Mathematik Trigonometrie Anwendungen 1 - Lösungen 1 - Loesungen… · Mathematik Trigonometrie Anwendungen 1 - Lösungen A5120-Trigonometrie B. Willimann

Mathematik Trigonometrie

Anwendungen 1 - Lösungen

A5120-Trigonometrie B. Willimann Seite 1 / 14

Anwendungen 1 - Lösungen 03.10.2006

Für alle Aufgaben gilt:

1. Winkel und Strecken sind auf eine, Winkelfunktionen auf 4 Nachkommastellen zu runden; nehmen

Sie für Zwischenresultate mit denen Sie weiterrechnen eine Stelle mehr

2. Erstellen Sie immer eine Skizze von Hand – es sei denn, es ist eine exakte Konstruktion verlangt

Aufgabe 1:

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 12 cm und b = 5 cm.

(Konstruieren Sie das Dreieck ABC – die Seite a ist bereits gezeichnet)

a) die Ankathete des Winkels α ist: _b_

die Gegenkathete des Winkels α ist: _a_

die Gegenkathete des Winkels β ist: _b_

die Ankathete des Winkels β ist: _a_

b) Berechnen Sie die Hypothenuse c:

2 2c a b= +

c 144 25= +

c 13=

c) Berechnen Sie die Winkelfunktionen

sinα , cosα , und tanα

G 12

sin 0,9231H 13

α = = =

A 5

cos 0,3846H 13

α = = =

G 12

tan 2,4000A 5

α = = =

d) Berechnen Sie die Winkel α und β :

012arc sin 67,38

13α = = oder 012

arctan 67,385

α = =

0 0 090 67,38 22,62β = − =





Aufgabe 2:

Berechnen sie ohne TR die Werte sin(42o), cos(42o), tan(42o) und cot(42o) auf zwei

Dezimalen genau durch Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks und Messung der

Seiten auf eine Dezimale genau. Geben Sie zum Vergleich die exakten Werte aus dem TR

an:

0 G 9,1sin42 0,67

H 13,5= = = TR: 0sin42 0,67=

0 A 10cos42 0,74

H 13,5= = = TR: 0cos42 0,74=

0 G 9,1tan42 0,91

A 10= = = TR: 0tan42 0,90=

Aufgabe 3:

Eine Strasse hat eine Steigung von 20% - welchem Neigungswinkel entspricht das?

020arc tan 11,3

100=

Aufgabe 4:

Gegeben ist die lineare Funktion y = 2x + 3. Welchen Winkel bildet der Graf dieser

Funktion mit a) der x-Achse b) mit der y-Achse?

Mit der x-Achse:

m 2 tan= = α 0arc tan 2 63,4α = =

Mit der y-Achse: 0 0 090 63,4 26,6β = − =

Aufgabe 5:





In einem rechtwinkligen Dreieck ist b = 20 cm und α = 39o.

Berechnen Sie die anderen beiden Seiten und den Winkel β :

0 0 090 39 51β = − =

a

tanb= α │⋅b

a b tan= ⋅ α │Werte einsetzen 0a 20 tan39= ⋅

a 16,20=

b

cosc= α │Kehrwert bilden

c 1b cos=

α │⋅b

bc

cos=

α

0

20c

cos39= │Werte einsetzen

c 25,74=

Aufgabe 6:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist b = 20 cm und tanβ = 1,5.

Berechnen Sie die anderen beiden Seiten und die Winkel α und β :

0arctan 1,5 56,3β = =

0 0 090 56,3 33,7α = − =

20

tan 1,5a

β = =

20

a 13,31,5

= =

0arctan 1,5 56,3β = =

Z.B.: 2 2c a b= +

2

2 20c 20

1,5

= +

c 24,0=





Aufgabe 7:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypothenuse dreimal so lang wie die Kathete a.

Berechnen Sie die Winkel α und β :

A a 1

cosH 3a 3

β = = =

01arccos 70,5

3β = =

0 0 0 090 90 70,5 19,5α = −β= − =

Aufgabe 8:

a) Unter welchem Elevationswinkel α

erscheint die Spitze eines 161 m hohen

Doms von einer Stelle aus, die in

horizontaler Richtung e = 150 m vom

Fuss des Turmes entfernt ist? Die

Augenhöhe a beträgt 1.5 m.

159,5

tan150

α =

0159,5arctan 46,8

150α = =

b) Um wie viele Meter berechnen Sie die Turmhöhe zu niedrig wenn Sie den in a)

gemessenen Winkel α auf das nächste Winkelgrad abrunden?

Also: α = 460, e = 150, v=? v

tane

α =

v e tan= ⋅ α 0v 150 tan46= ⋅ 0v 150 tan46 155,3= ⋅ =

Die Turmhöhe wird um 161 – (155,3 + 1,5) = 4,2 m zu niedrig gemessen





Aufgabe 9:

Welchen Flächeninhalt hat ein Parallelogramm

(Rhomboid) wenn folgende Grössen gegeben sind:

a) a = 8 cm, d = 10 cm, α = 60o

ahGsin

H dα = =

ah d sin= ⋅ α

Fläche Rhomboid = Grundseite mal Höhe: ABCD aA a h= ⋅

ABCDA a d sin= ⋅ ⋅ α

remember: 0 1sin60 3

2= :

0ABCD

1A 8 10 sin60 80 3 69,3

2= ⋅ ⋅ = ⋅ =

b) a = 12 m, b = 7,5 m, β = 125o

1. 0 0 0 0180 180 125 55α = −β= − =

2. d b=

3. also: a, d, α bekannt wie in a):

ABCDA a d sin= ⋅ ⋅ α 0 0

ABCDA 12 7,5 sin55 90 sin55 73,7= ⋅ ⋅ = ⋅ =





Aufgabe 10:

Berechnen Sie die Höhenabschnitte p und q

sowie die Höhe h des rechtwinkligen Dreiecks

wenn folgende Grössen gegeben sind:

a) a = 6 c = 10

2 2b 10 6 8= − = Kathetensatz: 2b pc= � 2b 64

p 6,4c 10

= = =

q c p 10 6,4 3,6= − = − =

Höhensatz: 2h pq= � h pq 6,4 3,6 4,8= = ⋅ =

b) b = 4,5 α = 43,5o

h

sinb= α � h b sin= ⋅ α � 0h 4,5 sin43,5= ⋅ � h 3,1=

p

cosb= α � p b cos= ⋅ α � 0p 4,5 cos 43,5= ⋅ � p 3,3=

� Höhensatz: 2h pq= � ( )2 22b sinh

p b cosb sin

q 2,9cos⋅ α

= =α

⋅ α= =

⋅ α

c) a = 8 α = 28o � β = 62o

a

tanb= α ;

ab 15,046

tan= =

α

� Pythagoras: 2 2 2c a b= + � 2

2 2 22

ac a b a 17,040

tan= + = + =

α

c h a b(Dreieckesfläche)

2 2⋅ ⋅= �

8 15,0517,

a bh 7,07

c 04⋅⋅

===

� Kathetensatz: 2b pc= � 2 2b 15,046

p 13,29c 17,040

= = =

� Kathetensatz: 2a qc= � 2 2a 8

q 3,76c 17,040

= = =





d) c = 14,5 m β = 48,5o � α = 41,5o

a

cosc= β ; a c cos= ⋅ β

bcos

c= α ; b c cos= ⋅ α

Kathetensatz: 2pc b= � 2 2 2

2b c cosc c

p c cos 8,13= = α =⋅

= ⋅α

2qc a= � 2 2 2

2a c cosc c

q c cos 6,37= = β=⋅

= ⋅β

Höhensatz: h pq= � 2 2c cos c coh c cos cos 7,2s 0⋅ α ⋅ ⋅ β == ⋅ α ⋅ β =

Ein Tipp:

Da die Geometrie auf konstruktive Weise dieselben Ergebnisse liefert wie die

Trigonometrie, können Sie anstelle einer Skizze gleich die exakte Konstruktion nach den

Kongruenzsätzen durchführen, das dauert nicht wesentlich länger; Sie bekommen dafür

dann eine Kontrollmöglichkeit ob Ihre berechneten Längen und Winkel in etwa stimmen.

Längen stimmen fast auf den Millimeter, Winkel etwa auf ein Grad genau.

Messen Sie die Resultate von d) in der Konstruktion oben nach!





So dazwischen – zum durchatmen:

Beantworten Sie die Frage jeweils innerhalb von 3 Sekunden nach dem Lesen:

a. Monikas Vater hat 5 Töchter.

Sie heissen Lala, Lele, Lolo und Lulu – wie heisst die fünfte Tochter?

b. Sie nehmen an einem Hundertmeterlauf teil.

Sie überholen den Zweiten – auf welchem Platz sind Sie jetzt?

c. Sie nehmen an einem Hundertmeterlauf teil.

Sie überholen den Letzten – auf welchem Platz sind Sie jetzt?





Aufgabe 11:

Gegeben ist ein Würfel mit der Seitenlänge a:

H G

E F

a) Berechnen Sie den Winkel α , den die

eingezeichnete Körperdiagonale mit der

vorderen, unteren Kante bildet

b) Berechnen Sie den Winkel β den die

eingezeichnete Körperdiagonale mit der

linken Flächendiagonalen bildet

D C

A B

Zuerst die Figur betrachten und nicht drauflos rechnen! Man stellt fest:

ABGH ist ein Rechteck! (Begründen Sie!)

Demzufolge ist β = 900 - α , die Aufgabe b) erübrigt sich also.

Es reicht nun α zu berechnen. Wir wählen ABG∆ und stellen fest, dass ABG∢ ein rechter

Winkel ist.

Kopfgeometrie – ohne das Dreieck in wahrer Grösse zu zeichnen:

Ankathete von α : Strecke AB - Würfelseite s

Gegenkathete von α : Strecke BG – Flächendiagonale d s 2=

Hypothenuse: Strecke AG – Körperdiagonale k s 3=

Also wählen Sie eine Winkelfunktion aus die heute gerade zu Ihrer Stimmung passt und

berechnen Sie mit der entsprechenden Arkusfunktion α :

Beispiel Kosinus: A s 1

cosH s 3 3

α = = =

01arc cos 54,74

3α = = und damit 035,26β =





Aufgabe 12:

Berechnen Sie von folgendem Drachenviereck die Fläche A:

3,7 cm 5,8 cm

e2

112o

m + n = f

Sei e die vertikale Diagonale e und die horizontale f; diese sei durch die Diagonale e in

den linken Teil m und den rechten Teil n aufgeteilt.

Wir lenken alle unsere Aufmerksamkeit auf das obere linke Teildreieck (an der Prüfung

machen Sie eine Skizze!) und nennen den Winkel links α .

1. α misst 56o; da ein Drachenviereck der Diagonalen, die von der anderen NICHT

halbiert wird symmetrisch ist.

2. Mit der Gegenkathete e2 erhalten wir:

e2 sin

3,7= α ; 0e 2 3,7 sin56 6,135= ⋅ ⋅ =

Mit der Ankathete m erhalten wir:

m

cos3,7= α ; 0m 3,7 cos56 2,069= ⋅ =

Wir lenken alle unsere Aufmerksamkeit auf das obere rechte Teildreieck (an der

Prüfung machen Sie eine Skizze!) und nennen den Winkel rechts β .

3.

e2 tan

5,8= α ;

6,1352 0,529 tan

5,8= = α ; ( ) 0arctan 0,529 27,88α = = (ist aber nicht gefragt;

man soll auch nicht zu viel rechnen an einer Prüfung – also Punkt 3 vergessen)

4. Pythagoras: 2

2 2 en 5,8

2

= − �

22 6,135

n 5,8 4,9222

= − =

Somit ergibt sich für die Diagonale f: f m n 2,069 4,922 6,991= + = + =

5. Wir haben nun die Längen der Diagonalen berechnet:

e = 6,135 und

f = 6,991

Die Fläche des Drachens ergibt sich nun zu:

2Drachen

6,135 6,9912

e fA 21,44 cm

2⋅

= =⋅

=





Aufgabe 13:

Zürich liegt auf einer geografischen Breite von 47,3o, der Erdradius R beträgt 6370 km.

a) Welchen Umfang hat der Breitenkreis mit Radius r, auf dem Zürich liegt?

Aus der Zusatzskizze können wir entnehmen:

0r Acos47,5

R H= = ; 0r R cos47,5= ⋅

02 r 2 6370u 2 Rcos47,3 270,6 142,6 km782π = = π⋅ ⋅= π =

b) Mit welcher Geschwindigkeit (km/h) dreht sich Zürich um die Erde?

In 24h einmal rum, dideldum: Ein Dreisatz:

24h ≙ 27142,6 km

1h ≙ 1130,9 km Zürich dreht sich mit 1131 km/h um die Erde





Aufgabe 14:

Jedes regelmässige Vieleck (reguläres n-Eck oder Polygon) besitzt einen Inkreis und

einen Umkreis.

Gegeben ist ein reguläres Fünfeck mit einem Umkreisradius R = 10 cm.

a) Wie gross ist der Zentriwinkel α ?

0

036072

5α = =

r

α

R

b) Wie lang ist die Seite s des Fünfecks?

s

Wir betrachten 'einen Zehntel' des Fünfecks:

(Skizze nebenan)

00

ss2sin36 ;

R 2s 2Rs 36

Rin== =

0s 2Rsin36 1,1756R= =

c) Wie lang ist der Inkreisradius r?

0 0r Rcos36r

cos36 ; 0R

,8090R= ==

d) Wie gross ist die Fünfecksfläche A5?

Aus der Skizze ist abzulesen:

Fläche des Dreiecks =

0 00

2 0 05

s 2Rsin36 2Rsin36r r Rcos36 12 2 2 R sin36 cos36

2 2 2 2∆ = = = =

A5 besteht aus 10 solchen Dreiecken:

0 0 2 25 0,5 0,5878

1A sin36 cos 0,809036 R 0,2378R

2= ⋅ == ⋅ ⋅





Aufgabe 15:

Es soll die Breite b eines Flusses gemessen werden. Zu diesem Zweck wird dem Ufer

entlang eine Standlinie AB 30 m= abgesteckt. Punkt A genau gegenüber (also senkrecht

zur Standlinie) steht ein Baum C, der von B unter dem Winkel ( ) 0ABC 34=∢ gesehen

wird.

Sie können's schon bald

auswendig:

0b Gtan34

30 A= =

0b 30 tan34 20,24 m= ⋅ =

Aufgabe 16:

Berechnen Sie den Umkreisradius eines regulären Achtecks mit Seitenlänge s = 5 cm.

Wir betrachten wieder dasselbe Teildreieck wie in Aufgabe 14.

Der Zentriwinkel einer Seite eines Achtecks ist 45o, der Winkel

in nebenstehendem Dreieck die Hälfte davon.

Zu beachten: In Aufgabe 14 war der Umkreisradius gegeben, hier

ist es die Seite.

0

sG s2sin22,5H R 2R

= = =

02Rsin22,5 s=

0

sR 1,307s

2sin22,5= =

Nun ist Zeit, diese Formel zu verallgemeinern: Allgemein für ein n-Eck gilt:

n n0

1R s

3602sin

2n

=





Aufgabe 17:

Berechnen Sie den Flächeninhalt eines regulären 9-Ecks mit Seitenlänge s = 25 cm.

Aus nebenstehender Skizze entnehmen wir:

9

0

9

s2 tan20r= und damit ergibt sich:

(die Umformungen sind Ihnen nun geläufig)

99 0

sr

2 tan20=

Damit ist die Dreiecksfläche:

229

9

9929 0

0

99 9

sssr s r 252tan202

2 4 4s

214,6 cm8 0,38 t n20 640a

= ==⋅

∆ == =

Und damit ist die Neunecksfläche (18 mal die Dreiecksfläche): 2 2

9A 18 214.6 cm 3862,8 cm= ⋅ =

Abschätzung:

Man nehme die Kreisfläche mit 9r r= :

2 2

2 29Inkreis 9 0 0

s 25A r 3705,4 cm

2tan20 2tan20

= π = π = π =

Diese ist etwas kleiner als die 9-Eck-Fläche

Damit hätten wir den Maturastoff Trigonometrie im Kasten!

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