Mathematik Q1 -Stochastik. Die Immunschwächekrankheit AIDS wird durch das HI-Virus, welches 1993 entdeckt wurde, verursacht. Die Krankheit gilt bis heute

VIERFELDERTAFEL UND BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT

Mathematik Q1 - Stochastik

HIV - SCHNELLTEST

Die Immunschwächekrankheit AIDS wird durch das HI-Virus, welches 1993 entdeckt wurde, verursacht. Die Krankheit gilt bis heute als nicht heilbar, kann jedoch „verlangsamend“ behandelt werden.

Ein HIV-Test weist die Antikörper, die nach etwa 6 Wochen nach der Ansteckung vom Körper gegen den Virus gebildet werden, nach.

DIE WICHTIGSTEN INFOS: Etwa 0,1 % einer Bevölkerung im

reproduktionsfähigen Alter sei HIV infiziert. Ein HIV-Test zeige bei 98 % der Infizierten richtig

an, dass eine HIV-Infektion vorliege; allerdings zeige dieser Test auch fälschlicherweise

bei 1 % der Nicht-Infizierten das angebliche Vorliegen dieser Infektion an.

Bei einer „Reihenuntersuchung“ unterziehen sich 100.000 Personen aus der oben genannten Bevölkerungsgruppe diesem Test.

PROBLEMATIK DES TESTS Welche falschen Diagnosen können aus

dem Ergebnis eines solchen Tests resultieren?

Ein Infizierter wird durch diesen Test nicht erfasst.

Ein NICHT-Infizierter wird fälschlicherweise als infektiös eingestuft.

ZIEL Beurteilung der Test-Güte auf Grundlage der

Bestimmung von (u. a.) ...

der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 1. Fehlers (Infizierter wird negativ getestet)

der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 2. Fehlers (Nicht-Infizierter wird fälschlicherweise als positiv getestet)

VORGEHEN Übersichtliche Darstellung der verfügbaren

Daten/Zahlen in einer sogenannten Mehrfeldertafel

„Rekonstruktion“ von fehlenden Zahlen aus dem Zusammenhang

Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeiten

DIE VIERFELDERTAFEL

infiziert NICHT-infiziert Gesamt

Test positiv

Test negativ

Gesamt 100.000

Absolute Zahlen für 100.000 untersuchte Personen

DIE VIERFELDERTAFEL


Test positiv

Test negativ

Gesamt0,1 % von 100.000= 100

100.000


DIE VIERFELDERTAFEL


Test positiv 98 % von 100= 98

Test negativ

Gesamt0,1 % von 100.000= 100

100.000


DIE VIERFELDERTAFEL


Test positiv 98

Test negativ 2

Gesamt 100 99.900 100.000


DIE VIERFELDERTAFEL


Test positiv 98 1 % von 99.900= 999

Test negativ 2

Gesamt 100 99.900 100.000


DIE VIERFELDERTAFEL


Test positiv 98 1 % von 99.900= 999

98 + 999= 1097

Test negativ 2 99.900 – 999= 98.901

2 + 98.901= 98.903

Gesamt 100 99.900 100.000


DIE VIERFELDERTAFEL


Test positiv 98 999 1097

Test negativ 2 98.901 98.903

Gesamt 100 99.900 100.000


DIE VIERFELDERTAFELRelative Zahlen für 100.000 untersuchte Personen


Test positiv

Test negativ

Gesamt



Test positiv98

100.000999

100.0001097

100.000

Test negativ2

100.00098901

100.00098903

100.000

Gesamt100

100.00099900

100.000100.000100.000



Test positiv 0,00098 0.00999 0,01097

Test negativ 0,00002 0,98901 0,98903

Gesamt 0,001 0,999 1

ABKÜRZUNGEN J = Person ist infiziert. J = Person ist nicht infiziert.

T = Test zeigt, an dass Person infiziert. T = Test zeigt an, dass Person nicht infiziert.

ZURÜCK ZU DEN WAHRSCHEINLICHKEITEN…

Aus der Gesamtheit aller untersuchten Personen wird zufällig eine Person ausgewählt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person infiziert?

Lösung: P(J) = Anz. Infizierte / Anz. Untersuchte= 100 / 100.000

= 0.001 bzw. 0,1 %


Aus der Gesamtheit aller untersuchten Personen wird zufällig eine Person ausgewählt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test dieser Person negativ?

Lösung: P( T )= Anz. negativ GetesteterAnz. Untersuchte

= 98903 / 100.000 = 0,98903 bzw. 98,903 %


Zurück zum Ausgangsproblem (1): Ein Infizierter wird durch diesen Test nicht erfasst, d. h.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines Infizierten negativ?

Wir schreiben: PJ (T)Und meinen damit: die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Test negativ (T) ist, unter der Bedingung, dass die Person infiziert (J) ist.

LÖSUNG Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines

Infizierten negativ?- mit der Vierfeldertafel: PJ (T) =

= 2 / 100 = 0,02 bzw. 2 %


Zurück zum Ausgangsproblem (2): Ein NICHT-Infizierter wird fälschlicherweise als infektiös eingestuft, d. h.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines NICHT-Infizierten positiv?

Wir schreiben: PJ (T)Und meinen damit: die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Test positiv (T) ist, unter der Bedingung, dass die Person NICHT infiziert (J) ist.

LÖSUNG Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Test eines

NICHT-Infizierten positiv?- mit der Vierfeldertafel: PJ (T) =

= 999 / 99.900 = 0,01 bzw. 1 %

DIE BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT

Sei A ein Ereignis (z. B. positiver Test), B ein zweites Ereignis (z. B. infiziert).

Es gilt: PB (A) = (Satz von Bayes)

also:Die Wahrscheinlichkeit für A (z. B. pos. Test) unter der Bedingung B (infiziert) lässt sich berechnen, indem man die Wahrscheinlichkeit für „A und B“ (pos. Test und infiziert) durch die Wahrscheinlichkeit von B (infiziert) teilt.


1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, unter der Bedingung, dass der Test negativ war?

2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person wirklich infiziert, wenn der Test positiv war?

3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt überhaupt ein positives Testergebnis vor?

LÖSUNG (1)Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person infiziert, unter der Bedingung, dass der Test negativ war?

- mit der Vierfeldertafel: PT (J) =

= 2 / 98903 = 0,00002 bzw. 0,002 %

„Negative Testergebnisse sind sehr verlässlich!“

LÖSUNG (2)Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person wirklich infiziert, wenn der Test positiv war?

- mit der Vierfeldertafel: PT (J) =

= 98 / 1097 = 0,089 bzw. 8,9 %

„Test muss bestätigt werden!“

LÖSUNG (3)Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt überhaupt ein positives Testergebnis vor?

- mit der Vierfeldertafel: P (T) =

= 1097 / 100.000 = 0,01097 bzw. 1,097 %

AUFGABENHausarbeit:Aufgaben 1 – 3) des AB 005 a) als

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