Mathematik macht Freu(n)de AB – Differentialquotient

Der dargestellte Funktionsgraph modelliert das Profil eines Hügels:

• Wo ist der tiefste Punkt?

• Wo ist der höchste Punkt?

• Wo geht es am steilsten bergauf?

Mithilfe der Differentialrechnung finden wir exakte Antwortenauf solche Fragestellungen. f(x) = − 3

16 · x3 + 63

32 · x2 − 297

64 · x + 2217640

Wie können wir die Steigung des Funktionsgraphen in einem Punkt messen bzw. berechnen?

Steigungen berechnen

Wir stellen uns zwei Personen auf einem Kreis vor.Anton steht fest. Barbara bewegt sich auf dem Kreis auf Anton zu.Anton behält Barbara dabei fest im Blick.In welche Richtung blickt Anton in dem Moment, wo Barbara ihn trifft?

Von den Sekanten zur Tangente am Kreis

Rechts ist der Graph der kubischen Funktion f(x) = 1,5 · x3 dargestellt.Der Funktionsgraph verläuft durch die Punkte

A = (0,5 | ) und B = (0,8 | ).

Berechne die Steigung der Gerade durch A und B:

k = ∆y

∆x=

Eine solche Gerade nennen wir auch Sekante durch A und B.

Sekante durch 2 Punkte eines Funktionsgraphen

Wir wollen die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt A = (x0 | f(x0)) berechnen.Dazu zeichnen wir die Sekante durch A und einen zweiten Punkt B = (x1 | f(x1)) auf dem Graphen.Der Punkt A ist fest, der Punkt B ist auf dem Graphen beweglich. A ist wie ein Gelenk für die Sekanten.

Es ist also x1 = x0 + h mit einer Zahl h 6= 0.Zur besseren Lesbarkeit kürzen wir ∆x mit h ab.

Die Steigung der Sekante durch die Punkte

A = (x0 | f(x0)) und B = (x0 + h | f(x0 + h))

können wir dann folgendermaßen berechnen:

k = ∆y

∆x= f(x0 + h)− f(x0)

(x0 + h)− x0=

f(x0 + h)− f(x0)h

Dieser Differenzenquotient misst die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [x0; x0 + h].Im Punkt A ist die Gerade mit der gesuchten Steigung eingezeichnet. Wie würdest du sie ungefähr ermitteln?

Von den Sekanten zur Tangente am Funktionsgraphen

Datum: 30. September 2019

Mathematik macht Freu(n)de AB – Differentialquotient

Welche Steigung hat der Graph von f(x) = x2 an der Stelle x0 = 1?1) Ermittle die Steigung der Sekante durch die Punkte

A = (1 | f(1)) und B = (1 + h | f(1 + h)) für h 6= 0:

f(1 + h)− f(1)h

=

2) Die Sekantensteigung geht mit h gegen 0 auf den Wert zu.„Ganz egal, wie sich der Punkt B entlang des Graphen auf den Punkt A hinbewegt,die Steigung der Sekanten strebt immer gegen dieselbe Zahl k.“

Wir schreiben dafür auch: k = limh→0

f(1 + h)− f(1)h

= .

Diese Zahl k ist die gesuchte Steigung von f an der Stelle x0.Mehr zu Grenzwerten findest du am Arbeitsblatt – Grenzwerte und am Arbeitsblatt – Stetigkeit.

3) Die Gerade durch den Punkt A mit dieser Steigung k heißt Tangente.Stelle eine Gleichung der Tangente im Punkt A auf:

Tangente an eine Parabel

f heißt differenzierbar an der Stelle x0, wenn es eine solche Zahl k gibt.Statt k schreiben wir f ′(x0) und sprechen von der Ableitung von f an der Stelle x0.

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

Sprechweise: „f strich von x0“

Dieser sogenannte Differentialquotient misst die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x0.f ′(x0) ist die Steigung der Tangente im Punkt A = (x0 | f(x0)).

Differenzierbarkeit und Ableitung

Rechts sind ein Funktionsgraph und 3 Tangenten dargestellt.Lies die folgenden Funktionswerte und Steigungen aus der Grafik ab.

f(−4) =

f ′(−4) =

f(1) =

f ′(1) =

f(2) =

f ′(2) =

Steigung ablesen

2

Mathematik macht Freu(n)de AB – Differentialquotient

Ist eine Funktion f an jeder Stelle differenzierbar, können wir die Ableitungsfunktion f ′ berechnen.

Ihr Funktionswert an der Stelle x, also f ′(x), ist die Steigung der Tangente von f an der Stelle x.

Wir sagen auch kurz: „f ′ ist die Ableitung von f . Die Steigung von f an der Stelle x ist f ′(x).“

Ableitungsfunktion

Welche Steigung hat f(x) = x2 an der Stelle x0?1) Ermittle die Steigung der Sekante durch die Punkte

A = (x0 | f(x0)) und B = (x0 + h | f(x0 + h)) für h 6= 0:

f(x0 + h)− f(x0)h

=

2) Ermittle die Steigung der Tangente an der Stelle x0:

f ′(x0) =

3) Die Ableitung der quadratischen Funktion f(x) = x2 ist also f ′(x) = .

4) An welchen Stellen x ist die Steigung von f positiv? An welchen ist sie negativ? Wo ist sie 0?

Ableitung von f(x) = x2

Welche Steigung hat f(x) = x3 an der Stelle x0?

1) Ermittle die Steigung der Sekante durch A = (x0 | f(x0)) und B = (x0 + h | f(x0 + h)) für h 6= 0:

1

1 1

1 1

1 3 1

1 6 4 1

2

3

4

2) Ermittle die Steigung der Tangente an der Stelle x0:

f ′(x0) =

3) Die Ableitung der kubischen Funktion f(x) = x3 ist also f ′(x) = .

Was könnte die Ableitung von f(x) = x4 sein?

Ableitung von f(x) = x3

3

Mathematik macht Freu(n)de AB – Differentialquotient

Beim Differenzieren von Potenzfunktionen f(x) = xn mit n ∈ N gibt es ein Muster.

Dabei sind die rechts markierten Zahlen im Pascalschen Dreieck wesentlich.

Schaue dir die Berechnungen für x 7→ x2 und x 7→ x3 nochmal genau an.

Die Ableitung von g(x) = x42 ist also g′(x) = .

1

1 1

1 1

1 3 1

1 6 4 1

2

3

4

Ableitung von f(x) = xn

Welche Steigung hat f(x) = 3 · x2 + 6 · x + 4 an der Stelle x0?

1) Ermittle die Steigung der Sekante durch A = (x0 | f(x0)) und B = (x0 + h | f(x0 + h)) für h 6= 0:

2) Ermittle die Steigung der Tangente an der Stelle x0:

f ′(x0) =

3) Die Ableitung der Funktion f(x) = 3 · x2 + 6 · x + 4 ist also f ′(x) = .

Ableitung einer Polynomfunktion

Die lineare Funktion f(x) = 0,7 · x + 1 hatan jeder Stelle die Steigung .

Die Ableitung von f(x) = 0,7 · x + 1 ist also f ′(x) = .

Die konstante Funktion g(x) = 42 hatan jeder Stelle die Steigung .

Die Ableitung von g(x) = 42 ist also g′(x) = .

Allgemein hat die lineare Funktion h(x) = k · x + d die Ableitung h′(x) = .

Ableitung von linearen Funktionen

Für differenzierbare Funktionen f und g gelten die folgenden Ableitungsregeln:

Summenregel: s(x) = f(x) + g(x) =⇒ s′(x) = f ′(x) + g′(x)

Differenzregel: d(x) = f(x)− g(x) =⇒ d′(x) = f ′(x)− g′(x)

Faktorregel: m(x) = c · f(x) =⇒ m′(x) = c · f ′(x) mit c ∈ R

Ableitungsregeln

4

Mathematik macht Freu(n)de AB – Differentialquotient

Mit Sekanten haben wir vorher die folgende Ableitung berechnet:

f(x) = 3 · x2 + 6 · x + 4 =⇒ f ′(x) = 6 · x + 6

Mit den Ableitungsregeln und (xn)′ = n · xn−1 können wir diese Ableitung schneller berechnen:

f(x) = 3 · x2 + 6 · x + 4 =⇒ f ′(x) = (3 · x2)′ + (6 · x + 4)′ = 3 · (x2)′ + 6 = 6 · x + 6

Abkürzung

Berechne die Ableitung der Polynomfunktion mit den Ableitungsregeln.

a) a(x) = 6 · x7 + 5 · x3

b) b(x) = 3 · x4 − 2 · x3 + x2 − 3 · x + 5

c) c(x) = 53 · x

7 − 38 · x

4 + 14 · x

2 − 3

d) d(x) = −32 · x

6 + x3 − x

=⇒ a′(x) =

=⇒ b′(x) =

=⇒ c′(x) =

=⇒ d′(x) =

Ableitungen von Polynomfunktionen

Wir nehmen die Tangente in einem Punktgenauer unter die Lupe.

In der Bildreihe unten zoomen wir immernäher an diesen Punkt heran.

Dabei schmiegt sich der Funktionsgraphan die Tangente an.

Jene lineare Funktion, deren Graph dieTangente ist, nennen wir dann auchLinearisierung von f in dem Punkt.

Linearisierung

Linearisiere die Funktion f(x) = x3 an der Stelle x = 1.Vergleiche f(1,01) mit dem Näherungswert durch die Linearisierung.

Linearisierung

5

Mathematik macht Freu(n)de AB – Differentialquotient

Rechts siehst du den Graphen der Funktion f(x) = 3 · x2 − 6 · x + 4.

Ihre Ableitung ist f ′(x) = .

Der Punkt A = (2 | ) liegt auf dem Graphen von f .

Die Steigung der Tangente im Punkt A ist .Beschrifte rechts das Steigungsdreieck.

Der Punkt L = (3 | ) liegt auf der Tangente.

Allerdings liegt der Punkt L nicht auf dem Graphen von f .

Der absolute Fehler ist a = .

Um wie viel Prozent ist die y-Koordinate von L kleiner als f(3)?Das ist der relative Fehler bei Verwendung der Linearisierung.

Absoluter Fehler & Relativer Fehler

Für die Funktionen f und g gilt an jeder Stelle:

g(x) = f(x) + c

Der Graph von g entsteht also durch Verschiebungdes Graphen von f um Einheiten nach .

Die Steigung des Graphen bleibt dabei an jeder Stelle gleich.Es gilt also: g′(x) =

Verschiebung in vertikaler Richtung

Es ist m(x) = c · f(x). Warum gilt die Faktorregel m′(x) = c · f ′(x)?Dazu berechnen wir die Steigung der Sekante durch A = (x0 | m(x0)) und B = (x0 + h | m(x0 + h)):

m(x0 + h)−m(x0)h︸ ︷︷ ︸

h→0−→m′(x0)

= c · f(x0 + h)− c · f(x0)h

= c · f(x0 + h)− f(x0)h︸ ︷︷ ︸

h→0−→f ′(x0)

Daraus folgt m′(x0) = c · f ′(x0) an jeder Stelle x0.

Warum gilt die Faktorregel?

Es ist s(x) = f(x) + g(x). Warum gilt die Summenregel s′(x) = f ′(x) + g′(x)?Dazu berechnen wir die Steigung der Sekante durch A = (x0 | s(x0)) und B = (x0 + h | s(x0 + h)):

s(x0 + h)− s(x0)h︸ ︷︷ ︸

h→0−→s′(x0)

= f(x0 + h) + g(x0 + h)− (f(x0) + g(x0))h

= f(x0 + h)− f(x0)h︸ ︷︷ ︸

h→0−→f ′(x0)

+ g(x0 + h)− g(x0)h︸ ︷︷ ︸

h→0−→g′(x0)

Daraus folgt s′(x0) = f ′(x0) + g′(x0) an jeder Stelle x0.

Warum gilt die Summenregel?

Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.http://mmf.univie.ac.at