Mathematische Methoden der Chemie I - tu-braunschweig.de · Funktionen Bauerecker Mathematische Methoden der Chemie I Die Wertemenge von x, für die die Funktion definiert ist, heißt

Mathematische Methoden der Chemie IBauerecker

Mathematische Methoden der Chemie I

apl. Prof. Dr. Sigurd Bauerecker Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, TU Braunschweig Hans-Sommer-Strasse 10, D-38106 BraunschweigTel.: 0531/391-5336, Labor: 0531/391-7307, Fax: 0531/391-7308E-mail: [email protected]: http://tu-braunschweig.de/pci/forschung/bauerecker/lehre

Folienzusammenstellung zur Vorlesung

Achtung:

Diese Zusammenstellung von einzelnen Themen und Übersichten ist als Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Sie deckt auch Teilbereiche nicht vollständig ab und enthält gewiss etliche Fehler. So freue ich mich über jeden Hinweis. Da ich mich um innere Geschlossenheit der einzelnen Folien bemüht habe, mag die Zusammenstellung trotzdem hilfreich sein.

mailto:[email protected]

Formales

Netzadressen

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http://tu-braunschweig.de/chemie

Empfehlung:

• Eigeninitiative!

• Lernen für Klausur und Übungen in (kleinen) Gruppen.

• Anschaffung von Lehrbüchern, z.B. Zachmann und Netz

BauereckerMathematische Methoden der Chemie I

Formalitäten der Vorlesung (Pflicht)(Bachelor Chemie, Bachelor Biotechnologie)

Winter-Semester: 4 h Vorlesung, 2 h Übung, Klausur Bachelor Chemie (Studienleistung)

Sommer-Semester: 2 h Vorlesung, 1 h Übung, Klausur Bachelor Chemie (Prüfungsleistung, Modulabschlussklausur)

http://tu-braunschweig.de/pci/forschung/bauerecker/lehre

Literatur

Stand: Herbst 2010

Grundlegend für Vorlesung:

H. G. Zachmann, A. Jüngel: Mathematik für Chemiker. VCH, 6. Auflage, 2007, 641 S.

M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker. Steinkopff, 3. Auflage, 1995,

456 S.

Weitere:

H.-D. Försterling: Mathematik für Naturwissenschaftler. Vieweg, 1988, 289

S.

B. Frank, W. Schulz, W. Tietz:Wissensspeicher Mathematik (Lernmaterialien). Volk und

Wissen, 1998, 368 S.

E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley and

Sons, 9th Edition, 2006, 1248 S.

K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik Bd. 1, Differential- und

Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung, Springer, 6. Auflage, 2001, 521 S.

W. Pavel, R. Winkler: Mathematik für Naturwissenschaftler. Pearson Studium, 2007, 592 S.

S. Singh: Fermats letzer Satz – Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. DTV, 12. Auflage, 2007, 368 S.

E. Steinre: The Chemistry Maths Book. Oxford University Press, 2nd Edition, 2008, 668 S.

Tabellenwerke:

I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, 7. Auflage, 2008, 1216 S.

J. Rast, H. Netz: Formeln der Mathematik. Hanser Fachbuch, 7. Auflage, 1992

Netz:

S. Bauerecker: Zusammenstellung einzelner Gesichtspunkte der Vorlesung in Form von Folien, http://tu-braunschweig.de/pci/forschung/bauerecker/lehre 2010, ca. 68 S., wird im Verlauf des WS bereit gestellt.


Inhalt der Vorlesungen


• Zahlen (2 h)

• Funktionen (4 h)

• Differentialrechnung von Fktn. einer Veränderlichen (12 h)

• Integralrechnung von Fktn. einer Veränderlichen (12 h)

• Folgen und Reihen (4 h)

• Differentialrechnung von Fktn. mehrerer Veränderlicher (8 h)

• Integralrechnung von Fktn. mehrerer Veränderlicher (6 h)

• Differentialgleichungen (8 h)

∑ = 56 h = 14 Wochen

Mathematische Methoden der Chemie II

• Vektoralgebra und -geometrie (6 h)

• Vektoranalysis (4 h)

• Matrizen, Determinanten (6 h)

• Koordinatentransformationen (2 h)

• Wahrscheinlichkeitsrechnung (4 h)

• Einführung in Mathematica (2 h?)

• Fehlerrechnung?

• Funktionentheorie?

• Gruppentheorie?

• Numerische Methoden?

∑ = 28 h = 14 Wochen


Rechnen mit komplexen ZahlenBauerecker


a) Betrag , geometrisch ist das nach Pythagoras die Länge der Strecke von 0 nach z.

b) Gleichheit. Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie in Realteil a = Re(z) und Imaginärteil b = Im(z) übereinstimmen. Größer- und Kleiner-Beziehungen gelten nicht ohne weiteres (nur über Betrag).

c) Addition z = z1+ z

2 = a

1 + b

1i + a

2 + b

2i = (a

1+a

2) + (b

1+b

2)i = a + b i

Damit kann man die Addition komplexer Zahlen als Aneinanderreihen von Zahlenpfeilen in der Gaußschen Zahlenebene auffassen (Vektoraddition).

d) Multiplikation, siehe Vorlesung.

e) Division, siehe Vorlesung.

Komplexe Zahlen erweisen sich als sehr wichtig, insbesondere in der Quantenchemie.

∣z∣=a2b2

FunktionenBauerecker


Die Wertemenge von x, für die die Funktion definiert ist, heißt Definitionsbereich (Domäne) der Funktion. Sämtliche y bilden zusammen den Wertebereich (Wertevorrat) der Funktion.

Wichtig an Funktionen ist die ihr eigene Zuordnungsvorschrift, nicht die Art der verwendeten Symbole (x, y, f, g, p, q, ϑ, ϕ, ♣, ♥, ...).Diese hängen meist mit physikalischen oder chemischen Sachverhalten zusammen, z.B.

v = v(t) Geschwindigkeit als Funktion der Zeitp = p(T) Druck als Funktion der Temperatur

Die Erweiterung auf mehrere unabhängige Variable ist möglich:

y = f(x1,x

2, … x

n), z.B. p = n/V ⋅ R⋅Τ ideales Gasgesetz

Umkehrfunktion

ϕ ist Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu f, wennf und ϕ eindeutige Funktionen sind und y = f(x) nach x = ϕ(y) auflösbar sind.

Eine Funktion ist eindeutig, wenn jedem Argument genau ein Funktionswert zugeordnet wird.

Grafisch wird die Umkehrfunktion durch Spiegelung der Funktion an der Winkelhalbierenden des Koordinatensystems gebildet. Sie ist dieselbe Funktion, nur gespiegelt.


Implizite Darstellung

Die Gleichungen y = f(x) und x = ϕ(y) nennt man explizite Darstellung der Funktionen f und ϕ , die grundsätzlich gleichberechtigt sind.

Bringt man alle Glieder der Gleichungen auf die linke Seite, also y – f(x) = 0, x – ϕ(y) = 0, so ergibt sich die implizite Darstellung F(x, y) = 0, die beide Funktionen implizit angibt.

Die implizite Darstellung einer Funktion ist also allgemeiner als die explizite.


Charakterisierung von Funktionen

Nullstellen sind x-Werte für die y = f(x) = 0 ist.

Funktionen heißen monoton wachsend, wenn f(x1) ≥ f(x2) für x1 > x2, streng monoton wachsend, wenn f(x1) > f(x2) für x1 > x2, (streng) monoton fallend analog.

Eine Funktion ist gerade, wenn f(x) = f(– x), Beispiel: y = x2. Eine Funktion ist ungerade, wenn f(x) = –f(– x), Beispiel: y = x3.

Eine Funktion ist periodisch mit Periode p, wenn f(x) = f(x+p), Beispiel: y = sinx.

Die Variable y durchläuft mit wachsendem x immer wieder dieselben Werte.


Einige wichtige Funktionen

Zwei Arten:

• Algebraische Funktionen bauen sich aus Polynomen der Variablen auf, Beispiel: y2 – x2 + 3xy – 2 = 0

• Transzendente Funktionen sind die nicht-algebraischen, Beispiele: y = cosx, y = ex, y = lnx


b) Fundamentalsatz der Algebra

Wir betrachten ein allgemeines Polynom als Gleichung n-ten Grades. Die aiund die x können komplex sein:

xn + an–1xn–1 + ...+ a1x + a0 = 0

Diese Gleichung hat genau n Lösungen (Wurzeln) x1, x2, ..., xn, mit denen sie sich in ein Produkt mit n Faktoren zerlegen läßt:

(x – x1)·(x – x2)·... (x – xn) = 0

Beide Gleichungen sind äquivalent (gleichwertig, Symbol ⇔).

Wenn eine Lösung xi bekannt ist, so kommt man durch Teilen durch (x – xi) auf eine Gleichung vom Grad n – 1. Die Lösungen lassen sich durch Formeln nur für Gleichungen bis Grad 4 darstellen. Für höhere Grade benutzt man numerische Methoden.

Der Fundamentalsatz sagt nur, dass Lösungen existieren und nicht wie man siefindet. Sie können teilweise oder vollständig zusammenfallen.

(GAUSS, 1799)


Algebraische Funktionen

Kreis (Radius r)

Ellipse (Halbachsen a, b)

Parabel (Distribution)

Hyperbel ( n ungerade, n gerade)

Parabeln n-ten Grades( n ungerade, n gerade, n ≥ 1)

Gerade

Reaktionskinetik nach Michaelis-Menten

Spektrallinie, Lorentz-Form d. Frequenzverteilung

Zwischenmolekul. Potential nach Lennard-Jones

nach M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker


Exponentialfunktionen – abgeleitete Funktionen

Wachstum Population, Explosion, Lawine, Anfangsphase Reaktion

Negative e-Funktion, AufladungKondensator, Lernen einer Sprache

T-Abhängigkeit Wärmekapazität vonFestkörpern, qual., Reaktionskinetik

Radioaktiver Zerfall, Wärmeausgleich

Statistik, Normalverteilung, Spektrallinie, Gaskinetik

nach M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker

BauereckerMathematische Methoden I

d) Kreisfunktionen

Definitionen:

ϕ=

ϕϕ

===ϕ

ϕϕ

===ϕ

==ϕ

==ϕ

tan1

sincos

teGegenkatheAnkathetecot

cossin

AnkatheteteGegenkathetan

HypotenuseAnkathetecos

HypotenuseteGegenkathesin

yx

xy

rx

ry

Sinus

Kosinus

Tangens

Kotangens


Tangens und Kotangens

• tanϕ und [cotϕ] sind periodische, ungerade Funktionen mit Periode π.

• Sie sind nicht definiert für ϕ = (n + ½) π, [ϕ = n π], weil hier der Kosinus [Sinus] verschwindet. Ihre Graphen haben hier Pole.

• Der Tangens [Kotangens] wird bei linksseitiger Annäherung an die Pole +∞ [–∞] und wächst [fällt] monoton im Intervall (–π/2, π/2) [(0, π)].

• Nullstellen: tanϕ = 0 für ϕ = n π,cotϕ = 0 für ϕ = (n + ½) π

• Es gilt: cotϕ = tan(π/2 – ϕ)

• Additionstheoreme (weitere siehe Formelsammlung):

2sin

2cos2sinsin

sinsincoscoscos(

sincoscossinsin(

ψ−ϕψ+ϕ=ψ−ϕ

ψ⋅ϕ−ψ⋅ϕ=)ψ+ϕ

ψ⋅ϕ+ψ⋅ϕ=)ψ+ϕ


Arcusfunktionen

Funktion Monotonsteigend/fallend in

Arcusfunktion(Umkehr-funktion)

Definitions-bereich

Werte-bereich

Eigenschaften

sin x - π/2, π/2 arcsin x -1, 1 - π/2, π/2 ungerade

cos x 0, π arccos x -1, 1 0, π weder geradenoch ungerade

tan x - π/2, π/2 arctan x reelleZahlen

- π/2, π/2 ungerade

cot x 0, π arccot x reelleZahlen

0, π weder geradenoch ungerade


Spezielle Funktionen

xy 1sin=

xxy 1sin=

Definiert bis auf x = 0

Nullstellen: x = ± nπ, n = 1, 2, 3, ...

Maxima/Minima:x = 1 / ((n + ½) π), n ganze Zahl

Funktion ist ungerade, oszilliert mitzunehmender „Frequenz“ für ⏐x⏐→ 0

Funktion ist gerade, oszilliert mitzunehmender „Frequenz“ für ⏐x⏐→ 0

Amplitude verschwindet für ⏐x⏐→ 0


Definition (siehe auch Skizze Vorlesung):f(x) besitzt an der Stelle x

0 den Grenzwert g, wenn sich zu einem beliebig

vorgegebenen ε ein δ finden läßt, so daß für alle x aus der δ-Umgebungdie Differenz zwischen f(x) und g betragsmäßig unterschritten bleibt:

|f(x) – g| < ε für |x – x0| < δ

● Je kleiner ε vorgegeben wird, desto kleiner muß δ sein● δ hängt von ε und in der Regel auch von x

0 ab!

Andere Schreibweise der Grenzwertdefinition:„der Limes von f(x) für x gegen x

0 ist g“

Linksseitiger Grenzwert für x < x0:

Rechtsseitiger Grenzwert für x > x0:

● Beide Grenzwerte können, müssen aber nicht übereinstimmen

limx x0

f x =g

a) Grenzwert einer FunktionBauerecker


limx x0

f x = g

Stetigkeit von Funktionen

Eine Funktion heißt stetig an der Stelle x0, falls

ist, d.h., falls der Grenzwert mit dem Funktionswert von x0 übereinstimmt.

Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn das δ in der Grenzwertdefinitionnur von ε und nicht von x0 abhängt.

Eine Funktion heißt im Intervall stetig, wenn sie an jeder Stelle des Intervallsstetig ist. Sie ist auch gleichmäßig stetig, wenn dies für ein abgeschlossenes Intervall gilt (Satz).

• Die für die Anwendungen wichtigen Funktionen sind meistens stetig

• oder haben nur einzelne Unstetigkeitsstellen (Singularitäten), wie – Pole, Unendlichkeitsstellen,– Sprungstellen,– Unbestimmtheitsstellen.

)()(lim 00

xfxfxx

=→


Sätze über stetige Funktionen

1. Satz von WeierstraßEine im abgeschlossenen Intervall [x1, x2] stetige Funktion f(x) hat in diesemIntervall einen kleinsten und einen größten Wert.

2. ZwischenwertsatzDiese Funktion nimmt jeden zwischen f(x1) und f(x2) gelegenen Wert mindestenseinmal an.

3. Satz von Bolzano-WeierstraßHaben f(x1) und f(x2) dieser Funktion verschiedene Vorzeichen, so gibt es zwischen x1 und x2 mindestens eine Nullstelle x0 mit f(x0) = 0.

4. Summe, Divergenz, Produkt und Quotientstetiger Funktionen ergeben wieder stetige Funktionen. Beim Quotient darf dieFunktion im Nenner nicht Null werden.

5. Eine zusammengesetzte (mittelbare) Funktiony = f[g(x)] ist stetig, wenn die Funktionen y = f(z) und z = g(x) stetig sind.


Erste Ableitung einer Funktion

α==−+

=

α=−+

=

−Δ+=−=−=

→→tanlimlim:alquotientDifferenti

:null)gegen ( gegen angGrenzüberg

tan:nquotientDifferenze

)()( und

00

1

1

11

dxdy

Δxf(x)Δx)f(x

ΔxΔy

Δxxx

Δx

f(x)Δx)f(xΔxΔy

xfxxfyyΔyxxΔx

ΔxΔx

Differenzenquotient:

Differenzialquotient:

Die Ableitung der Funktion f(x), bezeichnet man mit f '(x), y'(x), y' oder dy/dx. Sie entspricht der Tangenten-Steigung bei x.

Möglich ist auch, mit Differenzialen zu rechnen, z.B. mit dx, dy:dy = dx · tan α, dy = f '(x) dx.

Die Operation Ableiten der Funktion heißt Differenzieren oder Differenziation. Dabei wird immer der Grenzwert ausgerechnet. (Bruch vor Grenzübergang kürzen).


Differenzierbarkeit einer Funktion

Satz:

Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig.

Die Umkehrung des Satzes gilt nicht (siehe Beispiel Betrags-Funktion)!

Veranschaulichung der Differenzierbarkeit (keine exakte Definition):

Eine stetige Kurve (Funktion) ist differenzierbar, wenn sie keine Ecken, Spitzen oder Kanten hat.

Die gewöhnlich auftretenden Funktionen sind differenzierbar!


Binomischer Satz

321234

34

,1

,10

...21)1(...)1(

)!(!!

...210

)(0

2211

⋅⋅⋅⋅

=

=

=

=

⋅⋅⋅+−⋅⋅−

=−

=

=

++

+

+

=+ ∑

=

−−−

nn

nnn

kknnn

knkn

kn

bakn

bnn

ban

ban

an

ban

k

kknnnnnn

Binomialkoeffizienten

bilden das

n = 0 1 n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1u.s.w.

Pascalsche Dreieckn! = 1 · 2 · ... · n „n Fakultät“

Der Satz kommt aus der Kombinatorik.Die Binomialkoeffizienten im PascalschenDreieck liefern im Grenzfall n →∞ die Normalverteilung (siehe auch GaltonschesBrett).


Allgemeine Ableitungsregeln

1. Konstante c(c·u)' = c·u'

2. Summe und Differenz(c + u)' = c' + u'

3. Produktregel(u·v)' = u'·v + u·v'(u·v·ϕ)' = u'·v·ϕ + u·v'·ϕ + u·v·ϕ' ...

4. Quotientenregel

u, v, ϕ differenzierbare Funktionen mit u' = du/dx, v' = dv/dx, ϕ'(x) = dϕ/dx, ϕ'(u) = dϕ/du

5. Kettenregelfür zusammengesetzte Funktionenϕ(u), u(x): ϕ' = dϕ/du · u'

6. UmkehrfunktionIst u(x) streng monoton und differenzierbar,dann besitzt u eine eindeutige, monotone und differenzierbare Umkehrfunktion ϕ(u)mit ϕ' = 1/ u'

7. Logarithmische AbleitungHat eine Funktion die Form

ϕ(x) = u(x)v(x),logarithmiert man erst beide Seiten und bildet dann die Ableitung.

2vvuvu

vu ′−′

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ '


Erste Ableitung einiger Funktionen

y y' Definitions-bereich von y

y y' Definitions-bereich von y

tan = tg, cot = ctg


Mittelwertsatz der Differenzialrechnung

Wenn die Funktion f(x) im Intervall (a, b) differenzierbar und für a, b stetig ist, so gilt für mindestens ein ζ aus (a, b)

f '(ζ) = ————— (Mittelwertsatz)

Anschaulich: Die Tangente bei ζ hat die gleiche Steigung wie die Sekante bei a, b.

Spezialfall: f(a) = f(b) = 0, f '(ζ) = 0 (Satz von Rolle)

Andere Form: f(x + Δx) = f(x) + Δx · f '(x + δ·Δx)

mit a = x, b = x + Δx, ζ = x + δ·Δx, δ bestimmte Zahl zwischen 0 und 1

f(b) – f(a)b – a


Regel von De L`HospitalBauerecker


Unbestimmte Ausdrücke: 0/0, ∞/∞, 0· ∞, ∞ – ∞Die Funktion φ(x) = f(x) / g(x) mit g(a) = 0 ist bei x = a nicht differenzierbar, f g seien differenzierbarf, g seien differenzierbar.

Hebung der Unbestimmtheit: φ(x) bekommt bei a den Grenzwert

)(f zugeordnet.

Falls f(a) 0, so gilt φ(a) = ∞)()(lim)(lim)(

xgxfxa

axax

0)(f( ) , g φ( )Falls f(a) = 0, so liegt ein unbestimmter Ausdruck vor. Dann gilt die

00

)()(

agaf

)()( xfxf Regel von De L`Hospital

Falls wird die Regel nochmals angewendet, u.s.w.

)()(lim

)()(lim

xgxf

xgxf

axax

0)(

afFalls wird die Regel nochmals angewendet, u.s.w.

Entsprechendes gilt für und 0)( ag

)()(

agaf

)()(

agaf

Andere unbestimmte Formen, wie 0· ∞, ∞ – ∞ werden erst auf die Form 0/0 oder ∞/∞gebracht, dann wird die Regel angewendet.

Kurvendiskussion

f(x) = f(–x) symmetrisch zur y-Achse, gerade Funktionf(x) = –f(–x) symmetrisch zum Ursprung, ungerade Fktn.

f(x) = 0 Nullstelle

f '(x) > 0 [f '(x) < 0] monoton steigend [fallend]

f '(x) = 0 und f ''(x) < 0 [f ''(x) > 0] relatives Maximum [rel. Minimum]f '(x) = f ''(x) = ... = f (n-1)(x) = 0: n gerade, f (n)(x) < 0 [f (n)(x) > 0] relatives Maximum [rel. Minimum]n ungerade, f (n)(x) < 0 [f (n)(x) > 0] Terassenpunkt, fallende [steigende] Kurve

f ''(x) > 0 Linkskrümmung (konkav nach oben)f ''(x) < 0 Rechtskrümmung (konvex nach oben)

f ''(x) = 0 und f '''(x) < 0 Wendepunkt mit Links-Rechts-Krümmungf ''(x) = 0 und f '''(x) > 0 Wendepunkt mit Rechts-Links-Krümmung


Phys. Größen mit DifferenzialausdrückenBauerecker

Mathematische Methoden I

Mehrfache Ableitung: Beschleunigung

Weg

Geschwindigkeit(1. Ableitung)

Beschleunigung(2. Ableitung)


Sätze über bestimmte Integrale

∫∫∫ +=c

b

b

a

c

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

∫∫ ⋅=⋅b

a

b

a

dxxgcdxxgc )()(

[ ] ∫∫∫ ±=±b

a

b

a

b

a

dxxfdxxgdxxfxg )()()()(

0)( ,)()( =−= ∫∫∫a

a

a

b

b

a

dxxfdxxfdxxf

∫∫ ♥♥=b

a

b

a

dfdxxf )()(

1. Ein Integral lässt sich aus zwei Integralenbenachbarter Teilintervalle zusammenetzen.

2. Ein konstanter Faktor kann vor das Integralgezogen werden.

3. Das Integral über die Summe [Differenz]zweier Funktionen ist gleich der Summe [Differenz] der Integrale über die einzelnenFunktionen.

4. Die Vertauschung der Grenzen ändert das Vorzeichen des Integrals.

5. Die Integrationsvariable ist frei wählbar: x, y, ϕ, ♥...


Unbestimmtes Integral – Fundamentalsatz

Wir fassen die obere Grenze im bestimmten Integral als Variable auf:Dann gilt: ϕ(x) ist differenzierbar (und damit stetig) und

ϕ(x) ist Stammfunktion von f(x) mit ϕ'(x) = f(x).

∫=ϕx

a

duufx )()(

Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn F '(x) = f(x). Ist F(x) Stammfunktion, so ist es auch F(x) + c (c beliebige Konstante). Das Aufsuchen der Stammfunktion ist dieUmkehrung der Differenziation.

Die Gesamtheit aller Stammfunktionen heißt unbestimmtes Integral von f(x): ∫ += cxFdxxf )()(

Wenn ϕ, F Stammfunktion von f, dann gilt: ϕ(x) = F(x) + c und ∫ +=x

a

cxFduuf )()(

Bestimmung von c: F(a) + c = 0 für x = a. Daher: c = -F(a) und ∫ −=x

a

aFxFduuf )()()(

und dx

xdFxfxFaFbFdxxf ba

b

a

)()(mit )]([)()()( ==−=∫Diese Beziehung zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integral (Fläche zwischen a und b) heißtFundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung.


Integrationsverfahren

Zwei Prozeduren zum Integrieren einer Funktion sind möglich:

a) Berechnung des Integrals über Summendefinition. Unbestimmtes Integral lässt sich möglicherweise als Formel gewinnen.

b) Berechnung des Integrals über Stammfunktion. Fallunterscheidung:

– Stammfunktion existiert, aber nicht als Formel, wie z.B. y = e-x2

⇒ Tabelle, numerische Integration, Reihenentwicklung

– Stammfunktion existiert (Integralverzeichnis Bronstein, Gradshteyn)⇒ Grenzen einsetzen, Integral berechnen

– Stammfunktion existiert, aber Bestimmung schwierig⇒ Integrationsverfahren (Substitution, partielle Integration, Rekursion,Partialbruchzerlegung) müssen angewendet werden. Integrieren ist schwieriger als Differenzieren.


Partielle Integration

u(x) und v(x) seien differenzierbare Funktionen. Dann gilt:

'')( uvvuvudxd

⋅+⋅=⋅

dxuvdxvuvu ∫∫ ⋅+⋅=⋅ ''

dxuvvudxvu ∫∫ ⋅−⋅=⋅ ''

Integration:

Umformen:

Ziel: Mit dieser Formel kann das linke Integral auf das oft einfachererechte Integral zurückgeführt werden.

Produktregel:


Partialbruchzerlegung

mm

nn

xbxbbxaxaa

xgxhxf

++++++

==......

)()()(

10

10Satz: Echt gebrochen rationale Funktionen(n < m) lassen sich in eine Summe von Brüchen zerlegen, die man elementar integrieren kann.

1. Fall: g(x) hat m verschiedene reelleNullstellen s1, ..., sm. Dann gilt: m

m

sxA

sxA

sxA

xgxh

−++

−+

−= ...

)()(

2

2

1

1

Falls Nullstelle sk genau g mal auftritt, so ersetzt man g

k

kg

k

k

k

k

k

k

sxA

sxA

sxA

sxA

)(...

)(durch 2

21

−++

−+

−−

2. Fall: g(x) hat m verschiedene(konjugiert) komplexe Nullstellens1 ± i r1, ..., sm ± i rm:

2222

22

222

12

1

11

)(...

)()()()(

mm

mm

rsxCxB

rsxCxB

rsxCxB

xgxh

+−+

+++−

++

+−+

=

Falls Nullstelle sk ± i rk genau g mal auftritt, so ersetzt man

[ ] [ ]gkgkg

kgkg

kk

kk

kk

kk

kk

kk

rsx

CxB

rsxCxB

rsxCxB

rsxCxB

22222

22

2221

21

1122 )(

...)()(

durch )( +−

+++

+−

++

+−+

+−+

Die Ai, Akj, Bi, Bkj, Ci, Ckj sind reelle, eindeutig bestimmte Zahlen, die sich durch Erweiterung der Partialbrüche auf einen gemeinsamen Nenner berechnen lassen (Koeffizientenvergleich).


Uneigentliche Integrale

Funktion f wird bei p unendlich (Pol). Man kann dann nicht bisp integrieren, darf sich aber p beliebig annähern.

1. Fall: Integral divergiert (wächst über alle Grenzen). Grenzwert existiert nicht. 2. Fall: Integral konvergiert, d. h. Grenzwert existiert:

∫∫ε−

→ε=

p

a

p

a

dxxfdxxf )()(lim0

p x

y

Weitere konvergierende uneigentliche Integrale sind definiert, wenn die Grenzwerteexistieren:

)()(lim ∫∫∞

∞→=

a

b

ab

dxxfdxxf

)()(lim)(lim ∫∫ ∫∞

∞−∞→−∞→

=+ dxxfdxxfdxxfc

a

b

cba

∫∫ε−

→ε=

b

p

b

p

dxxfdxxf )()(lim0und entsprechend:

∫∫∞−

−∞→=

bb

aa

dxxfdxxf )()(lim


22,1 rxXk +=≠1)1(2

1XkX

xdxkk −

−=∫ −

Integraltafel

∫∫ −− −−

+−

= 1212 )1(232

)1(2 kkk Xdx

rkk

Xrkx

Xdx

a)

b)


(Bronstein, Gradshteyn, Netz, ...)

Definition von Funktionen durch Integrale

Es gibt Funktionen, deren Stammfunktionen existieren, aber nicht geschlossen (als übliche Formel) darstellbar sind.

2

, , ln1 , sin x

x

exe

xxx −Beispiele:

Ihre Integrale definieren „neue“ Funktionen. Diese werden durch numerische Integration oder Reihenentwicklung berechnet (⇒ tabellarische Darstellung).

Beispiel: Fehlerintegral (Error Function)

dtexx

t∫ −

π=

0

22erf 12erf0

2

=π

=∞ ∫∞

− dte t 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

11

1

0

0 3

3

xy erf=

2xey −=

Anwendungen: Wahrscheinlichkeitstheorie, Thermody-namik, ...


Anwendungen Integralrechnung

a bx

y

Kurvenintegral, Bogenlänge s: ∫ ′+=

b

a

dxxgs )(1 2 g stetig

Schwerpunkts-koordinatenvon Flächen-

stücken: ∫

∫

∫

∫ ⋅=

⋅= b

a

b

asb

a

b

as

dxxf

dxxfxfy

dxxf

dxxfxx

)(

)()(21

,)(

)(

1. GuldinscheRegel:

Beispiel Kreisringtorus: V = π r2 · 2 π R = 2 π2 r2 R

Volumen Rotationskörper = rotierende Fläche x Weglänge Flächenschwerpunkt

y = g(x)


Simpsonsche Regel

Im Vergleich zur Rechteckregel und Trapezregel liefert die Simpsonsche Regel (als stück-weise quadratische Näherung) eine höhere Genauigkeit bei der numerischen Integration.

a x1 x2 x3 x4 xn-2 xn-1 xn = b

1. Parabel2. Parabel

letzteParabelJeweils 2 Streifen werden durch die

Fläche unter einem Parabelbogengebildet. Die einzelnen Parabeln sind jeweils durch 3 Punkte (xa, ya), (x1, y1), (x2, y2), dann(x2, y2), (x3, y3), (x4, y4), u.s.w.bestimmt.

Es folgt für gerade n:

[ ]bnna

b

a

ffffffffhdxxf ++++++++≈ −−∫ 124321 42...24243

)(

f(x)

…


Unendliche Folgen – Konvergenzkriterien

Kriterium 1 (notwendig und hinreichend)Eine Folge ist dann und nur dann konvergent gegen A, wenn in jeder beliebig kleinenUmgebung von A fast alle (also unendlich viele) Glieder liegen und außerhalb nur endlich viele.

Kriterium 2 (notwendig und hinreichend)Eine Folge an konvergiert dann und nur dann gegen A, wenn zu jeder noch so kleinenZahl ε > 0 eine natürliche Zahl existiert, mit |A – an| < ε, für alle n > N.

Kriterium 3 (Cauchy)Eine beschränkte unendliche Folge ist dann und nur dann konvergent, wenn es zujedem noch so kleinen ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, mit |am – an| < ε, für m, n > N.

Kriterium 4 (nur hinreichend, denn es gibt konvergente nichtmonotone Folgen)Ein Folge, die monoton und beschränkt ist, konvergiert.


Unendliche Reihen

Eine unendliche Reihe besteht aus unendlich vielen Summanden

Partialsummen (Teilsummen):

Die Teilsummen bilden die Folge s1, s2, s3, …Konvergiert diese Folge gegen einen Grenzwert (Summenwert) S, so heißt dieReihe konvergent:

Andernfalls ist sie divergent.


∑∑ ==+++∞

= ii

ii aaaaa

1321 ...

nn aaas

aaasaas

as

+++=

++=+=

=

......

21

3213

212

11

nnii saS

∞→

∞

=

== ∑ lim1

Unendliche Reihen – Konvergenzkriterien

Konvergenzkriterium nach CauchyEine unendliche Reihe ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, so dass gilt |Sm – Sn| = |un+1 + un+2 + …+ um| < ε, mit m, n > N.

Konvergenzkriterium nach LeibnitzEine alternierende unendliche Reihe ist genau dann konvergent, wenn die Glieder vi

der Reihe monoton abnehmen und ist.

QuotientenkriteriumGilt für eine Reihe , so ist die Reihe für k < 1 konvergent, für k > 1 divergent und für k = 1 kann keine Aussage gemacht werden. Existiert der angeführte Grenzwert nicht, d.h., die Folge |un+1/un| hat mehrere Häufungspunkte, so ist die Reihe konvergent, wenn der größte Häufungspunkt < 1 ist, und divergent, wenn der kleinste Häufungspunkt > 1 ist.

WurzelkriteriumGilt für eine Reihe , so ist die Reihe für k < 1 konvergent, für k > 1 divergent und für k = 1 kann keine Aussage gemacht werden. Existiert der angeführte Grenzwert nicht, so gilt das Analoge wie beim Quotientenkriterium.

∑∞

=1iiu

∑∞

=

−1

)1(i

ii v

0lim =∞→ in

v

kn

uun

n

ii =+

∞→

∞

=∑ 1

n1lim

kuu nn

ii =

∞→

∞

=∑ n1

lim


Integralkriterium

Wenn die Glieder einer Reihe positiv sind und sich als Funktionswerte

ai = f(i), i = 1, 2, …, einer im Intervall x ≥ 1 stetigen, monoton fallenden Funktion

f(x) darstellen lassen, so ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das Integral

konvergiert.

1 2 3 4 5 6 x

y = f(x)

a1 a2 a3 a4 a5 a6 …

y

∑∞

=1iia

∫∞

1

)( dxxf


Rechnen mit unendlichen Reihen

Assoziatives GesetzBei einer konvergenten Reihe darf man die Glieder beliebig durch Klammern zusammenfassen, ohne den Summenwert zu verändern. Das Weglassen von Klammernist nur dann zulässig, wenn die dadurch entstehende Reihe konvergiert.

Kommutatives GesetzEine Vertauschung der Reihenfolge der Glieder einer Reihe ist nur erlaubt, wenn dieReihe absolut konvergiert, also wenn auch konvergiert.

Addition und MultiplikationSind und zwei konvergente Reihen und c eine Konstante, so gilt

Aber gilt nur, wenn die beiden Reihen absolut konvergent sind.

∑∞

=1iia

∑∞

=1iia ∑

∞

=1iib

∑∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

+=+=⋅11111

)( und i

ii

iii

ii

ii

i babaacac

∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

⋅=⋅1 111

i j

jij

ji

i baba


Integration u. Differentiation unendlicher Reihen

∑∫∫∑∞

=

∞

=

=11

)()(i

b

ai

b

a ii dxxfdxxf

Integration und Summation dürfen vertauscht werden, wenn die Reihe in [a,b] gleichmäßig konvergiert und die Funktionen fi(x) in [a,b] stetig sind:

Eine Funktionenreihe , mit s(x) als Summenfunktion, heißt in einem

Intervall I gleichmäßig konvergent, wenn zu jedem ε > 0 eine von x unabhängigenatürliche Zahl N existiert, so dass | s(x) – sn(x) | < ε für alle n > N(ε) und für jedes

x aus dem Intervall I gilt, wobei .

∑∞

=

=0

)()(i

i xsxf

Differenziation und Summation dürfen vertauscht werden, wenn die Funktionen fi(x) in [a,b] stetige Ableitungen besitzen und die Reihe der abgeleiteten Funktionengleichmäßig konvergiert:

∑∑∞

=

∞

=

=11

)()(i

i

ii dx

xfdxfdxd

∑=

=n

ini xsxf

0)()(

BauereckerMathem. Methoden I

Funktionen zweier Veränderlicher: Stetigkeit

Die δ-Umgebung eines Punktes (x1, y1) bezeichnet alle Punkte innerhalb des Kreismit Zentrum (x1, y1) und Radius δ:

(x – x1)2 + (y – y1)2 < δ2

Die Funktion f(x, y) besitzt an der Stelle (x1, y1) den Grenzwert g, wenn sich zu jedem beliebig vorgegebenen ε ein δ finden läßt, so dass für alle Punkte der δ-Umgebung gilt

|f(x, y) - g| < ε , das heißt

Dabei kann man sich (x1, y1) aus beliebiger Richtung nähern!

gyxfyyxx

=→→

),(lim11,

f heißt stetig an Stelle (x1, y1), falls

d.h., falls Grenzwert mit Funktionswert übereinstimmt.

Summe, Produkt, Quotient (Nenner ≠ Null) stetiger Funktionen sind stetig.

),(),(lim 21, 11

yxfyxfyyxx

=→→


Partielle Ableitungen von f(x, y)

Partielle Differenzialquotientenbeschreiben Steigung von f bei (x, y)in x- und y-Richtung (Tangenten-steigungen mit y = konst., x = konst.):

yyxfyyxf

yz

xyxfyxxf

xz

y

x

Δ−Δ+

=∂∂

Δ−Δ+

=∂∂

→Δ

→Δ

),(),(lim

),(),(lim

0

0

• Entsprechung zur Diff‘rechnung von Fktneiner Veränderlichen

• Schreibweise ∂ kennzeichnet besondere Bedin-gung (zweite Variable konstant!)

x

x

y

y

z

z

Tangenteny = konstx = konst

z = f(x, y)

Tangentialebeneaufgespannt durch zwei Tangenten


Totales Differenzial

(x1,y1)

z

z1

Tangentialebenean (x, y) Totales (vollständiges) Differenzial dz resultiert

aus voneinander unabhängigen Änderungen dx, dy, die, von (x, y) ausgehen und über einenbeliebigen Weg C zum Punkt (x1, y1) =(x+dx, y+dy) führen. Kleine dx, dy bewirkenkleine dz als Änderungen in der Tangentialebene⇒ dz ist Näherung der Änderung von z = f(x, y).

dyyzbdx

xzabadz

∂∂

=∂∂

=+= , ,

dyyzdx

xzdz

∂∂

+∂∂

= ... 33

22

11

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= dxxzdx

xzdx

xzdz⇒ allgemein:

für ,...),,( 321 xxxfz =Lineare Approximation:mit 1 zzdz −=

)(),()(),(111 yy

yyxzxx

xyxzzdzzz −

∂∂

+−∂

∂+=+=⇒−=−= , 11 yydyxxdx


Differenzierbarkeit von z = f(x, y)

Satz:

Notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer Tangentialebene an Punkt P = P(x, y, z): Die partiellen Ableitungen in P existieren und sind stetig.

f ist differenzierbar an Stelle (x, y), wenn dort die Tangentialebene existiert.

PGegenbeispiel:An Pyramidenspitze und -kanten existiert keine Tangentialebene. Die „Pyramiden-Oberflächen-Funktion“ist dort nicht differenzierbar. Funktion hat „Spitzen und Kanten“.

Beispiel Rotationsparaboloid: z = x2 + y2 ist in x-y-Ebene differenzierbar. Die partiellen Ableitungen fx = 2x, fy= 2y existieren und sind stetig. Funktion z ist „glatt“.


Reaktionen im Ultraschallfeld

FroheWeihnachten!


22

2

2

)()()()()(

dyfdxdyfdxf

dyy

dyfdxfdx

xdyfdxf

dyydzdx

xdzdzdzd

yyxyxx

yxyx

++=

∂

+∂+

∂

+∂=

∂∂

+∂

∂==

dyfdxfdz yx +=

Totale Differenziale höherer Ordnung

Totales Differenzial 2. Ordnung, z = f(x, y):

Totales Differenzial n-ter Ordnung, z = f(x1, x2, …, xm):

∑=

=+++=m

iixmxxx dxfdxfdxfdxfdz

im1

21 ... 21

zx

dxzdnm

i ii

n⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅= ∑=1


dxdu

uz

dxdz

n

nkxu

uz

xz

gfxxxgu

xxxguxxxgu

uuufz

im

i i

k

im

i ik

inmm

n

n

m

∑

∑

=

=

⋅∂∂

=⇒

=

=∂∂

⋅∂∂

=∂∂

⇒

=

==

=

1

1

21

2122

2111

21

s.o.) Ableitung, he(gewöhnlic 1 Sonderfall

,...,2,1

Fktn barediff' sind , ),,...,,(...

),...,,(),...,,(mit ),...,,(

yv

vz

yu

uz

yz

xv

vz

xu

uz

xz

∂∂

⋅∂∂

+∂∂

⋅∂∂

=∂∂

∂∂

⋅∂∂

+∂∂

⋅∂∂

=∂∂

5. Ableitung mittelbarer Funktionen

Mittelbare (zusammenges.) Fktn mit 2 Variablen:Differenziation (Satz):

Verallgemeinerte Kettenregel


),(),,(mit ),( yxhvyxguvufz ===

Kettenregel für part. Ableitungen

Funktionaldeterminante

Die beiden Funktionen u = g(x, y), v = h(x, y) vermitteln eine Abbildung von Bereichen der x-y-Ebene auf Bereiche der u-v-Ebene.

xv

yu

yv

xu

yv

xv

yu

xu

yxvuyxD

∂∂

⋅∂∂

−∂∂

⋅∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=),(),(),(

Definition Funktionaldeterminante (Jacobideterminante):

Anschauliche Bedeutung von D: Eine kleineFläche F wird in F`transformiert durch dydxyxDdvdu

FF⋅⋅=⋅

′

),(

Für D ≠ 0 ist Abbildung umkehrbar (Vorauss. g, h besitzen stetige Ableitungen), d.h. f1, f2 mit x = f1(u, v), y = f2(u, v) existieren.


9. Extremwerte

Die Funktion z = f(x, y) besitzt in (x0, y0) ein relatives Maximum [Minimum], wenn für dem Betrag nach kleine aber sonst beliebige Δx, Δy gilt:

f(x0+Δx, y0+Δy) – f(x0, y0) < 0 Maximum [ > 0 Minimum]

Anschauliche Bedeutung: Bewegung weg vom Maximum führt immer zu einer Ver-ringerung von f, egal in welcher Richtung man sich bewegt (Minimum entsprechend).

Fallunterscheidung mit Hilfe der partiellen Ableitungen fx, fy, fxy, fxx, fyyan der Stelle (x0, y0), mit Δ = fxx·fyy – fxy

2 :

fx = fy = 0 Notwendige Voraussetzung für Extremwert.Tangentialebene ist parallel zur x-y-Ebene.

fxx < 0, Δ > 0 rel. Maximumfxx > 0, Δ > 0 rel. Minimumfxx ≠ 0, Δ < 0 Sattelpunktfxx ≠ 0, Δ = 0 nicht entscheidbarfxx = 0, fxy≠ 0 Sattelpunktfxx = 0, fxy= 0 nicht entscheidbar


Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren

Funktion: z = f(x, y), Nebenbedingung: g(x, y) = 0 ⇒ dg = 0 (1)Notwendige Voraussetzung für Extremwert: dz = 0 (2)Aus (1), (2) folgt: fxdx + fydy = 0 (3)

gxdx + gydy = 0 (4)Multiplikation von (4) mit der Konstanten λund Addition von (3) und (4) (fx + λgx)dx + (fy + λgy)dy = 0 (5)

⇒ fx + λgx = 0fy + λgy = 0g = 0

3 Bestimmungsgleichungen für Extremwert(e) f(x0, y0)

Bei Verallgemeinerung auf eine Funktion f mit n Variablen x1…xn und m Neben-bedingungen λ1… λm hat die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren Vorteile gegenüber den anderen beiden Methoden. Man berechnet die Größen x1…xn, λ1… λmaus den n + m Gleichungen:

mjg

nkgf

j

m

iixix kk

...1 ,0

...1 ,01

==

==+ ∑=

λ

Berechnung von Extremwerten unter Nebenbedingungen


Integralrechnung v. Fktn. mehrerer Veränderl.

Beispiele von Integrationsbereichen in Ortskoordinaten x, y, z:

Übersicht Integrale

C KurvenstückA Flächenbereich, z.B. RechteckV Volumenbereich, z.B. Quader

Bsp.: ∫=A

dAyxfz ),(

z entspricht „Volumen“ unterräuml. Fläche f(x, y), die durchFlächenbereich A definiert ist.

Flächenbereich A

nach M. Stockhausen


Einfaches Integral über Fktn mit zwei Variablen

Satz 1:

Wenn f(x,y) im abgeschlossenen, rechteckigen Integrationsbereich c ≤ x ≤ d,

a ≤ y ≤ b stetig ist, so ist auch eine stetige Funktion von x.

(Integration bewahrt Stetigkeit einer Funktion).

dyx

yxfdyyxfdxdxg

b

a

b

a∫∫ ∂

∂==′ ),(),()(

Satz 2:

Wenn f(x, y) und fx(x, y) im Bereich c ≤ x ≤ d, a ≤ y ≤ b existieren und stetig sind,

so ist in [c, d] nach x differenzierbar und Differentiation

und Integration können vertauscht werden:

∫=b

a

dyyxfxg ),()(

∫=b

a

dyyxfxg ),()(

BauereckerMathem. Methoden I

Zweidimensionales Bereichsintegral

Berechnung des Volumens V des Säulenkörpers

Die x-y-Ebene wird durch Parallelen zur y-Achse(bestimmt durch x-Werte x0, x1, …, xi, …, xn) und durch Parallelen zur x-Achse (bestimmt durch y-Wertey0, y1, …, yj, …, ym) zu einem Gitternetz zerlegt.

Der Säulenkörper wird durch Quaderstücke mit Teilvo-lumina f(xi, yj)·Δxi·Δyjzusammengesetzt (Summenbildung).Wir wählen gleich breite Quader: Δxi = Δx, Δyj = Δy.

Deckfläche D ist bestimmt durch z = f(x, y).

f(x, y) ist nur im einfach zusammenhängendenBereich B definiert, f = 0 außerhalb von B.

Im Grenzwert n, m → ∞ erhalten wir das exakte Volumen, das man Bereichsintegral von f über den Bereich B nennt:

∑∑∫∫= =

∞→∞→ΔΔ==

m

j

n

iji

Bmn

yxyxfdxdyyxfV1 1

),(limlim),(

Analogie zum 1dimensionalen Fall!


Dreidimensionales Bereichsintegral

Berechnung des Integrals I durch Aufsum-mierung von Volumenelementen

Der Integrationsbereich B3 wird in kleine Quader mit den Volumina Δxi·Δyj·Δzk zerlegt. Man integriert zuerst überz bei konstanten x, y zwischen den Begrenzungsflächen u1(x, y) und u2(x, y), dann über y bei konstantem x zwi-schen den begrenzenden Kurven v1(x) und v2(x) und schließlich über x zwischen den Grenzen a und b.

In B3 wird jedem Volumenelementein Wert w = f(x, y, z) zugeordnet.

Im Grenzwert n, m, p → ∞ erhalten wir dasBereichsintegral von f über den Bereich B3:

∫∫∫∫ ∫ ∫

∑∑∑

==

=ΔΔΔ== = =

∞→∞→∞→

3

2

1

2

1

),,(),,(

),,(limlimlim

)(

)(

),(

),(

1 1 1

B

b

a

xv

xv

yxu

yxu

k

m

i

n

j

p

kjikjipmn

dxdydzzyxfdzdydxzyxf

zyxzyxfI

Veranschaulichung: f beschreibt eine Dichteverteilung innerhalb des Volu-mens B3. Das Integral I ist die Gesamtmasse im Volumen.

Diese Überlegungen lassen sich entsprechend auf Bereichsintegrale höherer Dimension übertragen.

u2(x, y)

u1(x, y)v2(x)

v1(x)


Mehrdim. Integrale - Variablentransformation

Ziel ist es,

die durch x = g(u, v), y = h(u, v) gegebene Transformation im Integral

durchzuführen. Die Transformation sei eineindeutig (Abbildung

umkehrbar), d.h. im Bereich B gilt für die Funktionaldeterminante

Es folgt (ohne Beweis):

⇒ vereinfacht oft die Bereichsgrenzen und damit die Integration

Integrationsbereich günstiges KoordinatensystemRechteck 2dimensionale kartesische KoordinatenKreis PolarkoordinatenEllipse elliptische KoordinatenQuader 3dimensionale kartesische KoordinatenZylinder ZylinderkoordinatenKugel Kugelkoordinaten

∫∫∫∫ ∂∂

=BB

dudvvuyxvuhvugfdxdyyxf),(),()],(),,([),(

∫∫B

dxdyyxf ),(

.0),(),(

≠∂∂

vuyx


Volumenintegrale

2 Möglichkeiten zur Volumenberechnung

A) Differenz der Volumina unter den Flächen u2(x, y) und u1(x, y), über Flächenbereich B:

∫∫

∫∫∫∫−=

−=

B

BB

dxdyyxuyxu

dxdyyxudxdyyxuV

)),(),((

),(),(

12

12

B) Berechnung durch Dreifachintegral über Volumen-bereich B3 (f(x, y, z) = 1 innerhalb von B3):

dydxyxuyxu

dzdydxdxdydzV

b

a

xv

xv

b

a

xv

xv

yxu

yxuB

∫ ∫

∫ ∫ ∫∫∫∫

−=

===

)),(),((( 12

)(

)(

)(

)(

),(

),(

2

1

2

1

2

13

u2(x, y)

u1(x, y)v2(x)

v1(x)B

Man erkennt, dass A) und B) auf das gleiche Flächenintegral hinauslaufen.


Physikalische Anwendungen

dVmB

∫∫∫= ρMasse eines Körpers (ρ(x, y, z) ist ortsabhängige Dichte)

Schwerpunktskoordinaten zdVm

zydVm

yxdVm

xB

sB

sB

s ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ === ρρρ 1,1,1

Statische Momente (Drehmomen-te) als 1. Momente bzgl. der x-,y-, z-Achse, g Erdbeschleunigung

zdVgMydVgMxdVgMB

zB

yB

x ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ === ρρρ ,,

dVyxI

dVzxIdVzyI

Bz

By

Bx

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫+=

+=+=

ρ

ρρ

)(

)(,)(

22

2222

Trägheitsmomente als 2. Momente bezüglich der x-, y-, und z-Achse

Trägheitsmoment eines ebenen Bereichs bezüglich der z-Achse(ρ(x, y) Flächendichte)

dAyxIB∫∫ += ρ)( 22


Kurvenintegral (Linienintegral)

Die Funktion z = f(x, y) sei im Be-reich B der x-y-Ebene stetig. In B sei eine Kurve C mit Richtungssinn(siehe Pfeil) gegeben.

Die Kurve C wird durch die Punkte Pi in kleine Linienstücke unterteilt. Die x-Abstände zweier benachbarter Punkte seienmit Δx = xi – xi-1 gleich groß. Durch Aufsummieren der Flächenstücke f(xi, yi)·Δxi erhält man im Grenzfall n → ∞das Kurvenintegral

∑∫=

∞→Δ==

n

iiii

Cnx xyxfdxyxfI

1

),(lim),(

Das Vorzeichen der Integrale ändert sich mit der Pfeilrich-tung von C. Bei Zerlegung von C in 2 Teilkurven addiert sich das Kurvenintegral aus den beiden Teilintegralen.

Entsprechend unter Verwendung der y-Werte:

∑∫=

∞→Δ==

n

iiii

Cny yyxfdyyxfI

1),(lim),(

Geometrische Interpretation: Das Kurvenintegral ist die auf die x-z-Ebene (y-z-Ebene) projizierte Fläche zwischen K und C.

Ix und Iy sind i. allg. nicht gleich!


Kurvenintegral II

mit x = x(t), y = y(t), dx = x′dt, dy = y′dt,t1, t2 Anfangs- und Endwerte zu Kurve C

Allgemeines Kurvenintegral:

Vektorform

Anwendung: Berechnung der Arbeit, die eine ortsabhängige Kraft längs eines Weges C leistet. Wichtig in Thermodynamik, Mechanik und Vektorrechnung!

Weitere wichtige Form des Kurvenintegrals:

2222 ,)(')('))(),((),(2

1

dydxdsdttytxtytxfdsyxft

tC

+=⋅+⋅= ∫∫ Bogenelement

Sonderfall Bogenlänge s (f(t) = 1):

∫∫ ⋅+==2

1

22 )(')('t

tC

dttytxdss Entsprechend Erweiterung auf 3 Dimensionen.

),,(),,,(

),,()),,(),,(),,((

dzdydxaaa

zyxdzzyxadyzyxadxzyxa

zyx

CCzyx

==

=++ ∫∫dsa

dsa


Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals

Ein 2dimensionales Kurvenintegral K sei über eine Kurve C in einem einfach zusammenhängenden Bereich (keine Löcher) über zwei Funktionen: P(x, y), Q(x, y) gegeben:

∫ +=C

QdyPdx K )(

Satz: Notwendige und hinreichende Bedingung für die Wegunabhängigkeit von K ist: x

QyP

∂∂

=∂∂

Folgerungen:

F kann bis auf die Fktn g(y) und h(x) aus P und Q bestimmt werden:

Satz: K ist wegunabhängig, wenn eine Stammfunktion (Potentialfunktion) F(x, y) = z existiert, mit: yx FQFP == ,

∫∫ +=+= )(),( xhQdyFygPdxF

Das Kurvenintegral K läßt sich auch durch dastotale (vollständige, exakte) Differential dz = Fxdx + Fydy = Pdx + Qdy ausdrücken:

∫∫ =+=CC

dzQdyPdx K )(

Für eine geschlossene Kurve C ist das Ringintegral null: ∫ ∫ ==+ 0,0)( dzQdyPdx


Anwendungen von Differenzialgleichungen

Weitere Beispiele:

Gewöhnliche Dgln- Physikalische Reaktionen (z.B. radioaktiverZerfall)

- Chemische Reaktionen

Partielle Dgln- Wärmeleitung, Diffusion, Viskosität(Transport-Gl.)

- Schwingungen und Wellen (Wellen-Gl.) - Elektrodynamik (Maxwellsche Gln.)- Kontinuitäts- und Strömungs-Gl. (Laplace-, Poisson-, Euler-Gl.)

- Fluidmechanik (Navier-Stokes-Gl.)- Quantenmechanik (Schrödinger-Gl.)

Weitaus mehr Probleme aus Physik, Chemie, Biologie, Technik, …, lassen sich mit partiellenals mit gewöhnlichen Dgln beschreiben!

Quelle: E. Kreyszig


Systeme von gewöhnl. Differenzialgleichungen

,0),...,,,...,,,...,,(...

,0),...,,,...,,,...,,(

,0),...,,,...,,,...,,(

)()(22

)(11

)()(22

)(112

)()(22

)(111

=

=

=

nmm

nnm

nmm

nn

nmm

nn

yyyyyyxF

yyyyyyxF

yyyyyyxF

m Bedingungsgleichungen der Form

führen auf ein System von m gekoppelten Differenzialgleichungen zur Bestimmung von m (entsprechend oft differenzierbaren) Funktionen: y1= y1(x), y2(x), …, ym= ym(x).

Beispiel: Differenzialgleichungssystem:

Lösung 1:

Lösung 2:

axayaxy cos ,sin 21 ⋅==

axayaxy sin ,cos 21 ⋅=−=

0 0

12

12

=′−=⋅+′

yyyay

Folgerung: Ein System von Dgln kann durch mehrere verschiedene Funktionensysteme gelöst werden.


Gewöhnliche Dgln erster Ordnung

Existenz von Lösungen

F(x, y, y′) = 0 sei eine gewöhnliche Dgl 1. Ordnung, die sich eindeutig nach y′ auflösen lässt: y′ = f(x, y)

Diese Glg ordnet jedem Punkt der x-y-Ebene eine Steigung zu. Die Gesamtheit dieser Linienelemente (Punkt plus Steigung) heißt Richtungsfeld der Dgl. Lösungen der Dglsind zusammenhängende Kurven, die ausschließlich aus Linienelementen bestehen, z.B. L1 oder L2. Kurve K besteht nicht aus Linienelementen und ist keine Lsg.

Das Richtungsfeld lässt unendlich viele verschiedene Lsgnzu. Mit der Forderung (Anfangsbedingung), dass die Lösungskurve durch einen bestimmten Punkt P gehen soll,reduziert man die Lsgn auf eine einzige.

Die Situation ist nicht so klar bei Dgln, die sich nicht nachy′ auflösen lassen (implizite Darstellungen).

Richtungsfeld der Dgl y′ = – ky.Hier ist die Steigung nur von yabhängig.

Linienelement


Homogene lineare Dgl: y′ + f(x)·y = 0 Inhomogene lineare Dgl: y′ + f(x)·y = g(x) g(x) heißt Störterm

Lösung der inhomogenen linearen Dgl

Wichtiger Satz:Das allgemeine Integral einer inhomogenen linearen Dgl ist gleich der Summe aus dem allgemeinen Integral der zugehörigen homogenen Dgl und einem partikulären Intergral der inhomogenen Dgl.

Lösungsverfahren für inhomogene lineare Dgln:1. Man bestimmt das allgemeine Integral yh der homogenen Dgl (z.B. durch Trennung der Variablen). 2. Man bestimmt irgendwie ein partikuläres Integral y0 der inhomogenen Dgl(z.B. durch Raten oder durch Variation der Konstanten). 3. Man addiert beide und erhält die allgemeinen Lösung: y = yh + y0

Alternative:Kennt man zwei unabhängige partikuläre Integrale y1 und y2 der inhomogenen Glg, so ist die allgemeine Lösung: y = y1 + C·(y2 – y1) C beliebige Konstante.


Exakte Differenzialgleichung

}liefern g(y) und h(x) durch Vergleich

Eine nichtlineare Dgl mit einer der äquivalenten Formen

heißt exakt, wenn gilt:

Dann kann man die obige mittlere Form als totales (exaktes) Differenzial dz = 0 auffassen, mit F = z(x, y) = konst als konstanter Stammfunktion, mit Fx = P, Fy = Q. F wird über das Kurvenintegral berechnet (siehe wegunabhängiges Kurvenintegral) undliefert eine Bestimmungsgleichung für die Lösungen y = f(x):

0),(),( 0),(),( ),(),(

=′⋅+⇔=+⇔−=′ yyxQyxPdyyxQdxyxPyxQyxPy

xy QPxQ

yP

=⇔∂∂

=∂∂

∫

∫∫∫+=

+=+==

)(

)()(

xhQdy

ygPdxQdyPdx dzFCC

Ist die Dgl nicht exakt, so kann ev. ein sog. Integrie-render Faktor µ(x, y) so bestimmt werden, dass gilt:

Dann sind die Lösungen y = f(x) bestimmbar aus:

)()(xQ

yP

∂∂

=∂

∂ μμ

konstQdyPdxFC

=+= ∫ )( μμ


Gewöhnliche lineare Dgl n-ter OrdnungForm: y(n) + a1(x)·y(n-1) + … + an-1(x)·y′ + an(x)·y = b(x)

Dgl ist homogen, wenn b(x) = 0, sonst inhomogenSätze:

1. Diese Dgl besitzt genau n (linear unabhängige) Lösungen y1(x), y2(x), …, yn(x), wenn die Wronski-Determinante ungleich Null ist. Sie bilden das fundamentale Lösungssystem. 0

...............

...

...

)1()1(2

)1(1

21

21

≠′′′

−−− nn

nn

n

n

yyy

yyyyyy

2. Das allgemeine Integral y(x) der homogenen Dgl erhält man durch Linearkombination dermit beliebigen Konstanten multiplizierten n Fktn des fundamentalen Lösungssystems(Superpositionsprinzip): y(x) = C1·y1(x) + C2·y2(x) + … + Cn·yn(x)

3. Das allgemeine Integral der inhomogenen Dgl erhält man aus dem allgemeinen Integral derhomogenen Dgl plus einem partikulären Integral (z.B. durch Variation der Konstantenbestimmbar) der inhomogenen Dgl.

4. Die Dgl besitzt eine eindeutige Lösung, wenn man n + 1 Zahlen x0, y0, y0′, …, y0(n-1)

angibt und verlangt, dass für x = x0 die n Bedingungen y = y0, y′ = y0′, y′′ = y0′′, …, y(n-1) = y0(n-1)

erfüllt sein sollen.

Wronski-Determinante


Dgl: Gedämpfte freie Schwingung

x

t

x

t

Kräftegleichgewicht ⇒ Dgl:

Lösungs-ansatz:

teAx ⋅⋅= λ

222/1 ωλ −±−= KK

Charakter.Gleichung:

tt eAxeAx ⋅⋅ ⋅⋅=′′⋅⋅=′ λλ λλ 2 ,

Lösungen:

)(

)(

)(

2222

2222

2222

21

21

21

tKtKKt

tKtKKt

tKtKKt

etAeAex

eAeAex

eAeAex

ωω

ωω

ωω

−−−−

−−−−

−−−−

⋅⋅+⋅=

⋅+⋅=

⋅+⋅= λ1/2 reell, K2 > ω2, gedämpfte Schwingung

λ1/2 komplex, K2 < ω2, Kriechfall

λ1/2 reell, K2 = ω2, aperiodischer Grenzfall

02 0 2 =⋅+′⋅+′′⇔=⋅+′⋅+′′⋅ xxKxxDxbxm ωTrägheitskraft m·x′′Reibungskraft – b·x′Federkraft – D·xAbklingkoeffizient K = b/2mKreisfrequenz ω = (D/m)1/2

Konstanten A, A1, A2

Gedämpfte Schwingung Kriechfall

AperiodischerGrenzfall

Einsetzen in Dgl ⇒

Einhül-lende

Sinus-Schwingung (→ Eulerformel)


Dgl: Erzwungene SchwingungAnregung System mit äußerer Kraft F0·cos ωkt:

Ansatz part.Integral:

ti kex ωα ⋅=

2222220

220 2tan ,)2()( ,

2 k

kkk

i

kk

KKrer

KKi

Kωω

ωϕωωωωωω

α ϕ

−=+−=⋅=

+−= −

ti keKxxKx ωω ⋅=⋅+′⋅+′′ 022

Anregende Kraft F0 = K0·mAnregende Beschleunigung K0Anregende Kreisfrequenz ωkAbklingkoeffizient K = c·mDämpfungskonstante c = bEigenkreisfrequenz System ωAmplitudenverstärkung C*Konstanten α, A1, A2

x mit Ableitungen in Dgl einsetzen,komplexen Nenner in Polarko-ordinaten darstellen :

Inhomo-gene Dgl:

AllgemeineLösung:

)cos()2()(

)(2222

021

2222

ϕωωωω

ωω −⋅+−

+⋅+⋅= −−−− tK

KeAeAex k

kk

tKtKKt

Lösung homogene Dgl + partikuläres Integral

C* Einschwingvorgang

ωk/ω

Resonanz bei ωk → ωbesonders bei K → 0!

ϕ

ωk/ω

Phasenverschiebung ϕzw. System u. Anregung


XXXBauerecker


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Mathematische Methoden der Chemie I - tu-braunschweig.de · Funktionen Bauerecker Mathematische Methoden der Chemie I Die Wertemenge von x, für die die Funktion definiert ist, heißt