert

die Sehne. Der Fusspunkt F ist Mittelpunkt der Sehne CD , d.h. CF FD= .

8.1 Kreisumfang

Ein Kreis mit Radius r hat den Umfang:U 2 r= π ⋅ , wobei 3,14159π = …… ist.

Herleitung als Grenzwert: Einem Kreis mit Durchmesser d lassen sich regulä-

re n – Ecke einbeschreiben und umschreiben. Der Umfang U des Kreises liegt

dann zwischen dem Umfang nu des einbeschriebenen und dem Umfang nU

des umschriebenen n – Ecks. Mit zunehmender Eckenzahl kommen sich nu

und nU beliebig nahe. Für den Kreisumfang U gilt dann n nu U U< < .

Kreisberechnungen DialogMathe


8.1.1 Das Bogenmass Mit dem Kreisumfang lässt sich ein neues Winkelmass definieren:

Definition Bogenmass

Unter dem Bogenmass eines Winkels verstehen wir die Masszahl der Länge

des zugehörigen Bogens auf dem Einheitskreis.

Die in der Dreieckslehre übliche Methode, Winkel in Graden zu messen, ist

für unsere Zwecke ungeeignet. Ein geeignetes Mass, Winkel durch Zahlen

und nicht durch Grade, zu messen, ist das Bogenmass. Die Grundidee liegt

dabei in der Beobachtung, dass jeder Winkel, im Mittelpunkt eines

vorgelegten Kreises angetragen, einen Ausschnitt des Kreisesbogens liefert.

Da allerdings ein Winkel bei verschieden grossen Kreisen unterschiedliche

grosse Bögen ausschneidet, ist eine Festlegung auf einen bestimmten Kreis

zwingend.

Einheitskreis

Zur Winkelmessung durch Bögen

werden wir daher stets einen Kreis mit

Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung

des Koordinatensystems zugrunde

legen, den sog. Einheitskreis.

Jedem gemäss nebenstehender Skizze

eingetragenem Winkel α kommt nun

neben seinem (orientierten) Gradmass α

auch sein (orientiertes) Bogenmass ⌢

bα = , d.h. die Länge des von ihm ausgeschnittenen Bogens, zu. Dabei bezieht

sich der Zusatz "orientiert" auf die Vereinbarung, dass im Gegenuhrzeigersinn

eingezeichnete Winkel positive Masszahlen haben, und Winkeln, die im

Uhrzeigersinn eingetragen sind, negative Masszahlen zukommen. Der Winkel

im Bogenmass ist eine Zahl und hat somit keine Einheit (Masszahl der

Bogenlänge). Um den Winkel im Bogenmass trotzdem mit einer Einheit

nennen zu können, wird das rad (Radiant) verwendet.

DialogMathe Kreisfläche


8.1.2 Bogenlänge

�AB b r= = ⋅ α (Winkel im Bogenmass)

8.2 Kreisfläche

Ein Kreis mit Radius r hat die Fläche: 2A r= ⋅ π , wobei 3,14159π = …… ist.

8.2.1 Kreissektor

2

Kreissektorb r r

A2 2⋅ α ⋅= =

Kreissektorb r

A2⋅= .

Vergleiche die Flächenberechnung mit derjenigen des Dreiecks g hA

2⋅= .

Die Bogenlänge b entspricht der Grundlinie g und der Radius der Höhe h.



8.2.2 Kreissegment

= −Kreissegment Kreissektor DreieckA A A

Berechne KreissegmentA für 3πα = .



8.2.3 Partnerinterview Bogenmass, Bogenlänge, Kreissektor

Partnerinterview Kreis Bogenmass, Bogenlänge, Kreissektor Zeit: 10 Minuten

Frage 1: Wie ist das Bogenmass definiert? Erkläre anhand einer Figur!

Frage 2: Wie lassen sich Winkel im Gradmass ins Bogenmass umrechnen?

Entwickle eine Umrechnungsformel. Benutze dazu die Definition des Bogen-masses und den Dreisatz. Teste deine Formel für einige spezielle Winkel!

Frage 3: Wie lautet die Formel zur Berechnung einer Bogenlänge und eines Kreissektors für einen gegebenen Winkel α und einen Kreis mit Radius r?



8.2.4 Übungen schraffierte Kreisflächen

Berechne die schraffierten Flächen





8.2.5 Übungen Kreis

Übung 1

Sektoren, Bogenlängen

a) Der wievielte Teil der Sektorfläche ASB ist schraffiert?

b) Berechne das Verhältnis der Bogenlängen b : B , wenn α gegeben ist. B = Bogen �RS , b = Bogen �PQ

Übung 2

Gegeben ist die Höhe h CD= des Dreiecks ABC mit den Winkeln

oCAB 45α = =∡ und oABC 60β = =∡ .

Der gezeichnete Kreis hat sein Zentrum in C und den Radius h.

Berechne:

a) den Umfang U des Dreiecks ABC.

b) die Fläche A des Dreiecks ABC.

c) die Länge des Bogens EF.

d) die schraffierte Fläche.

Übung 3

Berechne den Umfang ABCU und den Flä-

cheninhalt A der schraffierten Fläche,

wenn r gegeben ist.



Übung 4

Einem Kreisring mit gegebenem Aussenradius R

und dem Innenradius r wird ein gleichschenkliges

Dreieck ABC einbeschrieben. Die Schenkel AC

und BC sind doppelt so lang wie die Basis AB. Wie

gross muss r sein, damit die Flächen des Dreiecks

ABC und des Kreisrings gleich gross sind?

Übung 5

Berechne die Fläche des Kreissegments AB.

Gegeben: 0(ASB) 17=∡ , AB 34=

Übung 6

In der Figur ist R = 2r. Berechne ausgedrückt durch r

a) die Länge von a

b) die schraffierte Fläche

DialogMathe


8.2.6 Lösungen Kreisberechnungen Übungen schraffierte Kreisflächen

a) 2SchraffiertA s 1

4π = ⋅ −

b) 2

SchraffiertA s=

c) 2SchraffiertA d

16π= ⋅ d) 2

SchraffiertA s 12π = ⋅ −

e) 2Schraffiert

2 3A r

3 2 π= ⋅ −

f) 2SchraffiertA s 1 3

3π = ⋅ − +

g) 2Schraffiert

3A s

4 48 π= ⋅ −

h) 2Schraffiert

3A s

12 24 π= ⋅ −

Übungen Kreis

Übung 1 a) Schraffiert

Sektor

A 3A 4

= b) b : B 1 : 1=

Übung 2 a) ( )U 1 2 3 h 4,146 h= + + ⋅ = ⋅

b) 2 23 3A h 0,789 h

6+= ⋅ = ⋅

c) � 5b EF h 1,309 h

12π= = ⋅ = ⋅

d) 2 21A h 0,1073 h

2 8π = − ⋅ = ⋅

Übung 3 ABC2 2

U 2 2 r 3,27r4

+= − + π ⋅ ⋅ ≈

; 2r

A2

=

Übung 4 r 0,881 R= ⋅ Übung 5 Segment Sektor DreieckA A A 1962,34 1933,75 28,59= − = − =

Übung 6 a) a 4 2 r 5,657r= ⋅ ⋅ ≈ b) 2A 1,651 r= ⋅

DialogMathe Oberflächen und Volumen einiger Körper


9 Stereometrie

9.1 Oberflächen und Volumen einiger Körper

Körper Beschreibung und Figur Oberfläche Volumen Prisma Prisma mit der Grundfläche G und der

Höhe h. Beispiel: Gerades fünfseitiges Prisma (Kanten rechtwinklig zu G)

= +O 2G M

= ⋅V G h

Quader Quader mit den Kantenlängen a, b und c. Prisma mit Rechteck als Grundfläche

( )=

⋅ + ⋅ + ⋅O

2 a b b c a c

V a b c= ⋅ ⋅

Würfel Hexaeder

Quader mit gleichen Kantenlängen a

= 2O 6a

= 3V a

Zylinder Zylinder mit dem Grundkreisradius r und der Höhe h

= +

= ⋅ + ⋅ ⋅2

O 2G M

2 r 2 r hπ ππ ππ ππ π

= ⋅ ⋅2V r hππππ

Stereometrie DialogMathe


Pyramide Pyramide mit der Grundfläche G und der Höhe h Beispiel: Quadratische Pyramide mit der Grundseitenlänge a, der Höhe h und der Dreieckshöhe Sh der Seitenfläche.

= +O G M

⋅

= + ⋅2 Sa hO a 4

2

= ⋅1

3V G h

= ⋅213V a h

Tetraeder Reguläres Tetraeder (4 gleichseitige Drei-ecke): Kantenlänge s

= ⋅23h s ; =S

s2h 3

= ⋅ 2O 3 s

= ⋅ 3212V s

Kegel Kegel mit dem Radius r, der Höhe h und der Mantellinie m

= +

= ⋅ + ⋅ ⋅2

O G M

r r mπ ππ ππ ππ π

= ⋅ ⋅21

3V r hππππ

DialogMathe


Oberfläche Kegel

Kugel Kugel mit Radius r

In der vorhergehenden Z

sammenstellung sind die

Formeln für sogenannte

gerade Körper angegeben.

Diese gelten aber auch für

schiefe Körper, wie der Satz

von Cavalieri verdeutlicht.

Dass die Formel

für schiefe Prismen gilt, zeigt

das Prinzip von Cavalieri. Ein

gerades Prisma werde durch

Schnitte parallel zur Grundfläche in

bung bleibt das Volumen unverändert. Werden die einzelnen Scheiben immer

dünner, so stellt der Körper rechts im Grenzfall ein schiefes Prisma dar.

Oberflächen und Volumen einiger Körper


= ⋅ 2G rππππ = ⋅b 2 rππππ

⋅= = ⋅ ⋅m bM r m

2ππππ

Kugel mit Radius r

= ⋅ 2O 4 rππππ

In der vorhergehenden Zu-

sammenstellung sind die

sogenannte

gerade Körper angegeben.

gelten aber auch für

schiefe Körper, wie der Satz

von Cavalieri verdeutlicht.

Dass die Formel = ⋅V G h auch

für schiefe Prismen gilt, zeigt

das Prinzip von Cavalieri. Ein

gerades Prisma werde durch

Schnitte parallel zur Grundfläche in Scheiben zerlegt. Bei seitlicher Verschi



Gerades Prisma Schiefes Prisma

Oberflächen und Volumen einiger Körper

145

= = ⋅ ⋅M r m

= ⋅ 343V rππππ

Scheiben zerlegt. Bei seitlicher Verschie-



Schiefes Prisma

Stereometrie

146

Satz von Cavalieri

Alle Körper, die in jeweils gleicher H

he die gleichen Querschnittsflächen

besitzen, haben das gleiche Volumen

Anwendung Kugelvolumen

Um die Formel für das

nach dem Satz

bekannt ist. Der Ve

genommen wurde.

und die Höhe ist ebenfalls r. Gelingt es zu beweisen, dass die Quer

flächeninhalte beider Körper in be

ihre Volumeninhalte gleich.

Restkörper = Zylinder

Schnittfläche = Kreisring

Kreisring auf der Höhe x hat äusseren

Radius r und innneren Radius x (gleic

schenkliges Dreieck):

= ⋅ − ⋅ = ⋅ −2 2 2 2RingA r x r xπ π ππ π ππ π ππ π π

=Ring Kreis Halbkugel Zylinder KegelA A V V V r r r r r

Also: = ⋅ π ⋅4Kugel 3V r


Alle Körper, die in jeweils gleicher Hö-

gleichen Querschnittsflächen

haben das gleiche Volumen.

Um die Formel für das Volumen der Kugel herzuleiten, wird die Halbkugel

von Cavalieri mit einem Körper verglichen, dessen Volumen

kannt ist. Der Vergleichskörper ist ein Zylinder, aus dem ein Kegel herau

nommen wurde. Der Zylinder hat den gleichen Radius wie die Halbkugel

und die Höhe ist ebenfalls r. Gelingt es zu beweisen, dass die Quer

inhalte beider Körper in beliebiger Höhe gleich sind, dann sind auch

meninhalte gleich.

körper = Zylinder – Kegel

Schnittfläche = Kreisring

Halbkugel

Schnittfläche = Kreis

Kreisring auf der Höhe x hat äusseren

Radius r und innneren Radius x (gleich-

schenkliges Dreieck):

( )= ⋅ − ⋅ = ⋅ −2 2 2 2A r x r xπ π ππ π ππ π ππ π π

Satz von Pythagoras:

= −2 2 2xr r x

= ⋅ = ⋅ −Kreis xA r r xπ ππ ππ ππ π

⇒ = − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅2 2 31 2Ring Kreis Halbkugel Zylinder Kegel 3 3A A V V V r r r r rπ π ππ π ππ π ππ π π

= ⋅ π ⋅ 343V r

DialogMathe


gel herzuleiten, wird die Halbkugel

von Cavalieri mit einem Körper verglichen, dessen Volumen

rgleichskörper ist ein Zylinder, aus dem ein Kegel heraus-

Der Zylinder hat den gleichen Radius wie die Halbkugel

und die Höhe ist ebenfalls r. Gelingt es zu beweisen, dass die Querschnitts-

e gleich sind, dann sind auch

Schnittfläche = Kreis

Satz von Pythagoras:

2 2 2

( )= ⋅ = ⋅ −2 2 2Kreis xA r r xπ ππ ππ ππ π

= − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅2 2 31 23 3A A V V V r r r r rπ π ππ π ππ π ππ π π

DialogMathe


9.2 Berechnungen mit Schnittebenen

Um im dreidimensionalen Raum Berechnungen durchzuführen,

wir Schnittebenen. Diese sind so zu wählen, dass die zu berechnenden Winkel

oder Längen in wahrer Grösse erscheinen.

Beispiel 1: Volumen eines regulären Tetraeders

Das reguläre Tetraeder ist eine dreisei

gleiche Länge haben.

Räumliche Skizze des Tetraeders

Volumenberechnung

( )= −2 21

23h s h

= − = → = ⋅2 22 2 s 2s3 3h s h s

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅1 13 3 12V G h s s

Oberflächenberechnung

⋅= = ⋅ = ⋅2s4O 4G 4 3 s

Zusatzaufgaben:

Das reguläre Tetraeder besitzt eine In

Berechne die Radien aus der Kantenlänge s.

Berechne den Winkel

Lösungen: Inkugelr 6

Berechnungen mit Schnittebenen



Um im dreidimensionalen Raum Berechnungen durchzuführen,


oder Längen in wahrer Grösse erscheinen.

Beispiel 1: Volumen eines regulären Tetraeders

Das reguläre Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide, deren Kanten alle die

gleiche Länge haben.

Räumliche Skizze des Tetraeders Schnittebene UVW für Berechnung

Volumenberechnung

)21 mit =1

s2h 3

= − = → = ⋅2 2 23

s 2s3 3h s h s , ⋅=

2 3s4G

⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅2 33 22

3s

43 3 12V G h s s

Oberflächenberechnung

⋅= = ⋅ = ⋅ 234O 4G 4 3 s

Das reguläre Tetraeder besitzt eine In – und eine Umkugel.

Berechne die Radien aus der Kantenlänge s.

Berechne den Winkel α zwischen Grundfläche und Seitenfläche.

=Inkugels

12r 6 ; =Umkugels4r 6 ; ( )α = → α =1

3cos 70,53


147

Um im dreidimensionalen Raum Berechnungen durchzuführen, verwenden


tige Pyramide, deren Kanten alle die

Schnittebene UVW für Berechnung

und eine Umkugel.

Grundfläche und Seitenfläche.

α = → α = ocos 70,53

Stereometrie DialogMathe


9.3 Ähnliche Körper

Eine quadratische Pyramide wird auf halber Höhe geschnitten. Die so ent-

standene kleine Pyramide ist ähnlich zur grossen Pyramide. Es gilt:

Streckenverhältnis (Höhen): =gross

klein

h2

h

Flächenverhältnis (Grundfläche): = =gross 2

klein

G2 4

G

Volumenverhältnis: = =gross 3

klein

V2 8

V

Das Volumen der kleinen angeschnittenen Pyramide beträgt: =klein gross18V V .

Das Volumen des Restkörpers (Pyramidenstumpf):

= − =Pyramidenstumpf gross klein gross78V V V V

Beispiel Ein randvoll gefülltes kegelförmiges Glas beinhaltet

0,27 Liter Flüssigkeit. Wie viele Liter wurden dem Glas

entnommen, wenn der Flüssigkeitsspiegel um

h3

gesunken ist?

= −Kegel 1V V V ; =KegelV 0,27 Liter ; = ⋅123h h

⋅ = = = =

→ = ⋅ = ⋅ =

1 1

Kegel

1 Kegel

23

33 3hV h 2 8V h h 3 27

8 8V V 0,27 0,08 Liter

27 27

DialogMathe Stereometrieaufgaben


9.4 Stereometrieaufgaben

Beispiel 1: Abgeschnittene Würfelkante Eine Ecke eines Würfels wird abge-

schnitten (siehe Figur). Es entsteht ein

Tetraeder mit den Kantenlängen a, a

und b. Berechne:

a) Das Volumen des Tetraeders (Es

gibt eine einfache Lösung)

b) Die Höhe des Tetraeders in Bezug

auf das Dreieck PQR als Grund-

fläche.

c) Das Volumen des Tetraeders mit Hilfe der Höhe Ah und des Dreiecks

PQR als Grundfläche.

Zahlenbeispiel: a = 3 cm, b = 5cm

Beispiel 2: Pyramide mit einbeschriebenen Quader Die Kanten einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche haben alle die

Länge s. Auf der Grundfläche der Pyramide steht ein Quader mit quadrati-

scher Grundfläche. Die Diagonale der Grundfläche des Quaders hat ebenfalls

die Länge s. Die Kanten der Deckfläche des Quaders liegen in den Seitenflä-

chen der Pyramide.

Berechne das Verhältnis der Volumina Quader PyramideV : V .

Beispiel 3: Halbkugel mit einbeschriebenem Würfel Einer Halbkugel mit dem Radius r wird ein Würfel einbeschrieben.

Berechne das Verhältnis der Volumina Würfel HalbkugelV : V .

Beispiel 5: Auftrieb eines Kreiskegels Ein gerader Kreiskegel Mit dem Radius R, der Höhe H und der Dichte ρ

schwimmt im Wasser mit der Spitze nach unten ohne umzukippen.

Bestimme die Höhe der Wasserlinie am Kegel.

Zahlenbeispiel: R = 4 cm, H = 5 cm, ρ = 30,8kg / dm , ρ = 3W 1kg / dm

Stereometrie

150

Beispiel 6: Zwei Pyramiden in einem WürfelIn welchem Verhältnis steht das Volumen des

Würfels mit der Kantenlänge a zum Volumen

des stark ausgezogenen Körpers?

Der Lösungsweg muss ersichtlich

Beispiel 7: Pyramide im Kegel

In einem mit der Spitze nach unten in die Erde

gesteckten geraden Kreiskegel mit dem Radius r

und der Höhe h = 3r wird eine gerade quadratische

Pyramide mit der Grundkantenlänge r und der

Höhe =P32h r gestellt. Wie viel Prozent des Pyr

midenvolumens sind innerhalb des Kegels?

Beispiel 8: Tetraeder im Wü

In einem Würfel mit der Kantenlänge a

kann durch sechs Flächendi

Tetraeder festgel

man die Kantenmi

entsteht ein Oktaeder.

Berechne das Verhältnis der drei Volumen.


Beispiel 6: Zwei Pyramiden in einem Würfel In welchem Verhältnis steht das Volumen des

Würfels mit der Kantenlänge a zum Volumen

des stark ausgezogenen Körpers?

Der Lösungsweg muss ersichtlich sein!

Pyramide im Kegel

In einem mit der Spitze nach unten in die Erde

gesteckten geraden Kreiskegel mit dem Radius r

und der Höhe h = 3r wird eine gerade quadratische

Pyramide mit der Grundkantenlänge r und der

h r gestellt. Wie viel Prozent des Pyra-

midenvolumens sind innerhalb des Kegels?

Beispiel 8: Tetraeder im Würfel, Oktaeder im Tetraeder In einem Würfel mit der Kantenlänge a

kann durch sechs Flächendiagonalen ein

Tetraeder festgelegt werden. Verbindet

man die Kantenmitten des Tetraeders, so

entsteht ein Oktaeder.

Berechne das Verhältnis der drei Volumen.

DialogMathe


DialogMathe


9.5 Rotationskörper, Guldinsche Regel

Lässt man eine ebene Fläche

um eine Achse rotieren, so en

bzw. eine Fläche

Volumenregel

Das Volumen eines Rotationskörpers

der auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Fläche und der

Länge des Weges, den der Flächenschwerpunkt bei einer Volldrehung um die

Drehachse zurücklegt.

Weg des Flächenschwerpunkts

Erzeugende Fläche: A (Dreiecksfläche)

Volumen des Rotationskörpers:

= π ⋅ ⋅AV 2 r A

Beispiel

Das schraffierte gleichseitige Dreieck wird 360

eingezeichnete Achse gedreht (Eine Ecke des Dreiecks

liegt auf der Achse und eine Seite ist parallel zur Achse).

Berechne das Volumen des so entstandenen Rotation

körpers.

Guldin: = ⋅ πV A 2 r

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

△

S

1 12 2 2

2 23 3 2 3

A s h s s s

r h s s

= ⋅ π ⋅ = ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ = ⋅△ SV A 2 r s 2 s s

alternativ: = −V V 2V

= π ⋅ = ⋅ ⋅ π ⋅ = ⋅

= ⋅ π = ⋅ ⋅ π ⋅ = ⋅

2 3Zylinder

2 3Kegel

1 1 1 13 2 3 2 2 8

V h s s s s

V h s s s s

= − = ⋅ − ⋅ = ⋅Zylinder KegelV V 2V s s s

Rotationskörper, Guldinsche Regel



Lässt man eine ebene Fläche oder eine Linie

um eine Achse rotieren, so entsteht ein Körper

bzw. eine Fläche

Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt



Drehachse zurücklegt.

Weg des Flächenschwerpunkts: π ⋅ A2 r

Erzeugende Fläche: A (Dreiecksfläche)

Volumen des Rotationskörpers:

Das schraffierte gleichseitige Dreieck wird 3600 um die

eingezeichnete Achse gedreht (Eine Ecke des Dreiecks

liegt auf der Achse und eine Seite ist parallel zur Achse).

Berechne das Volumen des so entstandenen Rotations-

= ⋅ π△ SV A 2 r

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

3 3 2

3 3

1 142 2 2

3 3 2 3

A s h s s s

r h s s

π= ⋅ π ⋅ = ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ = ⋅3 32 34 3 2V A 2 r s 2 s s

= −Zylinder KegelV V 2V

( )( )

π

π

= π ⋅ = ⋅ ⋅ π ⋅ = ⋅

= ⋅ π = ⋅ ⋅ π ⋅ = ⋅

232 3

232 3

342

1 1 1 13 2 3 2 2 8

V h s s s s

V h s s s s

π π π= − = ⋅ − ⋅ = ⋅3 3 3Zylinder Kegel

34 4 2V V 2V s s s


151

ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt



Stereometrie

152

Beispiel 1: Volumen eines Torus (Autoreifen)

Berechne das Volumen des skiz

Beispiel 2: Schwerpunkt eines Halbkreises

Berechne die Lage des Schwer

Mantelflächenregel

Der Inhalt der Mantelfläche eines

der Länge des auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Kurve

stücks und der Länge des Weges, den der

Kurvenstücks bei einer Volldrehung um die Drehachse zurücklegt.

Weg des Linien

Erzeugende Linie: L (Strecke)

Mantelfläche des Rotationskörpers:

= π ⋅ ⋅LM 2 r L


: Volumen eines Torus (Autoreifen) das Volumen des skizzierten Torus mit R = 10 cm und r = 3 cm.

eines Halbkreises

Berechne die Lage des Schwerpunkts einer Halbkreisfläche mit dem Radius r.

Mantelfläche eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus

der Länge des auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Kurve

stücks und der Länge des Weges, den der Schwerpunkt des erzeugenden


Weg des Linienschwerpunkts: π ⋅ L2 r

Erzeugende Linie: L (Strecke)

Mantelfläche des Rotationskörpers:

DialogMathe


ten Torus mit R = 10 cm und r = 3 cm.

s einer Halbkreisfläche mit dem Radius r.

ist gleich dem Produkt aus

der Länge des auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Kurven-

des erzeugenden


Documents

Mathematik Lerneinheit 2 Geometrisches DenkenDenkensysdyn.educanet2.ch/.../1/LE2Skript2014_Geometriesches_Denken.pdf · „Sag es mir, und ich vergesse es;„Sag es mir, und ich