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Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Mathematische Grundlagen • Lineare Algebra • Matrizenalgebra • Einfaches Eigenwertproblem • Singulärwertzerlegung • Generalisierte Inverse • Iterative und numerische Verfahren • Differentialrechnung • Optimierung

Mathematische Grundlagen

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Mathematische Grundlagen. Lineare Algebra Matrizenalgebra Einfaches Eigenwertproblem Singulärwertzerlegung Generalisierte Inverse Iterative und numerische Verfahren Differentialrechnung Optimierung. Unbekannte. Konstante. Koeffizienten. Lineare Algebra. - PowerPoint PPT Presentation

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  • Mathematische GrundlagenLineare AlgebraMatrizenalgebraEinfaches EigenwertproblemSingulrwertzerlegungGeneralisierte InverseIterative und numerische VerfahrenDifferentialrechnungOptimierung

  • Lineare AlgebraLsen linearer Gleichungen und GleichungssystemeWerkzeug: Matrizenrechnung

  • Arten von linearen GleichungssystemenHomogenes Gleichungssystem: alle Konstanten gleich NullInhomogenes Gleichungssystem: mindestens eine Konstante ungleich NullBeispielsystem: 3 Gleichungen in 3 UnbekanntenMehr Gleichungen als Unbekannte: berbestimmtMehr Unbekannte als Gleichungen: Unterbestimmt

  • Begriff AlgebraAbu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Chwarismi: Hisab al-gabr w'al-muqabala (Wiederherstellen und Zusammenfhren) um 800 Auflsen von Gleichungenlat. bersetzung: Algoritmi (Algorithmus)Algebra spter: Lehre vom Auflsen von Gleichungs- und Ungleichungssystemen

  • Moderne AlgebraBeziehungen mathematischer Gren zu-einander formale BehandlungLineare Algebra: n-dimensionaler Vektor-raum und lineare Transformationen in ihmAlgebra auch: mathematische Struktur mit bestimmten Eigenschaften Menge der Matrizen und ihre Operationen sind eine Algebra

  • MatrizenalgebraEine (m,n)-Matrix ist eine rechteckige Anordnung von m x n Elementen in m Zeilen und n Spalten.

  • Dimension einer MatrixDefiniert durch Anzahl der Spalten und Zeilenquadratisch, wenn Anzahl der Spalten und Zeilen gleichrechteckig sonst(m,1)-Matrix: Spaltenvektor(1,n)-Matrix: Zeilenvektor(1,1)-Matrix: Skalar

  • Elemente der MatrixKnnen Variablen, Zahlen aus C (R, Z, N), Polynome, Matrizen etc. seinAngesprochen ber den IndexZeilenindex: Nummer der ZeileSpaltenindex: Nummer der SpalteIndex: Erst Zeile, dann Spalte angegeben

  • Gleichungssysteme mit MatrizenGleichungssystem von vorher: Ax=bKoeffizientenmatrixAUnbekanntenvektorxKonstantenvektorb

  • Schreibweise von MatrizenRunde und eckige Klammern erlaubtIn der Lehrveranstaltung: Eckige Klammern fr Matrizen mit ZahlenBlockweise auftretende Nullen oft weggelassen (Lesbarkeit)

  • Alter der MatrizenschreibweiseAlbrecht Drer: Die Melancholie (1514)magischesQuadrat

  • SubmatrizenJeder Teilblock einer Matrix kann wieder als Matrix aufgefasst werdenP, q, r, s sind Submatrizen

  • SpezialformenNullmatrix: Alle Elemente gleich NullDiagonalmatrix: Nur Hauptdiagonale besetztDreiecksmatrix: Dreieck besetztobere Dreiecksmatrix R oder Uuntere Dreiecksmatrix LTreppenform: nicht-quadratische Matrizen in Dreiecksform

  • SymmetrieSymmetrische Matrix: quadratisch und

    Schief-symmetrische Matrix: quadratisch und Elemente der Hauptdiagonale gleich Null

  • Gleichheit von MatrizenZwei Matrizen sind gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind (die gleiche Dimension haben) undalle Elemente gleich sind, also wenn gilt

  • Spur einer MatrixNur fr quadratische MatrizenSumme der Hauptdiagonal-Elementeabgekrzt mit tr (engl. trace)

  • Determinante einer MatrixNur fr quadratische MatrizenBerechnet nach Entwicklungssatz von Laplaceabgekrzt mit det A oder |A|

  • Regeln ber DeterminantenVertauschen zweier Zeilen (Spalten) wechselt das VorzeichenAddition (Subtraktion) eines Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) lsst die Determinante unverndertDeterminante einer Dreiecks- oder Diagonal-matrix ist das Produkt der Hauptdiagonal-Elementeverschwindende Determinante: Sind zwei Zeilen (Spalten) gleich oder proportional, so wird det(A)=0 (die Determinante verschwindet)

  • Regulre und singulre MatrizenSingulre Matrix: Quadratische Matrix mit verschwindender Determinante det(A)=0

    Regulre Matrix: Quadratische Matrix, bei der die Determinante nicht verschwindet

  • Spezialflle(2,2)-Matrix

    (3,3)-Matrix: Regel von Sarrus

  • MatrizenoperationenTranspositionAddition/SubtraktionMultiplikation mit einem SkalarMultiplikation zweier Matrizen

  • TranspositionElemente wechseln ihre Position durch Vertauschen des Zeilen- und SpaltenindexAbgekrzt mit ATSpaltenvektor wird zu Zeilenvektor und umgekehrt

  • Symmetrie und TranspositionSymmetrische Matrix:

    Schiefsymmetrische Matrix:

  • Aufspaltung einer quadratischen MatrixJede quadratische Matrix kann aufgespalten werden in eine symmetrische und eine schiefsymmetrische Matrix:

  • Addition und SubtraktionElementweises addieren/subtrahieren

    Addition ist assoziativAddition ist kommutativAddition hat NullelementTransposition einer Summe

  • Multiplikation Matrix-SkalarJedes Element wird mit dem Skalar multipliziert

    Es gilt:

  • Matrizenmultiplikation

    Element an Position (i,j) ist Produkt aus Zeilenvektor ai und Spaltenvektor bjPotenzen nur fr quadratische Matrizen mglichAB=0 bedeutet, dass mindestens eine Matrix singulr (nicht: Nullmatrix!)

  • Eigenschaften der MultiplikationAssoziativ:(AB)C = A (BC)Neutrales Element ist Einheitsmatrix I (E) mit

    Multiplikation mit Einheitsmatrix ist kommutativSonst NICHT kommutativ (ABBA)Multiplikation ist distributiv: A(B+C)=AB+AC

  • Potenzieren von Matrizen

  • SkalarmultiplikationMit Einheitsmatrix kann die Skalarmultiplikation in eine Matrizenmultiplikation rckgefhrt werden:

  • Transponieren von Produkten

  • Falksches Schema

  • Determinante und Spur von MatrizenproduktenDeterminante einer (n,n)-Matrix:

    Spur einer Matrix:

  • Gausche TransformationProduktN ist quadratisch, symmetrischElemente nij von N: Skalarprodukt der Spalten i und j von ADiagonalelemente positiv (Quadrate!)Matrix positiv definit (bzw. semidefinit wenn auch Null in Hauptdiagonale)Auch fr Produkte mglich:

  • Positiv definitAlle Subdeterminanten, die durch Streichung der letzten k Zeilen und Spalten entstehen (Minoren) sind 0Hinweise auf positive definite Matrix:Diagonalelemente positive reelle ZahlenJede Untermatrix ist positiv definitSpur, Determinante und Minoren positivA+B positiv definit, wenn A und B positiv definitSymmetrische Matrix mit positiven Eigenwerten ist positiv definit

  • Orthogonale MatrizenQuadratische MatrixSkalarprodukt aus beliebigen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) ist 0 oder 1 orthonormalEs giltDeterminante ist 1Determinante +1: eigentlich orthogonalDeterminante -1: uneigentlich orthogonalMultiplikation orthogonaler Matrizen ist kommutativ

  • InversionInverse Matrix (Kehrmatrix) von A ist definiert berMatrix A quadratisch mit Determinante 0Inverse ist eindeutig

    A*: Adjungierte Matrix zu A, transponierte Matrix der Kofaktoren von A

  • Inversion einer (2,2)-Matrix

  • Weitere Regelnorthogonale MatrizenA symmetrisch A-1 symmetrischA Diagonalmatrix A-1 Diagonalmatrix mit

    Diagonalmatrix mit weiterer Zeile/Spalte besetzt

  • Submatrizen

  • Spezialflle von Submatrizen

  • Neumannsche ReiheMatrizeninversion kann auch ber Reihenentwicklung berechnet werden:

    Beweis: Von links mit (I+A) multiplizieren

    Konvergenz, wenn Ai bei wachsendem i gegen Nullmatrix strebt

  • Auflsen von GleichungssystemenGegeben: Ax=bMultiplikation von links mit A-1:A-1Ax= A-1bergibt:(I)x= A-1bVoraussetzungen:Anzahl der Zeilen in A = Anz. Zeilen in bAnzahl der Spalten in A = Anz. Zeilen in xA invertierbar (quadratisch, Determinante Null)

  • Auflsung wenn nicht quadratischGausche Transformation: Multiplikation von links mit AT: ATAx=ATb Auch: NormalgleichungenJetzt quadratisch und symmetrisch, wenn regulr ist das System lsbarAbkrzung N=ATA Normalgleichungsmatrix

  • Lineare AbhngigkeitVektorrechnung: Ein k-Tupel von Vektoren heit linear abhngig wenn gilt mit (l1, , ln) 0

    Matrizenrechnung: Lineare Abhngig-keiten zwischen Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren

  • RangRang: Anzahl der linear unabhngigen Vektoren rank(A)

    Zeilen- und Spaltenrang sind immer gleich

    Es gilt: rank(A)=rank(AT)

  • RangdefektAnzahl der linearen Abhngigkeiten: Rangdefizit oder Rangdefekt d

    rank(A)=n-d

  • Rang einer MatrixMaximaler Rang einer (n,n)-Matrix: n Dann: d = 0 (voller Rang) und det(A) 0 Also: Matrix invertierbar!

    Wenn d > 0, dann det(A)= 0

    Maximaler Rang einer (n,m)-Matrix: min(n,m)

  • Rang bei GleichungssystemenGleichungssystem Ax=b

    (n,n)-Matrix A muss Rang n haben

    Zustzlich: rank(A)=rank(A,b)

  • Bestimmung des Ranges (1)Gauscher Algorithmus: Man bringt die Matrix auf Treppen-(Dreiecks-)FormErlaubte elementare Umformungen:Vertauschen von Zeilen/SpaltenMultiplizieren mit SkalarAddieren einer mit einem Skalar multiplizierten Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte

  • Bestimmung des Ranges (2)Zeilen/Spalten, die das Vielfache anderer Zeilen/Spalten sind, werden eliminiertAnzahl der nicht verschwindenden Zeilen/ Spalten ist der Rang

    Verschwindende Zeilen: Nullen in Hauptdiagonale Determinante wird NullAlgorithmus auch zur Lsung von Gleichungssystemen verwendbar

  • Elementare UmformungenSind auch ber Matrizenmultiplikationen mglich: z.B. Vertauschung von Zeilen

  • Gau-Jordan-VerfahrenBasiert auf Gauschem AlgorithmusNur Umformungen der ZeilenZiel ist Zeilennormalform:Elemente unterhalb der Hauptdiagonale NullErstes nicht verschwindendes Element jeder Zeile EinsOberhalb dieser nicht verschwindenden Elemente stehen nur Nullen

  • Vorgangsweise

  • HinweisGau-Jordan-Verfahren kann auch zur Matrizeninversion verwendet werdenBeginn:A | I Umwandlung der Matrix A, wobei jede Umformung auf beide Matrizen angewendet wirdResultat: I | A-1

  • Einfaches Eigenwertproblem (1)Quadratische Matrix A, gesucht sind die Vektoren x, fr die gilt Ax=lx mit dem Skalar lUmgeformt: (A-lI)x=0 (charakteristische Gleichung)Annahme: (A-lI) ist invertierbar: (A-lI)-1(A-lI)x=(A-lI) -10 x=0 triviale Lsung

  • Einfaches Eigenwertproblem (2)Nicht-triviale Lsungen, wenn (A-lI) singulr, also det(A-lI)=0

    charakteristische Determinante von A

  • Eigenwertproblemallgemeine Form des Eigenwertproblems: Ax=lBx (fr uns nicht wichtig)

    Auerdem existiert jeweils eine zweite Art (Multiplikation mit dem Vektor von links)

    Fr uns ist bei Eigenwertproblem immer das einfache Eigenwertproblem erster Art gemeint

  • EigenwerteLsung der charakteristischen Gleichung fr eine (n, n)-Matrix liefert n Werte l1 bis ln (Eigenwerte)Eigenwerte im Allgemeinen konjugiert komplexn ungerade: mindestens ein reeller Eigenwerteinfache, zweifache und mehrfache Eigenwerte

  • Kontrolle der Eigenwerte

  • Weitere Eigenschaftendet(A)=0 mindestens ein Eigenwert gleich NullRangdefizit d d Eigenwerte gleich NullDie Eigenwerte einer Dreiecks- oder Diagonalmatrix sind die Hauptdiagonal-elementeA und AT haben dieselben EigenwerteA, li An, (li) n (speziell: Inverse!)A, li A+cI, li+c; cA, cli

  • EigenvektorenZu den Werten l gehrende nicht triviale Lsungen fr xEigenvektor zum Eigenwert lDa (A-liI) singulr, ist der Eigenvektor nicht eindeutig!Rangdefizit von 1: Eigenrichtung (Vektor auf Lnge 1 bringen um einheitliche Lsung zu erhalten Normieren liefert Eigenvektor)Rangdefizit >1: Entsprechende Anzahl linear unabhngiger Eigenrichtungen

  • BegriffeMenge aller Eigenwerte: Spektrum der MatrixBetragsmig grter Eigenwert: SpektralradiusEigenwerte werden in Spektralmatrix L zusammengefasst (Diagonalmatrix)Eigenvektoren als Spaltenvektoren in Modalmatrix X zusammengefasst

  • Eigenschaften von L und XA = XLX-1 (Eigenwertzerlegung)X-1AX = L (Hauptachsentransformation)AX = XLA und L sind hnliche Matrizen: Es gibt eine Matrix U fr die gilt: A = U-1LU oder allgemein: S = U-1RU (hnlichkeitstransformation)A symmetrisch X orthogonal A = XLXT und XTAX = L

  • Weitere EigenschaftenIst A eine Diagonalmatrix, so gilt L = A und X = IA und Am haben dieselben EigenvektorenBei einer symmetrischen Matrix A gilt: A2 = ATA, die Matrix ATA hat dieselben Eigenvektoren, die Eigenwerte sind die Quadrate der Eigenwerte von A

  • Geometrische InterpretationDarstellung einer Ellipse ist mglich mit

    Eigenvektoren von A: Richtung der Haupt- und NebenachseEigenwerte von A: Lnge von Haupt- und NebenachseModalmatrix dreht die Ellipse in Hauptlage

  • Singulrwertzerlegunghnlich der EigenwertzerlegungAuch fr rechteckige Matrizen definiertDie (m,n)-Matrix A zerlegen wir ineine orthogonale (m,m)-Matrix U,eine orthogonale (n,n)-Matrix V undeine (m,n)-Diagonalmatrix S.Bedingung fr die Zerlegung: A = USVT

  • Bestimmung der Matrizen (1)Gausche Transformation

    Weil U orthogonal gilt UTU=IMit der Abkrzung D=STS=S2 erhalten wir

    Rechter Teil entspricht formal einer Eigenwertzerlegung von ATA.

  • Bestimmung der Matrizen (2)Somit D Diagonalmatrix mit Eigenwerten von ATA.S hat die Wurzeln der Eigenwerte in der Hauptdiagonale, mit Nullen aufgefllt zur richtigen DimensionV aus Eigenvektoren von ATA.U ber AAT=USVT(USVT)T=USSTUTSingular Value Decomposition (SVD)

  • Inversion singulrer Matrizen (Generalisierte Inverse)Moore-Penrose Inverse

    Bestimmung ber Singulrwertzerlegung: Da nur fr regulre Matrizen (li0) mglich, Eigenwerte gleich Null gestrichen

  • Numerische LsungBisher gesehene Verfahren und Formeln sehr rechenintensiv und fehleranflligIm Allgemeinen sollte auf vorhandene, getestete Programme zurckgegriffen werdenIm Weiteren einige wichtige Methoden

  • Lsung von GleichungssystemenEliminationsverfahren nach GauEliminationsverfahren nach Gau-JordanLU-VerfahrenCholesky-VerfahrenGau-Seidel-Verfahren

  • Eliminationsverfahren nach GauKoeffizientenmatrix durch elementare Umformungen in Dreiecks- oder Treppenform bringen liefert eine UnbekannteRckwrtseinsetzen in das umgeformte Gleichungssystem

  • Eliminationsverfahren nach Gau-JordanKoeffizientenmatrix durch elementare Umformungen in Zeilennormalform gebrachtDirekte Ermittlung der Unbekannten

  • LU-Verfahren (LR-Verfahren)Lower-Upper-Decomposition(n,n)-Matrix A in obere (U) und untere (L) Dreiecksmatrix zerlegt: A = LUAx = (LU)x = L(Ux) = b Ly = b

    Vorteil: Zerlegte Matrix A kann mit jedem Konstantenvektor b ohne neuerliche Auflsung verwendet werden

  • Cholesky-VerfahrenAnwendung des LU-Verfahrens auf symmetrische, positiv definite MatrizenA = UTU

    Ax = b Ux = s mit

  • Partielle Reduktion mit dem Cholesky-Verfahren (1)Ax = b aufgespaltet in A11x1 + A12x2 = b1 A21x1 + A22x2 = b2Erlaubt Aufspaltung der Dreiecksmatrix in

  • Partielle Reduktion mit dem Cholesky-Verfahren (2)Aus A = UTU knnen wir ableiten:

  • Partielle Reduktion mit dem Cholesky-Verfahren (3)

  • Gau-Seidel-VerfahrenSchwach besetzte Matrix: An vielen Stellen NullIterative Verfahren gut geeignet z.B. Gau-Seidel-VerfahrenNherungslsung so lange verbessert, bis gewnschte Genauigkeit erreichtNachteil: Iteration nicht immer konvergent

  • Bestimmung von Eigenwerten und VektorenQR-Algorithmus Zerlegung in ortho-gonale Matrix Q und Dreiecksmatrix R A = QR, Iteration Ak+1 = RkQk, Haupt-diagonalelemente von Ak kovergieren zu EigenwertenJacobi-Verfahren Symmetrische Matrix wird nherungsweise in eine Diagonal-matrix bergefhrt (Eigenwerte in Hauptdiagonale)

  • MatrixnormReelle Funktion der Elemente mit der Eigenschaft||A||0 mit ||A|| = 0 fr A=0

    Unterschiedliche Normen vorhanden fr quadratische Matrizen

  • Wichtige MatrixnormenFrobenius/Schur-Norm (Euklidische Norm)

    Spektral-/Hilbert-Norm

  • Gestrte GleichungssystemeStrung eines Gleichungssystems durch kleine Abweichungen eines oder mehrerer Parameter

    Frage: Wie wirken sich die Strungen auf die Lsung aus?

  • BeispielBei a nahe 1 wirkt sich ein geringer Fehler d bereits stark aus!

  • Allgemeine BehandlungBestimmung von Ergebnis: Fr kleine Strungen wird der relativeFehler um den Faktor verstrkt.Gut konditioniert: kleine Eingangsfehler bewirkenkleine ErgebnisfehlerSchlecht konditioniert: kleine Eingangsfehlerbewirken unverhltnismig groe Ergebnisfehler

  • Kondition einer Matrixk(A)1Groe Konditionszahl weist auf unangenehme numerische Eigenschaften der Matrix hin eventuell Probleme beim Auflsen des GleichungssystemsSingulre Matrizen erhalten k=Symmetrische Matrizen: k(A)=|lmax|/|lmin|

  • DifferentialrechnungFunktion: Abbildung xf(x)Differenzenquotient: Steigung der Sekante im Intervall [x,x0]Differentialquotient (erste Ableitung) Steigung der Funktion im Punkt xLineare Funktionen: Steigung und Sekante in jedem Punkt gleich

  • RechenregelnKonstantenregelFaktorregelPotenzregelSummenregelProduktregelQuotientenregel

    Kettenregel

  • Numerische DifferentiationWenn analytische Ableitung aufwendigDifferentialquotient durch Differenzen-quotient angenhert

    oder (numerisch besser)

    mit 10-8h 10-4

  • Hhere AbleitungenZweite Ableitung: Erste Ableitung der ersten Ableitung f(x)=(f(x))Ebenso dritte Ableitung etc.Allgemein:

  • Taylorreihe (1)Approximation durch Potenzreihen z.B.

    Funktionswerte einer differenzierbaren Funktion f in der Umgebung der Stelle x0 nherungsweise berechenbarunendliche Potenzreihe (n ): Taylorreihe

  • Taylorreihe (2)Auch geschrieben als

    Voraussetzung: Funktion (n+1)-fach differenzierbarEntwicklung um x0=0: Maclaurin-FormelBeispiele: Sinus-/CosinusentwicklungIst Dx klein: Abbruch nach ersten beiden Gliedern - Linearisierung

  • Funktionen in mehreren VariablenAbbildung, die jedem Vektor x eine (reelle) Zahl f(x) zuordnetFunktion in n Variablen entsprechend der Dimension des Vektors

  • Partielle AbleitungenAlle Parameter auer xi einer Funktion in n Variablen als Konstante angesehenAbleitung nach diesem Parameter heit partielle Ableitung (erster Ordnung) nach xi an der Stelle x

    Analog partielle Ableitungen hherer Ordnung

  • Totales DifferentialTotales Differential der Funktion f an der Stelle x:

  • Taylorentwicklung fr Funktion in zwei VariablenWobei die Klammerausdrcke nach dem binomischen Lehrsatz aufzulsen sind:und folgendes gilt:

  • Linearisieren einer Funktion in mehreren VariablenTaylorentwicklungAbbruch nach der ersten Ableitung

    Anwendbar nur in einer entsprechend kleinen Umgebung um x0 (Glieder hherer Ableitungen vernachlssigbar klein)

  • Differentiation von MatrizenfunktionenFormal gleich bzw. hnlich den gewhnlichen DifferentiationsregelnHier nur fr Ausgleichung wichtige Flle

    Differentialvektor: dxT=(dx1 dx2 dxn)

    f=aTxdf=aTdx

  • Ableitung der BilinearformBilinearform: Produkt der Form Zeilenvektor-Matrix-Spaltenvektorf=xTAldf = dxTAl = lTATdx

    Sonderfall: Vektoren identisch Quadratische Formf=xTAx df = dxTAx + xTAdx = xT(AT+A)dxSymmetrische Matrizen: df = 2xTAdx

  • OptimierungFestlegung von Parametern so, dass eine Funktion der Parameter einen extremen Wert annimmt (Maximum oder Minimum)z.B. krzester Weg zwischen zwei Punkten, maximale Flche bei gegebenem UmfangEindimensionaler Fall: Erste Ableitung gleich Null setzen liefert ExtremwertMehrdimensionaler Fall: Ersten partiellen Ableitungen gleich Null gesetzt

  • Unterscheidung Maximum-MinimumZweite AbleitungBei Funktion in mehreren Variablen: Hesse-Matrixpositiv definit: Minimum (alle Eigenwerte positiv)negativ definit: Maximum (alle Eigenwerte negativ)

  • NebenbedingungenGesucht: lokale Extrema von f(x1xn), Bedingung g(x1xn) muss erfllt seinfZielfunktiongNebenbedingung

  • Beispiel (1)f(x1,x2)=x12+2x22g(x1,x2)=x1+x2-3=0Lsung: x1 in g durch x2 ausdrcken und in f einsetzen liefert quadratische Gleichung in einer UnbekanntenDiese einfache Lsung nicht immer mglich!

  • Beispiel (2)Graphische Lsung: Nebenbedingung berhrt Niveaulinie

  • Beispiel (3)Mathematisch: Nebenbedingung und Niveaulinie in diesem Punkt parallelSomit: Gradienten von f und g haben gleiche Richtung: bzw.

  • Beispiel (4)Somit erhalten wir das Gleichungssystem

  • Beispiel (5)Formal gleiche Lsung: Lagrange-FunktionAbleitung der Lagrange-Funktion nach allenVariablen x1, , xn und l und gleich Null setzen liefert dasselbe Gleichungssystem wie vorher.

  • Zusammenfassung (1)Gleichungssysteme knnen mit Matrizen einfach angeschrieben und behandelt werdenEigenschaften durch Kennzahlen beschrieben (Determinante, Rang, etc.)Linearisieren von Funktionen geschieht mit TaylorreihenZum Optimieren mit Nebenbedingungen nimmt man die Lagrange-Funktion

  • Zusammenfassung (2)Vorsicht bei numerischen Problemen: Die Hlfte aller vom Computer darstellbarer Zahlen liegt zwischen -1 und 1Schlechte Numerik kann den Rechengang empfindlich stren, daher die Ergebnisse IMMER kritisch hinterfragen