Mathematische Abstraktion Daniel Wickert Proseminar Logik / WS 2003

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    05-Apr-2015

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<ul><li> Folie 1 </li> <li> Mathematische Abstraktion Daniel Wickert Proseminar Logik / WS 2003 </li> <li> Folie 2 </li> <li> Gliederung I.Geometrie und Axiome II.Der Zahlenbegriff III.Boole und die Algebra der Logik IV.Sptere Entwicklungen Mathematische AbstraktionDaniel Wickert </li> <li> Folie 3 </li> <li> Geometrie - ElementeI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Euklids Elemente Zusammenfassung geometrischer Erkenntnisse seiner Zeit. Erkenntnisse abgeleitet von wenigen Grundstzen und Postulaten (Axiome). </li> <li> Folie 4 </li> <li> Geometrie - AxiomeI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Axiome der Euklidischen Geometrie 1.Man kann eine gerade Strecke von einem Punkt zu einem anderen Punkt ziehen. 2.Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlngern. 3.Um jeden Punkt kann man einen Kreis mit beliebigem Radius schlagen. 4.Alle rechten Winkel sind einander gleich. </li> <li> Folie 5 </li> <li> Geometrie - AxiomeI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Parallelenaxiom 5. Wenn eine Strecke zwei andere Strecken derart schneidet, so dass die beiden inneren Schnittwinkel auf der einen Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich die beiden Strecken, wenn sie weit genug verlngert werden, auf der Seite, auf der die Schnittwinkel zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind. </li> <li> Folie 6 </li> <li> Geometrie - AxiomeI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Parallelenaxiom II Weitgehend abgelehnt Versuche der Herleitung aus anderen Axiomen Versuche des indirekten Beweises Saccheri(1733): Vorform der nicht- euklidischen Geometrie </li> <li> Folie 7 </li> <li> Geometrie nicht-euklidischeI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Nicht-euklidische Geometrie Gau, Riemann: Geometrie ohne Parallelenaxiom mglich Hilbert: nicht-euklidische Geometrie widerspruchsfrei, falls euklidische Geometrie widerspruchsfrei Abbildung der geometrischen Elemente aufeinander </li> <li> Folie 8 </li> <li> Geometrie FazitI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Fazit Abkopplung von rumlicher Vorstellung Axiome funktionieren auch ohne Punkt, Linien und Ebenen. Weitere Entwicklungen: Analytische Geometrie Topologie Gruppentheorie </li> <li> Folie 9 </li> <li> Zahlen GriechenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Der Zahlenbegriff Griechen: Viel Geometrie, wenig Algebra und Analysis Geometrie weniger Abstrakt Unscharfer Zahlenbegriff Pythagorer hatten Probleme mit Inkommensurabilitt </li> <li> Folie 10 </li> <li> Zahlen EntwicklungI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Entwicklung des Zahlenbegriffs Zweck: Konkrete Objekte quantifizieren Zuerst Adjektive: eins, zwei, drei ohne echte Adjektive zu sein. Spter auch Namen, also Substantive </li> <li> Folie 11 </li> <li> Zahlen EntwicklungI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Entwicklung des Zahlenbegriffs II Erweiterung durch Probleme der Arithmetik x + 3 = 2 Negative Zahlen 2x - 3 = 0 Brche x - 2 = 0 Irrationale Zahlen x + 1 = 0 Imaginre Zahlen </li> <li> Folie 12 </li> <li> Zahlen EntwicklungI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Entwicklung des Zahlenbegriffs III Loslsung des Zahlenbegriffs vom ursprnglichen Zweck Zahlen sind Entitten in einem Kalkl mit Addition und Multiplikation Kommutativitt Assoziativitt Distributivitt </li> <li> Folie 13 </li> <li> Boole KurzbiographieI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert George Boole (1815-1864) Sohn eines wissenschaftsbegeisterten Schusters Erste Interessen: Optik und Latein spter Mathematik Erste Verffentlichung mit 12 Jahren: bersetzung einer Ode von Horace Mit 16 Aushilfslehrer, mit 20 eigene Schule 1849 Lehrstuhl am Queens College in Cork (Irland) ohne Akademischen Grad Wichtigste Arbeiten: Mathematical Analysis of Logic Investigation of the Laws of Thought </li> <li> Folie 14 </li> <li> Boole GrundberlegungenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Grundberlegungen Gltigkeit der Symbolischen Algebra unabhngig von Interpretation der Symbole Gesetze zur Kombination von Symbolen eines wahren Kalkls sind bekannt und allgemeingltig. Sein Kalkl der Logik erfllt diese Bedingungen </li> <li> Folie 15 </li> <li> Boole Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen x, y sind Klassen, x = y Klassen haben gleiche Mitglieder xy neue Klasse deren Mitglieder sowohl in x als auch in y sind. Universalklasse 1 hat alle betrachteten Elemente als Mitglieder Nullklasse 0 hat kein Element als Mitglied </li> <li> Folie 16 </li> <li> Boole Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen II 1x = x und 0x = 0 aber xx = x Kein Division-quivalent, denn es gilt nicht xz = yz x = y Vorschlag: Abstraktion als Division x/y = z Klasse der Menschen Klasse der Vernunftbegabten = Klasse der Tiere </li> <li> Folie 17 </li> <li> Boole Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen III x + y : entweder x oder y Sehr ungnstig da viele praktische Regeln so nicht verwendbar (1 - x) : Komplement x(1 - x) = 0 </li> <li> Folie 18 </li> <li> Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen - Syllogismen A, E, I und O beschreibbar Jedes X ist Yx(1 y) = 0 Kein X ist Yxy = 0 Einige X sind Y xy 0, bzw. xy = v Einige X sind nicht Y x(1 y) 0, bzw. x(1- y) = v Boole Logik der KlassenI II III IV </li> <li> Folie 19 </li> <li> Boole Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen - Gesetze (1) xy = yx(5) x = y xz = yz (2) x + y = y + x(6) x = y x + z = y + z (3) x(y + z) = xy + xz(7) x = y x - z = y z (4) x(y - z) = xy xz(8) x(1 - x) = 0 </li> <li> Folie 20 </li> <li> Boole Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen Gesetze II Regeln (1) (7) entsprechen Algebra mit Zahlen Regel (8): x(1 - x) = 0 nicht. Hinzunahmen von (9) Entweder x = 1 oder x = 0 Booles Konvention x = 1 Prmisse X ist wahr x = 0 Prmisse X ist falsch </li> <li> Folie 21 </li> <li> Boole Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen - Entwicklung f(x) Abkrzung fr Booleschen Ausdruck abhngig von x f(x) = ax + b(1 - x) f(1) = a, f(0) = b f(x) = f(1)x + f(0)(1 - x) Entwicklung von f(x) bezglich x Ergibt Disjunktive Normalform </li> <li> Folie 22 </li> <li> Boole Logik der KlassenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen - Techniken Reduktion mehrerer Gleichungen zu einer Lsung einer Gleichung (Umstellung nach einer Variablen) Eliminierung einer Variablen Werkzeuge fr algebraische Reprsentation syllogistischer Schlsse. h(1-a) = 0, a(1-m) = 0 h(1-m) = 0 </li> <li> Folie 23 </li> <li> Boole FazitI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Logik der Klassen - Fazit Wichtigste Neuerungen: Kalkl fr Wahrheitsfunktionen Disjunktive Normalformen Grundlagen spterer Entwicklungen Durch einige Annahmen sich selbst Steine in den Weg gelegt </li> <li> Folie 24 </li> <li> Sptere EntwicklungenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Sptere Entwicklungen Venn-Diagramme J.Venn Bewunderer Booles </li> <li> Folie 25 </li> <li> Sptere EntwicklungenI II III IV Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Sptere Entwicklungen II Inklusivitt von + fr DeMorgan-Regel DeMorgan, Pierce, Schrder: Theorie der Relationen Einfhrung von (einige) und (alle) Vorstufe zur Prdikatenlogik </li> <li> Folie 26 </li> <li> Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Fazit Axiomatisierung fhrte zu Abstraktion Algebra der Logik Ergebnis der Abstraktion des Zahlenbegriff Logikbegriff von Philosophie getrennt, neue Erkenntnisse kamen von Mathematikern </li> <li> Folie 27 </li> <li> Mathematische AbstraktionDaniel Wickert Quellen Kneele http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie The Calculus of Logic Cambridge and Dublin Mathematical Journal Vol. III (1848), pp. 183-98 http://homepages.enterprise.net/rogerp/george/boole.html </li> </ul>

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