Mathematik Regelheft - · PDF fileMathematik Klasse 5/6 (ht) Regelheft 2. September 2007 Diese Seiten enthalten eine (noch nicht vollst andige) Zusammenstellung der - nach meiner Meinung

Mathematik

Regelheft

Teile der Inhalte aus Klasse 5 und 6

Friedrich HattendorfBergstadt-Gymnasium Ludenscheid

2. September 2007

Mathematik Klasse 5/6(ht) Regelheft 2. September 2007

Diese Seiten enthalten eine (noch nicht vollstandige) Zusammenstellung der- nach meiner Meinung - wichtigsten Inhalte des Mathematikunterrichtes derKlassen 5.und 6Kritik und Hinweise auf Fehler bitte an [email protected]

Insbesondere bitte ich auch um Ruckmeldungen zu Fehlern und zu fehlenenEintragen im Index auf den letzten Seiten

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Inhaltsverzeichnis

5 Klasse5 55.1 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.2 Zahlworter fur große Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.3 Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.4 Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.4.1 Geldwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.4.2 Langen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.4.3 Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.4.4 Zeitspannen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.4.5 Rechnen mit Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.5 Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.6 Ausfuhrbarkeit von Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . 75.7 Vorrang-regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.8 entgegengesetzte Rechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.9 Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.9.1 Assoziativgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.9.2 Kommutativgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.9.3 Distributivgesetz fur die Multiplikation . . . . . . . . . . 85.9.4 Distributivgesetz fur die Division . . . . . . . . . . . . . 85.9.5 zu beachten! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.10 Uberschlagsrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.11 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.12 Stellenwertsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.13 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.13.1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.13.2 Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.14 Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.14.1 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.14.2 allgemeingultige Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 105.14.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.15 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6 Klasse 6 116.1 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.1.1 Teiler einer Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.1.2 Teilbarkeit von Summen und Produkten . . . . . . . . . . 116.1.3 Teilbarkeitsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.1.4 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

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6.1.5 gemeinsame Teiler, ggT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.1.6 Das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV . . . . . . . . . . 146.1.7 Die Bestimmung des ggT und des kgV . . . . . . . . . . . 146.1.8 Der Euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 156.1.9 Das Sieb des Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.1.10 Vielfache und Teile einer Große . . . . . . . . . . . . . . 186.1.11 Bruchteile und -zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Bruchteile einer Große . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.1.12 Erweitern und Kurzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Erweitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Kurzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Hauptnenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.1.13 Anordnung der Bruchzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Bruchzahlen sind dicht angeordnet . . . . . . . . . . . . . 20

6.1.14 Addition und Subtraktion von Bruchzahlen . . . . . . . . 21Die Addition von Bruchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Die Subtraktion von Bruchen . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.1.15 Vielfache und Teile eines Bruchteil es . . . . . . . . . . . 21Vielfache eines Bruchteil es . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Teile eines Bruchteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Bruchteile eines Bruchteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.1.16 MULTIPLIZIEREN VON BRUCHZAHLEN . . . . . . . 22Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22ein weiterer wichtiger Hinweis: . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.1.17 Exkurs : Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Umkehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Permanenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.1.18 Division von Bruchzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Umkehrung der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . 23eine etwas andere Begrundung : . . . . . . . . . . . . . . . 24Beachte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.1.19 Bruche in Dezimalschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . 24Stellenwertsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Dezimalschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Umformen von der Bruch- in die Dezimalschreibweise . . 25Verschiedene Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Umwandlungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.1.20 Ordnen von Dezimalbruchen . . . . . . . . . . . . . . . . 26Ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Dichte Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.1.21 Runden von Dezimalbruchen . . . . . . . . . . . . . . . . 26Rundungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Genauigkeit, geltende Ziffern . . . . . . . . . . . . . . . . 27Regeln fur die Anzahl an geltenden Ziffern . . . . . . . . . 27

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Technisches Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.1.22 Addieren und Subtrahieren von Dezimalbruchen . . . . . 27

Addieren und Subtrahieren von Dezimalbruchen . . . . . 27Addieren und Subtrahieren von Großen . . . . . . . . . . 28Addieren und Subtrahieren gerundeter Dezimalbruche . . 28

6.1.23 Multiplizieren und Dividieren mit Zehnerpotenzen . . . . 28Multiplizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.1.24 Multiplizieren von Dezimalbruchen . . . . . . . . . . . . . 28Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Multiplizieren von Dezimalbruchen . . . . . . . . . . . . . 29Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.1.25 gegensinnige Kommaverschiebung . . . . . . . . . . . . . 296.1.26 Division von Dezimalbruchen . . . . . . . . . . . . . . . . 306.1.27 Begrundung der schriftlichen Division . . . . . . . . . . . 306.1.28 Division von Dezimalbruchen durch naturliche Zahlen . . 30

Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch . 306.1.29 Periodische Dezimalbruche . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Entstehen der Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Periodenlange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.1.30 Bruche und (periodische) Dezimalzahlen . . . . . . . . . . 32Die Umwandlungen eines Bruchs in eine (periodische) De-

zimalzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Die Umwandlung einer nicht-periodischen Dezimalzahl in

einen Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Die Umwandlungen einer periodischen Dezimalzahl in einen

Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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Kapitel 5

Klasse5

5.1 Zahlen

Wir nennen die Zahlen 0,1,2,3,... (d.h. die Zahlen, die wir zum Abzahlen oderzur Festlegung einer Reihenfolge benutzen) naturliche Zahlen.Man fasst die naturlichen Zahlen zu einer Menge N zusammen und schreibt

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..} (5.1)

Manchmal benotigt man die Menge der naturlichen Zahlen ohne die Null. Dannschreibt man:

N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, ..} (5.2)

Achtung: Andere benutzen statt dessen oft N = {1,2,3,4,5,..} und N0 = {0,1,2,3,4,5,..}(Vor allem )Bei Großen benutzen wir auch Bruchzahlen wie z.B. 1

2 und 34 oder

Kommazahlen wie z.B, 2,5 oder 0,91

5.2 Zahlworter fur große Zahlen

1 Tausend = 1 T = 10001 Million = 1 Mio. = 1000 T = 1000·1000 = 1 000 0001 Milliarde = 1 Mrd. = 1000 Mio. = 1 000 000 0001 Billion = 1 Bio. = 1000 Mrd. = 1 000 000 000 0001 Billiarde = 1000 Bio. = 1 000 000 000 000 000

Es geht weiter mit Trillionen, Trilliarden, Quadrillionen, ...,Quintillionen,...Achtung: Eine amerikanische ”billion“ ist eine deutsche ”Milliarde “. Einedeutsche ”Billion “ ist eine amerikanische ”trillion “.

5.3 Runden

Wenn die erste wegfallende Ziffer eine 0,1,2,3 oder 4 ist, wird abgerundet,wenn es eine 5,6,7,8 oder 9 ist, aufgerundetAbrundenDie folgenden Ziffern werden einfach weggelassenAufrunden

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Die letzte Ziffer, die bleibt, wird um 1 erhoht, die folgenden Ziffern werdenweggelassenBeispiele : (Runden auf Hunderter) 5123 ≈ 5100; 5149 ≈ 5100 ; 5150≈ 5200;5178 ≈ 5200

5.4 Großen

Zu jeder Großenangabe gehort eine Maßzahl und eine Maßeinheit. Dabeikann die Maßzahl eine naturliche Zahl, eine Kommazahl oder eine Bruchzahlsein.

5.4.1 Geldwerte

1 ¤= 100 Cent ; 1 Cent = 0,01 ¤

5.4.2 Langen

1 cm = 10 mm1 dm = 10 cm = 100 mm

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm1 km = 1000m1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m

1 cm = 0,1 dm = 0,01 m1 cm = 0,1 m

1 m = 0,001 km

5.4.3 Massen

1 g = 1000 mg 1 mg = 0,001 g1 kg = 1000 g 1 g = 0,001 kg

1 t = 1000 kg 1kg = 0,001 t

5.4.4 Zeitspannen

1 min = 60 s1 h = 60 min = 3600 s

1 d = 24h = 1440 min

5.4.5 Rechnen mit Großen

� Man kann nur Großen der gleichen Großen-Art addieren(subtrahieren).

� Wenn die Großen in derselben Maßeinheit gegeben sind, addiert (sub-trahiert) man die Maßzahlen und behalt die Maßeinheit bei. Beachte :Komma unter Komma!

� Wenn die Großen in verschiedenen Maßeinheiten gegeben sind (z.B. cmund m) rechnet man zuerst alle Werte in dieselbe Maßeinheit um.

� Man multipliziert eine Große mit einer Zahl, indem man die Maßzahl mitder Zahl multipliziert und die Einheit beibehalt.

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5.5 Grundrechenarten

Addition 1.Summand + 2. Summand = SummeSubtraktion Minuend - Subtrahend = DifferenzMultiplikation 1.Faktor · 2. Faktor = ProduktDivision Dividend : Divisor = Quotient

5.6 Ausfuhrbarkeit von Addition und Subtrak-tion

Die Addition zweier naturlicher Zahlen ist immer ausfuhrbar, d.h. die Summezweier naturlicher Zahlen ist wieder eine naturliche Zahl.Die Differenz zweier naturlicher Zahlen ist nur dann eine naturliche Zahl, wennder Minuend mindestens so groß ist wie der Subtrahend.

5.7 Vorrang-regeln

� Kommen in einem Term (Rechen-Ausdruck) Klammern vor, so ist zuerstdas aus zurechnen, was in den Klammern steht. Die Klammern werdendurch ihren Wert ersetzt.

� Kommen in einem Term innere und außere Klammern vor, so ist zuerstdas aus zurechnen, was in den inneren Klammern steht.

� Potenzen werden vor den anderen Rechen-Operationen ausgewertet

� Multiplikationen und Divisionen haben Vorrang vor Additionen und Sub-traktionen (”Punkt- vor Strichrechnung“)

� Wenn keine anderen Regeln greifen, wird von links nach rechts gerechnet

5.8 entgegengesetzte Rechenarten

� Addition und Subtraktion sind entgegengesetzte Rechenarten. Jeder Sub-traktionsgleichung entspricht eine Additionsgleichung und umgekehrt

a− b = c⇔ a = c + b (5.3)a + b = c⇔ a = c− b⇔ b = c− a (5.4)

� Multiplikation und Division sind entgegengesetzte Rechenarten. Jeder Di-visionsgleichung entspricht eine Multiplikationsgleichung und umgekehrt

a : b = c⇔ a = c · b (5.5)a · b = c⇔ a = c : b⇔ b = c : a (5.6)

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5.9 Rechengesetze

5.9.1 Assoziativgesetze

In einer Summe (in einem Produkt) mit drei - oder mehr - Summanden (Fak-toren) darf man die Summanden (Faktoren) durch Klammern beliebig zusam-menfassen.Fur alle naturlichen Zahlen gilt:

(a + b) + c = a + (b + c) (5.7)(a · b) · c = a · (b · c) (5.8)

5.9.2 Kommutativgesetze

In einer Summe (in einem Produkt) darf man die Reihenfolge der Summanden(Faktoren) vertauschen.Fur alle naturlichen Zahlen gilt:

(a + b) = b + a (5.9)a · b = b · a (5.10)

5.9.3 Distributivgesetz fur die Multiplikation

Fur alle naturlichen Zahlen gilt:

a · (b + c) = a · b + a · c (5.11)a · (b− c) = a · b− a · c (5.12)

5.9.4 Distributivgesetz fur die Division

Falls a und b Vielfache von c sind, gilt:

(a + b) : c = a : c + b : c (5.13)(a− b) : c = a : c− b : c (5.14)

(5.15)

5.9.5 zu beachten!

� Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten nicht fur die Subtraktion unddie Division.

� Es gibt kein Distributivgesetz fur die Division, falls der Divisor eine Sum-me oder eine Differenz ist.

� Im Bereich der naturlichen Zahlen N gilt:Subtraktionen sind nur ausfuhrbar, wenn der Minuend großer ist, als derSubtrahend. Divisionen sind nur ausfuhrbar, wenn der Dividend ein Vielfa-ches des Divisors ist. (Die beiden letzten Einschrankungen werden mit derEinfuhrung der Bruchzahlen B bzw. der rationalen Zahlen Q wegfallen.)

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5.10 Uberschlagsrechnungen

Uberschlagsrechnungen sind keine genauen Rechnungen. das Ziel ist es, dieGroßenordnung des Ergebnisses zu erhalten.Man sollte versuchen, die Zahlen so zu runden, dass man ein moglichst genauesErgebnis erhalt, die Rechnung aber noch ohne Probleme im Kopf ausfuhrenkann. Eindeutige Regeln gibt es nicht.

� Beim Addieren und Multiplizieren sollte man moglichst einen Wert auf-,den anderen abrunden.

� Beim Subtrahieren und Dividieren sollte man moglichst beide Werte auf-bzw. abrunden.

5.11 Potenzen

BasisExponent = PotenzDer Exponent (die Hochzahl) gibt an, wie oft die Basis (die Grundzahl) alsFaktor auftritt.Potenzen mit dem Exponenten zwei nennen wir Quadratzahlen, solche mit demExponenten drei Kubikzahlen.

5.12 Stellenwertsysteme

In unserem Zahlensystem hangt der Wert einer Ziffer von der Stelle ab, an dersie steht:vor dem Komma stehen die Einer, davor die Zehner usw.. Hinter dem Kommastehen die Zehntel, Hundertstel usw..Unser Zahlensystem basiert auf der Zehn als Stufenzahl. Es sind andere Stufen-zahlen moglich.Gangig sind die Stufenzahlen zwei (Binarsystem), acht(Oktalsystem), zehn (De-zimalsystem) und Sechzehn (Hexadezimalsystem).

5.13 Aussagen

5.13.1 Aussagen

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde (Satz), das entweder wahr oder falschist.Fragen und Aufforderungen z.B. sind keine Aussagen.

5.13.2 Aussageformen

Aussageformen enthalten Platzhalter (Variablen). Sie selbst sind weder falschnoch wahr. Wenn man fur die Variablen geeignete Dinge einsetzt, werden sie zuAussagen.

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5.14 Gleichungen und Ungleichungen

5.14.1 Gleichungen

Eine Aussageform, die aus zwei Termen mit einem Gleichheitszeichen dazwi-schen besteht, nennen wir eine Gleichung. Setzt man in die Gleichung Zahlenein, so wird die Gleichung zu einer wahren oder einer falschen Aussage.Die Zahlen, fur die die Gleichung zu einer wahren Aussage wird, fassen wir zurLosungsmenge L zusammen.Wir sagen auch: Diese Zahlen erfullen die Gleichung.Beispiel:(3x + 2)(x− 1) = 2x2 + 3x− 5Diese Gleichung hat die Losungsmenge L = {1; 3}

5.14.2 allgemeingultige Gleichungen

Es gibt Gleichungen, die werden von jeder Zahl erfullt. Solche Gleichungen hei-ßen allgemeingultig.

5.14.3 Ungleichungen

Das obige gilt auch fur Ungleichungen, nur dass diese erfullt sind, wenn diezwei Terme auf den beiden Seiten des Ungleich-Zeichens (6=) beim Einsetzender Zahlen verschiedene Werte annehmen.

5.15 Geometrie

Geometrie fehlt derzeit in diesem Papier noch!

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Kapitel 6

Klasse 6

6.1 Bruchrechnung

6.1.1 Teiler einer Zahl

Bleibt beim Dividieren einer Zahl a durch eine Zahl b kein Rest, gibt es alsoeine naturliche Zahl n mit n = a : b, bzw. ist a = n · b, so nennen wir a einVielfaches von b oder b einen Teiler von aWir sagen auch : a ist teilbar durch b oder b teilt a (geschrieben a | b).Bleibt bei der Division a : b ein Rest, bzw. ist a = n · b + c, so ist a nicht teilbardurch b.Beispiel : Es ist 2 · 6 = 12, also ist 2 ein Teiler von 12; es ist 14 = 2 · 6 + 2, alsoist 6 kein Teiler von 14.Wenn gilt : a teilt b, kann - außer wenn a und b gleich sind - nicht gelten : bteilt a .Zu jedem Teiler einer Zahl a gehort ein komplementarer Teiler. Das Produktzweier komplementarer Teiler ist die Zahl a.Beispiel: 6|24; der zu 6 komplementarer Teiler ist 4, denn 6 · 4 = 24Bemerkung : Ist a = b2 (also Quadratzahl) ist b komplementarer Teiler zu sichselbst.Die Menge der Teiler einer Zahl a heißt Teilermenge Ta von a.Beispiel: Die Zahlen 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 sind die Teiler der Zahl 60;T60={1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60}

� Jede Zahl hat sich selbst als Teiler;

� 1 ist Teiler jeder Zahl;

� Null ist durch jede Zahl teilbar.

6.1.2 Teilbarkeit von Summen und Produkten

� Ist eine Zahl a durch eine Zahl b teilbar, dann ist auch jedes Vielfache vona durch b teilbar.Beispiel: 12 ist durch 4 teilbar; 60 ist ein Vielfaches von 12; also ist auch60 durch vier teilbar.

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� Lasst sich eine Zahl a in ein Produkt zerlegen und ist wenigstens einer derFaktoren durch eine Zahl b teilbar, so ist auch a durch b teilbar.Beispiel: 182 lasst sich in das Produkt 2 · 91 zerlegen. Da 91 durch 13teilbar ist,ist auch 182 durch 13 teilbar.

� Ist in einer Summe a+b (Differenz a−b) sowohl a als auch b teilbar durcheine Zahl c, dann ist auch die Summe a+b (Differenz a−b) durch c teilbar.Beispiel : 65 und 39 sind beide durch 13 teilbar; 39+65=104 und 65-39=26 sind auch durch 13 teilbar

� Ist dagegen nur eine der beiden Zahlen a und b durch c teilbar, die andereaber nicht, so ist die Summe a + b (die Differenz a− b) nicht teilbar durchc.Beispiel : 65 ist durch 13 teilbar, 38 nicht; 38+65=103 und 65-38 =27sind beide nicht durch 13 teilbar

� Eine Summe a + b ist genau dann teilbar durch eine Zahl c, wenn dieSumme der Reste, welche a und b bei der Division durch c lassen, durch cteilbar ist.BBeispiel :3497 + 1743 ist durch 5 teilbar; 3497 hat den Funfer-Rest 2;1743 den Funfer-Rest 3; die Summe der Reste ist 5 und durch 5 teilbar;dagegen haben 23 und 38 jeweils den Funfer-Rest 3; die Summe der Resteist 6 und nicht durch 5 teilbar; also ist auch 23+38=61 nicht durch funfteilbar.

� Ist mindestens eine von zwei Zahlen a und b teilbar durch c, so ist auchihr Produkt a · b teilbar durch c. ( siehe auch 4.5))Beispiel: 8 und 12 sind teilbar durch 4; also ist 8 · 12 = 96 teilbar durch 4;aber auch 8 · 13 = 104 ist durch vier teilbar, da es reicht, dass ein Faktorein Vielfaches von vier ist.

6.1.3 Teilbarkeitsregeln

Eine Zahl ist genau dann teilbar durch

� 2 , wenn die Einer-Ziffer gerade ist.

� 3 , wenn die Quersumme (d.i. die Summe aller Ziffern) durch 3 teilbar ist

� 4 , wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbarist.

� 5 , wenn sie die Einer-Ziffer 0 oder 5 hat.

� 6 , wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.

� 8 , wenn die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist.

� 9 , wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.

� 10, wenn sie die Einer-Ziffer 0 hat.

� 11, wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.

� 12, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.

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� 20, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 20 teilbarist.

� 25, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 25 teilbarist.

Zu 11 : alternierende Quersumme: man addiert zuerst die an 1.,3.,5.,7.,... usw.Stelle stehenden Ziffern ; dann die an 2.,4.,6.,8.,... usw. Stelle stehenden Ziffern;die Ergebnisse subtrahiert man voneinander.Beispiel : 85976 ist durch 11 teilbar, denn es ist: 8+9+6 =23; 5+7 =12; 23-12=11

6.1.4 Primzahlen

Zahlen mit genau zwei Teilern bezeichnet man als Primzahlen. Es sind dies dieZahlen (großer als 1), die nur sich selbst und die 1 als Teiler haben.Es gibt unendlich viele PrimzahlenDie Primzahlen bis 200 sind : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131,137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199Jede naturliche Zahl (großer als 1) ist entweder Primzahl oder lasst sich ausPrimzahlen durch Multiplizieren erzeugen. Die dazu notwendigen Primzahlensind eindeutig bestimmt; zu jeder Zahl gehoren ganz bestimmte Primfaktoren.Ein Primfaktor kann dabei mehrfach auftreten. Wenn man eine Zahl als Produktvon Primfaktoren darstellt spricht man von einer Primzahlzerlegung.Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren)eindeutig.Beispiele :420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 = 22 · 3 · 5 · 7; 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 23 · 32

Ist eine Primzahl Teiler einer Zahl, sprechen wir von einem PrimteilerSind a und b Primteiler einer Zahl c, so ist auch das Produkt a · b Teiler von c .Dies gilt nur fur Primteiler.Beispiel : 2 und 3 sind Teiler von 60, also auch 6; aber 4 und 6 sind zwar Teilervon 60, aber keine Primteiler; 4 · 6 = 24 ist kein Teiler von 60Bestimmen der Primzahlzerlegung

� versuche, die Zahl in Faktoren zu zerlegen

� prufe, ob die bisher ermittelten Faktoren Primfaktoren sind; sonst zerlegesie weiter

� wenn nur noch Primfaktoren auftreten, sind diese noch zu ordnen

Beispiel : 1848 = 12·154 = 2·2·3·2·77 = 2·2·3·2·7·11 = 2·2·2·3·7·11 = 23·3·7·11

6.1.5 gemeinsame Teiler, ggT

Einen Teiler, der sowohl eine Zahl a als auch eine Zahl b teilt, nennen wir einengemeinsamen Teiler von a und bWenn zwei Zahlen a und b einen gemeinsamen Teiler großer als 1 haben, heißensie teilerverwandt; ist 1 der einzige gemeinsame Teiler, so sagen wir: a und bsind teilerfremd.

13


Beispiele:gesucht werden die gemeinsamen Teiler von 48 und 56:

T48 = { 1; 2; 3; 4; 6; ; 8; 12; 16; 24;48};T56 = { 1; 2;4;7; 8; 14; 28;56};T48 ∩ T56 ={ 1; 2;4;8 }

sind 462 und 1001 teilerverwandt?462 =2 · 3 · 7 · 111001 = 7 · 11 · 13also sind 1,7,11,77 gemeinsame Teiler

Unter allen gemeinsamen Teilern zweier Zahlen a und b gibt es einen großten.Dieser großte gemeinsame Teiler (ggT) ist das Produkt aller gemeinsamenPrimteiler von a und b.Sind a und b teilerfremd, so ist die Zahl 1 ihr ggT.Alle gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen sind Teiler des ggT.Sind zwei Teiler a und b einer Zahl c teilerfremd, so ist auch a·b ein Teiler vonc.

6.1.6 Das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV

Unter den gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen a und b gibt es ein kleinstes,das kgV.Die Vielfachen des kgV von a und b sind Vielfache sowohl von a als auch von b.Das kgV von a und b erhalt man, wenn man die Primfaktoren von a notiertund dann die Primfaktoren von b, die noch nicht (oder weniger oft) notiert sind,hinzufugt.Sind a und b teilerfremd, so ist a · b das kgV von a und b.

6.1.7 Die Bestimmung des ggT und des kgV

Man ermittelt zuerst die Primfaktorzerlegungen von a und b. Dabei schreibtman die Primfaktoren von b, die schon in a auftraten unter diese.Der ggT ist nun das Produkt der Primfaktoren, die in beiden Zeilen auftreten.Man notiert alle Faktoren, die in einer Spalte uberall stehen.Das kgV ist das Produkt der Primfaktoren, die mindestens einmal auftreten.Man notiert in jeder Spalte den Primfaktor einmal. Dieses Verfahren lasst sichauf mehrere Zahlen erweitern.Beispiel:gesucht sind ggT und kgV der Zahlen 84,630,1050

84 = 2 · 2 · 3 · 7630 = 2 · 3 · 7 · 3 · 5

1050 = 2 · 3 · 7 · 5 · 542 = 2 · 3 · 7

6300 = 2 · 2 · 3 · 7 · 3 · 5 · 5Es ist: ggT(84,630,1050) = 42; kgV(84,630,1050)=6300Beispiel:Gesucht sind ggT und kgV der drei Zahlen 76440, 5040, 2625Primzahlzerlegung:

14


76440 76440 ist teilbar durch 20= 4 · 5 · 3822 3822 ist gerade, Quersumme 15, also teilbar durch 6= 4 · 5 · 2 · 3 · 637 637 = 630+7; teilbar durch 7= 4 · 5 · 2 · 3 · 7 · 91= 4 · 5 · 2 · 3 · 7 · 7 · 13= 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 13

7644 vollstandig zerlegt; nach Primfaktoren geordnet5040 5040 ist teilbar durch 20

= 4 · 5 · 252 252 ist teilbar durch 4 und 9, also durch 36= 4 · 5 · 4 · 9 · 7= 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7

5040 vollstandig zerlegt; nach Primfaktoren geordnet2625 2625 ist teilbar durch 25

= 25 · 105 105 teilbar durch 5 und 3, also 15= 25 · 15 ·7= 3 · 5 · 5 · 5 · 7

2625 vollstandig zerlegt; nach Primfaktoren geordnetkgV und ggT bestimmen

76440 =2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 135040 =2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 2 · 32625 =3 · 5 · 7 · 5 · 5ggT : 3 · 5 · 7=105kgV : 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 13 · 2 · 3 · 5 · 5 =11466000

Beispiel: Wie viele 24 cm lange, 10 cm breite und 5 cm hohe Ziegelsteine brauchtman mindestens, um einen massiven Wurfel aufzuschichten ?Die Kantenlange des Wurfels muss ein vielfaches der drei Seitenlangen einesZiegelsteins sein. Also muss ich das kgV bestimmen.

24 = 2 · 2 · 2 · 310 = 2 · 55 = 5kgV : 2 · 2 · 2 · 3 · 5 =120

d.h. der Wurfel muss 120 cm Kantenlange haben; es ist120 =5 · 24; 20 = 12 ·10; 120 =24 · 5;also werden 5 · 12 · 24 =1440 Steine benotigt.

6.1.8 Der Euklidische Algorithmus

Die nach Euklid benannte Vorschrift zur Bestimmung des ggT zweier ganzerZahlen lautet wie folgt:

1. man nimmt die großere Zahl als Dividend , die kleinere als Divisor undfuhrt die Division mit Rest aus.

2. ist der Rest Null, so ist der letzte Divisor der ggTsonst nimmt man den letzten Divisor als neuen Dividenden und den letztenRest als Divisor und wiederholt das Verfahren.

15


BeispielGesucht wird der ggT von 1870 und 2415

2415 : 1870 = 1 Rest 5451870 : 545 = 1 Rest 235545 : 235 = 2 Rest 75235 : 75 = 3 Rest 1075 : 10 = 7 Rest 510 : 5 = 2 Rest 0

Also ist ggT(2415;1870) =5BeispielGesucht wird der ggT von 12 und 35

35 : 12 = 2 Rest 1112 : 11 = 1 Rest 111 : 1 = 11 Rest 0

Also ist ggT(12,35) =1 ; d.h. 12 und 35 sind teilerfremd.Begrundung des Verfahrens:Wenn a und b die beiden Zahlen sind, die wir untersuchen, ergibt sich zuerst:

a : b = f1Restr1 ( f wie Faktor; r wie Rest)

dies konnen wir auch so schreiben

a = f1 · b + r1

ist r1 = 0 so ist b Teiler von a, also ggT(a,b) =b;sonst gilt: der ggT(a,b) ist Teiler von a und von b, also auch (vgl. 2.1) vona− f1 · b = r1

also ist

ggT(b,r1) =ggT(a,b).

Nun ist b < a und r1 < b . Wenn wir das Verfahren wiederholen, wird derjeweilige Rest immer kleiner.Das Verfahren muss also irgendwann abbrechen - wenn der Rest 0 ist.

6.1.9 Das Sieb des Eratosthenes

Sollen alle Primzahlen unter 100 gefunden werden, so schreibt man die Zahlenvon 2 bis 100 auf.Die erste Primzahl ist 2 ; man streicht alle (außer 2 selbst) durch 2 teilbarenZahlen durch.(hier durch rote Schriftgekennzeichnet)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

16


Dasselbe mit 3; also: alle Vielfachen von 3 (außer der 3 selbst!) streichen.hier durch blaue Schriftgekennzeichnet; beim Streichen sollte man auch schongestrichene noch einmal streichen; es gibt weniger Fehler)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Die 4 ist schon gestrichen, also keine Primzahl. Damit sind auch schon alleVielfachen der 4 gestrichen. Nun werden also die Viel fachen von 5 gestrichen.Beachte, dass das zwei-, drei- und vierfache von funf bereits gestrichen ist. Dieerste neu zu streichende Zahl ist also 5 · 5 = 25.hier durch grune Schriftgekennzeichnet)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Die 6 ist schon gestrichen; nun dasselbe mit 7; die erste neu zu streichende Zahlist 7 · 7 = 49.hier durch unterstrichene Zahlen gekennzeichnet)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Die 8,9,10 sind schon gestrichen.Die nachste Primzahl ist 11. Nun sind das 1,2,3...10-fache von 11 aber schongestrichen; die erste neu zu streichende Zahl ware erst 11 · 11 = 121; diese Zahlist aber großer als 100.Alle noch nicht gestrichenen Zahlen - d.h

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

17


- sind Primzahlen.

6.1.10 Vielfache und Teile einer Große

Vielfache einer GroßeEine Große besteht aus Maßzahl und Maßeinheit. Beispiel : 4m, 3kg, 23minGleichartige Großen (d.h.Großen mit derselben Einheit) lassen sich zu einerneuen Große zusammensetzen :

3kg + 5kg =8kg.

Werden gleiche (d.h. gleiche Maßzahl und Einheit) Großen zusammengesetzt,so schreiben wir statt

2kg +2kg +2kg +2kg +2kg +2kg + 2kg

kurzer

(2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2)kg

oder gleich

5 · (2kg) = (5 · 2)kg =10kg.

Eine Große wird vervielfacht, d.h. mit einer naturlichen Zahl multipliziert, indemman ihre Maßzahl mit dieser Zahl multipliziert und die Einheit beibehalt.Teile einer GroßeGroßen lassen sich auch teilen; um einen Teile einer Große anzugeben, wandelnwir ihn i.a. in eine kleinere Einheit um, z.B. ist :

3 kg : 4 =3000 g : 4 =750 g

Dabei erhalten wir jedoch nicht immer eine naturliche Zahl als Maßzahl - z.Bwenn wir 1 kg in drei gleiche Teile teilen wollen.Wir brauchen dann fur die Teilgroßen einen neuen Namen: BrucheWird z. B. das Gewicht 1 kg in n gleiche Teile geteilt, so schreiben wir fur einesder entstandenen Teilgewichte :

1nkg

6.1.11 Bruchteile und -zahlen

Bruchteile einer Große

Teilt man z. ein Gewicht in gleiche Teile, kann man die entstandenen Teilge-wichte wieder zu neuen Gewichten zusammensetzen:so ergeben z.B zwei Teile des in drei gleiche Teile geteilten Gewichtes 1kg dasneue Gewicht .

23kg

zn kg

18


ist derjenige Bruchteil des Gewichtes 1 kg, den man erhalt, wenn man 1 kgin n gleiche Teile teilt und danach z solcher Teile zu einem neuen Gewichtzusammensetzt. nennen wir einen Bruch, mit dem Zahler z und dem Nennern .Der Bruch 3

4 bezeichnet den Anteil am Ganzen, z.B 34m dreiviertel vom ganzen

Meter. Die Anteile zn bilden eine ’unbenannte’ Skala.

Die Bruche zn mit z ∈ Z und n ∈ N 1 sind Namen (Kennzeichen) fur Bruchzah-

len.Jede Bruchzahl hat verschiedene Namen.Beispiel: 2

3 = 46 = 10

15 = 2030 = 1482

2223 = · · ·Die Menge B0 der Bruchzahlen umfasst die Menge der naturlichen Zahlen NBeispiel: Die naturliche Zahl n lasst sich als Bruchzahl n

1 schreiben.Der Quotient zweier naturlicher Zahlen z und n ist die Bruchzahl z

nDie Bruchzahl nennt man den Kehrwert der naturlichen Zahl n.0 hat keinen Kehrwert , weil man durch 0 nicht dividieren kann.Wegen 14 : 3 = (12 + 2) : 3 = 12 : 3 + 2 : 3 = 4 + 2

3 schreibt man auch 4 23 .

Dies nennt man die gemischte Schreibweise fur die Bruchzahl14

3 und bezeichnet

4 23 als gemischte Zahl.

6.1.12 Erweitern und Kurzen

Beispiele

Man hat 34 einer Torte. Teilt man nun jedes der Viertel in funf gleiche Teile,

entstehen Zwanzigstel; man hat davon 3·5 =15 Stuck.Also ist . 34 = 15

20Entsprechend kann man zeigen, dass 3

4 = 68 = 9

12 = 1216 = 15

20 = 1824 = · · · ist.

Man hat eine Torte in Zwolftel geschnitten; davon sind noch acht Stuck uber.Legt man nun immer zwei Stuck zusammen, so entstehen Sechstel; davon hatman dann 4 Stuck.Also ist 8

12 = 46 = 8:2

12:2Entsprechend kann man zeigen, dass 8

12 = 23 ist.

Erweitern

Wenn man den Zahler z und den Nenner n eines Bruchs zn mit derselben

naturlichen Zahl k multipliziert, so erhalt man den Bruch z·kn·k ; er stellt die-

selbe Bruchzahl dar, wie zn .

Diese Umformung des Bruchs zn in den Bruch z·k

n·k nennt man Erweitern vonzn mit k.

Kurzen

Wenn Zahler z und Nenner n eines Bruchs zn einen gemeinsamen Teiler k

haben, so ist zn = z:k

n:k . Diesen Ubergang nennt man Kurzen mit k.Wenn Zahler und Nenner eines Bruchs teilerfremd sind, so heißt der Bruchvollstandig gekurzt .

1N ist die Menge der naturlichen Zahlen (einschließlich Null); Z die der ganzen Zahlen; Zbesteht aus den naturlichen und ihren negativen Gegenzahlen

19


Hauptnenner

Wir erweitern 310 und 1

6 so, dass zwei nennergleiche Bruche entstehen. Wirprobieren die verschiedenen Moglichkeiten aus und schreiben die Ergebnisse ineiner Tabelle auf:

Erweitert mit: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20310

620

930

1240

1550

1860

2170

2480

2790

30100

36120

60200

16

212

318

424

530

636

742

848

954

1060

1590

20120

wir sehen, dass es viele Moglichkeiten gibt, gemeinsame Nenner zu finden. Wirwahlen unter diesen allen den kleinsten (hier 30) aus .Man nennt 30 den Hauptnenner der Bruche mit den Nennern 10 und 6.

Der Hauptnenner ist das kgV der Nenner der beiden Bruchzahlen.

6.1.13 Anordnung der Bruchzahlen

Es ist einfach, zwei naturliche Zahlen der Große nach anzuordnen. Bei zweiBruchzahlen ist es wesentlich schwieriger anzugeben, welche die großere ist.Beispiel : ist 5

21 großer oder kleiner als 730 ?

Einfach ist es, zwei Bruchzahlen, die den gleichen Nenner haben,zu vergleichen: diejenige mit dem großten Zahler ist die großere.Ebenso kann man Bruche mit dem gleichen Zahler gut vergleichen: diejenigemit dem kleineren Nenner ist die großere.Um beliebige Bruche zu vergleichen, macht man sie durch Erweitern nenner-gleich.

Beispiel:521 und 7

30 sollen verglichen werden.zuerst bestimmen wir das kgV(21;30).

21 = 3 · 730 = 3 · 2 · 5

kgV : 3 · 7 · 2 · 5 = 210521 mussen wir mit 2 · 5 = 10 erweitern, also 5

21 = 50210

730 mussen wir mit 7 erweitern, also 7

30 = 49210 . Damit gilt : 5

21 > 730 .

Bruchzahlen sind dicht angeordnet

Es ist . 47 > 5

7 .Erweitert man diese Bruche mit 2 erhalt man 8

14 und . 1014Dazwischen liegt noch die Bruchzahl 9

14 . Erweitern wir 814 und 9

14 mit 1000, soerhalten wir 8000

14000 und 900014000 .

Nun ist:47 = 8

14 = 800014000 < 8001

14000 < 800214000 < · · · < 8998

14000899914000 < 9000

14000 = 914 < 10

14 = 57 .

Erweitern wir 834614000 und 8347

14000 mit 3 , so erhalten wir 2503842000 und 42041

14000 , zwischendenen wieder die Bruchzahlen 25039

42000 und 2504042000 liegen.

Dies kann man beliebig fortsetzen. Wenn wir zwei Bruchzahlen haben, konnenwir immer noch weitere Bruchzahlen angeben, die zwischen diesen beiden ange-ordnet sind.Wir sagen :

Die Menge B der Bruchzahlen ist dicht angeordnet .Im Gegensatz zu den naturlichen Zahlen hat eine Bruchzahl keinen Nachfolger.

20


6.1.14 Addition und Subtraktion von Bruchzahlen

Zwei Bruchteile einer Große G kann man zu einem neuen Bruchteil von G zu-sammensetzen.Mit Hilfe einer genugend feinen Unterteilung von G erkennen wir, um welchenBruchteil es sich handelt.Beispiel : Wenn wir einen drittel Meter und einen halben Meter durch sechstelMeter ausdrucken, erhalten wir:13m + 1

2m = 26m + 3

6m = 56m

Man kann nennergleiche Bruche addieren:

a

c+

b

c=

a + b

c

Die Zahler werden addiert,der gemeinsame Nenner wird beibehalten.

Die Addition von Bruchen

Sind die Nenner der zu addierenden Bruche verschieden, so machen wir dieBruche zuerst nennergleich.

� Wir bestimmen das kgV aller Nenner.

� Dies ist der Hauptnenner (HN)

� Die Bruche werden so erweitert, dass der Hauptnenner zum Nenner wird.

� Die Zahler werden addiert

� ggf. wird das Ergebnis noch gekurzt.

Beispiel:58 + 4

9 + 1124 = 45

72 + 3272 + 33

72 = 45+32+3372 = 110

72 = 5536 = 1 19

36

Die Subtraktion von Bruchen

Bei Differenzen verfahrt man entsprechend.

6.1.15 Vielfache und Teile eines Bruchteil es

Vielfache eines Bruchteil es

Das k-fache des Bruch es 1a ist der Bruch k

a ;Um das k-fache des Bruch es z

n zu bestimmen, mussen wir (k ·z) mal den Bruch1n nehmen; wir erhalten damit den Bruch k·z

n

Teile eines Bruchteils

Der k-te Teil des Bruchs 1a ist der Bruch 1

k·aDer k-te Teil des Bruchs z

n ist der Bruch zk·n .

21


Bruchteile eines Bruchteils

Beispiel: 34 einer Zahl bedeutet, dass zuerst der vierte Teil dieser Zahl gebildet

wird, und dann das Zwischenergebnis dreimal genommen wird.also : 3

4 von 57 erhalt man, indem man zuerst ein Viertel von 5

7 bildet. d.h 57·4

= 528 . (vgl.16.2) und dies dann mit 3 multipliziert , d.h. 5·3

28 .Um den Bruchteil eines Bruchteils zu bestimmen, mussen wir nur die beidenZahler und die beiden Nenner der Bruchteile miteinander multiplizieren.

6.1.16 MULTIPLIZIEREN VON BRUCHZAHLEN

Wenn wir ganze Zahlen als Bruche mit dem Nenner 1 auffassen, stellen wir (vergl. 16.3 ) fest, dass die Bildung von ”Bruchteilen“von ”Bruchteilen“in diesemFall genau die Multiplikation ganzer Zahlen ergibt.Multiplikation von Bruchzahlen zu deuten.

Zwei Bruche werden multipliziert, indem man Zahler mit Zahler und Nennermit Nenner multipliziert.

Beispiel35 ·

12 = 3

10oder in Worten : Die Halfte von 3

5 ist 310

ein weiterer wichtiger Hinweis:

Bevor man - entsprechend der Regel -multipliziert, sollte man immer prufen,ob man kurzen kann!

Beispiel:38 ·

209 = 3·20

8·9 = �31·Z205

C82·�93= 1·5

2·3 = 16 ;

ungeschickt ware die Rechnung :38 ·

209 = 3·20

8·9 = 6072

hier kann man zwar noch relativ leicht erkenne, dass man durch 12 - oder nach-einander durch 3 und durch 4 - kurzen kann, aber das nachste Beispiel stelltuns bei ungeschicktem Vorgehen vor - fast - unlosbare Probleme:1723 ·

4651 = 782

1173Ohne Anwendung des euklidischen Algorithmus wird wohl kaum jemand - imErgebnis! - auf die Moglichkeit stoßen, dass man durch 391 = 23 · 17 kurzenkannWahlt man dagegen das geschicktere Vorgehen - zuerst kurzen und dann mul-tiplizieren, erhalt man die folgende Rechnung:1723 ·

4651 = 17·46

23·51 =�171·Z462

Z231·�513 = 1·21·3 = 2

3 ;

6.1.17 Exkurs : Rechengesetze

Fur das Rechnen mit ganzen Zahlen gelten (u.a.) folgende Gesetze :

22


Kommutativgesetze (Vertauschungsgesetze) a + b = b + aa · b = b · a

Assoziativgesetze (Verbindungsgesetze) a + (b + c) = (a + b) + ca · (b · c) = (a · b) · c

Neutrales Element a + 0 = aa · 1 = a

Umkehrung

Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion; die Umkehrung der Multipli-kation ist die Division.a + b = c ⇔ c− a = b ⇔ c− b = aa · b = c ⇔ c

a = b ⇔ cb = a

Die Subtraktion a - b ist aber (falls die negativen Zahlen noch unbekannt sind)nur moglich, wenn a ¿ b ist.Die Division a : b ist in der Menge der naturlichen Zahlen nur dann umkehrbar,wenn b ein Teiler von a ist. Nach Einfuhrung der Bruchzahlen lasst sich derQuotient a : b immer bilden, er ist die Bruchzahl a

b .Nur die Division durch ’Null’ ist weiterhin nicht durchfuhrbar.

Permanenzprinzip

Die Bruchzahlen wurden eingefuhrt, um jede Division in der Menge der naturli-chen Zahlen ausfuhren zu konnen.Die naturlichen Zahlen bilden eine Teilmenge der naturlichen Zahlen, sie lassensich als Bruchzahlen mit dem Nenner ’eins’ auffassen : n = n

1 .Das Permanenzprinzip fuhrt zur Forderung, die Regeln fur das Bruchrechnenso zu fassen, dass alle Rechnungen mit naturlichen Zahlen das gleiche Ergebnishaben,

� wenn wir wie bisher rechnen, oder aber,

� wenn wir die naturlichen Zahlen in der Form n1 schreiben und die Rechen-

regeln fur Bruchzahlen anwenden.

� weiter sollen die obigen Rechengesetze moglichst uneingeschrankt auch furBruchzahlen gelten.

Dass diese Bedingungen erfullt. sind, musste eigentlich bewiesen werden.

6.1.18 Division von Bruchzahlen

Umkehrung der Multiplikation

Wenn ich beim Rechnen mit naturlichen Zahlen eine Zahl p zuerst mit einerZahl q multipliziere, und dann das Ergebnis wieder durch q dividiere, erhalteich als Ergebnis wieder den Wert p :

(p · q) : q = p

Dieses soll nach dem Permanenzprinzip auch fur Bruche gelten :Es sei p = a

b und q = cd

23


Also soll sein:

(p · q) : q = p (6.1)(a

b· cd

):

c

d=

a

b(6.2)

Nun muss gelten :

(a · cb · d

):

c

d=

a

b(6.3)

Wir bemerken, dass wir das Ergebnis auf der rechten Seite erhalten konnen,wenn wir statt durch c

d zu dividieren, mit dc multiplizieren:

(a · cb · d

)· dc

=a · c · db · d · c

=a

b(6.4)

Durch Vergleich erhalten wir die Regel fur das Dividieren durch Bruche:

a

b:

c

d=

a

b· dc

(6.5)

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

eine etwas andere Begrundung :

Zu der Multiplikations-Gleichung p · q = r gehort bei den ganzen Zahlen dieDivisions-Gleichung r : q = p.Es sei nun p = a

b , q = cd und r = e

f ; ,Wir vergleichen:

p · q = r mit r : q = pab ·

cd = e

fef : c

d = ab

Um die Division auf der rechten Seite ein Ergebnis zu erhalten, suchen wirgeeignete Ausdrucke fur a und b auf der linken Seite:Offensichtlich wird die Gleichung zu einer wahren Aussage, wenn wir a = d · eund b = c · f setzen:

ab ·

cd = d·e

c·f ·cd

ef

ef : c

d = ab

Das gleiche muss auch auf der rechten Seite richtig sein:ab ·

cd = d·e

c·f ·cd

ef

ef : c

d = ab = d·e

c·f = ef ·

dc

Beachte

Bei Divisionen gelten weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz!d.h. : man darf die Zahlen nicht vertauschen und Klammern nicht umsetzen!

6.1.19 Bruche in Dezimalschreibweise

Stellenwertsysteme

Wenn die Zahl zweitausendvierhundertdreiundsiebzig in der Form 2473 geschrie-ben wird, ist dies eine Kurzfassung von2473 :=2 Tausender + 4 Hunderter + 7 Zehner + 3 Einer

24


Unser Zahlensystem basiert auf der Zahl Zehn ( zehn Finger, an denen manzahlen kann !); Hundert ist 10·10, Tausend 10·10·10.Denkbar ist es, dass man andere Zahlen als die Zehn zur Basis einer Zahlen-schreibweise macht.Wir denken uns z. ein Volk, das ein Funfer-System benutzt ; dieses wurde nur dieZiffern 05, 15, 25, 35, 45 benotigen, da die Funf bereits in der Form 105 geschrie-ben wurde. (Die kleine ”5“ deutet an, dass es eine Zahl in Funfer-Schreibweiseist.)Die Zahl 19810 wurde dann dargestellt als :1 Hundertfunfundzwanziger + 2Fuenfundzwanziger + 4 Funfer + 3 Einer, d.h. 12435

Dezimalschreibweise

Mit der Stellenwertschreibweise kann man nicht nur ganze, sondern auch (man-che) Bruchzahlen gut darstellen:Beispiel : 3 Zehner + 4 Einer + 2 Zehntel + 5 Hundertstel + 7 Tausendstelschreibt man kurzer als 34,257man schreibt die Zahlen also in der Form

... ¡Hunderter¿¡Zehner¿¡Einer¿,¡Zehntel¿¡Hundertstel¿¡Tausendstel¿ ...

Das Komma steht zwischen den Einern und den Zehnteln.Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen.

Beispiele

Die Zahl 3 Tausender + 4 Zehner + 5 Einer schreibt man 3045Man muss die nicht aufgefuhrten 0 Hunderter berucksichtigen.Entsprechend muss man bei 3 Einer + 2 Hundertstel die Zehntel berucksichtigen:3 Einer + 0 Zehntel + 2 Hundertstel - also 3,02

Umformen von der Bruch- in die Dezimalschreibweise

Auch der Bruch 34 lasst sich als Dezimalbruch schreiben; hierzu erweitern wir

ihn zuerst so, dass der Nenner eine Potenz von 10 wird :34 = 75

100 = 70100 + 5

100 = 0 + 710 + 5

100 = 0, 75

Verschiedene Darstellungen

Es ist 310 = 30

100 = 3001000 = 3000

10000 = · · · , also ist 0, 3 = 0, 30 = 0, 300 = 0, 3000 =· · · .Wir durfen hinter einem Komma am Schluss des Dezimalbruchs beliebig vieleNullen anfugen bzw. weglassen.

Umwandlungsprobleme

Der Bruch 13 lasst sich nicht so erweitern, dass der Zahler eine Potenz von 10

wird, da Potenzen von Zehn nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten konnen,aber nicht die 3.13 konnen wir also (vorlaufig) nicht in eine Dezimalzahl umwandeln.

25


6.1.20 Ordnen von Dezimalbruchen

Ordnen

Stehen bei einer Dezimalzahl vor dem Komma verschiedene Zahlen, ist diejenigedie großere, bei der die großere Zahl vor dem Komma steht.Stehen vor dem Komma die gleichen Zahlen, so werden die Ziffern hinter demKomma von links nach rechts verglichen. Diejenige ist dann die großere Zahl,bei den zuerst eine hohere Ziffer steht.

Beispiele

98,76 ¡ 123,4 , da 98 ¡ 1236,97599 ¡ 6,9760123 , da (von links!) in der dritten Dezimalen zum ersten malein Unterschied auftritt; dabei sind die dann noch folgenden Dezimalen volliguninteressant

Dichte Ordnung

Es ist 1 ¡ 21,1¡ 1,21,13 ¡ 1,171,132 ¡ 1,133.......1,1328759 ¡ 1,13287601,13287595¡ 1,13287596usw.Bei ganzen Zahlen kann man immer den ’Nachfolger’ angeben. So folgt nachder Zahl 165 die Zahl 166. Es gibt keine ganze Zahl, die ’zwischen’ 165 und 166liegt.Zwischen zwei verschiedenen Dezimalbruchen kann man immer weitere (sogarunendlich viele) Dezimalbruche angeben, die dazwischen liegen.

Die Dezimalbruche sind dicht angeordnet.

6.1.21 Runden von Dezimalbruchen

Rundungen

Enthalt ein Dezimalbruch uberflussige (oder ungenaue) Dezimalen, so muss ge-rundet werden.Vor dem Runden muss man wissen, wie viele Stellen die gerundete Zahl habensoll. Die uberflussigen Ziffern lasst man weg.

Lautet die erste wegzulassende Ziffer 0;1;2;3 oder 4, so wird abgerundet, d.h.von dieser Ziffer an werden die nachfolgenden weggelassen.Lautet die erste wegzulassende Ziffer 5;6;7;8 oder 9, so wird aufgerundet,d.h.die letzte stehen bleibende Ziffer wird um 1 erhoht.

Ein gerundetes Ergebnis wird durch ”≈“gekennzeichnet.

26


Beispiele

104,465421968 ≈ 104,46542197 ≈ 104,4654220 ≈ 104,465422 ≈ 104,46542≈ 104,46542 ≈ 104,4654 ≈ 104,465 ≈ 104,47 ≈ 104,5 ≈ 104Vorsicht!!!:Bei mehrfachem Runden aufpassen;moglichst immer vom ursprung-lichen Wert ausgehen !4,4545 ≈ 4,455 ≈ 4,45 ≈ 4,5 ≈ 4und nicht4,4545 ≈ 4,455 ≈ 4,46 ≈ 4,5 ≈ 5

Genauigkeit, geltende Ziffern

In der Mathematik werden Ergebnisse exakt (nach einem Gleichheitszeichen, =)oder gerundet (nach einem ”Ungefahr-Zeichen“, ≈) angegeben.In der Physik und der Technik gibt man alle Ergebnisse (Messwerte oder darausberechnete Werte) mit einer sinnvollen Anzahl an sog. geltenden Ziffern (andereBezeichnung: gultige Ziffern) an.Im Rahmen der Messgenauigkeit bei z.B. Streckenlangen ist es je nach Messan-ordnung nur moglich, eine Genauigkeit z.B. im Zentimeterbereich anzugeben,z.B. 12 cm. Dies bedeutet, die tatsachliche Lange kann im Bereich von [11,5 cm;12,5 cm[ liegen. Gibt man dagegen den Messwert mit 12,0 cm an, so heißt dies,dass der tatsachliche Wert im Bereich von [11,95 cm; 12,05 cm[ liegt. im erstenFall wurde auf den Zenti-, im zweiten auf den Milli-Meter genau gemessen.Also:Die ”physikalische“ Angabe 12 cm ist gleichbedeutend mit dem Intervall [11,5cm; 12,5 cm[, die Angabe 12,0 cm ist gleichbedeutend mit dem Intervall [11,95cm; 12,05 cm[. In der Physik und der Technik bedeuten 12 und 12,0 also nichtdas selbe!Wenn nach dem Runden die letzte Ziffer eine Null ist, wird sie nicht weggelassen.

Regeln fur die Anzahl an geltenden Ziffern

Beim Zahlen der geltenden Ziffern werden (ohne Rucksicht auf das Komma)alle von Null verschiedenen Ziffern, sowie Zwischen- und Endnullen gezahlt.Vornullen zahlen nicht!

Technisches Runden

Die obigen Regeln gelten genau genommen nur im kaufmannischen Bereich; beiwissenschaftlich-technischen Fragestellungen wird geringfugig anders vorgegan-gen, wenn nur eine ’5’ wegzulassen ist. Dies werden wir nicht behandeln.

6.1.22 Addieren und Subtrahieren von Dezimalbruchen

Addieren und Subtrahieren von Dezimalbruchen

Beim Addieren und Subtrahieren von Dezimalbruchen schreiben wir diesezunachst so auf, dass Komma unter Komma steht; danach addieren (subtra-hieren) wir stellenweise; die Stellung des Komma bleibt.

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2 1 0 7, 3 4+ 2 2, 5 1 7+ 7 8 1, 1= 2 9 1 1, 9 5 7

2 1 0 7, 3 4- 2 2, 5 1 7- 7 8 1, 1= 1 3 0 3, 7 2 3

Addieren und Subtrahieren von Großen

Sollen Großen (z. Langen oder Gewichte ) addiert oder subtrahiert werden, somussen wir sie zuerst in der gleichen Einheit ausdrucken.1073,4 dm + 2251,7 cm + 2,7811 km=107,34 m + 22,517 m + 2781,1 m

Addieren und Subtrahieren gerundeter Dezimalbruche

Beim Addieren (Subtrahieren) gerundeter Dezimalbruche rechnet man zuerstgenau. Dann rundet man das Endergebnis stets auf die Anzahl der Dezimalendes ungenauesten Dezimalbruchs.

1073,4 dm + 2251,7 cm + 2,7811 km= 107,34 m + 22,517 m + 2781,1 m= 2910,957 m≈ 2912,0 m

6.1.23 Multiplizieren und Dividieren mit Zehnerpotenzen

Multiplizieren

Ein Dezimalbruch wird mit 10 ( 100; 1000; ... ) multipliziert, indem man dasKomma um 1 ( 2; 3; ... ) Stelle(n) nach rechts ruckt.

Dividieren

Ein Dezimalbruch wird durch 10 ( 100; 1000; ... ) dividiert, indem man dasKomma um 1 ( 2; 3; ... ) Stelle(n) nach links ruckt.

Beispiele

0,005 · 10 = 0,05 130 : 10 = 130,005 · 100 = 0,5 130 : 100 = 1,3

0,005 · 1000 = 5 130 : 1000 = 0,130,005 · 10000 = 50 130 : 10000 = 0,01

6.1.24 Multiplizieren von Dezimalbruchen

Beispiel

Wie ein Dezimalbruch mit einem anderen multipliziert wird, erkennt man ameinfachsten mit Hilfe der Bruchstrich-Schreibweise:Beide Faktoren haben in der Dezimalschreibweise eine Ziffer hinter dem Komma.In der Bruchstrich-Schreibweise haben sie also beide den Nenner 10 (die Zahlersollen ganze Zahlen sein). Fur das Produkt ergibt sich damit der Nenner 100;das Produkt hat also in Dezimalschreibweise zwei Dezimalen.Entsprechend ergibt sich : Hat einer der beiden Faktoren eine Dezimale, derandere zwei Dezimalen, so hat das Produkt drei Dezimalen.

28


Multiplizieren von Dezimalbruchen

Dezimalbruche werden multipliziert, indem man zunachst ohne Rucksicht aufdas Komma multipliziert. Das Produkt hat dann so viele Dezimalen , wie dieFaktoren zusammen.

Beispiele

0,37 · 8,15373 7 · 8 1 5 3 7

2 5 91 1 1

1 8 53 7

2 9 63 0 1 6 8 6 9

37·81537 ergibt 3016869. Die Zahl0,37 hat zwei, die Zahl 8,1537 hatsechs Dezimalen. Das Ergebnis mussalso sechs Dezimalen haben. Es istdamit:0,37 · 8,1537 = 3,016869Ein Uberschlagsrechnung solltezusatzlich gemacht werden: 0,37 istetwa ein drittel; ein Drittel von 8 istknapp 3. Damit muss das Ergebnis3,016869 und nicht 30,16869 oder0,3016869 sein.

0,25 · 6,42 5 · 6 4

1 0 01 5 01 6 0 0

Die beiden Zahlen haben zusammendrei Dezimalen, also ist das Ergebnis0,25 · 6,4 = 1,600 =1,6.Hier ist zu beachten, dass die Nullenam Ende erst weggelassen werdendurfen, wenn die Stellung des Kom-ma bestimmt worden ist !Aus hier empfiehlt sich die Uber-schlagsrechnung: Ein Viertel vonsechs ist etwa ein einhalb!

6.1.25 gegensinnige Kommaverschiebung

Nach der obigen Multiplikationsregel ergeben die beiden Produkte0, 0429 · 76, 9 und 4, 29 · 0, 769das gleiche Ergebnis.Die Ziffernfolgen sind gleich und in beiden Produkten gibt es zusammen 5 De-zimalen.Ein Produkt andert sich nicht, wenn man das Komma bei den beiden Faktorenum gleich viele Stellen im entgegengesetzten Sinn verschiebt.Dies lasst sich fur Uberschlagsrechnungen benutzen:Im obigen Beispiel lasst sich die Großenordnung der Produktes 0, 0429 ·76, 9 nurschwer abschatzen.Beim Produkt 4, 29 · 0, 769 kann man dagegen schnell und einfach nahern :4, 29 · 0, 769 ≈ 4 · 0, 8 = 3, 2Erhalt man dann z.B durch eine Rechnung den Wert 32,298 oder 0,32298, sosollte man seine Rechnung noch einmal genau prufen.

29


6.1.26 Division von Dezimalbruchen

6.1.27 Begrundung der schriftlichen Division

Soll man 1134 im Kopf durch 7 dividieren, kann man so vorgehen:- in 1134 ist die 7 100-mal enthalten; es bleibt ein Rest von448- in 434 ist die 7 60-mal enthalten; es bleibt ein Rest von 14- in 14 ist die 7 4-mal enthalten; es bleibt kein Rest

also ist die 7 in 1148 insgesamt (100+60+4)-mal enthalten.Das - bekannte - Verfahren der schriftlichen Division lasst sich damit ganz ein-fach so erklaren:

T H Z E T H Z E1 1 3 4 : 7 = 0 1 6 2

- 0 1T :7 = 0T Rest 11 1

- 7 11H:7 = 1H Rest 44 3

- 4 2 43Z:7 = 6Z Rest 11 4

- 1 4 14E:7 = 2E Rest 00

6.1.28 Division von Dezimalbruchen durch naturliche Zah-len

Das Verfahren wird entsprechend angewandt, wenn der Dividend ein Dezimal-bruch ist. ( T:Tausender; H:Hunderter; Z:Zehner; E:Einer; z:Zehntel; h:Hundertstel,t : tausendstel)

H Z E , z h t E , z h t1 6 1 , 4 9 : 42 = 3 , 8 4 5

- 1 2 6 161E:42=3R+35E:423 5 4

- 3 3 6 354z:42=8z+18z:421 8 9

- 1 6 8 189h:42=4h+21h:422 1 0

- 2 1 0 210t:42=5tWir nutzen hier im vorletzten Schritt aus, dass 21 hundertstel in 210 tausendstelumgewandelt werden konnen.

Man dividiert einen Dezimalbruch durch eine ganze Zahl wie bei naturlichenZahlen.Beim Uberschreiten des Kommas im Dividenden ist auch im Ergebnis einKomma zu setzen..

Man dividiert einen Dezimalbruch durch eine ganze Zahl wie bei naturlichenZahlen. Beim Uberschreiten des Kommas im Dividenden ist auch im Ergebnisein Komma zu setzen.

Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch

Die Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch lasst sich durchErweitern auf den schon bekannten Fall der Division eines Dezimalbruchs durch

30


eine ganze Zahl zuruckfuhren: Beispiel :16,149

4,2 = 16,149·104,2·10 = 161,49

42 = 3, 845

� Bei Dividend und Divisor wird das Komma um gleich viele Stellen so-weit nach rechts geschoben, dass der Divisor ganzzahlig wird.

� Dann wird - wie bei naturlichen Zahlen - dividiert.

� Beim Uberschreiten des Kommas im Dividenden wird im Ergebnis einKomma gesetzt

6.1.29 Periodische Dezimalbruche

Berechnet man nach dem obigen Verfahren den Quotienten 100 : 88 , so erhaltman :

1 0 0 : 8 8 = 1 , 1 3 6 3 6 3 · · ·- 8 8

1 2 0- 8 8

3 2 0- 2 6 4

5 6 0- 5 2 8

3 2 0- 2 6 4

5 6 0- 5 2 8

3 2 0- 2 6 4

5 2Die Zifferngruppe 36 wiederholt sich im Ergebnis immer wieder, da auch dieReste 32 und 56 immer wieder auftreten. Die Zifferngruppe 36 nennen wir Pe-riode.Dezimalbruche mit einer Periode heißen periodische DezimalbrucheStatt 1,1363636363636... schreiben wir kurzer 1, 136Der Strich zeigt die erste vollstandige Periode nach dem Komma an.Gelesen wird so:”Eins Komma eins Periode drei sechs“

Entstehen der Periode

Wir wissen schon, dass sich Bruchzahlen, in deren Nenner - nach ggf. erfolgtemKurzen - nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen, in endliche Dezimalbrucheumwandeln lassen.Alle anderen Bruchzahlen fuhren auf periodische Bruche.Weshalb tritt eine Periode auf?Wir betrachten die Reste, die auftreten, wenn alle im Dividenden vorhande-nen Ziffern bereits berucksichtigt wurden. D.h., wir mussen nun immer eine ’0’

”herunterholen“ und an den jeweiligen Rest ”anhangen“.Tritt nun ein Rest ein weiteres mal auf, wiederholt sich der ganze Rechenwegdazwischen immer wieder.

31


Im obigen Beispiel ergab sich: 320 : 88 =3 Rest 56;Dann folgte: 560 : 88 =6 Rest 32;Und dann wieder: 320 : 88 =3 Rest 56; usw. usw.Dies kann nie aufhoren.

Periodenlange

Im folgende sind einige periodische Dezimalbruche (nur Stammbruche) auf-gefuhrt:

13 = 0, 316 = 0, 1617 = 0, 14285719 = 0, 1111 = 0, 09112 = 0, 083113 = 0, 076923117 = 0, 0588235294117647121 = 0, 047619129 = 0, 0344827586206896551724137931137 = 0, 027141 = 0, 02439161 = 0, 01639344262295081967213114754098360655737049180327868852459

Es lasst sich zwar nicht einfach beantworten, wie lang die Periode eines beliebi-gen Bruchs wird. Wir konnen aber ganz einfach ermitteln, wie lang sie hochstenssein kann:Der Grund fur das Auftreten der Periode liegt im wiederholten Auftreten derReste. Nun konnen aber nicht beliebig viele verschiedene Reste auftreten.Bei der Division 1/17 sind z.B. nur die Zahlen 1,2,...,15,16 als Rest moglich.Damit kann die Periode von 1/17 nicht langer als 16 sein.Entsprechendes gilt fur andere Bruche, wobei die Periode auch deutlich kurzersein kann. Bei 1/37 z.B. kann sie nicht langer als 36 sein; sie ist sogar nur 3Stellen lang.Dagegen hat 1/61 mit 60 Stellen eine Periode mit maximaler Lange

6.1.30 Bruche und (periodische) Dezimalzahlen

Die Umwandlungen eines Bruchs in eine (periodische) Dezimalzahl

Nun konnen wir jeden Bruch als Dezimalbruch darstellen; dabei mussen wir nur- nach dem Verfahren fur die Division durch Dezimalbruche - den Zahler durchden Nenner teilen.Jeder Bruch lasst sich damit als endlicher Dezimalbruch oder als periodischerDezimalbruch schreiben.

Die Umwandlung einer nicht-periodischen Dezimalzahl in einen Bruch

Wir schreiben die Dezimalzahl in den Zahler eines Bruchs mit dem Nenner 1.Dann erweitern wir diesen Bruch mit der Zehnerpotenz, die dazu fuhrt, dass imZahler gerade keine Ziffer mehr hinter dem Komma steht.Beispiel:1, 234 = 1,234

1 = 12341000

32


Erweitert wurde mit 1000.

Die Umwandlungen einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch

Zuerst als Beispiel, wie sich die Umwandlung des periodischen Dezimalbruchs1, 184 in einen Bruch durchfuhren lasst:

1000 · 1, 184 = 1184, 84- 10 · 1, 184 = 11, 84

990 · 1, 184 = 1173, 00Damit gilt: 1, 184 = 1173

990 = 391330 = 1 61

330Das Verfahren lauft so:

� Wir multiplizieren die periodische Dezimalzahl mit der ZehnerpotenzZ1, so dass das Komma hinter der ersten Periode steht.

� Dann multiplizieren wir die Zahl mit der Zehnerpotenz Z2, so dass dasKomma vor der Periode steht

� Die Differenz der Ergebnisse bildet den Zahler, die Differenz der Zeh-nerpotenzen den Nenner des zugehorigen Bruchs.

� Der Bruch muss dann eventuell noch gekurzt und in eine gemischte Zahlumgewandelt werden.

33

Index

Uberschlagsrechnungen, 9Division

Bruchzahlen, 23

Quotient, 7

Abrunden, 5abrunden, 26addieren, 6Addition, 7

Bruchzahlen, 21Dezimalbruch, 27

Algorithmus, Euklidischer, 15Anordnung

Bruchzahlen, 20Assoziativgesetz, 8Aufrunden, 5aufrunden, 26Aussageformen, 9Aussagen, 9

Basis, 9Binarsystem, 9Bruch, 19Bruchrechnung, 11Bruchteil

eines Bruchteils, 22Bruchteile, 18Bruchzahlen, 18

Anordnung, 20

DezimalbruchDivision, 30Multiplikation, 28periodisch, 31

Dezimalschreibweise, 24, 25Dezimalsystem, 9dicht angeordnet, 20Differenz, 7Distributivgesetz, 8Dividend, 7Division, 7, 8

Dezimalbruch, 30Divisor, 7

Eratosthenes, Sieb des, 16Erweitern, 19Euklidischer Algorithmus, 15Exponent, 9

Faktor, 7

gekurztvollstandig, 19

Geldwerte, 6geltende Ziffern, 27gemischte Zahl, 19Geometrie, 10ggT, 13

Bestimmung des, 14, 15Gleichung, 10

allgemeingultig, 10erfullen, 10

GroßeTeile einer, 18Vielfache einer, 18

Großen, 6Grundzahl, 9

Hauptnenner, 20Hexadezimalsystem, 9Hochzahl, 9

Kurzen, 19kurzen, 22Kehrwert, 19, 24kgV, 14, 20

Bestimmung des, 14Kommutativgesetz, 8Kubikzahlen, 9

Langen, 6Losungsmenge, 10

34


Maßeinheit, 6Maßzahl, 6Massen, 6Minuend, 7Multiplikation, 7

Bruchzahlen, 22Dezimalbruc, 28

multiplizieren, 6

Nenner, 19

Oktalsystem, 9Ordnung

dicht, 26

Periodenlange, 32Periodische Dezimalbruch, 31Permanenzprinzip, 23Platzhalter, 9Potenz, 9Primfaktoren, 13Primteiler, 13Primzahlen, 13Primzahlzerlegung, 13Produkt, 7

Quadratzahlen, 9

Rechenartenentgegengesetzte, 7

Rechengesetze, 8Rechengesetze , 22Rest, 11Runden, 5

Dezimalbruch, 26

Schreibweisegemischte, 19

Stellenwertsystem, 9Stellenwertsysteme, 24Stufenzahl, 9Subtrahend, 7subtrahieren, 6Subtraktion, 7, 8

Bruchzahlen, 21Dezimalbruch, 27

Summand, 7Summe, 7

Teileines Bruchteil es, 21

teilbar, 11Teilbarkeitsregeln, 12Teiler, 11

gemeinsamer, 13komplementarer, 11

teilerfremd, 13Teilermenge, 11teilerverwandt, 13teilt, 11

Ungleichung, 10

Variable, 9Vielfaches, 11

eines Bruchteil es, 21kleinstes gemeinsames, 14

Vorrang-regeln, 7

Zahler, 19Zahlen, 5

Bruch-, 5, 8gemischte, 19Komma-, 5naturliche, 5rationale, 8

Zahlworter, 5Zeitspannen, 6Ziffern

geltende, 27

35

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Mathematik Regelheft - · PDF fileMathematik Klasse 5/6 (ht) Regelheft 2. September 2007 Diese Seiten enthalten eine (noch nicht vollst andige) Zusammenstellung der - nach meiner Meinung