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24 Transformationen Im Folgenden werden wichtige Vertreter linearer Integraltransformationen wie Laplacetransformation und Fouriertransformation und ihre diskreten Vertreter wie die z-Transformation betrachtet, die ein breites Anwendungsspektrum besitzen: x Das Grundprinzip der betrachteten Transformationen besteht darin, gegebene Funktio- nen, die als Originalfunktionen oder Urbildfunktionen bezeichnet werden, in Funktionen zu transformieren, die als Bildfunktionen bezeichnet werden. x Das Ziel derartiger Transformationen ist, Operationen im Rahmen der Originalfunktio- nen auf einfachere Operationen im Rahmen der Bildfunktionen zurückzuführen, wie dies z.B. bei der Anwendung auf die Lösung von Differenzen- und Differentialglei- chungen der Fall ist. x Im vorliegenden Buch kann nicht auf die umfangreiche Theorie dieser Transformatio- nen eingegangen, sondern nur die Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRI- ME kurz vorgestellt werden. 24.1 z-Transformation 24.1.1 Problemstellung Bei einer Reihe praktischer Probleme ist von einer Funktion f(t), in der t meistens die Zeit darstellt, nicht der gesamte Verlauf bekannt oder interessant, sondern nur Werte in einzel- nen Punkten n t (n0,1,2,3,...). Damit ist folgende Problematik gegeben, auf die z-Trans- formationen anwendbar sind: x Eine Funktion f(t) liegt in Form einer Zahlenfolge vor (n0,1,2,...): ^ ` ^ ` n n f ft ( ) Derartige Zahlenfolgen werden z.B. durch Messungen in verschiedenen Zeitpunkten oder durch diskrete Abtastung stetiger Signale erhalten, wofür häufig Differenzenglei- chungen (siehe Kap.25) auftreten. x Bei ganzzahligen Werten von n t (z.B. n t n) werden Zahlenfolgen als Funktion f des Index n geschrieben, d.h. ^ ` n f ^ ` f(n) x Mittels z-Transformation wird diesen Zahlenfolgen (Originalfolgen) ^ ` n f eine unendliche Reihe n n n n 0 1 Z[f ] F(z) f z f § · ¨ ¸ © ¹ ¦ zugeordnet, die im Falle der Konvergenz z-Transformierte (Bildfunktion F(z) mit der Variablen z) heißt. H. Benker, Mathematik – Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME, DOI 10.1007/978-3-642-33894-6_24, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

Mathematik-Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME || Transformationen

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Page 1: Mathematik-Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME || Transformationen

24 Transformationen Im Folgenden werden wichtige Vertreter linearer Integraltransformationen wie Laplacetransformation und Fouriertransformation und ihre diskreten Vertreter wie die z-Transformation betrachtet, die ein breites Anwendungsspektrum besitzen: Das Grundprinzip der betrachteten Transformationen besteht darin, gegebene Funktio-

nen, die als Originalfunktionen oder Urbildfunktionen bezeichnet werden, in Funktionen zu transformieren, die als Bildfunktionen bezeichnet werden.

Das Ziel derartiger Transformationen ist, Operationen im Rahmen der Originalfunktio-nen auf einfachere Operationen im Rahmen der Bildfunktionen zurückzuführen, wie dies z.B. bei der Anwendung auf die Lösung von Differenzen- und Differentialglei-chungen der Fall ist.

Im vorliegenden Buch kann nicht auf die umfangreiche Theorie dieser Transformatio-nen eingegangen, sondern nur die Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRI-ME kurz vorgestellt werden.

24.1 z-Transformation

24.1.1 Problemstellung

Bei einer Reihe praktischer Probleme ist von einer Funktion f(t), in der t meistens die Zeit darstellt, nicht der gesamte Verlauf bekannt oder interessant, sondern nur Werte in einzel-nen Punkten nt (n 0,1,2,3,...). Damit ist folgende Problematik gegeben, auf die z-Trans-formationen anwendbar sind: Eine Funktion f(t) liegt in Form einer Zahlenfolge vor (n 0,1,2,...):

n nf f t( )

Derartige Zahlenfolgen werden z.B. durch Messungen in verschiedenen Zeitpunkten oder durch diskrete Abtastung stetiger Signale erhalten, wofür häufig Differenzenglei-chungen (siehe Kap.25) auftreten.

Bei ganzzahligen Werten von nt (z.B. nt n) werden Zahlenfolgen als Funktion f des Index n geschrieben, d.h.

nf f (n)

Mittels z-Transformation wird diesen Zahlenfolgen (Originalfolgen)

nf

eine unendliche Reihe n

n nn 0

1Z[ f ] F(z) fz

zugeordnet, die im Falle der Konvergenz z-Transformierte (Bildfunktion F(z) mit der Variablen z) heißt.

H. Benker, Mathematik – Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME,DOI 10.1007/978-3-642-33894-6_24, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

Page 2: Mathematik-Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME || Transformationen

194 24 Transformationen

Die Rücktransformation der Bildfunktion F(z) in die Originalfolge nf wird als inverse z-Transformation (Rücktransformation) bezeichnet und u.a. bei Anwendungen auf Dif-ferenzengleichungen benötigt.

Die z-Transformation erweist sich als ein wirkungsvolles Hilfsmittel in einer Reihe von Ge-bieten wie Systemtheorie, elektrischen Netzwerken und Regelungstechnik, bei denen Diffe-renzengleichungen auftreten (siehe Kap.25).

24.1.2 Berechnung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME

Die z-Transformation und inverse z-Transformation lassen sich in MATHCAD und MATHCAD PRIME mittels der Schlüsselwörter ztrans bzw. invztrans in folgenden Schritten durchführen: I. Anklicken des Schlüsselworts ztrans bzw. invztrans und im erscheinenden Symbol ist

in den linken Platzhalter die Originalfolge bzw. Bildfunktion und in den rechten der In-dex bzw. die Variable einzutragen. Der rechte Platzhalter erscheint nach Eingabe eines Kommas nach dem Schlüsselwort.

II. Abschließend kann die exakte Berechnung mittels symbolischem Gleichheitszeichen und Betätigung der E IN G A B E T A S T E geschehen.

Bemerkung

Bei Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME ist zu beachten, dass bei MATHCAD das symbolische Gleichheitszeichen nach dem Schlüsselwort, wäh-

rend es bei MATHCAD PRIME unter dem Schlüsselwort steht. die Originalfolge f(n) als Funktion von n und die Bildfunktion F(z) als Funktion von z

geschrieben sind. sie die Transformierten nicht immer berechnen können, da keine endlichen Algorithmen

existieren.

Beispiel 24.1: a) Berechnung der z-Transformation und ihrer inversen Transformation für eine Reihe von

Zahlenfolgen unter Verwendung der Schlüsselwörter ztrans bzw. invztrans mittels MATHCAD:

z-Transformation inverse z-Transformation

z1 ,nz-1

ztrans z , z 1z-1

invztrans

2

zn , n(z-1)

ztrans 2

z , z n(z-1)

invztrans

n za , n -a-z

ztrans n-z , z aa-z

invztrans

Page 3: Mathematik-Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME || Transformationen

24.2 Laplacetransformation 195

anza , n e

n!ztrans

a nz ae , z

n!invztrans

b) Zur Lösungsberechnung für Differenzengleichungen werden z-Transformierte von

y(n+1), y(n+2),...

benötigt, die sich folgendermaßen durch die z-Transformierte von y(n) darstellen, wie die Anwendung von ztrans zeigt (bei MATHCAD PRIME können hierbei noch Prob-leme auftreten):

y(n+1) ztrans, n -z (y(0) - ztrans(y(n), n, z))

y(n+2) ztrans, n 2 2z (y(n),n, z) - z y(0) - z y(1)ztrans

Das gelieferte Ergebnis ztrans(y(n), n, z) für die z-Transformierte von y(n) ist für An-wendungen wie z.B. die Lösung von Differenzengleichungen unhandlich, so dass sich das Ersetzen durch eine neue Funktion wie z.B.

Y(z)= ztrans(y(n), n, z)

empfiehlt.

24.2 Laplacetransformation Schwingungsvorgänge in Technik und Naturwissenschaften lassen sich häufig durch lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben. Für diese Probleme lie-fert die Laplacetransformation eine effektive Lösungsmethode, die in der Elektrotechnik als Standardmethode eingesetzt wird. Da bei diesen Problemen die Zeit t auftritt, verwen-den wir im Folgenden f(t) für zu transformierende Funktionen.

24.2.1 Problemstellung

Die Laplacetransformation ist folgendermaßen charakterisiert: Die Laplacetransformierte (Bildfunktion) L[f] F(s) einer Funktion (Originalfunktion)

f(t) berechnet sich aus

L[f] F(s) s t

0f (t) e dt

Eine wesentliche Problematik besteht darin, aus einer vorliegenden Bildfunktion F(s) die Originalfunktion f(t) zu berechnen. Dies wird als inverse Laplacetransformation oder Rücktransformation bezeichnet und u.a. bei der Lösung von Differentialgleichungen benötigt.

Laplacetransformation und inverse Laplacetransformation berechnen sich aus uneigent-lichen Integralen, deren Konvergenz unter gewissen Voraussetzungen beweisbar ist. Für diese Berechnungen existiert jedoch kein endlicher Algorithmus, so dass beide nicht immer berechenbar sind.

Page 4: Mathematik-Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME || Transformationen

196 24 Transformationen

24.2.2 Berechnung mit MATHCAD und MATHCAD PRIME

Die Laplacetransformation und inverse Laplacetransformation lassen sich in MATHCAD und MATHCAD PRIME mittels der Schlüsselwörter laplace bzw. invlaplace in folgenden Schritten durchführen: I. Anklicken des Schlüsselworts laplace bzw. invlaplace und im erscheinenden Symbol

mit symbolischem Gleichheitszeichen ist in den linken Platzhalter die zu transformie-rende Original- bzw. Bildfunktion und in den rechten Platzhalter die Variable einzutra-gen. Der rechte Platzhalter erscheint nach Eingabe eines Kommas nach dem Schlüssel-wort.

II. Abschließend kann die exakte Berechnung durch Betätigung der E IN G A B E T A S T E geschehen.

Bemerkung

Bei Anwendung von MATHCAD und MATHCAD PRIME ist zu beachten, dass bei MATHCAD das symbolische Gleichheitszeichen nach dem Schlüsselwort wäh-

rend es bei MATHCAD PRIME unter dem Schlüsselwort steht. die Originalfunktion f(t) als Funktion von t und die Bildfunktion F(s) als Funktion von s

geschrieben wird. sie die Transformierten nicht immer berechnen können, da keine endlichen Algorithmen

existieren.

Beispiel 24.2: a) Berechnung der Laplacetransformation und ihrer inversen Transformation für einige

elementare Funktionen unter Verwendung der Schlüsselwörter laplace bzw. invlaplace mittels MATHCAD. Bei MATHCAD PRIME besteht der einzige Unterschied darin, dass die Schlüsselwörter über dem symbolischen Gleichheitszeichen stehen: Laplacetransformation Inverse Laplacetransformation

2

scos(t) , ts 1

laplace 2

s ,s cos(t)s 1

invlaplace

2

1sin(t) , ts 1

laplace 2

1 ,s sin(t)s 1

invlaplace

2

1t , ts

laplace 2

1 ,s ts

invlaplace

-a t 1e , ta s

laplace -(a t )1 ,s ea s

invlaplace

-a t2

1t e , t(a s)

laplace -(a t )2

1 ,s t e(a s)

invlaplace

Page 5: Mathematik-Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME || Transformationen

24.3 Fouriertransformation 197

11 , ts

laplace 1 ,s 1s

invlaplace

b) Zur Lösung von Differentialgleichungen stellt sich die Frage, wie sich Ableitungen bei der Anwendung der Laplacetransformation transformieren. MATHCAD und MATHCAD PRIME berechnen diese Transformierten für erste und zweite Ableitungen in folgender Form: d y(t)dt

laplace, t s laplace(y(t), t, s) - y(0)

2

2

d y(t)dt

laplace, t 2s laplace(y(t), t, s) - y'(0) - s y(0)

Das gelieferte Ergebnis

laplace(y(t), t, s)

für die Laplacetransformierte der Funktion y(t) ist für Anwendungen wie z.B. die Lösung von Differentialgleichungen unhandlich, so dass sich das Ersetzen durch eine neue Funktion, wie z.B.

Y(s) = laplace(y(t), t, s)

empfiehlt.

24.3 Fouriertransformation Die Fouriertransformation hängt eng mit der Laplacetransformation zusammen und wird ebenfalls zur Lösung von Differentialgleichungen herangezogen. Des Weiteren dient sie zur Analyse periodischer Vorgänge. MATHCAD und MATHCAD PRIME besitzen die Schlüsselwörter fourier und invfourier zur Fouriertransformation. Da Fouriertransformationen im Buch keinen Einsatz finden, wird nicht näher darauf einge-gangen.

24.4 Einsatz von Transformationen zur Lösung von Gleichungen Die Berechnung von Lösungen für Differenzengleichungen, gewöhnliche und partielle Dif-ferentialgleichungen bildet ein Haupteinsatzgebiet der Transformationen, wobei die Vorge-hensweise für alle analog ist und aus folgenden drei Schritten besteht: I. Die gegebene Gleichung (Originalgleichung) wird durch die Transformation in eine

Gleichung (Bildgleichung) für die Bildfunktion überführt. II. Die erhaltene Bildgleichung wird nach der Bildfunktion aufgelöst.

Page 6: Mathematik-Problemlösungen mit MATHCAD und MATHCAD PRIME || Transformationen

198 24 Transformationen

III. Abschließend wird durch Anwendung der inversen Transformation (Rücktransforma-tion) auf die Bildfunktion die Lösung (Originalfunktion) der gegebenen Gleichung erhal-ten.

Bemerkung

Die Anwendung von Transformationen ist jedoch nur für Gleichungen erfolgreich, für die erhaltene Bildgleichungen eine einfache Struktur (lineare Struktur) besitzen und sich prob-lemlos nach der Bildfunktion auflösen lassen. Da die Transformationen linear sind, trifft dies z.B. auf lineare Differenzen- und Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zu, wie in den Kap.25 und 26 zu sehen ist.