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Mathematische Grundlagen Kurseinheit 1: Grundlagen Autorin: Luise Unger In L A T E X gesetzt von Luise Unger c 2007 Fernuniversität in Hagen Alle Rechte vorbehalten Fachbereich Mathematik ··· ··· ··· (10/05) 01141-4-01-S 1

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Mathematische GrundlagenKurseinheit 1:Grundlagen

Autorin: Luise UngerIn LATEX gesetzt von Luise Unger

c© 2007 Fernuniversität in Hagen Alle Rechte vorbehaltenFachbereich Mathematik

· · · · · · · · · (10/05)

01141-4-01-S 1

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Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigungund Verbreitung sowie der Übersetzung und des Nachdrucks bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbe-halten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (Druck, Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohneschriftliche Genehmigung der FernUniversität reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet,vervielfältigt oder verbreitet werden.

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Inhaltsverzeichnis

1 Kurseinheit 1 9

1 Einiges zum Sprachgebrauch 171.1 Das Summensymbol Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.1 Junktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2 Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.3 Negation von All- und Existenzaussagen . . . . . . . . . . . 261.2.4 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.5 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.6 Satz, Proposition, Korollar, . . . ? . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4.1 Was ist eigentlich eine Abbildung? . . . . . . . . . . . . . . 381.4.2 Bild und Urbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.4.3 Komposition von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.5 Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.6 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 Matrizenrechnung 652.1 Matrizenaddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2 Skalarmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3 Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3.1 Einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3.2 Wie man Matrizen multipliziert . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.3 Regeln der Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4 Gemischte Rechenregeln für Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3 Zeilenäquivalente Matrizen 873.1 Elementare Zeilenumformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2 Elementare Zeilenumformungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . 88

3

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4 INHALTSVERZEICHNIS

3.2.1 Matrizen mit genau einer 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.2.2 Elementarmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3 Zeilenäquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2 Kurseinheit 2 99

4 Gaußalgorithmus 1074.1 Treppennormalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2 Der Gaußalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.3 Transformationsmatrix des Gaußalgorithmus . . . . . . . . . . . . . 1144.4 Eindeutigkeit der Treppennomalform . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5 Der Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5 Lineare Gleichungssysteme 1375.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.2 Struktur der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems . . . . 1395.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6 Vektorräume 1656.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.1.1 Einführung: Vektoren im R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.1.2 Definition von Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.1.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.2 Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.3 Endlich erzeugte Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3 Kurseinheit 3 191

7 Basen und Dimension 1997.1 Lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.2 Basen endlich erzeugter Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.3 Der Austauschsatz von Steinitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.3.1 Austauschlemma und Austauschsatz . . . . . . . . . . . . . 2077.3.2 Folgerungen aus dem Austauschsatz . . . . . . . . . . . . . . 210

7.4 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.4.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.4.2 Dimensionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8 Lineare Abbildungen 2278.1 Definition, Beispiele und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . 227

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INHALTSVERZEICHNIS 5

8.2 Isomorphe Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2328.3 Kern und Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

8.3.1 Das Bild einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . 2358.3.2 Der Kern einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . 2388.3.3 Der Rangsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.4 Lineare Abbildungen und Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

9 Lineare Abbildungen und Matrizen 2559.1 Der Vektorraum HomK(V,W ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569.2 Koordinatenvektoren und Matrixdarstellungen . . . . . . . . . . . . 2629.3 Matrizenprodukt und Komposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

10 Abstrakte versus konkrete Lineare Algebra 271

4 Kurseinheit 4 275

11 Die reellen Zahlen 28311.1 Die Axiome der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.1.1 Die Körperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28411.1.2 Die Ordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28511.1.3 Das Schnittaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

11.2 Erste Folgerungen aus den Axiomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28711.2.1 Folgerungen aus den Körperaxiomen . . . . . . . . . . . . . 28711.2.2 Folgerungen aus den Ordnungsaxiomen . . . . . . . . . . . . 28911.2.3 Folgerungen aus dem Schnittaxiom . . . . . . . . . . . . . . 30211.2.4 p-te Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

12 Grenzwerte von Folgen 32712.1 Der Grenzwertbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32712.2 Eigenschaften konvergenter Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33212.3 Divergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33412.4 Das Rechnen mit konvergenten Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . 33612.5 Vier Prinzipien der Konvergenztheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 341

5 Kurseinheit 5 357

13 Funktionen 36313.1 Grundlagen und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36313.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

13.2.1 Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

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6 INHALTSVERZEICHNIS

13.2.2 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37913.2.3 Allgemeine Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38113.2.4 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38813.2.5 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

14 Stetigkeit 40314.1 Grundlagen, Beispiele, erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 40314.2 Stetige Funktionen auf Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40714.3 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

15 Differenzierbarkeit 42715.1 Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42715.2 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43215.3 Beispiele differenzierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

15.3.1 Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43515.3.2 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43615.3.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenz . . 43615.3.4 Sinus und Kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

6 Kurseinheit 6 445

16 Höhere Ableitungen 45316.1 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

16.1.1 Der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . 45516.1.2 Folgerungen aus dem Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . 45616.1.3 Die Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

16.2 Approximationen von Funktionen durch Polynomfunktionen . . . . 46416.2.1 Taylorpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46516.2.2 Der Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46816.2.3 Folgerungen aus dem Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . 475

17 Reihen 48317.1 Definitionen, Beispiele, erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 48317.2 Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

17.2.1 Das Majoranten-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49117.2.2 Das Quotienten- und das Wurzelkriterium . . . . . . . . . . 49217.2.3 Alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

17.3 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50017.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50317.5 Potenzreihen und Summenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

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INHALTSVERZEICHNIS 7

18 Elementare Funktionen 52318.1 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52318.2 Zyklometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53118.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenz . . . . . . 534

7 Kurseinheit 7 539

19 Integration 54519.1 Das Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54519.2 Der Zusammenhang zwischen Differential- und Integralrechnung . . 557

20 Logik 56920.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

20.1.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57020.1.2 Semantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57220.1.3 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58120.1.4 Formale Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58520.1.5 Aussagenlogische Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

20.2 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59420.2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59420.2.2 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59620.2.3 Semantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60120.2.4 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60920.2.5 Formale Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

Anhang 631

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8 INHALTSVERZEICHNIS

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Teil 1

Kurseinheit 1

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Studierhinweise

Bevor ich eine Übersicht darüber gebe, was Sie in der ersten Kurseinheit erwartenwird, einige Worte dazu, wie man mit einem mathematischen Text arbeitet.

Einen mathematischen Text darf man nicht lesen wie einen Roman, man muss ihnsich erarbeiten.

Ich möchte Ihnen hier einige Hilfestellungen an die Hand geben, wie dies geschehenkann.

Der mathematische Sprachstil ist minimalistisch, es gibt in einem mathematischenText wenig Überflüssiges. Daher ist die wichtigste Regel: Lesen Sie langsam; lesenSie Wort für Wort und Symbol für Symbol.

Ein gutes und wichtiges Hilfsmittel, die Lesegeschwindigkeit zu drosseln, ist Papierund Schreibzeug. Wenn Sie einen Beweis durcharbeiten (oder eine Definition oderdie Aussage eines Satzes verstehen wollen), schreiben Sie mit. Beantworten Sie sichbei jedem Satz, den Sie schreiben, die Frage: Habe ich verstanden, warum b ausa folgt? Welche Informationen waren für diese Schlussfolgerung nötig? Fügen SieDetails, die im Text nicht erwähnt werden, ein.

Stellen Sie sich bei jeder Definition und jedem beschriebenen Sachverhalt die Frage:Kenne ich ein Beispiel für diesen Sachverhalt? Und kenne ich ein Beispiel, wo dieVoraussetzungen nicht erfüllt sind?

Wenn Sie die Formulierung eines Satzes oder einer Proposition gelesen haben,steigen Sie nicht gleich in den Beweis ein. Überlegen Sie zuerst: Was sind dieVoraussetzungen (also die Annahmen, die erfüllt sein müssen), und was ist die Be-hauptung? Was ist im Beweis zu tun, um aus den Voraussetzungen die Behauptungherzuleiten?

Versuchen Sie, jeden Satz und jede Definition mit eigenen Worten zu formulieren.Notieren Sie Ihre Formulierung und vergleichen Sie mit der im Lehrtext. Besagensie dasselbe?

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12 Studierhinweise zu Kurseinheit 1

Lernen Sie Definitionen, bei denen Sie Schwierigkeiten haben oder auf die alsbesonders wichtig hingewiesen wurde, auswendig. Gewisse Dinge brauchen einfachZeit, sich zu setzen.

Scheuen Sie sich nicht, gewisse Passagen laut zu lesen. Über Mathematik zu spre-chen ist gar nicht einfach, und das laute Lesen ist eine gute Übung.

Lösen Sie die im Text gestellten Übungsaufgaben und beschäftigen Sie sich aus-führlich mit den Einsendeaufgaben. Versuchen Sie sich an den Übungsaufgabendann, wenn Sie im Text auf sie treffen. Sie sollen Ihnen helfen, sich an einen neu-en Begriff zu gewöhnen und sich zu kontrollieren, ob Sie damit umgehen können.Niemand lernt ein Musikinstrument, weil er Noten beherrscht und sich in Harmo-nielehre und Musikgeschichte auskennt. Genauso lernt niemand Mathematik durchpassives Aufnehmen von Lehrstoff. Sie müssen mit den Begriffen, Konzepten undFakten umgehen können, und dies geschieht nur durch Üben, Üben und Üben.Nehmen Sie also die Aufgaben ernst.

Wie beim Erlernen einer Sprache, eines Musikinstruments oder einer Sportart giltauch für die Mathematik: Arbeiten Sie kontinuierlich. Besser ein bis zwei Stundentäglich als zwei Wochenenden ohne Pause. Da kann nicht viel hängenbleiben. WennSie sich pro Woche etwa 20 Stunden mit dem Lehrtext und den Einsendeaufgabenbeschäftigen, würde ich das nicht als zu viel erachten.

Der Kurs setzt voraus, dass Sie die Schulmathematik verstanden haben. SolltenSie sich dabei unsicher fühlen, so sollten Sie sich eines der unzähligen Bücher, indenen die Schulmathematik noch einmal kurz zusammengestellt wird, kaufen undgegebenenfalls nachschlagen.

Die Kurseinheiten bauen aufeinander auf. In Kurseinheit 3 brauchen Sie alles (bisauf Kapitel 1), was vorher bereitgestellt wurde. Je mehr Ihnen bis dahin in Fleischund Blut übergegangen ist, desto mehr haben Sie den Kopf frei um Neues aufzu-nehmen.

Zum Schluss einige Hinweise zum Stil des Kurses.

• Die meisten Sätze, Propositionen, und Korollare haben ein Stichwort, meisteine Kurzfassung des behandelten Inhaltes. Auf diese wird beim Verweisenoft hingewiesen. Nicht die Nummern der Aussagen sind wichtig. VersuchenSie, sich die Stichworte zu merken.

• Das Ende eines Beweises oder das Ende einer Aussage, die meines Erach-tens keines Beweises mehr bedarf, wird durch das Beweisabschlusszeichen �angezeigt.

• Bei Definitionen erkennt man die zu definierenden Begriffe daran, dass sie

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Studierhinweise zu Kurseinheit 1 13

fett gedruckt sind.

Kommen wir nun zu den Inhalten der ersten Kurseinheit. Im ersten Kapitel gehtes darum, Begriffe und Konzepte, die in der Mathematik immer wieder verwendetwerden, vorzustellen und erste Eigenschaften nachzuweisen. Darüber hinaus sollKapitel 1 dazu dienen, eine gemeinsame Sprache und Symbolik festzulegen undNotation zu vereinbaren.

Im Einzelnen sind zu nennen:

Abschnitt 1.1: Hier lernen Sie das Summensymbol Σ kennen, das eine handlicheAbkürzung zur Schreibweise von Summen mit vielen Summanden liefert.

Nach Durcharbeiten dieses Abschnittes sollten Sie keine Angst vor Doppelsummenhaben.

Abschnitt 1.2: Eine Aussage ist jeder Satz der Umgangssprache, dem die Ei-genschaft „wahr“ zu sein oder „falsch“ zu sein, zugesprochen werden kann. MitHilfe so genannter Junktoren können aus Aussagen weitere Aussagen konstruiertwerden. Wie dies geschieht, sehen Sie in Abschnitt 1.2.

Nach Durcharbeiten dieses Abschnitts sollten Sie die Wahrheitstafeln der Junk-toren kennen, nicht übermäßig komplexe Aussagen durch Quantoren ausdrückenkönnen und in der Lage sein, Aussagen in Quantoren-Schreibweise in Umgangs-sprache zu übersetzen. Weiter sollten Sie die Negation von Aussagen bilden können.Sie sollten sensibel für die verschiedenen Beweisprinzipien sein, die in der Mathe-matik verwendet werden und die wir in 1.2.5 vorstellen werden. Wir werden Sie imKurs darauf hinweisen, wenn sie eingesetzt werden. Das Prinzip der vollständigenInduktion ist zentral in der Mathematik. Dies müssen Sie verstanden haben undin Beispielen verwenden können.

Abschnitt 1.3: Die Verständigung in der modernen Mathematik stützt sich aufden Begriff der Menge. In Abschnitt 1.3 werden im Wesentlichen nur Begriffe imZusammenhang mit Mengen zusammengetragen, die im Folgenden immer wiederverwendet werden.

Nach Durcharbeiten von Abschnitt 1.3 sollten Sie mit folgenden Begriffen umgehenkönnen: Vereinigung, Durchschnitt und Produkt von Mengen, Differenzmengenund Gleichheit von Mengen.

Abschnitt 1.4: Jetzt wird es langsam ernst, wir reden über Abbildungen. VieleAussagen in der Mathematik werden mit Hilfe von Abbildungen formuliert. Nach-dem in Abschnitt 1.4.1 der Begriff einer Abbildung definiert wird, kommen wir inAbschnitt 1.4.2 zu zwei sehr wichtigen Mengen, die im Zusammenhang mit Abbil-dungen auftauchen: dem Bild einer Abbildung und der Menge der Urbilder eines

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14 Studierhinweise zu Kurseinheit 1

Elements unter einer Abbildung. Die Frage, ob und wie viele Urbilder Elementeunter einer Abbildung haben, führt zu den Begriffen injektiver, surjektiver undbijektiver Abbildungen. Diese Begriffe werden Ihnen in der Mathematik immerwieder begegnen, wir werden in Kurseinheit 3 wieder auf sie treffen. In Abschnitt1.4.3 wird die Komposition von Abbildungen eingeführt, und es wird untersucht,welche Abbildungen invertierbar sind. Unser erstes großes Ergebnis, das wir oftbenutzen werden, ist die Charakterisierung invertierbarer Abbildungen, Korollar1.4.22.

Nach Durcharbeiten von Abschnitt 1.4 sollten Sie mit folgenden Begriffen umge-hen können: Abbildung, Bild und Urbild von Abbildungen, injektive, surjektiveund bijektive Abbildungen, Invertierbarkeit von Abbildungen, Komposition vonAbbildungen, Gleichheit von Abbildungen.

Abschnitt 1.5: Verknüpfungen, die wir in Abschnitt 1.5 vorstellen, sind spezielleAbbildungen. Zwei Elementen einer Menge wird ein drittes Element dieser Mengezugeordnet. Typische Beispiele sind die Addition und die Multiplikation reellerZahlen. In der Mathematik interessiert man sich für Verknüpfungen mit schönenEigenschaften. Welches solche Eigenschaften sind, wird in Abschnitt 1.5 erklärt –im Wesentlichen handelt es sich um Eigenschaften, die denen ähneln, die wir vomRechnen mit ganzen Zahlen schon kennen. Das Wichtige in Abschnitt 1.5 sind dieBeispiele.

Abschnitt 1.6: In diesem Abschnitt geht es um Körper. Körper sind Mengen, indenen wir Elemente addieren und multiplizieren können, wobei jedoch eine Reihevon Regeln erfüllt sein müssen. Beispiele für Körper sind die rationalen und diereellen Zahlen. Es gibt aber noch viel mehr Beispiele für Körper – einen weiteren,den Körper F2 mit zwei Elementen, werden Sie in Abschnitt 1.6 kennen lernen.Dieser Körper sollte Ihnen in Fleisch und Blut übergehen.

Nachdem wir in Kapitel 1 die grundlegenden Begriffe vorgestellt haben, führen wirin Kapitel 2 Matrizen ein und erklären, wie mit ihnen gerechnet wird.

Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie entscheiden können, welche Matri-zen Sie addieren und welche Sie multiplizieren dürfen, und Sie sollten die Rech-nungen durchführen können. Kapitel 2 ist etwas trocken. Beißen Sie sich trotzdemdurch, die Matrizenrechnung ist eine Grundlage für die weiteren Kurseinheiten,und die sollten Sie dann beherrschen.

In Kapitel 3 geht es um spezielle Matrizen, so genannte Elementarmatrizen. Wennman Elementarmatrizen von links an eine Matrix multipliziert, so werden zweiZeilen vertauscht, oder eine Zeile wird mit einem Körperelement multipliziert,oder das Vielfache einer Zeile wird zu einer anderen addiert.

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Studierhinweise zu Kurseinheit 1 15

Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie wissen, welche Elementarmatrixwelche elementare Zeilenumformung bewirkt, und sie sollten wissen, dass Elemen-tarmatrizen invertierbar sind, und dass ihre Inversen ebenfalls Elementarmatrizensind. Diese Tatsache werden wir später immer wieder ausnutzen.

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16 Studierhinweise zu Kurseinheit 1

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Kapitel 1

Einiges zum Sprachgebrauch

In diesem einleitenden Kapitel werden wir zunächst etwas Notation festlegen undeinige Begriffe klären, damit wir nicht aneinander vorbeireden.

1.1 Das Summensymbol Σ

Oft müssen wir Summen mit vielen Summanden untersuchen. Etwa:

(a) 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100

(b) n

2 + n

3 + · · ·+ n

k

(c) t1 + 2t2 + 3t3 + · · ·+ ntn

(d) 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Um das kompakt schreiben zu können, benutzen wir das Summationssymbol ∑.Das Symbol ∑, der griechische Buchstabe Sigma, der dem deutschen S entspricht,steht für „Summe“. Man spricht dieses Symbol „Summe“ aus.

Analysieren wir, was wir in den Beispielen gemacht haben:

(a) Wir addieren alle Quadrate der Zahlen von 3 bis 10. Dafür schreibt man10∑i=3

i2

oder∑

3≤i≤10i2. Gesprochen wird das „Summe der i2 für i von 3 bis 10“.

(b) Wir summieren Brüche, deren Zähler immer n ist und bei denen im Nenner

17

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18 1.1. Das Summensymbol Σ

alle Zahlen zwischen 2 und k stehen. Dafür schreiben wirk∑j=2

n

joder

∑2≤j≤k

n

j.

(c) Wir haben Zahlen t1, . . . , tn gegeben und müssen jede Zahl mit ihrem Index

multiplizieren und aufaddieren. Dafür kann mann∑k=1

ktk oder∑

1≤k≤nktk schrei-

ben.

(d) Wir müssen 5 mal 1 addieren. Dafür sind5∑r=1

1 oder∑

1≤r≤51 mögliche Abkür-

zungen.

Es ist gleichgültig, ob wir die Summationsindizes mit i, j, k, r oder anders benen-

nen, zum Beispiel ist10∑i=1

i2 =10∑j=1

j2.

Wir können auch Summen aufaddieren und erhalten Doppelsummen.∑1≤i≤m

∑1≤j≤n

aij =∑

1≤i≤m(ai1 + ai2 + · · ·+ ain)

= (a11 + a12 + · · ·+ a1n) + (a21 + a22 + · · ·+ a2n)+ · · ·+ (am1 + am2 + · · ·+ amn).

Statt∑

1≤i≤m

∑1≤j≤n

aij schreibt man auch∑

1≤i≤m1≤j≤n

aij. Vertauschen wir nun die Sum-

mensymbole:∑1≤j≤n

∑1≤i≤m

aij =∑

1≤j≤n(a1j + a2j + · · ·+ amj)

= (a11 + a21 + · · ·+ am1) + (a12 + a22 + · · ·+ am2)+ · · ·+ (a1n + a2n + · · ·+ amn)

= (a11 + a12 + · · ·+ a1n) + · · ·+ (am1 + am2 + · · ·+ amn)=

∑1≤i≤m

∑1≤j≤n

aij.

Wir sehen also:

1.1.1 Merkregel: Wenn Klammern um Summen weggelassen und Summandenvertauscht werden dürfen, so dürfen die Summensymbole in Doppelsummen ver-tauscht werden.

1.1.2 Aufgabe: Schreiben Sie folgenden Ausdruck als Summe:∑

1≤i≤34≤j≤6

aij.

1.1.3 Aufgabe: Schreiben Sie folgenden Ausdruck mit Hilfe des ∑-Symbols:(b63 + b73 + b83) + (b64 + b74 + b84) + (b65 + b75 + b85)

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 19

1.1.4 Aufgabe: Berechnen Sie5∑i=1

i2.

1.2 Aussagen

In der klassischen Logik wird unter einer Aussage jeder Satz der Umgangsspracheverstanden, dem die Eigenschaft, entweder „wahr“ zu sein oder „falsch“ zu sein,zugesprochen werden kann. Jede Aussage ist also entweder wahr oder falsch, undwelche dieser Eigenschaften auf eine Aussage zutrifft, soll prinzipiell feststehen,ohne dass man im Einzelfall in der Lage sein muss, effektiv entscheiden zu können,welcher der beiden Fälle zutrifft.

1.2.1 Beispiel: „Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen x, y, z, so dass dieGleichung x2 + y2 = z2 lösbar ist.“

Obgleich Sie vermutlich nicht wissen, ob dieser Satz richtig oder falsch ist, handeltes sich um eine Aussage. Entweder gibt es unendlich viele natürliche Zahlen x, y, z,die die Eigenschaft haben, dass x2 + y2 = z2 ist, oder nicht. Beides gleichzeitig istnicht möglich, nichts von beiden ebenfalls nicht, also ist dieser Satz eine Aussage.Diese Aussage ist übrigens wahr, einen Beweis dafür, das heißt, eine Begründungdafür, dass diese Aussage wahr ist, lernen Studierende der Mathematik in einemKurs oder einer Vorlesung über elementare Zahlentheorie.

1.2.2 Aufgabe: Sind die folgenden Sätze Aussagen? Begründen Sie Ihre Antwort.

1. Es gibt unendlich viele gerade Primzahlen.

2. (a+ b)2.

3. Für jede reelle Zahl a gilt a · 0 = 0.

4. Wenn 12 ≥ 9, so folgt 6 ≥ 7 und 2 · 2 = 4.

1.2.1 Junktoren

Aus gegebenen Aussagen können neue Aussagen gebildet werden. Dies geschiehtdurch sogenannte Junktoren (iungere = verbinden, lateinisch), die durch die Sym-bole ¬,∧,∨,⇒ und ⇔ bezeichnet werden, und die wir hier erklären wollen.

(a) Die Negation ¬: Wenn A eine Aussage ist, so kann A die Eigenschaft wahroder falsch zugeordnet werden.

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20 1.2. Aussagen

1.2.3 Definition: Die Negation ¬A von A ist diejenige Aussage, die falschist, wenn A wahr ist, und die wahr ist, wenn A falsch ist.

Die Negation von A wird mit ¬A bezeichnet. Ausgesprochen wird dies als„nicht A“ oder „Negation von A“. Ordnen wir einer wahren Aussage denWert w und einer falschen Aussage den Wert f zu, so lässt sich die Definitionder Negation von A folgendermaßen tabellarisch zusammenfassen:

A ¬Aw ff w

(b) Die Konjunktion ∧: Seien A und B Aussagen.

1.2.4 Definition: DieKonjunktionA∧B vonA und B ist diejenige Aussage,die genau dann wahr ist, wenn A und B beide wahr sind.

Die Konjunktion von A und B wird mit A∧B bezeichnet, und A∧B wird „Aund B“ ausgesprochen. Fassen wir die Konjunktion von zwei Aussagen nocheinmal tabellarisch zusammen. Die Aussagen A beziehungsweise B könnenwahr oder falsch sein. Wir haben also folgende Kombinationen:

A Bw ww ff wf f .

Da A∧ B genau dann wahr ist, wenn A und B beide wahr sind, erhalten wir:

A B A ∧ Bw w ww f ff w ff f f .

Beispiel: Sei A die Aussage „3 ≥ 2“, und sei B die Aussage „9 ist eine Prim-zahl“. Die Aussage A ist wahr, die Aussage B ist falsch. Aus der Tabelle lesenwir ab, dass die Aussage „3 ≥ 2 und 9 ist eine Primzahl“ falsch ist.

(c) Die Disjunktion ∨: Seien A und B Aussagen.

1.2.5 Definition: DieDisjunktion A∨B von A und B ist diejenige Aussage,die genau dann wahr ist, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 21

sind.

Die Disjunktion vonA und B wird mitA∨B bezeichnet und „A oder B“ ausge-sprochen. Wie bei der Konjunktion können wir die Definition der Disjunktionin Abhängigkeit vom Wahrheitswert von A und B tabellarisch zusammenfas-sen:

A B A ∨ Bw w ww f wf w wf f f .

Beispiel: Sei A die Aussage „3 ≥ 2“, und sei B die Aussage „9 ist eine Prim-zahl“. Mit der Tabelle folgt, dass die Aussage „3 ≥ 2 oder 9 ist eine Primzahl“wahr ist.

(d) Die Implikation ⇒: Seien wieder A und B Aussagen.

1.2.6 Definition: Die Implikation A ⇒ B von A und B ist diejenige Aus-sage, die genau dann falsch ist, wenn A wahr und B falsch ist.

Die Implikation von A und B wird mit A ⇒ B bezeichnet und „A impliziertB“ oder „aus A folgt B“ oder „wenn A, dann B“ ausgesprochen.

1.2.7 Definition: Die Aussage A heißt die Prämisse oder die Vorausset-zung der Implikation A ⇒ B, und die Aussage B wird die Konklusion oderder Schluss der Implikation genannt.

Wieder fassen wir die Definition von A ⇒ B tabellarisch zusammen:A B A ⇒ Bw w ww f ff w wf f w.

Beispiel: Sei A die Aussage „3 ≥ 2“, und sei B die Aussage „9 ist eine Prim-zahl“. Mit der Tabelle folgt, dass die Aussage „Wenn 3 ≥ 2 ist, dann ist 9 einePrimzahl“ falsch ist. Das ist beruhigend.

Der mathematische Gebrauch des Junktors ⇒ bürstet den umgangssprachli-chen Gebrauch der Satzkonstruktion „Wenn A, dann B“ ziemlich gegen denStrich. In der Umgangssprache müssen die Aussagen A und B miteinander in

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22 1.2. Aussagen

Beziehung stehen. In der Mathematik, formal gesehen, nicht. In der Mathe-matik geht die Aussage „Wenn 3 ≥ 2 ist, dann ist 17 ungerade“ als wahreAussage durch, denn beide Teilaussagen sind wahr. In der Umgangssprachewürde man dieselbe Aussage vermutlich als falsch empfinden. Es wird Sie abervielleicht beruhigen, dass auch in der Mathematik Prämisse und Konklusioneiner Implikation immer etwas miteinander zu tun haben werden.

Sie sollten die Tabelle für die Implikation folgendermaßen interpretieren: Auseiner wahren Prämisse kann man niemals etwas Falsches folgern. Ist die Prä-misse hingegen falsch, so kann alles passieren, die Konklusion kann richtig oderaber falsch sein.

(e) Die Äquivalenz ⇔: Seien A und B Aussagen.

1.2.8 Definition: Die Äquivalenz A ⇔ B von A und B ist diejenige Aus-sage, die genau dann wahr ist, wenn A und B beide wahr sind oder A und Bbeide falsch sind.

Die Äquivalenz von A und B wird mit A ⇔ B bezeichnet und „A genau dann,wenn B“ oder „A ist äquivalent zu B“ ausgesprochen. Tabellarisch fassen wirdie Definition folgendermaßen zusammen:

A B A ⇔ Bw w ww f ff w ff f w.

Beispiel: Sei A die Aussage „3 ≥ 2“, und sei B die Aussage „9 ist eine Prim-zahl“. Mit der Tabelle folgt, dass die Aussage „Genau dann ist 3 ≥ 2, wenn 9eine Primzahl ist“ falsch ist.

Hingegen würde die Aussage „Genau dann ist 3 ≥ 2, wenn 7 eine Primzahlist“ wahr sein, denn beide Teilaussagen sind wahr. Das sieht vermutlich jederNicht-Mathematiker, Nicht-Logiker oder Nicht-Philosoph anders.

1.2.9 Definition: Die Tabellen, die wir oben aufgestellt haben, heißen Wahr-heitstafeln. In ihnen wird aufgelistet, unter welchen Umständen eine Aussage(etwa A ∧ B oder A ⇒ B) wahr oder falsch ist.

Mit Hilfe von Wahrheitstafeln können wir auch die Wahrheitstafeln für komplexereAussagen aufstellen, wie folgende Beispiele zeigen. Dazu seien A und B Aussagen.

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 23

1.2.10 Beispiele: (a) Behauptung: Die Wahrheitstafeln von A ⇒ B und von(¬B)⇒ (¬A) sind gleich.

Beweis: Wir haben folgende Kombinationsmöglichkeiten der Wahrheitsgehal-te der Aussagen A und B:

A Bw ww ff wf f .

Wir tragen die Wahrheitswerte für ¬B und ¬A ein, und dann, mit Hilfe derWahrheitstafel für die Implikation, die Wahrheitswerte für (¬B)⇒ (¬A). Wirerhalten:

A B ¬B ¬A (¬B)⇒ (¬A)w w f f ww f w f ff w f w wf f w w w.

Interpretieren wir die beiden mittleren Spalten als Nebenrechnungen, so er-halten wir als Wahrheitstafel für (¬B)⇒ (¬A) die Tabelle

A B (¬B)⇒ (¬A)w w ww f ff w wf f w.

Diese stimmt mit den Einträgen in der Tabelle

A B A ⇒ Bw w ww f ff w wf f w

für A ⇒ B überein. �

(b) Behauptung: Die Wahrheitstafeln von A ⇔ B und (A ⇒ B)∧ (B ⇒ A) sindgleich.

Beweis: Analog zu Beispiel (a) bestimmen wir die Wahrheitstafel für (A ⇒B) ∧ (B ⇒ A).

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24 1.2. Aussagen

A B A ⇒ B B ⇒ A (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)w w w w ww f f w ff w w f ff f w w w.

Die Wahrheitstafel für (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) ist damit

A B (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)w w ww f ff w ff f w,

und die Einträge stimmen mit denen der Wahrheitstafel für A ⇔ B überein.�

Versuchen Sie es doch bitte selbst einmal.

1.2.11 Aufgabe: Beweisen Sie, dass die Wahrheitstafeln von ¬(A∨B) und (¬A)∧(¬B) gleich sind.

1.2.12 Aufgabe: Beweisen Sie, dass die Wahrheitstafeln von ¬(A∧B) und (¬A)∨(¬B) gleich sind.

1.2.13 Definition: Wenn zwei Aussagen dieselben Wahrheitstafeln haben, so sa-gen wir, dass die Aussagen logisch äquivalent sind.

1.2.14 Aufgabe: Geben Sie ein Beispiel für zwei Aussagen A und B, so dassA ⇒ B wahr ist und B ⇒ A falsch ist.

Die Gleichheit der Wahrheitstafeln, und damit die logische Äquivalenz der Aussa-gen in den Beispielen oben und den Übungsaufgaben sind der Grund für gewisseBeweisprinzipien in der Mathematik. Wenn wir eine Behauptung der Form „WennA, dann B“ beweisen müssen, dann können wir statt dessen die Behauptung „Wenn¬B, dann ¬A“ beweisen. Das ist vielleicht manchmal einfacher.

Analog, wenn wir „A genau dann, wenn B“ beweisen wollen, so zerlegen wir denBeweis in zwei Schritte. Wir beweisen zunächst die Aussage „Wenn A, dann B“und dann die Aussage „Wenn B, dann A“.

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 25

1.2.2 Quantoren

In der Mathematik wird nicht nur untersucht, ob eine Eigenschaft auf ein bestimm-tes Ding zutrifft oder nicht. Oft wird auch gefragt, wieviele (lateinisch: quanti)Dinge eine gegebene Eigenschaft besitzen. Operatoren, die solche Zusammenhän-ge beschreiben, werden in der mathematischen Logik Quantoren genannt. Fürdie am häufigsten vorkommenden Quantoren gibt es wiederum Abkürzungen.

1.2.15 Definition: Existenzquantor ∃: Das Symbol ∃ wird verbal durch „Esgibt ein“ ausgedrückt.

1.2.16 Merkregel: In der Mathematik wird „Es gibt ein“ im Sinne von „Es gibtmindestens ein.“ verwendet.

Die Aussage „Es gibt eine gerade Zahl“ ist also eine wahre Aussage. Da es unend-lich viele gerade Zahlen gibt, gibt es insbesondere eine gerade Zahl.

Eine Aussage

„Es gibt ein x mit A“

wird mit Hilfe von Quantoren durch

∃x : A

ausgedrückt. Im Zusammenhang mit dem Existenzquantor ∃ wird der Doppelpunktzu „mit“.

1.2.17 Definition: Allquantor ∀: Das Symbol ∀ wird verbal durch „Für alle“ausgedrückt.

Eine Aussage

„Für alle x gilt A“

wird mit Hilfe von Quantoren durch

∀x : A

ausgedrückt. Sie sehen, dass der Doppelpunkt im Zusammenhang mit dem All-quantor ∀ als das Verb „gilt“ gelesen wird.

Für die folgenden Aufgaben müssen wir noch etwas Notation festlegen: Mit Nbezeichnen wir die Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3, . . . }, und das Symbol ∈bedeutet, dass das Objekt links von ∈ Element der Menge ist, die rechts von ∈steht.

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26 1.2. Aussagen

1.2.18 Aufgabe: Drücken Sie die folgenden Aussagen verbal aus.

1. ∃n ∈ N : (∀m ∈ N : n ≤ m)

2. ∃n ∈ N : n teilt 17

1.2.19 Aufgabe: Drücken Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe von Quantorenaus.

1. Es gibt eine Primzahl p, die durch 3 teilbar ist.

2. Für alle natürlichen Zahlen n gilt n ≥ 1.

Quantoren lassen sich beliebig verschachteln, nur sollte man dann die Aussagenklammern, um nicht den Überblick zu verlieren.

Beispiel: Der Ausdruck ∀ε > 0 : (∃nε ∈ N : (∀n ≥ nε : |an − a| < ε)) bedeutet„Für alle ε > 0 gilt: Es gibt ein nε ∈ N mit der Eigenschaft, dass für alle n ≥ nεgilt, dass |an− a| < ε ist“. Oder, weniger holprig ausgedrückt: „Für alle ε > 0 gibtes ein nε ∈ N, so dass |an − a| < ε für alle n ≥ nε gilt.“

1.2.20 Aufgabe: Drücken Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe von Quantorenaus.

1. Für alle y ∈ Y gibt es ein x ∈ X mit f(x) = y.

2. Es gibt ein a ∈ R mit ax = x für alle x ∈ R.

Der Gebrauch von Quantoren ist Geschmacksache. Es ist ziemlich mühsam, einenSatz wie etwa

∀n ∈ N : (∃m ∈ N : m ≥ n)

zu lesen, insbesondere, wenn derselbe Sachverhalt durch

Für alle natürlichen Zahlen n gibt es ein m ∈ N mit m ≥ n.

ausgedrückt werden kann.

1.2.3 Negation von All- und Existenzaussagen

Die Negation der Aussage

„Es gibt ein x mit A“ also, in Quantorensprache, ∃x : A

ist die Aussage

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 27

„Für alle x gilt die Aussage ¬A“, also ∀x : ¬A.

1.2.21 Merkregel: Bei der Negation einer Existenzaussage ∃x : A wird der Exis-tenzquantor in einen Allquantor umgewandelt, und die Aussage A wird negiert.

1.2.22 Aufgabe: Wahr oder falsch? Die Negation der Aussage

1. „Es gibt eine Primzahl p mit p gerade und p ≥ 3“ ist „Für alle Primzahlenp gilt p ist ungerade oder p < 3.“

2. „Es gibt eine reelle Zahl x mit x2 + 1 < 0“ ist „Für alle reellen Zahlen x giltx2 + 1 ≥ 0“.

3. „Es gibt eine ganze Zahl a ∈ Z mit a > 3 und a < 4“ ist „Für alle ganzenZahlen a ∈ Z gilt a ≤ 3 oder a ≥ 4.“

Die Negation des Satzes

„Für alle x gilt A“ also ∀x : A

ist die Aussage

„Es gibt ein x mit ¬A“, also ∃x : ¬A.

1.2.23 Merkregel: Bei der Negation einer Allaussage ∀x : A wird der Allquantorin einen Existenzquantor umgewandelt, und die Aussage A wird negiert.

1.2.24 Aufgabe: Wahr oder falsch? Die Negation der Aussage

1. „Für alle n ≥ 3 hat die Gleichung xn + yn = zn eine Lösung“ ist „Es gibtein n ≥ 3, so dass die Gleichung xn + yn = zn keine Lösung hat.“

2. „Für alle x ∈ X gilt x ist gerade oder eine Primzahl“ ist „Es gibt ein x ∈ X,das ungerade oder keine Primzahl ist.“.

3. „Für alle n ≥ 5 ist an < 0“ ist „Es gibt ein n ≥ 5, so dass an ≥ 0 ist.“.

4. „Für alle a mit a ≥ 5 und a ≤ 7 gilt 2a ≥ 10 und 2a ≤ 14“ ist „Es gibt eina mit a ≥ 5 und a ≤ 7 mit 2a < 10 oder 2a > 14.“

Mit Hilfe von Quantoren und der Merkregeln lassen sich auch komplexere Aussageneinfach negieren. Betrachten wir das Beispiel der Aussage „Für alle ε > 0 gibt esein nε ∈ N, so dass |an − a| < ε ist, für alle n ≥ nε“ aus dem letzten Abschnitt.In Quantorenschreibweise lautet diese Aussage

∀ε > 0 : (∃nε ∈ N : (∀n ≥ nε : |an − a| < ε)).

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28 1.2. Aussagen

Was ist die Negation dieser Aussage? Die Aussage ist von der Form

∀ε > 0 : A, wobei A die Aussage (∃nε ∈ N : (∀n ≥ nε : |an − a| < ε)) ist.

Merkregel 1.2.21 sagt, was zu tun ist, die Negation von ∀ε > 0 : A ist

∃ε > 0 : ¬A

Die Aussage A ist von der Form

∃nε ∈ N : B, wobei B die Aussage ∀n ≥ nε : |an − a| < ε ist.

Mit Merkregel 1.2.23 ist ¬A damit von der Form

∀nε ∈ N : ¬B.

Die Aussage B ist von der Form

∀n ≥ nε : |an − a| < ε,

mit Merkregel 1.2.21 ist ¬B die Aussage

∃n ≥ nε : |an − a| ≥ ε.

Nun müssen wir nur noch einsetzen. Die gesuchte Negation ist

∃ε > 0 : (∀nε ∈ N : (∃n ≥ nε : |an − a| ≥ ε)).

1.2.25 Aufgabe: Bestimmen Sie die Negationen folgender Aussagen.

1. Es gibt ein n ∈ N, das die Eigenschaft n ≤ m für alle m ∈ N hat.

2. Für alle y ∈ Y gibt es ein x ∈ X mit f(x) = y.

1.2.4 Vollständige Induktion

Das Prinzip der vollständigen Induktion, das in diesem Abschnitt erklärt wird, istein zentrales Prinzip der Beweisführung.

Mit N0 bezeichnen wir die Menge {0, 1, 2, . . . }.

Sei n0 ∈ N0 fest gewählt, und sei A(n) für alle n ∈ N0, n ≥ n0 eine Aussage.

Angenommen, wir können zeigen:

(i) Induktionsanfang: A(n0) ist richtig.

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 29

(ii) Induktionsschritt: Für alle n ≥ n0 folgt: Ist A(n) richtig, so auch A(n+1).

Das Prinzip der vollständigen Induktion besagt: Unter diesen Voraussetzun-gen ist A(n) für alle n ≥ n0 richtig.

Wenn wir also wissen, dass A(n0) wahr ist, und weiter wissen, dass wir für allen ≥ n0 aus der Gültigkeit von A(n) auf die Gültigkeit von A(n + 1) schließenkönnen, dann können wir über die Kette A(n0)⇒ A(n0 + 1)⇒ A(n0 + 2)⇒ . . .die Aussage für jede natürliche Zahl, die größer als n0 ist, beweisen.

Oft wird ein Induktionsbeweis in drei Schritte unterteilt.

1. Zunächst wird der Induktionsanfang formuliert.

2. Dann wird die so genannte Induktionsannahme, das ist die Aussage A(n),formuliert.

3. Im Induktionsschritt wird gezeigt, dass die Aussage A(n) die AussageA(n+ 1) impliziert.

Oft wird auf die explizite Formulierung der Induktionsannahme aber auch verzich-tet.

Beispiele:

(a) Behauptung: Für alle n ∈ N0 istn∑i=0

i = n(n+ 1)2 .

Beweis:

Induktionsanfang: Sei n0 = 0. Für den Induktionsanfang müssen wir die

Gültigkeit der Aussage0∑i=0

i = 0(0 + 1)2 beweisen. Links des Gleichheits-

zeichens haben wir0∑i=0

i = 0 und rechts des Gleichheitszeichens ebenso.

Es ist also 0 = 0 (offenbar eine wahre Aussage), und damit gilt der In-duktionsanfang.

Induktionsannahme Sei n ≥ 0 undn∑i=0

i = n(n+ 1)2 .

Induktionsschritt: Zu zeigen ist, dass diese Annahmen+1∑i=0

i = (n+ 1)(n+ 2)2

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30 1.2. Aussagen

impliziert.

n+1∑i=0

i =n∑i=0

i+ (n+ 1)

= n(n+ 1)2 + (n+ 1) nach Induktionsannahme

= n(n+ 1) + 2n+ 22

= n2 + 3n+ 22

= (n+ 1)(n+ 2)2 .

Wir haben also die Aussage „Wennn∑i=0

i = n(n+ 1)2 erfüllt ist, so folgt

n+1∑i=0

i = (n+ 1)(n+ 2)2 “ bewiesen, und das Prinzip der vollständigen In-

duktion besagt, dassn∑i=0

i = n(n+ 1)2 für alle n ≥ 0 gilt. �

(b) Behauptung: Für alle n ∈ N0 ist an = 6n+2 + 72n+1 durch 43 teilbar.

Beweis: Wir beweisen die Behauptung mit Induktion nach n.

Im Induktionsanfang sei n0 = 0. Dann ist a0 = 62 + 7 = 43, also ist a0 durch43 teilbar, und es gilt der Induktionsanfang.

Für den Induktionsschritt sei n ≥ 0. Wir nehmen an, dass an durch 43 teilbarist, und müssen zeigen, dass an+1 durch 43 teilbar ist. Es ist

an+1 = 6(n+1)+2 + 72(n+1)+1

= 6n+3 + 72n+3

= 6(6n+2) + 72(72n+1)

= 6(6n+2) + (43 + 6)72n+1

= 6(6n+2 + 72n+1) + 43 · 72n+1.

43 teilt 6(6n+2 + 72n+1), denn 43 teilt 6n+2 + 72n+1 nach Annahme, und 43teilt 43 · 72n+1. Somit ist an+1 durch 43 teilbar, und mit dem Prinzip dervollständigen Induktion folgt die Behauptung. �

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 31

(c) Behauptung: Für alle n ∈ N giltn∑i=1

(i+ 1)i = 13n(n+ 1)(n+ 2).

Beweis: Wir beweisen die Behauptung mit Induktion nach n.

Im Induktionsanfang sei n0 = 1. Es ist1∑i=1

(i+1)i = 2 ·1 = 2, und 13 ·1 ·2 ·3 = 2.

Somit gilt1∑i=1

(i+ 1)i = 13 · 1(1 + 1)(1 + 2), der Induktionsanfang.

Sei nun n ≥ 1. Für den Induktionsschritt nehmen wir an, dassn∑i=1

(i+ 1)i = 13n(n+ 1)(n+ 2)

gilt, und wir müssenn+1∑i=1

(i+ 1)i = 13(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

herleiten.

Es giltn+1∑i=1

(i+ 1)i =(

n∑i=1

(i+ 1)i)

+ (n+ 2)(n+ 1)

= 13n(n+ 1)(n+ 2) + (n+ 2)(n+ 1)

= (13n+ 1)(n+ 1)(n+ 2)

= 13(n+ 3)(n+ 1)(n+ 2)

= 13(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3).

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt die Behauptung. �

1.2.26 Aufgabe: Beweisen Sie folgende Aussage mit vollständiger Induktion.n∑i=1

1i(i+ 1) = 1− 1

n+ 1 für alle n ∈ N.

Mehr Übungsmaterial zu Beweisen mit vollständiger Induktion finden Sie im LVUzu diesem Kurs.

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32 1.2. Aussagen

1.2.5 Beweise

Alle mathematischen Texte, seien es Lehrbücher, Studienbriefe oder wissenschaft-liche Forschungsarbeiten, haben im Prinzip denselben Grundaufbau. Sie enthaltenrelativ wenig Prosa. Es werden Behauptungen formuliert, und dann folgt ein Be-weis der Behauptung. Gerade zu Beginn des Studiums stellt sich häufig die Frage,was eigentlich ein Beweis ist. Und ob sich Beweise standardisieren lassen, ob esalso ein Schema gibt, mit dem sich Beweise einfach abarbeiten lassen. Die schlechteNachricht ist: Nein, so ein Schema gibt es nicht, und schon gar nicht lassen sichkomplexe Beweise auf Wahrheitstafeln zurückführen.

Grundsätzlich sind fast alle mathematische Sätze „wenn-dann-Aussagen“. Aus ge-wissen Aussagen (den Voraussetzungen) wird eine weitere Aussage (die Behaup-tung) mit den Gesetzen der Logik abgeleitet, und dies geschieht im Beweis. DieStruktur des Beweises ist natürlich stark abhängig von den gegebenen Voraus-setzungen und der gegebenen Behauptung – hier dürfen wir kein festes Schemaerwarten.

Aussagen zu beweisen lässt sich nur durch Übung erlernen, und dadurch, dassandere unsere Bemühungen kritisch hinterfragen und auf Lücken hinweisen. (Hiersinge ich das hohe Lied auf das Lösen von Einsendeaufgaben.)

Trotzdem gibt es bei Beweisen einige Tricks, die auf den Prinzipien der Logik, wiewir sie oben vorgestellt haben, basieren, und die sollen an dieser Stelle verratenwerden.

Das Prinzip der vollständigen Induktion

Dieses Prinzip haben wir oben in Abschnitt 1.2.4 vorgestellt. Wenn immer Sie aufAussagen der Form „Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N folgendes gilt . . . “ treffen,sollten Sie sich dieses Prinzip in Erinnerung rufen. Vielleicht hilft dieser Ansatzweiter.

Direkte Beweise

Die Struktur eines Satzes (oder einer Übungsaufgabe) ist immer A ⇒ B, wobei Adie Voraussetzungen und B die Behauptung sind.

Auch Äquivalenzaussagen A ⇔ B passen in dieses Schema. Bei ihnen handelt essich um zwei Aussagen nach unserem Grundschema, nämlich A ⇒ B und B ⇒ A.

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 33

(Vergleiche Beispiel 1.2.10 (b).) Vor Beweisen von Äquivalenzaussagen deutet mandurch Pfeile ⇒ und ⇐ an, welche Implikation bewiesen wird.

In einem so genannten direkten Beweis der Aussage A ⇒ B nimmt man an, dieAussage A würde gelten und schließt dann, dass auch B gelten muss.

Beweise durch Kontraposition

Wir haben oben in Beispiel 1.2.10 (a) gesehen, dass logisch äquivalent zur Aussage„A ⇒ B“ die Aussage „¬B ⇒ ¬A“ ist. Ein Beweis der Aussage A ⇒ B durchKontraposition läuft nach folgendem Schema ab:

Wir nehmen an, es gelte ¬B und folgern, dass ¬A gilt.

Indirekte Beweise (auch genannt: Beweise durch Widerspruch)

Manchmal zieht man einen Beweis der Aussage A ⇒ B auch folgendermaßen auf:

Es gelte A. Angenommen, B wäre falsch. Dann schließt man auf einen Widerspruch(zur Voraussetzung, oder zu einer vorher bewiesenen Tatsache, oder zur Definition,. . . ). Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme „B ist falsch“ selbst falsch war,und es folgt, dass B richtig sein muss.

Ein Widerspruchsbeweis beruht auf der Tatsache, die wir in Abschnitt 1.2 gesehenhaben, dass aus einer wahren Aussage mit den Gesetzen der Logik nicht etwasFalsches geschlossen werden kann. Wenn aus „B ist falsch“ mit den Gesetzen derLogik auf offensichtlichen Unsinn geschlossen werden kann, dann muss die Aussage„B ist falsch“ verworfen werden.

Ringschlüsse

Oft müssen Aussagen der Form

„wenn A gilt, dann sind die Aussagen (i), (ii) und (iii) äquivalent“

bewiesen werden.

Wir könnten natürlich A voraussetzen und dann die Aussagen (i) ⇒ (ii), (ii) ⇒(i), (ii) ⇒ (iii), (iii) ⇒ (ii), (iii) ⇒ (i) und (i) ⇒ (iii) beweisen.

Aber es geht viel schneller. Wenn Sie (i)⇒ (ii), (ii)⇒ (iii) und (iii)⇒ (i) bewiesenhaben, dann sind Sie schon fertig. Sie kommen von jeder Aussage zu jeder anderen,

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34 1.3. Mengen

indem Sie den Implikationspfeilen folgen. Der Beweis der Aussage (ii)⇒ (i) erfolgtbeispielsweise, indem Sie (ii) ⇒ (iii) ⇒ (i) folgen.

1.2.6 Satz, Proposition, Korollar, . . . ?

In diesem Kurs werden Sie mathematische Aussagen sehen, die als Satz, Pro-position oder Korollar, Lemma oder Bemerkung bezeichnet werden. Was istwas?

Der Begriff Satz ist am schwierigsten einzugrenzen. Es gibt Autoren, die jede zubeweisende Aussage einen Satz nennen. Das wird in diesem Kurs nicht der Fall sein.Hier wird als Satz nur ein tiefes, wichtiges Resultat bezeichnet. Man findet auchdie Bezeichnung Theorem für ein besonders wichtiges Ergebnis. Dieser Terminuswird allerdings immer seltener verwendet, denn im Englischen, der wichtigstenSprache für die Mathematik, entspricht das englische Wort Theorem gerade demdeutschen Wort Satz. In diesem Kurs werden Sie häufig den Begriff Propositionfinden. Das ist die lateinische Übersetzung des Wortes Satz. Ich verwende es fürErgebnisse, die wichtig, allerdings nicht so wichtig wie ein Satz sind.

Lemma stammt aus dem Griechischen und bedeutet so viel wie „Hauptgedanke“.Bei einem Lemma handelt es sich also um einen ganz besonders wichtigen Schlüs-selgedanken, der in vielen Situationen hilfreich ist. Heute wird Lemma aber auchim Sinne von „Hilfssatz“ gebraucht. Also eine technische Aussage, die vielleichtsogar einen komplizierten Beweis hat, die aber den Beweis des folgenden Satzesdann sehr elegant macht. Der Plural von Lemma ist Lemmata.

Ein Korollar (Betonung auf der letzten Silbe) ist eine Folgerung aus einem Satzoder einer Proposition beziehungsweise aus deren Beweis. Bei einem Korollar mussman immer angeben können, woraus es eine Folgerung ist. Als sehr schlechter ma-thematischer Stil gilt es, ein Korollar aus einer Definition oder einem Lemma zuziehen. Natürlich sollte man sich bei einer Definition zunächst einmal Gedankenmachen, was es mit diesem Begriff überhaupt auf sich hat und erste Schlussfolge-rungen schließen. Aber das sollte man dann nicht als Korollar, sondern in einerBemerkung oder einer Beobachtung machen.

1.3 Mengen

Die Verständigung in der modernen Mathematik stützt sich auf den Begriff derMenge. Dabei wollen wir uns eine Menge als „Zusammenfassung“ von Objekten

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 35

vorstellen, wobei immer klar sein soll, ob ein Objekt zu dieser Menge gehört odernicht. Die Objekte in einer Menge M nennen wir Elemente von M .

Wir schreiben ∈ für „ist Element von“, also m ∈M für „m ist Element der MengeM“, und /∈ für „ist nicht Element von“, also m /∈M für „m ist nicht Element derMenge M“.

1.3.1 Definitionen: (i) Eine Menge N heißt Teilmenge einer MengeM , wennjedes Element aus N auch zu M gehört, wenn also ∀x : (x ∈ N ⇒ x ∈ M).Um eine Teilmengenbeziehung auszudrücken benutzen wir das Symbol ⊆.

(ii) Zwei Mengen M und N sind gleich, falls M ⊆ N und N ⊆ M , wenn alsoM und N die gleichen Elemente enthalten.

(iii) Die leere Menge ist diejenige Menge, die kein einziges Element besitzt. Siewird mit ∅ bezeichnet.

Mengen werden oft in der Form M = {x | pipapo} angegeben. Dies steht für dieAussage „M ist die Menge aller x, die die Eigenschaft pipapo haben.“

Bei der Definition neuer Mengen verwendet man oft nicht das Gleichheitszeichen,sondern das Symbol :=. Der Doppelpunkt steht auf der Seite des Gleichheitszei-chens, auf der die neu definierte Menge steht.

1.3.2 Beispiel: Die Schreibweise M := {2i | i ist eine gerade Zahl} bedeutet: Mwird definiert als die Menge {. . . , 2−6, 2−4, 2−2, 20, 22, 24, 26 . . . }.

1.3.3 Definitionen: Seien M und N Mengen.

(i) Die Vereinigung von M und N wird mit ∪ bezeichnet und ist definiert als

M ∪N := {x | x ∈M oder x ∈ N}, (gesprochen: M vereinigt N).

(ii) Der Durchschnitt vonM und N wird mit ∩ bezeichnet und ist definiert als

M ∩N := {x | x ∈M und x ∈ N}, (gesprochen: M geschnitten N).

(iii) Die Differenzmenge von M und N wird mit \ bezeichnet und ist definiertals

M \N := {x | x ∈M und x /∈ N}, (gesprochen: M ohne N).

(iv) Zwei Mengen M und N heißen disjunkt, falls M ∩N = ∅ gilt.

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36 1.3. Mengen

1.3.4 Beispiele: (a) Seien M := {1, 2, 3, 4, 5, 6} und N := {4, 5, 6, 7, 8}. Danngilt:

M ∪N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}M ∩N = {4, 5, 6}M \ N = {1, 2, 3}.

(b) Sei Z die Menge der ganzen Zahlen, also Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . }. Danngilt:

N ∪ Z = ZN ∩ Z = NN \ Z = ∅Z \ N = {. . . ,−2,−1, 0}

1.3.5 Definition: Besitzt eine MengeM nur endlich viele Elemente, so sagen wir,dass M eine endliche Menge ist. Anderenfalls nennen wir M eine unendlicheMenge.

1.3.6 Aufgabe: Sind folgende Aussagen wahr oder falsch? Begründen Sie IhreAntwort.

1. Wenn M \N = ∅ für zwei Mengen M und N gilt, so folgt M = N.

2. Wenn M ∪N endlich ist, dann sind M und N endlich.

3. Wenn M ∩N endlich ist, dann sind M und N endlich.

Sei M eine Menge. Wir schreiben

|M | ={

n, falls M genau n Elemente besitzt, n ∈ N0∞, falls M eine unendliche Menge ist

Die auf der Seite liegende Acht, also ∞, ist das mathematische Zeichen für „un-endlich“, und es wird auch als „unendlich“ ausgesprochen.

1.3.7 Definition: Sei M eine Menge. Wir nennen |M | die Mächtigkeit oderdie Kardinalität von M .

1.3.8 Aufgabe: Sind folgende Aussagen wahr oder falsch? Begründen Sie IhreAntwort.

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 37

1. Wenn |M∪N | = |M |+|N | für endliche MengenM undN , so folgtM∩N = ∅.

2. Für endliche Mengen M und N gilt: Wenn M ∩N = ∅, so folgt |M ∪N | =|M |+ |N |.

1.3.9 Definitionen: Sind M und N nicht leere Mengen, so definieren wir dieProduktmenge M ×N von M und N durch

M ×N := {(m,n) | m ∈Mundn ∈ N}.

Dabei nennen wir (m,n) ein geordnetes Paar, und man definiert die Gleichheitvon geordneten Paaren durch: (m,n) = (m′, n′) genau dann, wenn m = m′ undn = n′ ist.

Sie haben alle schon mit Produktmengen gerechnet, und zwar im Mittelstufenun-terricht. Damals haben Sie ein Koordinatensystem gezeichnet, an die horizontaleAchse x und an die vertikale Achse y geschrieben.

Zur Erinnerung:

a

b (a,b)

x

y

Die x-Achse symbolisierte die reellen Zahlen, die mit R bezeichnet werden, und diey-Achse ebenfalls. Ein Punkt in der Ebene wurde durch seine Koordinaten (a, b),dabei a auf der x- und b auf der y-Achse, angegeben. Genau genommen haben Sieim Mittelstufenunterricht mit der Produktmenge R×R gearbeitet. Dieses Beispielsollte klar machen, warum man bei Produktmengen von geordneten Paaren spricht:Es ist wichtig, ob ein Element an der ersten oder der zweiten Stelle vorkommt. DerPunkt (1, 0) ist ein anderer als der Punkt (0, 1).

Sind die Mengen M und N Intervalle in R, so lässt sich die Produktmenge M ×Nin einem Koordinatensystem wieder sehr gut veranschaulichen. Seien etwa

M := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} und N := {x ∈ R | c ≤ x ≤ d}

mit a, b, c, d ∈ R, a < b und c < d. Die Produktmenge M × N besteht dann ausden Punkten in dem Kästchen:

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38 1.4. Abbildungen

a bx

y

c

d

Bei der allgemeinen Definition von Produktmengen lässt man beliebige Mengenzu, die keine Teilmengen der reellen Zahlen sein müssen. Dann sind die Bilder, wiewir sie oben gezeichnet haben, nicht mehr sehr hilfreich.

1.3.10 Aufgabe: Ist folgende Aussage wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Ant-wort.

Sind M und N endliche, nicht leere Mengen, so ist |M ×N | = |M | · |N |.

1.4 Abbildungen

1.4.1 Was ist eigentlich eine Abbildung?

Die meisten von Ihnen werden von dem Begriff einer Abbildung zwischen Mengenbereits gehört haben. In der Schule haben Sie vermutlich etwa Folgendes gelernt:

„Eine Abbildung f : M → N (wobei M und N Mengen sind) ist eine Vorschrift,die jedem m ∈M genau ein n ∈ N zuordnet.“

Diese Formulierung ist ziemlich unpräzise, denn was genau ist eine Vorschrift? MitHilfe von Mengen können wir die schwammige Definition klar formulieren. Tastenwir uns langsam ran: Bei einer Abbildung f von einer Menge M in eine MengeN müssen wir beide Mengen M und N im Auge behalten. Die Elemente m ∈ Mhaben Partner (nämlich f(m)) in N . Fassen wir die Partner zu geordneten Paaren(m, f(m)) zusammen, so erhalten wir eine Teilmenge der Produktmenge M ×N .Wir können uns eine Abbildung also vorstellen als eine Teilmenge von M × N .Eine beliebige Teilmenge? Nein, denn wir haben ja noch zusätzliche Bedingungen.Zum einen, jedes Element m ∈ M hat einen Partner n ∈ N . Unsere Teilmengemuss also so geschaffen sein, dass jedes m in M als erster Eintrag in einem dergeordneten Paare vorkommt. Wenn wir ein Element m ∈ M festhalten, könnendann (m,n) und (m,n′) beide in unserer Teilmenge liegen, falls n und n′ verschie-den sind? Die Antwort ist „nein“, denn das würde ja bedeuten, dass unser festes

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 39

m zwei verschiedene Partner in N hätte. Und wir wollten ja gerade haben, dassjedes Element m ∈ M genau einen Partner in N hat. Jetzt haben wir aber alleBedingungen zusammen, die unsere Teilmenge haben muss, und wir definieren:

1.4.1 Definition: Seien M und N Mengen. Eine Abbildung von M nach N isteine Teilmenge f ⊆M ×N , so dass folgende Eigenschaften gelten:

(i) Für alle m ∈M gibt es ein n ∈ N , so dass (m,n) ∈ f .

(ii) Wenn (m,n) ∈ f und (m,n′) ∈ f , so folgt n = n′.

1.4.2 Aufgabe: Welche der folgenden Teilmengen von R × R definieren Abbil-dungen vom R nach R?

(a) f := {(5, x) | x ∈ R}

(b) f := {(x, 5) | x ∈ R}

Nachdem wir die beiden Eigenschaften, die eine Abbildung definieren, nun präziseausgedrückt haben, ist das weitere Vorgehen nur noch eine Frage der Schreibweise,also der Notation.

1.4.3 Notation: Sei f ⊆ M × N eine Abbildung. Dann schreiben wir dafürf : M → N (gesprochen: f ist eine Abbildung vonM nach N), und wir bezeichnendas zu m ∈M eindeutig bestimmte n ∈ N , für das (m,n) ∈ f gilt, mit n = f(m).Ist m ∈ M , so schreiben wir auch m 7→ f(m) (gesprochen: m wird auf f(m)abgebildet).

1.4.4 Beispiel: Die Teilmenge f = {(x, x2) | x ∈ R} ⊆ R×R ist eine Abbildungim Sinne der Definition 1.4.1. Mit der gerade eingeführten Notation wird dieseAbbildung zu dem, was Sie von der Schule her kennen, nämlich f : R → R,definiert durch f(x) = x2 für alle x ∈ R.

1.4.5 Definition: Zwei Abbildungen f : M → N und g : M ′ → N ′ heißen gleich,falls M = M ′ und N = N ′ und f(m) = g(m) für alle m ∈M gilt.

Der Begriff der Abbildung ist in der Mathematik nicht vom Himmel gefallen. Esdauerte lange, bis aus den vielfältigen Entwicklungen in den verschiedensten Gebie-ten der Mathematik der ganz allgemeine und universell anwendbare Abbildungs-begriff entstand, wie er oben in 1.4.1 definiert wurde. Hier gleich eine Antwort aufdie Frage, was der Unterschied zwischen einer Abbildung und einer Funktion ist.Es gibt keinen. Nur, dass man in der Analysis in der Regel den Begriff „Funktion“benutzt und in der Algebra eher von Abbildungen spricht.

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40 1.4. Abbildungen

1.4.2 Bild und Urbilder

Wir kommen zu zwei wichtigen Begriffen im Zusammenhang mit Abbildungen.

1.4.6 Definitionen: Sei f : M → N eine Abbildung, und sei m ∈ M . Mannennt f(m) das Bild von m unter f . Die Teilmenge {n ∈ N | es gibt ein m ∈M mit f(m) = n} von N heißt das Bild von f und wird mit Bild(f) oder f(M)bezeichnet. Ist n ∈ Bild(f), so wird ein m ∈ M mit f(m) = n ein Urbild von nunter f genannt.

1.4.7 Aufgabe: Sei f : R→ R definiert durch f(x) = x2 für alle x ∈ R. SkizzierenSie den Funktionsgraphen von f . Welche reellen Zahlen liegen im Bild von f? Wieviele Urbilder haben diejenigen Elemente, die in Bild(f) liegen?

Wenn Sie mehr Beispiele sehen wollen, haben wir Ihnen in der Virtuellen Uni-versität einige Applets zur Verfügung gestellt. Im folgenden Applet können Sieverschiedene Abbildungen auswählen. Wenn Sie auf die x-Achse klicken, wird dasBild des Elements angezeigt. Hier sehen Sie nur einen Screenshot. Wenn Sie diesenanklicken oder den Links in der Virtuellen Universität folgen, werden Sie zu demApplet weitergeleitet.

Bild eines Elements unter einer Abbildung

Mit dem folgenden Applet können Sie sich die Bilder verschiedener Abbildun-gen ansehen. Sie müssen auf den Button „Bild“ klicken. Wieder können Sie denScreenshot anklicken und sich weiterleiten lassen oder den Links in der VirtuellenUniversität folgen.

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 41

Bild einer Abbildung

Das folgende Applet soll Ihnen ein Gefühl dafür vermitteln, was Urbilder vonElementen unter einer Abbildung sind. Wenn Sie einen Punkt auf der y-Achseanklicken, werden die Urbilder dieses Punktes konstruiert.

Urbilder eines Elements unter einer Abbildung

Das Beispiel in Aufgabe 1.4.7 ist im gewissen Sinne typisch für die Phänomene,die bei Bildern und Urbildern auftreten können. Fassen wir diese kurz zusammen:

1.4.8 Beobachtung: Sei f : M → N eine Abbildung.

(a) Jedes Element m ∈ M besitzt genau ein Bild unter f . Dies ist gerade die

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42 1.4. Abbildungen

Forderung, dass f eine Abbildung ist.

(b) Nicht jedes Element n ∈ N muss im Bild von f liegen. In dem Beispiel inAufgabe 1.4.7 liegen beispielsweise die negativen reellen Zahlen nicht im Bildvon f .

(c) Wenn n im Bild von f liegt, dann kann es zu n durchaus mehrere Urbildergeben. Beispielsweise liegt 4 im Bild der Abbildung in Aufgabe 1.4.7, und essind 2 und −2 Urbilder von 4 unter f .

Die Fälle, in denen Abbildungen f : M → N die Eigenschaften haben, dass jedesElement in N im Bild von f oder jedes Element in Bild(f) genau ein Urbild besitzt,sind so wichtig (schön), dass sie eine eigene Definition wert sind.

1.4.9 Definition: Sei f : M → N eine Abbildung.

(i) f heißt surjektiv, wenn jedes Element n ∈ N im Bild von f liegt.

(ii) f heißt injektiv, wenn jedes Element im Bild von f genau ein Urbild besitzt.

(iii) f heißt bijektiv, wenn f sowohl surjektiv als auch injektiv ist.

Mit dem folgenden Applet können Sie sich mit der Definition vertraut machen.

Unter den Beispielen finden Sie Abbildungen, die injektiv, surjektiv, aber auchnichts von alledem sind. Klicken Sie wie beim letzten Applet auf die y-Achse.

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 43

Um die Surjektivität einer Abbildung f : M → N zu beweisen, muss man miteinem beliebigen Element n ∈ N beginnen und ein Element m ∈ M explizitangeben, für das f(m) = n gilt. Wenn man beweisen will, dass f nicht surjektivist, reicht es aus, ein einziges Element n ∈ N anzugeben, das nicht im Bild von fliegt.

1.4.10 Beispiele: (a) Sei f : R×R→ R definiert durch f((x, y)) = x+y für alle(x, y) ∈ R×R. Dann ist f surjektiv, denn wenn z ∈ R, dann gilt (0, z) ∈ R×R,und es ist f((0, z)) = 0 + z = z. Jedes z ∈ R besitzt also ein Urbild unter f .

(b) Sei g : N → Z definiert durch f(n) = −n für alle n ∈ N. Dann ist g nichtsurjektiv, denn das Element 0 ∈ Z besitzt kein Urbild.

Um die Injektivität einer Abbildung zu beweisen, geht man folgendermaßen vor:Wir geben uns ein beliebiges Element n ∈ Bild(f) vor und nehmen an, diesesElement hätte die Urbilder m und m′, also f(m) = f(m′). Dann leiten wir ausdieser Gleichung her, dass m = m′ sein muss, dass n also nur ein einziges Urbildhat. Um zu beweisen, dass f nicht injektiv ist, reicht es aus, zwei verschiedeneElemente m und m′ in M anzugeben, für die f(m) = f(m′) ist.

1.4.11 Beispiele: (a) Sei f : R × R → R definiert durch f((x, y)) = x + y füralle (x, y) ∈ R × R. Dann ist f nicht injektiv, denn es sind (0, 3) und (1, 2)verschiedene Elemente in R× R, für die f((0, 3)) = f((1, 2)) = 3 gilt.

(b) Sei g : N → Z definiert durch f(n) = −n für alle n ∈ N. Dann ist g injektiv,denn wenn z = g(m) = g(m′) für Elementem,m′ ∈ N gilt, so folgt −m = −m′,also m = m′.

1.4.12 Aufgabe: Sei f : Z → Z × Z definiert durch f(z) = (z, z + 1) für allez ∈ Z. Untersuchen Sie, ob f injektiv oder surjektiv oder bijektiv ist.

Es gibt eine besonders langweilige Abbildung, die allerdings so wichtig ist, dass sieeine eigene Bezeichnung erhält:

1.4.13 Definition: Sei M eine Menge. Die Abbildung von M nach M , die jedesElement m ∈M auf m abbildet, wird die identische Abbildung auf M genanntund mit idM bezeichnet.

Es ist also idM : M → M definiert durch idM(m) = m für alle m ∈ M . DieseAbbildung ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.

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44 1.4. Abbildungen

1.4.3 Komposition von Abbildungen

1.4.14 Definition: Seien L,M und N Mengen, und seien f : L → M undg : M → N Abbildungen. Dann wird g ◦ f : L→ N definiert durch (g ◦ f)(l) =g(f(l)) für alle l ∈ L. Sie wird die Hintereinanderausführung oder die Kom-position von f und g genannt.

Warnung: Anders als Sie es vielleicht von der Schule gewohnt sind, gilt: Um g ◦ fbilden zu können, muss der Wertebereich von f gleich dem Definitionsbereich vong sein.

Das Symbol ◦ wird „Kringel “ oder „komponiert mit“ ausgesprochen.

1.4.15 Beispiel: Zu einer reellen Zahl x ∈ R bezeichnen wir mit |x| die Zahl x,falls x ≥ 0 ist, und |x| = −x, falls x < 0 ist. Seien nun

f : Z→ N0 mit f(x) = |x| für alle x ∈ Z

undg : N0 → Z mit g(x) = x− 3 für alle x ∈ N0.

Dann ist g◦f eine Abbildung von Z nach Z, und sie ist definiert durch (g◦f)(x) =g(f(x)) = g(|x|) = |x| − 3 für alle x ∈ Z. Weiter ist f ◦ g eine Abbildung von N0nach N0, definiert durch (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x− 3) = |x− 3| für alle x ∈ N0.Für x = 1 gilt etwa (g ◦ f)(1) = −2 und (f ◦ g)(1) = 2.

Achtung: Die Abbildung g ◦ f wird „von rechts nach links“ ausgeführt. Darangewöhnt man sich aber schnell.

1.4.16 Proposition: Seien L,M und N Mengen, und seien f : L → M undg : M → N Abbildungen.

(a) Wenn f und g surjektiv sind, dann ist g ◦ f surjektiv.

(b) Wenn f und g injektiv sind, dann ist g ◦ f injektiv.

(c) Wenn f und g bijektiv sind, dann ist g ◦ f bijektiv.

Beweis:

(a) Seien f und g surjektiv. Wir zeigen, dass g ◦ f surjektiv ist. Dazu sei n ∈ N .Da g surjektiv ist, gibt es ein m ∈ M mit g(m) = n. Da f surjektiv ist, gibtes ein l ∈ L mit f(l) = m. Dann gilt (g ◦ f)(l) = g(f(l)) = g(m) = n. Da jedesn ∈ N ein Urbild unter g ◦ f besitzt, ist g ◦ f surjektiv.

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 45

(b) Seien f und g injektiv. Wir zeigen jetzt, dass g ◦ f injektiv ist. Dazu seienl, l′ ∈ L mit (g◦f)(l) = (g◦f)(l′). Es folgt g(f(l)) = g(f(l′)). Da g injektiv ist,gilt f(l) = f(l′), und da f injektiv ist, gilt l = l′. Jedes Element in Bild(g ◦ f)besitzt also genau ein Urbild. Somit ist g ◦ f injektiv.

(c) Seien f und g bijektiv. Da g ◦ f injektiv und surjektiv ist, ist g ◦ f bijektiv.

2

Betrachten wir jetzt ein einfaches aber wichtiges Beispiel für die Komposition vonAbbildungen:

1.4.17 Beispiel: Sei f : L→M eine Abbildung. Dann gilt

(idM ◦ f)(l) = idM(f(l)) = f(l) für alle l ∈ L,

und(f ◦ idL)(l) = f(l) für alle l ∈ L,

und wir sehen, dass idM ◦ f = f und f ◦ idL = f sind.

1.4.18 Definition: Sei f : M → N eine Abbildung. f heißt invertierbar, wennes eine Abbildung f−1 : N → M gibt, so dass f−1 ◦ f = idM und f ◦ f−1 = idNist. Wir nennen f−1 invers zu f .

Dies bedeutet, dass (f−1 ◦ f)(m) = m für alle m ∈ M und (f ◦ f−1)(n) = n füralle n ∈ N ist.

1.4.19 Aufgabe: Geben Sie ein Beispiel für Mengen M und N und Abbildungenf : M → N und g : N →M , so dass g ◦ f = idM und f ◦ g 6= idN ist.

Wir werden jetzt untersuchen, welche Abbildungen invertierbar sind. Ein erstesIndiz gibt die folgende Proposition.

1.4.20 Proposition: Bijektive Abbildungen sind invertierbar.

Beweis: Sei f : M → N eine bijektive Abbildung. Jedes Element n ∈ N istvon der Form f(m) für ein m ∈ M , denn f ist surjektiv. Da f auch injektiv ist,gibt es zu gegebenem n ∈ N genau ein Element m ∈ M mit f(m) = n. Für allen ∈ N definieren wir f−1(n) als das Element m ∈ M mit f(m) = n. Dann istf−1 : N → M mit n 7→ f−1(n) für alle n ∈ N eine Abbildung. Sei m ∈ M . Danngilt (f−1 ◦ f)(m) = f−1(f(m)) = m, also f−1 ◦ f = idM . Sei n ∈ N . Dann gilt(f ◦ f−1)(n) = f(f−1(n)) = n, also f ◦ f−1 = idN . Es folgt, dass f invertierbar ist.

2

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46 1.4. Abbildungen

Es gilt auch:

1.4.21 Proposition: Invertierbare Abbildungen sind bijektiv.

Beweis: Sei f : M → N eine invertierbare Abbildung. Nach Definition gibt eseine Abbildung f−1 : N → M mit f−1 ◦ f = idM und f ◦ f−1 = idN . Wir müssenzeigen, dass f injektiv und surjektiv ist.

Seien m,m′ ∈M mit f(m) = f(m′). Wir wenden f−1 auf diese Gleichung an underhalten f−1(f(m)) = f−1(f(m′)). Nun ist aber f−1(f(m)) gerade (f−1 ◦ f)(m),also gleich m. Analog ist f−1(f(m′)) = (f−1 ◦ f)(m′) = m′. Also folgt aus f(m) =f(m′) die Gleichung f−1(f(m)) = f−1(f(m′)), und damit m = m′. Somit ist finjektiv.

Sei n ∈ N . Sei m = f−1(n). Dann gilt f(m) = f(f−1(n)) = (f ◦ f−1)(n) = n, unddas war der Beweis der Surjektivität von f .

Da f injektiv und surjektiv ist, folgt, dass f bijektiv ist. 2

Kombinieren wir die Propositionen 1.4.20 und 1.4.21, so erhalten wir eine Charak-terisierung invertierbarer Abbildungen:

1.4.22 Korollar: (Charakterisierung invertierbarer Abbildungen)

Sei f : M → N eine Abbildung. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) f ist bijektiv.

(b) f ist invertierbar. �

Dieses Korollar ermöglicht uns, zu entscheiden, ob eine Abbildung f invertierbarist. Wir müssen untersuchen, ob f injektiv und surjektiv, also bijektiv ist. Wie dasgemacht wird, haben Sie im letzten Abschnitt gesehen.

Die folgende Proposition ist ausgesprochen nützlich. Sie besagt, dass wir, wennwir mehrere Abbildungen komponieren, Klammern setzen dürfen, wie es uns amgünstigsten erscheint. Eine solche Eigenschaft nennt man „Assoziativität“. Mehrdazu gibt es im folgenden Abschnitt.

1.4.23 Proposition: (Assoziativgesetz der Komposition)

Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, das heißt, für alle Mengen L,M , N , X und alle Abbildungen f : L → M , g : M → N und h : N → X gilt(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 47

Beweis: Da f : L→M und g : M → N Abbildungen sind, ist g ◦ f definiert, undg ◦ f ist eine Abbildung von L nach N . Da h eine Abbildung von N nach X ist,ist h ◦ (g ◦ f) definiert, und h ◦ (g ◦ f) ist eine Abbildung von L nach X. Da g eineAbbildung vonM nach N ist, und da h eine Abbildung von N nach X ist, ist h◦gdefiniert und eine Abbildung von M nach X. Da f eine Abbildung von L nach Mist, ist auch (h ◦ g) ◦ f definiert, und (h ◦ g) ◦ f ist eine Abbildung von L nach X.Beide Kompositionen sind also definiert, und sie haben denselben Definitions- undWertebereich. Sei l ∈ L. Setze f ′ = h ◦ g und g′ = g ◦ f . Dann gilt:

((h ◦ g) ◦ f)(l) = (f ′ ◦ f)(l)= f ′(f(l)) nach Definition der Komposition= (h ◦ g)(f(l))= h(g(f(l))) nach Definition der Komposition.

(h ◦ (g ◦ f))(l) = (h ◦ g′)(l)= h(g′(l))= h((g ◦ f)(l))= h(g(f(l))).

Es gilt also ((h ◦ g) ◦ f)(l) = (h ◦ (g ◦ f))(l), und da wir an l keinerlei Bedingungengestellt haben, gilt diese Gleichung für alle l ∈ L. Es folgt (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f),die Behauptung. 2

1.5 Verknüpfungen

Die Mengen, die in der Schule betrachtet wurden, waren in der Regel Mengenvon Zahlen. Also etwa die ganzen Zahlen Z, die rationalen Zahlen Q, wobei Q :={ab| a, b ∈ Z und b 6= 0}, die reellen Zahlen R oder die komplexen Zahlen C. Mit

diesen Zahlen konnten wir rechnen – im einfachsten Fall sie addieren und multipli-zieren. In der Mathematik gibt es weit mehr Mengen als die gerade aufgeführtenBeispiele, bei denen wir die Elemente addieren oder multiplizieren können. Bei-spielsweise werden Sie noch in dieser Kurseinheit lernen, Matrizen zu addieren.All diese Konstruktionen haben eine Sache gemeinsam: zwei beliebigen Elemen-ten einer vorgegebenen Menge wird ein eindeutig bestimmtes Element zugeordnet,das wieder in der vorgegebenen Menge liegt. Diesen Sachverhalt können wir mitAbbildungen präzise ausdrücken:

1.5.1 Definition: Sei M eine Menge. Eine Verknüpfung auf M ist eine Abbil-dung von M ×M nach M .

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48 1.5. Verknüpfungen

1.5.2 Bezeichnung: Verknüpfungen auf einer Menge M bezeichnet man in derRegel durch Symbole wie ◦, ∗, #, + oder ·. Ist ◦ : M ×M →M eine Verknüpfungauf einer Menge M , und sind m,m′ ∈M , so schreiben wir an Stelle von ◦(m,m′)einfach m ◦m′.

Betrachten wir erst einmal Beispiele für Verknüpfungen und für Abbildungen, diekeine Verknüpfungen sind.

1.5.3 Beispiele: (a) Es ist + eine Verknüpfung auf N, denn durch + wird je zweiElementen a, b ∈ N ein eindeutig bestimmtes Element a + b zugeordnet, dasin N liegt.

(b) Es ist − keine Verknüpfung auf N, denn wenn a und b in N liegen, dann mussa− b nicht in N sein. Für a = 1 und b = 17 ist dies zum Beispiel der Fall.

(c) Es ist · eine Verknüpfung auf Z, denn durch · wird je zwei Elementen a, b ∈ Zgenau ein Element a · b zugeordnet, das in Z liegt.

(d) Es ist − eine Verknüpfung auf Z, denn durch − wird je zwei Elementen a, b ∈ Zgenau ein Element a− b zugeordnet, das in Z liegt.

(e) Sei M eine Menge, und sei Abb(M,M) := {f | f : M → M ist Abbildung}.Sind f, g ∈ Abb(M,M), so ist f ◦ g ebenfalls in Abb(M,M). Somit ist ◦ eineVerknüpfung auf Abb(M,M).

1.5.4 Aufgabe: Es ist : keine Verknüpfung auf Q. Warum nicht?

Wir hatten oben in 1.5.1 eine Verknüpfung auf einer Menge M ganz allgemeinals Abbildung von M × M nach M definiert. Nun interessiert man sich in derMathematik aber gar nicht für so allgemeine Verknüpfungen. Vielmehr ist maninteressiert an Verknüpfungen, die Zusatzeigenschaften haben, die denen ähneln,die wir vom Rechnen mit Zahlen bereits kennen. Zu nennen wären da etwa:

1.5.5 Definitionen: Sei ◦ eine Verknüpfung auf einer Menge M .

(i) Die Verknüpfung ◦ heißt kommutativ, falls für je zwei Elemente a, b ∈ Mgilt, dass a ◦ b = b ◦ a ist.

(ii) Die Verknüpfung ◦ heißt assoziativ, falls für je drei Elemente a, b, c ∈ M(die nicht verschieden sein müssen) gilt, dass (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) gilt.

(iii) Wir sagen, dass die Verknüpfung ◦ ein neutrales Element e besitzt, wennes ein Element e in M so gibt, dass a ◦ e = a und e ◦ a = a für alle a ∈ Merfüllt ist.

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 49

1.5.6 Beispiele: (a) Die Verknüpfung + auf Z ist kommutativ (es gilt a+b = b+afür alle a, b ∈ Z), sie ist assoziativ (es gilt a + (b + c) = (a + b) + c für allea, b, c ∈ Z), und sie besitzt ein neutrales Element e, nämlich e = 0.

(b) Die Verknüpfung · auf Z ist kommutativ (es gilt a · b = b · a für alle a, b ∈ Z),sie ist assoziativ (es gilt a · (b · c) = (a · b) · c für alle a, b, c ∈ Z), und sie besitztein neutrales Element e, nämlich e = 1.

(c) Die Verknüpfung ◦ auf Abb(M,M) ist in der Regel nicht kommutativ. Sei etwaM = {1, 2}, und seien f, g ∈ Abb(M,M) definiert durch f(1) = f(2) = 1 undg(1) = g(2) = 2. Dann gilt (f ◦ g)(1) = 1 und (g ◦ f)(1) = 2. Somit istf ◦ g 6= g ◦ f . Die Verknüpfung ◦ ist assoziativ (vergleiche Proposition 1.4.23),und sie besitzt ein neutrales Element, nämlich idM (vergleiche Beispiel 1.4.17).

1.5.7 Definitionen: Sei ◦ eine Verknüpfung auf einer MengeM , die ein neutralesElement e besitzt.

(i) Ein Element m ∈ M heißt invertierbar, wenn es ein Element m′ ∈ M sogibt, dass m ◦m′ = e und m′ ◦m = e ist.

(ii) Ist m ∈ M invertierbar, und gilt m ◦ m′ = m′ ◦ m = e für ein Elementm′ ∈M , so sagen wir, dass m′ invers zu m ist.

1.5.8 Beispiele: (a) Wir betrachten wie oben Z mit der Verknüpfung +. JedesElement a ∈ Z ist invertierbar, denn wenn a ∈ Z, dann gilt auch −a ∈ Z.Dann haben wir a + (−a) = 0 und (−a) + a = 0, und dies ist ja gerade dieForderung, die für invertierbare Elemente erfüllt sein muss.

(b) Jetzt betrachten wir Z mit der Verknüpfung ·. Bezüglich · sind nur wenigeElemente invertierbar . Zunächst einmal ist das Element 0 nicht invertierbar.Es gibt nämlich keine ganze Zahl z, die die Gleichung z · 0 = 1 erfüllen würde.Nehmen wir nun an, a wäre eine ganze Zahl, die weder 0 noch 1 noch −1 ist.Für alle z ∈ Z gilt a · z 6= 1, denn entweder ist z = 0 oder a · z ist eine Zahl,deren Betrag größer als 1 ist. Nur die Element 1 und −1 sind in Z bezüglichder Verknüpfung · invertierbar. Invers zu 1 ist 1, und invers zu −1 ist −1.

(c) Sei M eine Menge. Wenn M mehr als ein Element besitzt, dann ist die Ab-bildung, die jedes Element m ∈ M auf ein festes Element in M abbildet,nicht bijektiv, also mit Korollar 1.4.22 nicht invertierbar. Es folgt, dass inAbb(M,M) nicht alle Abbildungen invertierbar sind.

1.5.9 Aufgabe: Welche Elemente sind in Q mit der Verknüpfung · invertierbar?Welche in Q mit der Verknüpfung +?

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50 1.5. Verknüpfungen

Als Sie in Schulzeiten mit ganzen Zahlen gerechnet haben, haben Sie Z simultanmit den Verknüpfungen + und · betrachtet. Dabei waren wieder gewisse Regeln zubeachten, beispielsweise konnten Sie ausklammern. Das Phänomen des „Ausklam-merns“ findet sich auch bei anderen Mengen mit anderen Verknüpfungen, und eswird mit einer eigenen Definition bedacht:

1.5.10 Definition: Sei M eine Menge mit zwei Verknüpfungen ◦ und #. Wirsagen, dass in M die Distributivgesetze gelten, falls für alle m1,m2,m3 ∈ M(die nicht verschieden sein müssen) die folgenden beiden Regeln gelten:

(i) m1 ◦ (m2#m3) = (m1 ◦m2)#(m1 ◦m3), und

(ii) (m1#m2) ◦m3 = (m1 ◦m3)#(m2 ◦m3).

Wenn Sie in dieser Definition M durch Z (oder Q oder R) und ◦ durch · und #durch + ersetzen, werden Sie die bekannten Regeln des Ausklammerns wiederer-kennen.

1.5.11 Beispiel: Sei F2 eine Menge mit zwei Elementen, die wir mit 0 und 1bezeichnen, also F2 := {0, 1}. Dabei sollten Sie bei 0 und 1 nicht an ganze Zahlendenken, sondern einfach als abstrakte Bezeichnung der Elemente. Auf F2 definierenwir zwei Verknüpfungen, die wir + und · nennen. Aus Gründen der Übersichtlich-keit haben wir das in Form von Tabellen gemacht: Im Schnittpunkt der Zeile, inder i (wobei i ∈ F2) an erster Stelle steht, mit der Spalte, in der j (wieder j ∈ F2)an erster Stelle steht, haben wir i+ j beziehungsweise i · j notiert.

+ 0 10 0 11 1 0

· 0 10 0 01 0 1

Wir untersuchen nun, welche der oben aufgelisteten Eigenschaften diese Verknüp-fungen haben. Dabei beginnen wir mit den Eigenschaften in Definition 1.5.5.

(i) Die Tabellen sind symmetrisch entlang der Diagonalen. Es gilt also i+j = j+iund i · j = j · i für alle i, j ∈ F2. Somit sind die Verknüpfungen + und · aufF2 kommutativ.

(ii) Um zu überprüfen, ob + und · assoziativ sind, müssen wir für je drei Elementei, j, k ∈ F2 untersuchen, ob (i+j)+k = i+(j+k) beziehungsweise i ·(j ·k) =(i · j) · k gilt. Da wir in F2 nur zwei verschiedene Elemente zur Verfügunghaben, kommen in diesen Gleichungen Elemente mehr als ein Mal vor. Auf

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 51

geht es:

0 + (0 + 0) = 0 = (0 + 0) + 0 und 0 · (0 · 0) = 0 = (0 · 0) · 00 + (0 + 1) = 1 = (0 + 0) + 1 und 0 · (0 · 1) = 0 = (0 · 0) · 10 + (1 + 0) = 1 = (0 + 1) + 0 und 0 · (1 · 0) = 0 = (0 · 1) · 00 + (1 + 1) = 0 = (0 + 1) + 1 und 0 · (1 · 1) = 0 = (0 · 1) · 11 + (0 + 0) = 1 = (1 + 0) + 0 und 1 · (0 · 0) = 0 = (1 · 0) · 01 + (0 + 1) = 0 = (1 + 0) + 1 und 1 · (0 · 1) = 0 = (1 · 0) · 11 + (1 + 0) = 0 = (1 + 1) + 0 und 1 · (1 · 0) = 0 = (1 · 1) · 01 + (1 + 1) = 1 = (1 + 1) + 1 und 1 · (1 · 1) = 1 = (1 · 1) · 1.

Es folgt, dass + und · assoziativ sind.

(iii) Bezüglich der Verknüpfung + ist das Element 0 das neutrale Element. Be-züglich · ist 1 das neutrale Element.

Wir haben also gesehen, dass + und · Verknüpfungen sind, die beide ein neutralesElement besitzen. Gehen wir nun zu Definition 1.5.7 und untersuchen, wie es umInvertierbarkeit steht.

Bezüglich + ist jedes Element in F2 invertierbar. Es gilt nämlich 0 + 0 = 0, dasheißt, 0 ist zu 0 invers, und 1 + 1 = 0, das heißt, 1 ist zu 1 invers.

Bezüglich · ist das Element 0 nicht invertierbar, denn es gibt kein Element i ∈ F2mit 0 · i = i ·0 = 1. Das Element 1 ist invertierbar, denn 1 ·1 = 1. Das heißt, inverszu 1 ist 1.

Wenden wir uns zum Schluss der Definition 1.5.10 zu und untersuchen, ob dieDistributivgesetze in F2 gelten.

0 · (0 + 0) = 0 = 0 · 0 + 0 · 0 und (0 + 0) · 0 = 0 = 0 · 0 + 0 · 00 · (0 + 1) = 0 = 0 · 0 + 0 · 1 und (0 + 0) · 1 = 0 = 0 · 1 + 0 · 10 · (1 + 0) = 0 = 0 · 1 + 0 · 0 und (0 + 1) · 0 = 0 = 0 · 0 + 1 · 00 · (1 + 1) = 0 = 0 · 1 + 0 · 1 und (0 + 1) · 1 = 1 = 0 · 1 + 1 · 11 · (0 + 0) = 0 = 1 · 0 + 1 · 0 und (1 + 0) · 0 = 0 = 1 · 0 + 0 · 01 · (0 + 1) = 1 = 1 · 0 + 1 · 1 und (1 + 0) · 1 = 1 = 1 · 1 + 0 · 11 · (1 + 0) = 1 = 1 · 1 + 1 · 0 und (1 + 1) · 0 = 0 = 1 · 0 + 1 · 01 · (1 + 1) = 0 = 1 · 1 + 1 · 1 und (1 + 1) · 1 = 0 = 1 · 1 + 1 · 1.

Somit gelten auch die Distributivgesetze in F2.

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52 1.6. Körper

1.6 Körper

In Beispiel 1.5.11 haben Sie eine Menge mit zwei Verknüpfungen, die wir + und· genannt haben, kennen gelernt, in der die uns von Q und R vertrauten Rechen-regeln gelten. Es gibt noch viele solcher mathematischen Strukturen, so dass mandiese unter einem Oberbegriff zusammenfasst. Das ist der Begriff des Körpers, aufenglisch „field“, was auch erklärt, warum man als Abkürzung der Menge in Beispiel1.5.11 den Buchstaben F verwendet.

1.6.1 Definition: Ein Körper ist eine Menge K mit zwei Verknüpfungen + und· und zwei verschiedenen, ausgezeichneten Elementen 0 und 1, so dass folgendeRegeln gelten:

(i) (a) a+ b = b+ a gilt für alle a, b ∈ K (das heißt, + ist kommutativ).

(b) (a+b)+c = a+(b+c) gilt für alle a, b, c ∈ K (das heißt, + ist assoziativ).

(c) 0 + a = a gilt für alle a ∈ K (das heißt, + ist eine Verknüpfung mitneutralem Element 0, denn da + kommutativ ist, gilt auch a+ 0 = a).

(d) Zu jedem a ∈ K gibt es ein a′ ∈ K, so dass a+a′ = 0 ist (das heißt, jedesElement a ∈ K ist bezüglich + invertierbar, denn da + kommutativ ist,gilt auch a′ + a = 0).

(ii) (a) a · b = b · a gilt für alle a, b ∈ K (das heißt, · ist kommutativ).

(b) (a · b) · c = a · (b · c) gilt für alle a, b, c ∈ K (das heißt, · ist assoziativ).

(c) 1 · a = a gilt für alle a ∈ K (das heißt, · ist eine Verknüpfung mitneutralem Element 1, denn da · kommutativ ist, gilt auch a · 1 = a).

(d) Zu jedem a ∈ K mit a 6= 0 gibt es ein Element a∗ ∈ K, so dass a ·a∗ = 1ist (das heißt, jedes Element a ∈ K \ {0} ist bezüglich · invertierbar,denn da · kommutativ ist, gilt auch a∗ · a = 1).

(iii) Für alle a, b, c ∈ K gilt a · (b+ c) = a · b+ a · c (Distributivgesetz).

1.6.2 Aufgabe: Die Menge Z mit den Verknüpfungen + und · ist kein Körper.Warum nicht?

1.6.3 Aufgabe: Wenn K ein Körper ist, dann gilt automatisch schon das in derDefinition 1.6.1 nicht aufgeführte zweite Distributivgesetz aus Definition 1.5.10.Begründen Sie, warum dies der Fall ist.

Die MengenQ und R sind mit den Verknüpfungen + und ·Körper. Diejenigen unter

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Kapitel 1. Einiges zum Sprachgebrauch 53

Ihnen, die die komplexen Zahlen C bereits kennen, sollten sich davon überzeugen,dass auch Cmit den Verknüpfungen + und · ein Körper ist. In Beispiel 1.5.11 habenwir mit F2 ein Beispiel für einen Körper mit zwei Elementen kennen gelernt. Esgibt viele weitere Beispiele für Körper. In diesem Kurs wird es – anders als imAnalysis-Teil – nicht darauf ankommen, welchen speziellen Körper wir betrachten.Unsere Ergebnisse werden für alle Körper richtig sein. Zu Beginn ist es übrigensvöllig in Ordnung, wenn Sie – sobald ich schreibe: „Sei K ein Körper.“ – denken:„Sei K zum Beispiel Q, R oder F2“.

Wir leiten noch einige Rechenregeln für Körper aus der Definition 1.6.1 her.

1.6.4 Proposition: (Rechenregeln für Körper)

Sei K ein Körper. Dann gilt:

(a) Es gilt a · 0 = 0 für alle a ∈ K.

(b) Wenn a, b ∈ K, und wenn a · b = 0 ist, so folgt a = 0 oder b = 0.

(c) Sind a+ b = 0 und a+ c = 0 für Elemente a, b, c ∈ K, so folgt b = c.

(d) Ist a 6= 0, und gilt a · b = 1 und a · c = 1 für Elemente a, b, c ∈ K, so folgtb = c.

Beweis:

1. Sei a ∈ K. Dann gilt

a · 0 = a · (0 + 0), denn 0 ist das neutrale Element der Addition= a · 0 + a · 0 mit (iii) in der Definition 1.6.1.

Da jedes Element in K bezüglich + invertierbar ist, ist auch a ·0 invertierbar.Sei x invers zu a · 0. Wir addieren x auf beiden Seiten der Gleichung underhalten x+ a · 0 = (x+ a · 0) + a · 0, also 0 = a · 0, die Behauptung.

2. Seien a, b ∈ K mit a · b = 0. Wenn a = 0 ist, dann ist die Behauptung schonbewiesen. Wir können also annehmen, dass a 6= 0 ist, und müssen zeigen,dass b = 0 ist. Da jedes Element 6= 0 bezüglich · invertierbar ist, folgt, dass ainvertierbar ist. Sei a∗ invers zu a. Wir multiplizieren die Gleichung a · b = 0mit a∗ und erhalten a∗ · a · b = a∗ · 0. Da a∗ · a = 1, folgt 1 · b = a∗ · 0. Mitder Bedingung (ii) in Definition 1.6.1 gilt 1 · b = b, und mit dem ersten Teildieser Proposition gilt a∗ · 0 = 0. Es folgt b = 0, die Behauptung.

3. Seien a, b, c ∈ K, und sei a + b = a + c = 0. Sei a′ invers zu a bezüglich +.Wir addieren a′ zu der Gleichung und erhalten (a′ + a) + b = (a′ + a) + c,also 0 + b = 0 + c. Es folgt b = c, die Behauptung.

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54 1.6. Körper

4. Sei a 6= 0, und sei a · b = a · c = 1. Sei a∗ invers zu a bezüglich ·. Wirmultiplizieren die Gleichung mit a∗ und erhalten (a∗ · a) · b = (a∗ · a) · c, also1 · b = 1 · c. Es folgt b = c, die Behauptung.

2

Die Bedingungen (c) und (d) der Proposition 1.6.4 besagen, dass Elemente, diebezüglich + oder · invers sind, eindeutig sind. Es gibt in einem Körper K zu einemElement a ∈ K genau ein bezüglich + inverses Element, und ist a 6= 0, so gibt esgenau ein bezüglich · inverses Element zu a.

Wir schließen diesen Abschnitt mit einigen Bezeichnungen.

1.6.5 Notationen: Sei K ein Körper, und sei a ∈ K.

1. Wir bezeichnen das zu a bezüglich + inverse Element mit −a. Ist b ∈ K, soschreiben wir an Stelle von b+ (−a) nur b− a.

2. Sei a 6= 0. Wir bezeichnen das zu a bezüglich · inverse Element a∗ mit a−1

oder mit 1a. Ist b ∈ K, so schreiben wir an Stelle von a · b auch ab und an

Stelle von b · 1aeinfach b

a.

Mit diesen Bezeichnungen gilt in einem beliebigen Körper K die folgende Rechen-regel, die uns für Q oder R gut bekannt ist:

1.6.6 Bemerkung: Sei K ein Körper, und sei a ∈ K. Dann gilt (−1)a = −a.

Beweis: Die Behauptung dieser Bemerkung ist, dass (−1)a das zu a bezüglich +inverse Element ist. Um dies zu verifizieren, müssen wir (−1)a und a addieren undnachsehen, ob 0 raus kommt. Auf geht es:

(−1)a+ a = (−1)a+ 1 · a = (−1 + 1)a = 0 · a = 0.

Beim ersten Gleichheitszeichen haben wir benutzt, dass 1 das neutrale Elementbezüglich · ist, beim zweiten Gleichheitszeichen das Distributivgesetz und beimletzen Gleichheitszeichen die Kommutativität der Multiplikation in K und Propo-sition 1.6.4. 2

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Lösungen der Aufgaben

Lösungen der Aufgaben in 1.1

Aufgabe 1.1.2∑1≤i≤34≤j≤6

aij =∑

4≤j≤6(a1j + a2j + a3j)

= (a14 + a24 + a34) + (a15 + a25 + a35) + (a16 + a26 + a36).

Aufgabe 1.1.3

(b63 + b73 + b83) + (b64 + b74 + b84) + (b65 + b75 + b85) =∑

3≤j≤5(b6j + b7j + b8j)

=∑

3≤j≤5

∑6≤i≤8

bij

=∑

6≤i≤83≤j≤5

bij.

Aufgabe 1.1.4 Es sind 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16 und 52 = 25. Somit gilt5∑i=1

i2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.

Lösungen der Aufgaben in 1.2

Aufgabe 1.2.2

1. Es handelt sich um eine Aussage, da wir dem Satz die Eigenschaft „falsch“zuordnen können.

55

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56 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 1

2. Dieses ist keine Aussage, denn es ist keine Behauptung aufgestellt worden,der wir das Attribut „wahr“ oder „falsch“ zuordnen können.

3. Obwohl wir natürlich nicht nachschauen können, ob diese Gleichung für allea erfüllt ist, lässt sich diesem Satz das Attribut „wahr“ oder „falsch“ (dasheißt, es gibt eine reelle Zahl a, für die a · 0 6= 0 ist) zuordnen. Es handeltsich daher um eine Aussage.

4. Obgleich dieser Satz nicht sinnvoll ist, handelt es sich um eine Aussage, dennwir können ihm die Eigenschaft „falsch“ zuordnen.

Aufgabe 1.2.11 Analog zu den Beispielen bestimmen wir die Wahrheitstafel für¬(A ∨ B) und erhalten

A B A ∨ B ¬(A ∨ B)w w w fw f w ff w w ff f f w.

Somit ist die Wahrheitstafel für ¬(A ∨ B) die Tabelle

A B ¬(A ∨ B)w w fw f ff w ff f w.

Nun berechnen wir die Wahrheitstafel für (¬A) ∧ (¬B).

A B ¬A ¬B (¬A) ∧ (¬B)w w f f fw f f w ff w w f ff f w w w,

alsoA B (¬A) ∧ (¬B)w w fw f ff w ff f w.

Da beide Tabellen übereinstimmen, ist die Behauptung bewiesen.

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Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 1 57

Aufgabe 1.2.12 Wir berechnen die Tabelle für ¬(A ∧ B) und erhalten

A B A ∧ B ¬(A ∧ B)w w w fw f f wf w f wf f f w.

Die Wahrheitstafel für ¬(A ∧ B) ist damit

A B ¬(A ∧ B)w w fw f wf w wf f w.

Nun berechnen wir die Tabelle von (¬A) ∨ (¬B)

A B ¬A ¬B (¬A) ∨ (¬B)w w f f fw f f w wf w w f wf f w w w,

alsoA B (¬A) ∨ (¬B)w w fw f wf w wf f w.

Da beide Tabellen übereinstimmen, sind wir fertig.

Aufgabe 1.2.14 Sei A die Aussage 2 ≥ 3, also eine falsche Aussage, und sei Bdie Aussage „17 ist eine Primzahl“, also eine wahre Aussage. Dann ist A ⇒ B einewahre Aussage, und B ⇒ A ist eine falsche Aussage.

Aufgabe 1.2.18

1. Es gibt ein n ∈ N, das die Eigenschaft n ≤ m für alle m ∈ N hat. (Nebenbeibemerkt, das ist das Element n = 1.)

2. Es gibt ein n ∈ N mit der Eigenschaft, 17 zu teilen.

Aufgabe 1.2.19

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58 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 1

1. ∃p Primzahl : 3 teilt p.

2. ∀n ∈ N : n ≥ 1.

Aufgabe 1.2.20

1. ∀y ∈ Y : (∃x ∈ X : f(x) = y).

2. ∃a ∈ R : (∀x ∈ R : ax = x). (Wir haben hier gerade über das Element a = 1gesprochen.)

Aufgabe 1.2.22

1. Wahr.

2. Wahr.

3. Wahr.

Aufgabe 1.2.24

1. Wahr.

2. Falsch, denn in der Negation wird ein „oder“ zu einem „und“.

3. Wahr.

4. Wahr.

Aufgabe 1.2.25

1. Mit Quantoren ausgedrückt lautet die Aussage

∃n ∈ N : (∀m ∈ N : n ≤ m).

Die Negation ist daher von der Form

∀n ∈ N : ¬(∀m ∈ N : n ≤ m),

also∀n ∈ N : (∃m ∈ N : n > m).

In Worten ausgedrückt:

Für alle n ∈ N gilt: Es gibt ein m ∈ N mit n > m.

2. Mit Quantoren ausgedrückt lautet die Aussage

∀y ∈ Y : (∃x ∈ X : f(x) = y)

Die Negation ist dann von der Form

∃y ∈ Y : (∀x ∈ X : f(x) 6= y).

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Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 1 59

In Worten:

Es gibt ein y ∈ Y , so dass für alle x ∈ X gilt: f(x) 6= y.

Aufgabe 1.2.26

Induktionsanfang: n0 = 1.

Es ist1∑i=1

11 · 2 = 1

2 , und es ist 1− 11+1 = 1

2 . Es gilt also der Induktionsanfang.

Induktionsschritt: Für n ≥ 1 gelten∑i=1

1i(i+ 1) = 1− 1

n+ 1 .

Damit folgt:

n+1∑i=1

1i(i+ 1) =

n∑i=1

1i(i+ 1) + 1

(n+ 1)(n+ 2)= 1− 1

n+1 + 1(n+1)(n+2)

= 1− (n+2)−1(n+1)(n+2)

= 1− n+1(n+1)(n+2)

= 1− 1n+2

Wir haben also die Aussage: Ausn∑i=1

1i(i+ 1) = 1− 1

n+ 1 folgtn+1∑i=1

1i(i+ 1) =

1− 1n+ 2 bewiesen, und mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt

für alle n ∈ N, dassn∑i=1

1i(i+ 1) = 1− 1

n+ 1 ist.

Lösungen der Aufgaben in 1.3

Aufgabe 1.3.6

1. Diese Aussage ist falsch.

Es ist beispielsweise {1, 2} \ {1, 2, 3, 4} = ∅, aber {1, 2} 6= {1, 2, 3, 4}.

Hinweis: Wenn Sie eine Aussage widerlegen wollen, hier etwa die Aussage„Wenn die Differenzmenge von zwei Mengen leer ist, dann sind die Mengengleich“ reicht es aus, ein Gegenbeispiel anzugeben.

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60 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 1

2. Behauptung: Wenn M ∪N endlich ist, dann sind M und N endlich.

Beweis: SeiM∪N endlich. Es istM ⊆M∪N , und da Teilmengen endlicherMengen endlich sind, folgt, dass M endlich ist. Analog ist N ⊆M ∪N , unddamit ist auch N endlich.

3. Diese Aussage ist falsch.

Sei zum Beispiel M = {. . . ,−2,−1, 0} die Menge der nicht positiven ganzenZahlen, und sei N = {0, 1, 2, . . . } die Menge der nicht negativen ganzenZahlen. Dann ist M ∩ N = {0}, also endlich, aber M und N sind nichtendlich.

Aufgabe 1.3.8

1. Behauptung: Für endliche Mengen M und N gilt:

Wenn |M ∪N | = |M |+ |N |, so folgt M ∩N = ∅.

Beweis: Seien M und N endliche Mengen. Zunächst behandeln wir denSpezialfall, dass M oder N leer sind. Dann gilt |M ∪ N | = |M | + |N |, dieVoraussetzung ist also erfüllt. Es gilt dann aber auch die Behauptung, dassM ∩N = ∅, die Aussage ist damit für diesen Spezialfall bewiesen.

Seien also nun M und N nicht leere, endliche Mengen. Dann haben M undN die Form M = {x1, . . . , xm} und N = {y1, . . . , yn} für gewisse m,n ∈ N.

Sei |M ∪N | = |M |+ |N |. Dann hat M ∪N die Form {x1, . . . xm, y1, . . . , yn},es gilt also xi 6= yj für alle 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n. Somit gilt xi /∈ N füralle 1 ≤ i ≤ m und yj /∈M für alle 1 ≤ j ≤ n. Es folgt also M ∩N = ∅, dieBehauptung.

2. Behauptung: Für endliche Mengen M und N gilt:

Wenn M ∩N = ∅, so folgt |M ∪N | = |M |+ |N |.

Beweis: Seien M und N endlich, und sei M ∩ N = ∅. Wir unterscheidendrei Fälle.

1. Fall: M = ∅. Dann gilt |M ∪ N | = |∅ ∪ N | = |N | = 0 + |N | = |∅| + |N |.Die Behauptung gilt also in diesem Spezialfall.

2. Fall: N = ∅. Die Behauptung wird analog zum ersten Fall bewiesen.

3. Fall: Weder M noch N sind leer.

Sei M = {x1, . . . , xm} und sei N = {y1, . . . , yn}. Da M ∩ N = ∅, giltxi 6= yj für alle 1 ≤ i ≤ m und alle 1 ≤ j ≤ n. Es ist also M ∪ N ={x1, . . . , xm, y1, . . . , yn}, und damit |M ∪N | = m+ n = |M |+ |N |.

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Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 1 61

Da die drei Spezialfälle alle Möglichkeiten für endliche Mengen umfassen,folgt, dass die Aussage für alle endlichen Mengen M und N richtig ist.

Aufgabe 1.3.10 Behauptung: Für endliche, nicht leere Mengen M und N gilt

|M ×N | = |M | · |N |.

Beweis: Sei M = {x1, . . . , xm} und sei N = {y1, . . . , yn}. Sei xi ∈ M . Es gibt ngeordnete Paare (xi, y1), · · · , (xi, yn), und da es m Möglichkeiten für xi gibt, folgt,dass es m · n Paare in M ×N gibt.

Lösungen der Aufgaben in 1.4

Aufgabe 1.4.2

(a) Die Teilmenge f := {(5, x) | x ∈ R} von R × R ist keine Abbildung von Rnach R. Zum Einen, nur für x = 5 gibt es ein Element (x, y), das in f liegt,aber nicht für jedes Element x ∈ R gibt es ein geordnetes Paar (x, y) ∈ f .Zum Anderen gibt es für x = 5 verschiedene y und y′ in R, so dass (5, y) und(5, y′) beide in f liegen. Auch das darf bei einer Abbildung nicht passieren.

(b) Die Teilmenge f := {(x, 5) | x ∈ R} von R × R ist eine Abbildung von Rnach R. Zu jedem x ∈ R gibt es genau ein y ∈ R (nämlich y = 5), so dass dasgeordnete Paar (x, y) in f liegt.

Aufgabe 1.4.7 Die Abbildung beschreibt eine Parabel.

5.0-5.0

20.0

40.0

60.0

80.0

Im Bild liegen die reellen Zahlen, die größer oder gleich 0 sind. Das Element 0 hatgenau ein Urbild, alle positiven reellen Zahlen y ∈ R haben genau zwei Urbilder,nämlich √y und −√y. Die negativen reellen Zahlen haben keine Urbilder unter f .

Aufgabe 1.4.12

Behauptung: Die Abbildung f ist injektiv.

Beweis: Seien z und z′ in Z mit f(z) = f(z′). Dann gilt (z, z + 1) = (z′, z′ + 1).Es folgt z = z′, das heißt, f ist injektiv.

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62 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 1

Behauptung: Die Abbildung f ist nicht surjektiv.

Beweis: Es ist (0, 2) ∈ Z × Z, aber es gibt kein z ∈ Z mit (z, z + 1) = (0, 2).Somit besitzt nicht jedes Element in Z × Z ein Urbild unter f , das heißt, f istnicht surjektiv.

Da f nicht surjektiv ist, ist f auch nicht bijektiv.

Aufgabe 1.4.19 Sei M := {1}, und sei N := {1, 2}. Sei f : M → N definiertdurch f(1) = 1, und sei g : N → M definiert durch g(1) = 1 und g(2) = 1. Danngilt(g ◦ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 1 = idM(1), also g ◦ f = idM und(f ◦ g)(2) = f(g(2)) = f(1) = 1 6= idN(2). Somit gilt f ◦ g 6= idN .

Lösungen der Aufgaben in 1.5

Aufgabe 1.5.4 Es ist 0 ∈ Q, also ist (a, 0) für alle a ∈ Q ein Element in Q×Q.Da a : 0 für kein a ∈ Q definiert ist, denn durch 0 kann nicht geteilt werden, ist :keine Verknüpfung auf Q.

Aufgabe 1.5.9

1. Das Element 0 ∈ Q ist bezüglich · nicht invertierbar, denn es gibt keinerationale Zahl x ∈ Q, so dass 0 · x = 1 ist. Jede andere rationale Zahl istbezüglich · invertierbar, denn sei a

b∈ Q mit a

b6= 0. Dann gilt a 6= 0 und

b 6= 0. Es folgt ba∈ Q, und a

b· ba

= 1. Es gilt auch ba· ab

= 1. Es folgt, dass ba

invers zu abist.

2. Bezüglich + ist jedes Element in Q invertierbar, denn mit x ∈ Q liegt auch−x in Q. Es folgt x+ (−x) = 0 = (−x) + x.

Lösungen der Aufgaben in 1.6

Aufgabe 1.6.2 In einem Körper muss jedes Element x 6= 0 bezüglich · invertierbarsein. Wir haben aber in Beispiel 1.5.8 gesehen, dass in Z nur die Elemente 1 und−1 bezüglich · invertierbar sind.

Aufgabe 1.6.3 Sei K ein Körper, und seien a, b, c ∈ K. Wir wollen zeigen, dass(a+ b) · c = a · c+ b · c gilt. Dabei dürfen wir nur die Regeln (i), (ii) und (iii) der

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Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 1 63

Definition 1.6.1 benutzen. Es gilt:

(a+ b) · c = c · (a+ b), denn · ist kommutativ= c · a+ c · b mit Bedingung (iii) in Definition 1.6.1= a · c+ b · c, denn · ist kommutativ.

Somit gilt (a+ b) · c = a · c+ b · c für alle a, b, c ∈ K. Das ist aber gerade das zweiteDistributivgesetz aus Definition 1.5.10.

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64 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 1

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Kapitel 2

Matrizenrechnung

Nachdem wir im ersten Kapitel im Wesentlichen Notation festgelegt haben, gehtes in diesem Kapitel nun richtig mit der Linearen Algebra los.

2.1 Matrizenaddition

In diesem Kapitel sei K ein Körper, undm, n seien fest gewählte natürliche Zahlen.

2.1.1 Definitionen: Eine rechteckige Anordnung

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n... ... . . . ...am1 am2 · · · amn

mit aij ∈ K für alle 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

wird eine m×n-Matrix über K genannt. Ein Element aij in einer Matrix A heißtEintrag an der Stelle (i, j) in A. Ist m = n, so heißt A eine quadratischeMatrix und wir nennen die Elemente aii Diagonalelemente.

Ausgesprochen wird m × n-Matrix als „m Kreuz n Matrix“, mit Betonung beiMatrix auf der ersten Silbe. Der Plural von Matrix ist Matrizen (mit Betonungauf der zweiten Silbe). An Stelle von A schreiben wir auch A = (aij)1≤i≤m

1≤j≤noder,

wenn klar ist, was m und n sind, nur A = (aij).

2.1.2 Definition: Sei A = (aij) eine m × n-Matrix. Man nennt(ak1 · · · akn

)65

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66 2.1. Matrizenaddition

die k-te Zeile und

a1k...

amk

die k-te Spalte von A.

2.1.3 Bezeichnung: Wir bezeichnen mit Mmn(K) die Menge allerm×n-Matrizenüber K.

2.1.4 Aufgabe: 1. Bestimmen Sie m und n für folgende Matrizen in Mmn(R):

A =(

1 2 00 1 1

), B =

(1 0 1

)und C =

0 0 3 02 3 2 10 2 1 1

.2. Bestimmen Sie, falls dies möglich ist, die Einträge an der Stelle (1, 3) in A,B und C.

3. Bestimmen Sie, falls dies möglich ist, die Diagonalelemente von A, B und C.

2.1.5 Definition: Auf Mmn(K) definieren wir eine Verknüpfung +, genannt Ma-trizenaddition, wie folgt:

Für A =

a11 · · · a1n... . . . ...am1 · · · amn

und B =

b11 · · · b1n... . . . ...bm1 · · · bmn

in Mmn(K) setzen wir

A+B =

a11 + b11 · · · a1n + b1n

... . . . ...am1 + bm1 · · · amn + bmn

. Dabei ist aij + bij die Summe in K.

Es ist + in der Tat eine Verknüpfung im Sinne der Definition 1.5.1 auf Mmn(K),denn + ist eine Abbildung von Mmn(K)×Mmn(K)→ Mmn(K), ordnet also jedemgeordneten Paar (A,B) von m× n-Matrizen eine m× n-Matrix A+B zu.

2.1.6 Aufgabe: Können Sie irgendwelche der Matrizen in Aufgabe 2.1.4 addieren?

2.1.7 Aufgabe: Seien A =(

1 0 11 1 1

)und B =

(0 1 01 1 0

). Bilden Sie A + B,

wobei Sie

1. A und B als Matrizen über R auffassen.

2. A und B als Matrizen über F2 auffassen.

Untersuchen wir nun, welche derjenigen Eigenschaften, die wir in den Definitionen1.5.5 und 1.5.7 für wichtig erachtet hatten, auf die Matrizenaddition zutreffen.

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Kapitel 2. Matrizenrechnung 67

Da + in K kommutativ ist, folgt, dass A + B = B + A für alle A,B ∈ Mmn(K)gilt. Die Verknüpfung + auf Mmn(K) ist also kommutativ.

Da + in K assoziativ ist, folgt auch, dass die Verknüpfung + auf Mmn(K) assoziativist, es gilt also (A+B) + C = A+ (B + C) für alle Matrizen A,B,C ∈ Mmn(K).

Die Verknüpfung + auf Mmn(K) besitzt ein neutrales Element, nämlich die m× nMatrix, deren Einträge alle 0 sind.

2.1.8 Definition: Diem×nMatrix, deren Einträge alle 0 sind, wirdNullmatrixin Mmn(K) genannt und mit 0 bezeichnet.

Es mag zu Beginn etwas verwirrend sein, dass sowohl das neutrale Element derAddition in K als auch das neutrale Element der Addition von Matrizen in Mmn(K)mit 0 bezeichnet werden. Man gewöhnt sich aber schnell daran, diese verschiedenenneutralen Elemente auseinander zu halten.

Ist A = (aij) ∈ Mmn(K), und ist A′ = (−aij), so gilt A+A′ = 0 ∈ Mmn(K). JedesElement A ∈ Mmn(K) besitzt also ein bezüglich + inverses Element. Die MatrixA′ = (−aij) bezeichnen wir mit −A.

2.1.9 Aufgabe: Seien m,n ∈ N, und sei A ∈ Mmn(F2). Beweisen Sie, dass A =−A gilt.

Fassen wir unsere bisherigen Überlegungen zusammen, so erhalten wir:

2.1.10 Proposition: (Regeln der Matrizenaddition)

Sei K ein Körper, und seien m,n ∈ N. Es ist + eine Verknüpfung auf Mmn(K).Diese Verknüpfung ist kommutativ, assoziativ, besitzt ein neutrales Element, undjede Matrix in Mmn(K) ist bezüglich + invertierbar. �

2.2 Skalarmultiplikation

Sei r ∈ K, und sei A = (aij) ∈ Mmn(K). Mit rA bezeichnen wir die MatrixrA = (raij) ∈ Mmn(K). Formal definiert diese Konstruktion eine Abbildung

· : K×Mmn(K) → Mmn(K)(r, (aij)) 7→ (raij)

für alle (r, (aij)) ∈ K × Mmn(K). Diese Abbildung, beziehungsweise diese Kon-struktion, ist so wichtig, dass man sie mit einer eigenen Definition versieht:

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68 2.2. Skalarmultiplikation

2.2.1 Definition: Die Abbildung · : K×Mmn(K)→ Mmn(K) mit (r, A) 7→ rA füralle (r, A) ∈ K×Mmn(K) wird Skalarmultiplikation genannt, und die Elementer ∈ K bezeichnet man als Skalare.

2.2.2 Aufgabe: Seien A =(

1 2 31 0 1

)und B =

(2 1 32 2 1

)in M23(Q).

Berechnen Sie 2A− 3B.

Fassen wir einige Regeln der Skalarmultiplikation zusammen:

2.2.3 Proposition: (Regeln der Skalarmultiplikation)

Seien A = (aij) und B = (bij) ∈ Mmn(K), und seien r, s ∈ K. Dann gilt:

(a) (rs)A = r(sA).

(b) (r + s)A = rA+ sA.

(c) r(A+B) = rA+ rB.

(d) 1A = A.

Beweis:

(a) Es gilt(rs)A = ((rs)aij) = (r(saij)) = r(sA),

die Behauptung.

(b) Es gilt

(r + s)A = ((r + s)aij) = (raij + saij) = (raij) + (saij) = rA+ sA,

und das war zu zeigen.

(c)

r(A+B) = r(aij+bij) = (r(aij+bij)) = (raij+rbij) = (raij)+(rbij) = rA+rB.

(d)1A = 1(aij) = (1aij) = (aij) = A.

In allen Fällen haben wir innerhalb der Klammern die Rechengesetze in K verwen-det. 2

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Kapitel 2. Matrizenrechnung 69

2.3 Matrizenmultiplikation

2.3.1 Einführendes Beispiel

In diesem Abschnitt werden wir eine Matrizenmultiplikation definieren, die aufden ersten Blick sehr kompliziert und an den Haaren herbeigezogen aussieht. Dassdies nicht der Fall ist, und dass die Matrizenmultiplikation wirklich im täglichenLeben auftritt, soll das folgende Beispiel zeigen.

Ein Unternehmen stellt n Produkte P1, . . . , Pn her. Eine Mengeneinheit des Pro-dukts Pi, 1 ≤ i ≤ n, kostet pi Euro. Wir fassen die n Preise zu einer Spalte, also

einer n× 1-Matrix

p1...pn

, zusammen.

Nehmen wir an, das Unternehmen hätte m Kunden, die Aufträge für die Produktegegeben haben. Die Auftragsmengen für den Kunden 1 seien

(q11 . . . q1n

), dabei

bezeichnet der erste Index den Kunden und der zweite Index die Produktnummer.Als Beispiel: q14 sagt aus, dass Kunde 1 q14 Einheiten von Produkt P4 bestellt hat.Analog seien die Auftragsmengen für die Kunden 2, . . . ,m:(

q21 · · · q2n)

...(qm1 · · · qmn

).

Fassen wir die Auftragsmengen für die m Kunden in einer Matrix zusammen, soerhalten wir folgende m× n-Matrix:

q11 · · · q1n... . . . ...qm1 · · · qmn

.Wir wollen nun den Erlös aus der Bestellung des Kunden i berechnen. Dazu neh-men wir die i-te Zeile dieser Matrix, multiplizieren die Bestellmengen der einzelnenProdukte mit deren Preis und addieren alle Produkte:

qi1p1 + qi2p2 + · · ·+ qinpn =n∑k=1

qikpk.

Das Ergebnis ist der Erlös aus der Bestellung des Kunden i.

Vereinbaren wir nun eine Multiplikation einer 1 × n-Matrix (einer Zeile mit nEinträgen) mit einer n × 1-Matrix (einer Spalte mit n Einträgen) in der gerade

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70 2.3. Matrizenmultiplikation

durchgeführten Weise, so ist der Erlös aus der Bestellung des Kunden i gerade dasProdukt der i-ten Zeile

(qi1 · · · qin

)der Bestellmengenmatrix mit der Preisma-

trix

p1...pn

.Führen wir diese Rechnungen nun für alle m Kunden durch und schreiben diejeweiligen Erlöse wieder in eine Spalte, so erhalten wir:

q11 · · · q1n... . . . ...qm1 · · · qmn

p1...pn

=

n∑k=1

q1kpk

...n∑k=1

qmkpk

.

In der Spalte rechts des Gleichheitszeichens stehen die Erlöse aus den Bestellungender Kunden des Unternehmens.

Was Sie hier gesehen haben ist ein Beispiel für die Multiplikation einer m × n-Matrix (der Bestellmengenmatrix) mit einer n× 1-Matrix (der Preismatrix). DasErgebnis ist einem×1-Matrix, in der die Erlöse aus den Bestellungen der einzelnenKunden aufgelistet sind. Wir werden die in diesem Beispiel vorgeführte Art derMultiplikation von Matrizen in den folgenden Abschnitten verallgemeinern undeinige Rechenregeln herleiten.

2.3.2 Wie man Matrizen multipliziert

Wir definieren nun formal eine Multiplikation von Matrizen. Dazu seien

A =

a11 a12 · · · a1n... ... ...ai1 ai2 · · · ain... ... ...am1 am2 · · · amn

∈ Mmn(K), B =

b11 · · · b1k · · · b1sb21 · · · b2k · · · b2s... ... ...bn1 · · · bnk · · · bns

∈ Mns(K).

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Kapitel 2. Matrizenrechnung 71

Wir setzen

AB = (n∑j=1

aijbjk)1≤i≤m1≤k≤s

=

n∑j=1

a1jbj1n∑j=1

a1jbj2 · · ·n∑j=1

a1jbjs

n∑j=1

a2jbj1n∑j=1

a2jbj2 · · ·n∑j=1

a2jbjs

... ... . . . ...n∑j=1

amjbj1n∑j=1

amjbj2 · · ·n∑j=1

amjbjs

∈ Mms(K).

So, tief durchatmen, und dann gehen wir die Definition noch einmal durch.

Genau dann dürfen wir zwei Matrizen A und B miteinander multiplizieren, wenngilt:

A hat m Zeilen und n Spalten, und B hat n Zeilen und s Spalten. Das Ergebnishat dann m Zeilen und s Spalten, also AB ∈ Mms(K).

2.3.1 Aufgabe: Es bezeichne (r×s) eine Matrix in Mrs(K). Wie viele Zeilen undSpalten haben die Produkte, falls sie definiert sind?

(2×3)(3×4), (4×1)(1×2), (1×2)(3×1), (5×2)(2×3), (3×4)(3×4), (2×2)(2×4).

Um das Produkt AB = C = (cik)1≤i≤m1≤k≤s

zu berechnen, müssen wir für alle 1 ≤ i ≤ m

und 1 ≤ k ≤ s angeben, was der Eintrag cik in C ist. Dazu folgende

2.3.2 Merkregel: Um cik zu ermitteln, legen wir die i-te Zeile von A und diek-te Spalte von B übereinander, multiplizieren das, was aufeinander liegt undsummieren dann alles auf.

Also: Wenn wir cik bei der Matrizenmultiplikation... ... ...ai1 ai2 · · · ain... ... ...

· · · b1k · · ·· · · b2k · · ·

...· · · bnk · · ·

=

...

· · · cik · · ·...

bestimmen wollen, legen wir die i-te Zeile

(ai1 ai2 . . . ain

)und die k-te Spalte

b1kb2k...bnk

übereinander:(ai1 ai2 . . . ain

)(b1k b2k . . . bnk

),multiplizieren das, was übereinander-

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72 2.3. Matrizenmultiplikation

liegt: ai1b1k, ai2b2k, . . . , ainbnk und bilden die Summe: cik = ai1b1k + ai2b2k + · · ·+ainbnk =

n∑j=1

aijbjk.

2.3.3 Beispiele: (a) Seien(xy

)∈ M21(K) und

(u v

)∈ M12(K). Dann gilt

(xy

)(u v

)=(xu xvyu yv

)∈ M22(K)

und (u v

)(xy

)= (ux+ vy) ∈ M11(K).

(b) Seien A =(

1 0 10 1 0

)∈ M23(R) und B =

1 0 1 00 1 0 00 0 1 1

∈ M34(R). Dann gilt

(1 0 10 1 0

)1 0 1 00 1 0 00 0 1 1

=

(1 · 1 + 0 · 0 + 1 · 0 1 · 0 + 0 · 1 + 1 · 0 1 · 1 + 0 · 0 + 1 · 1 1 · 0 + 0 · 0 + 1 · 10 · 1 + 1 · 0 + 0 · 0 0 · 0 + 1 · 1 + 0 · 0 0 · 1 + 1 · 0 + 0 · 1 0 · 0 + 1 · 0 + 0 · 1

)=

(1 0 2 10 1 0 0

)∈ M24(R).

Das Produkt BA ist nicht definiert.

2.3.4 Aufgabe: Berechnen Sie folgende Produkte AB und BA von Matrizen Aund B über R, falls sie definiert sind.

(a) A =(

1 32 −1

), B =

(2 0 −43 −2 6

).

(b) A =(2 1

), B =

(1 −2 04 5 −3

).

(c) A =

2 −11 0−3 4

, B =(

1 −2 −53 4 0

).

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Kapitel 2. Matrizenrechnung 73

2.3.3 Regeln der Matrizenmultiplikation

Es gibt eine Matrix, bei der sich die Matrizenmultiplikation ausgesprochen einfachgestaltet, und diese Matrix ist so wichtig, dass sie einen Namen bekommt.

2.3.5 Definition: Die Matrix Im = (aij) ∈ Mmm(K) mit aii = 1 für alle 1 ≤ i ≤ mund aij = 0 für alle i 6= j wird die m×m-Einheitsmatrix genannt.

Es ist also Im =

1 0 · · · 00 1 · · · 0... ... . . . ...0 0 · · · 1

∈ Mmm(K) die Matrix, deren Diagonalelemente

1 und deren übrige Einträge 0 sind.

2.3.6 Proposition: (Regeln der Matrizenmultiplikation)

Seien A = (aij) ∈ Mmn(K), B = (bij) ∈ Mns(K), C = (cij) ∈ Mst(K). Dann gilt:

(a) (Assoziativgesetz:) (AB)C = A(BC).

(b) (Eins:) ImA = A.

(c) (Eins′:) AIn = A.

Beweis:

(a) Sei D = (dij) = (AB)C. Es ist AB ∈ Mms(K) und C ∈ Mst(K), also D ∈Mmt(K).

Sei D′ = (d′ij) = A(BC). Es ist A ∈ Mmn(K) und BC ∈ Mnt(K), also D′ ∈Mmt(K).

Wir müssen zeigen, dass dil = d′il gilt, für alle 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ l ≤ t.

Um dil zu berechnen, müssen wir die i-te Zeile von AB betrachten und die l-te

Spalte von C. Es sind( n∑j=1

aijbj1n∑j=1

aijbj2 · · ·n∑j=1

aijbjs

)die i-te Zeile von

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74 2.3. Matrizenmultiplikation

AB und

c1lc2l...csl

die l-te Spalte von C. Dann gilt:

dil = (n∑j=1

aijbj1)c1l + (n∑j=1

aijbj2)c2l + · · ·+ (n∑j=1

aijbjs)csl

=n∑j=1

(aijbj1)c1l +n∑j=1

(aijbj2)c2l + · · ·+n∑j=1

(aijbjs)csl

denn in K gelten die Distributivgesetze

=s∑

k=1

n∑j=1

(aijbjk)ckl

=n∑j=1

s∑k=1

(aijbjk)ckl mit der Merkregel 1.1.1

=n∑j=1

s∑k=1

aij(bjkckl).

Um d′il zu berechnen, betrachten wir die i-te Zeile(ai1 ai2 · · · ain

)von A

und die l-te Spalte

s∑k=1

b1kckl

s∑k=1

b2kckl

...s∑

k=1bnkckl

von BC.

Es folgt:

d′il = ai1s∑

k=1b1kckl + ai2

s∑k=1

b2kckl + · · ·+ ains∑

k=1bnkckl

=s∑

k=1ai1(b1kckl) +

s∑k=1

ai2(b2kckl) + · · ·+s∑

k=1ain(bnkckl)

=n∑j=1

s∑k=1

aij(bjkckl)

= dil, und wir haben es geschafft.

(b) Sei D = (dij) = ImA ∈ Mmn(K). Für alle 1 ≤ i ≤ m und alle 1 ≤ j ≤ n gilt

dij = 0 · a1j + 0 · a2j + · · ·+ 0 · ai−1,j + 1 · aij + 0 · ai+1,j · · ·+ 0 · amj = aij.

Es folgt ImA = A.

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Kapitel 2. Matrizenrechnung 75

(c) Analog zu (b).

2

Die Matrizenmultiplikation ist keine Verknüpfung auf Mmn(K), denn wenn m undn verschieden sind, können wir zwei m×n-Matrizen nicht miteinander multiplizie-ren. Das ist anders, wenn m = n ist. Zwei n×n-Matrizen können wir miteinandermultiplizieren, und das Ergebnis ist wieder eine n × n-Matrix. Proposition 2.3.6sichert, dass diese Verknüpfung assoziativ ist und ein neutrales Element besitzt,nämlich die n × n-Einheitsmatrix In. Wie steht es mit der Kommutativität? Giltfür je zwei n × n-Matrizen A und B, dass AB = BA gilt? Die Antwort ist einklares „nein“, oder besser ein „fast immer nein“. Wenn A = (a) und B = (b) beide1 × 1-Matrizen sind, dann gilt natürlich AB = (ab) = (ba) = BA. Wenn n abergrößer als 1 ist, dann gibt es immer Matrizen A,B ∈ Mnn(K), für die AB 6= BAgilt. Als Beispiel betrachten wir für n > 1 folgende Matrizen:

A =

1 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0... ... . . . ... ...0 0 · · · 0 0

und B =

0 0 · · · 0 10 0 · · · 0 0... ... . . . ... ...0 0 · · · 0 0

in Mnn(K). Dann gilt

AB =

1 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0... ... . . . ... ...0 0 · · · 0 0

0 0 · · · 0 10 0 · · · 0 0... ... . . . ... ...0 0 · · · 0 0

=

0 0 · · · 0 10 0 · · · 0 0... ... . . . ... ...0 0 · · · 0 0

= B

und

BA =

0 0 · · · 0 10 0 · · · 0 0... ... . . . ... ...0 0 · · · 0 0

1 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0... ... . . . ... ...0 0 · · · 0 0

=

0 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0... ... . . . ... ...0 0 · · · 0 0

= 0,

also AB 6= BA.

2.3.7 Aufgabe: Geben Sie ein Beispiel für eine 2 × 2-Matrix A, die nicht dieNullmatrix ist, und für die A2 = A ·A = 0 gilt. (Achtung, hier ist 0 die Nullmatrix,also eine 2× 2-Matrix.)

Halten wir unsere Überlegungen fest:

2.3.8 Proposition: Die Matrizenmultiplikation ist eine Vernüpfung auf Mnn(K).Sie ist assoziativ und besitzt ein neutrales Element, nämlich In. Für n > 1 ist sienicht kommutativ. �

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76 2.3. Matrizenmultiplikation

Wie immer bei Mengen mit einer Verknüpfung, die ein neutrales Element besitzt,interessiert man sich auch bei der Matrizenmultiplikation quadratischer Matrizenfür Invertierbarkeit. Noch einmal zur Erinnerung (vergleichen Sie mit Definition1.5.7):

2.3.9 Definition: Eine Matrix A ∈ Mnn(K) heißt invertierbar, wenn es eineMatrix A−1 in Mnn(K) so gibt, dass A−1A = AA−1 = In ist.

Ist A invertierbar, so ist auch A−1 invertierbar. Invers zu A−1 ist A.

Im Gegensatz zu den Fällen, die wir bisher diskutiert haben (invertierbare Elemen-te in Körpern oder invertierbare Elemente in Z), wird die Frage, welche quadrati-schen Matrizen invertierbar sind, und wie man inverse Elemente zu invertierbarenMatrizen finden kann, gar nicht einfach zu beantworten sein. Wir werden uns mitder Klärung dieser Frage in Kapitel 4.5 beschäftigen.

2.3.10 Aufgabe: Sei A =(

1 00 0

)∈ M22(K). Sei B =

(a bc d

)eine beliebige

Matrix in M22(K). Berechnen Sie AB. Beweisen Sie, dass A nicht invertierbar ist.

2.3.11 Aufgabe: Sei A ∈ Mmm(K) invertierbar. Seien B,C ∈ Mmm(K) Matrizen,für die AB = BA = Im und AC = CA = Im gilt. Lassen Sie sich vom Beweisvon Proposition 1.6.4 inspirieren, und beweisen Sie, dass B = C gilt, dass also dasinverse Element zu einer invertierbaren Matrix eindeutig ist.

Produkte invertierbarer Matrizen sind invertierbar, wie die folgende Propositionzeigt. Allerdings müssen wir die Reihenfolge der Matrizen beachten. Das ist nichtüberraschend und passiert auch im täglichen Leben: Der inverse Vorgang von „Ein-steigen und Türen schließen“ ist „Türen öffnen und aussteigen“ und nicht „Aus-steigen und Türen öffnen„.

2.3.12 Proposition: Seien A1, . . . , Am invertierbare Matrizen in Mnn(K). Dannist das Produkt A = A1 · · ·Am invertierbar, und A−1 = A−1

m · · ·A−11 .

Beweis: Wir beweisen die Behauptung mit Induktion nach m (vergleiche Ab-schnitt 1.2.4).

Im Induktionsanfang setzen wir m = 1. Nach Annahme ist A = A1 invertierbar,und es gilt A−1 = A−1

1 .

Als Induktionsannahme nehmen wir an, dass die Behauptung für m ≥ 1 invertier-bare Matrizen A1, . . . , Am richtig ist. Im Induktionsschritt betrachten wir m + 1

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Kapitel 2. Matrizenrechnung 77

invertierbare Matrizen A1, . . . , Am, Am+1 in Mnn(K). Es gilt

A1 · · ·Am · Am+1 = (A1 · · ·Am) · Am+1.

Nach Induktionsannahme ist A = A1 · · ·Am invertierbar. Auch Am+1 ist invertier-bar, und es gilt

(AAm+1)(A−1m+1A

−1) = A(Am+1A−1m+1)A−1 = AInA

−1 = AA−1 = In

und

(A−1m+1A

−1)(AAm+1) = A−1m+1(A−1A)Am+1 = A−1

m+1InAm+1 = A−1m+1Am+1 = In.

Somit istAAm+1 = A1 · · ·Am·Am+1 invertierbar und invers zuAAm+1 istA−1m+1A

−1.Nach Induktionsannahme ist A−1 = A−1

m · · ·A−11 , und es folgt

(A1 · · ·Am · Am+1)−1 = A−1m+1A

−1 = A−1m+1A

−1m · · ·A−1

1 .

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt die Behauptung. 2

2.4 Gemischte Rechenregeln für Matrizen

Während sich die Propositionen in den letzten Abschnitten jeweils mit einer Re-chenoperation wie Matrizenaddition, der Skalarmultiplikation und der Matrizen-multiplikation beschäftigten, werden wir hier untersuchen, wie das Zusammenspielder verschiedenen Rechenoperationen funktioniert.

2.4.1 Proposition: (Gemischte Rechenregeln für Matrizen)

Seien A = (aij), A′ = (a′ij) ∈ Mmn(K), B = (bij), B′ = (b′ij) ∈ Mns(K), und seir ∈ K. Dann gilt:

(a) (Distributivgesetz:) (A+ A′)B = AB + A′B.

(b) (Distributivgesetz:) A(B +B′) = AB + AB′.

(c) (rA)B = r(AB) = A(rB)

(d) (−1)A = −A.

Beweis:

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78 2.4. Gemischte Rechenregeln für Matrizen

(a) Sei D = (A+ A′)B = (dik)1≤i≤m1≤k≤s

∈ Mms(K).

(A+ A′)B =

a11 · · · a1n... . . . ...am1 · · · amn

+

a′11 · · · a′1n... . . . ...a′m1 · · · a′mn

b11 · · · b1s... . . . ...bn1 · · · bns

=

a11 + a′11 · · · a1n + a′1n

... . . . ...am1 + a′m1 · · · amn + a′mn

b11 · · · b1s... . . . ...bn1 · · · bns

Es folgt

dik = (ai1 + a′i1)b1k + (ai2 + a′i2)b2k + · · ·+ (ain + a′in)bnk= ai1b1k + a′i1b1k + ai2b2k + a′i2b2k + · · ·+ ainbnk + a′inbnk= (ai1b1k + ai2b2k + · · ·+ ainbnk) + (a′i1b1k + a′i2b2k + · · ·+ a′inbnk)

=n∑j=1

aijbjk +n∑j=1

a′ijbjk.

Nun istn∑j=1

aijbjk aber gerade der Eintrag im Schnittpunkt der i-ten Zeile und

der k-ten Spalte von AB, undn∑j=1

a′ijbjk ist der Eintrag im Schnittpunkt der

i-ten Zeile mit der k-ten Spalte von A′B. Es gilt also (A+A′)B = AB+A′B,die Behauptung.

(b) Der Beweis ist analog zu (a).

(c)

(rA)B =

ra11 · · · ra1n... . . . ...

ram1 · · · ramn

b11 · · · b1s... . . . ...bn1 · · · bns

=

n∑j=1

ra1jbj1 · · ·n∑j=1

ra1jbjs

... . . . ...n∑j=1

ramjbj1 · · ·n∑j=1

ramjbjs

= r(AB)

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Kapitel 2. Matrizenrechnung 79

=

n∑j=1

a1jrbj1 · · ·n∑j=1

a1jrbjs

... . . . ...n∑j=1

amjrbj1 · · ·n∑j=1

amjrbjs

= A(rB)

(d)(−1)A = (−1)(aij) = ((−1)aij) = (−aij) = −A.

Beim dritten Gleichheitszeichen haben wir benutzt, dass (−1)a = −a für allea ∈ K gilt (vergleichen Sie mit Bemerkung 1.6.6)

2

Wenn Sie üben wollen, mehr Beispiele möchten, und überprüfen möchten, ob Sierichtig gerechnet haben, können Sie unseren Matrizentaschenrechner verwenden.

Vorweg: Den können Sie nur online benutzen. Mit „Auswahl der Grundeinstellun-gen“ können Sie die Größen der Matrizen wählen, und wenn Sie dann den Button„zur Verarbeitung“ betätigen, dann können Sie für A und B Matrizen zufällig

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80 2.4. Gemischte Rechenregeln für Matrizen

erzeugen lassen. Einige Buttons werden Ihnen (noch) nichts sagen. Aber die müs-sen Sie ja nicht bedienen. Die Grundrechenarten mit Matrizen können Sie aberduchführen. Bevor es losgeht eine Warnung: Wenn Sie längere Zeit mit dem Ap-plet nicht arbeiten, werden Sie vom Computing-Server abgeklemmt. Sie müssendann auf „neu laden“ oder „Aktualisieren“ in Ihrem Browserfenster drücken. DieEinstellungen, die Sie vorher vorgenommen haben, sind dann allerdings weg. Siefinden den Matrizentaschenrechner indem sie den Links in der Virtuellen Univer-sität folgen oder den Screenshot anklicken.

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Lösungen der Aufgaben

Lösungen der Aufgaben in 2.1

Aufgabe 2.1.4

1. Es sind A =(

1 2 00 1 1

)∈ M23(R), also m = 2 und n = 3, B =

(1 0 1

)∈

M13(R), also m = 1 und n = 3, und C =

0 0 3 02 3 2 10 2 1 1

∈ M34(R), also

m = 3 und n = 4.

2. Der Eintrag an der Stelle (1, 3) in A ist 0, der Eintrag an der Stelle (1, 3) inB ist 1, und der Eintrag an der Stelle (1, 3) in C ist 3.

3. Diagonalelemente sind nur für quadratische Matrizen definiert. Da A, Bund C nicht quadratisch sind, lassen sich also keine Diagonalelemente dieserMatrizen bestimmen.

Aufgabe 2.1.6 Wir können natürlich A + A, B + B und C + C bilden. AndereSummen lassen sich allerdings nicht bilden, denn weder A noch B noch C habendieselbe Anzahl von Zeilen und Spalten.

Aufgabe 2.1.7 Seien A =(

1 0 11 1 1

)und B =

(0 1 01 1 0

). Es ist A + B =(

1 + 0 0 + 1 1 + 01 + 1 1 + 1 1 + 0

).

1. Es folgtA+B =(

1 1 12 2 1

), wenn wirA undB als Matrizen über R auffassen.

2. Es folgt A + B =(

1 1 10 0 1

), wenn wir A und B als Matrizen über F2

81

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82 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2

auffassen, denn 1 + 1 = 0 in F2.

Aufgabe 2.1.9

Behauptung Seien m,n ∈ N, und sei A ∈ Mmn(F2). Es gilt A = −A.

Beweis: Sei A =

a11 · · · a1n... . . . ...am1 · · · amn

∈ Mmn(F2).

Um die Behauptung zu beweisen, müssen wir zeigen, dass A + A = 0 ist (hierbezeichnet 0 die m × n-Nullmatrix). Wenn wir dies gezeigt haben, dann ist Adas bezüglich der Addition zu A inverse Element, und das hatten wir mit −Abezeichnet.

Es ist A+A =

a11 + a11 · · · a1n + a1n

... . . . ...am1 + am1 · · · amn + amn

. Für alle 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n

gilt aij + aij = 0, denn wenn aij = 0 ist, so folgt 0 + 0 = 0, und wenn aij = 1 ist,so gilt 1 + 1 = 0 in F2. Somit gilt

A+ A =

a11 + a11 · · · a1n + a1n

... . . . ...am1 + am1 · · · amn + amn

=

0 · · · 0... . . . ...0 · · · 0

,

und es folgt – wie wir oben überlegt hatten – die Behauptung.

Lösung der Aufgabe in 2.2

Aufgabe 2.2.2 Seien A =(

1 2 31 0 1

)und B =

(2 1 32 2 1

)in M23(Q).

Es ist

2A =(

2 · 1 2 · 2 2 · 32 · 1 2 · 0 2 · 1

)

=(

2 4 62 0 2

)

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Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2 83

Weiter ist3B =

(3 · 2 3 · 1 3 · 33 · 2 3 · 2 3 · 1

)

=(

6 3 96 6 3

)

Somit gilt

2A− 3B =(

2 4 62 0 2

)−(

6 3 96 6 3

)

=(−4 1 −3−4 −6 −1

)

Lösungen der Aufgaben in 2.3

Aufgabe 2.3.1

1. Es ist (2× 3)(3× 4) eine 2× 4-Matrix, das Produkt hat also 2 Zeilen und 4Spalten.

2. Es ist (4× 1)(1× 2) eine 4× 2-Matrix, das Produkt hat also 4 Zeilen und 2Spalten.

3. Bei (1 × 2) und (3 × 1) sind die inneren Zahlen, also 2 und 3 verschieden.Das Produkt ist also nicht definiert.

4. Es ist (5× 2)(2× 3) eine 5× 3-Matrix, das Produkt hat also 5 Zeilen und 3Spalten.

5. Das Produkt ist nicht definiert.

6. Es ist (2× 2)(2× 4) eine 2× 4-Matrix, das Produkt hat also 2 Zeilen und 4Spalten.

Aufgabe 2.3.4

1. Da A =(

1 32 −1

)eine 2 × 2 und B =

(2 0 −43 −2 6

)eine 2 × 3-Matrix ist,

ist das Produkt AB definiert, und AB ist eine 2× 3-Matrix.

Um die Einträge in der ersten Zeile von AB zu berechnen, multiplizieren wir

die erste Zeile(1 3

)von A mit den Spalten

(23

),(

0−2

)und

(−46

)von B.

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84 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2

Um die Einträge in der zweiten Zeile von AB zu berechnen, multiplizieren

wir die zweite Zeile(2 −1

)von A mit den Spalten

(23

),(

0−2

)und

(−46

)von B.

AB =(

1 · 2 + 3 · 3 1 · 0 + 3 · (−2) 1 · (−4) + 3 · 62 · 2 + (−1) · 3 2 · 0 + (−1) · (−2) 2 · (−4) + (−1) · 6

)

=(

11 −6 141 2 −14

)

Es ist B eine 2×3-Matrix, und A ist eine 2×2-Matrix. Da die inneren Zahlen3 und 2 verschieden sind, ist das Produkt BA nicht definiert.

2. Da A =(2 1

)eine 1× 2-Matrix und B =

(1 −2 04 5 −3

)eine 2× 3-Matrix

ist, ist das Produkt AB definiert, und AB ist eine 1× 3-Matrix. AB ist alsoeine Zeile mit drei Einträgen. Um diese zu ermitteln, multiplizieren wir die(einzige) Zeile von A mit allen Spalten von B.

AB =(2 · 1 + 1 · 4 2 · (−2) + 1 · 5 2 · 0 + 1 · (−3)

)=

(6 1 −3

)Es ist B eine 2×3-Matrix, und A ist eine 1×2-Matrix. Da die inneren Zahlen3 und 1 verschieden sind, ist das Produkt BA nicht definiert.

3. Da A =

2 −11 0−3 4

eine 3 × 2-Matrix und B =(

1 −2 −53 4 0

)eine 2 × 3-

Matrix ist, ist das Produkt AB definiert, und AB ist eine 3× 3-Matrix.

AB =

2− 3 −4− 4 −10 + 01 + 0 −2 + 0 −5 + 0−3 + 12 6 + 16 15 + 0

=

−1 −8 −101 −2 −59 22 15

Da B eine 2 × 3-Matrix und A eine 3 × 2-Matrix ist, ist das Produkt BA

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Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2 85

definiert, und BA ist eine 2× 2-Matrix.

BA =(

2− 2 + 15 −1 + 0− 206 + 4 + 0 −3 + 0 + 0

)

=(

15 −2110 −3

)

Aufgabe 2.3.7 Gesucht ist ein Beispiel für eine 2 × 2-Matrix A, die nicht dieNullmatrix ist, und für die A2 = A · A = 0 gilt. Um so ein Beispiel zu finden,

machen wir den Ansatz A =(a bc d

)und bilden A2 =

(a2 + bc ab+ bdca+ dc cb+ d2

). Jetzt

versuchen wir, a, b, c und d so zu wählen, dass nicht alle Null sind, dass abera2 + bc = 0, ab + bd = 0, ca + dc = 0 und cb + d2 = 0 ist. Möglich wäre da zum

Beispiel a = 0, b = 1, c = 0 und d = 0. Für A =(

0 10 0

)gilt dann A2 =

(0 00 0

),

und A ist nicht die Nullmatrix.

Aufgabe 2.3.10 Sei A =(

1 00 0

)∈ M22(K). Sei B =

(a bc d

)eine beliebige Matrix

in M22(K). Dann gilt AB =(a b0 0

).

Behauptung Die Matrix A =(

1 00 0

)∈ M22(K) ist nicht invertierbar.

Beweis: Wir führen den Beweis durch Widerspruch (vergleiche Abschnitt 1.2.5).Das bedeutet, wir werden annehmen, A sei invertierbar, und diese Annahme zueinem Widerspruch führen:

Angenommen, A ist invertierbar. Dann gibt es eine Matrix A−1 =(a bc d

)∈

M22(K), so dass gilt:

AA−1 =(

1 00 0

)(a bc d

)=(a b0 0

)=(

1 00 1

).

Indem wir die Einträge in den letzten beiden Matrizen in dieser Gleichungskettevergleichen, sehen wir, dass 1 = 0 sein muss. Das ist ein Widerspruch, denn ineinem Körper sind die Elemente 1 und 0 immer verschieden. Dieser Widerspruchzeigt, dass die Annahme, A sei invertierbar, falsch gewesen ist, und es folgt dassA nicht invertierbar ist. Das ist aber gerade die Behauptung. 2

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86 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2

Aufgabe 2.3.11 Sei A ∈ Mmm(K) invertierbar. Seien B,C ∈ Mmm(K) Matrizen,für die AB = BA = Im und AC = CA = Im gilt.

Behauptung Es gilt B = C.

Beweis: Nach Voraussetzung gilt AB = AC. Da A invertierbar ist, gibt es eineMatrix A−1 ∈ Mmm(K) mit A−1A = Im. Wir multiplizieren die Gleichung AB =AC von links mit A−1 und erhalten

A−1(AB) = A−1(AC).

Da das Assoziativgesetz gilt (siehe Proposition 2.3.6), können wir umklammernund erhalten

(A−1A)B = (A−1A)C, also ImB = ImC.

Mit Proposition 2.3.6 folgt B = C, die Behauptung. 2

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Kapitel 3

Zeilenäquivalente Matrizen

Sei K ein Körper, seien m,n ∈ N, und sei A ∈ Mmn(K).

Wir werden Matrizen mit Hilfe von drei Regeln umformen, die wir im folgendenAbschnitt formulieren werden. Diese Regeln nennen wir elementare Zeilenumfor-mungen. Mit Hilfe von elementaren Zeilenumformungen werden wir im nächstenKapitel Matrizen A in eine einfachere Form, die so genannte Treppennormalformzu A, überführen und unter anderem die in Abschnitt 2.3 bereits gestellte Frage,wann quadratische Matrizen invertierbar sind und wie wir gegebenenfalls die zueiner Matrix A inverse Matrix finden können, beantworten.

3.1 Elementare Zeilenumformungen

Formulieren wir zunächst unsere Umformungsregeln:

3.1.1 Definition: Die folgenden Manipulationen an A ∈ Mmn(K) nennen wirelementare Zeilenumformungen:

Zij: Vertausche die i-te Zeile mit der j-ten Zeile, wobei i 6= j ist.

Zi(r): Multipliziere die i-te Zeile mit einem Skalar r ∈ K, wobei r nicht 0 seindarf.

Zij(s): Addiere das s-fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile, wobei s ∈ K und i 6= jsind.

3.1.2 Beispiel: A =

1 2 3 02 4 2 23 6 4 3

∈ M34(R).

87

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88 3.2. Elementare Zeilenumformungen und Matrizen

Wenden wir die elementare Zeilenumformung Z23 auf A an, so erhalten wir1 2 3 03 6 4 32 4 2 2

, wenden wir Z3(6) auf A an, so erhalten wir

1 2 3 02 4 2 218 36 24 18

, undwenden wir Z31(−2) auf A an, so erhalten wir

1 2 3 02 4 2 21 2 −2 3

.

3.2 Elementare Zeilenumformungen und Matri-zen

Wir werden in diesem Abschnitt zeigen, dass wir elementare Zeilenumformungendurch Matrixmultiplikationen realisieren können. Genauer, wir werden zeigen, dasses Matrizen Pij, Di(r), Tij(s) (genannt Elementarmatrizen) in Mmm(K) gibt, sodass gilt:

PijA ist die Matrix, die wir erhalten, indem wir Zij auf A anwenden,

Di(r)A ist die Matrix, die wir erhalten, indem wir Zi(r) auf A anwenden, und

Tij(s)A ist die Matrix, die wir erhalten, indem wir Zij(s) auf A anwenden.

3.2.1 Matrizen mit genau einer 1

Wir beginnen mit ganz einfachen Matrizen, nämlich solchen, die genau einen Ein-trag 1 besitzen, und deren übrige Einträge 0 sind. Was geschieht, wenn wir solcheMatrizen von links an eine Matrix A multiplizieren, werden wir jetzt überlegen.

3.2.1 Definition: Sei Eij ∈ Mmn(K) die Matrix, die an der Stelle (i, j) den Ein-trag 1 hat, und deren übrige Einträge 0 sind.

Als Beispiel: E24 ∈ M44(R) ist die Matrix

0 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

.

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Kapitel 3. Zeilenäquivalente Matrizen 89

3.2.2 Aufgabe: Sei E24 ∈ M44(R), und sei A =

1 2 0 1 00 1 1 0 1−2 4 2 0 67 6 5 4 3

∈ M45(R).

Berechnen Sie E24A.

Wenn Sie diese Aufgabe gerechnet haben, wird Sie das folgende Ergebnis nichtüberraschen.

3.2.3 Bemerkung: Sei Eij ∈ Mmm(K), und sei A = (aij) ∈ Mmn(K). Die i-teZeile von EijA ist die j-te Zeile von A, und die übrigen Einträge von EijA sind 0.

Beweis: Sei C = EijA. Um den Eintrag clk von C zu berechnen, müssen wir die l-teZeile von Eij mit der k-ten Spalte von A multiplizieren. Wenn l 6= i ist, besteht diel-te Zeile von Eij nur aus Nullen, es ist also clk = 0 für alle l 6= i und alle 1 ≤ k ≤ n.Für l = i ist cik = 0 · a1k + · · ·+ 0 · aj−1,k + 1 · ajk + 0 · aj+1,k + · · ·+ 0 · amk = ajk.Die i-te Zeile von EijA ist also die j-te Zeile von A. 2

Was geschieht, wenn wir quadratische Matrizen der Form Eij miteinander multi-plizieren? Die folgende Proposition gibt darüber Auskunft.

3.2.4 Proposition: (Multiplikation von Matrizen der Form Eij)

Seien Eij, Ekl ∈ Mmm(K). Dann gilt EijEkl ={

0 ∈ Mmm(K), falls k 6= jEil, falls k = j.

Beweis: Mit 3.2.3 gilt: Die i-te Zeile von EijEkl ist die j-te Zeile von Ekl, und alleweiteren Einträge sind 0. Wenn k 6= j ist, dann ist die j-te Zeile von Ekl eine Null-zeile, das heißt, alle Einträge der Zeile sind 0. Dann ist EijEkl die Nullmatrix. Wennk = j ist, dann ist die j-te Zeile von Ejl von der Form

(0 · · · 0 1 0 · · · 0

),

wobei die 1 an der l-ten Stelle steht. Es ist also EijEjl = Eil. 2

3.2.5 Aufgabe: Die folgenden Matrizen seien in M55(F2). Benutzen Sie Propo-sition 3.2.4 um ohne Rechnerei die Produkte folgender Matrizen zu bestimmen:E23E23, E23E32 und E34E13.

3.2.2 Elementarmatrizen

Wir kommen nun zur formalen Definition der Elementarmatrizen. Der Formalismusist hilfreich bei Rechnungen mit diesen Matrizen – wie Sie sich die Definitionen

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90 3.2. Elementare Zeilenumformungen und Matrizen

merken können, sagt die Merkregel, die der Definition folgt.

3.2.6 Definition: Seien Eii, Eij, Ejj, Eji ∈ Mmm(K).

(a) Für i 6= j sei Pij = Im − Eii + Eij − Ejj + Eji.

(b) Für r ∈ K \ {0} sei Di(r) = Im + (r − 1)Eii.

(c) Für i 6= j sei Tij(s) = Im + sEij.

Die Matrizen Pij, Di(r) und Tij(s) werden Elementarmatrizen genannt.

3.2.7 Aufgabe: Bilden Sie P24, D2(3) und T54(−2) in M55(R).

3.2.8 Merkregel: (a) Die Matrix Pij ∈ Mmm(K) erhalten wir, indem wir eineelementare Zeilenumformung vom Typ Zij auf Im anwenden.

(b) Die Matrix Di(r) ∈ Mmm(K) erhalten wir, indem wir eine elementare Zeilen-umformung vom Typ Zi(r) auf Im anwenden.

(c) Die Matrix Tij(s) ∈ Mmm(K) erhalten wir, indem wir eine elementare Zeilen-umformung vom Typ Zij(s) auf Im anwenden.

Elementarmatrizen tun das, was ich versprochen habe, wie die folgende Propositionzeigt:

3.2.9 Proposition: Sei A ∈ Mmn(K), und seien Pij, Di(r) und Tij(s) Elementar-matrizen in Mmm(K). Dann gilt:

(a) PijA ist die Matrix, die wir erhalten, indem wir die elementare Zeilenumfor-mung Zij auf A anwenden.

(b) Di(r)A ist die Matrix, die wir erhalten, indem wir die elementare Zeilenum-formung Zi(r) auf A anwenden.

(c) Tij(s)A ist die Matrix, die wir erhalten, indem wir die elementare Zeilenum-formung Zij(s) auf A anwenden.

Beweis:

(a) Es giltPijA = (Im − Eii + Eij − Ejj + Eji)A

= ImA− EiiA+ EijA− EjjA+ EjiA= (A− EiiA− EjjA) + (EijA+ EjiA).

Mit Bemerkung 3.2.3 ist A − EiiA − EjjA diejenige Matrix, deren Einträge

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Kapitel 3. Zeilenäquivalente Matrizen 91

in der i-ten und der j-ten Zeile 0 sind, und deren übrige Einträge mit denenin A übereinstimmen. EijA + EjiA ist diejenige Matrix, deren i-te Zeile diej-te Zeile von A ist, deren j-te Zeile die i-te Zeile von A ist, und deren übrigeEinträge 0 sind. Die Summe (A−EiiA−EjjA)+(EijA+EjiA) beider Matrizenhat also die in der Behauptung geforderte Gestalt.

(b) Es giltDi(r)A = (Im + (r − 1)Eii)A

= (A− EiiA) + rEiiA.

Die i-te Zeile von A − EiiA ist also eine Nullzeile, die übrigen Einträge vonA−EiiA entsprechen denen von A. Die i-te Zeile von rEiiA ist das r-fache deri-ten Zeile von A, die übrigen Einträge sind 0. Die Summe (A−EiiA) + rEiiAhat also die geforderte Gestalt.

(c) Es giltTij(s)A = (Im + sEij)A

= A+ sEijA.

Die i-te Zeile von sEijA ist das s-fache der j-ten Zeile von A, die übrigen Ein-träge von sEijA sind 0. Die Summe beider Matrizen hat damit die geforderteGestalt.

2

3.2.10 Aufgabe: Sei A =

1 2 3 45 6 7 89 0 1 2

, und sei B die Matrix, die aus A entsteht,

indem wir die erste und die dritte Zeile von A vertauschen, dann die neue ersteZeile mit 6 multiplizieren und dann die zweite Zeile zur dritten addieren. BerechnenSie B und bestimmen Sie eine 3× 3-Matrix S, so dass SA = B ist.

Elementarmatrizen sind invertierbar, wie das folgende Ergebnis zeigt:

3.2.11 Proposition: Elementarmatrizen sind invertierbar, und ihre inversen Ma-trizen sind wieder Elementarmatrizen.

Beweis: Wir beweisen die Behauptung getrennt nach den verschiedenen Typenvon Elementarmatrizen.

(a) Sei Pij ∈ Mmm(K). Die Matrix Pij entsteht aus der Einheitsmatrix, indemwir in Im die i-te und die j-te Zeile vertauschen. Im ist also die Matrix, dieaus Pij hervorgeht, indem wir in Pij die i-te und die j-te Zeile vertauschen.

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92 3.3. Zeilenäquivalenz

Mit Proposition 3.2.9, Teil (a), gilt dann PijPij = Im. Die Matrix Pij ist alsoinvertierbar und zu sich selbst invers.

(b) Sei Di(r) ∈ Mmm(K), r 6= 0. Es ist Di(1r)Di(r) die Matrix, die aus Di(r) durch

eine elementare Zeilenumformung vom Typ Zi(1r) hervorgeht, das heißt, der

Eintrag r an der Stelle (i, i) wird durch 1rr = 1 ersetzt. Es ist alsoDi(1

r)Di(r) =

Im. Analog zeigt man, dass Di(r)Di(1r) = Im ist, und dies zeigt, dass Di(r)

invertierbar mit inverser Matrix Di(1r) ist.

(c) Sei Tij(s) ∈ Mmm(K). Es ist Tij(−s)Tij(s) die Matrix, die aus Tij(s) durcheine elementare Zeilenumformung vom Typ Zij(−s) hervorgeht. Damit wirdder Eintrag s an der Stelle (i, j) durch s− s = 0 ersetzt, und das Resultat istdie Einheitsmatrix. Somit gilt Tij(−s)Tij(s) = Im, und analog wird gezeigt,dass Tij(s)Tij(−s) = Im ist. Somit ist Tij(s) invertierbar mit inverser MatrixTij(−s).

2

3.2.12 Aufgabe: Welches sind die inversen Matrizen zu P24, D2(3) und T54(−2)in M55(R)?

3.3 Zeilenäquivalenz

Seien A,B ∈ Mmn(K). Angenommen, A geht aus B durch endlich viele elementareZeilenumformungen hervor. Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass es dannendlich viele Elementarmatrizen E1, . . . , Er gibt, so dass A = E1E2 · · ·ErB ist. DaE1, . . . , Er invertierbar sind, können wir E−1

1 , . . . , E−1r bilden. Wir multiplizieren

die Gleichung von links mit E−11 , dann mit E−1

2 und so weiter, bis E−1r , und erhalten

E−1r · · ·E−1

1 A = E−1r · · ·E−1

1 E1 · · ·ErB = ImB = B.

Da Inverse von Elementarmatrizen Elementarmatrizen sind, zeigt diese Überle-gung:

3.3.1 Bemerkung: Seien A,B ∈ Mmn(K), und sei A = E1E2 · · ·ErB für Ele-mentarmatrizen E1, . . . , Er. Dann gilt für die Elementarmatrizen E−1

1 , . . . , E−1r ,

dass E−1r · · ·E−1

1 A = B ist. �

In der Sprache der elementaren Zeilenumformungen ausgedrückt, bedeutet Be-merkung 3.3.1 gerade: Wenn A durch elementare Zeilenumformungen aus B her-vorgeht, dann geht B durch elementare Zeilenumformungen aus A hervor. DieseÜberlegung führt zu folgender Definition:

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Kapitel 3. Zeilenäquivalente Matrizen 93

3.3.2 Definition: Seien A,B ∈ Mmn(K). Wir nennen A und B zeilenäquivalentund schreiben A ∼Z B, wenn es endlich viele Elementarmatrizen E1, . . . , Er gibt,so dass

A = E1E2 · · ·ErB ist.

Gesprochen wird A ∼Z B als „A ist zeilenäquivalent zu B“. Wir haben in 3.3.1gesehen, dass A ∼Z B genau dann gilt, wenn B ∼Z A gilt. Eine weitere Eigenschaftzeilenäquivalenter Matrizen ist:

3.3.3 Bemerkung: Seien A,B,C ∈ Mmn(K). Dann gilt:

Wenn A zeilenäquivalent zu B und B zeilenäquivalent zu C ist, dann ist A zeilen-äquivalent zu C.

Beweis: SeiA = E1E2 · · ·ErB und seiB = F1F2 · · ·FsC, wobeiE1, . . . , Er, F1, . . . FsElementarmatrizen sind. Es folgt A = E1 · · ·ErF1 · · ·FsC, also A ∼Z C. 2

Wir wissen jetzt, wann zwei Matrizen A und B in Mmn(K) zeilenäquivalent heißen.Allerdings ist folgende Frage noch völlig offen:

3.3.4 Frage: Seien A,B ∈ Mmn(K) gegeben. Wie können wir entscheiden, ob Aund B zeilenäquivalent sind?

Eine Antwort auf diese Frage muss ich an dieser Stelle schuldig bleiben und Sieauf Korollar 4.4.5 in Kapitel 4.4 der nächsten Kurseinheit vertrösten.

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94 3.3. Zeilenäquivalenz

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Lösungen der Aufgaben

Lösungen der Aufgaben in 3.2

Aufgabe 3.2.2 Sei E24 ∈ M44(R), und sei A =

1 2 0 1 00 1 1 0 1−2 4 2 0 67 6 5 4 3

∈ M45(R).

Dann gilt E24A =

0 0 0 0 07 6 5 4 30 0 0 0 00 0 0 0 0

.

Aufgabe 3.2.5 Mit Proposition 3.2.4 gilt E23E23 =

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

, E23E32 =

E22 =

0 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

und E34E13 =

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

.

Aufgabe 3.2.7 Es sind P24 =

1 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 1 0 0 00 0 0 0 1

, D2(3) =

1 0 0 0 00 3 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

und

95

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96 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 3

T54(−2) =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 −2 1

.

Aufgabe 3.2.10 Sei A =

1 2 3 45 6 7 89 0 1 2

. Wenn wir die 3× 3-Matrix P13 von links

an A multiplizieren, so erhalten wir die Matrix, die aus A entsteht, wenn wirdie erste und dritte Zeile von A vertauschen. Multiplizieren wir P13A von linksmit der 3 × 3-Matrix D1(6), so wird die erste Zeile von P13A mit 6 multipliziert.Multiplizieren wir jetzt die Matrix D1(6)P13A von links mit T32(1), so wird diezweite Zeile von D1(6)P13A zur dritten addiert, und es gilt

T32(1)D1(6)P13A = B.

Die Matrix S, die wir suchen, ist dann T32(1)D1(6)P13. Und ob das wirklich ge-klappt hat, werden wir jetzt nachrechnen.

Zunächst berechnen wir B. Wir vertauschen die erste und die dritte Zeile von Aund erhalten 9 0 1 2

5 6 7 81 2 3 4

.Wir multiplizieren die erste Zeile dieser Matrix mit 6:54 0 6 12

5 6 7 81 2 3 4

.Zum Schluss addieren wir die zweite Zeile zur dritten und erhalten

B =

54 0 6 125 6 7 86 8 10 12

.

Es sind P13 =

0 0 10 1 01 0 0

und D1(6) =

6 0 00 1 00 0 1

und T32(1) =

1 0 00 1 00 1 1

. Jetztbilden wir das Produkt T32(1)D1(6)P13:1 0 0

0 1 00 1 1

6 0 0

0 1 00 0 1

0 0 1

0 1 01 0 0

=

1 0 00 1 00 1 1

0 0 6

0 1 01 0 0

=

0 0 60 1 01 1 0

.

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Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 3 97

Wie wir oben überlegt haben, sollte damit S =

0 0 60 1 01 1 0

gelten. Wir rechnen

nach

SA =

0 0 60 1 01 1 0

1 2 3 4

5 6 7 89 0 1 2

=

54 0 6 125 6 7 86 8 10 12

= B,

und stellen fest, dass dies wirklich der Fall ist.

Aufgabe 3.2.12 Die Inversen zu Elementarmatrizen wurden im Beweis von Pro-position 3.2.11 explizit angegeben. Invers zu P24 ist P24, invers zu D2(3) ist D2(1

3),und invers zu T54(−2) ist T54(2).

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98 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 3