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Mathematische Ansätze 1 Mathematische Ansätze Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

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Page 1: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 1

Mathematische Ansätze

Dynamisches Verhalten

Mathematische Ansätze

Rechenverfahren

Page 2: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 2

Stoffunabhängige Gleichungen

Materialgesetze

Kompatibilität

Mathematische Ansätze

15 Unbekannte:

x y z xy xz yz

x y z xy xz yz

u v w

Page 3: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 3

Mathematische Ansätze

3 stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen

6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen

6 Materialgleichungen

Page 4: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 4

Gleichgewichtsgleichungen

F Fa

b

Stoffunabhängige Gleichungen

Virtueller Schnitt

Page 5: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 5

F

Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA

Normalspannungen=dFn/dA

Tangentialspannungen =dFt/dA

dFn

dF

dFt

dA

Gleichgewichtsgleichungen

Stoffunabhängige Gleichungen

Page 6: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 6

x

y

z

yx

yz

zyzx

xy

xz

Stoffunabhängige GleichungenGleichgewichts-gleichungen

Page 7: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 7

Stoffunabhängige Gleichungen

Gleichgewichtsgleichungen:

x/x + yx/y + zx/z + X = 0 y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0

Page 8: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 8

G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0

G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0

G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0

Mathematische Ansätze

Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen:

(Navier)

Page 9: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 9

u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2

v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2

w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2

Mathematische AnsätzeIn den Navier Gleichungen sind:

(Laplace)

Page 10: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 10

x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

(Beltrami)

Mathematische AnsätzeEliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen:

Page 11: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 11

xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0

xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0

yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0

Mathematische Ansätze

(Beltrami)

Page 12: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 12

x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2

y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2

z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2

Mathematische AnsätzeIn den Beltrami-Gleichungen sind:

Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung

Page 13: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 13

Stoffunabhängige Gleichungen

S - ü = 0

Spannungstensor Bechleunigungsvektor

Page 14: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 14

Stoffunabhängige Gleichungen

Gleichgewichtsgleichungen:

Sx= xex + yxey+ xzez

 Sy= yxex + yey + yzez

 Sz= zxex + zyez + zez

Tensordarstellung:

x xy xz

 S = yx y yz

 zx zy z

S Spannungstensor

Page 15: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 15

3 Stoffunabhängige Gleichungen

6 Materialgleichungen

6 Kompatibilitätsgleichungen

Mathematische Ansätze

15 Unbekannte:

x y z xy xz yz

x y z xy xz yz

u v w

Page 16: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 16

Mathematische Ansätze

Kompatibilitäts-

bedingung:

Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen

Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen

Page 17: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 17

Mathematische Ansätze

Kompatibilitäts-

bedingung:

Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen

u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez

Page 18: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 18

Mathematische Ansätze

B

C

A

A1 B1

D u(x+dx,y,dy,z)

u(x+dx,y,z)

u(x,y+dy,z)

u(x,y,z)

ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx

Page 19: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 19

Kinematisches Gleichgewicht

x = u/x u v w

y = v/y

z = w/z

xy = v/x + u/y

xz = w/x + u/z

yz = w/x + v/z

Page 20: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 20

Mathematische Ansätze

Kompatibilitäts-

bedingung:iklm= 0

Riemann Tensor 4. Stufe

Page 21: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 21

Mathematische Ansätze

Stoffgesetze:1-starres Material

2-linear-elastisch

3-nichtlinear-elast.

4-linear-elastisch-ideal-

plastisch

5-starr-plastisch

6-viskoses Material:

Kriechen

7-viskoses Material:

Relaxieren

12 3

45

6

σ

Page 22: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 22

Mathematische Ansätze

Stoffgesetze: , , SS

SpannungstensorSpannungsgeschwindigkeit

VerzerrungstensorVerzerrungsgeschwindigkeit

Page 23: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 23

Mathematische Ansätze

Elastisches

Materialverhalten

Stoffe ohne Gedächtnis

S

Spannungstensor

Verzerrungstensor

Page 24: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 24

Mathematische Ansätze

plastisches

Materialverhalten

Stoffe mit permanentem

Gedächtnis

S

Spannungsgeschwindigkeit

Verzerrungsgeschwindigkeit

Page 25: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 25

Mathematische Ansätze

viskoses

Materialverhalten

Stoffe mit schwindendem

Gedächtnis

S

Spannungstensor

Verzerrungsgeschwindigkeit

Page 26: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 26

3. Schwingkopf

1. Kopf für Zellsuspension

2. Hülse

4. Sockel M6

5. Zylinderschraube

6. Beschleunigungssensor

Page 27: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 27

3. Schwingkopf

• Gesamtansicht

Page 28: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 28

3. Schwingkopf

• FEM - Simulation

Page 29: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 29

3. Schwingkopf

• FEM - Analyse

Page 30: Mathematische Ansätze1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Mathematische Ansätze 30

Mathematische Ansätze

Näherungsverfahren:

Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen

des Materialverhaltens

der Belastungsfunktionen

der Zeit, direkte Zeitintegration