Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 1 2.1 Grundlegende Prämissen der VaR-Berechnung Portfolio Marktparameter Beoboachtungszeitraum

Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 1

2.1 Grundlegende Prämissen der VaR-Berechnung

Portfolio

Marktparameter

Beoboachtungszeitraum

Liquidationszeitraums

Wahrscheinlichkeitsniveau

2. Marktpreisrisiko

Festlegung der Prämissen

Varianz- Kovarianz- Ansatz

Value at Risk Histor. Simulation

Monte-Carlo-Sim.


Festlegung des Portfolios

Portfolio = Zusammenfassung von Finanzinstrumenten (z.B. Kauf oder Verkauf von Aktien, Anleihen, OTC-Optionen,

Gewährung von Krediten)

Gesamtportfolio Teilportfolio

Frage der Aggregation

Bildung der Teilportfolios in Abhängigkeit der Organisationsstruktur (z.B. nach Regionen und Produkten)

Zerlegung von komplexen Finanzinstrumente in ihre Bestandteile


Identifikation der Marktparameter

Marktparameter () (z.B. Währungskurse, Zinssätze, Aktienkurse, Aktienindizes, implizite

Volatilitäten)

Funktion zur Bestimmung des Portfoliowertes in Abhängigkeit der Parameter (z.B. Optionspreisformel von Black-Scholes)

Festlegung des Beobachtungszeitraums

Beobachtungen der Vergangenheit = Zeitreihe

Frage, wie viele und welche Werte aussagekräftig für Zukunft ?

Anzahl der einbezogenen Werte meist 90 - 250

Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Beobachtungszeitraum von mind. 1 Jahr ! (250 Tage/52 Wochen)


Festlegung des Liquidationszeitraums/Haltedauer

Betrachtungszeitraum, für den Wertveränderungen aufgrund von Markteinflüssen beobachtet werden

Annahme: Positionen werden während Haltedauer nicht verändert (stattfindende Handelsaktivitäten werden vernachlässigt)

Haltedauer abhängig von Möglichkeit der Glattstellung

Glattstellung durch Verkauf der Position oder Hedging

Glattstellung abhängig von Liquidität der einzelnen Märkte

Handelsaktivitäten - häufig Haltedauer von 1 Tag („overnight“)

Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Haltedauer von mind. 10 Tagen! (bei Optionen auch kürzer)


Festlegung des Wahrscheinlichkeitsniveaus

VaR = Verlustpotential, das mit einer bestimmten Wahrschein-lichkeit P während der Haltedauer nicht überschritten wird

VaR = Verlustpotential, das mit einer bestimmten Wahrschein-lichkeit p (p = 1 - P) während der Haltedauer überschritten wird

P = Konfidenzniveau p = Quantil

Berechnung des Verlustes aus Normalverteilung in Abhängigkeit von und

Konfidenzniveau P meist zwischen 95% - 99%

Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Konfidenzniveau von 99% !


2.2 Varianz- Kovarianz-Ansatz

verschiedene Verfahren, die sich hinsichtlich der Modellvariablen unterscheiden (Wertänderungen, Rendite, Marktparameter)

jede der Modellvariablen = Zufallsgröße mit bekannter Verteilung

Darstellung der Berechnungsverfahren

in Realität Verteilung der Zufallsgröße unbekannt statistische Verfahren zur Ermittlung der Verteilung


2.2.1 Varianz-Kovarianz- Ansatz mit Wertänderungen

Annahme: Wertänderung (V = Vt - Vt-1) während Haltedauer einer Position ist normalverteilt!

Normalverteilung: V Mittelwert der WertänderungV Standardabweichung, Preisvolatilität

bei vorgegebenem Konfidenzniveau Bestimmung des VaR durch Quantil

< 2.1 > Ein Investor hält am 31.3.95 eine Position von 100 Millionen CHF (Gegenwert 121,33 Mio DM). In den letzten drei Monaten hatten die täglichen Erträge aus dieser Position einen Mittelwert von 46.093,75 DM und eine Standardabweichung von 268.697,96 DM.

Das VaR zu einer Wahrscheinlichkeit von 97,5% kann nun über das 2,5%-Quantil bestimmt werden.

DM17,302.491)96,697.268275,093.46(

VVVV )(VaR


Annahme: Wertänderungen eines Portfolios normalverteilt ??

Annahme: Wertänderungen der Assets in Portfolio gemeinsam sind normalverteilt !!

< 2.2 > Ein Investor hält am 31.3.95 zwei Positionen: 1. Position: vgl. vorne2. Position: Shortposition in Höhe von 50 Mio USD (Gegenwert 69,19 Mio DM);Tägliche Erträge der letzten 3 Monate : Mittelwert von 2.679,69 DM (je 1 Mio USD);Standardabweichung von 11.315,68 DM (je 1 Mio USD)

U1 = 100, V1 = 121,33 Mio DM, V1 = 460,94 DM, V1 = 2.686,98 DM

U2 = -50, V2 = -69,19 Mio DM, V1 = -2.679,69 DM, V2 = 11.315,68 DM


U1 = 100, V1 = 121,33 Mio DM, V1 = 460,94 DM, V1 = 2.686,98 DM

U2 = -50, V2 = -69,19 Mio DM, V1 = -2.679,69 DM, V2 = 11.315,68 DM

Mittelwert der Wertänderungen des Portfolios

PF = U1 · V1 + U2 · V2

PF = 100 · 460,94 + (-50) · (-2.679,69) = 0,1801 Mio DM

Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios

Intuition!!???? PF = U1 · V1 + U2 · V2

PF = 100 · 2.686,98 + (-50) · 11.315,68 = -297.086

i.d.R. falsch!!!


Kovarianz Korrelationskoeffizient (-1 1)

yx

)Y,X(Cov)Y,X(

yxxyxy)Y,X(Cov

Varianz des Portfolios

21

21U Position 1: und 2112211221 UUUU

Position 2: und22

22U 2121212121 UUUU


2112212

22

22

12

1PF UU2UU

Analyse der Varianz eines Portfolios muß die Kovarianz bzw. den Korrelationskoeffizienten der Assets berücksichtigen !


Möglichkeitenkurve in Abhängigkeit von

keinerlei Diversifikationseffekt bei = +1, bei perfekter positiver Korrelation

maximaler Diversifikationseffekt bei = -1 Portfolio-Volatilität von 0 und sichere Rendite

i.d.R. hyperbelförmiger Verlauf der Möglichkeitenkurve (-1 < < +1)


DM .Mio 3309,11801,07555,02VaR PFPF

VaR des Portfolios zu einer Wahrscheinlichkeit von 97,5%

316.11687.2)50(1002316.11)50(687.2100 122222

PF

bei gegebener Korrelation: 12 = -0,5870

PF = 0,7555 Mio DM

2112212

22

22

12

1PF UU2UU


VN,VN1V,VN

VN,1V1V,1V

PF

Σ

VN

1V

PF M

PFTPFPF MU

PFPFTPFPF UΣU

n

VnnPF U

i

Vj,Vijj

iPF UU

i

Vj,ViVjVijj

iPF UU

Übertragung auf beliebig große Portfolios

Mittelwert der Wertänderungen des Portfolios


VaR des Portfolios


Nachteil: Theoretische Fundierung der Normalverteilung der Wertänderungen kaum möglich

2.2.2 Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Renditen

Renditen der Assets in Portfolio gemeinsam sind normalverteilt !!

Rendite während der Haltedauer

Lt

Lttlin V

VVr

Lt

tlog V

Vlnr

gemeinsame Normalverteilung der Renditen bestimmt durch

rN

1r

rPF M

rN,rN1r,rN

rN,1r1r,1r

rPF

Σ


Wert der N Assets des Portfolios VT = (V1, V2, ..., VN)

alternativer Anteilsvektor nach Lintner

Anteilsvektor vT = (v1, v2, ..., vN) mit

n

n

nn

nn 1VmitN,...,2,1n,

VV

v

n

n

nn

nn 1||mitN,...,2,1n,

|V|V

),...,( N1T

Mittelwert der Renditen des Portfolios


rPFT

rPF v M

vv rPFT

rPF Σ

|PF|rT

|PF|r M

|PF|rT

|PF|r Σ


negative Rendite, deren Betrag mit der vorgegebenen Wahr-scheinlichkeit während der Haltedauer nicht überschritten wird

Rendite-Quantil zu einer Wahrscheinlichkeit

rPFrPFVaRr

Aus folgt V = Vt-L · rlinLt

Lttlin V

VVr

Berechnung der negativen Wertänderung bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit während der Haltedauer :

VaR = VPF · rVaR,lin

)(VVaR lin,rPFlin,rPFPF


< 2.3 > Ein Investor hält am 31.3.95 zwei Positionen: 1. Position: Long-Position über 100 Mio CHF (= 121.33 Mio DM)2. Position: Shortposition über 50 Mio USD (= 69,19 Mio DM)

Tägliche Rendite der letzten 3 Monate - CHF:Mittelwert von 0,0387% ; Standardabweichung von 0,2260%

Tägliche Rendite der letzten 3 Monate - USD:Mittelwert von -0,1794% ; Standardabweichung von 0,7807%

Korrelation der Renditen r1,r2 = -0,5845

%3281,0%)1794,0()33,1(%0387,033,2vv 2r21r1PF

DMMio14,52)19,69(33.121VPF

33,214,5233.121

v1 33,114,5219,69

v2


2r1r2r,1r2122r

22

21r

21rPF vv2vv

1,4093%

%7807,0%226,0)5845,0()33,1(33,22

%7807,0)33,1(%226,033,2

2222

rPF

Rendite-Quantil bei Wahrscheinlichkeitsniveau von 97,5%

VaR

%4906,2%3281,0%4093,12rPFr rPFVaR

DMMio30,1%4906,2DMMio15,52rV VaRPF


Normalverteilungsannahme der Renditen nicht unproblematisch!

Ränder der tatsächlichen Häufigkeitsverteilung werden durch Normalverteilung unterschätzt

Häufigkeitsverteilung hat um den Mittelwert höhere Werte als die Normalverteilung

Verteilung oft linksschief (mehr Beobachtungen in der linken als in der rechten Seite)

Renditen sind zeitlich korreliert

Aufgabe der Normalverteilungsannahme vernichtet Vorteil, daß Risiko relativ einfach durch Mittelwert und Standardab-weichung Zeitreihenanalyse um Volatilität der Verteilung der Zufalls-variablen zu prognostizieren beschreibbar!


2.3 Darstellung der Schätzverfahren

Varianz-Kovarianz-Ansatz: Zufallsvariable = normalverteilt

Spezifizierung der unbekannten Verteilung durch Schätzung von , , (Kovarianzmatrix)

Zeitreihenanalyse, um Volatilität der Verteilung der Zufalls-variablen zu prognostizieren (für Haltedauer = 1 Tag)

Verfahren:

- Empirische Schätzungen

- Exponentielles Glätten

- ARCH und GARCH Modelle

- Implizite Volatilitäten


2.3.1 Empirische Schätzungen

Annahme: Entwicklung der Parameter gemeinsam folgt einem stationären stochastischen Prozeß ohne zeitliche Korrelation

Beobachtungswerte eines Parameters = Realisation der Zufallsvariable

Schätzung des Mittelwertes durch empirischen Mittelwert,

00 t)1B(t ,...,

Schätzung der Volatilität durch empirische Standardabweichung

der Zeitreihe

1B

0iitt, 00 B

1ˆ

1B

0i

2t,it )ˆ(

1B1

ˆ00


Betrachtung mehrerer Parameter

z.B. Zeitreihen zweier Parameter 1 und 2

Bestimmung des empirischen Korrelationskoeffizienten

mit

},...,{00 t,1)1B(t,1 },...,{

00 t,2)1B(t,2

0201

00

t,t,

21t21t ˆˆ

),(voC),(ˆ

)]ˆ()ˆ[(1B

1),(voC

0t,200t,100 it,21B

0iit,121t


Wahl des Beobachtungszeitraums!! Fiktiver Kursverlauf mit steigender Volatilität

Grundannahmen?!

- konstante Mittelwerte und Volatilitäten der einzelnen Parameter

- Werte einzelner Parameter unkorreliert im Zeitablauf

- verschiedene Parameter unkorreliert im Zeitablauf


Korrelationsschätzungen (B = 90 Tage) am Beispiel USD/DEM mit JPY/DEM in der Zeit vom 12.5.1993 bis zum 31.07.95

zwischen 0,07 und 0,72

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