Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

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  • Folie 1
  • Mathematische Anstze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Anstze Rechenverfahren
  • Folie 2
  • Mathematische Anstze2 Stoffunabhngige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilitt Mathematische Anstze 15 Unbekannte: x y z xy xz yz u v w
  • Folie 3
  • Mathematische Anstze3 3stoffunabhngige Gleichgewichtsgleichungen 6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen 6 Materialgleichungen
  • Folie 4
  • Mathematische Anstze4 Gleichgewichtsgleichungen F F a b Stoffunabhngige Gleichungen Virtueller Schnitt
  • Folie 5
  • Mathematische Anstze5 F Spannungsvektor der resultierenden Schnittgren Sv=dF/dA Normalspannungen =dFn/dA Tangentialspannungen =dFt/dA dFn dF dFt dA Gleichgewichtsgleichungen Stoffunabhngige Gleichungen
  • Folie 6
  • Mathematische Anstze6 x y z yx yz zy zx xy xz Stoffunabhngige Gleichungen Gleichgewichts- gleichungen
  • Folie 7
  • Mathematische Anstze7 Stoffunabhngige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: x / x + yx / y + zx / z + X = 0 y / y + xy / x + zy / z + Y = 0 z / z + yz / y + xz / x + Z = 0
  • Folie 8
  • Mathematische Anstze8 G [ u + (1-2 ) 1 ( / x)] +X = 0 G [ v + (1-2 ) 1 ( / y)] +Y = 0 G [ w + (1-2 ) 1 ( / z)] +Z = 0 Mathematische Anstze Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen fr die unbekannten Verschiebungen: (Navier)
  • Folie 9
  • Mathematische Anstze9 u = 2 u/ x 2 + 2 u/ y 2 + 2 u/ z 2 v = 2 v/ x 2 + 2 v/ y 2 + 2 v/ z 2 w = 2 w/ x 2 + 2 w/ y 2 + 2 w/ z 2 Mathematische Anstze In den Navier Gleichungen sind: (Laplace)
  • Folie 10
  • Mathematische Anstze10 x +(1+ ) 1 ( 2 / x 2 )+2 X/ x+ (1- ) 1 ( X/ x + Y/ y + Z/ z) = 0 y +(1+ ) 1 ( 2 / y 2 )+2 Y/ y+ (1- ) 1 ( X/ x + Y/ y + Z/ z) = 0 z +(1+ ) 1 ( 2 / z 2 )+2 Z/ z+ (1- ) 1 ( X/ x + Y/ y + Z/ z) = 0 (Beltrami) Mathematische Anstze Eliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen fr die unbekannten Spannungen:
  • Folie 11
  • Mathematische Anstze11 xy +(1+ ) 1 ( 2 / x y) + X/ y + Y/ x = 0 xz +(1+ ) 1 ( 2 / x z) + X/ z + Z/ x = 0 yz +(1+ ) 1 ( 2 / y z) + Y/ z + Z/ y = 0 Mathematische Anstze (Beltrami)
  • Folie 12
  • Mathematische Anstze12 x = 2 x / x 2 + 2 x / y 2 + 2 x / z 2 y = 2 y / x 2 + 2 y / y 2 + 2 y / z 2 z = 2 z / x 2 + 2 z / y 2 + 2 z / z 2 Mathematische Anstze In den Beltrami-Gleichungen sind: Die Lsung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fllen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung
  • Folie 13
  • Mathematische Anstze13 Stoffunabhngige Gleichungen S - = 0 SpannungstensorBechleunigungsvektor
  • Folie 14
  • Mathematische Anstze14 Stoffunabhngige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: S x = x e x + yx e y + xz e z S y = yx e x + y e y + yz e z S z = zx e x + zy e z + z e z Tensordarstellung: x xy xz S = yx y yz zx zy z S Spannungstensor
  • Folie 15
  • Mathematische Anstze15 3 Stoffunabhngige Gleichungen 6 Materialgleichungen 6 Kompatibilittsgleichungen Mathematische Anstze 15 Unbekannte: x y z xy xz yz u v w
  • Folie 16
  • Mathematische Anstze16 Mathematische Anstze Kompatibilitts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen
  • Folie 17
  • Mathematische Anstze17 Mathematische Anstze Kompatibilitts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen u=u(x,y,z,t)=u x (x,y,z,t)e x +u y (x,y,z,t)e y +u z (x,y,z,t)e z
  • Folie 18
  • Mathematische Anstze18 Mathematische Anstze B C A A1B1 D u(x+dx,y,dy,z) u(x+dx,y,z) u(x,y+dy,z) u(x,y,z) u x (x+dx,y,z)=u x (x,y,z)+( u x (x,y,z)/ x)dx
  • Folie 19
  • Mathematische Anstze19 Kinematisches Gleichgewicht x = u/ x u v w y = v/ y z = w/ z xy = v/ x + u/ y xz = w/ x + u/ z yz = w/ x + v/ z
  • Folie 20
  • Mathematische Anstze20 Mathematische Anstze Kompatibilitts- bedingung: iklm = 0 RiemannTensor 4. Stufe
  • Folie 21
  • Mathematische Anstze21 Mathematische Anstze Stoffgesetze: 1-starres Material 2-linear-elastisch 3-nichtlinear-elast. 4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch 6-viskoses Material: Kriechen 7-viskoses Material: Relaxieren 1 2 3 45 6 7
  • Folie 22
  • Mathematische Anstze22 Mathematische Anstze Stoffgesetze: Spannungstensor Spannungsgeschwindigkeit Verzerrungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit
  • Folie 23
  • Mathematische Anstze23 Mathematische Anstze Elastisches Materialverhalten Stoffe ohne Gedchtnis Spannungstensor Verzerrungstensor
  • Folie 24
  • Mathematische Anstze24 Mathematische Anstze plastisches Materialverhalten Stoffe mit permanentem Gedchtnis Spannungsgeschwindigkeit Verzerrungsgeschwindigkeit
  • Folie 25
  • Mathematische Anstze25 Mathematische Anstze viskoses Materialverhalten Stoffe mit schwindendem Gedchtnis Spannungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit
  • Folie 26
  • Mathematische Anstze26 3. Schwingkopf 1. Kopf fr Zellsuspension 2. Hlse 4. Sockel M6 5. Zylinderschraube 6. Beschleunigungssensor
  • Folie 27
  • Mathematische Anstze27 3. Schwingkopf Gesamtansicht
  • Folie 28
  • Mathematische Anstze28 3. Schwingkopf FEM - Simulation
  • Folie 29
  • Mathematische Anstze29 3. Schwingkopf FEM - Analyse
  • Folie 30
  • Mathematische Anstze30 Mathematische Anstze Nherungsverfahren: Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionen der Zeit, direkte Zeitintegration