Mathematische AnstzeDynamisches VerhaltenMathematische AnstzeRechenverfahren

Mathematische Anstze

Stoffunabhngige GleichungenMaterialgesetzeKompatibilittMathematische Anstze15 Unbekannte:x y z xy xz yzx y z xy xz yzu v w

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Mathematische Anstzestoffunabhngige Gleichgewichtsgleichungen

6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen

6 Materialgleichungen

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GleichgewichtsgleichungenStoffunabhngige GleichungenVirtueller Schnitt

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Spannungsvektor der resultierenden Schnittgren Sv=dF/dANormalspannungen=dFn/dATangentialspannungen =dFt/dA

dAGleichgewichtsgleichungenStoffunabhngige Gleichungen

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Stoffunabhngige GleichungenGleichgewichts-gleichungen

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Stoffunabhngige GleichungenGleichgewichtsgleichungen:

x/x + yx/y + zx/z + X = 0y/y + xy/x + zy/z + Y = 0z/z + yz/y + xz/x + Z = 0

Mathematische Anstze

G [u + (1-2) 1 (/x)] +X = 0

G [v + (1-2) 1 (/y)] +Y = 0

G [w + (1-2) 1 (/z)] +Z = 0

Mathematische AnstzeEliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen fr die unbekannten Verschiebungen:(Navier)

Mathematische Anstze

u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2

Mathematische AnstzeIn den Navier Gleichungen sind:(Laplace)

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x+(1+)1(2/x2)+2X/x+(1-)1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

y+(1+)1(2/y2)+2Y/y+(1-)1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

z+(1+)1(2/z2)+2Z/z+(1-)1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

(Beltrami)Mathematische AnstzeEliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen fr die unbekannten Spannungen:

Mathematische Anstze

xy+(1+)1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0

xz+(1+)1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0 yz+(1+)1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0

Mathematische Anstze(Beltrami)

Mathematische Anstze

x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2

y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2

z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2

Mathematische AnstzeIn den Beltrami-Gleichungen sind:Die Lsung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fllen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung

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Stoffunabhngige GleichungenS - = 0

SpannungstensorBechleunigungsvektor

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Stoffunabhngige GleichungenGleichgewichtsgleichungen:

Sx= xex + yxey+ xzezSy= yxex + yey + yzezSz= zxex + zyez + zez

Tensordarstellung:

x xyxzS =yx yyzzx zyz

S Spannungstensor

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3 Stoffunabhngige Gleichungen6 Materialgleichungen6 KompatibilittsgleichungenMathematische Anstze15 Unbekannte:x y z xy xz yzx y z xy xz yzu v w

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Mathematische AnstzeKompatibilitts-bedingung:Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen

Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen

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Mathematische AnstzeKompatibilitts-bedingung:Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen

u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez

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Mathematische AnstzeBCux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx

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Kinematisches Gleichgewichtx = u/x u v wy = v/y z = w/z xy = v/x + u/y xz = w/x + u/z yz = w/x + v/z

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Mathematische AnstzeKompatibilitts-bedingung:iklm= 0RiemannTensor 4. Stufe

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Mathematische AnstzeStoffgesetze:1-starres Material2-linear-elastisch3-nichtlinear-elast.4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch6-viskoses Material: Kriechen7-viskoses Material: Relaxieren1234567

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Mathematische AnstzeStoffgesetze:SpannungstensorSpannungsgeschwindigkeitVerzerrungstensorVerzerrungsgeschwindigkeit

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Mathematische AnstzeElastischesMaterialverhalten

Stoffe ohne GedchtnisSpannungstensor

Verzerrungstensor

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Mathematische AnstzeplastischesMaterialverhalten

Stoffe mit permanentemGedchtnisSpannungsgeschwindigkeit

Verzerrungsgeschwindigkeit

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Mathematische AnstzeviskosesMaterialverhalten

Stoffe mit schwindendemGedchtnisSpannungstensor

Verzerrungsgeschwindigkeit

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3. Schwingkopf1. Kopf fr Zellsuspension2. Hlse4. Sockel M6 5. Zylinderschraube 6. Beschleunigungssensor

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3. Schwingkopf Gesamtansicht

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3. Schwingkopf FEM - Simulation

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3. Schwingkopf FEM - Analyse

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Mathematische AnstzeNherungsverfahren:Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionender Zeit, direkte Zeitintegration

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