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Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

Mathematische Grundlagen Der Quantenmechanik

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Mathematische Grundlagen Der Quantenmechanik

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  • Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

  • Springer Berlin

    Heidelberg New York Barcelona Budapest Hongkong London Mailand

    Paris Santa Clara

    Singapur Tokio

  • John von Neumann

    Mathematische Grundlagen der

    Quantenmechanik

    Mit einem Geleitwort von Rudolf Haag

    Zweite Auflage

    Springer

  • John v. Neumannt

    Die erste Auf/age erschien 1968, als Reprint der Erstausgabe von 1932, in der Reihe Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 38

    Die Fotovorlage fur die Abbildung auf der Einbandvorderseite wurde dem Band .. John von Neumann" von N. Macrae mit freundlicher Genehmigung des Autors und

    des Birkhiiuser Verlags entnommen

    Mathematics Subject Classification (1991): 47-02, 46xx, 81-02

    Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

    Neumann. Johann von: Mathematische Gl1lndlagen der Quantenmechanik I von Johann v. Neumann. - [Nachdr. der Ausg.) Berlin. Springer. 1932. _ Berlin; Heidelberg; New York: Springer. 1996

    (Grundlehren der mathematischen Wissensch.ften ; Bd. 38) NE:GT ISBN-13: 978-3-642-64828-1 e-ISBN: 978-3-642-61409-5 DOl: 10.1007/978-3-642-61409-5

    Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiltzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbesondere die der Ober-setzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfiiltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungs-anlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfiiltigung dieses Werkes

    oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiltungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Straf-

    bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.

    @Springer-VerlagBerlinHeideibergI932, 1968,1996 Softcover reprint of the hardcover I st edition 1996

    Umsch1aggestaltung: Design Concept Emil Smejkal, Heidelberg SPIN: 10495655 44/3143 - 5 4 3 2 1 0 - Gedruckt auf saurefreiem Papier

  • Geleitwort

    J. v. Neumanns Buch "Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik" ist ein Klassiker. Es hat die Sprache der Quantentheoretiker in der zweiten Hiilfte unse-res Jahrhunderts so stark gepragt, daB, wenn heute von der "Kopenhagener Inter-pretation" der Quantenmechanik gesprochen wird, oft weniger die Schriften von Niels Bohr gemeint sind als das Buch'von J. v. Neumann. Die elegante Theorie der statistischen Ensembles v. Neumanns hat vielfach die Betrachtung des Einzelfalls, die Bohr am Herzen lag, aus dem Gesichtskreis verdrangt. Klassiker gehoren in jeden Biicherschrank, auch wenn sie weniger haufig zur Hand genommen werden als neue Kriminalromane oder Fachbiicher. Daher ist es erfreulich, daB durch diesen Nachdruck das Buch wieder jedem leicht zuganglich wird. Wie steht es aber mit der Aktualitat? Ais Student war ich fasziniert von der Ge-dankenscharfe mit der v. Neumann knapp und klar auf 250 Seiten den gewaltigen Bogen darstellen konnte, angefangen von der Mathematik des Hilbert-Raums und ihrem Bezug zu den Aussagen der Quantenmechanik, iiber Entropie und sta-tistische Mechanik bis zur Formalisierung des MeBprozesses. Man wird heute manches kritischer sehen, vielleicht lacheln iiber v. Neumann Beweis der Nicht-existenz von Diracs o-Funktion; man hat seinen Bewcis der Unmoglichkeit von verborgenen Parametern als dumm bezeichnet. Man sollte dabei aber nicht iiber-sehen, daB beides im Kontext bedeutender origineller Leistungen v. Neumanns stand. 1m ersten Fall ist es die Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren, im zweiten betrifft es die Erkenntnis, daB (im Rahmen der iiblichen Quantenmecha-nik) die gemischten Zustande durch Dichtematrizen beschrieben werden und daB diese keinen Simplex bilden.

    Das Buch war fUr mich eines der entscheidendsten Lehrbiicher. Diese Funkti-on wird es heute nicht mehr ausfiillen. Es bleibt aber dkFaszination eines gro-Ben Wurfs und groBen Ideenreichtums.

    Rudolf Haag

  • DEM ANDENKEN MEINES VATERS

    GEWIDMET

  • Inhaltsverzeichnis. Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    I. Einleitende Betrachtungen . . . . . . . . . . 4 1. Die Entstehung der Transformationstheorie 4 2. Die urspriinglichen Formulierungen der Quantenmechanik 5 3. Gleichwertigkeit der zwei Theorien: Die Transformationstheorie. 10 4. Gleichwertigkeit der zwei Theorien: Der Hilbertsche Raum. 15

    II. Allgemeines tiber den abstrakten Hilbertschen Raum 18 1. Charakterisierung des Hilbertschen Raumes . 18 2. Geometrie des Hilbertschen Raumes . . 24 3. Exkurs tiber die Bedingungen A.-E. . . 31 4. Abgeschlossene Linearmannigfaltigkeiten 38 5. Operatoren im Hilbertschen Raume 46 6. Das Eigenwertproblem . . . . . . . 53 7. Fortsetzung . . . . . . . . . . . . 56 8. Orientierende Betrachtungen tiber das Eigenwertproblem. 62 9. Exkurs tiber die Eindeutigkeit und Losbarkeit des Eigenwert-

    problems . . . . . . 75 10. Vertauschbare Operatoren. . 88 n. Die Spur . . . . . . . . . 93

    III. Die quantenmechanische Statistik 101 1. Die statistischen Aussagen der Quantenmechanik 101 2. Die statistische Deutung . . . . . . . . . 107 3. Gleichzeitige MeBbarkeit und MeBbarkeit im allgemeinen 110 4. U nbestimmtheitsrelationen. . . . . . . 121 5. Die Projektionsoperatoren als Aussagen. 130 6. Lichttheorie . . . . . . . . . . . . . 135

    IV. Deduktiver Aufbau der Theorie . . . . . . 157 1. Prinzipielle Begrtindung der statistischen Theoric 157 2. Beweis der statistischen Formeln 167 3. Folgerungen aus Experimenten 173

    V. Allgemeine Betrachtungen. . . . . . 184 1. Messung und Reversibilita.t . . . 184 2. Thermodynamische Betrachtungen 191 3. Reversibilita.ts- und Gleichgewichtsfragen . 202 4. Die makroskopische Messung 212

    VI. Der MeBprozeB. . . . . . . . 222 1. Formulierung des Problems 222 2. Zusammengesetzte Systeme . 225 3. Diskussion des MeBprozesses 233

    Anmerkungen . . . . . . . . . 238

  • Einleitung. Der Gegenstand dieses Buches ist die einheitliche, und, soweit als

    moglich und angebracht, mathematisch einwandfreie Darstellung der neuen Quantenmechanik, die im Laufe der letzten Jahre eine in ihren wesentlichen Teilen voraussichtlich definitive Form gewonnen hat: die sog. "Transformationstheorie". Dabei solI das Hauptgewicht auf die allgemeinen und prinzipiellen Fragen, die im Zusammenhange mit dieser Theorie entstanden sind, gelegt werden. Insbesondere sol1en die schwierigen und vielfach noch immer nicht restlos geklarten Inter-pretationsfragen naher untersucht werden. Besonders das Verhaltnis der Quantenmechanik zur Statistik und zur klassischen statistischen Mechanik ist hierbei von Bedeutung. Von der Erorterung der An-wendungen der quantenmechanischen Methoden auf Einzelprobleme sowie einer Darlegung der einzelnen spezielleren, von der allgemeinen Theorie abgezweigten Theorien werden wir dagegen in der Regel ab-sehen - wenigstens soweit dies ohne Gefahr fUr das Verstandnis der allgemeinen Zusammenhange moglich ist. Dies erscheint urn so mehr geboten, als iiber diese Dinge mehrere ausgezeichnete Darstellungen existieren bzw. im Erscheinen sind l .

    Andererseits wird eine Darstellung der fUr die Zwecke dieser Theorie notwendigen mathematischen Hilfsmittel gegeben, d. h. eine Theorie des Hilbertschen Raumes und der sag. Hermiteschen Operatoren des-selben. Dabei ist ein genaues Eingehen auch auf unbeschrankte Opera-toren not wen dig, d. h. eine Erweiterung der Theorie iiber ihren klas-sischen (von HILBERT und E. HELLINGER, F. RIEsz, E. SCHMIDT, O. TOEPLITZ geschaffenen) Umfang hinaus. Zur Methodik dieser Be-handlungsweise sei Folgendes gesagt: es solI in der Regel mit den Ope-ratoren selbst (die physikalische GroBen reprasentieren) gerechnet werden, und nicht mit den Matrizen, welche erst nach EinfUhrung eines (speziellen und willkiirlichen) Koordinatensystems im Hilbert-schen Raume aus ihnen entstehen. Diese "koordinatenfreie", d. h. in-variante, und stark geometrisch orientierte Behandlungsweise ist mit betrachtlichen formalen Vorteilen verbunden.

    Eine an Kiirze und Eleganz kaum zu iiberbietende Darstellung der Quantenmechanik, die ebenfalls von invariantem Charakter ist, hat DIRAC in mehreren Abhandlungen sowie in seinem kiirzlich erschie-

  • 2 Einleitung.

    nenen Buche gegeben2 Daher ist es vielleicht angebracht, fUr unsere, von der genannten wesentlich abweichende, Methodik hier einige Ar-gumente beizubringen.

    Die erwahnte, infolge ihrer Durchsichtigkeit und Eleganz heute in einen groBen Teil der quantenmechanischen Literatur iibergegangene Methodik von DIRAC wird den Anforderungen der mathematischen Strenge in keiner Weise gerecht - auch dann nicht, wenn diese natiir-licher- und billigerweise auf das sonst in der theoretischen Physik iibliche MaB reduziert werden. So wird z. B. konsequent an der Fiktion festgehalten, daB jeder selbstadjungierte Operator auf die Diagonal-form gebracht werden kann, was bei denjenigen Operatoren, fUr die dies tatsachlich nicht der Fall ist, das EinfUhren "uneigentlicher" Funktionen mit selbstwidersprechenden Eigenschaften notwendig macht. Ein solches Einschalten mathematischer "Fiktionen" ist u. U. selbst dann unvermeidlich, wenn es sich nur darum handelt, das Resultat eines anschaulich definierten Versuches numerisch zu berechnen. Dies ware kein Einwand, wenn diese in den heutigen Rahmen der Analysis nicht passenden Begriffsbildungen fiir die neue physikalische Theorie wirklich wesentlich waren. So wie die N ewtonsche Mechanik zunachst das Entstehen des in seiner damaligen Form zweifellos selbstwider-sprechenden Infinitesimalkalkiils mit veranlaBte, wiirde die Quanten-mechanik einen Neuaufbau unserer "Analysis der unendlich vielen Variablen" nahelegen - d. h. der mathematische Apparat miiBte ge-andert werden, und nicht die physikalische Theorie. Das ist aber keines-wegs der Fall, es solI vielmehr gezeigt werden, daB die Transformations-theorie auf eine ebenso klare und einheitliche Weise auch mathematisch einwandfrei begriindet werden kann. Dabei ist zu betonen, daB der korrekte Aufbau nicht etwa aus einer mathematischen Prazisierung und Explizierung der Diracschen Methode besteht, sondern daB er ein von vornherein abweichendes Vorgehen notig macht, namlich das An-lehnen an die Hilbertsche Spektraltheorie der Operatoren.

    Bei der Analyse der prinzipiellen Fragen wird insbesondere gezeigt werden, wie die statistischen Formeln der Quanteninechanik aus einigen qualitativen Grundannahmen hergeleitet werden konnen. Ferner wird die Frage ausfUhrlich diskutiert, ob es moglich ist, den statistischen Charakter der Quantenmechanik auf eine Mehrdeutigkeit (d. h. Unvoll-standigkeit) unserer Naturbeschreibung zuriickzufiihren: diese Er-klarung entsprache ja am besten dem allgemeinen Prinzip, wonach jede Wahrscheinlichkeitsaussage aus der Unvollstandigkeit unserer Kennt-nisse entsteht. Diese Erklarung "durch verborgene Parameter" sowie eine andere, damit verwandte, die die "verborgenen Parameter" dem Beobachter und nicht dem beobachteten System zuschreibt, ist auch mehrfach vorgeschlagen worden. Indessen zeigt es sieh, daB dies kaum in befriedigender Weise gelingen kann, genauer: eine solche Erklarung

  • Einleitung. 3

    ist mit gewissen qualitativen Grundpostulaten der Quantenmechanik unvereinbar3

    Das Verhaltnis dieser Statistik zur Thermodynamik wird auch be-trachtet. Eine nahere Untersuchung zeigt, daB die aus der klassischen Mechanik wohlbekannten Schwierigkeiten, die mit den zur Begriindung der Thermodynamik erforderlichen "Unordnungsannahmen" zusammen-hangen, hier behoben werden konnen 4

  • I. Einleitende Betrachtungen. 1. Die Entstehung der Transformationstheorie.

    Es ist hier nicht der Ort, auf die groBen Erfolge hinzuweisen, die die Quantentheorie im Laufe der Periode 1900 bis 1925 errungen hat, einer Entwicklung, die durch die Namen PLANCK, EINSTEIN und BOHR beherrscht ist5 Am SchluB dieses Entwicklungsganges stand es klar und so gut wie unbezweifelbar fest, daB aIle Elementarprozesse, d. h. alles Geschehen in atomar-molekularer GroBenordnung, durch die "dis-kontinuierlichen" Gesetze der Quanten geregelt werden. Nach fast allen Richtungen lagen auch quantitative quantentheoretische Methoden vor, die meistens mit der Erfahrung gut oder leidlich iibereinstimmende Ergebnisse lieferten. Und was prinzipiell von groBer Bedeutung war: die Gedankenwelt der theoretisch-physikalischen Forschung hatte die Idee rezipiert, daB das in der wahrgenommenen makroskopischen Welt herrschende Prinzip der Kontinuitat ("natura non facit saltus") bloB durch einen MittelungsprozeB in der ihrem Wesen nach diskontinuierlichen Welt vorgetauscht wird - dadurch, daB der Mensch meistens nur die Summe vieler Quadrillionen von Elementarprozessen auf einmal apper-zipiert, so daB das alles nivellierende Gesetz der groBen Zahlen die wahre Natur der einzelnen Prozesse vollig verschleiert.

    Trotzdem lag zur genannten Zeit kein mathematisch-physikalisches System der Quantentheorie vor, das einheitlich alles bis dahin Be-kannte umfaBt hatte; geschweige denn eins, das die monumentale Geschlossenheit des (durch die Quantenerscheinungen gesprengten) Systems Mechanik-Elektrodynamik-Relativitatstheorie Mtte aufweisen konnen. Trotz des offenbar gerechtfertigten Anspruchs der Quanten-theorie auf Universalitat fehlte der dazu notwendige formale und ge-dankliche Apparat, sie war ein schwer entwirrbares Gemisch wesentlich verschiedener, unabhangiger, unhomogener und teilweise einander widersprechender Ansatze. Die auffallendsten Punkte waren: das halb in die klassische Mechanik und Elektrodynamik gehOrende Korrespon-denzprinzip (das aber bei der schlieBlichen Aufklarung der Dinge eine entscheidende Rolle spielte), und die selbstwidersprechende Duplizitat der Natur des Lichtes (Wellen und Korpuskeln, vgl. Anm.5 und Anm. 148). SchlieBlich die Existenz ungequantelter (aperiodischer) und gequan-telter (periodischer bzw. mehrfachperiodischer) Bewegungen6

    Das Jahr 1925 brachte die Auflosung. Ein Ansatz von HEISENBERG konnte von BORN, HEISENBERG, JORDAN, und kurz nachher von DIRAC

  • 2. Die ursprunglichen Formulierungen der Quantenmechanik. 5

    zu einem neuen System der Quantentheorie ausgebaut werden, dem erst en geschlossenen System der Quantentheorie, das die Physik be-sessen hat. Urn weniges spater fand SCHRODINGER von einem ganz anderen Ausgangspunkte her die "Wellenmechanik", die das gleiche leistete und sich bald als mit dem Heisenberg-Born-Jordanschen und Diracschen System gleichwertig (wenigstens im mathematischen Sinne, vgl. I. 3, 4) herausstellte7 Die beiden Theorien konnten auf Grund der Bornschen statistischen Deutung der quantentheoretischen Natur-beschreibung8 von DIRAC und JORDAN zu einer Theorie, der "Trans-formationstheorie", verschmolzen werden 9 , in der sich beide erganzend vereinigen und eine mathematisch besonders einfache Beherrschung der physikalischen Fragen ermoglichen.

    Es sei noch erwahnt (obwohl es nicht mehr zu unserem eigentlichen Gegenstande gehort), daB nun, nachdem noch GOUDSMIT und UHLEN-BECK das magnetische und Drehmoment des Elektrons entdeckt hatten, fast alle Schwierigkeiten der friiheren Quantentheorie schwan-den, so daB wir heute im Besitz eines so gut wie restlos befriedigenden mechanischen Systems sind. Freilich ist die eingangs erwahnte groBe Einheit mit der Elektrodynamik und Relativitatstheorie noch nicht wiedergewonnen, aber zumindest ist eine allgemeingiiltige Mechanik da, in die sich die QuantengesetzmaBigkeiten mit selbstverstandlicher Not-wendigkeit einfiigen, und die den groBten Teil unserer Erfahrungen befriedigend erklart 10.

    2. Die urspriinglichen Formulierungen der Quantenmechanik.

    Urn eine vorlaufige Orientierung zu gewiI).nen, wollen wir die prin-zipiellen Fragestellungen der Heisenberg-Born-Jordanschen "Matrizen-mechanik" und der Schrodingerschen "Wellenmechanik" kurz darlegen.

    In beiden Theorien ist zunachst ein klassisch-mechanisches Problem gegeben, das durch eine Hamiltonsche Funktion H (ql' . , qk, PI' , Pk) charakterisiert ist. (Dies bedeutet, wie man in den Lehrbiichern der Mechanik naher ausgefiihrt findet, bekanntlich folgendes: Das System habe k Freiheitsgrade, d. h. sein jeweiliger Zustand ist durch die An-gabe der Zahlenwerte von k Koordinaten ql"'" q" festzulegen. Die Energie ist eine gegebene Funktion der Koordinaten und ihrer zeitlichen Ableitungen: E ( ..

    =L Ql, ... ,Q".Ql, ... ,qk), und zwar in der Regel quadratisch in den Ableitungen iII' ... , iIk' Durch

    aL 8L PI = aill'" "Pk = i);/k

    werden die "konjugierten Impulse" PI' ... , Pk der Koordinaten Ql' ... , qll: eingefiihrt - welche im Falle der obigen Annahme iiber L von den

  • 6 1. Einleitende Betrachtungen.

    ql' ... , qk linear abhangen. Allenfalls konnen wir aus L die ql' ... , qk mit Hilfe der PI , ... , Pk eliminieren, so wird:

    E=L(ql" .. ,qk,(lI, .,ilk) = H(ql" ,qk>PI' "Pk)' Dieses H ist die Hamiltonsche Funktion.) In beiden Theorien mochte man nun aus dieser Hamiltonschen Funktion moglichst viel iiber das wahre, d. h. quantentheoretische Verhalten dieses Systems erfahrenll - in erster Linie also die moglichen Energieniveaus bestimmen, dann die dazugehorigen "stationaren Zustande" kennenlernen, ihre "Dber-gangswahrscheinlichkeiten" berechnen USW. 12

    Die Anweisung, die die Matrizentheorie zur Losung dieser Aufgabe gibt, lautet folgenderma13en: Man suche ein System von 2 k Matrizen QI' ... ' Qk, PI"'" Pk aufl3, das erstens die Relationen

    erfiillt, undfiirwelcheszweitens die Matrix W =H (QI' ... , Qk, PI' ... , Pk) eine Diagonalmatrix wird. (Auf die Herkunft dieser Gleichungen, ins-besondere der ersten Gruppe, der sog. "Vertauschungsrelationen", die den ganzen nicht-kommutativen Matrizenkalkiil dieser Theorie be-herrschen, sei hier nicht naher eingegangen. Der Leser findet dies-beziiglich in den in Anm. I zitierten Werken erschOpfende Auskunft. h ist das Plancksche Wirkungsquantum.) Die Diagonalelemente von W, etwa WI' W 2 , . , sind dann die verschiedenen moglichen Energieniveaus des Systems. Die Elemente der Matrizen QI' ... , Qk - q;!)n, ... , q~)Itsind auf eine gewisse Weise ma13gebend fiir die Ubergangswahrschein-lichkeiten des Systems (aus dem m-ten Zustand mit der Energie Wm in den n-ten Zustand mit der Energie W n , Wm > wn ) und die dabei emit-tierte Strahlung.

    Zusatzlich ist noch zu bemerken, da13 die Matrix

    W = H(QI"'" Qk' PI'' P k ) durch QI"'" Qk> PI"'" P k und die klassisch-mechanische Hamilton-sche Funktion H (ql' ... , qk, PI' ... , Pk) insofern nicht vollkommen festgelegt wird, als die Qz und P z nicht alle miteinander kommutieren (bei der Multiplikation) - wahrend es bei H (ql' ... , qk, PI' ... , Pk) im klassisch-mechanischen Sinne v611ig sinnlos ware, etwa zwischen einem Gliede Plql und einem Gliede qlPI zu unterscheiden. Man mu13 daher in H iiber den klassischen Sinn dieses Ausdruckes hinaus die Reihenfolge der Faktoren qz und pz seiner Glieder festlegen. Dieser Proze13 ist ganz allgemein gar nicht durchgefiihrt worden, fiir die wich-tigsten Spezialfalle sind aber die zweckma13igen Normierungen bekannt.

  • 2. Die urspriinglichen Formulierungen der Quantenmechanik. 7

    (1m einfachen Faile, wenn das zu untersuchende System aus v TeiIchen besteht, also k = 3 v Koordinaten ql"'" qa,. hat - so daB etwa qa."-2' qa,,-l> qa" die drei cartesischen Koordinaten des ,u-ten Teil-chens, ,u = 1, ... , v, sind - wobei die Wechselwirkung dieser Teilchen durch eine potentielle Energie V (ql' ... , qa . ) gegeben ist, besteht allerdings kein derartiger Zweifel. Die klassische Hamiltonsche Funktion ist dann

    ,.

    H (ql" .. , qa"'PI"'" Pal') = 2~(PL-2+ P~"-l+ Pl,,) 1 m"

    + V (ql,"" qa,.), wobei m" die Masse des ,u-ten TeiIchens ist, und Pa -2, Pa,.-l' Pa" seine Impulse. Es ist ganz klar, was dies nach Einsetzung der Ma-trizen Ql' ... , Qa,., PI' ... , Pal' bedeutet: insbesondere verursacht das V - Glied keinerlei Schwierigkeiten, da alle QI"'" Qa,. miteinander kommutieren.) Wichtig ist namlich, daB ausschlieBlich Hermitesche Matrizen zugelassen werden, d. h. soIche Matrizen A = {amn} , fur die identisch am" = iinm gilt (komplex diirfen die Elemente amn sein!). Daher muB H(QI"'" Qk> PI"'" P k ) Hermitesch sein, wenn es die QI' ... , Qk , PI' ... , P k aIle sind - was eine gewisse Einschrankung in der vorhin gestreiften Frage der Reihenfolge der Faktoren invol-viert, aIlerdings keine geniigend enge, urn H(QI"'" Qk> PI"'" P k ) aus dem klassischen H (ql' ... , qk, PI"'" Pk) eindeutig zu be-stimmen14. -

    Demgegenuber lautet die Anweisung der Wellenmechanik wie folgt: Zunachst bilde man die Hamiltonsche Funktion H (ql" .. , qk' PI' ... , Pk)' dann setze man fUr eine willkiirliche Funktion 1jJ (ql' ... ,qk) im Zu-standsraume des Systems (und nicht im Phasenraume, d. h. die PI' ... ,Pk sollen nicht in 1jJ eingehen!) die Differentialgleichung

    an. Dabei ist H (ql' ... , qk' 2~ -:-, ... , -2h . .:-) in leichtverstand-tH vql tH vqk

    lichem Sinne als Funktionaloperation aufzufassen, z. B. fUhrt dieselbe im vorhin genannten Falle

    ,.

    H (ql'" ., qa"'PI"'" Pa,.) = 1] ~ (P~,,-2 + P~,'-l + P,,) 1 m" + V (ql , ... , qa,.)

  • 8 1. Einleitende Betrachtungen.

    iiber (wir lieBen in V und V' die Variablen ql"'" q3.. weg). Da die Operation ql -2" . -a a von der Operation -2" . -aU ql verschieden istl6,

    nJ h nJ h besteht hier wieder eine UngewiBheit wegen der Reihenfolge der Fak-toren qm und Pm in H(ql' ... , q", PI'"'' P,,) - aber SCHRODINGER zeigte, wie diese Unbestimmtheit durch Zuriickfiihrung auf ein be-stimmtes Variationsprinzip behoben werden kann, und zwar so, daB die entstehende DifferentiaIgleiehung selbstadjungiert wird16.

    Diese DifferentiaIgleiehung (die "Wellengleiehung") hat nun ganz den Charakter eines Eigenwertproblems: indem man A. als Eigenwert-parameter auffaBt, und der Eigenfunktion V' = V'(ql'" 0, q,,) etwa das Verschwinden am Rande des Zustandsraumes (des Raumes der ql"'" q,,) - und Regularitiit sowie Eindeutigkeit in ihm - auferlegt. 1m Sinne der Wellentheorie sind die Eigenwerte von A. (sowohl im Pwtkt- aIs auch im Streckenspektrum 17) die moglichen Energieniveaus. Und auch die dazugehOrigen (komplexen!) Eigenfunktionen tp stehen im Zusammenhange mit den entsprechenden (im Bohrschen Sinne stationiiren) Zustiinden des Systems: so ist bei einem 'P-Elektronen-system (k = 3'P, vgl. w.o., e ist die Ladung des Elektrons) die im Punkte x, y, z gemessene Ladungsdiebte des ,u-ten Systemelektrons, welches nach SCHRODINGER iiber den ganzen x, y, z(= q3/,-2, q31'-1' qs,..) Raum "verschmiert" zu denken ist. durch den folgenden Ausdruck gegeben:

    e L;ll tp (ql .. qs,..-a x yzqa,..+1" .q8P) IlI dql" .dqa/.-adqa,..+l 0 dqa,.o S .. -Sfach

    (Damit die GesamtIadung e herauskommt. muB tp durch die Bedingung J. .. f I tp (ql' 0 qs .. ) IlIdql' 0 .dq3tt = 1 -.....-' 3tt.fach

    [Integration fiber aIle 3'P Variablen!] normiert sein. Und zwar kommt fiir jedes ,u = 1, .. 0, 'P dieselbe Gleiehung heraus.)

    AuBerdem vermag die Wellenmechanik auch fiber Systeme, die sich nicht in Bohrschen stationiiren Zustiinden befinden. Aussagen zu machen18, und zwar so: Wenn der Zustand nieht stationar ist, d. h. sieh mit derZeit andert, so enthiilt die Wellenfunktion tp=tp(ql' 0 00, q,,; t) die Zeit t, und sie iindert sich gemaB der DifferentiaIgleichung

    ( "a h 0) - H 91" ,q"'2--:-a ' .. '2----O-a tp(ql,o,q,,; t) nJ ql nJ qt

    " a =2niattp(ql' .... q"; t). 18 D. h.: tp kann fiir t = to willkiirlich vorgegeben werden und ist dann fiir alle t eindeutig bestimmt. Auch die stationaren tp sind, wie der Vergleich der zwei Differentialgleichungen SCHRODINGERS lehrt, eigent-

  • 2. Die urspriinglichen Formulierungen der Quantenmechanik. 9

    lich t-abhangig, nur geht bei diesen t nach _ 2ni At

    "P(ql, ... ,qk; t)=e h "P(ql, ... ,qk; 0) ein. D. h. t tritt nur in einem von ql, . .. , qk unabhangigen (d. h. im Zustandsraume konstanten) Faktor yom Absolutwerte 1 auf, so daB sich z. B. die w. o. definierte Ladungsdichtenverteilung nicht andert. (Man wird iiberhaupt vermuten - und wir werden es durch die spateren genauen Dberlegungen bestatigt finden -, daB ein [Zustandsraum-] konstanter Faktor yom Absolutwert 1 bei "P prinzipiell unbeobacht-bar ist.)

    Da die Eigenfunktionen der ersten Differentialgleichung ein voIl-standiges Orthogonalsystem bilden 20, konnen wir jedes "P = "P (ql> . .. , qk) nach ihnen entwickeln. Die Eigenfunktionen seien "PI' "P2' . .. (alles wieder t-unabhangig!), ihre bzw. Eigenwerte AI' A2 , , die Entwick-lung lautet:

    00

    "P (ql' .. , qk) = .J;" an "Pn (ql' ., qk). 21 1

    Ist "P doch t-abhangig, SO wird t in die Entwicklungskoeffizienten an eingehen (die Eigenfunktionen "PI' "P2' . .. dagegen soIlen, jetzt wie auch stets im folgenden, von t nicht abhangen). Ist also das vorliegende "P = "P(ql'' qk) in Wahrheit "P(ql'' qk; to), so folgt mit Riick-sicht auf

    00

    "P = "P (ql' .. , qk; t) = .J;n an (t) "Pn, 1

    durch Koeffizientenvergleich aus der zweiten Differentialgleichung:

    d. h. _2ni}.n(t_to) _2",i, ...

  • 10 1. Einleitende Betrachtungen.

    Man sieht, die Begriffsbildungen und die praktischen Anweisungen der beiden Theorien lauten ziemlich verschieden. Trotzdem lieferten sie von Anfang an stets dieselben Resultate, selbst dort, wo beide von den alteren Fassungen der Quantentheorie abweichende Details er-gaben23 Diese bemerkenswerte Tatsache wurde, wie in I. 1. erwahnt, alsbald durch den Beweis ihrer mathematischen Aquivalenz durch SCHRODINGER erklart24. Diesem Gleichwertigkeitsbeweise wollen wir uns nun zuwenden, und dabei gleichzeitig die Dirac-Jordansche all-gemeine "Transformationstheorie" (die beide Theorien umfaBt) darlegen.

    3. Gleichwertigkeit der zwei Theorien: Die Transformationstheorie.

    Das Grundproblem der Matrizentheorie war, die Matrizen Ql' " ., Qk' PI' .. , Pk so zu bestimmen, daB erstens die Vertauschungsrela-tionen aus I. 2. (Seite 5) erfiillt sind, und zweitens eine gewisse Funktion derselben, H(QI"'" QkJ PI" " Pk), eine Diagonalmatrix wird. Diese Aufgabe wurde von BORN und JORDAN schon in ihrer erst en Veroffent-lichung folgendermaBen in zwei Schnitte zerlegt:

    Zunachst wurden irgendwelche Matrizen Ql"'" Qk' PI"'" PI.; aufgesucht, die nur den Vertauschungsrelationen zu geniigen brauchten - was leicht gelingt 25 ; dabei wurde in der Regel

    H = H(Ql"'" Qk' PI"'" P k) keine Diagonalmatrix. Sodann wurden die richtigen Losungen in der Form

    Ql = 5-1 Ql 5 , ... , Qk = 5-1 Qk S, PI = 5-1 E\ 5 , ... , P k = 5-1 PI.; 5 angesetzt, wobei 5 eine willkiirliche Matrix sein durfte (immerhin nur eine, die eine Inverse 5-1 mit den Eigenschaften 5-1 5 = 55-1 = 1 besitzt). Da aus der Giiltigkeit der Vertauschungsrelationen fiir - - - -

    Q1"'" Qk, PI"'" P k auch diejenige fUr Q1"'" QkJ PI"'" Pk folgt (identisch in 5!), und da 8 =H{Ql"'" 'Ok' PI"'" I\) in H = H (Q1' ... , Qk' PI' ... , P k) mit H = 5-1 85 iibergeht26 , ist von 5 iiberhaupt nur dieses zu verlangen: 5-1 85 solI eine Diagonalmatrix sein, wobei 8 gegeben ist. (Es ware allerdings auch noch darauf zu achten, daB 5-1 Ql 5, usw. hermitesch ausfallen, ebenso wie es die Ql' usw. waren. Indessen zeigt es sich bei naherem Zusehen, daB diese weitere Anforderung an 5 immer nachtraglich erfiillt werden kann, und deshalb solI sie bei der gegenwartigen orientierenden Betrachtung iiberhaupt unbeachtet bleiben.)

    Es gilt somit, ein gegebenes R nach dem Schema 5-185 auf die Diagonalform zu transformieren. Formulieren wir darum genau, was dies bedeutet!

  • 3. Gleichwertigkeit der zwei Theorien: pie Transformationstheorie. 11

    Die Matrix H habe diese Elemente hfly , die gesuchte Matrix 5 die Elemente Sflv , die (gleichfalls unbekannte) Diagonalmatrix H die Dia-gonalelemente wfP d. h. das allgemeine Element W'/)flv27. H = 5-1 H5 besagt dasselbe wie 5 H = HS, und dies bedeutet (wenn wir die, nach den bekannten Regeln der Matrizenmultiplikation bestimmten, ent-sprechenden Elemente einander auf beiden Seiten gleichsetzen):

    d. h. .l}. SUV' wy !5v/1 =.2)" h/,v' s"/1 ' .2)V huv' sV/1 = w{! s/'{!

    Die einzelnen Spalten S1 {!' s2 e' . .. der Matrix 5 (e = 1, 2, ... ) und die entsprechenden Diagonalelemente we der Matrix H sind also Losungen des sog. Eigenwertproblems, welches so lautet:

    .2)vh/,vx" = A'X/, (fl = 1, 2, ... ). (Die triviale Losung Xl = X2 = ... = 0 ist natiirlich auszuschlieBen.) In der Tat ist Xv = s"{!' A = w{! eine Losung. (X,. = 0, d. h. s"{! = 0 [fUr aile 11] kommt nicht in Frage, denn dann verschwande die e-te Spalte von 5 identisch, obwohl 5 eine Inverse 5-1 besitzt!) Bemerkens-wert ist nun, daB dies im wesentlichen die einzigen Losungen sind.

    Die obige Gleichung besagt namlich: das Transformieren des Vek-tors x = {Xl' X2 , } mit der Matrix H kommt seiner Multiplikation mit der Zahl A gleich. Wir transformieren X = {Xl' X2 , } mit 5-1 , es entsteht ein Vektor Y = {Y1' )'2' ... }. Transformieren wir )' mit H, so ist dies ein Transformieren von X mit H 5-1 = 5-1 H 5.5-1 = 5-1 . H . D. h. ein Transformieren von AX mit 5-1 , das Resultat ist also Ay. Nun hat Hy die Komponenten .2)v w

    "!5 f",y,, = w"Y/" AY die Kom-

    ponenten Ay,.. Also wird w."Y,1 = AYI' fUr alle fl = 1,2, ... verlangt, d. h. Y,I = 0, solange w,u =l= A ist. Nennen wir denjenigen Vektor, dessen e-te Komponente 1 ist, alle anderen aber 0, 1)e, so besagt dies: Y ist ein Linearaggregat derjenigen 1]e, fUr die we = A ist - insbeson-dere Null, wenn dies nie stattfindet. X entsteht durch Anwenden von 5 auf Y, also ist es ein Linearaggregat der mit 5 transformierten 1}e von vorhin. Die fl-te Komponente von 51)e ist (da die 'V-te von 1)e !5"1? war) .2)" s,"/)"e = S,I e' Fassen wir also die e-te Spalte von 5, S1/1' s2e' ... , als Vektor auf, so ist X Linearaggregat aller Spalten, fUr die we = A ist - insbesondere Null, wenn dies nie stattfindet. Damit ist un sere urspriingliche Behauptung bewiesen: die WI' W 2 ' sind die einzigen Eigenwerte, und die x" = s"e' A = we die im wesentlichen einzigen Losungen.

    Dies ist sehr wichtig: denn es bestimmt nicht nur die Kenntnis von 5, Halle Losungen des Eigenwertproblems, sondem wir konnen auch umgekehrt, sobald wir das Eigenwertproblem vollstandig gelost haben, daraus 5, H bestimmen. H z. B. so: die W,t sind einfach alle LosungenA, und jedes solcheA kommt in der Reihe WI' W2"" so oft vor,

  • 12 I. Einleitende Betrachtungen.

    als es zu ihm gehorige linear unabha.ngige Losungen Xl' X2 gibt 28 -damit sind die WI' W z schon bis auf ihre Reihenfolge festgelegt29.

    Das Kernproblem der Matrizentheorie ist also die Auflosung der Eigenwertgleichung

    E1 , 2}hl'''x" = A'XI' (Il = I. 2 ... ). Gehen wir nun zur WeIlentheorie tiber. Die Grundgleichung dieser

    Theorie ist die "Wellengleichung" E2, H cp (ql ... qk) = A cp (ql' .. qk) ,

    wobei H der bereits erorterte Differentialoperator ist - man sucht aIle Losungen cp (ql ... qk) und A. mit AusschluB der trivialen cp (ql ... qk) = 0, A beliebig. Dies ist dem analog, was bei E1, verlangt wurde: die Folge Xl' X 2 die wir auch als Funktion X" der "un-stetigen" Variablen v (mit den Variablenwerten I. 2 ... ) ansehen konnen. entspricht der Funktion cp (ql ... qk) mit den "stetigen" Va-riablen q1' .. qk; A spielt beidemal dieselbe Rolle. Nur zeigt die lineare Transformation

    recht wenig Ahnlichkeit mit der anderen cp (ql ... qk) -';- H cp (ql' .. qk) .

    Wie solI hier eine Analogie erreicht werden? Wir haben den Index v als Variable angesehen. und mit den k Va-

    riablen ql" .. qk in Parallele gestellt. d. h. eine positive ganze Zahl mit dem allgemeinen Punkte des k-dimensionalen Zustandsraumes (der von nun an Q heiBen moge). Daher dtirfen wir nicht erwarten. daB ..2" als Summe in Q tibertragen werden kann. vielmehr ist das Inte-gral J ... J ... dql ... dqk (oder ktirzer J ... dv. dv ist das Volum-

    !J U element dql .. dqkinQ) das richtigeAnalogon. DemMatrizenelementh,1Pl das von zwei Variablen von der Art des Index v abhangt. entspricht somit eine Funktion h (ql' ... qk; q~ ... q~). bei der ql ... qk und

    q~ . .... q~ unabhangig Q durchlaufen. Die Transformation xI' -+ 2,'" hl'''x" oder x" -';- ..2," hHx".

    geht dadurch in

    cp (ql' . qk) -+ J. .. J h (ql . qk; q~ qi,) cp (q~ . . . qi,) dq~ .. dq~ -----n-

    tiber, und das Eigenwertproblem El" daB wir auch als E1 ,

    schreiben konnen, in

    J . .. J h(ql' .. qk; q~ . .. qk)CP (q~ . .. q;,) dq~ . .. dqk '--,--'

    [J = A cp (ql ... q,J .

  • 3. Gleichwertigkeit der zwei Theorien: Die Transformationstheorie. 13

    Eigenwertprobleme von der Art Ea' sind in der Mathematik vielfach untersucht worden, und konnen in der Tat in weitgehender Analogie zu den Problemen E 1 behandelt werden. Sie heil3en "Integralglei-chungen"30.

    Leider hat aber E!. nicht diese Form, bzw. es kann nur dann auf diese Form gebracht werden, wenn zum Differentialoperator

    H = H (ql' ... , qk' 2~; -:-, .. , -2h . .:-) :lIa uql :n;~ uqk

    eine Funktion h(ql qk; q~.' .q~) gefunden werden kann, so daB identisch (d. h. fiir alle q; (ql ... qk)

    1. Hq;(qlqk) = L . f I. (ql' .. qk: q~ . .. qi) q; (q~ . .. q,,) dq~ . .. dqi.

    tr"' Dieses I. (ql ... qk: q~' .. q~) wird iibrigens, falls es existiert, "Integral-kern" der Funktionaloperation H genannt, und H selbst heiBt danll ein "Integraloperator".

    Nun ist eine solche Umformung im allgemeinen unmoglich, d. h. Dif-ferentialoperatoren H sind nie Integraloperatoren. Selbst der aller-einfachste Funktionaloperator, der jedes q; in sich selbst iiberfiihrt -er heiBe 1 - ist keiner. 'Oberzeugen wir uns hiervon, und zwar sei der Einfachheit halber k = 1. Verlangt wird:

    q; (g) = J I. (g, q') q; (g') dq'. -00

    Ersetzen wir hierin q; (q) durch q; (go + g), set zen wir q = 0, und fiihren wir die Integrationsvariable q" = q'-qo ein. Dann wird

    00

    q; (qo) = f I. (0, q" - qo)q; (q") dq". Ersetzen wir qo, q" durch q, q', so sehen - co

    wir, daB mit I. (q, q') auch I. (0, q' - q) unsere Aufgabe lOst, - daB wir also I. (q, g') als nur von q'-q abhangig voraussetzen diirfen. Dann wird

    q; (g) = J I. (q' - q) q; (q') dq' (I. (q, q') = I. (q' -q)) -co

    verlangt. Wie nochmaliges Ersetzen von q; (q) durch q; (qo + q) beweist, geniigt es, q = 0 ins Auge zu fassen, d. h.

    q; (0) = {I. (q) q; (q) dq. -0:>

    Ersetzen von q; (q) durch q; ( - q) zeigt, daB mit I. (q) auch h ( - q) L6sung . h(q)+h(-q) . 1st, also auch hI (q) = 2 ' so daB I. (q) als gerade Funkhon von q angenommen werden darf.

    DaB diese Bedingungen unerfiillbar sind, ist klar: wahlen wir q;(q) > 0 fUr q ~ 0, q; (0) = 0, so folgt aus As. q; (q) = 0 fiir q :e: 031.

  • 14 I. Einleitende Betrachtungen.

    Wahlen wir aber rp(q) = I, so ergibt sich J h(q)dq = I - wahrend - 00

    aus dem Obigen mit Sicherheit J h (q) dq = 0 folgt. - 00

    DIRAC fingierte trotzdem die Existenz einer solchen Funktion

    A4 b (q) = 0 fUr q ~ 0, Dieselbe wiirde As. erfUllen:

    b (q) = b ( - q) , ] b (q) dq = 1. -00

    J b (q) rp (q) dq = rp (0) J b (q) dq + J b (q) (rp (q) - rp (0)) dq -00 -OJ-oo

    co

    = rp (0) . I + J 0 . dq = rp (0) , -00

    also auch .11" .1s' Man so11 sie sich somit iiberall, auBer im Nullpunkte, verschwindend vorstellen, aber in ihm derartig unendlich graB, daB insgesamt doch das Integral I fUr b(q) herauskommt32

    Hat man einmal diese Fiktion akzeptiert, so gelingt es, die ver-schiedensten Differentialoperatoren als Integraloperatoren darzustellen - falls man neben b (q) auch seine Differentialquotienten einfiihrt. So findet man: 00 00

    ddq"n rp (q) = d:n J b (q - q') rp (q') dq' = J :;n b (q - q') . rp (q') dq' -00 -GO

    = J bin) (q - q') rp (q') dq', -00

    qn. rp (q) = lb (q - q') qn. rp (q') dq', -00

    dn d. h. dqn bzw. qn... haben dIe Integralkerne bin) (q - q'l, bzw. b (q - q') qn. N ach dem gleichen Schema kann man auch die Integral-kerne beliebig komplizierter Differentialoperatoren aufsuchen. Bei mehreren Variablen qI' ... , qk fiihren b-Pradukte ans Ziel, z. B.: J. . .J b (ql - q~) b (q2 - q;) ... b (ql; - q;:) rp (q~ ... q~) dq~ ... dq~

    ~~ !l

    =-l [ ... [_I [-Zrp (q~q~ . . q~)b(qi - q~)dq~J b{q2 - q;)dq;] . .. ] b (qk - q~) dq~

    =-ll . [_I rp(qIq; .. q~) b(qz- q;)dq;] . .. ] b(qk-- q;') dq;' = ... = rp (qi q2' .. qk),

    J. .. J b'(ql - q~) t5 (q2 - q~) . .. b (qk - q~) rp (q; ... q~) dq; ... dq~ ---' {l

  • 4. Gleichwertigkeit der zwei Theorien: Der Hilbertsche Raum. 15

    So kann die Integraldarstellung I. praktisch fUr alle Operatoren erzwungen werden.

    Sobald man diese Darstellung hat, ist die Analogie der Probleme Er und Es' eine vollkommene: man hat nur ')I, ')I', .lY, x durch ql" 'qk'

    q~" 'q~, f . f ... dq~' . dq~, rp zu ersetzen. Wie die Vektoren Xv den -----!)

    Funktionen rp(ql" 'qk) entsprechen, mtissen den Matrizen hvv' die Integralkeme h (ql ... qk; q~'" q~) zur Seite gestellt werden; noch zweckmaBiger aber ist es, die Integralkeme direkt als Matrizen anzu-sehen, und dabei die ql' . 'qk als Zeilen und die q~' . 'q~ als Spalten-indices zu bezeichnen (')I bzw. ')I' entsprechend). Man hat dann neben den gewohnlichen Matrizen {hpy'} mit diskreter (durch die Num-mem 1, 2, . .. gekennzeichneter) Zeilen- und Spaltengesamtheit auch andere {h(ql' . 'qk; q~" 'q~)} (die Integralkeme), fUr welche beide Ge-samtheiten durch je k, kontinuierlich tiber ganz Q laufenden, Variablen gekennzeichnet sind.

    Diese Analogie mag bloB formal erscheinen, ist es aber in Wahrheit nicht: denn auch die Indices ')I bzw. ')I' konnen als Koordinaten in einem Zustandsraume angesehen werden, namlich wenn man sie als Quanten-zahlen (im Sinne der Bohrschen Theorie: als Nummem der, durch die Verbote der Quantenbedingungen diskret gewordenen, moglichen Bahn-kUrven im Phasenraume) deutet.

    Wir wollen diese Gedankengange, die durch DIRAC und JORDAN zu einer einheitlichen Theorie der Quantenvorgange ausgestaltet wurden, bier nicht weiter verfolgen. Die "uneigentlichen" Gebilde (wie

    ~ (x), ~'(x), ... ) spielen in ihnen eine entscheidende Rolle - sie liegen auBerhalb des Rahmens der allgemein tiblichen mathematischen Me-thoden, und wir wollen die Quantenmechanik mit Hilfe dieser letzteren beschreiben. Wir gehen daher zur anderen (Schrodingerschen) Methode der Vereinheitlichung beider Theorien tiber.

    4. Gleichwertigkeit der zwei Theorien: Der Hilbertsche Raum.

    Die in I. 3. skizzierte Methode kam darauf heraus, den "diskreten" Raum der Indexwerte, Z = (1, 2, ... ), mit dem kontinuierlichen Zu-standsraum Q des mechanischen Systems (Q ist k-dimensional, wenn k die Zahl der klassisch-mechanischen Freiheitsgrade ist) in Analogie zu setzen. DaB dies nicht ohne einige GewalWitigkeit an Formalismus und Mathematik gelingen kann, ist kein Wunder: die Raume Z und Q sind wirklich sehr verschieden, und jeder Versuch, sie in Beziehung zu setzen, muB auf groBe Schwierigkeiten stoBen33

    Das, worauf es uns aber in Wahrheit ankommt, ist gar nicht eine Beziehung von Z zu Q, sondem nur eine solche zwischen ihren bzw.

  • 16 1. Einleitende Betrachtungen.

    Funktionen: d. h. zwischen den Folgen Xl' X 2 , , die die Funktionen in Z sind, und den Wellenfunktionen q;(ql" 'qk), die die Funktionen in Q sind. Denn diese sind es allein, die in die Fragestellungen der Quantenmechanik eingehen.

    In der Schrodingerschen Theorie spielte das Integral

    r . -J I q; (ql' 'qk) 12 dql' . dqk -.,.........-

    u

    eine groBe Rolle - es muBte = 1 sein, damit q; zu physikalischen Aussagen verwendbar sei (vgl. 1. 2.). In der Matrizentheorie dagegen (vgl. das Problem Er in 1. 3.) spielt der Vektor Xl' x2 , eine ent-scheidende Rolle, und diesem wird, iIll Sinne der Hilbertschen Theorie solcher Eigenwertprobleme (vgl. a. a. O. Anm. 30) stets die Bedingung der Endlichkeit von .2~ I X~ 12 auferlegt. Es ist sogar ublich. schon urn die triviale Losung X~ = 0 auszuschlieBen, die Normierung .2" I X~ 12 = 1 vorzunehmen. Somit ist es in Z bzw. Q nahegelegt, den Kreis der zu-lassigen Funktionen auf solche mit endlichem

    .2"1 Xv 12 bzw. r J I q;(ql" 'qk) 12 dql' "dq" ---v--"

    !J

    einzuschranken, denn nur bei solchen Funktionen kann man durch Multiplizieren mit einer Konstanten die genannte .2" bzw. J ... J gleich 1

    -------

    1J machen - d. h. eine Losung im ublichen Sinne normieren3'. Wir nennen diese Funktionengesamtheiten F z bzw. F n.

    Nun gilt der Satz: F z und F n sind isomorph (FISCHER und F. RIEsz35). Das bedeutet prazis folgendes: Es ist moglich, eine ein-eindeutige Zu-ordnung zwischen Fz und Fn zu stiften, d. h. jeder Folge Xl' x2 , mit endlicher .2" 1 x" i2 eine Funktion q; (ql' . 'q,,) mit endlichem J ... J I q;(ql' . 'q,,) 12 dql" dqk zuzuordnen, und umgekehrt - derart,

    ~ Q

    daB diese Zuordnung linear und langentreu ist. Dabei bedeutet "Lineari-tat": entspricht Xl' X2, . . . q; (ql' . 'qk) und YI' Y2' tp (ql .. 'qk) , so entsprechen a Xl' a X2, .. und Xl + YI' X 2 + Y2' ... bzw. aq;(ql"'qk) und q;(ql"'q,,) +tp(ql"'qk); und "Langentreue" fUr einander zugeordnete Xl' x2,... und q;(ql" 'qk) ist .2"1 X~ 12 = r -J I q;(ql" 'qk) 12 dql" dq". (Das Wort "Langentreue" riihrt

    ---;) daher, daB es iiblich ist, die Xl' X2, .. und q;(ql" 'q,,) als Vektoren aufzufassen, und 1" .2" I x" 12 bzw. Y J ... J I q;(ql" 'qk) 12 dql" ,dq" als

    -.,.........-

    !} ihre "Langen" anzusehen.} Es gilt sogar etwas mehr: sind namlich Xl' x2, und YI' Y2"" bzw. q;(ql" 'qk) und tp(ql" 'qk) zugeordnet, so ist

    . x,;y" = J. ' , J q; (ql ' , 'q,,) tp (ql ' , 'q,,) dql dq,,) --.,..........

    n

  • 4. Gleichwertigkeit der zwei Theorien: Der Hilbertsche Raurn. 17

    (und zwar sind beide Seiten absolut konvergent). Zu diesem letzteren Punkte ist noch zu bemerken, daB man wohl eigentlich

    .2" x" = f .. f

  • 18 II. Allgemeines liber den abstrakten Hilbertschen Raum.

    selbst die genannten Eigenschaften36, und diese gehen bei der iso-morphen 'Obertragung auf F z nicht verloren.

    Da die Systeme F z und F n isomorph, und die auf sie aufgebauten Theorien der Quantenmechanik mathematisch gleichwertig sind, ist es zu erwarten, daB ein einheitlicher, von den Zufalligkeiten des jeweils gewahlten formalen Rahmens unabhangiger und nur die sachlich wesentlichen Ztige der Quantenmechanik aufweisender Aufbau dann gelingen wird, wenn man nach den inneren, Fz und F n gemeinsamen Eigenschaften der Funktionengesamtheiten sucht, und diese zum Ausgangspunkte wahlt.

    F z wird allgemein als "Hilbertscher Raum" bezeichnet. Es wird uns also in erster Linie darauf ankommen, die inneren, von der spe-ziellen Einkleidung Fz oder F n unabhangigen, Eigenschaften des Hilbertschen Raumes aufzusuchen. Das mathematische Gebilde, das durch diese Eigenschaften beschrieben ist (und das im konkreten Einzelfalle der Rechnung Fz oder F n gleichzusetzen ist, aber fUr all-gemeine Zwecke bequemer zu handhaben ist als diese), heiBe der "ab-strakte Hilbertsche Raum".

    Wir wollen also den abstrakten Hilbertschen Raum beschreiben, und dann in aller Strenge die folgenden Punkte beweisen:

    1. DaB der abstrakte Hilbertsche Raum (kurz: H. R.) durch die anzugebenden Eigenschaften eindeutig gekennzeichnet ist, d. h. daB er keine wesentlich verschiedenen Interpretationen mehr zulaBt.

    2. DaB seine Eigenschaften sowohl F z als auch F [J zukommen. (Damit werden die in I. 4. nur qualitativ erlauterten Dinge streng

    bewiesen sein.) Wenn das erfolgt ist, werden wir den so gewonnenen mathematischen Apparat zum Aufbau der Quantenmechanik ver-wenden.

    II. Allgemeines tiber den abstrakten Hilbertschen Raum.

    1. Charakterisierung des H. R. Wir haben das am SchluB von I. 4. aufgestellte Programm durch-

    zufUhren: Den H. R., der die mathematische Basis zur Behandlung der Quantenmechanik abgibt, so zu charakterisieren, daB dabei keine anderen Begriffe Verwendung finden als diejenigen, die nachher in der Quantenmechanik gebraucht werden, und die demgemaB im "diskreten" FunktionenraumeFz der Folgen x,,(v= 1,2, ... ) genauso Sinn haben wie im "kontinuierlichen" F n der Wellenfunktionen q; (ql' . 'qk) (ql"" ,qk durchlaufen den Zustandsraum Q). Diese Begriffe sind, wie wir schon andeuteten, die folgenden:

  • 1. Charakterisierung des H. R. 19

    a) Das "skalare Multiplizieren", d. h. das Multiplizieren einer (komplexen) Zahl a mit einem Element t des H. R: at. In F z wird so aus x,. ax", in F Q aus rp(qI"'qk) arp(qI"'qk)'

    (i) Das Addieren und Subtrahieren von zwei Elementen t, g des H. R: t g. In Fz wird so aus x" und y" bzw. x" y", in F Q aus rp (ql' .. qk) und 1p (ql' .. qk) bzw. rp (ql' .. qk) 1p (ql ... qk)'

    y) Das "innere Multiplizieren" von zwei Elementen t, g des H. R, welches aber nicht wie a), (j) ein Element des H. R, sondern eine (kom-plexe) Zahl ergibt: (f, g). In F z wird so aus x" und y. 2;" x" y", in F Q aus rp(ql' .. qk) und 1p(ql'" qk) r -J rp(ql'" qk) 1p(ql'" qk) dqI" . dqk'

    -n (Die Definitionen in F z und F Q sind noch durch entsprechende Kon-vergenzbeweise zu erganzen. Diese werden wir in II. 3. erbringen.)

    Dbrigens werden wir im folgenden die Punkte des H. R konse-quenterweise mit t, g, ... , rp, 1p, bezeichnen, komplexe Zahlen mit a, b, ... , X, y, ... , und positive ganze Zahlen mit k, l, m, ... , f1, , Y, Den H. R wollen wir, wo es notwendig ist, auch moo nennen (als Ab-kurzung fUr "oo-dimensionaler Euklidischer Raum", analog zur ub-lichen Bezeichnung m .. fUr den "n-dimensionalen Euklidischen Raum" [n = 1,2, ... J).

    Das Bemerkenswerte an den Operation en at, t g, (f, g) ist, daB es genau die Grundoperationen der Vektorrechnung sind; etwa die, die die Begrundung der Strecken- und Winkelrechnung in der Eukli-dischen Geometrie ermoglichen oder in der Punktmechanik das Rechnen mit Kraft und Arbeit. Am klarsten wird die Analogie bei F z, wenn man statt der Xl' X2 ' in moo die gewohnlichen Punkte Xl"'" X .. eines mn betrachtet (fur die ja die Operationen a), (j), y) genau so aus-fuhrbar sind). Fur n = 3 insbesondere hat man die Verhaltnisse des gewohnlichen Raumes; u. U. ist es zweckmaBiger, die Xl' ... , Xn nicht als Punkte, sondern als Vektoren (etwa vom Punkte 0, ... , 0 nach dem Punkte Xl" .. , Xn weisend) aufzufassen.

    Urn den abstrakten H. R zu kennzeichnen, legen wir also die vek-toriellen Grundbeziehungen at, t g, (f, g) zugrunde. Und zwar werden wir gleichzeitig mit dem moo auch aIle m .. mit erfassen, wie die nun folgende Diskussion es zeigen wird. Daher verwenden wir dort, Vio wir uns noch nicht zwischen moo und den mn entscheiden wollen, als Ter-minus neutralis fUr den Raum, m.

    Als erstes postulieren wir fUr m die typischen Vektoreigenschaften 37 : A. mist ein linearer Raum. D. h.: in mist eine Addition t + g und eine "skalare" Multipli-

    kation at definiert (f, g Elemente von ~, a eine komplexe Zahl -t + g, at gehoren zu ~) und es hat ein Element 0 38. Fur diese gelten die bekannten Rechenregeln der Vektoralgebra:

  • 20 II. Allgemeines tiber den abstrakten Hilbertschen Raum.

    l+g=g+1 (f + g) + h = I + (g + h)

    a (f + g) = a I + a g ,

    (ab)/=a(b/) 0/=0, 1/=1

    (Kommutativitat der Addition), (Assoziativitat der Addition),

    (a + b)1 = a 1+ b I (Distributivitat der M ul tiplikation),

    (Assoziativitat der Multiplikation), (Rolle von Null und Eins).

    Die hier nicht erwahnten Rechengesetze olgen aus diesen Postu-laten miihelos. Z. B. die Rolle der Null bei der Addition:

    I + 0 = 1 1 + 0 1 = (1 + 0) 1 = 1 1 = I Oder die eindeutige Moglichkeit der Subtraktion: Wir definieren

    dann ist -1=(-1)1, I - g = I + (- g) , (/-g)+g:(I+(:=g))+g 1 =1+((-1)g+lg)

    -1+(( g)+g), =1+((-I)+I).g (I + g) - g = (f + g) + ( - g) f = I + 0 . g = f + 0 = I .

    =I+(g+(-g)), Oder die Distributivgesetze der Multiplikation beim Subtrahieren:

    a (I - g) = a1 + a (-g) = at + a.((-I) .g) = al + (a. (-I))g = a f + (( - 1) . a). g = a f + (- a g) = a f - a g ,

    (a - b) . f = a1 + (- b) . I = a 1+ (( - 1) b) . f = al + (- b I) = a 1- b t Es lohnt sich nicht, diese Dinge weiter zu verfolgen, da es ohne weiteres einleuchtet, daB hier alle Rechenregeln der linearen Vektorrechnung giiltig bleiben.

    Wir konnen daher, wie bei Vektoren, definieren, wann gewisse Elemente 11' ... , Ik von ~ linear unabhangig sind:

    Delinition 1. 11"'" h sind linear unabhangig, wenn aus adl + ... + adk = 0 (a1,, ak komplexe Zahlen) a1 = ... = ak = 0 olgt.

    Weiter deinieren wir das Analogon der linearen Gebilde der Vektor-rechnung (durch den Nullpunkt gehende Gerade, Ebene, usw.), die lineare Mannigaltigkeit.

    Definition 2. Eine Teilmenge 9R von m heiBt lineare Mannig-faltigkeit, wenn sie mit irgendwelchen k (= 1, 2, ... ) ihrer Elemente 11, ... , Ik auch deren Linearaggregate adl + ... + adk mit enthalt 39 . -Wenn m eine beliebige Teilmenge von mist, so ist die Menge aller adl + ... aklk (k = 1,2, ... , a1, ... , ak beliebige komplexe Zahlen, 11' ... , Ik beliebige Elemente von ~l) eine lineare Mannigaltigkeit, die offenbar m enthalt; und es ist klar, daB sie Teilmenge einer jeden

  • 1. Charakterisierung des H. R. 21

    anderen, 2! enthaltenden linearen Mannigfaltigkeit ist. Sie heil3e "die von 2! aufgespannte lineare Mannigfaltigkeit", in Zeichen: {2!}.

    Ehe wir diese Begriffe weiter ausgestalten, formulieren wir das nachste Grundprinzip der Vektorrechnung, die Existenz des inneren Produktes:

    B. In mist ein Hermitesches inneres Produkt definiert. D. h.: Es ist (f, g) definiert (I, g von ~ - (f, g) eine komplexe

    Zahl), und es hat die folgenden Eigenschaften: (/' + /", g) = (/', g) + (j", g) (Distributivitat des ersten Faktors),

    (a. I, g) = a (I, g) (Assoziativitat des ersten Faktors), (f, g) = (g:j) (Hermitesche Symmetrie), (I, f) > 0, und nur = 0 fUr I = 0 40 (Definitat) .

    Aus den zwei Eigenschaften des erst en Faktors folgt iibrigens wegen der Hermiteschen Symmetric Entsprechendes fUr den zweiten Faktor (man vertausche die fund g, und nehme von beiden Seiten das komplex Konjugierte):

    (f, g' + gil) = (f, g'l + (I, gil), (j, a g) = Ii (I, g) .

    Dieses inn ere Produkt ist von groBer Wichtigkeit, weil es die De-finition der Entfernung ermoglicht. 1m Euklidischen Raume wird bekanritlich der Betrag eines Vektors I durch lit II = y(f, I) definiert 41 , und die Entfernung von zwei Punkten I, g durch II t-g II. Hieran wollen wir ankniipfen.

    Delinition 3. Der "Betrag" eines I von mist II I II = Y (f, I), die "Entfernung" zweier I, g II 1-g II 42

    DaB dieser Begriff wirklich alle Eigenschaften der Entfernung hat, werden wir gleich sehen. Wir beweisen zu diesem Zwecke:

    Satz 1. Es ist stets I (f, g) I < II I 11'11 gil Beweis: Zunachst ist (wenn z = u + iv eine komplexe Zahl ist -

    U, v reell -, so sind Re z, 1m z der Real- bzw. Imaginarteil von z, d. h. Re z = ~t, 1m z = v) 11/112 + IIgl!z-2Re(j, g)=(j, I) + (g, g)-(/, g)- (g,/) = (I-g, I - g) 2:0,

    Re (I, g) < HI I 112 + "g JIZ) . Ersetzen wir I, g durch a I, ! g (a reell und > 0), so andert sich die linke Seite, wie man leicht erkennt, nicht. Aus der rechten aber wird -} (a2 11 I 112 + ;2 II g W). Da dies > Re (f, g) ist, gilt dies auch noch fUr sein Minimum, welches II I 11'11 g II betragt (wird fiir t, g 9= 0 bei

    lllfiIT f" fOb 0 f" b a = Y m angenommen, ur = zw. g = ur a -+ + 00 zw.

  • 22 II. Allgemeines iiber den abstrakten Hilbertschen Raum.

    ~ + 0 approximiert). Also ist Re(l, g) 0, und zwar = 0 nur fur 1=0. Es ist 1/ a' I " = I a I'" I ". Es ist stets II I + g " < II I " + II g ", das = -Zeichen gilt nur. wenn I, g bis auf einen konstanten, reellen und > 0, Faktor ubereinstimmen.

    Be'/ieis: Die zwei erst en Behauptungen haben wir schon w. o. als richtig erkannt. Die Ungleichheit der dritten beweist man so:

    (I + g, I + g) = (f, I) + (g, g) + (f, g) + (g, I) = 1/ I 1/ 2 + "g" 2 + + 2 R (f, g) < " I 1/2 + 1/ g !/2 + 2" I /I. " g" = (" I" + "g" )2,

    "I + g" < II I" + "g II Damit = gelte, muB Re (I, g) = 1/ I II' " g 1/ sein, was auf Grund der Betrachtungen des obigen Zusatzes I oder g = 0 oder g = a21 = cl (c reeIl, > 0) nach sich zieht. DaB in diesem FaIle wirklich = gilt, ist klar.

    Aus Satz 2 .. folgt nun sofort, daB die Entfemung 1/ I -g" die fol-genden Eigenschaften hat: I, g haben die Entfemung 0 fUr I = g, und sonst nie. g, I haben dieselbe Entfemung wie I, g. Die Entfemung von I, h ist

  • 1. Charakterisierung des H. R. 23

    Das sind aber gerade diejenigen Eigenschaften des Entfernungs-begriffes, die in de. Geometrie (und Topologie) die Zuriickfiihrung der Begriffe Stetigkeit, Beschranktheit, Haufungspunkt usw. auf den Ent-fernungsbegriff ermoglichen. Hiervon wollen wir Gebrauch machen, und definieren:

    Eine Funktion F (I) in ffi (d. h. fiir die I von ffi definiert, und als Werte entweder stets Punkte von ffi oder stets komplexe Zahlen an-nehmend) ist an der Stelle 10 (in ffi) stetig, wenn zu jedem e> 0 ein c5 > Oexistiert, so daB III-loll c(n). Es gibt genau n linear unabhangige Vektoren.

  • 24 II. Allgemeines tiber den abstrakten Hilbertschen Raum.

    D. h.: es ist wohl moglich, n solche Vektoren anzugeben, aber n + 1 gibt es nicht.

    Existiert dagegen keine Maximalzahl, so haben wir: C( 00). Es gibt beliebig viele linear unabhangige Vektoren. D. h.: fiir jedes k = I, 2, ... kann man k solche Vektoren an-

    geben. C. ist also kein eigentliches neues Postulat: gelten A., B., so muB

    ein C('!). oder C(oo). gelten. Je nachdem fiir welches wir uns entscheiden, erhalten wir einen anderen Raum m. Wir werden sehen, daB aus c(n). folgt, daB m aIle Eigenschaften des n-dimensionalen (komplexen) Eukli-dischen Raumes hat. C(oo).geniigt dagegen noch nicht, urn die Wesens-gleichheit von m mit dem H. R. moo zu sichern, wir brauchen vielmehr noch zwei Postulate D., E. dazu. Praziser stehen die Dinge so: Wir werden zeigen, daB ein m mit A., B., c(n). aIle Eigenschaften des mn hat, insbesondere auch die gleich zu nennenden D., E. (welche also aus A., B., c(n). folgen). Ferner werden wir zeigen, daB ein m mit A., B., C(oo)., D., E. aIle Eigenschaften des moo hat, aber daB dabei D., E. wesentIich sind (d. h. aus A., B., C(oo). folgen sie nicht). Wir gehen also dazu iiber, D., E. zu formulieren, den Nachweis aber, daB alle mn , moo auch diese Eigenschaften besitzen, werden wir erst spater erbringen (vgl. II. 3).

    D. mist vollstandig45 D. h.: Wenn eine Folge 11,/2,' .. in m der Cauchyschen Konver-

    genzbedingung geniigt (zu jedem e > 0 existiert ein N = N (e), so daB aus m, n "?:. N 111m - In" < e folgt), so ist sie konvergent, d. h. sie besitzt einen Limes I (vgl. die w. o. erfolgte Definition dieses Begriffes).

    E. mist separabel45 D. h.: Es gibt eine Folge 11,/2,'" in m, die in m iiberall dicht ist. In II. 2. werden wir, wie angekiindigt, auf dieser Grundlage die

    "Geometrie" von m entwickeln, und ihre "Obereinstimmung mit der-jenigen von m" bzw. moo erkennen.

    2. Geometrie des H. R. Wir beginnen mit zwei Definitionen. Die erste enthalt von der

    geometrischen Winkelrechnung gerade soviel, als fiir unsere Zwecke notig ist: den Begriff des rechten Winkels - der OrthogoIialitat.

    Delinition 4. Zwei I, g von m sind orthogonal, wenn (I, g) = 0 ist. Zwei lineare Mannigfaltigkeiten IDl. m sind es, wenn jedes Element von IDl zu jedem von m orthogonal ist. - Eine Menge () heiBt ein normiert orthogonales System, wenn fiir alle I. g von ()

    (I. g) = { ~ fiir I=g fiir I=f=g

  • 2. Geometrie des H. R. 25

    ist (d. h.: je zwei verschiedene Elemente sind orthogonal, und jedes Element hat den Betrag 146). Insbesondere solI () vollstandig heiBen, wenn es nicht Teilmenge eines anderen normierten Orthogonalsystems sein kann, welches noch weitere Elemente besitzt47.

    Wir bemerken noch: DaB das normierte Orthogonalsystem () voll-standig ist, besagt offenbar, daB kein t mit II t II = 1 existiert, das zu ganz 0 orthogonal ist (vgl. Anm. 46). Ware aber bloB t =+= 0 und t zu ganz 0 orthogonal, so ware fUr f' =,1 ~ ii . t (es ist ja IIIII > 0) alles Obige erflillt: II f' II = -II ~ i I II t II = 1 ,f' zu 0 orthogonal. Also besagt die Vollstandigkeit von 0: jedes zu ganz 0 orthogonale t muB ver-schwinden.

    Die zweite Definition ist derart, daB sie bloB in ffioo eine wesentliche Rolle spielt, da in ffin jede lineare Mannigfaltigkeit von der in ihr be-schriebenen Art ist (vgl. am Ende von II. 3). Daher k6nnen wir kein geometrisch-anschauliches Bild von ihr geben.

    Definition 5. Eine lineare Mannigfaltigkeit, die gleichzeitig abge-schlossen ist, heiBe eine abgeschlossene lineare Mannigfaltigkeit. Wenn m irgendeine Menge in ffi ist, und wir zu {m} (der von m aufgespannten linearen Mannigfaltigkeit) aIle seine Haufungspunkte hinzufUgen, so entsteht eine abgeschlossene lineare Mannigfaltigkeit, die m enthalt. Und zwar ist sie Teilmenge einer jeden anderen abgeschlossenen linearen Mannigfaltigkeit, die auch m enthalt 48 . Wir nennen sie die von m auf-gespannte abgeschlossene lineare Mannigfaltigkeit, in Zeichen: (2(].

    Nunmehr gehen wir zur genaueren Analyse von ffi, insbesondere der vollstandigen normierten Orthogonalsysteme liber. Bei Satzen, die auBer A., B. auch c(n). oder C(oo)., D., E. voraussetzen, fUgen wir den Index (n) bzw. (00) hinzu; solche aber, die in beiden Fallen gelten, erhalten keinen Index.

    Satz 3(n). Jedes normierte Orthogonalsystem hat < n Elemente, vollstandig ist es dann und nur dann, wenn es n Elemente hat.

    Bemerkung: Aus der ersten Behauptung folgt, daB es fUr normierte Orthogonalsysteme eine maximale Elementezahl gibt; diejenigen Systeme, die dieselbe erreichen, sind nach Definition vollstandig. Somit gibt es im FaIle c(n). voIlstandige Orthogonalsysteme, sie haben nach obigem n Elemente: ({Jt, ({J2' , ({In

    Beweis: Jedes normierte Orthogonalsystem ist (wenn es endlich ist) linear unabhangig. Es heiBe etwa ({Jt' ({J2' ' ({Jm' aus

    at({Jt + ... + am({Jm = 0 folgt durch innere Produkt bildung mit ({J" (,." = 1, 2, ... , m) a" = O. Folglich kann es nach c(n). nicht n + 1 Elemente haben, ~in be-liebiges normiertes Orthogonalsystem kann also keine Teilmenge mit n + 1 Elementen haben. Daher ist es endlich, und hat < n Elemente.

  • 26 II. Allgemeines tiber den abstrakten Hilbertschen Raum.

    Eines mit n Elementen HiBt somit keine Erweiterung zu, ist also vollstandig. Eines mit m < n Elementen, fIJI' flJ2' .. , flJm, ist aber nicht vollstandig: Denn da es unter den Linearaggregaten aIflJl + ... +amfIJm keine n> m linear unabhangige gibt, gibt es nach o(n). solche I, die von allen alfIJl + ... + am flJm verschieden sind, d. h.

    "P = l-alfIJI- . -am flJm

    istimmer +0. Nun bedeutet ("P, fIJ~l) =0 a~I=(I, fIJ,,) (,u = I, 2, ... , m), es ist also fUr aIle,u erreichbar - also unser System unvollstandig.

    Satz 3(00). Jedes normierte Orthogonalsystem ist endlich oder eine (abzahlbar-) unendliche Folge; wenn es vollstandig ist, so ist sie sieher unendlich.

    Bemerkung: Wir k5nnen daher alle normierten Orthogonalsysteme als (eventuell abbrechende, d. h. endliche) Folgen schreiben: fIJI' flJ2' .. , was auch geschehen solI. Man beachte, daB die Anzahl der Elemente des Systems fur seine Vollstandigkeit nur notwendig ist, aber nicht hinreichend49, nicht wie bei o(n).

    Beweis: Sei 0 ein normiertes Orthogonalsystem, I, g zwei ver-schiedene Elemente von ihm. Dann ist

    (I - g, 1- g) = (I, f) + (g, g) - (I, g) - (g, I) = 2, 11/- gil = 12 Sei nun 11,/2"" die nach E. vorhandene, in 8l uberall diehte Folge. Fur jedes I von 0 existiert ein 1m dieser Folge mit III-1m II < i V2. Fur I, g mussen die entsprechenden 1m, In verschieden sein, denn aus Im= In folgte ' //1 -gll=11 (I-Im)-(g-Im) II < II/-imil + Ilg-lmll

  • 2. Geometrie des H. R.

    N Es ist / = ..2" a" q;" + "P, also

    1 N N N

    (/. /) = .I), " a}< a" (q;!" q;,,) + .1) a" (q;r' "P) + .2" a,,("P, q;,,) + ("P, "P) 1 1 1 N N

    = .2" 1 a" 12 + ("P. "P) > .2.1 a .. 12, 1 1

    N

    27

    d. h . .2" I a" 12 < II f 11 2 Ist das System q;l> q;2' ... endlich, so folgt 1

    hieraus sofort .2" I a" 12 < II f 112; ist es unendlich, so ergibt N ~ 00 die (absolute) Konvergenz von .2" I a" 12, sowie daB es < II f 112 ist. Die zweite Behauptung ist damit bewiesen.

    Wegen I (I, q;,,) (g, q;.) I ~ HI (j, q;.) 12 + I (g, q;.) 12} folgt aber aus unserem Konvergenzresultat auch die allgemeinere Konvergenzaussage der erst en Behauptung.

    Satz 5. Sei q;1' q;2' . .. ein unendliches normiertes Orthogonal-OJ

    system. Dann konvergiert die Reihe .2" x"q;" dann und nur dann, 1

    co

    wenn es .2" I x" 12 tut (die letztere Reihe hat reelle Zahlen > 0 als 1

    Glieder, ist also konvergent oder eigentlich divergent gegen + (0). Beweis: Nur fUr C M ;;::::: Nan, dann ist

    1 1 L M L

    11.2"X"q;" - 2:"x"q;" II = 11.2 x"q;" II < e, 1 1 M+l

    L L L L L II .2. X" q;" 112 = (.2"x"q;", .1}-X"q;,,) = .21',,,X}

  • 28 II. Allgemeines fiber den abstrakten Hilbertschen Raum. N

    Beweis: Fur N > ')I ist (2} X!I fIJI" flJ7) gleich I

    N 2:." X,.. (({l.IA' fIJ,,) = X". I .

    Bei endlichem System fIJI' ({ll' . konnen wir N dem hOchsten Index gleichsetzen; bei unendlichem System fIJI' flJ2"" konnen wir, mit Riicksicht auf die Stetigkeit des inneren Produktes N -+- 00 lassen. In beiden FaIlen wird (1, ((l",) = X/I herauskommen.

    Satz 6. Sei fIJI' fIJI' ein normiertes Orthogonalsystem, I beliebig. I' = L) x"({l,,, X" = (I, fIJ,,) (')I = 1, 2, ... ) ist, wenn die Reihe iiber-haupt unendlich ist, immer konvergent. I - I' ist ZU fIJI' flJ2' or-thogonal.

    Beweis: Die Konvergenz folgt aus Satz 4.,5., und nach dem Zusatz zu Satz5. ist (I', fIJ,,) = X,,= (I, ({l,,), (I-I', fIJ,') = O.

    Wir konnen nach diesen Vorbereitungen allgemeine. d. h. auch bei O( co). giiltige Kriterien der Vollstandigkeit normierter Orthogonal-systeme angeben.

    Satz 7. Sei fIJI' fIJI' ein normiertes Orthogonalsystem. Fiir die Vollstandigkeit ist dann eine jede der folgenden Bedingungen not-wendig und hinreichend:

    a) Die von fIJI' fIJI"" aufgespannte abgeschlossene lineare Mannig-faltigkeit [fIJI' flJ2' ] ist gleich 9l.

    (l) Es ist stets I = L" x"({l,,. X,. = (1, ({l,,) (v = 1, 2, ... , Konver-genz nach Satz 6.).

    y) Es ist stets (I. g) =.2" (I. fIJ,,) (g. fIJ~)

    (absolute Konvergenz nach Satz 4.). Beweis: Wenn fIJI' fIJI"" vollstandig ist. so ist 1-.2"X"fIJ"

    (x" = (I. fIJ,,). " = 1.2 ... ), da es nach Satz 6. zu fIJI' fIJ", .. ortho-gonal ist. gleich O. D. h. (l) ist erfiillt. Gilt (l). so ist jedes I der Limes

    N seiner 2 .. x" fIJ". N -+- 00 (wenn fIJI' ({l2. . iiberhaupt unendlich ist) ,

    I gehOrt also zu [fIJI' ({ll' . J. Daher ist dann [fIJI' flJl, .. J = 9l. d. h. a) erfiillt. Gilt a). so schlieBen wir so: 1st I zu allen ({ll' fIJI ortho-gonal, so ist es auch zu ihren Linearaggregaten und aus Stetigkeits-griinden auch zu deren Haufungspunkten orthogonal, d. h. zu ganz [({l1' ({l"," .J. Also zu ganz 9l, also auch zu sich selbst: (I. I) = 0, 1= O. Somit ist ({ll' fIJ", , vollstandig.

    Wir haben also das logische Schema Vollstandigkeit -+- (l) -+- a) -+- Vollstandigkeit,

    d. h. a), (l) sind als notwendig und hinreichend erkannt. Aus y) folgt: 1st I zu allen fIJI' ({lB"" orthogonal, so setzen wir

    1= g, dann erhalten wir (1. f) = ,2,,0'0 = 0. 1= 0; d. h. ({ll' ({lB""

  • 2. Geometrie des H. R. 29

    ist vollstandig. Andererseits folgt aus (t) (das ja der Vollstandigkeit gleichbedeutend ist):

    N N (I. g) = limes (,2" (f. f/!~) . f/!~. ,2" (g. f/!~) f/!,,) N-+oo 1 1

    N __

    = limes ,2",,, (f. f/!!A) (g. f/!,,)' (f/!/l' f/!,,) N-+oo 1

    N __ 00

    = limes ,2. ({. f/!,,) (g. f/!,,) = ,2" (I. f/!,') (g. f/!,) N-+oo 1 1

    (ist das System f/!l' f/!2' . .. endlich, so sind die Grenziibergange iiber-flussig), d. h. y). Also ist auch y) notwendig und hinreichend.

    Satz 8. Zu jeder Folge fl' f2' . .. gibt es ein normiertes Ortho-gonalsystem f/!l' f/!2" .. , das dieselbe Linearmannigfaltigkeit aufspannt wie die ersteren (beide Folgen konnen im Endlichen abbrechen).

    Beweis: Zunachst ersetzen wir fl' f2' . .. durch eine Teilfolge gl' g2' ... , welcht! dieselbe Linearmannigfaltigkeit aufspannt, und aus lauter linear unabhangigen Elementen besteht. Das geschieht so: sei gl das erste In, das von 0 verschieden ist; g2 das erste f n' das von allen algi verschieden ist; g3 das erste f n' das von allen algi + a2g2 ver-schieden ist; .... (Wenn fUr irgendein p kein In existiert, das von allen algi + ... + apgp verschieden ist, so brechen wir mit g" ab.) Diese gl' g2' ... leisten offenbar das Gewiinschte.

    Vnd nun bilden wir (dies ist das sog. "Orthogonalisationsverfahren" yon E. SCHMIDT)

    1 f/!l = ITYtTI . 1'1 ,

    1 f/!2 = II i'lIl! 'Y2'

    1 f/!3 = ITY~1!' 1'3'

    Jede f/!p-Konstruktion ist wirklich moglich, d. h. die Nenner II Y" II sind =l= 0: denn sonst ware Y" = 0, also g 1> Linearaggregat der f/!1"'" f/!p-l, d. h. der gl' ... ' gp-l, entgegen der Annahme. Ferner ist klar, daB gp Linearaggregat der f/!l' ... ' f/!" ist und f/!" Linear-aggregat der gl' ... ' gp - also bestimmen gl' g2' und f/!l' f/!2"" dieselbe Linearmannigfaltigkeit.

    SchlieBlich ist nach Konstruktion II f/!" II = 1, und fur q < p (YP' f/!q) = 0, also (f/!", f/!q) = O. Da wir p, q vertauschen konnen, gilt letzteres stets fUr p =l= q. f/!l' f/!2' . .. ist also ein normiertes Ortho-gonalsystem.

    Satz 9. Zu jaier abgeschlossenen Linearmannigfaltigkeit m gibt es ein normiertes Orthogonalsystem, das gerade m als abgeschlossene Linearmannigfaltigkeit aufspannt.

  • 30 II. Allgemeines iiber den abstrakten Hilbertschen Raum.

    Beweis,' 1m Falle c(n). ist dieser Satz selbstverstandlich: Denn erfiillt m A., B., c(n)., so erfiillt jede Linearmannigfaltigkeit Wl in m A., B., c{m). mit einem m < n, so daB die Bemerkung zu Satz 3(n) auf Wl anwendbar ist: es gibt ein normiertes Orthogonalsystem 'PI>' .. ,'Pm' das in Wl vollstandig ist, was wegen Satz 7., a) gerade die Behauptung ist. (Wie man sieht, ist dann die Abgeschlossenheitspramisse auch un-notig, sie wird sogar bewiesen. V gl. hierzu das vor Delinition 5. Gesagte.)

    1m Falle C(oo). erinnern wir daran, daB m nach E. separabel ist, wir wollen zeigen, daB auch Wl es ist - iiberhaupt jede Teilmenge von mist separabel. Wir bilden namlich die in m iiberall dichte Folge 11,/2"" (vgl. E. in II. I.), und zu jedem In und jedem m = 1,2, ... die aus allen I mit III-In II

  • 3. Exkurs iiber die Bedingungen A.-E. 31

    n bzw. 00 (I, g) = 1} x~)it' folgt.

    1

    (1m FaIle 00 ist in 8. noch die absolute Konvergenz zu zeigen.) Diese Zuordnung f -~ {Xl' X2 , } geben wir jetzt an. .

    Sei f/JI' f/J2' ein vollstandiges normiertes Orthogonalsystem, im FaIle c(n). bricht es mit f/Jn ab, im Falle C(oo). ist es unendlich (Satz 3(n). 3(00)). Wir set zen

    , nbzw.oo f = Z~ x~ f/J~.

    1 00 Nach Satz 5. konvergiert diese Reihe auch im oo-Falle (da Z~ 1 X~ 12

    1 endlich ist), d. h. ffin bzw. ffioo wird gerade erschOpft. Nach Satz 7., (j)

    n bzw. 00 und weil L:" 1 (/, f/J.) 12 endlich ist (Satz 4.) wird aber auch ffi er-

    1 schi:ipft [es ist X~ = (f, f/J,,) zu set zen ]. DaB j edem {Xl' X2, } nur ein f entspricht, ist klar, die Umkehrung folgt aus dem Zusatz zu Satz 5.

    1., 2. sind offenbar erfUllt, 8. folgt aus Satz 7., y).

    3. Exkurs iiber die Bedingungen A.-Es1. Wir haben noch die Behauptung 2. am Schlusse von I. 4. zu veri-

    fizieren: daB Fz , F [J die Bedingungen A.-E. wirklich erfUllen. Dabei geniigt es, F [J zu betrachten, denn wir zeigten schon in II. 2., daB ein ffi mit A.-E. in allen Eigenschaften mit ffioo' d. h. F z , iibereinstimmen muB, so daB darum A.-E. auch fUr F z gelten miissen. AuBerdem werden wir die in II. 2. erwahnte Unabhangigkeit der Bedingungen D., E. von A.-C(oo). zeigen, sowie die Tatsache, daB sie aus A.-c(n). folgen, d. h. daB sie in ffin gelten. Diese drei rein mathematischen Fragen bilden den Gegenstand dieses Kapitels.

    Wir beginnen mit dem Verifizieren von A.-E. in F [J. Dabei werden wir uns auf den Lebesgueschen Integralbegriff zu stiitzen haben, be-ziiglich dessen Begriindung wir auf die einschlagigen Spezialwerke ver-weisen miissen 52. (Das Lebesguesche Integral spielt aber nur bei dieser Gelegenheit eine Rolle, und seine Kenntnis ist fUr die spateren Kapitel nicht erforderlich.)

    In I. 4. hatten wir Q als den k-dimensionalen Raum der ql' ... , qk eingefUhrt, und F Q als Gesamtheit aller Funktionen f (ql ... qk) mit endlichem J ... J 1 f/J (ql' .. qk) 12 dql ... dq,,; wir lassen dabei aile

    --n-ql' ... ,qk von - 00 bis + 00 variieren. Alle un sere Herleitungen wiirden allerdings giiltig bleiben, und auch ihre Beweise meistens wi:irt-lich iibertragbar sein, wenn wir die Variabilitatsbereiche der ql' .. , qk einschrankten (so daB Q z. B. ein Halbraum, oder das Innere eines Wiirfels, oder das Innere einer Kugel, oder das AuBere dieser Figuren, usw. wiirde) - ja sogar wenn wir Q als gekriimmte Flache wahlten

  • 32 II. Allgemeines iiber den abstrakten Hilbertschen Raum.

    (z. B. als Kugeloberflache usw.). Urn uns aber nicht in unwesentliche Komplikationen zu verlieren (deren Diskussion der Leser, an Hand unseres typischen Beweises, miihelos selbst durchfUhren kann) , be-schranken wir uns auf den genannten einfachsten Fall. Wir gehen nun A.-E. hintereinander durch:

    Ad A. Es ist zu zeigen: mit I, g gehoren auch a I, I g zu F fl' d. h. mit

    (j ... J I/(qi' .. qk) 12dqI' .. dqk' J. .. J \g(ql' .. qk) 12 dql ... dqk ----- ------Q U

    kiirzen wir, da kein MiBverstandnis moglich ist, so ab) sind auch .r I a/1 2 = I a 12 J 1/12, J II g 12 endlich. Ersteres ist trivial. Q Q letzteres steht wegen II g 12 = 1/12 + I g 12 2 Re (/g) 63 fest, so-bald die Endlichkeit von J I fg 1= J 1111 g I gesichert ist. Wegen

    a a 1111 g I < ~ (1/12 + Ig12) folgt aber diese aus den Annahmen.

    Ad B. (f, g) wollen wir als J (g definieren, dieses Integral ist, wie wir soeben sahen, absolut konvergent. Alle in B. postulierten Eigen-schaften sind evident, bis auf die letzte: daB (I, I) = 0 I == 0 nach sich zieht. (f, I) = 0 besagt 11/12 = 0, so daB die Menge der Stellen, wo It 12 > 0, d. h. I (ql ... qk) 9= 0 ist, das Lebesguesche MaB 0 haben muB. Sehen wir nun zwei Funktionen I, g, fUr welche I 9= g [d. h. I (ql ... qk) 9= g (qi ... qk)] nur in einer ql' .. qk-Menge vom Lebesgue-schen MaBe 0 stattfindet, als nicht wesentlich verschieden an 54, so konnen wir I = 0 feststellen.

    Ad C. Seien 0 1 , " On n Gebiete in Q, von den en keine zwei einen gemeinsamen Punkt haben, und die Lebesgueschen MaBe aller seien>O, aberendlich./dql"qk)seiinOI =1, sonst =0, daJlhl 2 =

    Q MaB von 0 1 ist, gehOrt es zu Fa (l = 1, ... , k). Die 11' ... , In sind nun linear unabhangig: denn aus aliI + ... + anln = 0 folgt, daB die links stehende Funktion nicht nur in einer Menge vom Lebesgue-schen MaBe 0 verschwindet, also in jedem 0 1 Nullstellen hat, da sie aber in 0 1 konstant = a l ist, muB a l = 0, 1 = 1, ... , n, sein. Diese Kon-struktion geht fiir alle n, also gilt C{ 00).

    Ad D. Die Folge It, 12' ... geniige der Cauchyschen Konvergenz-bedingung, d. h. es existiere zu jedem > 0 ein N = N (), so daB Jl/m -In 12 < ist, wenn m, n > N ist. Wir wahlen n1 =N(!); a

    n2 > n1, N (~2); n3 > nI, n2, N (~3); ... , So mit ist n1 < n2 < ... , n,., n,.+ 1 > N (J;), also J 1/,.. ... +1 -In" 12 < 8~" Betrachten wir nun

    !J

  • 3. Exkurs tiber die Bedingungen A.-E. 33

    die Menge P(") a11e Punkte, in denen 1/""+1 -In" I > :" ist. 1st ihr Lebesguesehes MaG p("), so gilt

    f ( 1 )2 p.1.) p.1") 1 1 II -I 12 ~ u(,,) - = - -4" < S"' u(,,) < "" . nHI n, - r 2" 4" , r ~. Il

    Betraehten wir nun die Menge Q("), die dureh Zusammenfassung von P("), p(,,+1), p(,,+2), .,. entsteht. Ihr Lebesguesehes MaG ist

    < p(") + p(,,+1) + p( .. +2) + AuGerhalb von Q(") gilt

    1 1 1 I/nHI - 1" .. 1 < 2'" 1/""+9 - 1",,+11 < 21'+1' 1/",,+3 - 1",,+91 < 2,,+1"'"

    also allgemein fUr v ::::;: Vi < v"

    II""" - In", I < 1/""'+1 - I" .. , I + I In"'+9 -1""'+11 + ... + II""" - In""-11 1 1 1 1

    < 2'" + 2"+1 + ... + 2""-1 < 2"-1' Ffir Vi -+ 00 strebt dies, unabh1ingig von ,,", gegen 0, d. h. die Folge 1"1' I"" ... erfillit die Cauchysehe Konvergenzbedingung, falls ql' . qk nicht in Q(") liegt. Da es sieh (bei estem ql . qk) urn Zahlen handelt, konvergiert diese Folge aueh. Also konnen wir. umgekehrt sagen: Konvergiert die Folge 1"1' I"" ... fur ein gewisses ql' .. qk nieht, so liegt dieses in Q("). Die Menge aller ql .. qk, wo Konvergenz nieht statt-findet, sei Q, dann ist Q Teil von Q('), sein MaG ist also kleiner als dasjenige von Q("), d. h. < 2~t. Dies solI fUr alle " geIten, obwohl Q unabhangig von " definiert ist: also hat Q das Lebesguesche MaG O. Somit maeht es niehts aus, z. B. alle I" in Q gleieh 0 zu setzen (vgl. Anm. 54); dann konvergiert aber 1"1' I"., ... aueh in Q, also uberall.

    Wir haben also eineTeilfolge von 11,/2' ... angegeben, I"" I"., ... , die in allen Punkten ql' .. qk konvergiert (fur 11' 12, ... braueht dies nieht der Fall zu sein). Der Limes von 1"1' In., ... heiGe I = I (q1 ... qk)' Wir haben nun noeh zu zeigen: 1. I gehOrt zu F Il, d. h. j 1/12 ist end-lieh; 2. list nieht nur im Sinne der Konvergenz ffir jedes ql' ... , qk, sondern aueh im Sinne der "Betragkonvergenz" des Hilbertsehen Raumes Limes der Inl' I"., ... , d. h.: III-In" 11-+ 0, oder: j I I-I"" 12 -+ 0; 3. in diesem Sinne ist es sogar Limes der ganzen Folge 11,/2' ... , d. h.: II I-I" II -+ 0, oder: 111 - 1" 12 -+ O.

    Sei e > 0, "0 sei mit n ~ N (e) gewahIt (z. B. S~. < e). und ,,~ "0' n ~ N (e). Dann ist 111". -I" 13 < e. Lassen wir " -+ 00, so

  • 34 II. Allgemeines tiber den abstrakten Hilbertschen Raum.

    strebt der Integrand gegen II-I .. 12, also ist (nach einem Konvergenz-satz Lebesguescher Integrale, vgl. a. a. O. Anm. 53) J II-I .. 12 < e. Somit ist erstens ill-II 12 endlich, d. h. 1-11 in F Q; da auch 11 zu F Q gehort, tut es lauch: 1. ist bewiesen. Zweitens folgt aus der obigen Ungleichheit j II-I .. 12 -+ 0 fUr n -+ 00, d. h. 2. und 3.

    u Ad E. Es gilt eine in F Q iiberall dichte Funktionenfolge 11,/2' ...

    anzugeben. Sei Dl , D2 , eine Folge von Bereichen in D, deren jeder ein

    endliches MaB hat, und die zusammen ganz D ausfiillen. (Z. B. sei DN die Kugel vom Radius N urn den Nullpunkt.) Sei I = I (ql" . qk) irgendein Element von F Q, wir definieren fUr jedes N = I, 2, . " ein IN= IN (ql ., . qk):

    11 ( ) {wenn ql'" qk in DN liegt

    IN (ql' . qk) = ql' qk und II (ql .. qk)1 < N ist, o { sonst.

    Fiir N -+ 00 ist IN (ql ... qk) -+ I (ql ... qk) (von einem gewissen N ab findet sogar Gleichheit statt), also II-IN 12 -+ O. Ferner ist I-IN = 0 oder I, also I I-IN 12 < I 11 2 Die Integrale j I I-IN 12 haben also

    u die feste Majorante 11/12 (endlich!), da die Integranden gegen 0

    .J streben, tun es die Integrale auch (vgl. den vorhin zitierten Konvergenz-satz}:jll-INI2-+0, III-IN 11-+ 0 .

    11 Die Klasse aller Funktionen g = g (ql ... qk), fUr welche die Menge

    aller Punkte mit g =+= 0 endliches MaB hat, und welche im ganzen Raume eine Ungleichheit I g I O. Das MaB der g =+= O-Menge sei M, die obere Schranke fiir I g I sei O. Wir wahlen eine Kette rationaler Zahlen -0 < Ih < l?2 < ...

  • 3. Exkurs iiber die Bedingungen A.-E_ 35

    Die Klasse alier Funktionen h = h (ql ... qk), die nur endlieh viele versehiedene Werte annehmen, und zwar nur solche von der Form e + ia, e, a rational, und jeden, auBer 0, nur auf Mengen von endliehem MaBe, heiBe H. Die obigen h gehOren zu H, also ist H liber-all dieht in G, also aueh in F [1.

    SeiII eine Menge von endliehem Lebesguesehen MaB, wir definieren eine Funktion III = III (ql' .. qk):

    { linII' III (ql .. qk) = o sonst.

    Die Klasse H besteht offen bar aus allen t

    2;, (e, + ia.) III, (t = 1,2, ... , e., a. rational). 1

    Wir suehen nunmehr eine II-Mengenfolge lIm, II(2), ... mit folgender Eigensehaft: zu jeder II-Menge und jedem e > 0 existiert ein II(tI}, so daB das MaB der Menge aller Punkte, die zu II, aber nicht zu II(tI} oder zu II(tI}, aber nicht zu II geh6ren (man nennt diese Menge die Unter-sehiedsmenge von II, II(fI}), < e ist. Haben wir namlieh eine solche Folge, so liegen die t

    2;. (e, + i a.) 1m",) 1

    (t = 1, 2, .. " e" a. rational, n. = 1, 2, ... ) in H liberall dieht: Denn wahlen wir zu jedem II. von vorhin II(fI.} naeh dem oben Gesagten, so wird

    t t J /2;, (e. + as) III. - .J) (e, + i a,) Imfl,) 12 iJ 1 1

    t

    < 2;. J / (e, + i a,) fu, - (e, + i as) 1m".) /2 1 !l

    t t = 2;. (e; + a;) MaBderUntersehiedsmenge{II" II(fI, < 2;'{e; + a;). e.

    1 1

    1st ein ~ > 0 gegeben, so leistet e = t

  • 36 II. Allgemeines fiber den abstrakten Hilbertschen Raum.

    wobei gilt: t,1'= 1,2, ... ; e:,O':=O, 1, 2, ... , n.= 1,2, ... ffir s = 1, ... , t. Diese Funktionen als Folge anzuordnen, ist dieselbe Aufgabe, wie dasselbe fUr ihre Nummern t, 1', e~, O'~, ... , e:, 0';, n l , .. , nt zu tun. Ordnen wir aber die genannten Nummernkomplexe nach wachsendem

    t + l' + I e~ I -I- I O'~ I + ... + I e, I + I 0'; I + n1 + ... + nt an, so geh6ren zu jedem gegebenen Werte dieser Summe nur end-lich viele der genannten Nummernkomplexe. Bringen wir auch noch jede dieser endlichen Gesamtheiten in irgendeine Reihenfolge, so haben wir in der Tat eine einfache Folge vor uns.

    Urn die genannte Mengenfolge JI(l), JI(2), ... angeben zu k6nnen, verwenden wir die Tatsache, daB zu jeder Menge JI mit endlichem Lebesgueschem MaBe M, und zu jedem b > 0 eine offene Punkt-menge JI' existiert, die JI umfaBt, aber dessen MaB urn < b iibertrifft (vgl. a. a. O. Anm. 52, sowie Anm. 45 , wo auch der Begriff "offene Punktmenge" definiert wird). Zu einem offenen JI' und einem e > 0 existiert aber offenbar eine aus endlich vielen Wiirfeln zusammen-gesetzte MengeJI", die in JI' enthaIten ist, und deren MaB dasjenige von JI" urn < b unterschreitet. Dabei k6nnen die Wiirfelkantenlangen und Mittelpunktskoordinaten aIle rational gewahlt werden. Man er-kennt nunmehr leicht, daB die oben definierte "Unterschiedsmenge" von JI, JIll ein MaB < b + b = 2 ~ hat, also fUr b = ; eines < e. Wir sind also am Ziele, wenn wir die Wiirfelmengen der eben beschriebenen Art in eine Folge zu ordnen verm6gen.

    Diese Wiirfelmengen sind nun charakterisiert durch die Anzahl n = 1,2, ... ihrer Wfirfel sowie deren Kantenlangen ~(.) und Mittel-punktskoordinaten ~~.), ... , ~r) ('I' = 1, ... , n). Die ~(,.), ~~,.), ... , E1~) sind rational, ihr Generalnenner sei 1] = 1, 2, .. , ihre Zahler

    ",(1')= 1,2, ... , ~t), ... , ~;."')= 0, 1, 2, .... Somit sind unsere Wiirfelmengen durch die Zahlenkomplexe

    n, 1], ,,'(ll, ~l(ll, ... '~k(1), ... , ~,(n>, ~l(n), ... , ~;r) charakterisiert. Ordnen wir sie nach wachsenden Summen

    n + 1'/ + ~' (1) + I ~~(1) I + ... + ! ~k(1) I + ... + + ,,'In) + I ~~(n) I + ... + ! ~~n) I ,

    SO gewinnen wir eine einfache Folge, genau wie beim friiheren ana~ logen Beispiel der Funktionen-Linearaggregate. -

    Ehe wir weitergehen, beantworten wir die folgende Frage: Gegeben sei ein A.-E. (mit 0(00).) erfiiIlendes m, in welchen Teilmengen IDl von m sind [bei unveranderter Definition von ai, 1 g sowie (I, g)] A.-E. wieder erfiilIt ?

  • 3. Exkurs iiber die Bedingungen A.-E. 37

    Damit A. gelte, muB 9.n eine Linearmannigfaltigkeit sein. B. gilt von selbst. O. verschieben wir einen Augenblick: ein o(n). oder 0(00). gilt jedenfalls. D. besagt: erfullt eine Folge in 9.n die Cauchysche Konvergenzbedingung, so hat sie einen Limes in 9.n. Da aber eine solche Folge jedenfalls einen Limes in ffi hat, handelt es sich bloB darum, daB dieser auch zu 9.n geh6re, d. h.: 9.n muB abgeschlossen sein. E. gilt, wie wir beim Beweise von Satz 9 sahen, immer. Also haben wir zu-sammenfassend: 9.n muB eine abgeschlossene Linearmannigfaltigkeit sein. Das normierte Orthogonalsystem, das 9.n aufspannt (Satz 9), heiBe gyl' gy2' .... 1st es unendlich, so gilt offenbar 0(00)., und 9.n ist !Roo, also!R selbst, isomorph; bricht es bei gyn ab (gyl' ... , gyn), so gilt (z. B. wegen Satz 3(n).) o(n)., d. h. 9.n ist !Rn isomorph.

    Da aber D., E. in 9.n jedenfalls gelten, gelten sie in jedem !Rn : sie folgen also auch aus A.-o(n)

    Wie man sieht, haben wir die direkte Verifizierung von A.-E. (mit o(n). bzw. 0(00).) an !Rn bzw. !Roo durch logische Kunstgriffe vermieden. Indessen bereitet aueh diese keine wesentlichen Schwierig-keiten, sie bleibe dem Leser uberlassen.

    Es bleibt noeh ubrig, die Unabhangigkeit von D. und E. von A.-O(oo). zu zeigen. Wie wir soeben sahen, erfullt jede Linearmannig-faltigkeit des !Roo A., B., E. sowie o(n). oder 0(00)., ist sie aber nicht abgeschlossen, so erfUllt sie D. nieht. Dann muB aber 0(00). in ihr gelten: denn aus o(n). folgt D. Eine solche anzugeben ist aber leieht: Sei gyl' gy2' .. ein normiertes Orthogonalsystem, dann bilden die

    N 2) x~gy~ (N = 1, 2, . ", Xl'" ., XN beliebig) eine Linearmannigfaltig-I 00 00

    keit, aber keine abgeschlossene, denn 2! ! gy~ (..~7 (! r ist endlich!) ist wohl Haufungspunkt, aber nieht Element von ihr

    N 00 (}J ! gy~-.2 ! gy~ fUr N - (0) . 1 1

    Somit ist D. von A.-O(oo)., E. unabhangig. Betrachten wir ferner alle komplexen Funktionen X (

  • 38 II. Allgemeines iiber den abstrakten Hilbertschen Raum.

    Bei k (= 1,2, ... ) mk01ll.-Punkten ist es ebenso, also gilt auch C(oo). Auch bei einer Folge von mkont.-Punkten stimmt das noch - sie seien Xl (IX), x2 (IX), , die IX mit Xn (IX) =+= 0 bilden fur jedes n = I, 2, ... je eine Folge lX~n), lX~n), .. " aIle diese Folgen zusammen eine Doppel-folge IX~) (n, m = 1,2, ... ), die auch als einfache Folge IXP), 1X~1), 1X~2),

    1X~1), 1X~2), 1X~3), geschrieben werden kann - also gilt auch D. in mkont. ebenso wie in moo' Anders ist es bei E.: dort spielen aIle Punkte von m eine Rolle (aIle sollen ja Haufungspunkte einer geeigneten Folge sein) , dort konnen wir also nicht von moo auf mkont. schlieBen. Und es ist wirklich nicht erfullt, denn eine Folgerung aus ihm gilt nicht: es gibt ein normiertes Orthogonalsystem, das nicht als Folge geschrieben werden kann (entgegen Satz 3(00).

    { I fUr {31 Sei xp (IX) = 0 fUr :: {31, fur jedes (3 ist xp (IX) ein Element von mkont., und die Xp(lX) bilden ein normiertes Orthogonalsystem. Als Folge lieBen sie sich aber nur schreiben, wenn das fUr aIle (3> - 00, < + 00 moglich ware, was bekanntIich nicht der Fall ist57. Also ist auch E. von A._C(oo)., D. unabhangig.

    (Man beachte ubrigens den fundamentalen Unterschied zwischen dem Funktionenraum der / (x) mit endlichem j 1/(X)2 dx und dem-

    _00

    jenigen der x (IX) mit endlichem .L;IX 1 x (IX) 12. Wir konnten ja den ersteren 00

    ebensogut als Raum aller X (IX) mit endlichem J Ix(lX) 12dIX bezeichnen! _00

    00

    Der ganze Unterschied ist das Ersetzen von J ... drx durch .L;IX . " -00

    trotzdem ist der erstgenannte Raum ein F Q, erfuIIt also A.-E. und ist moo isomorph, wahrend der letztgenannte, mkont ., E. verletzt und von moo wesentlich verschieden ist. Dabei sind die beiden Raume identisch, nur die Betragsdefinitionen in ihnen lauten verschieden!)

    4. Abgeschlossene Linearmannigfaltigkeiten. Der II. 2. ist fUr uns nicht nur wegen des Isomorphiebeweises

    von Wichtigkeit, sondern auch weil dort mehrere Satze uber normierte Orthogonalsysteme bewiesen wurden. Wir wollen namlich jetzt in der geometrischen Analyse des Hilbertschen Raumes weitergehen, und die abgeschlossenen Linearmannigfaltigkeiten naher untersuchen, die im moo eine analoge Rolle spielen wie im mn die Geraden, Ebenen usw. (d. h. die mm' m < n).

    Wir erinnern vorerst an die Bezeichnungsweise der Definitionen 2.,5.: wenn m: irgendeine Menge in mist, so sind {m:} bzw. [m:] die von m: aufgespannte Linearmannigfaltigkeit bzw. abgeschlossene Linearmannig-faltigkeit, d. h. das kleinste Gebilde dieser Art, welches m: umfaBt.

  • 4. Abgeschlossene Linearmannigfaltigkeiten. 39

    Wir erweitern nun diese Bezeichnung dahin, daB wir, wenn m:, ~, ... irgendwelche Teilmengen und I, g, ... Elemente von St sind, unter {m:,~, ... , I, g, ... } bzw. [m:,~, ... , I, g, ... J die von derjenigen Menge aufgespannte Linearmannigfaltigkeit bzw. abgeschlossene Li-nearmannigfaltigkeit verstehen, welche durch Zusammenfassung der m:, ~, ... und der I, g, ... entsteht.

    Wenn insbesondere m,~, . .. (endlich oder unendlich viele) ab-geschlossene Linearmannigfaltigkeiten sind, so bezeichnen wir die ab-geschlossene Linearmannigfaltigkeit [m, ~, ... J mit m + ~ + .... {m, ~, ... } besteht offenbar aus allen Summen I + g + ... (I durch-laufe m, g durchlaufe ~, ... ), [m,~, ... J = m + ~ + ... entsteht hieraus durch Hinzufiigung der Haufungspunkte. Wenn nur endlich viele Mengen m, ~, ... vorliegen, und jedes Element der einen zu jedem Element der iibrigen unter ihnen orthogonal ist, so sind, wie wir bald sehen werden, diese zwei Bildungen einander gleich, was im allgemeinen nicht der Fall zu sein braucht.

    Wenn m Teilmenge von ~ ist, so betrachten wir noch die Gesamt-he it der Elemente von ~, die zu allen Elementen von m orthogonal sind. Auch dies ist offenbar eine abgeschlossene Linearmannigfaltigkeit, die ~ - m heiBen m6ge. Uber die Griinde, die dafiir sprechen, dies als Subtraktion zu bezeichnen, wird Satz 14. Klarheit schaffen. Besonders wichtig ist St-m, die Menge alier zu ganz m orthogonalen I: sie heiBt die zu m komplementare abgeschlossene Linearmannigfaltigkeit.

    SchlieBlich erwiihnen wir drei besonders einfache abgeschlossene Linearmannigfaltigkeiten: erstens St selbst; zweitens die aus der 0 allein bestehende Menge {O} = [OJ; und drittens die Menge aller a I (I ein gegebenes Element von St, a variabel), die offenbar abgeschlossene Linearmannigfaltigkeit ist, und daher gleichzeitig = {t} = [IJ.

    Wir fiihren nun den Begriff des "Projizierens" ein, der demjenigen der Euklidischen Geometrie v611ig analog ist:

    Satz 10. Sei m eine abgeschlossene Linearmannigfaltigkeit. Dann kann jedes I auf eine und nur eine Weise in zwei Addenden 1= g + h, g aus m, h aus St-m, zerlegt werden.

    Bemerkung: Wir nennen g die Projektion von I in m, h (das auf ganz m orthogonal steht) das Perpendikel von I auf m. Fiir g fiihren wir das Zeichen PWlI ein.

    Beweis: Sei rpl, rp2' ... das nach Satz 9. existierende, die abgeschlos-sene Linearmannigfaltigkeit m aufspannende, normierte Orthogonal-system. Wir setzen g = .xn (I, rpn) . rpn, nach Satz 6. konvergiert diese Reihe (wenn sie iiberhaupt unendlich ist), ihre Summe g gehOrt offen-bar zu m. Ferner ist nach Satz 6. h = I-g zu allen rpl' rp2, .. ortho-gonal, da aber die zu h orthogonalen Vektoren eine abgeschlossene Linearmannigfaltigkeit bilden, ist mit rpl' rp2' .. auch ganz m zu h orthogonal, d. h. h geh6rt zu St-m.

  • 40 II. Allgemeines tiber den abstrakten Hilbertschen Raum.

    Gabe es noch eine solche Zerlegung t = g' + h', g' aus IDl, h' aus ffl-9R, so ware g + h = g' + h', g -g' = h' -It = j. j miiBte somit gleichzeitig zu IDl und zu ffl- IDl geh6ren, ware daher zu sich selbst orthogonal: (j, j) = 0, j = 0, und somit g = g', It = h'.

    P!J]t t ist also eine Operation, die jedem t von ffl seine Projektion in IDl, Plln t zuordnet. Wir werden im nachsten Paragraphen definieren: ein Operator R ist eine in einer Teilmenge von ffl definierte Funktion mit Wert en aus ffl, d. h. eine Zuordnung, die gewissen t von ffl gewisse Rt von ffl zuordnet (nicht notwendig alien, sie kann fUr andere t von ffl undefiniert, "sinnlos", sein!). P lln ist somit ein iiberaIl (in ffl) definier-ter Operator,er heiBe der Projektionsoperator von IDl.

    Satz 11. Der Operator P!J]t hat die folgenden Eigenschaften: P!J]t(aI/I + ... + anln} = aIPlln/I + ... + anPmln,

    (Pllnl, g) = (I, Pllng) , P lln (Pllnf) = Plln I

    Wl ist die Menge alier Werte von P lln' d. h. die Menge aIler P lln I; es kann aber auch gekennzeichnet werden als Menge aller L6sungen von P lln I = I, wahrend ffl-Wl die Menge aIler L6sungen von P lln I = 0 ist.

    Bemerkung: 1m nachsten